Turunan dari bilangan negatif. Kesalahan umum saat menghitung turunan. Turunan dari jumlah dan selisih

Rumus turunan jumlah dan selisih fungsi diberikan. Sebuah bukti diberikan dan contoh penerapan rumus ini dibahas secara rinci.

Rumus turunan jumlah (selisih) fungsi

Misalkan dan menjadi fungsi dari variabel bebas x. Biarkan mereka terdiferensiasi dalam beberapa rentang nilai variabel x. Kemudian, di kawasan ini, turunan dari jumlah (selisih) fungsi-fungsi tersebut sama dengan jumlah (selisih) turunan dari fungsi-fungsi tersebut:
(1) .

Bukti

Karena fungsi dan terdiferensiasi di , maka terdapat limit-limit berikut yang merupakan turunan dari fungsi-fungsi tersebut:
;
.

Perhatikan fungsi y dari variabel x, yang merupakan jumlah dari fungsi dan:
.
Mari kita terapkan definisi turunan.


.

Jadi, kita telah membuktikan bahwa turunan dari jumlah fungsi sama dengan jumlah turunannya:
.

Dengan cara yang sama, Anda dapat menunjukkan bahwa turunan selisih fungsi sama dengan selisih turunan:
.
Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara lain, dengan menggunakan aturan yang baru saja terbukti untuk membedakan jumlah dan :
.

Kedua aturan ini dapat dituliskan menjadi satu persamaan:
(1) .

Konsekuensi

Di atas kita melihat aturan untuk mencari turunan dari jumlah dua fungsi. Aturan ini dapat digeneralisasikan ke jumlah dan selisih sejumlah fungsi terdiferensiasi.

Turunan dari jumlah (selisih) sejumlah fungsi terdiferensiasi yang terbatas sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Dengan memperhatikan aturan penempatan konstanta di luar tanda turunannya, aturan ini dapat ditulis sebagai berikut:
.
Atau dalam bentuk yang diperluas:
(2) .
Di sini - konstanta;
- fungsi terdiferensiasi dari variabel x.

Bukti penyelidikan

Ketika n = 2 , kita terapkan aturan (1) dan aturan menempatkan konstanta di luar tanda turunannya. Kita punya:
.
Ketika n = 3 terapkan rumus (1) untuk fungsi dan :
.

Untuk bilangan sembarang n, kami menerapkan metode induksi. Misalkan persamaan (2) terpenuhi untuk . Maka untuk kita memiliki:

.
Artinya, dari asumsi bahwa persamaan (2) terpenuhi maka persamaan (2) terpenuhi untuk . Dan karena persamaan (2) benar untuk , maka berlaku untuk semua .
Investigasi telah terbukti.

Contoh

Contoh 1

Temukan turunannya
.

Membuka tanda kurung. Untuk melakukan ini kami menerapkan rumusnya
.
Kami juga menggunakan properti fungsi pangkat.
;

;
.

Kami menerapkan rumus (2) untuk turunan jumlah dan selisih fungsi.
.

Dari tabel turunan kita temukan:
.
Kemudian
;
;
.

Akhirnya kami memiliki:
.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi terhadap variabel x
.

Mari kita turunkan akarnya menjadi fungsi pangkat.
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi jumlah dan selisih.
.
Kami menerapkan rumus dari tabel turunan.
;
;
;
;
;
.
Mari kita gantikan:
.
Kami membawa pecahan ke penyebut yang sama.
.
Di sini kami memperhitungkan bahwa fungsi yang diberikan didefinisikan pada .
.

Dalam pelajaran ini kita akan belajar menerapkan rumus dan aturan diferensiasi.

Contoh. Temukan turunan fungsi.

1. kamu=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Menerapkan aturan SAYA, rumus 4, 2 dan 1. Kita mendapatkan:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. kamu=3x 6 -2x+5. Kami menyelesaikannya dengan cara yang sama, menggunakan rumus dan rumus yang sama 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Menerapkan aturan SAYA, rumus 3, 5 Dan 6 Dan 1.

Menerapkan aturan IV, rumus 5 Dan 1 .

Pada contoh kelima, sesuai aturan SAYA turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari turunannya, dan kita baru saja menemukan turunan suku pertama (contoh 4 ), oleh karena itu, kita akan mencari turunannya ke-2 Dan ke-3 istilah, dan untuk tanggal 1 summand kita bisa langsung menuliskan hasilnya.

Mari kita bedakan ke-2 Dan ke-3 ketentuan sesuai rumus 4 . Untuk melakukan ini, kita mengubah akar pangkat ketiga dan keempat dalam penyebut menjadi pangkat dengan eksponen negatif, dan kemudian, menurut 4 rumusnya, kita menemukan turunan pangkat.

Lihatlah contoh ini dan hasilnya. Apakah Anda menangkap polanya? Bagus. Artinya kita punya rumus baru dan bisa menambahkannya ke tabel turunan kita.

Mari kita selesaikan contoh keenam dan mendapatkan rumus lainnya.

Mari kita gunakan aturannya IV dan rumus 4 . Mari kita kurangi pecahan yang dihasilkan.

Mari kita lihat fungsi ini dan turunannya. Anda tentunya sudah memahami polanya dan siap menyebutkan rumusnya:

Pelajari formula baru!

Contoh.

1. Temukan pertambahan argumen dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal argumennya sama dengan 4 , dan baru - 4,01 .

Larutan.

Nilai argumen baru x=x 0 +Δx. Mari kita substitusikan datanya: 4,01=4+Δx, maka argumennya bertambah Δх=4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan selisih antara nilai baru dan nilai sebelumnya dari fungsi tersebut, yaitu. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Karena kita mempunyai fungsi kamu=x2, Itu kamu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Menjawab: peningkatan argumen Δх=0,01; peningkatan fungsi kamu=0,0801.

Peningkatan fungsi dapat ditemukan secara berbeda: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi kamu=f(x) pada intinya x 0, Jika f "(x 0) = 1.

Larutan.

Nilai turunannya pada titik singgung x 0 dan merupakan nilai garis singgung sudut singgung (arti geometri turunannya). Kita punya: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Karena tg45°=1.

Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox sama dengan 45°.

3. Turunkan rumus turunan fungsi tersebut kamu=xn.

Diferensiasi adalah tindakan mencari turunan suatu fungsi.

Saat mencari turunan, gunakan rumus yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, sama seperti kita menurunkan rumus derajat turunan: (x n)" = nx n-1.

Ini adalah rumusnya.

Tabel turunan Akan lebih mudah menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:

1. Turunan suatu besaran tetap adalah nol.

2. X bilangan prima sama dengan satu.

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.

4. Turunan suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen derajat tersebut dengan derajat yang basisnya sama, tetapi eksponennya lebih kecil satu.

5. Turunan suatu akar sama dengan satu dibagi dua akar yang sama besar.

6. Turunan satu dibagi x sama dengan dikurangi satu dibagi x kuadrat.

7. Turunan sinus sama dengan cosinus.

8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.

9. Turunan garis singgung sama dengan satu dibagi kuadrat cosinus.

10. Turunan kotangen sama dengan minus satu dibagi kuadrat sinus.

Kami mengajar aturan diferensiasi.

1. Turunan suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar turunan suku-suku tersebut.

2. Turunan suatu hasil kali sama dengan hasil kali turunan faktor pertama dan faktor kedua ditambah hasil kali faktor pertama dan turunan faktor kedua.

3. Turunan dari “y” dibagi “ve” sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah “y prima dikalikan “ve” dikurangi “y dikalikan ve prime”, dan penyebutnya adalah “ve kuadrat”.

4. Kasus khusus dari rumus 3.

Mari kita belajar bersama!

Halaman 1 dari 1 1

Pembuktian dan penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma basis a. Contoh perhitungan turunan ln 2x, ln 3x dan ln nx. Pembuktian rumus turunan logaritma orde ke-n menggunakan metode induksi matematika.

Lihat juga: Logaritma - properti, rumus, grafik
Logaritma natural - properti, rumus, grafik

Penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma ke basis a

Turunan logaritma natural dari x sama dengan satu dibagi x:
(1) (lnx)′ =.

Turunan logaritma ke basis a sama dengan satu dibagi variabel x dikalikan logaritma natural dari a:
(2) (log ax)′ =.

Bukti

Misalkan ada bilangan positif yang tidak sama dengan satu. Pertimbangkan suatu fungsi yang bergantung pada variabel x, yang merupakan logaritma ke basis:
.
Fungsi ini didefinisikan pada . Mari kita cari turunannya terhadap variabel x. Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut:
(3) .

Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk melakukan ini kita perlu mengetahui fakta-fakta berikut:
A) Sifat-sifat logaritma. Kita membutuhkan rumus berikut:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu:
(7) .
Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
DI DALAM) Arti dari batas luar biasa kedua:
(8) .

Mari kita terapkan fakta-fakta ini pada batas kemampuan kita. Pertama kita mengubah ekspresi aljabar
.
Untuk melakukan ini, kami menerapkan properti (4) dan (5).

.

Mari kita gunakan properti (7) dan limit luar biasa kedua (8):
.

Dan terakhir, kami menerapkan properti (6):
.
Logaritma ke basis e ditelepon logaritma natural. Ini ditetapkan sebagai berikut:
.
Kemudian ;
.

Jadi, kami memperoleh rumus (2) untuk turunan logaritma.

Turunan dari logaritma natural

Sekali lagi kita tuliskan rumus turunan logaritma ke basis a:
.
Rumus ini memiliki bentuk paling sederhana untuk logaritma natural, yaitu , . Kemudian
(1) .

Karena kesederhanaannya ini, logaritma natural sangat banyak digunakan dalam analisis matematika dan cabang matematika lain yang berkaitan dengan kalkulus diferensial. Fungsi logaritma dengan basis lain dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan properti (6):
.

Turunan logaritma terhadap basis dapat dicari dari rumus (1), jika kita mengeluarkan konstanta dari tanda diferensiasi:
.

Cara lain untuk membuktikan turunan logaritma

Di sini kita berasumsi bahwa kita mengetahui rumus turunan eksponensial:
(9) .
Kemudian kita dapat menurunkan rumus turunan logaritma natural, mengingat logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial.

Mari kita buktikan rumus turunan logaritma natural, menerapkan rumus turunan fungsi invers:
.
Dalam kasus kami.
.
Fungsi kebalikan dari logaritma natural adalah eksponensial:
.
Turunannya ditentukan dengan rumus (9). Variabel dapat dilambangkan dengan huruf apa saja. Pada rumus (9), ganti variabel x dengan y:
.
Kemudian
.
Dari dulu

Rumusnya terbukti. Sekarang kita buktikan rumus turunan logaritma natural menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks
.
. Karena fungsinya dan saling berbanding terbalik, maka
(10) .
Mari kita bedakan persamaan ini terhadap variabel x:
.
Turunan dari x sama dengan satu:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.
Di Sini . Mari kita substitusikan ke (10):
.

Dari sini

Contoh Temukan turunan dari dalam 2x, Dan dalam 3x.

lnnx Fungsi aslinya memiliki bentuk serupa. Oleh karena itu, kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut y = log nx . Kemudian kita substitusikan n = 2 dan n = 3. Dan, dengan demikian, kita memperoleh rumus turunan dari dalam 2x dalam 2x, .

Dan
Fungsi aslinya memiliki bentuk serupa. Oleh karena itu, kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut .
Jadi, kita mencari turunan dari fungsi tersebut
1) Fungsi bergantung pada variabel: ;
2) Fungsi bergantung pada variabel: .
Maka fungsi aslinya terdiri dari fungsi dan :
.

Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel x:
.
Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel:
.
Kami menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.
.
Di sini kami mengaturnya.

Jadi kami menemukan:
(11) .
Kita melihat bahwa turunannya tidak bergantung pada n. Hasil ini cukup wajar jika kita mengubah fungsi aslinya menggunakan rumus logaritma hasil kali:
.
- ini adalah sebuah konstanta. Turunannya adalah nol. Kemudian, menurut aturan diferensiasi jumlah, kita mendapatkan:
.

; ; .

Turunan dari logaritma modulus x

Mari kita cari turunan dari fungsi lain yang sangat penting - logaritma natural dari modulus x:
(12) .

Mari kita pertimbangkan kasusnya. Maka fungsinya terlihat seperti:
.
Turunannya ditentukan dengan rumus (1):
.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasusnya. Maka fungsinya terlihat seperti:
,
Di mana .
Namun kami juga menemukan turunan dari fungsi ini pada contoh di atas. Itu tidak bergantung pada n dan sama dengan
.
Kemudian
.

Kami menggabungkan kedua kasus ini menjadi satu rumus:
.

Oleh karena itu, agar logaritma berbasis a, kita mempunyai:
.

Turunan dari orde yang lebih tinggi dari logaritma natural

Pertimbangkan fungsinya
.
Kami menemukan turunan orde pertama:
(13) .

Mari kita cari turunan orde kedua:
.
Mari kita cari turunan orde ketiga:
.
Mari kita cari turunan orde keempat:
.

Anda dapat melihat bahwa turunan orde ke-n berbentuk:
(14) .
Mari kita buktikan dengan induksi matematika.

Bukti

Mari kita substitusikan nilai n = 1 ke dalam rumus (14):
.
Sejak , maka ketika n = 1 , rumus (14) valid.

Mari kita asumsikan rumus (14) terpenuhi untuk n = k. Mari kita buktikan bahwa ini berarti rumus tersebut valid untuk n = k + 1 .

Memang, untuk n = k kita punya:
.
Diferensialkan terhadap variabel x:

.
Jadi kami mendapat:
.
Rumus ini sama dengan rumus (14) untuk n = k + 1 . Jadi, dari asumsi rumus (14) valid untuk n = k, maka rumus (14) valid untuk n = k + 1 .

Oleh karena itu, rumus (14), untuk turunan orde ke-n, berlaku untuk sembarang n.

Turunan dari logaritma orde tinggi ke basis a

Untuk mencari turunan ke-n dari suatu logaritma ke basis a, Anda perlu menyatakannya dalam logaritma natural:
.
Menerapkan rumus (14), kita menemukan turunan ke-n:
.

Turunan

Menghitung turunan suatu fungsi matematika (diferensiasi) adalah masalah yang sangat umum ketika menyelesaikan matematika tingkat tinggi. Untuk fungsi matematika sederhana (dasar), hal ini cukup sederhana, karena tabel turunan fungsi dasar telah lama disusun dan mudah diakses. Namun, menemukan turunan fungsi matematika yang kompleks bukanlah tugas yang mudah dan seringkali membutuhkan banyak usaha dan waktu.

Temukan turunannya secara online

Layanan online kami memungkinkan Anda menghilangkan perhitungan panjang yang tidak berguna dan temukan turunan online dalam satu saat. Apalagi menggunakan layanan kami yang terdapat di website www.situs, Anda dapat menghitung turunan online baik dari fungsi dasar maupun dari fungsi yang sangat kompleks yang tidak memiliki solusi analitis. Keunggulan utama situs kami dibandingkan situs lain adalah: 1) tidak ada persyaratan ketat untuk metode memasukkan fungsi matematika untuk menghitung turunan (misalnya, saat memasukkan fungsi sinus x, Anda dapat memasukkannya sebagai sin x atau sin (x) atau sin[x], dst. d.); 2) perhitungan derivatif online terjadi secara instan di on line dan tentu saja gratis; 3) kami mengizinkan Anda mencari turunan suatu fungsi ada pesanan, mengubah urutan turunannya sangat mudah dan dimengerti; 4) kami mengizinkan Anda menemukan turunan dari hampir semua fungsi matematika secara online, bahkan fungsi yang sangat kompleks yang tidak dapat diselesaikan oleh layanan lain. Respon yang diberikan selalu akurat dan tidak boleh mengandung kesalahan.

Menggunakan server kami akan memungkinkan Anda untuk 1) menghitung turunan secara online untuk Anda, menghilangkan perhitungan yang memakan waktu dan membosankan di mana Anda dapat membuat kesalahan atau salah ketik; 2) jika Anda menghitung sendiri turunan suatu fungsi matematika, maka kami memberi Anda kesempatan untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan perhitungan layanan kami dan memastikan bahwa solusinya benar atau menemukan kesalahan yang merayap masuk; 3) gunakan layanan kami daripada menggunakan tabel turunan fungsi sederhana, yang seringkali membutuhkan waktu untuk menemukan fungsi yang diinginkan.

Yang Anda perlukan hanyalah melakukannya temukan turunan online- adalah dengan menggunakan layanan kami

Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometri dan fisis turunan

Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a,b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen berarti perbedaan maknanya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.

Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.

Arti fisis dari turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:

Aturan satu: tetapkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi

Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan suatu fungsi:

Larutan:

Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.

Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:

Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.

Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.