Mga formula ng degree ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay n-ika-kapangyarihan ng isang numero a Kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag:

isang m·a n = a m + n .

2. Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n /b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(a m) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay totoo sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng isang ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang radikal na numero sa kapangyarihang ito:

4. Kung tataas mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na bumuo sa n Ang kapangyarihan ay isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na kunin ang ugat n-th kapangyarihan ng isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Isang degree na may negatibong exponent. Ang kapangyarihan ng isang tiyak na numero na may isang hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa kapangyarihan ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n =a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit pati na rin sa m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n =a m - n naging patas noong m=n, ang pagkakaroon ng zero degree ay kinakailangan.

Isang degree na may zero index. Ang kapangyarihan ng anumang numero na hindi katumbas ng zero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero A sa antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika-degree ng m-ika-kapangyarihan ng numerong ito A.

Sa huling aralin sa video, nalaman namin na ang antas ng isang partikular na base ay isang expression na kumakatawan sa produkto ng base nang mag-isa, na kinuha sa halagang katumbas ng exponent. Pag-aralan natin ngayon ang ilan sa mga pinakamahalagang katangian at pagpapatakbo ng mga kapangyarihan.

Halimbawa, paramihin natin ang dalawang magkaibang kapangyarihan na may parehong base:

Ipakita natin ang gawaing ito sa kabuuan nito:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng halaga ng expression na ito, nakuha namin ang numero 32. Sa kabilang banda, tulad ng makikita mula sa parehong halimbawa, 32 ay maaaring kinakatawan bilang produkto ng parehong base (dalawa), kinuha ng 5 beses. At sa katunayan, kung bibilangin mo ito, kung gayon:

Kaya, maaari nating tapusin nang may kumpiyansa na:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Matagumpay na gumagana ang panuntunang ito para sa anumang mga indicator at anumang dahilan. Ang pag-aari na ito ng pagpaparami ng kapangyarihan ay sumusunod sa panuntunan na ang kahulugan ng mga expression ay pinapanatili sa panahon ng mga pagbabago sa isang produkto. Para sa anumang base a, ang produkto ng dalawang expression (a)x at (a)y ay katumbas ng a(x + y). Sa madaling salita, kapag ang anumang mga expression na may parehong base ay ginawa, ang resultang monomial ay may kabuuang antas na nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga degree ng una at pangalawang expression.

Ang ipinakita na panuntunan ay mahusay din kapag nagpaparami ng ilang expression. Ang pangunahing kondisyon ay ang bawat isa ay may parehong mga batayan. Halimbawa:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Imposibleng magdagdag ng mga degree, at sa katunayan ay magsagawa ng anumang mga pagkilos na nakabatay sa kapangyarihan na may dalawang elemento ng isang expression kung magkaiba ang kanilang mga base.
Tulad ng ipinapakita ng aming video, dahil sa pagkakapareho ng mga proseso ng pagpaparami at paghahati, ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan sa isang produkto ay perpektong inililipat sa pamamaraan ng paghahati. Isaalang-alang ang halimbawang ito:

Magsagawa tayo ng term-by-term na pagbabago ng expression sa buong anyo nito at bawasan ang parehong mga elemento sa dibidendo at divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ang resulta ng halimbawang ito ay hindi masyadong kawili-wili, dahil nasa proseso na ng paglutas nito ay malinaw na ang halaga ng expression ay katumbas ng parisukat ng dalawa. At ito ay dalawa na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng antas ng pangalawang expression mula sa antas ng una.

Upang matukoy ang antas ng kusyente, kinakailangang ibawas ang antas ng divisor mula sa antas ng dibidendo. Ang panuntunan ay gumagana sa parehong base para sa lahat ng mga halaga nito at para sa lahat ng natural na kapangyarihan. Sa anyo ng abstraction mayroon kaming:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Mula sa panuntunan ng paghahati ng magkaparehong mga base na may mga degree, ang kahulugan para sa zero degree ay sumusunod. Malinaw, ang sumusunod na expression ay mukhang:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Sa kabilang banda, kung gagawin natin ang paghahati sa mas visual na paraan, makakakuha tayo ng:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kapag binabawasan ang lahat ng nakikitang elemento ng isang fraction, ang expression na 1/1 ay palaging nakuha, iyon ay, isa. Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na ang anumang base na itinaas sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Anuman ang halaga ng a.

Gayunpaman, magiging walang katotohanan kung ang 0 (na nagbibigay pa rin ng 0 para sa anumang pagpaparami) ay kahit papaano ay katumbas ng isa, kaya ang pagpapahayag ng anyo (0) 0 (zero sa zero na kapangyarihan) ay sadyang walang kahulugan, at sa formula ( a) 0 = 1 magdagdag ng kundisyon: “kung ang a ay hindi katumbas ng 0.”

Solusyonan natin ang ehersisyo. Hanapin natin ang kahulugan ng expression:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dahil pareho ang base sa lahat ng dako at katumbas ng 34, ang huling halaga ay magkakaroon ng parehong base na may degree (ayon sa mga panuntunan sa itaas):

Sa ibang salita:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Sagot: ang expression ay katumbas ng isa.

I. Produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.

Ang produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang kapangyarihan na may base x.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kapangyarihan x 7 ay ang produkto ng pitong mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng x, at ang x 9 ay ang produkto ng siyam sa parehong mga kadahilanan. Samakatuwid, ang x 7 x 9 ay katumbas ng produkto ng 7 + 9 na mga kadahilanan. Ang bawat isa ay katumbas ng x, ibig sabihin

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Lumalabas na kung ang base ng degree a ay isang arbitrary na numero, at ang m at n ay anumang natural na mga numero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

a m · a n = a m + n

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahayag ng isa sa mga katangian ng degree.

Ang produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng kapangyarihan na may parehong base at isang exponent na katumbas ng kabuuan ng mga exponent ng mga kapangyarihang ito.

Ang ari-arian na ito ay nangyayari din sa mga kaso kung saan ang bilang ng mga kadahilanan ay higit sa dalawa.

Halimbawa, sa kaso ng tatlong salik na mayroon tayo:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

Kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, maginhawang gamitin ang panuntunan: kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga base ay naiwan nang pareho, at ang mga exponent ay idinagdag.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1.

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

Halimbawa 2.

a 7 a -8 = a -1

Halimbawa 3.

6 1.7 6 - 0.9 = 6 1.7+(- 0.9) = 6 1.7 - 0.9 = 6 0.8

II. Mga partial ng degree na may parehong base.

Ang quotient ng dalawang kapangyarihan na may parehong exponents ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang kapangyarihan na may parehong base.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1. Ang quotient x 17: x 5 ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan na may base x:

x 17: x 5 = x 12,

dahil sa depinisyon ng quotient at batay sa property ng degree x 5 · x 12 = x 17. Ang exponent ng quotient (number 12) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga exponent ng dibidendo at ng divisor (17 – 5):

x 17: x 5 = x 17-5

Halimbawa 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Halimbawa 3.

a -8: a 6 = a -8-6 = a -14

Halimbawa 4.

b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9

Halimbawa 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, maginhawang gamitin ang panuntunan: kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga base ay naiwan nang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibawas mula sa exponent ng dibidendo.

Halimbawa 6.

a 4: a 4 = a 4-4 = a 0

Ang halaga ng expression na a 0 para sa anumang a ≠ 0 ay katumbas ng 1.

III. Pagtaas ng degree sa isang degree.

Hayaang ang ikapitong kapangyarihan ng expression na a 2 ay kinakatawan bilang isang kapangyarihan na may base a.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kapangyarihan (a 2) 7 ay produkto ng pitong salik, na ang bawat isa ay katumbas ng 2, iyon ay

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Sa paglalapat ng power property, makukuha natin ang:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7 .

Lumalabas, (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay naiwang pareho, at ang mga exponent ay pinarami:

(a m) n = isang mn .

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Halimbawa 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Mga expression, conversion ng expression

Mga ekspresyon ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon tayo sa mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga panaklong at pagdadala ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin namin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi lumilitaw sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit ito ay madalas na lumilitaw sa mga koleksyon ng mga problema, lalo na ang mga inilaan para sa paghahanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit at ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, halimbawa. Matapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga pagpapahayag ng kapangyarihan, nagiging malinaw na ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay nauunawaan bilang mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan sa kanilang mga entry. Samakatuwid, maaari mong tanggapin ang sumusunod na kahulugan para sa iyong sarili:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga expression na naglalaman ng mga degree.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, ipapakita namin ang mga ito ayon sa kung paano nangyayari ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang degree na may natural na exponent hanggang sa isang degree na may totoong exponent.

Gaya ng nalalaman, ang una ay nakikilala ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent sa yugtong ito, ang unang pinakasimpleng pagpapahayag ng kapangyarihan ng uri 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ay lilitaw −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Sa mataas na paaralan ay bumalik sila sa degree. Mayroong isang degree na may rational exponent ay ipinakilala, na nangangailangan ng hitsura ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , at iba pa. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa mga nakalistang power expression: lalo pang pumapasok ang variable sa exponent, at, halimbawa, ang mga sumusunod na expression ay lumabas: 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala ang , ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2·lgx −5·x lgx.

Kaya, tinalakay natin ang tanong kung ano ang kinakatawan ng mga power expression. Sa susunod ay matututo tayong baguhin ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng pagbabago ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong buksan ang mga panaklong, palitan ang mga numerical na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, atbp. Naturally, sa kasong ito, kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ng mga aksyon, gawin muna ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan 4 2 sa halaga nito 16 (kung kinakailangan, tingnan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4. Meron kami 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang power 2 3 ng value nito na 8, pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32. Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Sagot:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Halimbawa.

Pasimplehin ang mga expression na may kapangyarihan 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng magkatulad na mga termino 3·a 4 ·b −7 at 2·a 4 ·b −7 , at maaari nating ipakita ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Maaari mong makayanan ang gawain sa pamamagitan ng pagkatawan sa numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at pagkatapos ay gamitin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon - pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas na partikular sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susuriin pa natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

May mga degree na ang base at/o exponent ay hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang expression. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga entry (2+0.3·7) 5−3.7 at (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, maaari mong palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa exponent na may magkaparehong expression sa ODZ ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga alituntuning kilala sa amin, maaari naming hiwalay na ibahin ang anyo ng base ng degree at hiwalay na exponent. Ito ay malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay makukuha na kapareho ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression na binanggit sa itaas (2+0.3 7) 5−3.7, maaari kang magsagawa ng mga operasyon gamit ang mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong lumipat sa power 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at dalhin ang mga katulad na termino sa base ng degree (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nakakakuha tayo ng power expression ng isang mas simpleng anyo a 2·(x+ 1) .

Paggamit ng Degree Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary na tunay na mga numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng mga kapangyarihan ay totoo:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n ang pagkakapantay-pantay a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a, kundi pati na rin para sa negatibong a, at para sa a=0.

Sa paaralan, ang pangunahing pokus kapag binabago ang mga expression ng kapangyarihan ay ang kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa mga katangian ng mga degree na magamit nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng mga kapangyarihan - ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan . Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible na gumamit ng anumang pag-aari ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga pag-aari ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng halaga ng edukasyon at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga degree. Dito ay lilimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a.

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) −3 gamit ang pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ang orihinal na expression ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5. Malinaw, ito ay nananatiling gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Ang mga katangian ng mga kapangyarihan kapag nagpapalit ng mga expression ng kapangyarihan ay ginagamit mula kaliwa pakanan at mula kanan pakaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r, na inilapat mula sa kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa amin na lumipat mula sa orihinal na expression patungo sa isang produkto ng anyo at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay nagdaragdag: .

Posibleng baguhin ang orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6, magpakilala ng bagong variable t=a 0.5.

Solusyon.

Ang degree a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at pagkatapos, batay sa pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s, inilapat mula kanan pakaliwa, ibahin ito sa anyo (a 0.5) 3. kaya, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Ngayon ay madali nang magpakilala ng bagong variable t=a 0.5, nakukuha natin ang t 3 −t−6.

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman o kumatawan ng mga fraction na may kapangyarihan. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng mga fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salitang ito, isaalang-alang ang mga solusyon sa ilang halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang pagpapahayag ng kapangyarihan .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang nagresultang expression gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At baguhin din natin ang sign ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Sa kasong ito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng VA. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi pumunta sa zero para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Bawasan ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung aling karagdagang multiplier ang tumutulong upang makamit ang ninanais na resulta. Ito ay isang multiplier ng isang 0.3, dahil ang isang 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Tandaan na sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang kapangyarihan ng isang 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Kung susuriing mabuti ang denominator, makikita mo iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating bawasan ang orihinal na fraction.

Ito ay kung paano kami nakakita ng karagdagang kadahilanan. Sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable na x at y, ang expression ay hindi nawawala, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

A) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Malinaw ding posible na magsagawa ng pagbawas ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang magkaparehong salik sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-factor ng denominator gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

A)

b) .

Ang pag-convert ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang gawin ang mga bagay na may mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang tuntunin. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), ngunit ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa kabaligtaran nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa panaklong. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos nito ibawas namin ang mga numerator:

Ngayon pinarami namin ang mga fraction:

Malinaw, ito ay posible na bawasan sa pamamagitan ng isang kapangyarihan ng x 1/2, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng X. Para magawa ito, binabago namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong samantalahin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso ay lumipat tayo mula sa huling produkto patungo sa fraction.

Sagot:

.

At idagdag din natin na posible, at sa maraming pagkakataon ay kanais-nais, na ilipat ang mga salik na may negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator, na binabago ang tanda ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan, sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, ang mga ugat na may fractional exponent ay naroroon din kasama ng mga kapangyarihan. Upang mabago ang gayong ekspresyon sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga kapangyarihan, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang sumangguni sa module o hatiin ang ODZ sa ilang mga pagitan (tinalakay namin ito nang detalyado sa ang paglipat ng artikulo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan at pabalik Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent ay ipinakilala ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent, na nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang isang degree na may arbitrary na tunay na exponent Sa yugtong ito, nagsisimula itong maging nag-aral sa paaralan. exponential function, na analytically na ibinigay ng isang kapangyarihan, ang base nito ay isang numero, at ang exponent ay isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng kapangyarihan, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation At exponential inequalities, at ang mga conversion na ito ay medyo simple. Sa napakaraming kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at nilalayon, sa karamihan, sa pagpapakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga kapangyarihan, sa mga exponent kung saan ay ang kabuuan ng isang tiyak na variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay nahahati sa expression na 7 2 x, na sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi kami pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan ):

Ngayon ay maaari nating kanselahin ang mga fraction na may mga kapangyarihan, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga relasyon, na nagreresulta sa equation , na katumbas . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng isang quadratic equation

Matapos matukoy ang antas ng isang numero, lohikal na pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng kapangyarihan ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng mga degree, at ipapakita din kung paano ginagamit ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga degree na may mga natural na exponent

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan a n ay produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Batay sa kahulugang ito, at gamit din mga katangian ng pagpaparami ng mga tunay na numero, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:

1. ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n, ang paglalahat nito;
2. ari-arian ng quotient powers na may magkaparehong base a m:a n =a m−n ;
3. product power property (a·b) n =a n ·b n , ang extension nito;
4. ari-arian ng quotient sa natural na antas (a:b) n =a n:b n ;
5. pagtataas ng antas sa isang kapangyarihan (a m) n =a m·n, ang paglalahat nito (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. paghahambing ng degree na may zero:
   • kung a>0, pagkatapos ay a n>0 para sa anumang natural na numero n;
   • kung a=0, pagkatapos ay a n =0;
   • kung ang<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kung a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. kung ang a at b ay mga positibong numero at a
8. kung ang m at n ay mga natural na numero tulad ng m>n , pagkatapos ay sa 0 0 totoo ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n.

Tandaan natin kaagad na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho napapailalim sa mga tinukoy na kundisyon, ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m ·a n =a m+n na may nagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit sa anyong a m+n =a m ·a n .

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga base ng anyong a m ·a n ay maaaring isulat bilang isang produkto. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay isang kapangyarihan ng numerong a na may natural na exponent na m+n, iyon ay, isang m+n. Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kunin natin ang mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, gamit ang pangunahing katangian ng mga degree maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Suriin natin ang bisa nito sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng mga expression 2 2 · 2 3 at 2 5 . Nagsasagawa ng exponentiation, mayroon kami 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 at 2 5 =2·2·2·2·2=32, dahil ang mga katumbas na halaga ay nakuha, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 5 ay tama, at kinukumpirma nito ang pangunahing katangian ng antas.

Ang pangunahing katangian ng isang degree, batay sa mga katangian ng multiplikasyon, ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1, n 2, …, n k ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Halimbawa, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Maaari tayong magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga kapangyarihan na may natural na exponent - ari-arian ng quotient powers na may parehong mga base: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numerong m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon m>n, ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.

Bago ipakita ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyon a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati sa zero, dahil 0 n =0, at nang makilala natin ang paghahati, sumang-ayon tayo na hindi natin mahahati sa zero. Ang kondisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa mga natural na exponent. Sa katunayan, para sa m>n ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging alinman sa zero (na mangyayari para sa m−n ) o isang negatibong numero (na mangyayari para sa m

Patunay. Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a m at sumusunod na ang isang m−n ay isang quotient ng mga kapangyarihan a m at a n . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng quotient powers na may magkaparehong base.

Magbigay tayo ng halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang pagkakapantay-pantay π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 ay tumutugma sa itinuturing na pag-aari ng degree.

Ngayon isaalang-alang natin ari-arian ng kapangyarihan ng produkto: ang natural na kapangyarihan n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a·b) n =a n ·b n .

Sa katunayan, ayon sa kahulugan ng isang degree na may natural na exponent na mayroon tayo . Batay sa mga katangian ng pagpaparami, ang huling produkto ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n · b n .

Narito ang isang halimbawa: .

Ang pag-aari na ito ay umaabot sa kapangyarihan ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Iyon ay, ang pag-aari ng natural na antas n ng produkto ng k mga kadahilanan ay nakasulat bilang (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Para sa kalinawan, ipapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong mga kadahilanan sa kapangyarihan ng 7 mayroon kami.

Ang sumusunod na ari-arian ay ari-arian ng isang quotient sa uri: ang quotient ng mga tunay na numero a at b, b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n, ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n.

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, at mula sa pagkakapantay-pantay (a:b) n ·b n =a n sumusunod na ang (a:b) n ay ang quotient ng a n na hinati ng b n .

Isulat natin ang property na ito gamit ang mga partikular na numero bilang halimbawa: .

Ngayon ipahayag natin ito ari-arian ng pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng numerong a na may exponent m·n, iyon ay, (a m) n =a m·n.

Halimbawa, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Ang patunay ng power-to-degree na ari-arian ay ang sumusunod na chain of equalities: .

Ang pag-aari na isinasaalang-alang ay maaaring i-extend sa degree sa degree sa degree, atbp. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r at s, ang pagkakapantay-pantay . Para sa higit na kalinawan, narito ang isang halimbawa na may mga partikular na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay sa katangian ng paghahambing ng zero at kapangyarihan sa isang natural na exponent.

Una, patunayan natin na ang a n >0 para sa alinmang a>0.

Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagmumungkahi na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng isang numero a na may natural na exponent n, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na para sa anumang positibong base a, ang degree a n ay isang positibong numero. Dahil sa napatunayang ari-arian 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 at .

Halatang halata na para sa anumang natural na bilang n na may a=0 ang antas ng a n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0.

Lumipat tayo sa mga negatibong base ng degree.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, sabihin natin ito bilang 2·m, kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos . Para sa bawat isa sa mga produkto ng anyong a·a ay katumbas ng produkto ng moduli ng mga numerong a at a, na nangangahulugang ito ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din at degree na 2·m. Magbigay tayo ng mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .

Sa wakas, kapag ang base a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon . Ang lahat ng mga produkto a·a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numero ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Dahil sa property na ito (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Lumipat tayo sa pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong natural na exponents, na may sumusunod na pormulasyon: ng dalawang kapangyarihan na may parehong natural na exponents, n ay mas mababa kaysa sa isa na ang base ay mas maliit, at mas malaki ang isa na ang base ay mas malaki. . Patunayan natin.

Hindi pagkakapantay-pantay a n mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay totoo rin ang isang napatunayang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong a n (2.2) 7 at .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng mga degree na may natural na exponents. Buuin natin ito. Sa dalawang kapangyarihan na may natural na exponent at magkaparehong positibong base na mas mababa sa isa, ang isa na ang exponent ay mas maliit ay mas malaki; at ng dalawang kapangyarihan na may natural na exponent at magkaparehong base na mas malaki kaysa sa isa, ang isa na ang exponent ay mas malaki ay mas malaki. Lumipat tayo sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin na para sa m>n at 0 0 dahil sa paunang kondisyon m>n, na nangangahulugang nasa 0

Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1 a m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang degree a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1 ang degree ang isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Dahil dito, ang a m −a n >0 at a m >a n , na siyang kailangang patunayan. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponents

Dahil ang mga positibong integer ay natural na mga numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponents ay eksaktong tumutugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.

Tinukoy namin ang isang degree na may integer na negatibong exponent, pati na rin isang degree na may zero exponent, sa paraang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent, na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay, ay nanatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa para sa parehong mga zero exponents at negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga kapangyarihan ay iba mula sa zero.

Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo: mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponent:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a b−n ;
7. kung ang m at n ay mga integer, at m>n , pagkatapos ay sa 0 1 ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n hawak.

Kapag a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay may bisa din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Ang pagpapatunay sa bawat isa sa mga pag-aari na ito ay hindi mahirap gawin ito, sapat na gamitin ang mga kahulugan ng mga degree na may natural at integer exponents, pati na rin ang mga katangian ng mga operasyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power-to-power na property ay may hawak para sa parehong positive integers at non-positive integers. Upang gawin ito, kailangan mong ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) at (a −p) −q =a (−p)·(−q). Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang talata. Kung p=0, kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at isang 0·q =a 0 =1, kung saan (a 0) q =a 0·q. Katulad nito, kung q=0, kung gayon (a p) 0 =1 at isang p·0 =a 0 =1, kung saan (a p) 0 =a p·0. Kung parehong p=0 at q=0, kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0·0 =a 0 =1, kung saan (a 0) 0 =a 0·0.

Ngayon patunayan natin na (a −p) q =a (−p)·q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may negatibong integer exponent, kung gayon . Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga quotient sa mga kapangyarihan na mayroon tayo . Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression, ayon sa kahulugan, ay isang kapangyarihan ng anyong a −(p·q), na, dahil sa mga tuntunin ng multiplikasyon, ay maaaring isulat bilang isang (−p)·q.

Ganun din .

AT .

Gamit ang parehong prinsipyo, maaari mong patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga naitala na katangian, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n, na wasto para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan natutugunan ang kundisyon a . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0 . Ang produktong a n · b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang quotient ng mga positibong numero b n −a n at a n ·b n . Samakatuwid, kung saan a −n >b −n , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang patunayan.

Ang huling pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng isang katulad na katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tinukoy namin ang isang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga kapangyarihan na may mga integer exponents. Namely:

Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Magbigay tayo ng ebidensya.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may fractional exponent at , pagkatapos . Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng isang degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang tagapagpahiwatig ng antas na nakuha ay maaaring mabago tulad ng sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay pinatunayan sa isang ganap na katulad na paraan:

Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay napatunayan gamit ang mga katulad na prinsipyo:

Lumipat tayo sa pagpapatunay sa susunod na pag-aari. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b, a b p . Isulat natin ang rational number na p bilang m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Kondisyon p<0 и p>0 sa kasong ito ang mga kondisyon m<0 и m>0 nang naaayon. Para sa m>0 at a

Katulad nito, para sa m<0 имеем a m >b m , mula sa kung saan, iyon ay, at a p >b p .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numerong p at q, p>q sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q . Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, kahit na makakuha tayo ng mga ordinaryong fraction at , kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod mula sa. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent sa 0 1 – hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat nang naaayon bilang At . At ang kahulugan ng isang degree na may isang rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na lumipat sa hindi pagkakapantay-pantay at, nang naaayon. Mula dito iginuhit namin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa paraan ng pagtukoy sa isang degree na may hindi makatwirang exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0, b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga hindi makatwirang exponent:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p b p ;
7. para sa mga hindi makatwirang numero p at q, p>q sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksbuk sa matematika para sa ika-5 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-9 na baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook para sa mga baitang 10 - 11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).