Pojam funkcije mnogih varijabli

Neka postoji n-varijabli i svakom x 1, x 2 ... x n iz određenog skupa x dodijeljena je definicija. broja Z, tada je funkcija Z = f (x 1, x 2 ... x n) mnogih varijabli dana na skupu x.

X – područje definiranja funkcije

x 1, x 2 ... x n – nezavisna varijabla (argumenti)

Z – funkcija Primjer: Z=P x 2 1 *x 2 (Zapremina cilindra)

Razmotrimo Z=f(x;y) – funkciju 2 varijable (x 1, x 2 zamijenjeno s x,y). Rezultati se analogno prenose na druge funkcije mnogih varijabli. Područje za određivanje funkcije 2 varijable je cijeli kabel (oh) ili njegov dio. Broj vrijednosti funkcije 2 varijable je površina u 3-dimenzionalnom prostoru.

Tehnike konstruiranja grafova: - Posmatrajmo presjek plohe u kvadratima || koordinatni kvadrati.

Primjer: x = x 0, zn. kvadrat X || 0uz y = y 0 0hz Tip funkcije: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Na primjer: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Oko parabole (centar(0,1)

Limes i kontinuitet funkcija dviju varijabli

Neka je zadano Z=f(x;y), tada je A granica funkcije u t.(x 0 ,y 0), ako je za bilo koji proizvoljno mali skup. broj E>0 je pozitivan broj b>0, koji za sve x, y zadovoljava |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) je kontinuiran u t (x 0 ,y 0) ako: - je definiran u ovom t.; - ima kraj. ograničenje na x, teži prema x 0 i y prema y 0; - ova granica = vrijednost

funkcije u t (x 0 ,y 0), tj. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Ako je funkcija neprekidna u svakoj t. mn-va X, onda je na ovom području kontinuirano

Diferencijalna funkcija, njeno geomsko značenje. Primjena diferencijala u približnim vrijednostima.

dy=f’(x)∆x – diferencijalna funkcija

dy=dx, tj. dy=f ’(x)dx ako je y=x

S geološkog gledišta, diferencijal funkcije je priraštaj ordinate tangente povučene na graf funkcije u točki s apscisom x 0

Dif-l se koristi za izračunavanje pribl. vrijednosti funkcije prema formuli: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Što je ∆x bliže xu, rezultat je točniji

Parcijalne derivacije prvog i drugog reda

Izvod prvog reda (koji se naziva parcijalni)

A. Neka su x, y inkrementi nezavisnih varijabli x i y u nekoj točki iz područja X. Tada se vrijednost jednaka z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) naziva ukupnim prirast u točki x 0, y 0. Ako fiksiramo varijablu x i damo prirast y varijabli y, tada dobivamo zu = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Slično se određuje parcijalni izvod varijable y, tj.

Parcijalna derivacija funkcije 2 varijable nalazi se prema istim pravilima kao i za funkcije jedne varijable.

Razlika je u tome što se kod diferenciranja funkcije s obzirom na varijablu x, y smatra konst, a kod diferenciranja s obzirom na y, x se smatra konst.

Izolirane const povezane su s funkcijom pomoću operacija zbrajanja/oduzimanja.

Vezane const povezane su s funkcijom operacijama množenja/dijeljenja.

Derivacija izolirane const = 0

1.4.Potpuna diferencijalna funkcija 2 varijable i njezina primjena

Neka je z = f(x,y), tada

tz = - zove se puni prirast

Parcijalna derivacija 2. reda

Za kontinuirane funkcije 2 varijable, mješovite parcijalne derivacije 2. reda se podudaraju.

Primjena parcijalnih derivacija na određivanje parcijalnih derivacija max i min funkcija naziva se ekstremima.

A. Točke se nazivaju max ili min z = f(x,y) ako postoje neki segmenti takvi da za sve x i y iz ove okoline f(x,y)

T. Ako je zadana točka ekstrema funkcije 2 varijable, tada je vrijednost parcijalnih derivacija u toj točki jednaka 0, tj. ,

Točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda nazivaju se stacionarnim ili kritičnim.

Stoga se za pronalaženje točaka ekstrema funkcije 2 varijable koriste dovoljni uvjeti ekstremuma.

Neka je funkcija z = f(x,y) dvostruko diferencijabilna, a stacionarna točka,

1) i maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Puni diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

A. Neka je funkcija y = f(x) definirana u određenoj okolini u točkama. Kaže se da je funkcija f(x) diferencijabilna u točki ako je njezin prirast u toj točki , gdje je predstavljen u obliku (1)

Gdje je A konstantna vrijednost neovisna o , u fiksnoj točki x, i infinitezimalna je u . Relativno linearna funkcija A naziva se diferencijalom funkcije f(x) u točki i označava se df() ili dy.

Stoga se izraz (1) može napisati kao ().

Diferencijal funkcije u izrazu (1) ima oblik dy = A. Kao i svaka linearna funkcija, definirana je za bilo koju vrijednost dok se prirast funkcije mora uzeti u obzir samo za one kojima + pripada domeni definicije funkcije f(x).

Radi lakšeg pisanja diferencijala, inkrement je označen s dx i naziva se diferencijal nezavisne varijable x. Stoga se diferencijal piše kao dy = Adx.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u svakoj točki određenog intervala, tada je njezin diferencijal funkcija dviju varijabli - točke x i varijable dx:

T. Da bi funkcija y = g(x) bila diferencijabilna u nekoj točki, potrebno je i dovoljno da ima derivaciju u toj točki, a

(*)Dokaz. Nužnost.

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u točki, tj. . Zatim

Dakle, derivacija f’() postoji i jednaka je A. Stoga je dy = f’()dx

Adekvatnost.

Neka postoji derivacija f’(), tj. = f'(). Tada je krivulja y = f(x) tangentni segment. Da biste izračunali vrijednost funkcije u točki x, uzmite točku u njenom susjedstvu, tako da nije teško pronaći f() i f’()/

Neka je zadana funkcija. Budući da su x i y neovisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga zadržava svoju vrijednost. Povećajmo neovisnu varijablu x dok vrijednost y ostaje nepromijenjena. Tada će z dobiti inkrement, koji se naziva djelomični inkrement od z u odnosu na x i označava se . Dakle, .

Slično, dobivamo djelomični prirast od z preko y: .

Ukupni prirast funkcije z određen je jednakošću .

Ako postoji granica, ona se naziva parcijalna derivacija funkcije u točki u odnosu na varijablu x i označava se jednim od simbola:

.

Parcijalne derivacije u odnosu na x u točki obično se označavaju simbolima .

Parcijalna derivacija s obzirom na varijablu y definira se i označava na sličan način:

Dakle, parcijalna derivacija funkcije nekoliko (dvije, tri ili više) varijabli definirana je kao derivacija funkcije jedne od tih varijabli, pod uvjetom da su vrijednosti preostalih neovisnih varijabli konstantne. Stoga se parcijalne derivacije funkcije nalaze pomoću formula i pravila za izračunavanje derivacija funkcije jedne varijable (u ovom slučaju x ili y se smatraju konstantnom vrijednošću).

Parcijalne derivacije nazivamo parcijalnim derivacijama prvog reda. Mogu se smatrati funkcijama . Ove funkcije mogu imati parcijalne derivacije, koje se nazivaju parcijalne derivacije drugog reda. Oni su definirani i označeni na sljedeći način:

; ;

; .

Diferencijali 1. i 2. reda funkcije dviju varijabli.

Ukupni diferencijal funkcije (formula 2.5) naziva se diferencijal prvog reda.

Formula za izračun ukupnog diferencijala je sljedeća:

(2.5) ili , Gdje ,

parcijalni diferencijali funkcije.

Neka funkcija ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda. Diferencijal drugog reda određen je formulom. Pronađimo ga:

Odavde: . Simbolično je napisano ovako:

.

NEODREĐENI INTEGRAL.

Antiderivacija funkcije, neodređeni integral, svojstva.

Poziva se funkcija F(x). antiderivat za zadanu funkciju f(x), ako je F"(x)=f(x), ili, što je isto, ako je dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Ako funkcija f(x), definirana u nekom intervalu (X) konačne ili beskonačne duljine, ima jednu antiderivaciju, F(x), tada također ima beskonačno mnogo antiderivacija; svi su oni sadržani u izrazu F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Skup svih antiderivacija za danu funkciju f(x), definiranih u određenom intervalu ili na segmentu konačne ili beskonačne duljine, naziva se neodređeni integral iz funkcije f(x) [ili iz izraza f(x)dx ] i označava se simbolom .

Ako je F(x) jedna od antiderivacija za f(x), tada prema teoremu antiderivacije

, gdje je C proizvoljna konstanta.

Prema definiciji antiderivacije, F"(x)=f(x) i, prema tome, dF(x)=f(x) dx. U formuli (7.1), f(x) se naziva funkcija integranda, a f( x) dx se naziva izraz integranda.

Svaki parcijalni izvod (po x i po g) funkcije dviju varijabli je obična derivacija funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:

(Gdje g= konst),

(Gdje x= konst).

Stoga se parcijalne derivacije izračunavaju korištenjem formule i pravila za izračunavanje derivacija funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu varijablu konstantu.

Ako vam za to nije potrebna analiza primjera i minimum teorije, već samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako vam je teško usredotočiti se na praćenje gdje je konstanta u funkciji, tada u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati parcijalnu derivaciju kao obična derivacija funkcije jedne varijable. Samo se trebate sjetiti vratiti konstantu (varijablu s fiksnom vrijednošću) na njezino mjesto kada završite konačni dizajn.

Gore opisano svojstvo parcijalnih derivacija proizlazi iz definicije parcijalnih derivacija, koja se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali s donjom definicijom, možete otvoriti teoretsku referencu.

Pojam neprekidnosti funkcije z= f(x, g) u točki definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, g) nazivamo kontinuiranim u točki ako

Razlika (2) naziva se ukupnim prirastom funkcije z(dobiva se kao rezultat povećanja obaju argumenata).

Neka je zadana funkcija z= f(x, g) i točka

Ako se funkcija promijeni z događa se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, s fiksnom vrijednošću drugog argumenta g, tada će funkcija dobiti inkrement

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, g) Autor x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, mi efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

onda se naziva parcijalna derivacija funkcije f(x, g) argumentom x i označen je jednim od simbola

(4)

Slično se određuje i djelomični prirast z Po g:

i djelomična derivacija f(x, g) Autor g:

(6)

Primjer 1.

Riješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(g fiksni);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksni).

Kao što vidite, nije važno u kojoj je mjeri varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju obične derivacije) varijable s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s varijablom s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju, tada ta usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju obične derivacije, nestaje.

Primjer 2. S obzirom na funkciju

Pronađite parcijalne derivacije

(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u točki A (1; 2).

Riješenje. Na fiksnom g derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije snage ( tablica izvoda funkcija jedne varijable):

.

Na fiksnom x derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalne funkcije, a drugi - kao derivacija konstante:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih derivacija u točki A (1; 2):

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcije

Riješenje. U jednom koraku nalazimo

(g x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna iu ovom slučaju je multiplikator na g).

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcije triju ili više varijabli.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; g; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u naziva funkcija varijabli x, g, ..., t i označavaju u= f(x, g, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Parcijalne derivacije funkcije više varijabli također se određuju i izračunavaju pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4. Naći parcijalne derivacije funkcije

.

Riješenje. g I z fiksno:

x I z fiksno:

x I g fiksno:

Parcijalne derivacije pronađite sami i zatim pogledajte rješenja

Primjer 5.

Primjer 6. Naći parcijalne derivacije funkcije.

Isti ima i parcijalni izvod funkcije više varijabli mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je brzina promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti funkcijom

Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih mjesta, R– udaljenost između točaka.

Parcijalni izvod funkcije P Po R, jednako

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih točaka s istim brojem stanovnika u točkama.

Parcijalna derivacija P Po N, jednako

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između točaka.

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Umnožak parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbroj parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dviju neovisnih varijabli ukupni diferencijal izražava se jednakošću

(7)

Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Riješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj točki određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području podrazumijeva njezin kontinuitet u tom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije.

Teorema. Ako funkcija z= f(x, g) ima neprekidne parcijalne derivacije

u danom području, tada je on u tom području diferencijabilan i njegov se diferencijal izražava formulom (7).

Može se pokazati da, kao što je u slučaju funkcije jedne varijable diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal jednak glavni, linearni u odnosu na prirast nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dviju varijabli ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β infinitezimalni na i .

Parcijalne derivacije višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, g) same su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivacije u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalne derivacije viših redova.

Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo naše upoznavanje s funkcija dviju varijabli te razmotrimo možda najčešći tematski zadatak – pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. S parcijalnim izvedenicama izvanredni studenti se u pravilu susreću na 1. godini u 2. semestru. Štoviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih derivacija se gotovo uvijek pojavljuje na ispitu.

Da biste učinkovito proučili materijal u nastavku, vi potrebno moći više ili manje pouzdano pronaći “obične” derivacije funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako ispravno rukovati izvedenicama Kako pronaći izvedenicu? I Derivacija složene funkcije . Trebat će nam i tablica izvodnica elementarnih funkcija i pravila diferenciranja, najprikladnije je ako je pri ruci u tiskanom obliku. Referentni materijal možete dobiti na stranici Matematičke formule i tablice .

Brzo ponovimo koncept funkcije dviju varijabli, pokušat ću se ograničiti na minimum. Funkcija dviju varijabli obično se piše kao , a varijable se pozivaju nezavisne varijable ili argumenti.

Primjer: – funkcija dviju varijabli.

Ponekad se koristi notacija. Ima i zadataka gdje se umjesto slova koristi slovo.

S geometrijskog gledišta funkcija dviju varijabli najčešće predstavlja površina trodimenzionalnog prostora(ravnina, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, zapravo, ovo je više analitička geometrija, a na našem dnevnom redu je matematička analiza, koju mi ​​moj sveučilišni profesor nikad nije dopustio da otpišem i moja je "jača strana".

Prijeđimo na pitanje nalaženja parcijalnih izvodnica prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šalica kave i nastavljaju s nekim nevjerojatno teškim materijalom: parcijalne derivacije su gotovo iste kao i “obične” derivacije funkcije jedne varijable.

Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferenciranja i tablica derivacija elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika s kojima ćemo se sada upoznati:

...da, usput, za ovu temu koju sam napravio mala pdf knjiga, koji će vam omogućiti da “uhvatite zube” u samo par sati. Ali korištenjem stranice sigurno ćete dobiti isti rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Nađite parcijalne derivacije prvog i drugog reda funkcije

Prvo, pronađimo parcijalne derivacije prvog reda. Ima ih dvoje.

Oznake:
ili – parcijalna derivacija u odnosu na “x”
ili – djelomična derivacija u odnosu na "y"

Počnimo s . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", varijabla se smatra konstantom (konstantan broj).

Komentari o izvršenim radnjama:

(1) Prvo što radimo kada nalazimo parcijalnu derivaciju je da zaključimo svi funkcija u zagradi ispod prim s indeksom.

Pažnja, važno! NE GUBIMO indekse tijekom procesa rješavanja. U ovom slučaju, ako negdje nacrtate "udarac" bez , tada ga učitelj, barem, može staviti pored zadatka (odmah odgrizite dio boda zbog nepažnje).

(2) Koristimo pravila diferenciranja , . Za jednostavan primjer poput ovog, oba se pravila mogu lako primijeniti u jednom koraku. Obratite pozornost na prvi pojam: budući da smatra se konstantom, a svaka se konstanta može izuzeti iz predznaka izvedenice, onda smo to izbacili iz zagrade. Odnosno, u ovoj situaciji nije bolji od običnog broja. Sada pogledajmo treći pojam: ovdje se, naprotiv, nema što izvaditi. Budući da je konstanta, također je konstanta, iu tom smislu nije ništa bolji od posljednjeg izraza - "sedam".

(3) Koristimo tablične izvedenice i .

(4) Pojednostavimo, ili, kako ja volim reći, "dotjerajmo" odgovor.

Sada . Kada nađemo parcijalnu derivaciju u odnosu na "y", tada varijablasmatra se konstantom (konstantan broj).

(1) Koristimo ista pravila diferenciranja , . U prvom članu konstantu izuzimamo iz predznaka izvedenice, u drugom članu ne možemo ništa izbaciti jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu derivacija elementarnih funkcija. Promijenimo mentalno sve "X" u tablici u "I". To jest, ova tablica jednako vrijedi za (i zapravo za gotovo svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Što znače parcijalne derivacije?

U biti, parcijalne derivacije 1. reda sliče "obična" izvedenica :

- Ovo funkcije, koji karakteriziraju stopa promjene funkcionira u smjeru osi i . Tako npr. funkcija karakterizira strminu "uspona" i "padina" površine u smjeru osi apscisa, a funkcija nam govori o “reljefu” iste površine u smjeru osi ordinata.

! Bilješka : ovdje mislimo na smjerove koji paralelno koordinatne osi.

Radi boljeg razumijevanja, uzmimo u obzir određenu točku na ravnini i izračunajmo vrijednost funkcije ("visine") na njoj:
– a sada zamislite da ste ovdje (NA POVRŠINI).

Izračunajmo parcijalni izvod u odnosu na "x" u danoj točki:

Negativan predznak izvedenice "X" nam govori o smanjujući se funkcionira u točki u smjeru apscisne osi. Drugim riječima, ako napravimo malo, malo (infinitezimalno) korak prema vrhu osi (paralelno s ovom osi), zatim ćemo se spustiti niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru ordinatne osi:

Derivacija u odnosu na "y" je pozitivna, dakle, u točki u smjeru osi funkcija povećava se. Jednostavno rečeno, ovdje nas čeka uzbrdica.

Osim toga, parcijalna derivacija u točki karakterizira stopa promjene funkcionira u odgovarajućem smjeru. Što je veća rezultirajuća vrijednost modulo – što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru apscisne osi je strmiji od "planine" u smjeru ordinatne osi.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da s točke na kojoj se nalazimo, (i općenito s bilo koje točke na određenoj površini) možemo krenuti u nekom drugom smjeru. Dakle, postoji interes za stvaranje opće "navigacijske karte" koja bi nas informirala o "krajoliku" površine ako je moguće u svakoj točki domena definiranja ove funkcije svim dostupnim stazama. O ovome i drugim zanimljivostima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo tehničkoj strani problema.

Sistematizirajmo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada diferenciramo u odnosu na , varijabla se smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija provodi prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tablica derivacija elementarnih funkcija vrijede i vrijede za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) po kojoj se provodi diferenciranje.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivacije drugog reda. Ima ih četiri.

Oznake:
ili – druga derivacija u odnosu na “x”
ili – druga derivacija u odnosu na "Y"
ili - mješoviti izvedenica "x by igr"
ili - mješoviti izvedenica "Y"

S drugom derivacijom nema problema. Jednostavno rečeno, druga derivacija je derivacija prve derivacije.

Radi praktičnosti, prepisat ću već pronađene parcijalne derivacije prvog reda:

Prvo, pronađimo mješovite izvedenice:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalnu derivaciju i ponovno je diferenciramo, ali u ovom slučaju - ovaj put prema "Y".

Također:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovite derivacije drugog reda vrlo je zgodno provjeriti jesmo li ispravno pronašli parcijalne derivacije prvog reda.

Pronađite drugu derivaciju u odnosu na "x".
Bez izuma, uzmimo i ponovno ga razlikujemo s "x":

Također:

Treba napomenuti da prilikom pronalaska morate pokazati povećana pozornost, jer ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih potvrdile.

Druge derivacije također nalaze široku praktičnu primjenu, posebice se koriste u problemu nalaženja ekstremi funkcije dviju varijabli . Ali sve ima svoje vrijeme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne derivacije prvog reda funkcije u točki. Pronađite derivacije drugog reda.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći izvedenicu? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti pronaći takve derivate "u hodu".

Usavršimo se u složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjeri to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Pronađite parcijalne derivacije prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: , uz “X” nije zabranjeno napisati u zagradi da je to konstanta. Ova bilješka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snalazili u rješenju.

Dodatni komentari:

(1) Sve konstante pomičemo iza predznaka derivacije. U ovom slučaju, i , i stoga se njihov umnožak smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Uzimamo sve konstante iz predznaka izvoda; u ovom slučaju, konstanta je .

(2) Ispod prabroja nam je preostao umnožak dviju funkcija, stoga trebamo koristiti pravilo za diferenciranje umnoška .

(3) Ne zaboravite da je ovo složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivacije drugog reda:

To znači da su svi izračuni izvedeni ispravno.

Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji razmatramo, nema smisla govoriti koliki je ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli. Važno je da upravo taj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim zadacima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcija dviju varijabli ima oblik:

U ovom slučaju:

To jest, samo trebate glupo zamijeniti već pronađene parcijalne derivacije prvog reda u formulu. U ovoj i sličnim situacijama najbolje je u brojnike pisati predznake razlike:

I prema opetovanim zahtjevima čitatelja, potpuni diferencijal drugog reda.

Ovako izgleda:

Idemo PAŽLJIVO pronaći “jednoslovne” izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravite udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto čini teškim, uvijek se možete vratiti izvedenicama nakon što svladate tehniku ​​razlikovanja:

Primjer 4

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije . Provjeri to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Pogledajmo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije.

Riješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije). Neću vam dati potpuno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbroja

(2) Prvi član u ovom slučaju smatra se konstantom, budući da u izrazu ne postoji ništa što ovisi o “x” - samo “y”. Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi član primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, ništa se u tom smislu ne bi promijenilo ni da je umjesto toga dana funkcija - bitno je to ovdje proizvod dviju funkcija, SVAKI od kojih ovisi o "X", stoga morate koristiti pravilo razlikovanja proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži "Y", stoga morate koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenata: . Drugi član ovisi SAMO o "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Za one čitatelje koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam stari Mehmatovljev vic za olakšanje:

Jednog se dana u prostoru funkcija pojavila zla izvedenica i počela sve razlikovati. Sve su funkcije razbacane na sve strane, nitko se ne želi transformirati! A samo jedna funkcija ne bježi. Prilazi joj izvedenica i pita:

- Zašto ne pobjegneš od mene?

- Ha. Ali baš me briga, jer ja sam "e na X", i nećete mi ništa!

Na što zla izvedenica s podmuklim osmijehom odgovara:

– Tu se varate, ja ću vas razlikovati po Y, pa bi trebali biti nula.

Tko je shvatio vic, savladao je izvedenice, barem do razine “C”).

Primjer 8

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Cjelovito rješenje i primjer zadatka nalaze se na kraju lekcije.

Pa to je skoro sve. Na kraju, ne mogu a da ne obradujem ljubitelje matematike još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svatko ima drugačiju razinu matematičke pripremljenosti – postoje ljudi (i ne tako rijetki) koji se vole natjecati s težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko složen koliko je glomazan s računalne točke gledišta.