Priama úmernosť a jej graf. Priama úmernosť a jej graf Štúdium funkcie priamej úmernosti $f(x)=kx$ a jej graf

Ciele lekcie: V tejto lekcii sa zoznámite so špeciálnym typom funkčného vzťahu – priamou úmernosťou – a jeho grafom.

Priama úmerná závislosť

Pozrime sa na niekoľko príkladov závislostí.

Príklad 1

Ak predpokladáme, že sa chodec pohybuje priemernou rýchlosťou 3,5 km/h, potom dĺžka cesty, ktorú prejde, závisí od času stráveného na ceste:

za hodinu prejde chodec 3,5 km
za dve hodiny – 7 km
za 3,5 hodiny – 12,25 km
pozadu t hodiny – 3.5 t km

V tomto prípade môžeme závislosť dĺžky prejdenej cesty od času zapísať nasledovne: S(t) = 3,5 t.

t- nezávislá premenná, S– závislá premenná (funkcia). Čím dlhší čas, tým dlhšia cesta a naopak – čím kratší čas, tým kratšia cesta. Pre každú hodnotu je premenná nezávislá t môžete nájsť pomer dĺžky cesty k času. Ako viete, bude sa rovnať rýchlosti, teda v tomto prípade 3,5.

Príklad 2

Je známe, že počas svojho života včela, ktorá hľadá potravu, vykoná asi 400 letov, pričom preletí priemerne 800 km. Z jedného letu sa vracia so 70 mg nektáru. Na získanie 1 gramu medu potrebuje včela urobiť v priemere 75 takýchto preletov. Za svoj život tak vyprodukuje len asi 5 gramov medu. Vypočítajme si, koľko medu vyprodukujú za svoj život:

10 včiel - 50 gramov
100 včiel - 500 gramov
280 včiel - 1400 gramov
1350 včiel – 6750 gramov
X včely - 5 gramov

Môžeme teda napísať rovnicu, ktorá vyjadruje množstvo medu vyprodukovaného včelami na počet včiel: P(x) = 5x.

X– nezávislá premenná (argument), R– závislá premenná (funkcia ). Čím viac včiel, tým viac medu. Tu, ako v predchádzajúcom príklade, nájdete pomer množstva medu k počtu včiel, ktorý sa bude rovnať 5.

Príklad 3

Nech je funkcia daná tabuľkou:

Nájdite pomer hodnoty závisle premennej k hodnote nezávislej premennej pre každý pár ( X; pri) a vložte tento vzťah do tabuľky:

Vidíme, že pre každú dvojicu hodnôt ( X; pri), takže našu funkciu môžeme napísať takto: r = –4X berúc do úvahy doménu definície tejto funkcie, teda pre tieto hodnoty X, ktoré sú uvedené v tabuľke.

Všimnite si, že pre pár (0; 0) bude táto závislosť tiež pravdivá, pretože pri(0) = 4 ∙ 0 = 0, takže tabuľka v skutočnosti definuje funkciu r = –4X berúc do úvahy doménu definície tejto funkcie.

V prvom aj druhom príklade je viditeľný určitý vzorec: čím väčšia je hodnota nezávislej premennej (argument), tým väčšia je hodnota závisle premennej (funkcie). A naopak: čím menšia je hodnota nezávislej premennej (argument), tým menšia je hodnota závisle premennej (funkcie). V tomto prípade zostáva pomer hodnoty závislej premennej k hodnote argumentu v každom prípade rovnaký.

Táto závislosť sa nazýva priama úmernosť a konštantná hodnota, ktorá má pomer hodnoty funkcie k hodnote argumentu – faktor proporcionality.

Poznamenávame však, že vzor: čím viac X, viac pri a naopak, čím menej X, menej pri v tomto type závislosti bude splnená len vtedy, keď koeficient proporcionality bude kladné číslo. Preto je dôležitejším ukazovateľom, že závislosť je priamo úmerná stálosť pomeru hodnôt závislej premennej k nezávislej, teda prítomnosť faktor proporcionality.

V príklade 3 sa zaoberáme aj priamou úmernosťou, tentokrát so záporným koeficientom, ktorý sa rovná -4.

Napríklad medzi závislosťami vyjadrenými vzorcami:

1. I = 1,6 p
2. S = -12t + 2
3. r = –4k 3
4. v = 13 m
5. y = 25x – 2
6. P = 2,5a

Priama úmernosť je 1., 4. a 6. závislosť.

Vymyslite 3 príklady závislostí, ktoré sú priamo úmerné a prediskutujte svoje príklady vo video miestnosti.

Oboznámte sa s iným prístupom k určovaniu priamej úmernosti prácou s výukovým video materiálom

Graf priamej úmernosti

Pred štúdiom ďalšej časti lekcie pracujte s materiálmi elektronického vzdelávacieho zdroja « ».

Z materiálov Elektronického vzdelávacieho zdroja ste sa dozvedeli, že graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom súradníc. Presvedčíme sa o tom vykreslením funkcií pri = 1,5X A pri = –0,5X na rovnakej súradnicovej rovine.

Vytvorme tabuľku hodnôt pre každú funkciu:

pri = 1,5X

Výsledné body nakreslíme na rovinu súradníc:

Je vidieť, že body, ktoré sme označili, v skutočnosti ležia na priamke prechádzajúcej pôvodu. Teraz spojme tieto body priamkou.

Teraz urobme to isté s funkciou pri = –0,5X.

Spojme všetky získané body čiarou:

Ak chcete podrobnejšie študovať materiál súvisiaci s grafom priamej úmernosti, pracujte s materiálmi z fragmentu video lekcie"Priama úmernosť a jej graf."

Teraz pracujte s materiálmi elektronického vzdelávacieho zdroja «

>>Matematika: Priama úmernosť a jej graf

Priama úmernosť a jej graf

Medzi lineárnymi funkciami y = kx + m sa rozlišuje najmä prípad, keď m = 0; v tomto prípade má tvar y = kx a nazýva sa priama úmernosť. Tento názov sa vysvetľuje skutočnosťou, že dve veličiny y a x sa nazývajú priamo úmerné, ak sa ich pomer rovná špecifickému
iné číslo ako nula. Tu sa toto číslo k nazýva koeficient proporcionality.

Mnoho reálnych situácií je modelovaných pomocou priamej úmernosti.

Napríklad dráha s a čas t pri konštantnej rýchlosti 20 km/h súvisia závislosťou s = 20t; ide o priamu úmernosť, pričom k = 20.

Ďalší príklad:

náklady y a počet x bochníkov chleba za cenu 5 rubľov. pre bochník sú spojené závislosťou y ​​= 5x; ide o priamu úmernosť, kde k = 5.

Dôkaz. Realizovať ho budeme v dvoch etapách.
1. y = kx je špeciálny prípad lineárnej funkcie a graf lineárnej funkcie je priamka; Označme to I.
2. Dvojica x = 0, y = 0 spĺňa rovnicu y - kx, a preto bod (0; 0) patrí do grafu rovnice y = kx, teda priamka I.

V dôsledku toho priamka I prechádza počiatkom. Veta je dokázaná.

Musíte vedieť prejsť nielen z analytického modelu y = kx do geometrického (graf priamej úmernosti), ale aj z geometrického modelov na analytické. Uvažujme napríklad priamku na rovine súradníc xOy znázornenú na obrázku 50. Je to graf priamej úmernosti, stačí nájsť hodnotu koeficientu k. Od y potom stačí zobrať ľubovoľný bod na priamke a nájsť pomer súradnice tohto bodu k jeho úsečke. Priamka prechádza bodom P(3; 6) a pre tento bod platí: To znamená k = 2, a preto daná priamka slúži ako graf priamej úmernosti y = 2x.

V dôsledku toho sa koeficient k v zápise lineárnej funkcie y = kx + m nazýva aj koeficient sklonu. Ak k>0, potom priamka y = kx + m zviera ostrý uhol s kladným smerom osi x (obr. 49, a), a ak k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Trikhleb Daniil, žiak 7. ročníka

oboznámenie sa s priamou úmernosťou a koeficientom priamej úmernosti (zavedenie pojmu uhlový koeficient“);

vytvorenie grafu priamej úmernosti;

zohľadnenie relatívnej polohy grafov priamej úmernosti a lineárnych funkcií s identickými uhlovými koeficientmi.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Priama úmernosť a jej graf

Aký je argument a hodnota funkcie? Ktorá premenná sa nazýva nezávislá alebo závislá? Čo je funkcia? PREHĽAD Čo je definičný obor funkcie?

Metódy špecifikácie funkcie. Analytické (pomocou vzorca) Grafické (pomocou grafu) Tabuľkové (pomocou tabuľky)

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a ordináty sú zodpovedajúce hodnoty funkcie. ROZVRH FUNKCIÍ

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

DOPLŇTE ÚLOHU Zostrojte graf funkcie y = 2 x +1, kde 0 ≤ x ≤ 4. Urobte si stôl. Pomocou grafu nájdite hodnotu funkcie pri x=2,5. Pri akej hodnote argumentu sa funkčná hodnota rovná 8?

Definícia Priama úmernosť je funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom v tvare y = k x, kde x je nezávislá premenná, k je nenulové číslo. (k-koeficient priamej úmernosti) Priama úmernosť

8 Graf priamej úmernosti - priamka prechádzajúca počiatkom súradníc (bod O(0,0)) Na zostrojenie grafu funkcie y= kx stačia dva body, z ktorých jeden je O (0,0) Pre k > 0 je graf umiestnený v súradnicových štvrtiach I a III. Pri k

Grafy funkcií priamej úmernosti y x k>0 k>0 k

Úloha Určte, ktorý z grafov zobrazuje funkciu priamej úmernosti.

Úloha Určte, ktorý funkčný graf je znázornený na obrázku. Vyberte si vzorec z troch ponúkaných.

Ústna práca. Môže byť graf funkcie daný vzorcom y = k x, kde k

Určte, ktorý z bodov A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) patrí do grafu priamej úmernosti daného vzorcom y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - nesprávne. Bod A nepatrí do grafu funkcie y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - správne. Bod B patrí do grafu funkcie y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - nesprávne Bod C nepatrí do grafu funkcie y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - pravda. Bod E patrí do grafu funkcie y=5x

TEST 1 možnosť 2 možnosť č. Ktoré z funkcií daných vzorcom sú priamo úmerné? A. y = 5 x B. y = x 2/8 C. y = 7 x (x-1) D. y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7 (x + 9) D. y = 10x

č. 2. Napíšte počty riadkov y = kx, kde k > 0 1 možnosť k

č. 3. Určte, ktorý z bodov patrí do grafu priamej úmernosti, daný vzorcom Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 možnosť C (1, -1), E (0,0 ) Možnosť 2

y =5x y =10x III A VI a IV E 1 2 3 1 2 3 č Správna odpoveď Správna odpoveď č.

Splňte úlohu: Ukážte schematicky, ako sa nachádza graf funkcie danej vzorcom: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

ÚLOHA Z nasledujúcich grafov vyberte iba grafy priamej úmernosti.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funkcie y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Vyberte funkcie tvaru y = k x (priama úmernosť) a zapíšte ich

Funkcie priamej úmernosti Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Lineárne funkcie, ktoré nie sú funkciami priamej úmernosti 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Domáca úloha: odsek 15 str. 65-67, č. 307; č. 308.

Zopakujme si to ešte raz. Aké nové veci ste sa naučili? Čo si sa naučil? Čo bolo pre vás obzvlášť ťažké?

Lekcia sa mi páčila a téma je pochopená: Lekcia sa mi páčila, ale stále nerozumiem všetkému: lekcia sa mi nepáčila a téma nie je jasná.

Zostavme graf funkcie danej vzorcom y = 0,5x.

1. Doménou tejto funkcie je množina všetkých čísel.

2. Poďme nájsť nejaké zodpovedajúce hodnoty premenných X A pri.

Ak x = -4, potom y = -2.
Ak x = -3, potom y = -1,5.
Ak x = -2, potom y = -1.
Ak x = -1, potom y = -0,5.
Ak x = 0, potom y = 0.
Ak x = 1, potom y = 0,5.
Ak x = 2, potom y = 1.
Ak x = 3, potom y = 1,5.
Ak x = 4, potom y = 2.

3. Označme body v súradnicovej rovine, ktorých súradnice sme určili v kroku 2. Všimnite si, že zostrojené body patria určitej priamke.

4. Určme, či ďalšie body na grafe funkcie patria do tejto čiary. Na to nájdeme súradnice niekoľkých ďalších bodov na grafe.

Ak x = -3,5, potom y = -1,75.
Ak x = -2,5, potom y = -1,25.
Ak x = -1,5, potom y = -0,75.
Ak x = -0,5, potom y = -0,25.
Ak x = 0,5, potom y = 0,25.
Ak x = 1,5, potom y = 0,75.
Ak x = 2,5, potom y = 1,25.
Ak x = 3,5, potom y = 1,75.

Po zostrojení nových bodov na grafe funkcie si všimneme, že patria do tej istej priamky.

Ak znížime krok našich hodnôt (vezmite si napríklad hodnoty X cez 0,1; cez 0,01 atď.), dostaneme ďalšie body grafu patriace do tej istej čiary a umiestnené čoraz bližšie k sebe od ťahania. Množina všetkých bodov na grafe danej funkcie je priamka prechádzajúca počiatkom.

Teda graf funkcie danej vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, je priamka prechádzajúca počiatkom.

Ak je definičný obor funkcie daný vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, nepozostáva zo všetkých čísel, potom je jeho graf podmnožinou bodov na priamke (napríklad lúč, úsečka, jednotlivé body).

Na zostrojenie priamky stačí poznať polohu jej dvoch bodov. Preto graf priamej úmernosti definovanej na množine všetkých čísel možno zostrojiť pomocou ľubovoľných dvoch jej bodov (vhodné je brať začiatok súradníc ako jeden z nich).

Povedzme napríklad, že chcete vykresliť funkciu zadanú vzorcom y = -1,5x. Vyberme si nejakú hodnotu X, nerovná sa 0 a vypočítajte zodpovedajúcu hodnotu pri.

Ak x = 2, potom y = -3.

Označme bod na súradnicovej rovine súradnicami (2; -3) . Nakreslíme priamku cez tento bod a počiatok. Táto priamka je požadovaný graf.

Na základe tohto príkladu sa to dá dokázať Akákoľvek priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a nezhodujúca sa s osami je grafom priamej úmernosti.

Dôkaz.

Nech je daná určitá priamka, ktorá prechádza počiatkom súradníc a nezhoduje sa s osami. Zoberme si na ňom bod s osou 1. Označme súradnicu tohto bodu k. Je zrejmé, že k ≠ 0. Dokážme, že táto priamka je grafom priamej úmernosti s koeficientom k.

Zo vzorca y = kh totiž vyplýva, že ak x = 0, potom y = 0, ak x = 1, potom y = k, t.j. graf funkcie daný vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, je priamka prechádzajúca bodmi (0; 0) a (1; k).

Pretože cez dva body možno nakresliť iba jednu priamku, potom sa táto priamka zhoduje s grafom funkcie danej vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, čo bolo potrebné dokázať.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.