Stiven Strogatz X ning zavqi. Dunyodagi eng yaxshi o'qituvchilardan birining matematika olamiga ajoyib sayohati. Stiven Strogatz - x dan zavq

Ushbu kitob yaxshi to'ldirilgan:

Quanta

Skott Patterson

Aqlli

Ken Jennings

Moneyball

Maykl Lyuis

Moslashuvchan ong

Kerol Dvek

Qimmatli qog'ozlar bozori fizikasi

Jeyms Weatherall

X ning quvonchi

Birlikdan cheksizgacha bo'lgan matematika bo'yicha sayohat

Stiven Strogats

Dunyodagi eng yaxshi o'qituvchilardan birining matematika olamiga qiziqarli sayohati

Nashriyotdan olingan ma'lumot

Birinchi marta rus tilida nashr etilgan

Stiven Strogats ruxsati bilan chop etilgan, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

X ning zavqi. Dunyodagi eng yaxshi o'qituvchilardan biri / Stiven Strogatzning matematika olamiga ajoyib sayohati; qator ingliz tilidan - M.: Mann, Ivanov va Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Ushbu kitob sizning matematikaga bo'lgan munosabatingizni tubdan o'zgartirishi mumkin. U qisqa bo'limlardan iborat bo'lib, ularning har birida siz yangi narsalarni kashf etasiz. Siz raqamlarning atrofingizdagi dunyoni o'rganish uchun qanchalik foydali ekanligini bilib olasiz, geometriyaning go'zalligini tushunasiz, integral hisobning nafisligi bilan tanishasiz, statistikaning muhimligiga amin bo'lasiz va cheksizlik bilan aloqada bo'lasiz. . Muallif fundamental matematik g‘oyalarni sodda va nafis, hamma tushuna oladigan yorqin misollar bilan tushuntiradi.

Barcha huquqlar himoyalangan.

Ushbu kitobning hech bir qismi mualliflik huquqi egalarining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda takrorlanishi mumkin emas.

Nashriyotga huquqiy yordam Vegas-Lex yuridik firmasi tomonidan amalga oshiriladi.

© Steven Strogatz, 2012 Barcha huquqlar himoyalangan

© Rus tiliga tarjima, rus tilida nashr, dizayn. Mann, Ivanov va Ferber MChJ, 2014 yil

Muqaddima

Mening bir do'stim bor, u hunarmand bo'lishiga qaramay (u rassom), ilmga ishtiyoqi bor. Qachon uchrashsak, u psixologiya yoki kvant mexanikasidagi so'nggi ishlanmalar haqida ishtiyoq bilan gapiradi. Ammo biz matematika haqida gapira boshlasak, u tizzalarida qaltirashni his qiladi, bu esa uni juda xafa qiladi. U bu g‘alati matematik belgilar nafaqat uning tushunchasiga to‘sqinlik qilayotganidan, balki ba’zan ularni qanday talaffuz qilishni ham bilmasligidan shikoyat qiladi.

Aslida, uning matematikani rad etishining sababi ancha chuqurroqdir. U matematiklarning umuman nima qilishini va berilgan dalil oqlangan deganda nimani nazarda tutishini bilmaydi. Ba'zan biz shunchaki o'tirib, unga 1 + 1 = 2 asoslaridan o'rgatishni boshlashim va matematikani iloji boricha chuqurroq o'rganishim kerak deb hazil qilamiz.

Garchi bu g'oya aqldan ozgandek tuyulsa ham, men ushbu kitobda aynan shu narsani amalga oshirishga harakat qilaman. Men sizga arifmetikadan tortib oliy matematikaga qadar fanning barcha asosiy sohalari bo‘yicha yo‘l-yo‘riq ko‘rsataman, shunda ikkinchi imkoniyatni istaganlar nihoyat undan foydalanishlari mumkin. Va bu safar siz stolga o'tirishingiz shart emas. Bu kitob sizni matematika mutaxassisi qilmaydi. Ammo bu sizga ushbu intizom nimani o'rganishini va nima uchun uni tushunadiganlar uchun shunchalik qiziqarli ekanligini tushunishga yordam beradi.

Biz Maykl Jordanning slam-dunklari asosiy hisob-kitoblarni tushuntirishga qanday yordam berishini ko'rib chiqamiz. Men sizga Evklid geometriyasining asosiy teoremasini - Pifagor teoremasini tushunishning oddiy va ajoyib usulini ko'rsataman. Biz katta-kichik hayotning ba'zi sirlarini tushunishga harakat qilamiz: Jey Simpson o'z xotinini o'ldirganmi; to'shakni iloji boricha uzoqroq turishi uchun qanday qilib o'zgartirish kerak; turmush qurishdan oldin qancha sheriklarni o'zgartirish kerak - va biz ba'zi cheksizliklar nima uchun boshqalardan kattaroq ekanligini bilib olamiz.

Matematika hamma joyda, siz uni tanib olishni o'rganishingiz kerak. Siz zebraning orqa tomonida sinus to'lqinini ko'rishingiz mumkin, Mustaqillik Deklaratsiyasidagi Evklid teoremalarining aks-sadolarini eshitishingiz mumkin; Nima deyishim mumkin, hatto birinchi jahon urushidan oldingi quruq xabarlarda ham salbiy raqamlar mavjud. Shuningdek, siz matematikaning yangi sohalari bugungi hayotimizga qanday ta'sir qilishini ko'rishingiz mumkin, masalan, biz kompyuter yordamida restoranlarni qidirganimizda yoki hech bo'lmaganda birja bozorining qo'rqinchli tebranishlarini tushunishga yoki yaxshiroq omon qolishga harakat qilganimizda.

"Matematika asoslari" umumiy sarlavhasi ostidagi 15 ta maqola turkumi 2010 yil yanvar oyi oxirida Internetda paydo bo'ldi. Ularning nashr etilishiga javoban turli yoshdagi o'quvchilar, jumladan, ko'plab talabalar va o'qituvchilardan xat va sharhlar kelib tushdi. U yoki bu sabablarga ko'ra matematika fanini tushunishda "o'z yo'lini yo'qotgan" oddiy qiziquvchan odamlar ham bor edi; Endi ular biron bir foydali narsani o'tkazib yuborganliklarini his qilishdi va yana urinib ko'rishni xohlashdi. Ayniqsa, ota-onamning minnatdorchiligi meni quvontirdi, chunki ular mening yordamim bilan bolalariga matematikani tushuntira olishdi va o‘zlari ham buni yaxshiroq tushuna boshladilar. Hatto mening hamkasblarim va o'rtoqlarim, bu fanning ashaddiy muxlislari ham maqolalarni o'qishni yoqtirishdi, faqat ular bir-birlari bilan talashib-tortishib, mening aqlimni yaxshilash bo'yicha har xil tavsiyalarni berishgan paytlari bundan mustasno.

Ommabop e'tiqodga qaramay, jamiyatda matematikaga nisbatan aniq qiziqish mavjud, garchi bu hodisaga kam e'tibor qaratiladi. Biz faqat matematikadan qo'rqish haqida eshitamiz, lekin ko'pchilik buni yaxshiroq tushunishga harakat qilishni xohlaydi. Va bu sodir bo'lganda, ularni yirtib tashlash qiyin bo'ladi.

Ushbu kitob sizni matematika olamidagi eng murakkab va ilg'or g'oyalar bilan tanishtiradi. Bo'limlar kichik, o'qish oson va ayniqsa bir-biriga bog'liq emas. Ular orasida Nyu-York Tayms gazetasining birinchi qator maqolalariga kiritilganlar ham bor. Shunday qilib, siz ozgina matematik ochlikni his qilishingiz bilanoq, keyingi bobni olishdan tortinmang. Agar siz sizni qiziqtirgan masalani batafsilroq tushunmoqchi bo'lsangiz, kitobning oxirida qo'shimcha ma'lumotlar va bu haqda yana nimani o'qishingiz mumkinligi haqida tavsiyalar mavjud.

Bosqichma-bosqich yondashuvni afzal ko'rgan o'quvchilarga qulaylik yaratish uchun men mavzularni o'rganishning an'anaviy tartibiga muvofiq materialni olti qismga ajratdim.

I qism, raqamlar, bizning sayohatimizni bolalar bog'chasi va boshlang'ich maktabda arifmetikadan boshlaydi. Bu raqamlar qanchalik foydali bo'lishi va atrofimizdagi dunyoni tasvirlashda sehrli ta'sirga ega ekanligini ko'rsatadi.

Ikkinchi qism, "Nisoblar" e'tiborni raqamlarning o'zidan ular orasidagi munosabatlarga qaratadi. Bu g'oyalar algebraning markazida yotadi va bir narsaning boshqa narsaga qanday ta'sir qilishini tasvirlashning birinchi quroli bo'lib, turli xil narsalarning sabab-natija munosabatlarini ko'rsatadi: talab va taklif, rag'batlantirish va javob - qisqasi, barcha turdagi. dunyoni juda boy va xilma-xil qiladigan munosabatlar.

III qism "Raqamlar" raqamlar va belgilar haqida emas, balki raqamlar va fazo haqida - geometriya va trigonometriya sohasi haqida gapiradi. Bu mavzular barcha kuzatiladigan ob'ektlarni shakllar, mantiqiy fikrlash va isbotlash orqali tasvirlash bilan birga matematikani yangi aniqlik darajasiga olib chiqadi.

“Oʻzgarish vaqti” IV boʻlimida biz matematikaning eng qiziqarli va xilma-xil boʻlimi hisob-kitoblarni koʻrib chiqamiz. Hisob-kitoblar sayyoralarning traektoriyasini, suv toshqini aylanishlarini bashorat qilish imkonini beradi va koinotdagi va ichimizdagi barcha davriy o'zgaruvchan jarayonlar va hodisalarni tushunish va tavsiflash imkonini beradi. Bu qismda cheksizlikni o'rganish muhim o'rin tutadi, uning tinchlanishi hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon bergan yutuq bo'ldi. Hisoblash qadimgi dunyoda paydo bo'lgan ko'plab muammolarni hal qilishga yordam berdi va bu oxir-oqibat ilm-fan va zamonaviy dunyoda inqilobga olib keldi.

V qism, "Ma'lumotlarning ko'p yuzlari" ehtimollik, statistika, tarmoqlar va ma'lumotlar faniga - hali ham hayotimizning imkon va omad, noaniqlik, xavf kabi kamroq tartibli jihatlaridan kelib chiqqan nisbatan yangi sohalar bilan bog'liq. , o'zgaruvchanlik, tartibsizlik, o'zaro bog'liqlik. Matematikaning to'g'ri vositalaridan va tegishli ma'lumotlar turlaridan foydalanib, biz tasodifiylik oqimidagi naqshlarni aniqlashni o'rganamiz.

“Imkonlar chegaralari” VI bo‘limidagi sayohatimiz oxirida biz matematik bilimlar chegarasiga, ma’lum bo‘lgan va hali tushunib bo‘lmaydigan va noma’lum bo‘lgan chegara hududiga yaqinlashamiz. Biz yana mavzularni o'zimizga tanish bo'lgan tartibda ko'rib chiqamiz: raqamlar, nisbatlar, raqamlar, o'zgarishlar va cheksizlik - lekin shu bilan birga biz ularning har birini chuqurroq, zamonaviy mujassamlashda ko'rib chiqamiz.

Umid qilamanki, ushbu kitobda tasvirlangan barcha g'oyalar siz uchun qiziqarli bo'lib ko'rinadi va sizni bir necha marta: "Voy!" Lekin siz har doim bir joydan boshlashingiz kerak, shuning uchun hisoblash kabi oddiy, ammo qiziqarli mashg'ulotdan boshlaylik.

1. Raqam asoslari: Baliq qo'shilishi

Men ko'rgan raqamlar tushunchalarining eng yaxshi namoyishi (raqamlar nima va ular bizga nima uchun kerakligini eng aniq va eng kulgili tushuntirish) Sesame Street mashhur bolalar shousining 123: Birgalikda hisoblash (123 Men bilan hisoblagich) deb nomlangan epizodida bo'ldi. X...

2010 yilda Stiven Strogats The New York Times gazetasiga matematika asoslari haqida bir qator maqolalar yozdi. Maqolalar katta zavq bag'ishladi. Har bir rukn gazetaning eng ommabop hikoyasiga aylandi va yuzlab sharhlarni jalb qildi. O'quvchilar ko'proq narsani so'rashdi va Stiven xafa bo'lmadi - bu kitob paydo bo'ldi, u allaqachon nashr etilgan qismlarni ham, butunlay yangi boblarni ham o'z ichiga oladi.

Matematika bu dunyodagi hamma narsaga, shu jumladan o'zimizga ham singib ketgan, ammo, afsuski, kam odam bu universal tilni uning donoligi va go'zalligini qadrlash uchun yaxshi tushunadi. Stiven Strogats o'rta maktabda orzu qilgan matematika o'qituvchisi. Qiziqish uchqunlarini yoqib, o‘z faniga bir umr mehr uyg‘ota olgan o‘qituvchi. Bu nihoyatda oson va qiziqarli kitobda u barchamizga matematikani bilish uchun ikkinchi imkoniyat beradi. Har bir qisqa bobda siz nima uchun birinchi navbatda raqamlar kerakligidan tortib geometriya, integral hisoblar, statistika va cheksizlik kabi mavzulargacha yangi narsalarni kashf etasiz. Muallif ajoyib matematik g‘oyalarni sodda va nafis, hamma tushuna oladigan yorqin misollar bilan tushuntiradi. Bu kitob hamma uchun. Matematikadan unchalik xabardor bo'lmaganlar u bilan yaqindan tanishadilar, matematikani yaxshi ko'radiganlar esa "fanlar malikasi" haqida o'qishdan zavqlanadilar.

Muqaddima

Mening bir do'stim bor, u hunarmand bo'lishiga qaramay (u rassom), ilmga ishtiyoqi bor. Qachon uchrashsak, u psixologiya yoki kvant mexanikasidagi so'nggi ishlanmalar haqida ishtiyoq bilan gapiradi. Ammo biz matematika haqida gapira boshlasak, u tizzalarida qaltirashni his qiladi, bu esa uni juda xafa qiladi. U bu g‘alati matematik belgilar nafaqat uning tushunchasiga to‘sqinlik qilayotganidan, balki ba’zan ularni qanday talaffuz qilishni ham bilmasligidan shikoyat qiladi.

Aslida, uning matematikani rad etishining sababi ancha chuqurroqdir. U matematiklarning umuman nima qilishini va berilgan dalil oqlangan deganda nimani nazarda tutishini bilmaydi. Ba'zan biz shunchaki o'tirib, unga 1 + 1 = 2 asoslaridan o'rgatishni boshlashim va matematikani iloji boricha chuqurroq o'rganishim kerak deb hazil qilamiz.

Garchi bu g'oya aqldan ozgandek tuyulsa ham, men ushbu kitobda aynan shu narsani amalga oshirishga harakat qilaman. Men sizga arifmetikadan tortib oliy matematikaga qadar fanning barcha asosiy sohalari bo‘yicha yo‘l-yo‘riq ko‘rsataman, shunda ikkinchi imkoniyatni istaganlar nihoyat undan foydalanishlari mumkin. Va bu safar siz stolga o'tirishingiz shart emas. Bu kitob sizni matematika mutaxassisi qilmaydi. Ammo bu sizga ushbu intizom nimani o'rganishini va nima uchun uni tushunadiganlar uchun shunchalik qiziqarli ekanligini tushunishga yordam beradi.

Biz Maykl Jordanning slam-dunklari asosiy hisob-kitoblarni tushuntirishga qanday yordam berishini ko'rib chiqamiz. Men sizga Evklid geometriyasining asosiy teoremasini - Pifagor teoremasini tushunishning oddiy va ajoyib usulini ko'rsataman. Biz katta-kichik hayotning ba'zi sirlarini tushunishga harakat qilamiz: Jey Simpson o'z xotinini o'ldirganmi; to'shakni iloji boricha uzoqroq turishi uchun qanday qilib o'zgartirish kerak; turmush qurishdan oldin qancha sheriklarni o'zgartirish kerak - va biz ba'zi cheksizliklar nima uchun boshqalardan kattaroq ekanligini bilib olamiz.

Matematika hamma joyda, siz uni tanib olishni o'rganishingiz kerak. Siz zebraning orqa tomonida sinus to'lqinini ko'rishingiz mumkin, Mustaqillik Deklaratsiyasidagi Evklid teoremalarining aks-sadolarini eshitishingiz mumkin; Nima deyishim mumkin, hatto birinchi jahon urushidan oldingi quruq xabarlarda ham salbiy raqamlar mavjud. Shuningdek, siz matematikaning yangi sohalari bugungi hayotimizga qanday ta'sir qilishini ko'rishingiz mumkin, masalan, biz kompyuter yordamida restoranlarni qidirganimizda yoki hech bo'lmaganda birja bozorining qo'rqinchli tebranishlarini tushunishga yoki yaxshiroq omon qolishga harakat qilganimizda.

- Stiven Strogatsning "Xning zavqi" kitobini onlayn o'qing -

"Matematika asoslari" umumiy sarlavhasi ostidagi 15 ta maqola turkumi 2010 yil yanvar oyi oxirida Internetda paydo bo'ldi. Ularning nashr etilishiga javoban turli yoshdagi o'quvchilar, jumladan, ko'plab talabalar va o'qituvchilardan xat va sharhlar kelib tushdi. U yoki bu sabablarga ko'ra matematika fanini tushunishda "o'z yo'lini yo'qotgan" oddiy qiziquvchan odamlar ham bor edi; endi ular biron bir foydali narsani o'tkazib yuborganliklarini his qilishdi va yana urinib ko'rishni xohlashdi. Ayniqsa, ota-onamning minnatdorchiligi meni quvontirdi, chunki ular mening yordamim bilan bolalariga matematikani tushuntira olishdi va o‘zlari ham buni yaxshiroq tushuna boshladilar. Hatto mening hamkasblarim va o'rtoqlarim, bu fanning ashaddiy muxlislari ham maqolalarni o'qishni yoqtirishdi, faqat ular bir-birlari bilan talashib-tortishib, mening aqlimni yaxshilash bo'yicha har xil tavsiyalarni berishgan paytlari bundan mustasno.

Ommabop e'tiqodga qaramay, jamiyatda matematikaga nisbatan aniq qiziqish mavjud, garchi bu hodisaga kam e'tibor qaratiladi. Biz faqat matematikadan qo'rqish haqida eshitamiz, lekin ko'pchilik buni yaxshiroq tushunishga harakat qilishni xohlaydi. Va bu sodir bo'lganda, ularni yirtib tashlash qiyin bo'ladi.

Ushbu kitob sizni matematika olamidagi eng murakkab va ilg'or g'oyalar bilan tanishtiradi. Bo'limlar kichik, o'qish oson va ayniqsa bir-biriga bog'liq emas. Ular orasida Nyu-York Tayms gazetasining birinchi qator maqolalariga kiritilganlar ham bor. Shunday qilib, siz ozgina matematik ochlikni his qilishingiz bilanoq, keyingi bobni olishdan tortinmang. Agar siz sizni qiziqtirgan masalani batafsilroq tushunmoqchi bo'lsangiz, kitobning oxirida qo'shimcha ma'lumotlar va bu haqda yana nimani o'qishingiz mumkinligi haqida tavsiyalar mavjud.

X ning zavqi - Stiven Strogats (yuklab olish)

(kirish versiyasi)

Va nihoyat, qiziqarli videoni tomosha qilishni taklif qilamiz

Atrofimizdagi dunyoni o'rganish uchun raqamlar qanchalik foydali, geometriyaning go'zalligi nimada, integral raqamlar qanchalik oqlangan va statistika qanchalik muhim? Bularning barchasi haqida Stiven Strogats o'zining "Xning zavqi" kitobida gapiradi. Muallif fundamental matematik g‘oyalarni sodda va nafis tushuntirib, hamma tushuna oladigan misollar keltirgan. sayt Mann, Ivanov va Ferber tomonidan nashr etilgan kitobning boblaridan birini nashr etadi.

Statistika birdan moda sohasiga aylandi. Internet, elektron tijorat, ijtimoiy tarmoqlar, inson genomi loyihasi va umuman, raqamli madaniyatning rivojlanishi bilan dunyo ma'lumotlar bilan to'lib ketdi. Marketologlar bizning didimiz va odatlarimizni o'rganadilar. Razvedka idoralari bizning joylashuvimiz, elektron pochta va telefon qo'ng'iroqlari haqida ma'lumot to'playdi. Sport statistiklari qaysi o'yinchilarni sotib olish, kimni draft qilish va kimni zaxiraga o'tkazishni hal qilish uchun raqamlarni chalg'itadi. Har bir inson nuqtalarni grafikga ulashga va chalkash ma'lumotlar to'plamida naqsh topishga intiladi.

Bu tendentsiyalar o'qitishda o'z aksini topsa ajabmas. Garvard universiteti iqtisodchisi Greg Mankiv "Nyu-York Tayms" ruknida "Statistikaga qaraylik", deb ogohlantiradi.

“O'rta maktab matematika o'quv dasturi Evklid geometriyasi va trigonometriya kabi an'anaviy mavzularga juda ko'p vaqt sarflaydi. O'rtacha odam uchun foydali bo'lgan bu aqliy mashqlar, ammo kundalik hayotda kam qo'llaniladi. Talabalar ehtimollik va statistika haqida ko'proq ma'lumot olishdan katta foyda olishadi. Devid Bruks bundan ham uzoqroq. O'zining munosib ta'lim olish uchun e'tiborga loyiq fanlar haqidagi maqolasida u shunday yozadi: “Statistikani oling. Ko'rasiz, standart og'ish nima ekanligini bilish hayotda siz uchun juda foydali bo'ladi."

Ehtimol, tarqatish nima ekanligini tushunish ham yaxshi fikr. Bu men gaplashmoqchi bo'lgan birinchi narsa. Va men bunga e'tibor qaratmoqchiman, chunki bu statistikaning asosiy saboqlaridan biri: narsalar alohida ko'rib chiqilganda umidsiz tasodifiy va oldindan aytib bo'lmaydigan ko'rinadi, ammo birgalikda ular naqsh va bashorat qilishni ochib beradi.

Ilm-fan muzeyida ushbu tamoyilning namoyishini ko'rgan bo'lishingiz mumkin (agar bo'lmasa, videolarni Internetda topish mumkin). Odatiy eksponat - bu Galton taxtasi deb ataladigan kontrakt bo'lib, u qanotsiz pinbol mashinasini biroz eslatadi. Uning ichida, hatto muntazam oraliqda pinlar qatorlari mavjud.

Galton kengashi

Tajriba Galton taxtasining tepasiga yuzlab to'plarning uchirilishi bilan boshlanadi. Ular yiqilib tushganda, ular pinlar bilan to'qnashadi va teng darajada o'ngga yoki chapga sakrash ehtimoli bor, keyin esa taxtaning pastki qismida taqsimlanadi, bir xil kenglikdagi bo'linmalarga tushadi. To'plar ustunining balandligi to'pning ma'lum bir joyga tushish ehtimoli qanchalik ko'p ekanligini ko'rsatadi. Ko'p to'plar taxminan o'rtada joylashganki, yon tomonlarda kamroq, chekkalarda esa kamroq.

Umuman olganda, rasmni oldindan aytish mumkin: to'plar har doim qo'ng'iroq shaklidagi taqsimotni hosil qiladi, garchi har bir alohida to'p qayerda tugashini oldindan aytib bo'lmaydi.

Qanday qilib individual baxtsiz hodisalar umumiy naqshlarga aylanadi? Ammo tasodif shunday ishlaydi. O'rta ustun eng ko'p to'pni o'z ichiga oladi, chunki pastga tushishdan oldin ularning ko'plari o'ngga va chapga taxminan bir xil miqdordagi sakrashlarni amalga oshiradilar va natijada o'rtada bir joyga tushadilar. Qirralarda joylashgan bir nechta yolg'iz to'plar taqsimotning dumlarini hosil qiladi - bular pinlar bilan to'qnashganda har doim bir xil yo'nalishda sakrab turadigan to'plardir. Bunday sakrashlar ehtimoldan yiroq, shuning uchun chekkalarda to'plar juda kam.

Har bir to'pning joylashuvi ko'plab tasodifiy hodisalar yig'indisi bilan aniqlanganidek, bu dunyodagi ko'plab hodisalar ko'plab kichik holatlarning natijasidir va qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziqqa bo'ysunadi. Sug'urta kompaniyalari ushbu printsip asosida ishlaydi. Ular har yili vafot etgan mijozlar sonini aniq hisoblashlari mumkin. Biroq, ular bu safar kimga omad kulib boqmasligini bilishmaydi.

Yoki, masalan, inson balandligini olaylik. Bu genetika, biokimyo, ovqatlanish va atrof-muhit bilan bog'liq son-sanoqsiz baxtsiz hodisalarga bog'liq. Shuning uchun, birgalikda ko'rib chiqilsa, kattalar erkaklar va ayollarning bo'yi qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziq hosil qilish uchun yaxshi imkoniyat bor.

OkCupid tanishuv sayti statistik xizmati yaqinda "Odamlar o'zlari haqida onlayn gapiradi" deb nomlangan blog postida o'z mijozlari, to'g'rirog'i, ularning o'zlari bildirgan qiymatlari o'sishining grafigini e'lon qildi. Ikkala jins vakillarining o'sish sur'atlari, kutilganidek, qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziq hosil qilishi aniqlandi. Ajablanarlisi shundaki, ikkala taqsimot ham kutilgan qiymatlardan ikki dyuym o'ngga siljigan.

Strogats S. H.dan zavq - M.: Mann, Ivanov va Ferber, 2014.

Shunday qilib, OkCupid tomonidan so'ralgan mijozlar o'rtachadan balandroq yoki ular o'zlarini onlayn tasvirlashda bo'yiga bir necha dyuym qo'shadilar.

Bunday qo'ng'iroq egri chiziqlarining ideallashtirilgan versiyasi matematiklar normal taqsimot deb atashadi. Bu nazariy asosga ega bo'lgan statistikadagi eng muhim tushunchalardan biridir. Ko'p sonli kichik tasodifiy omillar qo'shilganda, ularning har biri boshqalardan mustaqil ravishda harakat qilganda normal taqsimot sodir bo'lishini isbotlash mumkin. Va ko'p voqealar shu tarzda sodir bo'ladi.

Lekin hammasi emas. Va bu men e'tibor qaratmoqchi bo'lgan ikkinchi nuqta. Oddiy taqsimot ko'rinadigan darajada hamma joyda emas. Yuzlab yillar davomida va ayniqsa so'nggi bir necha o'n yilliklarda olimlar va statistiklar ushbu egri chiziqdan chetga chiqadigan va o'zlarining jadvaliga amal qiladigan ko'plab hodisalar mavjudligini qayd etishdi. Qizig'i shundaki, bunday taqsimot turlari elementar statistika bo'yicha darsliklarda deyarli eslatilmaydi va agar ular topilsa, ular odatda patologiyaning bir turi deb hisoblanadi.

Bu g `alati. Agar ushbu "patologik" taqsimotlar tushunilsa, zamonaviy hayotning ko'plab hodisalari yanada mazmunli bo'lishini tushuntirishga harakat qilaman. Bu yangi norma. Misol uchun, AQShda shahar o'lchamlarini taqsimlashni olaylik. Ba'zi o'rtacha qo'ng'iroq egri chizig'i atrofida to'planish o'rniga, shaharlarning katta qismi kichik o'lchamlarga ega va shuning uchun grafikning chap tomonida joylashgan.

Strogats S. H.dan zavq - M.: Mann, Ivanov va Ferber, 2014.

Va shahar aholisi qanchalik ko'p bo'lsa, bunday shaharlar kamroq tarqalgan. Boshqacha qilib aytganda, agregatda taqsimot qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziqdan ko'ra ko'proq L shaklidagi egri chiziq bo'ladi.

Va bu ajablanarli emas. Kichik shaharlarga qaraganda megapolislar kamroq ekanligini hamma biladi. Bu unchalik aniq bo'lmasa-da, shahar o'lchamlari yoqimli oddiy taqsimotga amal qiladi - agar siz ularga logarifmik shkalada qarasangiz.

Ikki shaharning aholisi soni bir xil bo'lsa (xuddi oktava bilan ajratilgan har qanday ikkita pianino tugmachalari har doim chastotada yarmiga farq qilgani kabi) o'rtasidagi farq bir xil bo'ladi deb taxmin qilamiz. Keling, vertikal o'qda ham xuddi shunday qilaylik.

Strogats S. H.dan zavq - M.: Mann, Ivanov va Ferber, 2014.

Endi ma'lumotlar deyarli mukammal to'g'ri chiziq bo'lgan egri chiziqda yotadi. Logarifmlarning xususiyatlariga asoslanib, dastlabki L shaklidagi egri chiziq funktsiyasi bilan tavsiflangan kuch-qonunga bog'liqligini aniqlash oson.

Bu erda x - shahar aholisi, y - bu kattalikdagi shaharlar soni, c - doimiy va a ko'rsatkichi (kuch qonuni ko'rsatkichi) to'g'ri chiziqning manfiy qiyaligini aniqlaydi.

Quvvat taqsimoti an'anaviy statistika nuqtai nazaridan ba'zi mantiqsiz xususiyatlarga ega. Masalan, normal taqsimotdan farqli o'laroq, L shaklidagi egri chiziqlarning qiyshaygan, assimetrik shakli tufayli ularning rejimlari, medianalari va vositalari bir-biriga mos kelmaydi.

Prezident Bush bundan katta foyda ko'rdi va 2003 yilda soliqlarni kamaytirish har bir oilani o'rtacha 1586 dollar tejaganini aytdi. Garchi bu matematik jihatdan to'g'ri bo'lsa-da, u mamlakat aholisining eng boy 0,1 foizi olgan yuz minglab dollarlik katta chegirmalarni yashirgan o'rtacha chegirmadan foydalangan. Ma'lumki, daromad taqsimotining o'ng tomonidagi quyruq kuch qonuniga amal qiladi va bunday vaziyatda o'rtacha qiymatdan foydalanish noto'g'ri, chunki u haqiqiy qiymatidan uzoqdir. Aslida, ko'pchilik oilalar 650 dollardan kamroq pul oldi. Ushbu taqsimotda o'rtacha o'rtacha qiymatdan sezilarli darajada kamroq.

Ushbu misol kuch qonuni taqsimotining muhim xususiyatini ko'rsatadi: ular oddiy taqsimotning hech bo'lmaganda kichik suyuq dumlari bilan solishtirganda og'ir dumlarga ega. Bu kabi katta quyruqlar, kamdan-kam bo'lsa-da, oddiy qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziqlarga qaraganda ma'lumotlarni taqsimlashda ko'proq uchraydi.

1987-yil 19-oktabr, qora dushanba kuni Dow Jones Industrial Average 22 foizga tushib ketdi. Qimmatli qog'ozlar bozoridagi odatiy o'zgaruvchanlik darajasi bilan taqqoslaganda, bu pasayish yigirma standart og'ishdan ko'proq edi. An'anaviy statistik ma'lumotlarga ko'ra (normal taqsimotdan foydalanadi), bunday hodisa deyarli imkonsizdir: uning ehtimoli 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 dan 1 dan kam. Biroq, bu sodir bo'ldi - chunki fond bozoridagi narxlarning o'zgarishi normal taqsimotga rioya qilmadi.

Og'ir dumli taqsimotlar ularni tasvirlash uchun ko'proq mos keladi. Bu zilzilalar, yong'inlar va suv toshqinlari bilan sodir bo'ladi, bu sug'urta kompaniyalari uchun xavfni boshqarishni qiyinlashtiradi.

Xuddi shu matematik model urushlar va terroristik hujumlar natijasida halok bo'lganlar sonini, shuningdek, boshqa tinchroq narsalarni, masalan, romandagi so'zlar soni yoki odamning jinsiy sheriklari sonini tasvirlaydi.

Uzun dumlarni tasvirlash uchun ishlatiladigan sifatlar ularni juda qulay nurda bo'yamasa ham, quyruqli taqsimotlar dumlarini mag'rur kiyadi. Semiz, og'ir va uzoqmi? Ha bu shunday. Ammo bu holda, qaysi biri normal ekanligini ko'rsating?

Ushbu kitob yaxshi to'ldirilgan:

Quanta

Skott Patterson

Aqlli

Ken Jennings

Moneyball

Maykl Lyuis

Moslashuvchan ong

Kerol Dvek

Qimmatli qog'ozlar bozori fizikasi

Jeyms Weatherall

ning quvonchi X

Birlikdan cheksizgacha bo'lgan matematika bo'yicha sayohat

Stiven Strogats

ning zavqi X

Dunyodagi eng yaxshi o'qituvchilardan birining matematika olamiga qiziqarli sayohati

Nashriyotdan olingan ma'lumot

Birinchi marta rus tilida nashr etilgan

Stiven Strogats ruxsati bilan chop etilgan, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

ning zavqi X. Dunyoning eng yaxshi o'qituvchilaridan biri / Stiven Strogatzdan matematika olamiga qiziqarli sayohat; qator ingliz tilidan - M.: Mann, Ivanov va Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Ushbu kitob sizning matematikaga bo'lgan munosabatingizni tubdan o'zgartirishi mumkin. U qisqa bo'limlardan iborat bo'lib, ularning har birida siz yangi narsalarni kashf etasiz. Siz raqamlarning atrofingizdagi dunyoni o'rganish uchun qanchalik foydali ekanligini bilib olasiz, geometriyaning go'zalligini tushunasiz, integral hisobning nafisligi bilan tanishasiz, statistikaning muhimligiga amin bo'lasiz va cheksizlik bilan aloqada bo'lasiz. . Muallif fundamental matematik g‘oyalarni sodda va nafis, hamma tushuna oladigan yorqin misollar bilan tushuntiradi.

Barcha huquqlar himoyalangan.

Ushbu kitobning hech bir qismi mualliflik huquqi egalarining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda takrorlanishi mumkin emas.

Nashriyotga huquqiy yordam Vegas-Lex yuridik firmasi tomonidan amalga oshiriladi.

© Steven Strogatz, 2012 Barcha huquqlar himoyalangan

© Rus tiliga tarjima, rus tilida nashr, dizayn. Mann, Ivanov va Ferber MChJ, 2014 yil

Muqaddima

Mening bir do'stim bor, u hunarmand bo'lishiga qaramay (u rassom), ilmga ishtiyoqi bor. Qachon uchrashsak, u psixologiya yoki kvant mexanikasidagi so'nggi ishlanmalar haqida ishtiyoq bilan gapiradi. Ammo biz matematika haqida gapira boshlasak, u tizzalarida qaltirashni his qiladi, bu esa uni juda xafa qiladi. U bu g‘alati matematik belgilar nafaqat uning tushunchasiga to‘sqinlik qilayotganidan, balki ba’zan ularni qanday talaffuz qilishni ham bilmasligidan shikoyat qiladi.

Aslida, uning matematikani rad etishining sababi ancha chuqurroqdir. U matematiklarning umuman nima qilishini va berilgan dalil oqlangan deganda nimani nazarda tutishini bilmaydi. Ba'zan biz shunchaki o'tirib, unga 1 + 1 = 2 asoslaridan o'rgatishni boshlashim va matematikani iloji boricha chuqurroq o'rganishim kerak deb hazil qilamiz.

Garchi bu g'oya aqldan ozgandek tuyulsa ham, men ushbu kitobda aynan shu narsani amalga oshirishga harakat qilaman. Men sizga arifmetikadan tortib oliy matematikaga qadar fanning barcha asosiy sohalari bo‘yicha yo‘l-yo‘riq ko‘rsataman, shunda ikkinchi imkoniyatni istaganlar nihoyat undan foydalanishlari mumkin. Va bu safar siz stolga o'tirishingiz shart emas. Bu kitob sizni matematika mutaxassisi qilmaydi. Ammo bu sizga ushbu intizom nimani o'rganishini va nima uchun uni tushunadiganlar uchun shunchalik qiziqarli ekanligini tushunishga yordam beradi.

Biz Maykl Jordanning slam-dunklari asosiy hisob-kitoblarni tushuntirishga qanday yordam berishini ko'rib chiqamiz. Men sizga Evklid geometriyasining asosiy teoremasini - Pifagor teoremasini tushunishning oddiy va ajoyib usulini ko'rsataman. Biz katta-kichik hayotning ba'zi sirlarini tushunishga harakat qilamiz: Jey Simpson o'z xotinini o'ldirganmi; to'shakni iloji boricha uzoqroq turishi uchun qanday qilib o'zgartirish kerak; turmush qurishdan oldin qancha sheriklarni o'zgartirish kerak - va biz ba'zi cheksizliklar nima uchun boshqalardan kattaroq ekanligini bilib olamiz.

Matematika hamma joyda, siz uni tanib olishni o'rganishingiz kerak. Siz zebraning orqa tomonida sinus to'lqinini ko'rishingiz mumkin, Mustaqillik Deklaratsiyasidagi Evklid teoremalarining aks-sadolarini eshitishingiz mumkin; Nima deyishim mumkin, hatto birinchi jahon urushidan oldingi quruq xabarlarda ham salbiy raqamlar mavjud. Shuningdek, siz matematikaning yangi sohalari bugungi hayotimizga qanday ta'sir qilishini ko'rishingiz mumkin, masalan, biz kompyuter yordamida restoranlarni qidirganimizda yoki hech bo'lmaganda birja bozorining qo'rqinchli tebranishlarini tushunishga yoki yaxshiroq omon qolishga harakat qilganimizda.

Matematika fanning eng to‘g‘ri va universal tilidir, lekin inson tuyg‘ularini raqamlar yordamida tushuntirish mumkinmi? Sevgi formulalari, betartiblik urug'lari va romantik differensial tenglamalar - T&P Mann, Ivanov va Ferber tomonidan nashr etilgan dunyodagi eng yaxshi matematika o'qituvchilaridan biri Stiven Strogatzning "Xning zavqi" kitobidan bobni nashr etadi.

Bahorda, deb yozadi Tennison, yigitning tasavvuri osongina sevgi haqidagi fikrlarga aylanadi. Afsuski, yigitning potentsial sherigi sevgi haqida o'z g'oyalariga ega bo'lishi mumkin va keyin ularning munosabatlari sevgini juda hayajonli va juda og'riqli qiladigan bo'ronli ko'tarilish va pasayishlarga to'la bo'ladi. Ba'zi javobsiz sevgidan azob chekayotganlar bu sevgining sharobda, boshqalari esa she'riyatda izoh izlaydilar. Va biz hisob bilan maslahatlashamiz.

Quyida tahlil tilga olinadi, lekin u jiddiy mavzularga taalluqlidir. Bundan tashqari, sevgi qonunlarini tushunish bizni chetlab o'tishi mumkin bo'lsa-da, jonsiz dunyo qonunlari hozir yaxshi o'rganilgan. Ular o'zaro bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilarning hozirgi qiymatlariga qarab qanday o'zgarishini tavsiflovchi differentsial tenglamalar shaklini oladi. Bunday tenglamalarning romantikaga unchalik aloqasi yo‘q bo‘lishi mumkin, lekin ular hech bo‘lmaganda nima uchun, boshqa bir shoir ta’biri bilan aytganda, “haqiqiy ishq yo‘li hech qachon ravon yurmasligi”ga oydinlik kiritishi mumkin. Differensial tenglamalar usulini tasvirlash uchun, deylik, Romeo Julettani yaxshi ko'radi, ammo bizning hikoyamizdagi versiyada Juliet uchuvchan oshiq. Romeo uni qanchalik yaxshi ko'rsa, undan yashirishni xohlaydi. Ammo Romeo unga nisbatan sovuqqon bo'lganda, u unga g'ayrioddiy jozibali bo'lib ko'rinadi. Biroq, yosh sevgilisi uning his-tuyg'ularini aks ettirishga intiladi: u uni sevganda porlaydi va undan nafratlanganda soviydi.

Yulduzli oshiqlarimizga nima bo'ladi? Qanday qilib sevgi ularni iste'mol qiladi va vaqt o'tishi bilan yo'qoladi? Bu erda differentsial hisoblar yordamga keladi. Romeo va Julettaning kuchayib borayotgan va susayib borayotgan his-tuyg'ularini umumlashtiruvchi tenglamalarni yaratib, keyin ularni hal qilish orqali biz er-xotin munosabatlarining borishini taxmin qilishimiz mumkin. Uning uchun yakuniy prognoz sevgi va nafratning fojiali cheksiz tsikli bo'ladi. Bu vaqtning kamida to'rtdan birida ular o'zaro sevgiga ega bo'lishadi.

Ushbu xulosaga kelish uchun men Romeoning xatti-harakatlarini differentsial tenglama yordamida modellashtirish mumkin deb o'yladim.

bu uning sevgisi ® keyingi daqiqada qanday o'zgarishini tasvirlaydi (dt). Ushbu tenglamaga ko'ra, o'zgarish miqdori (dR) Julietning sevgisiga (J) to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir (proportsionallik koeffitsienti a bilan). Bu munosabatlar biz allaqachon bilgan narsalarni aks ettiradi: Julietta uni sevganda Romeoning sevgisi kuchayadi, lekin bu Romeoning sevgisi Juliettani qanchalik sevishiga to'g'ridan-to'g'ri mutanosib ravishda ortib borishini ko'rsatadi. Chiziqli munosabatlar haqidagi bu taxmin hissiy jihatdan aql bovar qilmaydi, lekin bu tenglamani yechishda ancha osonlashadi.

Bundan farqli o'laroq, Julietning xatti-harakatlarini tenglama yordamida modellashtirish mumkin

b doimiysi oldidagi salbiy belgi Romeoning sevgisi kuchayib borishi bilan uning sevgisi sovib borayotganini aks ettiradi.

Aniqlash kerak bo'lgan yagona narsa - bu ularning dastlabki his-tuyg'ulari (ya'ni, t = 0 vaqtidagi R va J qiymatlari). Shundan so'ng barcha kerakli parametrlar o'rnatiladi. Yuqorida tavsiflangan differentsial tenglamalarga muvofiq R va J qiymatlarini o'zgartirib, asta-sekin oldinga siljish uchun kompyuterdan foydalanishimiz mumkin. Aslida, integral hisobining asosiy teoremasidan foydalanib, biz yechimni analitik tarzda topishimiz mumkin. Model oddiy bo'lgani uchun integral hisoblar bizga Romeo va Juletta kelajakda istalgan vaqtda bir-birlarini qanchalik sevishlarini (yoki nafratlanishini) aytib beradigan bir nechta keng qamrovli formulalarni ishlab chiqaradi.

Yuqorida keltirilgan differentsial tenglamalar fizika talabalariga tanish bo'lishi kerak: Romeo va Juliet o'zlarini oddiy garmonik osilatorlar kabi tutadilar. Shunday qilib, model vaqt o'tishi bilan ularning nisbatlarining o'zgarishini tavsiflovchi R (t) va J (t) funktsiyalari sinusoidlar bo'lishini taxmin qiladi, ularning har biri ortib boradi va kamayadi, lekin ularning maksimal qiymatlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi.

"Sevgi munosabatlarini differentsial tenglamalar yordamida tasvirlash haqidagi ahmoqona g'oya men birinchi marta oshiq bo'lganimda va qiz do'stimning tushunarsiz xatti-harakatlarini tushunishga harakat qilganimda paydo bo'lgan."

Modelni turli yo'llar bilan yanada realistik qilish mumkin. Misol uchun, Romeo nafaqat Julietning his-tuyg'ulariga, balki o'zinikiga ham munosabat bildirishi mumkin. Agar u tashlab ketishdan juda qo'rqqan va his-tuyg'ularini sovuta boshlagan yigitlardan biri bo'lsa-chi. Yoki u azob chekishni yaxshi ko'radigan boshqa turdagi yigitlarga tegishli - shuning uchun u uni sevadi.

Ushbu stsenariylarga Romeoning yana ikkita xatti-harakatini qo'shing: u Julietning mehriga o'z mehrini oshirish yoki zaiflashtirish orqali javob beradi - va siz sevgi munosabatlarida to'rt xil xulq-atvor uslubi mavjudligini ko'rasiz. Mening talabalarim va Worcester Politexnika Institutidagi Piter Kristofer guruhining talabalari bunday turdagi vakillarni chaqirishni taklif qilishdi: his-tuyg'ularini sovutadigan va Julietdan uzoqlashtiradigan Romeo uchun Hermit yoki Yovuz Mizantrop va bittasi uchun Narsisistik Blokhead va Flirting Fink uning ishtiyoqini isitadigan, lekin Juliet tomonidan rad etilgan. (Ushbu turlarning barchasi uchun o'z nomlaringizni topishingiz mumkin.)

Berilgan misollar fantastik bo'lsa-da, ularni tavsiflovchi tenglamalar turlari juda tushunarli. Ular moddiy dunyoni anglash uchun insoniyat yaratgan eng kuchli vositalarni ifodalaydi. Ser Isaak Nyuton sayyoralar harakati sirini ochish uchun differensial tenglamalardan foydalangan. Bu tenglamalardan foydalanib, u yer va osmon sferalarini birlashtirib, ikkalasiga ham bir xil harakat qonunlari taalluqli ekanligini ko‘rsatdi.

Nyutondan deyarli 350 yil o'tgach, insoniyat fizika qonunlari doimo differentsial tenglamalar tilida ifodalanishini tushundi. Bu issiqlik, havo va suv oqimini tavsiflovchi tenglamalarga, elektr va magnitlanish qonunlariga, hatto kvant mexanikasi hukmronlik qiladigan atomga ham tegishli.

Hamma hollarda nazariy fizika to'g'ri differensial tenglamalarni topishi va ularni yechishi kerak. Nyuton koinot sirlarining ushbu kalitini topib, uning buyuk ahamiyatini anglab etgach, uni lotincha anagramma shaklida nashr etdi. Erkin tarjima qilinganda, bu shunday eshitiladi: "Differensial tenglamalarni echish foydalidir."

Sevgi munosabatlarini differentsial tenglamalar yordamida tasvirlash haqidagi ahmoqona g'oya men birinchi marta sevib qolganimda va qiz do'stimning tushunarsiz xatti-harakatlarini tushunishga harakat qilganimda paydo bo'lgan. Bu kollejning ikkinchi yilining oxirida yozgi romantika edi. O'shanda men birinchi Romeoga, u esa birinchi Juliettaga juda o'xshardi. Bizning munosabatlarimizning tsiklik tabiati meni aqldan ozdirdi, toki men ikkalamiz ham oddiy surish-pull qoidasiga muvofiq inertsiyadan tashqarida harakat qilayotganimizni angladim. Ammo yozning oxiriga kelib, mening tenglamam buzilib keta boshladi va men battar sarosimaga tushdim. Ma'lum bo'lishicha, men hisobga olmagan muhim voqea sodir bo'ldi: uning sobiq sevgilisi uni qaytarishni xohladi.

Matematikada bu masalani uch jismli masala deb ataymiz. Bu, ayniqsa, birinchi marta paydo bo'lgan astronomiya kontekstida hal qilib bo'lmaydiganligi aniq. Nyuton ikki jismli masala uchun differensial tenglamalarni yechgandan so'ng (bu sayyoralar nima uchun Quyosh atrofida elliptik orbita bo'ylab harakatlanishini tushuntiradi) e'tiborini Quyosh, Yer va Oy uchun uchta jism muammosiga qaratdi. Uni na u, na boshqa olimlar hal qila olmadilar. Keyinchalik ma'lum bo'lishicha, uch tana muammosi betartiblik urug'ini o'z ichiga oladi, ya'ni ularning xatti-harakatlari uzoq muddatda oldindan aytib bo'lmaydi.

Nyuton xaos dinamikasi haqida hech narsa bilmas edi, lekin uning do'sti Edmund Halleyning so'zlariga ko'ra, u uchta tana muammosi bosh og'rig'iga sabab bo'lganidan shikoyat qilgan va uni tez-tez ushlab turgani uchun u endi bu haqda o'ylamaydi.

Mana men siz bilanman, ser Ishoq.