Formula para sa isang tangent sa graph ng isang function. Equation ng isang tangent sa graph ng isang function. The Comprehensive Guide (2019)

Ang tangent ay isang tuwid na linya , na humahawak sa graph ng function sa isang punto at lahat ng mga punto ay nasa pinakamaikling distansya mula sa graph ng function. Samakatuwid, ang tangent ay pumasa sa tangent sa graph ng function sa isang tiyak na anggulo at ilang mga tangent sa iba't ibang mga anggulo ay hindi maaaring dumaan sa punto ng tangency. Ang mga tangent equation at normal na equation sa graph ng isang function ay binuo gamit ang derivative.

Ang tangent equation ay nagmula sa line equation .

Kunin natin ang equation ng tangent, at pagkatapos ay ang equation ng normal sa graph ng function.

y = kx + b .

Sa kanya k- angular coefficient.

Mula dito nakukuha natin ang sumusunod na entry:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Derivative na halaga f "(x 0 ) mga function y = f(x) sa punto x0 katumbas ng slope k= tg φ padaplis sa graph ng isang function na iginuhit sa pamamagitan ng isang punto M0 (x 0 , y 0 ) , Saan y0 = f(x 0 ) . Ito ay geometric na kahulugan ng derivative .

Kaya, maaari naming palitan k sa f "(x 0 ) at kunin ang sumusunod equation ng tangent sa graph ng isang function :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Sa mga problemang kinasasangkutan ng pagbuo ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function (at magpapatuloy tayo sa mga ito sa lalong madaling panahon), kinakailangan na bawasan ang equation na nakuha mula sa formula sa itaas hanggang equation ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang anyo. Upang gawin ito, kailangan mong ilipat ang lahat ng mga titik at numero sa kaliwang bahagi ng equation, at mag-iwan ng zero sa kanang bahagi.

Ngayon tungkol sa normal na equation. Normal - ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ng tangency sa graph ng function na patayo sa tangent. Normal na equation :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Upang magpainit, hihilingin sa iyo na lutasin ang unang halimbawa sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon. Mayroong lahat ng dahilan upang umasa na ang gawaing ito ay hindi magiging isang "cold shower" para sa aming mga mambabasa.

Halimbawa 0. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa graph ng isang function sa isang punto M (1, 1) .

Halimbawa 1. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa graph ng isang function , kung ang abscissa ay padaplis.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Ngayon ay mayroon na tayong lahat na kailangang ipalit sa entry na ibinigay sa teoretikal na tulong upang makuha ang tangent equation. Nakukuha namin

Sa halimbawang ito, kami ay mapalad: ang slope coefficient ay naging zero, kaya hindi na kailangang hiwalay na dalhin ang equation sa pangkalahatang anyo nito. Ngayon ay maaari tayong lumikha ng normal na equation:

Sa figure sa ibaba: ang graph ng function ay burgundy, ang tangent ay berde, ang normal ay orange.

Ang susunod na halimbawa ay hindi rin kumplikado: ang pag-andar, tulad ng sa nauna, ay isang polynomial din, ngunit ang slope ay hindi magiging katumbas ng zero, kaya ang isa pang hakbang ay idaragdag - dinadala ang equation sa isang pangkalahatang anyo.

Halimbawa 2.

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:

Hanapin natin ang derivative ng function:

.

Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng tangency, iyon ay, ang slope ng tangent:

Pinapalitan namin ang lahat ng nakuhang data sa "blangko na formula" at makuha ang tangent equation:

Dinadala namin ang equation sa pangkalahatang anyo nito (kinokolekta namin ang lahat ng mga titik at numero maliban sa zero sa kaliwang bahagi, at iniiwan ang zero sa kanan):

Binubuo namin ang normal na equation:

Halimbawa 3. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa graph ng function kung ang abscissa ay ang punto ng tangency.

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:

Hanapin natin ang derivative ng function:

.

Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng tangency, iyon ay, ang slope ng tangent:

.

Natagpuan namin ang tangent equation:

Bago dalhin ang equation sa pangkalahatang anyo nito, kailangan mong "magsuklay" ng kaunti: i-multiply ang term sa term sa 4. Ginagawa namin ito at dinadala ang equation sa pangkalahatang anyo nito:

Binubuo namin ang normal na equation:

Halimbawa 4. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa graph ng function kung ang abscissa ay ang punto ng tangency.

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:

.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng tangency, iyon ay, ang slope ng tangent:

.

Nakukuha namin ang tangent equation:

Dinadala namin ang equation sa pangkalahatang anyo nito:

Binubuo namin ang normal na equation:

Ang isang karaniwang pagkakamali kapag nagsusulat ng tangent at normal na mga equation ay hindi mapansin na ang function na ibinigay sa halimbawa ay kumplikado at upang kalkulahin ang derivative nito bilang derivative ng isang simpleng function. Ang mga sumusunod na halimbawa ay mula na sa kumplikadong mga pag-andar(magbubukas ang kaukulang aralin sa isang bagong window).

Halimbawa 5. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa graph ng function kung ang abscissa ay ang punto ng tangency.

Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:

Pansin! Ang pagpapaandar na ito ay kumplikado, dahil ang padaplis na argumento (2 x) ay mismong isang function. Samakatuwid, nakita natin ang derivative ng isang function bilang derivative ng isang kumplikadong function.

Ang artikulo ay nagbibigay ng isang detalyadong paliwanag ng mga kahulugan, ang geometriko na kahulugan ng hinalaw na may mga graphic na notasyon. Ang equation ng isang tangent line ay isasaalang-alang kasama ng mga halimbawa, ang mga equation ng isang tangent hanggang 2nd order curves ay makikita.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay tinatawag na anggulo α, na sinusukat mula sa positibong direksyon ng x axis hanggang sa tuwid na linya y = k x + b sa positibong direksyon.

Sa figure, ang direksyon ng x ay ipinahiwatig ng isang berdeng arrow at isang berdeng arko, at ang anggulo ng pagkahilig ng isang pulang arko. Ang asul na linya ay tumutukoy sa tuwid na linya.

Kahulugan 2

Ang slope ng tuwid na linya y = k x + b ay tinatawag na numerical coefficient k.

Ang angular coefficient ay katumbas ng tangent ng tuwid na linya, sa madaling salita k = t g α.

• Ang anggulo ng inclination ng isang tuwid na linya ay katumbas ng 0 lamang kung ito ay parallel sa x at ang slope ay katumbas ng zero, dahil ang tangent ng zero ay katumbas ng 0. Nangangahulugan ito na ang anyo ng equation ay y = b.
• Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay talamak, kung gayon ang mga kondisyon 0 ay nasiyahan< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, at mayroong pagtaas sa graph.
• Kung α = π 2, kung gayon ang lokasyon ng linya ay patayo sa x. Ang pagkakapantay-pantay ay tinukoy ng x = c na ang halaga c ay isang tunay na numero.
• Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay malabo, kung gayon ito ay tumutugma sa mga kondisyon π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Ang secant ay isang linya na dumadaan sa 2 puntos ng function na f (x). Sa madaling salita, ang isang secant ay isang tuwid na linya na dumadaan sa anumang dalawang puntos sa graph ng isang ibinigay na function.

Ipinapakita ng figure na ang A B ay isang secant, at ang f (x) ay isang itim na curve, ang α ay isang pulang arko, na nagpapahiwatig ng anggulo ng pagkahilig ng secant.

Kapag ang angular coefficient ng isang tuwid na linya ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination, malinaw na ang tangent ng isang right triangle A B C ay matatagpuan sa pamamagitan ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabi.

Kahulugan 4

Kumuha kami ng formula para sa paghahanap ng secant ng form:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kung saan ang abscissas ng mga puntos A at B ay ang mga halaga x A, x B, at f (x A), f (x B) ay ang mga function ng mga halaga sa mga puntong ito.

Malinaw, ang angular coefficient ng secant ay tinutukoy gamit ang equality k = f (x B) - f (x A) x B - x A o k = f (x A) - f (x B) x A - x B , at ang equation ay dapat na nakasulat bilang y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) o
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Hinahati ng secant ang graph nang biswal sa 3 bahagi: sa kaliwa ng punto A, mula A hanggang B, sa kanan ng B. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita na mayroong tatlong secants na itinuturing na magkasabay, iyon ay, itinakda ang mga ito gamit ang isang katulad na equation.

Sa pamamagitan ng kahulugan, malinaw na ang tuwid na linya at ang secant nito sa kasong ito ay nag-tutugma.

Maaaring i-intersect ng isang secant ang graph ng isang partikular na function nang maraming beses. Kung mayroong isang equation ng form na y = 0 para sa isang secant, kung gayon ang bilang ng mga punto ng intersection sa sinusoid ay walang hanggan.

Kahulugan 5

Tangent sa graph ng function na f (x) sa punto x 0 ; f (x 0) ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto x 0; f (x 0), na may presensya ng isang segment na may maraming x value na malapit sa x 0.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang halimbawa sa ibaba. Pagkatapos ay malinaw na ang linya na tinukoy ng function na y = x + 1 ay itinuturing na tangent sa y = 2 x sa puntong may mga coordinate (1; 2). Para sa kalinawan, kinakailangang isaalang-alang ang mga graph na may mga halaga na malapit sa (1; 2). Ang function na y = 2 x ay ipinapakita sa itim, ang asul na linya ay ang tangent na linya, at ang pulang tuldok ay ang intersection point.

Malinaw, ang y = 2 x ay sumasama sa linyang y = x + 1.

Upang matukoy ang tangent, dapat nating isaalang-alang ang pag-uugali ng tangent A B habang ang punto B ay lumalapit sa puntong A nang walang hanggan.

Ang secant A B, na ipinahiwatig ng asul na linya, ay may gawi sa posisyon ng tangent mismo, at ang anggulo ng pagkahilig ng secant α ay magsisimula sa anggulo ng pagkahilig ng tangent mismo α x.

Kahulugan 6

Ang tangent sa graph ng function na y = f (x) sa punto A ay itinuturing na naglilimita sa posisyon ng secant A B dahil ang B ay may posibilidad na A, iyon ay, B → A.

Ngayon ay magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa secant A B para sa function na f (x), kung saan ang A at B na may mga coordinate x 0, f (x 0) at x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), at ∆ x ay denoted bilang ang increment ng argumento . Ngayon ang function ay kukuha ng form na ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para sa kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa ng pagguhit.

Isaalang-alang ang resultang tamang tatsulok A B C. Ginagamit namin ang kahulugan ng tangent upang malutas, iyon ay, nakukuha namin ang kaugnayan ∆ y ∆ x = t g α . Mula sa kahulugan ng isang padaplis ito ay sumusunod na lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Ayon sa tuntunin ng derivative sa isang punto, mayroon tayong derivative na f (x) sa puntong x 0 ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa increment ng argument, kung saan ∆ x → 0 , pagkatapos ay tukuyin natin ito bilang f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Kasunod nito na ang f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kung saan ang k x ay tinutukoy bilang slope ng tangent.

Iyon ay, nakita natin na ang f ' (x) ay maaaring umiral sa punto x 0, at tulad ng tangent sa isang ibinigay na graph ng function sa punto ng tangency katumbas ng x 0, f 0 (x 0), kung saan ang halaga ng ang slope ng tangent sa punto ay katumbas ng derivative sa punto x 0 . Pagkatapos makuha namin na k x = f " (x 0) .

Ang geometric na kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto ay ang pagbibigay ng konsepto ng pagkakaroon ng tangent sa graph sa parehong punto.

Upang isulat ang equation ng anumang tuwid na linya sa isang eroplano, kinakailangan na magkaroon ng isang angular coefficient na may punto kung saan ito dumadaan. Ang notasyon nito ay kinuha na x 0 sa intersection.

Ang tangent equation sa graph ng function na y = f (x) sa puntong x 0, f 0 (x 0) ay nasa anyong y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Nangangahulugan ito na ang pangwakas na halaga ng derivative f "(x 0) ay maaaring matukoy ang posisyon ng tangent, iyon ay, patayo, sa kondisyon na lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ at lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ o kawalan talaga sa ilalim ng kundisyong lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Ang lokasyon ng tangent ay depende sa halaga ng angular coefficient nito k x = f "(x 0). Kapag parallel sa o x axis, nakukuha natin na k k = 0, kapag parallel sa o y - k x = ∞, at ang anyo ng tangent equation x = x 0 ay tumataas na may k x > 0, bumababa bilang k x< 0 .

Halimbawa 2

Bumuo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 sa punto na may mga coordinate (1; 3) at tukuyin ang anggulo ng inclination.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon kaming na ang function ay tinukoy para sa lahat ng mga tunay na numero. Nalaman namin na ang punto na may mga coordinate na tinukoy ng kundisyon, (1; 3) ay isang punto ng tangency, pagkatapos x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Kinakailangang hanapin ang derivative sa puntong may halaga - 1. Nakukuha namin iyon

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Ang halaga ng f' (x) sa punto ng tangency ay ang slope ng tangent, na katumbas ng tangent ng slope.

Pagkatapos k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Kasunod nito na α x = a r c t g 3 3 = π 6

Sagot: ang tangent equation ay tumatagal ng anyo

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang halimbawa sa isang graphic na paglalarawan.

Ang itim na kulay ay ginagamit para sa graph ng orihinal na function, ang asul na kulay ay ang imahe ng tangent, at ang pulang tuldok ay ang punto ng tangency. Ang figure sa kanan ay nagpapakita ng pinalaki na view.

Halimbawa 3

Tukuyin ang pagkakaroon ng isang tangent sa graph ng isang ibinigay na function
y = 3 · x - 1 5 + 1 sa puntong may mga coordinate (1 ; 1) . Sumulat ng isang equation at tukuyin ang anggulo ng pagkahilig.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon kaming na ang domain ng kahulugan ng isang ibinigay na function ay itinuturing na set ng lahat ng tunay na numero.

Lumipat tayo sa paghahanap ng derivative

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Kung x 0 = 1, kung gayon ang f' (x) ay hindi natukoy, ngunit ang mga limitasyon ay isinusulat bilang lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ at lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , na nangangahulugang ang pagkakaroon ng patayong padaplis sa punto (1; 1).

Sagot: ang equation ay kukuha ng anyong x = 1, kung saan ang anggulo ng pagkahilig ay magiging katumbas ng π 2.

Para sa kalinawan, ilarawan natin ito nang grapiko.

Halimbawa 4

Hanapin ang mga puntos sa graph ng function na y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kung saan

1. Walang padaplis;
2. Ang padaplis ay parallel sa x;
3. Ang padaplis ay parallel sa linyang y = 8 5 x + 4.

Solusyon

Kinakailangang bigyang pansin ang saklaw ng kahulugan. Sa pamamagitan ng kondisyon, mayroon kaming na ang function ay tinukoy sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero. Pinalawak namin ang module at nilulutas ang system na may mga pagitan x ∈ - ∞ ; 2 at [- 2 ; + ∞). Nakukuha namin iyon

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Ito ay kinakailangan upang iiba ang pag-andar. Meron tayo niyan

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Kapag x = − 2, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral dahil ang isang panig na limitasyon ay hindi pantay sa puntong iyon:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kinakalkula namin ang halaga ng function sa puntong x = - 2, kung saan nakuha namin iyon

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, iyon ay, ang padaplis sa punto ( - 2; - 2) ay hindi iiral.
2. Ang tangent ay parallel sa x kapag ang slope ay zero. Pagkatapos k x = t g α x = f "(x 0). Iyon ay, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng naturang x kapag ang derivative ng function ay nagiging zero. Iyon ay, ang mga halaga ng f ' (x) ang magiging mga punto ng tangency, kung saan ang padaplis ay kahanay sa x .

Kapag x ∈ - ∞ ; - 2, pagkatapos - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, at para sa x ∈ (- 2; + ∞) makakakuha tayo ng 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng function

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Samakatuwid - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; Ang 4 3 ay itinuturing na mga kinakailangang puntos ng function graph.

Tingnan natin ang isang graphical na representasyon ng solusyon.

Ang itim na linya ay ang graph ng function, ang mga pulang tuldok ay ang mga tangency point.

1. Kapag ang mga linya ay parallel, ang mga angular coefficient ay pantay. Pagkatapos ay kinakailangan na maghanap ng mga punto sa function graph kung saan ang slope ay magiging katumbas ng halaga 8 5. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang isang equation ng anyong y "(x) = 8 5. Pagkatapos, kung x ∈ - ∞; - 2, makuha natin iyon - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, at kung x ∈ ( - 2 ; + ∞), kung gayon 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Ang unang equation ay walang mga ugat dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero. Isulat natin iyan

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ang isa pang equation ay may dalawang tunay na ugat, kung gayon

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga halaga ng pag-andar. Nakukuha namin iyon

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Mga puntos na may mga halaga - 1; 4 15, 5; Ang 8 3 ay ang mga punto kung saan ang mga tangent ay parallel sa linyang y = 8 5 x + 4.

Sagot: itim na linya – graph ng function, pulang linya – graph ng y = 8 5 x + 4, asul na linya – mga tangent sa mga punto - 1; 4 15, 5; 8 3.

Maaaring mayroong isang walang katapusang bilang ng mga tangent para sa mga ibinigay na function.

Halimbawa 5

Isulat ang mga equation ng lahat ng available na tangent ng function na y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, na matatagpuan patayo sa tuwid na linya y = - 2 x + 1 2.

Solusyon

Upang ipunin ang tangent equation, kinakailangan upang mahanap ang coefficient at coordinate ng tangent point, batay sa kondisyon ng perpendicularity ng mga linya. Ang kahulugan ay ang mga sumusunod: ang produkto ng mga angular na coefficient na patayo sa mga tuwid na linya ay katumbas ng - 1, iyon ay, nakasulat bilang k x · k ⊥ = - 1. Mula sa kondisyon na mayroon tayo na ang angular coefficient ay matatagpuan patayo sa linya at katumbas ng k ⊥ = - 2, pagkatapos k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Ngayon ay kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga touch point. Kailangan mong hanapin ang x at pagkatapos ay ang halaga nito para sa isang naibigay na function. Tandaan na mula sa geometric na kahulugan ng derivative sa punto
x 0 makuha natin na k x = y "(x 0). Mula sa pagkakapantay-pantay na ito makikita natin ang mga halaga ng x para sa mga punto ng contact.

Nakukuha namin iyon

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ang trigonometric equation na ito ay gagamitin upang kalkulahin ang mga ordinate ng mga tangent na punto.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Ang Z ay isang hanay ng mga integer.

x mga punto ng contact ay natagpuan. Ngayon ay kailangan mong magpatuloy sa paghahanap para sa mga halaga ng y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 o y 0 = - 4 5 + 1 3

Mula dito nakuha natin na 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ang mga punto ng tangency.

Sagot: ang mga kinakailangang equation ay isusulat bilang

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para sa isang visual na representasyon, isaalang-alang ang isang function at isang tangent sa isang coordinate line.

Ipinapakita ng figure na ang function ay matatagpuan sa pagitan [-10; 10 ], kung saan ang itim na linya ay ang graph ng function, ang mga asul na linya ay mga tangent, na matatagpuan patayo sa ibinigay na linya ng anyong y = - 2 x + 1 2. Ang mga pulang tuldok ay mga touch point.

Ang mga canonical equation ng 2nd order curves ay hindi single-valued function. Ang mga tangent equation para sa kanila ay pinagsama-sama ayon sa mga kilalang scheme.

Tangent sa isang bilog

Upang tukuyin ang isang bilog na may sentro sa punto x c e n t e r ; y c e n t e r at radius R, ilapat ang formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang unyon ng dalawang function:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y

Ang unang function ay matatagpuan sa itaas, at ang pangalawa sa ibaba, tulad ng ipinapakita sa figure.

Upang ipunin ang equation ng isang bilog sa puntong x 0; y 0 , na matatagpuan sa itaas o ibabang kalahating bilog, dapat mong hanapin ang equation ng graph ng isang function ng form na y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r o y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r sa ipinahiwatig na punto.

Kapag sa mga punto x c e n t e r ; y c e n t e r + R at x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangents ay maaaring ibigay ng mga equation na y = y c e n t e r + R at y = y c e n t e r - R , at sa mga puntos na x c e n t e r + R ; y c e n t e r at
x c e n t e r - R ; y c e n t e r ay magiging parallel sa o y, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga equation ng form na x = x c e n t e r + R at x = x c e n t e r - R .

Tangent sa isang ellipse

Kapag ang ellipse ay may sentro sa x c e n t e r ; y c e n t e r na may semi-axes a at b, pagkatapos ay maaari itong tukuyin gamit ang equation x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Ang isang ellipse at isang bilog ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang function, lalo na ang upper at lower half-ellipse. Pagkatapos makuha namin iyon

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Kung ang mga tangent ay matatagpuan sa mga vertices ng ellipse, kung gayon sila ay parallel tungkol sa x o tungkol sa y. Sa ibaba, para sa kalinawan, isaalang-alang ang figure.

Halimbawa 6

Isulat ang equation ng tangent sa ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 sa mga puntos na may mga halaga ng x katumbas ng x = 2.

Solusyon

Kinakailangang hanapin ang mga tangent na puntos na tumutugma sa halagang x = 2. Pinapalitan namin ang umiiral na equation ng ellipse at hanapin iyon

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Pagkatapos 2; 5 3 2 + 5 at 2; - 5 3 2 + 5 ay ang mga padaplis na punto na kabilang sa upper at lower half-ellipse.

Lumipat tayo sa paghahanap at paglutas ng equation ng ellipse na may paggalang sa y. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Malinaw, ang upper half-ellipse ay tinukoy gamit ang isang function ng form na y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, at ang lower half ellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Maglapat tayo ng isang karaniwang algorithm upang lumikha ng isang equation para sa isang tangent sa graph ng isang function sa isang punto. Isulat natin na ang equation para sa unang tangent sa punto 2; 5 3 2 + 5 ang magiging hitsura

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Nalaman namin na ang equation ng ikalawang tangent na may halaga sa punto
2 ; - 5 3 2 + 5 ang kumukuha ng form

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Ang mga graphically tangent ay itinalaga bilang mga sumusunod:

Padaplis sa hyperbole

Kapag ang hyperbola ay may sentro sa x c e n t e r ; y c e n t e r at vertices x c e n t e r + α ; y c e n t e r at x c e n t e r - α ; y c e n t e r , ang hindi pagkakapantay-pantay x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ay nagaganap, kung may vertices x c e n t e r ; y c e n t e r + b at x c e n t e r ; y c e n t e r - b , pagkatapos ay tinukoy gamit ang inequality x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Ang hyperbola ay maaaring katawanin bilang dalawang pinagsamang function ng form

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r o y = b a · (x - x c e n t e r y) 2 + a 2 + y c e n t e r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Sa unang kaso mayroon tayo na ang mga tangent ay parallel sa y, at sa pangalawa sila ay parallel sa x.

Ito ay sumusunod na upang mahanap ang equation ng tangent sa isang hyperbola, ito ay kinakailangan upang malaman kung aling function ang punto ng tangency nabibilang. Upang matukoy ito, kinakailangan na palitan sa mga equation at suriin para sa pagkakakilanlan.

Halimbawa 7

Sumulat ng equation para sa tangent sa hyperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 sa punto 7; - 3 3 - 3 .

Solusyon

Kinakailangang baguhin ang talaan ng solusyon para sa paghahanap ng hyperbola gamit ang 2 function. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 at y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Ito ay kinakailangan upang matukoy kung aling function ang isang ibinigay na punto na may mga coordinate 7 nabibilang; - 3 3 - 3 .

Malinaw, upang suriin ang unang function na ito ay kinakailangan y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, kung gayon ang punto ay hindi kabilang sa graph, dahil ang pagkakapantay-pantay ay hindi hawak.

Para sa pangalawang function mayroon tayong y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, na nangangahulugan na ang punto ay kabilang sa ibinigay na graph. Mula dito dapat mong mahanap ang slope.

Nakukuha namin iyon

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Sagot: ang tangent equation ay maaaring katawanin bilang

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ito ay malinaw na inilalarawan tulad nito:

Tangent sa isang parabola

Upang lumikha ng isang equation para sa tangent sa parabola y = a x 2 + b x + c sa puntong x 0, y (x 0), kailangan mong gumamit ng isang karaniwang algorithm, pagkatapos ang equation ay kukuha ng form na y = y "(x). 0) x - x 0 + y ( x 0).

Dapat mong tukuyin ang parabola x = a y 2 + b y + c bilang unyon ng dalawang function. Samakatuwid, kailangan nating lutasin ang equation para sa y. Nakukuha namin iyon

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Ilarawan natin ito nang grapiko bilang:

Upang malaman kung ang isang punto x 0, y (x 0) ay kabilang sa isang function, magpatuloy nang malumanay ayon sa karaniwang algorithm. Ang nasabing tangent ay magiging parallel sa o y relative sa parabola.

Halimbawa 8

Isulat ang equation ng tangent sa graph x - 2 y 2 - 5 y + 3 kapag mayroon tayong anggulong tangent na 150 °.

Solusyon

Sinisimulan natin ang solusyon sa pamamagitan ng pagrepresenta sa parabola bilang dalawang function. Nakukuha namin iyon

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Ang halaga ng slope ay katumbas ng halaga ng derivative sa punto x 0 ng function na ito at katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination.

Nakukuha namin ang:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Mula dito tinutukoy namin ang halaga ng x para sa mga punto ng contact.

Ang unang function ay isusulat bilang

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Malinaw, walang tunay na mga ugat, dahil nakakuha kami ng negatibong halaga. Napagpasyahan namin na walang tangent na may anggulo na 150° para sa naturang function.

Ang pangalawang function ay isusulat bilang

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mayroon kaming na ang mga punto ng kontak ay 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Sagot: ang tangent equation ay tumatagal ng anyo

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Ilarawan natin ito nang grapiko sa ganitong paraan:

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang aralin sa video na "Equation ng isang tangent sa graph ng isang function" ay nagpapakita ng materyal na pang-edukasyon para sa mastering ng paksa. Sa panahon ng aralin sa video, ang teoretikal na materyal na kinakailangan upang mabuo ang konsepto ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto, isang algorithm para sa paghahanap ng naturang tangent, at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema gamit ang pinag-aralan na teoretikal na materyal ay inilarawan .

Gumagamit ang video tutorial ng mga pamamaraan na nagpapahusay sa kalinawan ng materyal. Ang pagtatanghal ay naglalaman ng mga guhit, diagram, mahahalagang komento ng boses, animation, pag-highlight at iba pang mga tool.

Ang video lesson ay nagsisimula sa isang presentasyon ng paksa ng aralin at isang imahe ng isang tangent sa graph ng ilang function na y=f(x) sa puntong M(a;f(a)). Alam na ang angular coefficient ng tangent na naka-plot sa graph sa isang naibigay na punto ay katumbas ng derivative ng function na f΄(a) sa puntong ito. Mula din sa kursong algebra alam natin ang equation ng tuwid na linya y=kx+m. Ang solusyon sa problema ng paghahanap ng tangent equation sa isang punto ay schematically na ipinakita, na binabawasan sa paghahanap ng mga coefficient k, m. Ang pag-alam sa mga coordinate ng isang punto na kabilang sa graph ng function, mahahanap natin ang m sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng coordinate sa tangent equation f(a)=ka+m. Mula dito makikita natin ang m=f(a)-ka. Kaya, ang pag-alam sa halaga ng derivative sa isang naibigay na punto at ang mga coordinate ng punto, maaari nating katawanin ang tangent equation sa ganitong paraan y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Ang sumusunod ay isang halimbawa ng pagbuo ng tangent equation kasunod ng diagram. Ibinigay ang function na y=x 2 , x=-2. Sa pagkuha ng a=-2, makikita natin ang halaga ng function sa isang ibinigay na punto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Tinutukoy namin ang derivative ng function f΄(x)=2x. Sa puntong ito ang derivative ay katumbas ng f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Upang mabuo ang equation, lahat ng coefficients a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ay natagpuan, kaya ang tangent equation ay y=4+(-4)(x+2). Pinapasimple ang equation, nakukuha natin ang y = -4-4x.

Ang sumusunod na halimbawa ay nagmumungkahi ng pagbuo ng isang equation para sa tangent sa pinanggalingan sa graph ng function na y=tgx. Sa isang ibinigay na punto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Kaya ang tangent equation ay mukhang y=x.

Bilang isang pangkalahatan, ang proseso ng pagbuo ng isang equation tangent sa graph ng isang function sa isang tiyak na punto ay pormal sa anyo ng isang algorithm na binubuo ng 4 na hakbang:

• Ipasok ang pagtatalaga a para sa abscissa ng tangent point;
• f(a) ay kinakalkula;
• Ang f΄(x) ay tinutukoy at ang f΄(a) ay kinakalkula. Ang mga nahanap na halaga ng a, f(a), f΄(a) ay pinapalitan sa tangent equation formula y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Halimbawa 1 ay isinasaalang-alang ang pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y=1/x sa punto x=1. Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng isang algorithm. Para sa isang ibinigay na function sa punto a=1, ang halaga ng function f(a)=-1. Derivative ng function f΄(x)=1/x 2. Sa puntong a=1 ang derivative f΄(a)= f΄(1)=1. Gamit ang data na nakuha, ang tangent equation na y=-1+(x-1), o y=x-2, ay iginuhit.

Sa halimbawa 2, kinakailangan upang mahanap ang equation ng tangent sa graph ng function na y=x 3 +3x 2 -2x-2. Ang pangunahing kondisyon ay ang parallelism ng tangent at tuwid na linya y=-2x+1. Una, nakita natin ang angular coefficient ng tangent, katumbas ng angular coefficient ng tuwid na linya y=-2x+1. Dahil f΄(a)=-2 para sa isang naibigay na linya, kung gayon k=-2 para sa nais na padaplis. Nahanap namin ang derivative ng function (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Alam na f΄(a)=-2, nakita natin ang mga coordinate ng point 3a 2 +6a-2=-2. Nang malutas ang equation, makakakuha tayo ng 1 =0, at 2 =-2. Gamit ang nahanap na mga coordinate, mahahanap mo ang tangent equation gamit ang isang kilalang algorithm. Nahanap namin ang halaga ng function sa mga puntos na f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Ang halaga ng derivative sa punto f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa tangent equation, nakuha namin para sa unang punto a 1 =0 y=-2x-2, at para sa pangalawang punto a 2 =-2 ang tangent equation y=-2x-22.

Inilalarawan ng Halimbawa 3 ang komposisyon ng tangent equation para sa pagguhit nito sa punto (0;3) sa graph ng function na y=√x. Ang solusyon ay ginawa gamit ang isang kilalang algorithm. Ang tangent point ay may mga coordinate x=a, kung saan a>0. Ang halaga ng function sa punto f(a)=√x. Ang derivative ng function f΄(х)=1/2√х, samakatuwid sa isang ibinigay na punto f΄(а)=1/2√а. Ang pagpapalit ng lahat ng nakuhang halaga sa tangent equation, nakukuha natin ang y=√a+(x-a)/2√a. Pagbabago ng equation, nakukuha natin ang y=x/2√а+√а/2. Alam na ang padaplis ay dumadaan sa punto (0;3), nakita natin ang halaga ng a. Nakahanap kami ng mula sa 3=√a/2. Kaya √a=6, a=36. Nahanap namin ang tangent equation y=x/12+3. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na isinasaalang-alang at ang constructed na nais na tangent.

Ang mga mag-aaral ay pinapaalalahanan ng mga tinatayang pagkakapantay-pantay Δy=≈f΄(x)Δxat f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Pagkuha ng x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, nakukuha natin ang f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), kaya f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Sa halimbawa 4, kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng expression na 2.003 6. Dahil kinakailangan upang mahanap ang halaga ng function na f(x)=x 6 sa puntong x=2.003, maaari nating gamitin ang kilalang formula, kumukuha ng f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivative sa puntong f΄(2)=192. Samakatuwid, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Sa pagkalkula ng expression, makakakuha tayo ng 2.003 6 ≈64.576.

Ang video lesson na "Equation of a tangent to the graph of a function" ay inirerekomenda para gamitin sa isang tradisyonal na aralin sa matematika sa paaralan. Para sa isang guro na nagtuturo nang malayuan, makakatulong ang materyal sa video na ipaliwanag ang paksa nang mas malinaw. Ang video ay maaaring irekomenda para sa mga mag-aaral na magrepaso nang nakapag-iisa kung kinakailangan upang mapalalim ang kanilang pag-unawa sa paksa.

PAG-DECODE NG TEKSTO:

Alam natin na kung ang isang puntong M (a; f(a)) (em na may mga coordinate a at ef mula sa a) ay kabilang sa graph ng function na y = f (x) at kung sa puntong ito posible na gumuhit ng tangent sa graph ng function na hindi patayo sa axis abscissa, kung gayon ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f"(a) (eff prime mula sa a).

Hayaang maibigay ang isang function na y = f(x) at isang punto M (a; f(a)), at alam din na umiral ang f´(a). Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang partikular na punto. Ang equation na ito, tulad ng equation ng anumang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis, ay may anyo na y = kx+m (ang y ay katumbas ng ka x plus em), kaya ang gawain ay hanapin ang mga halaga ng ang mga koepisyent k at m (ka at em)

Angle coefficient k= f"(a). Upang kalkulahin ang halaga ng m, ginagamit namin ang katotohanan na ang nais na tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M(a; f (a)). Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate ng ituro ang M sa equation ng tuwid na linya, nakuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay : f(a) = ka+m, mula sa kung saan makikita natin na m = f(a) - ka.

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficients ki at m sa equation ng tuwid na linya:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y ay katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, pinarami ng x minus a).

Nakuha namin ang equation para sa tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong x=a.

Kung, sabihin nating, y = x 2 at x = -2 (i.e. a = -2), kung gayon f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, na nangangahulugang f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (kung gayon ang ef ng a ay katumbas ng apat, ang ef ng prime ng x ay katumbas ng dalawang x, na nangangahulugang ef prime mula sa isang katumbas ng minus apat)

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 sa equation, makuha namin ang: y = 4+(-4)(x+2), i.e. y = -4x -4.

(E ay katumbas ng minus apat x minus apat)

Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = tanx (ang y ay katumbas ng tangent x) sa pinanggalingan. Mayroon kaming: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , na nangangahulugang f"(0) = l. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 sa equation, makukuha natin ang: y=x.

Ibuod natin ang ating mga hakbang para sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng isang function sa point x gamit ang isang algorithm.

ALGORITHM PARA SA PAGBUO NG EQUATION PARA SA TANGENT SA GRAPH NG FUNCTION y = f(x):

1) Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.

2) Kalkulahin ang f(a).

3) Hanapin ang f´(x) at kalkulahin ang f´(a).

4) Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), f´(a) sa formula y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Halimbawa 1. Gumawa ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = - in

punto x = 1.

Solusyon. Gamitin natin ang algorithm, isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Palitan ang nahanap na tatlong numero: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 sa formula. Nakukuha namin ang: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Sagot: y = x-2.

Halimbawa 2. Nabigyan ng function na y = x 3 +3x 2 -2x-2. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = f(x), parallel sa tuwid na linya y = -2x +1.

Gamit ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, isinasaalang-alang namin na sa halimbawang ito f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ngunit ang abscissa ng tangent point ay hindi ipinahiwatig dito.

Magsimula tayong mag-isip ng ganito. Ang nais na padaplis ay dapat na parallel sa tuwid na linya y = -2x+1. At ang mga parallel na linya ay may pantay na angular coefficients. Nangangahulugan ito na ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng angular coefficient ng ibinigay na tuwid na linya: k tangent. = -2. Hok cas. = f"(a). Kaya, mahahanap natin ang halaga ng a mula sa equation f ´(a) = -2.

Hanapin natin ang derivative ng function y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Mula sa equation f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 nakita namin ang isang 1 =0, isang 2 =-2. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tangent na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: ang isa sa punto na may abscissa 0, ang isa sa punto na may abscissa -2.

Ngayon ay maaari mong sundin ang algorithm.

1) a 1 =0, at 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ang pagpapalit ng mga halaga a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 sa formula, nakukuha natin:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ang pagpapalit ng mga halaga a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 sa formula, nakukuha natin:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Sagot: y=-2x-2, y=-2x+2.

Halimbawa 3. Mula sa punto (0; 3) gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = . Solusyon. Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f(x) = . Tandaan na dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig. Gayunpaman, sinusunod namin ang algorithm.

1) Hayaang x = a ang abscissa ng punto ng tangency; malinaw na ang isang >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Pagpapalit ng mga halaga ng a, f(a) = , f"(a) = sa formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), nakukuha namin:

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 3). Ang pagpapalit ng mga halaga x = 0, y = 3 sa equation, nakukuha natin ang: 3 = , at pagkatapos ay =6, a =36.

Tulad ng nakikita mo, sa halimbawang ito, tanging sa ika-apat na hakbang ng algorithm ay nagawa naming mahanap ang abscissa ng tangent point. Ang pagpapalit ng halaga a =36 sa equation, makuha natin ang: y=+3

Sa Fig. Ang Figure 1 ay nagpapakita ng isang geometric na paglalarawan ng itinuturing na halimbawa: isang graph ng function na y = ay binuo, isang tuwid na linya ay iginuhit y = +3.

Sagot: y = +3.

Alam namin na para sa isang function na y = f(x), na may derivative sa punto x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay wasto: Δyf´(x)Δx (delta y ay humigit-kumulang katumbas ng eff prime ng x na pinarami ng delta x)

o, nang mas detalyado, ang f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff mula sa x plus delta x minus ef mula sa x ay tinatayang katumbas ng eff prime mula sa x by delta x).

Para sa kaginhawaan ng karagdagang pangangatwiran, baguhin natin ang notasyon:

sa halip na x kami ay magsusulat A,

sa halip na x+Δx isusulat namin ang x

Sa halip na Δx isusulat natin ang x-a.

Pagkatapos ang tinatayang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay kukuha ng anyo:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ang eff mula sa x ay tinatayang katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, na pinarami ng pagkakaiba sa pagitan ng x at a).

Halimbawa 4. Hanapin ang tinatayang halaga ng numerical expression 2.003 6.

Solusyon. Pinag-uusapan natin ang paghahanap ng halaga ng function na y = x 6 sa puntong x = 2.003. Gamitin natin ang formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 at, samakatuwid, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

2.003 6 64+192· 0.003, ibig sabihin. 2.003 6 =64.576.

Kung gumagamit tayo ng calculator, makakakuha tayo ng:

2,003 6 = 64,5781643...

Tulad ng nakikita mo, ang katumpakan ng pagtatantya ay lubos na katanggap-tanggap.

Uri ng trabaho: 7

Kundisyon

Ang tuwid na linya na y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b, na ibinigay na ang abscissa ng tangent point ay mas mababa sa zero.

Solusyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, iyon ay, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang punto ng tangency ay nabibilang nang sabay-sabay sa parehong graph ng function at ang padaplis, iyon ay, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga tangent na puntos ay mas mababa sa zero, kaya x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang tuwid na linya y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Solusyon

Ang angular coefficient ng tuwid na linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay katumbas ng y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, na nangangahulugang y" (x_0)=-2x_0+5 ang angular ang coefficient ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kondisyon ay katumbas ng -3 -2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Solusyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang padaplis ay dumadaan sa mga puntos A(-6; 2) at B(-1; 1). Tukuyin natin sa pamamagitan ng C(-6; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=-6 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulong ABC (makikita mo sa figure na ito ay talamak). Pagkatapos, ang tuwid na linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \pi -\alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox, na kung saan ay mahina.

Gaya ng nalalaman, ang tg(\pi -\alpha) ang magiging halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0. pansinin mo yan tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Mula dito, gamit ang mga formula ng pagbabawas, nakukuha namin ang: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang tuwid na linya na y=-2x-4 ay padaplis sa graph ng function na y=16x^2+bx+12. Hanapin ang b, na ibinigay na ang abscissa ng tangent point ay mas malaki kaysa sa zero.

Solusyon

Hayaang ang x_0 ay ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=16x^2+bx+12 kung saan

ay padaplis sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, iyon ay, y"(x_0)=32x_0+b=-2. Sa kabilang banda, ang punto ng tangency ay nabibilang nang sabay-sabay sa parehong graph ng function at ang padaplis, iyon ay, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga tangent na puntos ay mas malaki kaysa sa zero, kaya x_0=1, pagkatapos b=-2-32x_0=-34.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x), na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya y=6.

Solusyon

Ang tuwid na linya y=6 ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakakahanap kami ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 4 na extremum point.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ang tuwid na linya y=4x-6 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Solusyon

Ang slope ng tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9 sa isang arbitrary point x_0 ay katumbas ng y"(x_0). Ngunit y"=2x-4, na nangangahulugang y"(x_0)= 2x_0-4 Ang slope ng tangent y =4x-7 na tinukoy sa kondisyon ay katumbas ng 4. Ang magkatulad na mga linya ay may parehong angular coefficients.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Geometric na kahulugan ng mga derivatives. Tangent sa graph ng isang function

Kundisyon

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x_0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0.

Solusyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang padaplis ay dumadaan sa mga punto A(1; 1) at B(5; 4). Tukuyin natin sa pamamagitan ng C(5; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=5 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulo BAC (makikita mo sa figure na ito ay talamak). Pagkatapos, ang tuwid na linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox.

Isaalang-alang ang sumusunod na figure:

Ito ay naglalarawan ng isang tiyak na function y = f(x), na naiba sa punto a. Ang puntong M na may mga coordinate (a; f(a)) ay minarkahan. Ang isang secant na MR ay iginuhit sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ng graph.

Kung ngayon ang point P ay inilipat sa kahabaan ng graph patungo sa point M, ang tuwid na linya na MR ay iikot sa paligid ng point M. Sa kasong ito, ang ∆x ay magiging zero. Mula dito maaari nating bumalangkas ang kahulugan ng isang tangent sa graph ng isang function.

Tangent sa graph ng isang function

Ang tangent sa graph ng isang function ay ang nililimitahan na posisyon ng secant dahil ang pagtaas ng argumento ay nagiging zero. Dapat na maunawaan na ang pagkakaroon ng derivative ng function na f sa puntong x0 ay nangangahulugan na sa puntong ito ng graph mayroong padaplis sa kanya.

Sa kasong ito, ang angular coefficient ng tangent ay magiging katumbas ng derivative ng function na ito sa puntong ito f'(x0). Ito ang geometric na kahulugan ng derivative. Ang padaplis sa graph ng isang function na f naiba-iba sa punto x0 ay isang tiyak na tuwid na linya na dumadaan sa punto (x0;f(x0)) at pagkakaroon ng isang angular coefficient f'(x0).

Tangent equation

Subukan nating makuha ang equation ng tangent sa graph ng ilang function f sa punto A(x0; f(x0)). Ang equation ng isang tuwid na linya na may slope k ay may sumusunod na anyo:

Dahil ang aming slope coefficient ay katumbas ng derivative f’(x0), pagkatapos ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo: y = f’(x0)*x + b.

Ngayon kalkulahin natin ang halaga ng b. Upang gawin ito, ginagamit namin ang katotohanan na ang function ay dumadaan sa punto A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, mula dito ipinapahayag namin ang b at nakukuha namin ang b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa tangent equation:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function na f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 sa punto x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Palitan ang nakuha na mga halaga sa padaplis na formula, nakukuha natin: y = 1 + 4*(x - 2). Ang pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino ay nakukuha natin: y = 4*x - 7.

Sagot: y = 4*x - 7.

Pangkalahatang pamamaraan para sa pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y = f(x):

1. Tukuyin ang x0.

2. Kalkulahin ang f(x0).

3. Kalkulahin ang f’(x)