Formula schemei de diferențe de ordinul trei. Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor cu diferențe parțiale de tip hiperbolic (folosind exemplul ecuației de transport). Formularea problemei. Algoritmul metodei

Grilă și șablon. Pentru majoritatea schemelor de diferențe, nodurile grilei se află la intersecția unor drepte (în probleme multidimensionale - hiperplane), desenate fie într-un sistem de coordonate natural, fie într-o regiune special selectată ca formă. G.

Dacă una dintre variabile are o semnificație fizică a timpului t, atunci grila este de obicei construită astfel încât printre liniile (sau hiperplanurile) sale să existe linii t = t m. Un set de noduri de grilă situate pe o astfel de linie sau hiperplan se numește strat.

Pe fiecare strat sunt identificate direcții de-a lungul cărora se modifică doar o coordonată spațială. De exemplu, pentru variabile X, y, t sunt directii X (t = const, y = const) și direcția y (t = const, X = const).

La compilarea schemelor de diferențe (26.2) și (26.4), am folosit același tip de aproximare a diferențelor derivatelor la toate nodurile interne ale regiunii. Cu alte cuvinte, la scrierea fiecărei ecuații de diferență în jurul unui anumit nod de grilă, s-a luat același număr de noduri, formând o configurație strict definită, pe care am numit-o șablonul acestei scheme de diferențe (vezi Fig. 26.2).

Definiție. Nodurile în care schema de diferențe este scrisă pe șablon sunt numite regulate, iar restul sunt numite neregulate.

Neregulate sunt de obicei nodurile de graniță și uneori și nodurile situate în apropierea graniței (astfel încât modelul luat în apropierea acestui nod depășește limita regiunii).

Elaborarea unei scheme de diferențe începe cu alegerea unui șablon. Șablonul nu definește întotdeauna schema de diferențe fără ambiguitate, dar îi influențează semnificativ proprietățile; de exemplu, mai târziu vom vedea că în șablonul Fig. 26.2 b este imposibil să se creeze o schemă de diferență bună pentru problema conducției căldurii (26.1). Fiecare tip de ecuații și probleme de valoare la limită necesită propriul șablon.

Scheme de diferențe explicite și implicite

Să discutăm problema calculării efective a soluției diferenței. Majoritatea problemelor de fizică duc la ecuații care conțin timpul ca una dintre variabile. Pentru astfel de ecuații, se pune de obicei o problemă cu valori la limită mixtă, un caz tipic al căruia este problema conducției căldurii (26.1).

Pentru astfel de probleme este folosit un algoritm de calcul strat cu strat. Să o considerăm folosind exemplul schemelor (26.2) și (26.4).

În schema (26.4) pe stratul original m= 0 solutia este cunoscuta datorita conditiei initiale. Sa punem m= 0 în ecuațiile (26.4). Apoi pentru fiecare valoare de indice n ecuația conține o necunoscută ; de aici putem determina la
Valori Și sunt determinate de condițiile la limită (26.3). Astfel, se calculează valorile din primul strat. Folosindu-le, soluția de pe al doilea strat este calculată într-un mod similar etc.

Schema (26.4) din fiecare ecuație conține o singură valoare a funcției la stratul următor; această valoare este ușor de exprimat în mod explicit prin valorile cunoscute ale funcției de pe stratul original, motiv pentru care astfel de scheme sunt numite explicite.

Schema (26.2) conține în fiecare ecuație mai multe valori necunoscute ale funcției pe un nou strat; Astfel de scheme se numesc implicite. Pentru a calcula efectiv soluția, rescriem schema (26.2) ținând cont de condiția la limită (26.3) în următoarea formă

(26.5)

La fiecare strat, schema (26.5) este un sistem de ecuații liniare pentru determinarea mărimilor
; părțile din dreapta acestor ecuații sunt cunoscute deoarece conțin valorile soluției din stratul anterior. Matricea sistemului liniar este tridiagonală, iar soluția poate fi calculată prin baleiaj algebric.

Algoritmul considerat acum este destul de tipic. Este folosit în multe scheme de diferențe implicite pentru probleme unidimensionale și multidimensionale. În continuare vom face în loc de index m folosiți frecvent abrevieri

În această notație, schemele de diferențe explicite și implicite iau următoarea formă, respectiv:

Rezidual. Să considerăm o ecuație diferențială operator de formă generală (nu neapărat liniară)

Au = f, sau Au – f = 0.

Operator de înlocuire A operator de diferență A h, partea dreapta f– unele funcții de grilă , și soluția exactă u– soluția diferențelor y, să scriem schema diferențelor

sau
. (26.6)

Dacă înlocuim soluția exactă uîn relația (26.6), atunci soluția, în general, nu va satisface această relație
. mărimea

numit rezidual.

Reziduul este de obicei estimat folosind o expansiune a seriei Taylor. De exemplu, să găsim reziduul schemei de diferențe explicite (26.4) pentru ecuația de căldură (26.1a). Să scriem această ecuație în formă canonică

Pentru că în acest caz
Acea

Să extindem soluția folosind formula Taylor lângă nod ( X n , t m), presupunând existența unor derivate a patra continue în raport cu Xși al doilea în t

(26.7)

Unde

Înlocuind aceste expansiuni în expresia reziduului și neglijând, din cauza continuității derivatelor, diferența de cantități
de la ( X n , t m) vom găsi

(26.8)

Astfel, discrepanța (26.8) tinde spre zero ca
Și
Apropierea schemei de diferențe față de problema inițială este determinată de mărimea reziduului. Dacă discrepanța tinde spre zero la hȘi tinzând spre zero, atunci spunem că o astfel de schemă de diferențe aproximează o problemă diferențială. Aproximarea are R al-lea ordin dacă
.

Expresia (26.8) dă discrepanța numai la nodurile obișnuite ale grilei. Comparând (26.3) și (26.1b), putem găsi cu ușurință discrepanța în nodurile neregulate

Nota 1. Rezolvarea problemei conducției căldurii cu un coeficient constant (26.1) în regiune este diferențiabilă continuu de un număr infinit de ori. Totuși, luând în considerare derivatele a cincea sau mai multe în expansiunea seriei Taylor (26.7) se va adăuga la reziduul (26.8) numai termeni de ordin mai mare de micșor în Și h, adică în esență, nu va schimba tipul de reziduu.

Nota 2. Fie, din anumite motive, soluția problemei inițiale să fie diferențiabilă de un număr mic de ori; de exemplu, în probleme cu un coeficient de conductivitate termică variabil care este neted, dar nu are o derivată a doua, soluția are doar derivate a treia continue. Apoi, în expansiunea seriei Taylor (26.7) ultimii termeni vor fi
necompensându-se unul pe celălalt. Aceasta va duce la apariția în restul (26.8) a unui termen de tipul
acestea. discrepanța va fi de un ordin mai mic al micii decât pentru soluțiile de patru ori diferențiabile continuu.

Nota 3. După ce am transformat expresia reziduală ținând cont de faptul că funcția inclusă în ea u(X,t) este o soluție exactă a ecuației originale și relațiile sunt satisfăcute pentru aceasta

Înlocuind această expresie în (26.8), obținem

Dacă alegem pași în spațiu și timp astfel încât
atunci termenul conducător al reziduului va dispărea și vor rămâne doar termeni de ordin superior de micime Și h(pe care l-am omis). Această tehnică este utilizată atunci când se construiesc scheme de diferențe cu precizie sporită.

Schema Courant-Isakson-Ries(KIR), care uneori este asociat și cu numele S.K. Godunov, se dovedește când, . Ordinea sa de aproximare este . Schema KIR este stabilă condiționat, adică când condiţia Courant este îndeplinită . Să prezentăm ecuațiile diferențelor pentru schema Courant-Isakson-Ries în punctele interne ale domeniului de calcul:

Aceste scheme, numite și schema cu diferențe upwind (în literatura engleză - upwind) pot fi scrise sub forma

Avantajul lor este o relatare mai precisă a zonei de dependență a soluției. Dacă introducem notaţia

atunci ambele scheme pot fi scrise în următoarele forme:

(forma de curgere a ecuației diferenței);

(aici este evidentiat termenul cu a doua diferenta, ceea ce confera stabilitate schemei);

(ecuație în incremente finite).

Să luăm în considerare și metoda coeficienților nesiguri pentru a construi o schemă de diferențe, colțul din dreapta al primului ordin de precizie pentru ecuația de transport

Schema poate fi reprezentată sub formă

Schema Courant-Isakson-Rees este strâns legată de metodele numerice ale caracteristicilor. Să facem o scurtă descriere a ideii unor astfel de metode.

Ultimele două scheme obţinute (cu semne diferite ale ratei de transfer) pot fi interpretate după cum urmează. Să construim o caracteristică care trece prin nodul (t n + 1, x m), valoarea la care trebuie determinată și care intersectează stratul t n în punctul . Pentru certitudine, presupunem că rata de transfer c este pozitivă.

Efectuând interpolarea liniară între nodurile x m - 1 și x m de pe stratul inferior în timp, obținem

Apoi, transferăm valoarea u n (x") de-a lungul caracteristicii fără a trece la stratul superior t n + 1, adică punem . Este firesc să considerăm ultima valoare ca o soluție aproximativă ecuație omogenă transfer. În acest caz

sau, trecând din nou de la numărul Courant la parametrii grilei,

acestea. folosind o altă metodă am ajuns la schema deja cunoscută „colțul din stânga”, stabilă pentru . Când punctul de intersecție al caracteristicii care părăsește nodul (t n + 1, x m, cu stratul n în timp este situat în stânga nodului (t n, x m - 1). Astfel, pentru a găsi o soluție, se nu mai este interpolare, ci extrapolare, care se dovedește a fi instabilă.

Instabilitatea schemei „colțul din dreapta” pentru c > 0 este, de asemenea, evidentă. Pentru a demonstra acest lucru, se poate folosi fie caracteristica spectrală, fie condiția Courant, Friedrichs și Levy. Un raționament similar poate fi efectuat și pentru cazul c< 0 и схемы "правый уголок".

Instabil circuit în patru puncte se dovedește când , ordinea sa de aproximare. Ecuațiile grilei pentru schema de diferențe vor avea următoarea formă:

Schema Lax-Wendroff apare când . Ordinea de aproximare a schemei Lax-Wendroff este . Schema este stabilă în condiția Courant .

Această schemă poate fi obținută fie prin metoda coeficienților nedeterminați, fie prin luarea în considerare mai precisă a termenului conducător al erorii de aproximare. Să luăm în considerare procesul de derivare a schemei Lax-Wendroff mai detaliat. Efectuând un studiu al schemei anterioare de aproximare în patru puncte (și studiul este destul de elementar și se reduce la extinderea funcției de proiecție pe grila a soluției exacte a problemei diferențiale într-o serie Taylor), obținem pentru principalul termenul erorii

La derivarea expresiei pentru termenul principal al erorii de aproximare, a fost folosită o consecință a ecuației de transport diferențial inițial

Care se obține prin diferențierea ecuației inițiale (3.3) mai întâi în raport cu timpul t, apoi în raport cu coordonata x și scăzând una din alta relațiile rezultate.

În continuare, înlocuirea derivata a douaîn al doilea termen din partea dreaptă cu o precizie de O(h 2), obținem o nouă schemă de diferențe care aproximează originalul ecuație diferențială cu precizie . Ecuațiile grilei pentru schema Lax-Wendroff la nodurile interne ale grilelor de calcul sunt

Schemă implicită în șase puncte apare la q = 0; când ordinea ei de aproximare , la .

Exemplul 1. Schema de diferențe pentru ecuația Poisson de tip eliptic.

Să luăm în considerare construcția unei scheme de diferențe pentru prima problemă a valorii la limită pentru ecuație A u = f(x,y)într-o zonă care este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Fie asociat acestui dreptunghi cu o grilă uniformă cu pași h xȘi h y .

Problema valorii la limită

poate fi scris sub forma de operator:

Rețineți că această intrare include și condiții la limită.

Înlocuind operatorii diferențiali cu operatorii diferențiali, obținem ecuațiile

care aproximează ecuația diferențială inițială cu ordinul doi 0(h 2 + h 2) precizie și operați în toate punctele interne ale regiunii.

Analogii diferiți ai condițiilor la limită vor avea forma

Aproximarea diferențelor a ecuației diferențiale împreună cu analogii de diferență ai condițiilor la limită formează o schemă de diferențe pentru ecuația Poisson.

Prin analogie cu problema valorii la limită, schema de diferențe poate fi scrisă sub formă de operator:

unde în L/ sunt incluse atât ecuația diferenței, cât și condiția limită a diferenței:

Ecuația diferențelor raportează valorile funcției grilei la cinci puncte formând model de diferență pentru această ecuație. În acest caz, acest model este numit cruce. Se pot imagina alte modele pentru această ecuație.

Vom obține o soluție aproximativă a problemei valorii la limită diferențială dacă determinăm valorile funcției grilă la toate nodurile interne ale domeniului. Pentru a face acest lucru, este necesar să rezolvați împreună un sistem de ecuații liniare algebrice, a cărui dimensiune este egală cu numărul de noduri interne ale regiunii. În acest caz, vorbim despre o schemă de diferențe implicite. Orice valoare care ne interesează Uij poate fi determinată numai din rezolvarea întregii probleme a diferențelor.

În ceea ce privește sistemul de ecuații, notăm două circumstanțe.

• 1. Sistemul are o dimensiune foarte mare (M - 1) x (N- 1), și metodele tradiționale de soluție exactă (de exemplu, metoda Gauss) necesită pentru rezolvare un număr de operații algebrice proporționale cu puterea a treia a dimensiunii sistemului.
• 2. Matricea sistemului are multe elemente zero (matrice liberă). Această împrejurare face posibilă dezvoltarea unor metode economice pentru soluții aproximative.

Formularea considerată a problemei diferențelor este tipică pentru ecuațiile eliptice. În dinamica gazelor, aceasta este forma ecuației pentru funcția de flux sau pentru potențialul de viteză. În alte secțiuni ne vom uita la metode eficiente de rezolvare a unor astfel de scheme de diferențe.

Orez. 2.8.

PRI M 2. Schema de diferențe pentru cea mai simplă ecuație parabolică (conductivitate termică nestaționară într-o tijă de unitate de lungime).

Luați în considerare următoarea problemă:

Să observăm că în cazul unei ecuații parabolice avem o regiune deschisă. La construirea unei scheme de diferență, apar mai multe opțiuni pentru legătura dintre derivatele diferențelor în spațiu și timp.

Să integrăm ecuația într-un singur pas de timp:

În funcție de formula de cuadratură pe care o folosim pentru a calcula integrala din partea dreaptă, vom obține diferite scheme de diferențe (Fig. 2.9).

Prin raportarea derivatei timp diferență cu derivata spațială definită la P-al-lea strat de timp, obținem

„schemă de diferențe” explicită

Acest lucru este echivalent cu un calcul aproximativ al integralei din partea dreaptă a (2.12), dar folosind metoda dreptunghiurilor din stânga.

Orez. 2.9. Grilă și șabloane pentru ecuația căldurii: A - zonă și grilă; b- șablon de schemă explicită; V- șablon de schemă implicită; G- șablon al unei familii de circuite în șase puncte; d- șablon de diagramă

"saritura"

Formula de mai sus conține și o metodă de rezolvare a ecuațiilor grilei:

Valoarea funcției grilă la stratul de timp următor

se determină prin valorile cunoscute ale gf în cea precedentă. Deplasarea secvenţială în straturi de la starea iniţială al lor, 0) = y(x), soluția poate fi găsită în întregul domeniu de calcul. Modelul de diferență pentru această schemă este prezentat în Fig. 2.9, b.

Estimarea integralei prin valoarea integrandului de pe strat P+ 1, folosim un șablon de diferență precum Fig. 2.9, b, iar diferența analogă a ecuației diferențiale ia forma

Pentru a găsi valorile funcției grilă la următorul strat de timp, atunci când se utilizează această schemă de diferențe, este necesar să se rezolve împreună atâtea ecuații de forma (2.14) câte noduri interne sunt situate pe P - 1-1 strat temporar. Ținând cont de condițiile la limită = / n+1, Mg Г +1 = m n+1, sistemul ne permite să construim o soluție pe următorul strat de timp cu valori cunoscute ale funcției grilă pe cel precedent. Trecând de la valorile inițiale în straturi, pe fiecare dintre care este necesar să se rezolve un sistem de ecuații, este posibil să se construiască o soluție aproximativă în întregul domeniu.

Schema diferențelor luate în considerare este un exemplu schema diferențelor implicite, se numește o schemă de anticipare sau o schemă pur implicită.

Modelul de diferență în șase puncte generează o familie de scheme de diferențe, dintre care cele două anterioare sunt cazuri speciale:

La a = 0 avem o schemă explicită, cu a = I- implicit cu avans, cu A> 0 - implicit. La A - 0,5 îl obținem pe cel simetric, larg cunoscut în practica de calcul Crank Nicholson diagrama.

Schemele de mai sus, desigur, nu epuizează întreaga varietate de scheme de diferențe bazate pe aproximarea diferenței de operatori diferențiali. Iată un exemplu de schemă de diferență explicită bazată pe centrarea derivată în timp, o schemă care utilizează o funcție grilă pe trei straturi de timp:

Modelul de diferență captează trei straturi de timp. Schema are un al doilea ordin de aproximare atât în ​​timp cât și în variabila spațială și este explicită. Această schemă are o serie de dezavantaje semnificative, dintre care majoritatea pot fi eliminate prin înlocuire Și” în aproximarea derivatei spațiale cu valoarea medie pe două straturi de timp:

Schema explicită cu trei straturi astfel obținută

numit Schema Dufortpe-Frankel, iar absența unei valori a funcției de grilă în nodul central explică denumirea de „leapfrog”, care este uneori folosită pentru scheme de acest fel.

Folosind exemple, s-a arătat că pentru aceeași problemă a valorii la limită este posibil să se scrie mai multe scheme diferite de diferențe, de ex. Cercetătorul are la dispoziție o selecție destul de mare. Ce condiții trebuie să îndeplinească schema diferențelor pentru ca soluția diferențelor să corespundă cu soluția problemei diferențiale inițiale? Această problemă va fi discutată în secțiunea următoare.

Folosind un șablon pentru fiecare nod intern al regiunii soluției, ecuația de căldură este aproximată

De aici găsim:

Folosind condițiile inițiale și la limită, valorile funcției grilă sunt găsite la toate nodurile la nivelul de timp zero.

Apoi folosind relațiile

valorile acestor funcții se găsesc în toate nodurile interne la primul nivel de timp, după care găsim valoarea la nodurile limită

Ca rezultat, găsim valoarea caracteristicilor în toate nodurile la primul nivel de timp. După aceea, folosind aceste relații găsim toate celelalte valori etc.

În schema de diferențe luată în considerare, valoarea funcției dorite la următorul nivel de timp este găsită direct, folosind în mod explicit formula

Prin urmare, schema de diferențe luată în considerare folosind acest model este numită schema de diferență explicită . Precizia sa este de ordinul mărimii.

Această schemă de diferențe este ușor de utilizat, dar are un dezavantaj semnificativ. Se pare că schema diferențelor explicite are o solutie stabila doar in cazul in care, dacă condiția este îndeplinită :

Schema diferențelor explicite este stabil conditionat . Dacă condiția nu este îndeplinită, erorile mici de calcul, de exemplu, asociate cu rotunjirea datelor computerului, duc la o schimbare bruscă a soluției. Soluția devine inutilizabilă. Această condiție impune restricții foarte stricte asupra pasului de timp, care pot fi inacceptabile din cauza creșterii semnificative a timpului de calcul pentru rezolvarea acestei probleme.

Luați în considerare o schemă de diferențe folosind un model diferit

Metoda 36

Schema diferențelor implicite pentru ecuația căldurii.

Să înlocuim în ecuația conducției căldurii:

Această relație este scrisă pentru fiecare nod intern la nivel de timp și este completată de două relații care determină valorile la nodurile limită. Rezultatul este un sistem de ecuații pentru determinarea valorilor necunoscute ale funcției la nivel de timp.

Schema de rezolvare a problemei este următoarea:

Folosind condițiile inițiale și la limită, valoarea funcției este găsită la nivelul de timp zero. Apoi, folosind aceste relații și condiții la limită, se construiește un sistem de ecuații algebrice liniare pentru a găsi valoarea funcției la primul nivel de timp, după care sistemul este construit din nou folosind aceste relații și se găsesc valorile. la al doilea nivel de timp etc.

Diferență față de schema explicită- valorile la nivelul următor de timp nu sunt calculate direct folosind o formulă gata făcută, ci sunt găsite prin rezolvarea unui sistem de ecuații, adică valorile necunoscutelor se găsesc implicit prin rezolvarea SLAE. Prin urmare, schema diferențelor se numește implicit. Spre deosebire de explicit, implicit este absolut stabil.

Subiectul nr. 9

Probleme de optimizare.

Aceste probleme sunt printre cele mai importante probleme din matematica aplicată. Optimizare înseamnă alegerea celei mai bune opțiuni dintre toate soluțiile posibile la o anumită problemă. Pentru a face acest lucru, este necesar să se formuleze problema care se rezolvă ca una matematică, dând un sens cantitativ conceptelor de mai bine sau de rău. De obicei, în timpul procesului de soluție este necesar să se găsească valorile optimizate ale parametrilor. Acești parametri sunt numiți proiecta. Și numărul de parametri de proiectare determină dimensiunea problemei.

O evaluare cantitativă a soluției se face folosind o anumită funcție în funcție de parametrii de proiectare. Această funcție este numită ţintă . Este construit în așa fel încât cea mai optimă valoare să corespundă maximului (minimului).

- funcție obiectivă.

Cele mai simple cazuri sunt atunci când funcția obiectiv depinde de un parametru și este specificată printr-o formulă explicită. Pot exista mai multe funcții țintă.

De exemplu, la proiectarea unei aeronave, este necesar să se asigure simultan fiabilitate maximă, greutate și cost minim etc. În astfel de cazuri, intrați sistem prioritar . Fiecărei funcție obiectiv i se atribuie un anumit multiplicator țintă, rezultând o funcție obiectiv generalizată (funcția de compromis).

De obicei, soluția optimă este limitată de un număr de condiții legate de funcția fizică a problemei. Aceste condiții pot fi sub formă de egalități sau inegalități

Teoria și metodele de rezolvare a problemelor de optimizare în prezența restricțiilor fac obiectul cercetării într-una din ramurile matematicii aplicate - programare matematică.

Dacă funcția obiectiv este liniară în raport cu parametrii de proiectare și restricțiile impuse parametrilor sunt de asemenea liniare, atunci problema de programare liniara . Să luăm în considerare metode pentru rezolvarea unei probleme de optimizare unidimensională.

Este necesar să se găsească valorile la care funcția obiectiv are o valoare maximă. Dacă funcția obiectiv este specificată analitic și poate fi găsită o expresie pentru derivatele sale, atunci soluția optimă va fi atinsă fie la capetele segmentului, fie în punctele în care derivata dispare. Acestea sunt punctele critice și . Este necesar să găsiți valorile funcției obiectiv în toate punctele critice și să selectați cel maxim.

În general, pentru a găsi o soluție sunt folosite diverse metode de căutare. Ca urmare, segmentul care conține soluția optimă se îngustează.

Să ne uităm la câteva dintre metodele de căutare. Să presupunem că funcția obiectiv pe interval are un maxim. În acest caz, împărțind cu puncte nodale, al căror număr este , funcția obiectiv este calculată la aceste puncte nodale. Să presupunem că valoarea maximă a funcției obiectiv va fi la nod , apoi putem presupune că soluția optimă este situată pe interval . Ca urmare, segmentul care conține soluția optimă a fost îngustat. Noul segment rezultat este din nou împărțit în părți etc. Cu fiecare partiție, segmentul care conține soluția optimă este redus cu un factor.

Să presupunem că s-au efectuat pași de îngustare. Apoi segmentul original este redus cu un factor.

Adică o facem în timp ce rulează (*)

În acest caz, se calculează funcția obiectiv.

Este necesar să găsiți o valoare astfel încât expresia (*) să fie obținută la cel mai mic

numărul de calcule.

Metoda 37

Metoda semidiviziunii.

Să luăm în considerare metoda de căutare pentru . Se numește metoda de înjumătățire, deoarece la fiecare pas segmentul care conține soluția optimă este înjumătățit.

Eficiența căutării poate fi mărită prin selectarea specială a punctelor în care funcția obiectiv este calculată la un anumit pas de îngustare.

Metoda 38

Metoda secțiunii de aur.

O modalitate eficientă este metoda proporției de aur. Secțiunea de aur a unui segment este punctul pentru care condiția este îndeplinită

Există două astfel de puncte: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Segmentul este împărțit la puncte și apoi se găsește un punct la care funcția obiectiv este maximă. Ca rezultat, se găsește un segment modificat cu o lungime de 0,618( - ).

O valoare a secțiunii de aur pentru segmentul îngustat este deja cunoscută, așa că la fiecare pas ulterior este necesar să se calculeze funcția obiectiv doar la un punct (al doilea punct al secțiunii de aur).

Metoda 39

Metoda de urcare (coborare) coordonată cu coordonată.

Să trecem la considerarea problemei de optimizare în cazul în care funcția obiectiv depinde de mai multe valori ale parametrilor. Cea mai simplă metodă de căutare este metoda ascensiunii (coborârii) coordonată cu coordonată.

Matematică și analiză matematică

Rezolvarea schemei de diferențe se numește soluție aproximativă a problemei diferențiale. Caracteristicile schemei de diferențe implicite Să considerăm o ecuație diferențială unidimensională de tip parabolic cu condiții inițiale și la limită: 4.7 se scrie la n 1 pas de timp pentru comoditatea prezentării ulterioare a metodei și algoritmului de rezolvare a schemei diferențelor implicite 4 . În secțiunea Ordinea de aproximare a schemei de diferențe, s-a remarcat că schema de diferențe 4.

Întrebarea 8: Scheme de diferențe: scheme explicite și implicite:

Schema de diferențeacesta este un sistem finit de ecuații algebrice, pus în corespondență cu o problemă diferențială care conțineecuație diferențialăși condiții suplimentare (de exemplucondiţii la limită şi/sau distribuţie iniţială). Astfel, schemele de diferențe sunt folosite pentru a reduce o problemă diferențială, care are o natură continuă, la un sistem finit de ecuații, a cărui soluție numerică este în principiu posibilă pe computere. Ecuații algebrice puse în corespondențăecuație diferențialăsunt obținute prin aplicaremetoda diferențelor, ceea ce deosebește teoria schemelor de diferență de altelemetode numericerezolvarea de probleme diferențiale (de exemplu, metode de proiecție, cum ar fi metoda Galerkin).

Rezolvarea schemei de diferențe se numește soluție aproximativă a problemei diferențiale.

Caracteristicile implicite schema de diferente

Luați în considerare un unidimensional ecuație diferențialătip parabolic Cu :

Să scriem pentru ecuație (4.5) schema diferențelor implicite:

Hai să scriem:

Aproximarea condițiilor la limită (4.7) se scrie ca ( n metoda si algoritm soluții la schema diferențelor implicite (4.6).
la capitolul "„s-a remarcat că schema diferențelor (4.6) are aceeașiordinea de aproximare, precum și schema de diferențe explicite corespunzătoare(4.2) și anume:

la capitolul " Dovada stabilității absolute a schemei diferențelor implicite„s-a dovedit că schema diferențelor implicite (4.6) este absolut stabilă, adică indiferent de alegerea intervalului de împărțire pringrila de diferente(sau, cu alte cuvinte, alegerea unui pas de calcul bazat pe variabile independente)eroare de rezolvareschema diferențelor implicite nu va crește în timpul procesului de calcul. Rețineți că acesta este cu siguranță un avantaj al schemei diferențelor implicite (4.6) în comparație cu schema diferențelor explicite(4.2) , care este stabil doar dacă condiția este îndeplinită(3.12) . În același timp, schema diferențelor explicite are un aspect destul de simplu metoda de rezolvare , iar metoda de rezolvare a schemei de diferențe implicite (4.6), numitămetoda de măturare, mai complex. Inainte sa plecila prezentarea metodei sweep, necesar deriva o serie de relatii, folosit prin această metodă.

Caracteristicile explicit schema de diferente.

Luați în considerare un unidimensional ecuație diferențialătip parabolic Cu condiţiile iniţiale şi la limită:

Să scriem pentru ecuație(4.1) schema de diferență explicită:

Să-l notăm aproximarea condițiilor inițiale și la limită:

Aproximarea condițiilor la limită (4.3) se scrie ca ( n + 1) al-lea pas de timp pentru comoditatea prezentării ulterioare metoda si algoritmul soluții la schema diferențelor explicite (4.2).
la capitolul "Ordinea de aproximare a schemei de diferențe„s-a dovedit că schema diferențelor (4.2) areordinea de aproximare:

la capitolul " Dovada stabilității condiționate a unei scheme de diferențe explicite„S-a primit condiția durabilitate schema de diferență dată, care impune restricții asupra alegerii intervalului de împărțire la crearegrila de diferente(sau, cu alte cuvinte, o restricție privind alegerea etapei de calcul pentru una dintre variabilele independente):

Rețineți că acesta, desigur, este un dezavantaj al schemei de diferențe explicite (4.2). În același timp, are un aspect destul de simplu metoda de rezolvare.