สูตรแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

แทนเจนต์เป็นเส้นตรง ซึ่งสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งและทุกจุดที่อยู่ห่างจากกราฟของฟังก์ชันน้อยที่สุด ดังนั้นแทนเจนต์จึงส่งแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่มุมหนึ่ง และแทนเจนต์หลายอันในมุมที่ต่างกันไม่สามารถผ่านจุดแทนเจนต์ได้ สมการแทนเจนต์และสมการปกติของกราฟของฟังก์ชันถูกสร้างขึ้นโดยใช้อนุพันธ์

สมการแทนเจนต์ได้มาจากสมการเส้นตรง .

ขอให้เราได้สมการของแทนเจนต์แล้วสมการของเส้นปกติกับกราฟของฟังก์ชัน

ย = เคเอ็กซ์ + ข .

ในตัวเขา เค- สัมประสิทธิ์เชิงมุม

จากที่นี่เราได้รับรายการต่อไปนี้:

ย - ย 0 = เค(x - x 0 ) .

มูลค่าอนุพันธ์ ฉ "(x 0 ) ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) ตรงจุด x0 เท่ากับความชัน เค= ทีจี φ สัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันที่ลากผ่านจุด ม0 (x 0 , ย 0 ) , ที่ไหน ย0 = ฉ(x 0 ) . นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ .

ดังนั้นเราจึงสามารถทดแทนได้ เคบน ฉ "(x 0 ) และรับสิ่งต่อไปนี้ สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน :

ย - ย 0 = ฉ "(x 0 )(x - x 0 ) .

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน (และเราจะพูดถึงมันในเร็วๆ นี้) จำเป็นต้องลดสมการที่ได้จากสูตรข้างต้นลงเหลือ สมการของเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป. ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องย้ายตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ และปล่อยศูนย์ไว้ทางด้านขวา

ทีนี้เกี่ยวกับสมการปกติ ปกติ - นี่คือเส้นตรงที่ผ่านจุดสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกับแทนเจนต์ สมการปกติ :

(x - x 0 ) + ฉ "(x 0 )(ย - ย 0 ) = 0

เพื่ออุ่นเครื่อง คุณจะต้องแก้ตัวอย่างแรกด้วยตัวเอง จากนั้นจึงดูวิธีแก้ปัญหา มีเหตุผลทุกประการที่หวังว่างานนี้จะไม่เป็น "การอาบน้ำเย็น" สำหรับผู้อ่านของเรา

ตัวอย่างที่ 0สร้างสมการแทนเจนต์และสมการปกติสำหรับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ม (1, 1) .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการแทนเจนต์และสมการปกติสำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้าแอบซิสซาสัมผัสกัน

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่ต้องแทนที่ลงในค่าที่ให้ไว้ในวิธีช่วยทางทฤษฎีเพื่อให้ได้สมการแทนเจนต์ เราได้รับ

ในตัวอย่างนี้ เราโชคดี: ความชันกลายเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแยกสมการให้เหลือรูปแบบทั่วไป ตอนนี้เราสามารถสร้างสมการปกติได้:

ในรูปด้านล่าง: กราฟของฟังก์ชันคือเบอร์กันดี แทนเจนต์เป็นสีเขียว เส้นปกติคือสีส้ม

ตัวอย่างถัดไปก็ไม่ซับซ้อนเช่นกัน: ฟังก์ชันเช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้าก็เป็นพหุนามเช่นกัน แต่ความชันจะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงจะเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอน - นำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

.

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ซึ่งก็คือความชันของแทนเจนต์:

เราแทนที่ข้อมูลที่ได้รับทั้งหมดลงใน "สูตรเปล่า" และรับสมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป (เรารวบรวมตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์ทางด้านซ้าย และปล่อยให้เป็นศูนย์ทางด้านขวา):

เราเขียนสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้าจุดแอบซิสซาคือจุดสัมผัสกัน

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

.

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ซึ่งก็คือความชันของแทนเจนต์:

.

เราพบสมการแทนเจนต์:

ก่อนที่จะนำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป คุณต้อง "รวมมัน" เล็กน้อย: คูณเทอมต่อเทอมด้วย 4 เราทำสิ่งนี้และนำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป:

เราเขียนสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้าจุดแอบซิสซาคือจุดสัมผัสกัน

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

.

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ซึ่งก็คือความชันของแทนเจนต์:

.

เราได้สมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป:

เราเขียนสมการปกติ:

ข้อผิดพลาดทั่วไปในการเขียนสมการแทนเจนต์และสมการปกติไม่ใช่การสังเกตว่าฟังก์ชันที่ให้ไว้ในตัวอย่างมีความซับซ้อนและต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย ตัวอย่างต่อไปนี้มาจาก ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน(บทเรียนที่เกี่ยวข้องจะเปิดขึ้นในหน้าต่างใหม่)

ตัวอย่างที่ 5เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้าจุดแอบซิสซาคือจุดสัมผัสกัน

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

ความสนใจ! ฟังก์ชันนี้มีความซับซ้อน เนื่องจากอาร์กิวเมนต์แทนเจนต์ (2 x) ก็คือฟังก์ชันนั่นเอง ดังนั้นเราจึงพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

บทความนี้ให้คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ที่มีเครื่องหมายกราฟิก เราจะพิจารณาสมการของเส้นสัมผัสกันด้วยตัวอย่าง โดยจะพบสมการของเส้นโค้งสัมผัสถึงลำดับที่ 2

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่ามุม α ซึ่งวัดจากทิศทางบวกของแกน x ไปยังเส้นตรง y = k x + b ในทิศทางบวก

ในภาพ ทิศทาง x ระบุด้วยลูกศรสีเขียวและส่วนโค้งสีเขียว และมุมเอียงระบุด้วยส่วนโค้งสีแดง เส้นสีน้ำเงินหมายถึงเส้นตรง

คำจำกัดความ 2

ความชันของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข k

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับแทนเจนต์ของเส้นตรง หรืออีกนัยหนึ่งคือ k = t g α

• มุมเอียงของเส้นตรงจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อมันขนานกันประมาณ x และความชันเท่ากับศูนย์ เพราะแทนเจนต์ของศูนย์เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่ารูปแบบของสมการจะเป็น y = b
• หากมุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เป็นแบบเฉียบพลันแสดงว่าเงื่อนไข 0 เป็นไปตามนั้น< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 และกราฟเพิ่มขึ้น
• ถ้า α = π 2 ตำแหน่งของเส้นตรงจะตั้งฉากกับ x ความเท่าเทียมกันระบุโดย x = c โดยค่า c เป็นจำนวนจริง
• ถ้ามุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b ป้าน มันจะสอดคล้องกับเงื่อนไข π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

เส้นตัดคือเส้นที่ลากผ่าน 2 จุดของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นตัดเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด

รูปนี้แสดงว่า A B คือเส้นตัดมุม และ f (x) คือเส้นโค้งสีดำ ส่วน α คือเส้นโค้งสีแดง ซึ่งแสดงถึงมุมเอียงของเส้นตัด

เมื่อสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียง จะเห็นได้ชัดว่าสามารถหาแทนเจนต์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C ได้จากอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

คำจำกัดความที่ 4

เราได้รับสูตรสำหรับค้นหาซีแคนต์ของแบบฟอร์ม:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A โดยที่ abscissas ของจุด A และ B คือค่า x A, x B และ f (x A), f (x B) คือฟังก์ชันค่าที่จุดเหล่านี้

แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตัดถูกกำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน k = f (x B) - f (x A) x B - x A หรือ k = f (x A) - f (x B) x A - x B และต้องเขียนสมการเป็น y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) หรือ
y = ฉ (x A) - ฉ (x B) x A - x B x - x B + ฉ (x B) .

เส้นตัดจะแบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วนทางสายตา: ทางด้านซ้ายของจุด A จาก A ถึง B และทางด้านขวาของ B รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่ามีเส้นตัด 3 เส้นที่ถือว่าบังเอิญ นั่นคือ พวกมันถูกกำหนดโดยใช้ สมการที่คล้ายกัน

ตามคำจำกัดความ เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงและเส้นตัดในกรณีนี้ตรงกัน

เส้นตัดสามารถตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดได้หลายครั้ง หากมีสมการในรูปแบบ y = 0 สำหรับเส้นตัดมุม จำนวนจุดตัดกับไซนัสอยด์จะไม่มีที่สิ้นสุด

คำจำกัดความที่ 5

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ; f (x 0) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด x 0; f (x 0) โดยมีส่วนที่มีค่า x หลายค่าใกล้กับ x 0

ตัวอย่างที่ 1

เรามาดูตัวอย่างด้านล่างนี้กันดีกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = x + 1 ถือเป็นเส้นสัมผัสของ y = 2 x ที่จุดที่มีพิกัด (1; 2) เพื่อความชัดเจนจำเป็นต้องพิจารณากราฟที่มีค่าใกล้เคียงกับ (1; 2) ฟังก์ชัน y = 2 x จะแสดงเป็นสีดำ เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน และจุดสีแดงคือจุดตัดกัน

แน่นอนว่า y = 2 x รวมเข้ากับเส้นตรง y = x + 1

ในการหาค่าแทนเจนต์เราควรพิจารณาพฤติกรรมของแทนเจนต์ A B เมื่อจุด B เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด เราจะนำเสนอรูปวาดเพื่อความชัดเจน

เส้นตัด A B ซึ่งระบุด้วยเส้นสีน้ำเงิน มีแนวโน้มไปที่ตำแหน่งของเส้นสัมผัสกันเอง และมุมเอียงของเส้นตัด α จะเริ่มมีแนวโน้มที่จะทำมุมเอียงของเส้นสัมผัสกัน α x

คำนิยาม 6

เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A ถือเป็นตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดขวาง A B เนื่องจาก B มีแนวโน้มไปทาง A นั่นคือ B → A

ตอนนี้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งกันดีกว่า

มาดูการพิจารณาเซแคนต์ A B สำหรับฟังก์ชัน f (x) โดยที่ A และ B ที่มีพิกัด x 0, f (x 0) และ x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) และ ∆ x คือ แสดงว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . เพื่อความชัดเจน เรามายกตัวอย่างการวาดภาพกัน

พิจารณาผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C เราใช้คำจำกัดความของแทนเจนต์ในการแก้ นั่นคือ เราได้ความสัมพันธ์ ∆ y ∆ x = t g α . จากนิยามของแทนเจนต์ จะได้ว่า lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ตามกฎของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เรามีอนุพันธ์ f (x) ที่จุด x 0 เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยที่ ∆ x → 0 จากนั้นเราแสดงว่ามันเป็น f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x

ตามมาว่า f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x โดยที่ k x แสดงเป็นความชันของแทนเจนต์

นั่นคือเราพบว่า f ' (x) สามารถมีอยู่ได้ที่จุด x 0 และเหมือนกับค่าแทนเจนต์ของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์เท่ากับ x 0, f 0 (x 0) โดยที่ค่าของ ความชันของแทนเจนต์ที่จุดเท่ากับอนุพันธ์ที่จุด x 0 . จากนั้นเราจะได้ k x = f " (x 0)

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ ให้แนวคิดเรื่องการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกันกับกราฟที่จุดเดียวกัน

ในการเขียนสมการของเส้นตรงใดๆ บนระนาบ จำเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์เชิงมุมกับจุดที่มันผ่านไป สัญกรณ์ของมันคือ x 0 ที่จุดตัด

สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด x 0, f 0 (x 0) ใช้รูปแบบ y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0)

ซึ่งหมายความว่าค่าสุดท้ายของอนุพันธ์ f "(x 0) สามารถกำหนดตำแหน่งของแทนเจนต์นั่นคือในแนวตั้งที่ให้ไว้ lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ และ lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞หรือไม่มีเลยภายใต้เงื่อนไข lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

ตำแหน่งของแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k x = f "(x 0) เมื่อขนานกับแกน o x เราจะได้ k k = 0 เมื่อขนานกับ o y - k x = ∞ และรูปแบบของ สมการแทนเจนต์ x = x 0 เพิ่มขึ้นเมื่อ k x > 0 ลดลงเมื่อ k x< 0 .

ตัวอย่างที่ 2

รวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ณ จุดที่มีพิกัด (1; 3) และกำหนดมุมเอียง

สารละลาย

โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด เราพบว่าจุดที่มีพิกัดที่ระบุตามเงื่อนไข (1; 3) คือจุดสัมผัส จากนั้น x 0 = - 1, f (x 0) = - 3

จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดที่มีค่า - 1 เราเข้าใจแล้ว

y " = อี x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = อี x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = อี x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 ปี " (x 0) = y " (- 1) = อี - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

ค่าของ f' (x) ที่จุดแทนเจนต์คือความชันของแทนเจนต์ ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชัน

จากนั้น k x = t ก α x = y " (x 0) = 3 3

ตามมาว่า α x = a rc t g 3 3 = π 6

คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ

y = ฉ " (x 0) x - x 0 + ฉ (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างเป็นภาพประกอบกราฟิก

สีดำใช้สำหรับกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม สีน้ำเงินคือภาพของเส้นสัมผัสกัน และจุดสีแดงคือจุดสัมผัสกัน รูปภาพทางด้านขวาแสดงมุมมองที่ขยายใหญ่ขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

พิจารณาการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
y = 3 · x - 1 5 + 1 ณ จุดพิกัด (1 ; 1) เขียนสมการและหามุมเอียง

สารละลาย

ตามเงื่อนไขแล้ว โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดถือเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

มาดูการหาอนุพันธ์กันดีกว่า

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

ถ้า x 0 = 1 แสดงว่า f' (x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ แต่ลิมิตจะเขียนเป็น lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ และ lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ซึ่งหมายถึง การดำรงอยู่ของเส้นสัมผัสแนวตั้งที่จุด (1; 1)

คำตอบ:สมการจะอยู่ในรูปแบบ x = 1 โดยที่มุมเอียงจะเท่ากับ π 2

เพื่อความชัดเจน เรามาอธิบายเป็นภาพกราฟิกกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 โดยที่

1. ไม่มีแทนเจนต์
2. แทนเจนต์ขนานกับ x;
3. เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4

สารละลาย

จำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราขยายโมดูลและแก้ไขระบบด้วยช่วงเวลา x ∈ - ∞ ; 2 และ [ - 2 ; + ∞) . เราเข้าใจแล้ว

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

จำเป็นต้องแยกแยะฟังก์ชั่น เรามีสิ่งนั้น

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

เมื่อ x = − 2 อนุพันธ์จะไม่มีอยู่เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียวไม่เท่ากัน ณ จุดนั้น:

ลิม x → - 2 - 0 y " (x) = ลิม x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ลิม x → - 2 + 0 y " (x) = ลิม x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2 โดยที่เราได้รับค่านั้น

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 นั่นคือแทนเจนต์ที่จุด ( - 2; - 2) จะไม่มีอยู่
2. แทนเจนต์จะขนานกับ x เมื่อความชันเป็นศูนย์ จากนั้น k x = t g α x = f "(x 0) นั่นคือจำเป็นต้องค้นหาค่าของ x ดังกล่าวเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นศูนย์ นั่นคือค่าของ f ' (x) จะเป็นจุดสัมผัสกัน โดยที่แทนเจนต์ขนานกับ x

เมื่อ x ∈ - ∞ ; - 2 จากนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 และสำหรับ x ∈ (- 2; + ∞) เราจะได้ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

คำนวณค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ปี 3 = ปี (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ปี 4 = ปี (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

ดังนั้น - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ถือเป็นจุดที่ต้องการของกราฟฟังก์ชัน

ลองดูการแสดงวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก

เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

1. เมื่อเส้นขนานกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากัน จากนั้นจำเป็นต้องค้นหาจุดบนกราฟฟังก์ชันโดยที่ความชันจะเท่ากับค่า 8 5 ในการทำเช่นนี้คุณต้องแก้สมการในรูปแบบ y "(x) = 8 5 จากนั้นถ้า x ∈ - ∞; - 2 เราจะได้สิ่งนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 และถ้า x ∈ ( - 2 ; + ∞) ดังนั้น 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5

สมการแรกไม่มีรากเนื่องจากตัวจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ลองเขียนลงไปดู

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

อีกสมการหนึ่งมีรากจริงสองอัน

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

มาดูการหาค่าของฟังก์ชันกันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

คะแนนที่มีค่า - 1; 4 15, 5; 8 3 คือจุดที่แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4

คำตอบ:เส้นสีดำ – กราฟของฟังก์ชัน เส้นสีแดง – กราฟของ y = 8 5 x + 4 เส้นสีน้ำเงิน – แทนเจนต์ที่จุด - 1; 4 15, 5; 8 3.

อาจมีจำนวนแทนเจนต์เป็นจำนวนอนันต์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการแทนเจนต์ที่มีอยู่ทั้งหมดของฟังก์ชัน y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง y = - 2 x + 1 2

สารละลาย

ในการรวบรวมสมการแทนเจนต์ จำเป็นต้องค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และพิกัดของจุดแทนเจนต์ตามเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้น คำจำกัดความมีดังต่อไปนี้ ผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเท่ากับ - 1 กล่าวคือ เขียนเป็น k x · k ⊥ = - 1 จากเงื่อนไขที่เรามีว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมตั้งฉากกับเส้นตรงและเท่ากับ k ⊥ = - 2 จากนั้น k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2

ตอนนี้คุณต้องค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส คุณต้องค้นหา x แล้วตามด้วยค่าของมันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด โปรดทราบว่าจากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น
x 0 เราได้รับว่า k x = y "(x 0) จากความเท่าเทียมกันนี้เราจะพบค่าของ x สำหรับจุดสัมผัส

เราเข้าใจแล้ว

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ บาป 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

สมการตรีโกณมิตินี้จะใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัสกัน

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk หรือ x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z คือเซตของจำนวนเต็ม

พบจุดติดต่อ x แล้ว ตอนนี้คุณต้องดำเนินการค้นหาค่าของ y:

y 0 = 3 เพราะ 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 หรือ y 0 = - 4 5 + 1 3

จากนี้เราจะได้ว่า 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc บาป 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 คือจุดสัมผัส

คำตอบ:สมการที่จำเป็นจะเขียนเป็น

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

หากต้องการแสดงภาพ ให้พิจารณาฟังก์ชันและเส้นสัมผัสกันบนเส้นพิกัด

รูปแสดงว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ที่ช่วง [ - 10 ; 10 ] โดยที่เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดในรูปแบบ y = - 2 x + 1 2 จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

สมการมาตรฐานของเส้นโค้งลำดับที่ 2 ไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว สมการแทนเจนต์สำหรับพวกมันถูกรวบรวมตามรูปแบบที่ทราบ

สัมผัสกันเป็นวงกลม

กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด x c e n t e r ; y c e n t e r และรัศมี R ใช้สูตร x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ฟังก์ชันแรกจะอยู่ที่ด้านบน และฟังก์ชันที่สองจะอยู่ที่ด้านล่าง ดังแสดงในรูป

เพื่อรวบรวมสมการของวงกลมที่จุด x 0; y 0 ซึ่งอยู่ในครึ่งวงกลมบนหรือล่างคุณควรค้นหาสมการของกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r หรือ y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ได้ตามจุดที่กำหนด

เมื่อถึงจุด x c e n t e r ; y c e n t e r + R และ x c e n t r ; y c e n t e r - R แทนเจนต์สามารถกำหนดได้จากสมการ y = y c e n t e r + R และ y = y c e n t e r - R และที่จุด x c e n t e r + R ; ใช่แล้ว และ
x c e n t e r - R ; y c e n t e r จะขนานกับ o y จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ x = x c e n t e r + R และ x = x c e n t e r - R

แทนเจนต์กับวงรี

เมื่อวงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ x c e n t e r ; y c e n t e r ด้วยครึ่งแกน a และ b จากนั้นสามารถระบุได้โดยใช้สมการ x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1

วงรีและวงกลมสามารถแสดงได้โดยการรวมสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน ได้แก่ วงรีครึ่งบนและครึ่งล่าง แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ถ้าแทนเจนต์อยู่ที่จุดยอดของวงรี พวกมันจะขนานกันประมาณ x หรือประมาณ y ด้านล่างเพื่อความชัดเจนให้พิจารณารูป

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับวงรี x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ที่จุดที่มีค่า x เท่ากับ x = 2

สารละลาย

จำเป็นต้องค้นหาจุดสัมผัสที่สอดคล้องกับค่า x = 2 เราแทนสมการที่มีอยู่ของวงรีแล้วพบว่า

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

จากนั้น 2 ; 5 3 2 + 5 และ 2; - 5 3 2 + 5 คือจุดสัมผัสที่อยู่ในครึ่งวงรีบนและล่าง

มาดูการค้นหาและแก้สมการของวงรีเทียบกับ y กันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 ปี = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

เห็นได้ชัดว่าวงรีครึ่งบนถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันในรูปแบบ y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 และวงรีครึ่งล่าง y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2

ลองใช้อัลกอริธึมมาตรฐานเพื่อสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ให้เราเขียนสมการของแทนเจนต์แรกที่จุดที่ 2; 5 3 2 + 5 จะเป็นเช่นนี้

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2" = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

เราพบว่าสมการของแทนเจนต์ที่สองที่มีค่า ณ จุดนั้น
2 ; - 5 3 2 + 5 ขึ้นรูปแบบ

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

กราฟิกแทนเจนต์ถูกกำหนดดังนี้:

แทนเจนต์ถึงอติพจน์

เมื่อไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางที่ x c e n t e r ; y c e n t e r และจุดยอด x c e n t e r + α ; ใช่ และ x c e n t e r - α ; y c e n t e r ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 เกิดขึ้น หากมีจุดยอด x c e n t e r ; ใช่ c e n t e r + b และ x c e n t e r ; y c e n t e r - b จากนั้นระบุโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1

ไฮเปอร์โบลาสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันรวมกันของแบบฟอร์มได้

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r หรือ y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

ในกรณีแรก เราพบว่าแทนเจนต์ขนานกับ y และส่วนที่สองขนานกับ x

ตามมาว่าในการหาสมการของแทนเจนต์กับไฮเปอร์โบลา จำเป็นต้องค้นหาว่าจุดสัมผัสของฟังก์ชันใดเป็นของฟังก์ชันใด เพื่อระบุสิ่งนี้ จำเป็นต้องแทนที่สมการและตรวจสอบตัวตน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ที่จุดที่ 7; - 3 3 - 3 .

สารละลาย

จำเป็นต้องแปลงบันทึกคำตอบสำหรับการค้นหาไฮเปอร์โบลาโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 และ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

มีความจำเป็นต้องระบุว่าจุดที่กำหนดด้วยพิกัด 7 เป็นของฟังก์ชันใด - 3 3 - 3 .

เห็นได้ชัดว่าในการตรวจสอบฟังก์ชันแรกจำเป็นต้องมี y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 จากนั้นจุดไม่อยู่ในกราฟ เพราะความเท่าเทียมกันไม่คงอยู่

สำหรับฟังก์ชันที่สอง เรามี y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในกราฟที่กำหนด จากที่นี่คุณจะพบความชัน

เราเข้าใจแล้ว

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

คำตอบ:สมการแทนเจนต์สามารถแสดงเป็น

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

อธิบายไว้ชัดเจนดังนี้

แทนเจนต์กับพาราโบลา

ในการสร้างสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = a x 2 + b x + c ที่จุด x 0, y (x 0) คุณต้องใช้อัลกอริทึมมาตรฐาน จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0).แทนเจนต์ดังกล่าวที่จุดยอดขนานกับ x

คุณควรนิยามพาราโบลา x = a y 2 + by y + c เป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงต้องแก้สมการของ y เราเข้าใจแล้ว

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - ข - ข 2 - 4 ก (ค - x) 2 ก

แสดงภาพกราฟิกเป็น:

หากต้องการทราบว่าจุด x 0, y (x 0) เป็นของฟังก์ชันหรือไม่ ให้ดำเนินการเบาๆ ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน แทนเจนต์ดังกล่าวจะขนานกับ y สัมพันธ์กับพาราโบลา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ x - 2 y 2 - 5 y + 3 เมื่อเรามีมุมแทนเจนต์ 150 °

สารละลาย

เราเริ่มหาคำตอบโดยแทนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว

2 ปี 2 - 5 ปี + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 ปี = 5 - 49 - 8 x - 4

ค่าของความชันเท่ากับค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 ของฟังก์ชันนี้ และเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง

เราได้รับ:

k x = y "(x 0) = เสื้อ ก α x = เสื้อ ก 150 ° = - 1 3

จากที่นี่ เราจะกำหนดค่า x สำหรับจุดสัมผัส

ฟังก์ชันแรกจะถูกเขียนเป็น

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

แน่นอน ไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากเราได้ค่าลบ เราสรุปได้ว่าไม่มีเส้นสัมผัสกันที่มีมุม 150° สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว

ฟังก์ชันที่สองจะถูกเขียนเป็น

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

เรามีจุดติดต่อคือ 23 4 ; - 5 + 3 4 .

คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

ลองพรรณนามันแบบกราฟิกด้วยวิธีนี้:

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

บทเรียนวิดีโอ "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" สาธิตสื่อการเรียนรู้สำหรับการเรียนรู้หัวข้อนี้ ในระหว่างบทเรียนวิดีโอ มีการอธิบายเนื้อหาทางทฤษฎีที่จำเป็นในการกำหนดแนวคิดของสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาแทนเจนต์ดังกล่าว และตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้เนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา .

วิดีโอสอนใช้วิธีการปรับปรุงความชัดเจนของเนื้อหา งานนำเสนอประกอบด้วยภาพวาด ไดอะแกรม ความคิดเห็นด้วยเสียงที่สำคัญ ภาพเคลื่อนไหว การไฮไลต์ และเครื่องมืออื่นๆ

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการนำเสนอหัวข้อของบทเรียนและรูปภาพของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด M(a;f(a)) เป็นที่ทราบกันดีว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ที่พล็อตกราฟ ณ จุดที่กำหนดนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(a) ณ จุดนี้ จากหลักสูตรพีชคณิต เรารู้สมการของเส้นตรง y=kx+m วิธีแก้ปัญหาในการค้นหาสมการแทนเจนต์ที่จุดหนึ่งถูกนำเสนอในเชิงแผนผัง ซึ่งจะช่วยลดการหาค่าสัมประสิทธิ์ k, m เมื่อทราบพิกัดของจุดที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน เราสามารถหา m ได้โดยการแทนที่ค่าพิกัดลงในสมการแทนเจนต์ f(a)=ka+m จากนั้นเราจะพบ m=f(a)-ka ดังนั้น เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดและพิกัดของจุดนั้น เราก็สามารถแสดงสมการแทนเจนต์ได้ด้วยวิธีนี้ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการเขียนสมการแทนเจนต์ตามแผนภาพ เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y=x 2 , x=-2 เมื่อหา a=-2 เราจะหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(x)=2x ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเท่ากับ f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 ในการเขียนสมการ จะพบสัมประสิทธิ์ a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ทั้งหมด ดังนั้นสมการแทนเจนต์คือ y=4+(-4)(x+2) ลดความซับซ้อนของสมการ เราได้ y = -4-4x

ตัวอย่างต่อไปนี้แนะนำให้สร้างสมการแทนเจนต์ที่จุดกำเนิดของกราฟของฟังก์ชัน y=tgx ณ จุดที่กำหนด a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1 ดังนั้นสมการแทนเจนต์จะดูเหมือน y=x

โดยภาพรวมแล้ว กระบวนการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งนั้นจะถูกทำให้เป็นทางการในรูปแบบของอัลกอริทึมซึ่งประกอบด้วย 4 ขั้นตอน:

• ป้อนการกำหนด a สำหรับ abscissa ของจุดสัมผัสกัน
• f(a) ถูกคำนวณ;
• f΄(x) ถูกกำหนด และ f΄(a) ถูกคำนวณ ค่าที่พบของ a, f(a), f΄(a) จะถูกแทนที่ในสูตรสมการแทนเจนต์ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=1/x ที่จุด x=1 เพื่อแก้ปัญหาเราใช้อัลกอริทึม สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุด a=1 ค่าของฟังก์ชัน f(a)=-1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(x)=1/x 2 ณ จุด a=1 อนุพันธ์ f΄(a)= f΄(1)=1 จากข้อมูลที่ได้รับ สมการแทนเจนต์ y=-1+(x-1) หรือ y=x-2 จะถูกวาดขึ้นมา

ในตัวอย่างที่ 2 จำเป็นต้องค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x 3 +3x 2 -2x-2 เงื่อนไขหลักคือความขนานของเส้นแทนเจนต์และเส้นตรง y=-2x+1 อันดับแรก เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-2x+1 เนื่องจาก f΄(a)=-2 สำหรับเส้นตรงที่กำหนด ดังนั้น k=-2 สำหรับแทนเจนต์ที่ต้องการ เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 เมื่อรู้ว่า f΄(a)=-2 เราจะพบพิกัดของจุด 3a 2 +6a-2=-2 เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะได้ 1 =0 และ 2 =-2 เมื่อใช้พิกัดที่พบ คุณสามารถค้นหาสมการแทนเจนต์ได้โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี เราหาค่าของฟังก์ชันได้ที่จุด f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 ค่าของอนุพันธ์ ณ จุด f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 การแทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์เราได้สำหรับจุดแรก a 1 =0 y=-2x-2 และสำหรับจุดที่สอง 2 =-2 สมการแทนเจนต์ y=-2x-22

ตัวอย่างที่ 3 อธิบายองค์ประกอบของสมการแทนเจนต์สำหรับการวาดที่จุด (0;3) ไปยังกราฟของฟังก์ชัน y=√x การแก้ปัญหาทำได้โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี จุดสัมผัสกันมีพิกัด x=a โดยที่ a>0 ค่าของฟังก์ชันที่จุด f(a)=√x อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(х)=1/2√х ดังนั้น ณ จุดที่กำหนด f΄(а)=1/2√а แทนที่ค่าที่ได้รับทั้งหมดลงในสมการแทนเจนต์เราจะได้ y = √a + (x-a)/2√a การแปลงสมการ เราได้ y=x/2√а+√а/2 เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด (0;3) เราจะพบค่าของ a เราหาจาก 3=√a/2 ดังนั้น √a=6, a=36 เราพบสมการแทนเจนต์ y=x/12+3 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาและแทนเจนต์ที่ต้องการที่สร้างขึ้น

นักเรียนจะได้รับการเตือนถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Δy=µf΄(x)Δxและ f(x+Δx)-f(x)µf΄(x)Δx เมื่อหา x=a, x+Δx=x, Δx=x-a เราจะได้ f(x)- f(a)µf΄(a)(x-a) ดังนั้น f(x)µf(a)+ f΄( ก)(ก-ก)

ในตัวอย่างที่ 4 จำเป็นต้องค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ 2.003 6 เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชัน f(x)=x 6 ที่จุด x=2.003 เราจึงใช้สูตรที่รู้จักกันดี โดยหา f(x)=x 6, a=2, f(a )= ฉ(2)=64, ฉ ΄(x)=6x 5 อนุพันธ์ที่จุด f΄(2)=192 ดังนั้น 2.003 6 γ65-192·0.003 เมื่อคำนวณนิพจน์แล้ว เราจะได้ 2.003 6 mut64.576

แนะนำให้ใช้บทเรียนวิดีโอ "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" เพื่อใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมที่โรงเรียน สำหรับครูที่สอนทางไกล สื่อวิดีโอจะช่วยอธิบายหัวข้อได้ชัดเจนยิ่งขึ้น สามารถแนะนำวิดีโอให้นักเรียนทบทวนได้อย่างอิสระหากจำเป็นเพื่อเพิ่มความเข้าใจในหัวข้อนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การถอดรหัสข้อความ:

เรารู้ว่าถ้าจุด M (a; f(a)) (em ที่มีพิกัด a และ ef จาก a) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) และหาก ณ จุดนี้ เป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน abscissa ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f"(a) (eff ไพรม์จาก a)

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M (a; f(a)) เป็นที่รู้กันว่า f´(a) มีอยู่จริง เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนดกันดีกว่า สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด มีรูปแบบ y = kx+m (y เท่ากับ ka x บวก em) ดังนั้นงานคือหาค่าของ ค่าสัมประสิทธิ์ k และ m (ka และ em)

ค่าสัมประสิทธิ์มุม k= f"(a) ในการคำนวณค่า m เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดของ ชี้ M ไปที่สมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง : f(a) = ka+m จากจุดที่เราพบว่า m = f(a) - ka

ยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ ki และ m ลงในสมการของเส้นตรง:

y = kx+(ฉ(a) -ka);

y = ฉ(ก)+k(x-ก);

ย= ฉ(ก)+ ฉ"(ก) (x- ก). ( y เท่ากับ ef จากบวก ef ไพรม์จาก a, คูณด้วย x ลบ a)

เราได้สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x=a แล้ว

ถ้า พูดว่า y = x 2 และ x = -2 (เช่น a = -2) แล้ว f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x ซึ่งหมายถึง f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 (จากนั้น ef ของ a เท่ากับ 4 ซึ่งเป็น ef ของจำนวนเฉพาะของ x เท่ากับสอง x ซึ่งหมายถึง ef ไพรม์จาก a เท่ากับลบสี่)

แทนที่ค่าที่พบ a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ลงในสมการเราได้รับ: y = 4+(-4)(x+2) เช่น y = -4x -4.

(E เท่ากับลบสี่ x ลบสี่)

เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = tanx (y เท่ากับแทนเจนต์ x) ที่จุดกำเนิดกัน เรามี: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , ซึ่งหมายถึง f"(0) = l. แทนที่ค่าที่พบ a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ลงในสมการเราจะได้: y=x

ให้เราสรุปขั้นตอนของเราในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x โดยใช้อัลกอริทึม

อัลกอริทึมสำหรับการพัฒนาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x):

1) กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a

2) คำนวณ f(a)

3) ค้นหา f'(x) และคำนวณ f'(a)

4) แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), f'(a) ลงในสูตร ย= ฉ(ก)+ ฉ"(ก) (x- ก).

ตัวอย่างที่ 1 สร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = - in

จุด x = 1

สารละลาย. ลองใช้อัลกอริทึมโดยคำนึงถึงสิ่งนั้นในตัวอย่างนี้

2) ฉ(ก)=ฉ(1)=- =-1

3) ฉ'(x)=; ฉ'(ก)= ฉ'(1)= =1.

4) แทนที่ตัวเลขสามตัวที่พบ: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ลงในสูตร เราได้รับ: y = -1+(x-1), y = x-2 .

คำตอบ: y = x-2

ตัวอย่างที่ 2 รับฟังก์ชัน y = x 3 +3x 2 -2x-2. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ขนานกับเส้นตรง y = -2x +1

เมื่อใช้อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราจะพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2แต่ไม่ได้ระบุจุดแอบซิสซาของจุดสัมผัสกันตรงนี้

เรามาเริ่มคิดแบบนี้กันดีกว่า แทนเจนต์ที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y = -2x+1 และเส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด: k แทนเจนต์ = -2. ฮกคาส = f"(a) ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a ได้จากสมการ f ´(a) = -2

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน ย=ฉ(x):

ฉ"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;ฉ"(ก)= 3a 2 +6a-2

จากสมการ f"(a) = -2 เช่น 3เอ 2 +6เอ-2=-2 เราพบว่า 1 =0, 2 =-2 ซึ่งหมายความว่ามีแทนเจนต์สองตัวที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: อันหนึ่งอยู่ที่จุด Abscissa 0 และอีกอันอยู่ที่จุด Abscissa -2

ตอนนี้คุณสามารถปฏิบัติตามอัลกอริทึมได้แล้ว

1) ก 1 =0 และ 2 =-2

2) ฉ(ก 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; ฉ(ก 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) ฉ"(ก 1) = ฉ"(ก 2) = -2

4) แทนที่ค่า a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 ลงในสูตรเราจะได้:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2

แทนค่า a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 ลงในสูตรเราจะได้:

y=6-2(x+2), y=-2x+2

คำตอบ: y=-2x-2, y=-2x+2

ตัวอย่างที่ 3 จากจุด (0; 3) วาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = . สารละลาย. ลองใช้อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ โดยคำนึงถึงว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = . โปรดทราบว่าในตัวอย่างที่ 2 นี้ จะไม่มีการระบุค่า Abscissa ของจุดสัมผัสกันอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราปฏิบัติตามอัลกอริธึม

1) ให้ x = a เป็น abscissa ของจุดสัมผัส เห็นได้ชัดว่า a >0

3) ฉ'(x)=()'=; ฉ'(ก) =.

4) การแทนค่าของ a, f(a) = , f"(a) = ลงในสูตร

y=f (ก) +f "(ก) (x-a), เราได้รับ:

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์จะผ่านจุด (0; 3) แทนที่ค่า x = 0, y = 3 ลงในสมการเราจะได้: 3 = แล้ว =6, a =36

อย่างที่คุณเห็นในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริธึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัสกัน แทนค่า a =36 ลงในสมการ เราจะได้: y=+3

ในรูป รูปที่ 1 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน y = ถูกสร้างขึ้น และลากเส้นตรง y = +3

คำตอบ: y = +3

เรารู้ว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณนั้นใช้ได้: Δyf´(x)Δx (เดลต้า y มีค่าประมาณเท่ากับ eff ไพรม์ของ x คูณด้วยเดลต้า x)

หรือในรายละเอียดมากขึ้น f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff จาก x บวก เดลต้า x ลบ ef จาก x มีค่าประมาณเท่ากับ eff ไพรม์จาก x คูณ delta x)

เพื่อความสะดวกในการอภิปรายต่อไป ให้เราเปลี่ยนสัญลักษณ์:

แทนที่จะเป็น x เราจะเขียน ก,

แทนที่จะเป็น x+Δx เราจะเขียน x

แทนที่จะเป็น Δx เราจะเขียน x-a

จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนไว้ด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

ฉ(x)-f(ก)ฉ'(ก)(x-a)

ฉ(x)ฉ(ก)+ฉ'(ก)(x-a) (eff จาก x มีค่าประมาณเท่ากับ ef จาก a บวก ef ไพรม์จาก a คูณด้วยผลต่างระหว่าง x และ a)

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 2.003 6

สารละลาย. เรากำลังพูดถึงการค้นหาค่าของฟังก์ชัน y = x 6 ที่จุด x = 2.003 ลองใช้สูตร f(x)f(a)+f´(a)(x-a) โดยคำนึงถึงว่าในตัวอย่างนี้ f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 และด้วยเหตุนี้ f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192

เป็นผลให้เราได้รับ:

2.003 6 64+192· 0.003 เช่น 2.003 6 =64.576.

หากเราใช้เครื่องคิดเลขเราจะได้:

2,003 6 = 64,5781643...

อย่างที่คุณเห็นความแม่นยำในการประมาณนั้นค่อนข้างยอมรับได้

ประเภทงาน: 7

เงื่อนไข

เส้นตรง y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 จงหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่าน้อยกว่าศูนย์

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า Abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่านไป

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

คำตอบ

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-3x+4 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงต่อกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5 ซึ่งหมายถึง y" (x_0)=-2x_0+5 ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ -3 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน ดังนั้น เราจะพบค่า x_0 โดยที่ =- 2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

สารละลาย

จากรูป เราพบว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A(-6; 2) และ B(-1; 1) ให้เราแสดงด้วย C(-6; 1) จุดตัดกันของเส้นตรง x=-6 และ y=1 และด้วย \alpha มุม ABC (คุณจะเห็นในรูปว่ามันเป็นรูปเฉียบพลัน) จากนั้นเส้นตรง AB จะทำให้เกิดมุม \pi -\alpha โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งเป็นมุมป้าน

ดังที่ทราบกันดีว่า tg(\pi -\alpha) จะเป็นค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0 สังเกตว่า tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.จากที่นี่ เมื่อใช้สูตรการลด เราจะได้: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-2x-4 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 ค้นหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่ามากกว่าศูนย์

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 โดยที่

สัมผัสกับกราฟนี้

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งก็คือ y"(x_0)=32x_0+b=-2 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4 \end(กรณี)

เมื่อแก้ระบบ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=1 จากนั้น b=-2-32x_0=-34

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y=6

สารละลาย

เส้นตรง y=6 ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (จุดสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้วอยู่ 4 จุด

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=4x-6 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

สารละลาย

ความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=2x-4 ซึ่งหมายถึง y"(x_0)= 2x_0-4 ความชันของแทนเจนต์ y =4x-7 ที่ระบุในเงื่อนไขจะเท่ากับ 4 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ดังนั้น เราจึงหาค่า x_0 โดยที่ 2x_0-4 = 4 เรา ได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x_0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0

สารละลาย

จากรูป เราพบว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A(1; 1) และ B(5; 4) ให้เราแสดงด้วยจุดตัดของเส้นตรง x=5 และ y=1 ด้วย C(5; 1) และด้วย \alpha มุม BAC (คุณจะเห็นในรูปว่ามันเป็นรูปเฉียบพลัน) จากนั้นเส้นตรง AB จะสร้างมุม \อัลฟา โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox

พิจารณารูปต่อไปนี้:

มันแสดงให้เห็นฟังก์ชันบางอย่าง y = f(x) ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด a จุด M ที่มีพิกัด (a; f(a)) ถูกทำเครื่องหมายไว้ MR เส้นตัดจะถูกลากผ่านจุดใดก็ได้ P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ของกราฟ

ถ้าตอนนี้จุด P ถูกเลื่อนไปตามกราฟไปยังจุด M แล้วเส้นตรง MR จะหมุนรอบจุด M ในกรณีนี้ ∆x จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากตรงนี้เราสามารถกำหนดนิยามของแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันได้

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

ค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดตอน เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ควรเข้าใจว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x0 หมายความว่า ณ จุดนี้ของกราฟ แทนเจนต์ให้เขา.

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดนี้ f’(x0) นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x0 คือเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ผ่านจุด (x0;f(x0)) และมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม f’(x0)

สมการแทนเจนต์

ลองหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด A(x0; f(x0)) สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k มีรูปแบบดังนี้:

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ความชันของเราเท่ากับอนุพันธ์ ฉ'(x0)จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = ฉ'(x0)*x + ข.

ทีนี้ลองคำนวณค่าของ b กัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันผ่านจุด A

f(x0) = f’(x0)*x0 + b จากตรงนี้เราเขียน b แล้วได้ b = f(x0) - f’(x0)*x0

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการแทนเจนต์:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0)

y = ฉ(x0) + ฉ’(x0)*(x - x0)

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 ที่จุด x = 2

2. ฉ(x0) = ฉ(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. แทนค่าที่ได้รับลงในสูตรแทนเจนต์เราจะได้: y = 1 + 4*(x - 2) เมื่อเปิดวงเล็บแล้วนำคำที่คล้ายกันมาให้เรา: y = 4*x - 7

คำตอบ: y = 4*x - 7

รูปแบบทั่วไปสำหรับการเขียนสมการแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = f(x):

1. กำหนด x0

2. คำนวณ f(x0)

3. คำนวณ f’(x)