การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีดีเทอร์มิแนนต์แบบออนไลน์ วิธีของแครมเมอร์: การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (สเลา)

Gabriel Kramer เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส นักเรียน และเพื่อนของ Johann Bernoulli หนึ่งในผู้สร้างพีชคณิตเชิงเส้น แครมเมอร์พิจารณาระบบของสมการเชิงเส้นจำนวนเท่าใดก็ได้ด้วยเมทริกซ์จตุรัส เขานำเสนอคำตอบของระบบเป็นคอลัมน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนร่วมซึ่งเป็นปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งช่วยให้กระบวนการแก้ปัญหาเร็วขึ้นอย่างมาก วิธีนี้สามารถใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบค่าในแต่ละสมการ สิ่งสำคัญคือดีเทอร์มิแนนต์ของระบบไม่เท่ากับ "0" ดังนั้นวิธีของแครมเมอร์สามารถใช้ในการแก้ปัญหาได้หาก "0" - ไม่สามารถใช้วิธีนี้ได้ วิธีนี้ยังใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะได้อีกด้วย

ทฤษฎีบทของแครเมอร์ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว และความไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และตัวเศษประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบโดยการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

สมมติว่าเราได้รับ SLAE ประเภทนี้:

\[\left\(\begin(เมทริกซ์) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(เมทริกซ์)\right.\]

ตามทฤษฎีบทของแครเมอร์ที่เราได้รับ:

คำตอบ: \

ฉันจะแก้สมการโดยใช้วิธีของแครมเมอร์โดยใช้ตัวแก้ปัญหาออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

อันดับแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? – ท้ายที่สุดแล้ว ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของโรงเรียน วิธีการบวกแบบทีละเทอม!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีขนาดค่อนข้างใหญ่ โดยทางด้านขวาจะมีเศษส่วนทศนิยมพร้อมเครื่องหมายจุลภาค ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer ก็เข้ามาช่วยเหลือ

;

;

คำตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”- มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครเมอร์

การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัวกัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า

ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง

มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?- หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)

2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของอาจารย์ที่อยู่บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธีเกาส์)

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์

วิธีแครมเมอร์ใช้ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAEs) ซึ่งจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเท่ากับจำนวนสมการและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่ใช่ศูนย์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์ว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักถูกพบได้อย่างไรโดยใช้วิธีของ Cramer และรับสูตรต่างๆ หลังจากนี้ มาดูตัวอย่างและอธิบายรายละเอียดการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

การนำทางหน้า

วิธีของแครเมอร์ - ที่มาของสูตร

ให้เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นของแบบฟอร์ม

โดยที่ x 1, x 2, …, xn เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก a i j ผม = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข b 1, b 2, ..., bn - เงื่อนไขอิสระ วิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE คือชุดของค่า x 1 , x 2 , …, xn ซึ่งสมการทั้งหมดของระบบกลายเป็นตัวตน

ในรูปแบบเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น A ⋅ X = B โดยที่ - เมทริกซ์หลักของระบบ องค์ประกอบคือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คือคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ และ - เมทริกซ์คือคอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก หลังจากค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, …, xn แล้ว เมทริกซ์จะกลายเป็นคำตอบของระบบสมการ และความเท่าเทียมกัน A ⋅ X = B จะกลายเป็นเอกลักษณ์

เราจะถือว่าเมทริกซ์ A ไม่ใช่เอกพจน์ กล่าวคือ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ไม่ใช่ศูนย์ ในกรณีนี้ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมีวิธีแก้เฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์ (วิธีการแก้ระบบจะกล่าวถึงในส่วนการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น)

วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติสองประการของเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์:

เรามาเริ่มค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 กันดีกว่า ในการทำเช่นนี้ เราคูณทั้งสองส่วนของสมการแรกของระบบด้วย A 1 1, ทั้งสองส่วนของสมการที่สองด้วย A 2 1 และต่อๆ ไป ทั้งสองส่วนของสมการที่ n ด้วย A n 1 (นั่นคือ เรา คูณสมการของระบบด้วยการเสริมพีชคณิตที่สอดคล้องกันของคอลัมน์เมทริกซ์แรก A):

ลองบวกทางด้านซ้ายมือทั้งหมดของสมการระบบ โดยจัดกลุ่มคำศัพท์สำหรับตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, ..., xn และนำผลรวมนี้มาเทียบกับผลรวมของทางด้านขวามือทั้งหมดของสมการ:

หากเราหันไปใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ เราก็จะได้

และความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้ก็เกิดขึ้น

ที่ไหน

ในทำนองเดียวกัน เราพบ x 2 ในการทำเช่นนี้ เราจะคูณสมการของระบบทั้งสองข้างด้วยการเสริมพีชคณิตของคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ A:

เรารวมสมการทั้งหมดของระบบ จัดกลุ่มคำศัพท์สำหรับตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, ..., xn และใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์:

ที่ไหน
.

ตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เหลืออยู่ก็พบเช่นเดียวกัน

หากเรากำหนด

แล้วเราก็ได้ สูตรการค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ .

ความคิดเห็น

ถ้าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นเนื้อเดียวกัน นั่นก็คือ แล้วมันก็มีเพียงคำตอบเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น (at) แท้จริงแล้ว สำหรับเงื่อนไขที่ไม่มีเงื่อนไข ปัจจัยกำหนดทั้งหมด จะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากจะมีคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ ดังนั้นสูตร จะให้ .

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า อัลกอริธึมสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

ลองดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้สูตร :

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ SLAE จึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และสามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์ ให้เราเขียนปัจจัยกำหนดและ เราแทนที่คอลัมน์แรกของเมทริกซ์หลักของระบบด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และเราได้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ - ในทำนองเดียวกัน เราแทนที่คอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์หลักด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ แล้วเราจะได้

เราคำนวณปัจจัยกำหนดเหล่านี้:

ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 และ x 2 โดยใช้สูตร :

มาตรวจสอบกัน แทนที่ค่าที่ได้รับ x 1 และ x 2 ลงในระบบสมการดั้งเดิม:

สมการทั้งสองของระบบกลายเป็นอัตลักษณ์จึงพบคำตอบได้ถูกต้อง

คำตอบ:

.

องค์ประกอบบางอย่างของเมทริกซ์หลักของ SLAE อาจเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เกี่ยวข้องจะหายไปจากสมการของระบบ ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

ให้เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบ เพื่อให้มองเห็นเมทริกซ์หลักของระบบได้ - ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของมันโดยใช้สูตร

เรามี

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นจึงมีคำตอบเฉพาะ ลองหามันโดยใช้วิธีของแครเมอร์ มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กันดีกว่า :

ดังนั้น,

คำตอบ:

การกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบอาจแตกต่างจาก x 1, x 2, ..., x n ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการตัดสินใจ แต่ลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบมีความสำคัญมากเมื่อรวบรวมเมทริกซ์หลักและปัจจัยที่จำเป็นของวิธี Cramer ให้เราชี้แจงประเด็นนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ใช้วิธีการของแครมเมอร์ ค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามค่าโดยไม่ทราบค่าสามค่า .

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักมีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน (x, y และ z แทนที่จะเป็น x1, x2 และ x3) สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อโซลูชัน แต่ควรระวังป้ายกำกับตัวแปร คุณไม่สามารถถือเป็นเมทริกซ์หลักของระบบได้ - จำเป็นต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมดของระบบก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะเขียนระบบสมการใหม่เป็น - ตอนนี้มองเห็นเมทริกซ์หลักของระบบได้ชัดเจน - มาคำนวณปัจจัยกำหนด:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการจึงมีคำตอบเฉพาะ ลองหามันโดยใช้วิธีของแครเมอร์ ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์ลงไป (ให้ความสนใจกับสัญกรณ์) และคำนวณ:

ยังคงต้องหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

มาตรวจสอบกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณเมทริกซ์หลักด้วยผลลัพธ์ที่ได้ (หากจำเป็น ดูหัวข้อ):

ผลลัพธ์ที่ได้คือคอลัมน์ที่มีพจน์อิสระของระบบสมการดั้งเดิม ดังนั้นจึงพบคำตอบที่ถูกต้อง

คำตอบ:

x = 0, y = -2, z = 3

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง

สารละลาย.

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการ โดยวิธีของแครเมอร์ - จำนวนจริงบางจำนวน

สารละลาย.

ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบ: expression คือช่วงเวลา ดังนั้นสำหรับค่าจริงใดๆ ด้วยเหตุนี้ ระบบสมการจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์ เราคำนวณและ:

ให้ระบบ สมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ เช่น ดูเหมือน

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ เราจะเขียนแทนด้วยอักษรกรีก D ดังนั้น

. (1.6)

หากปัจจัยหลักประกอบด้วยค่าใด ๆ ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขระบบอิสระ (1.5) จากนั้นคุณจะได้รับ nรอบคัดเลือกเสริม:

(เจ = 1, 2, …, n). (1.7)

กฎของแครเมอร์การแก้ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นมีดังนี้ หากปัจจัยหลัก D ของระบบ (1.5) แตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

(1.8)

ตัวอย่างที่ 1.5แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

.

ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ดังนั้น,

การดำเนินการกับเมทริกซ์

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีดังต่อไปนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นคือ

. (1.9)

ตัวอย่างที่ 1.6 .

การบวกเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์ตัวหนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าเป็นจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ กตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ ในจากนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการคูณ:

2

ดังนั้นเมื่อทำการคูณเมทริกซ์ กขนาด ม´ nถึงเมทริกซ์ ในขนาด n´ เคเราได้เมทริกซ์ กับขนาด ม´ เค- ในกรณีนี้คือองค์ประกอบเมทริกซ์ กับคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8.ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์หากเป็นไปได้ เอบีและ ปริญญาตรี:

สารละลาย. 1) เพื่อหางานทำ เอบีคุณต้องมีแถวเมทริกซ์ กคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:

2) การทำงาน ปริญญาตรีไม่มีอยู่ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ก.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์จตุรัส กถ้าความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ ก:

.

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสมีค่าผกผัน จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จะแตกต่างจากศูนย์ พบเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:

, (1.13)

ที่ไหน อาจ- การเติมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ ก(โปรดทราบว่าการบวกพีชคณิตในแถวเมทริกซ์ กจะอยู่ในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่างที่ 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

.

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร (1.13) ซึ่งในกรณีนี้ n= 3 มีรูปแบบ:

.

มาหาเดชกัน. ก = | ก- = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เป็นศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผันอยู่

1) ค้นหาการเสริมพีชคณิต อาจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราได้ใส่การบวกพีชคณิตลงในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ det ก- ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดหลักที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบ (1.5) จะถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน

คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) จากทางซ้ายด้วย เอ- 1 เราได้คำตอบของระบบ:

, ที่ไหน

ดังนั้น เพื่อที่จะหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์หลักของระบบแล้วคูณทางด้านขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.ให้เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก และ - คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระ เนื่องจากปัจจัยกำหนดหลักของระบบ แล้วเมทริกซ์หลักของระบบ กมีเมทริกซ์ผกผัน ก-1 . เพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน ก-1 เราคำนวณการเสริมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:

จากตัวเลขที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ (และการบวกพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ กเขียนมันลงในคอลัมน์ที่เหมาะสม) แล้วหารมันด้วยดีเทอร์มิแนนต์ D ดังนั้นเราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

เราค้นหาวิธีแก้ไขระบบโดยใช้สูตร (1.15):

ดังนั้น,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสอง):

(1.16)

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบเช่น ชุดของตัวแปรที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันของระบบทั้งหมด (1.16) ในกรณีทั่วไป ระบบ (1.16) สามารถมีได้ไม่เพียงแต่โซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันอีกนับไม่ถ้วนอีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้

เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวจะใช้วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมของโรงเรียนที่รู้จักกันดีซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีการกำจัดของจอร์แดนแบบธรรมดา สาระสำคัญของวิธีนี้คือในหนึ่งในสมการของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะแสดงในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ในระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและมีตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว สมการที่แสดงตัวแปรจะถูกจดจำ

กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนกว่าสมการสุดท้ายจะยังคงอยู่ในระบบ ด้วยกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางอย่างอาจกลายเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เช่น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากสมการเหล่านี้พอใจกับค่าใด ๆ ของตัวแปรดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันซึ่งไม่สามารถพอใจกับค่าของตัวแปรใด ๆ (ตัวอย่าง) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากไม่มีสมการที่ขัดแย้งกันเกิดขึ้นระหว่างการแก้โจทย์ สมการสุดท้ายจะพบตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งที่เหลืออยู่ในสมการนั้น หากสมการสุดท้ายเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ตัวแปรเหล่านั้นจะถือเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า "การย้อนกลับ" จะเกิดขึ้น ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรตัวที่สอง จากนั้นตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำสุดท้าย และตัวแปรที่สามจะถูกพบ ไปเรื่อยๆ จนถึงสมการแรกที่จดจำ

เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ คำตอบนี้จะไม่ซ้ำกันหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากพบตัวแปรแรกแล้วตามด้วยตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมด ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (พารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดพารามิเตอร์เฉพาะเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

ตัวอย่างที่ 1.11

x

หลังจากท่องจำสมการแรกได้แล้ว และนำคำที่คล้ายกันมาสู่สมการที่สองและสามที่เรามาถึงระบบ:

มาแสดงออกกันเถอะ ยจากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการแรก:

ให้เราจำสมการที่สองและจากสมการแรกที่เราพบ z:

การทำงานย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง ยและ z- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่สมการที่จำได้สุดท้ายจากจุดที่เราพบ ย:

.

จากนั้นเราจะแทนที่มันลงในสมการแรกที่จดจำได้ เราจะหามันได้ที่ไหน x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.17)

สารละลาย.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรกกัน

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและสองขัดแย้งกัน แท้จริงแล้วการแสดงออก ย เราจะได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็นค่าใด ๆ ของตัวแปร x, ย, และ z- ส่งผลให้ระบบ (1.17) ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบด้วยตนเองว่าปัจจัยกำหนดหลักของระบบดั้งเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์

ให้เราพิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) ด้วยเทอมเดียวเท่านั้น

ปัญหา 1.13.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.18)

สารละลาย.เช่นเดิมเราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรกกัน และนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

กำลังแสดงออก ยจากสมการแรกแล้วนำไปแทนลงในสมการที่สอง เราได้รับข้อมูลประจำตัว 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเสมอภาคที่จำได้ครั้งสุดท้ายคือตัวแปร zเราจะถือว่ามันเป็นพารามิเตอร์ พวกเราเชื่อว่า. แล้ว

มาทดแทนกันเถอะ ยและ zเข้าสู่ความเท่าเทียมกันครั้งแรกที่จดจำและค้นหา x:

.

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ได้โดยใช้สูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง ที:

(1.19)
ดังนั้น คำตอบของระบบ เช่น คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงถึงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18 ).

ในกรณีที่ระบบดั้งเดิม (1.16) มีสมการและค่าไม่ทราบจำนวนมากเพียงพอ วิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาที่ระบุดูเหมือนจะยุ่งยาก อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ ก็เพียงพอแล้วที่จะได้รับอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวในรูปแบบทั่วไปและจัดรูปแบบการแก้ปัญหาในรูปแบบของตาราง Jordan พิเศษ

ให้ระบบรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน เอ็กซ์เจ- ตัวแปรอิสระ (ค้นหา) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ฉัน = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, n- ส่วนที่ถูกต้องของระบบ ใช่แล้ว (ฉัน = 1, 2,…, ม) อาจเป็นตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) หรือค่าคงที่ก็ได้ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป

ขอให้เราพิจารณาปฏิบัติการต่อไปนี้ ซึ่งต่อจากนี้ไปจะเรียกว่า “ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา” จากพลการ ( ร th) ความเท่าเทียมกันเราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( xs) และแทนที่ลงในความเท่าเทียมกันอื่นๆ ทั้งหมด แน่นอนว่าจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. ค่าสัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ปัญหา (บางครั้งเป็นแนวทางหรือหลัก)

เราจะได้ระบบดังต่อไปนี้:

. (1.21)

จาก ส- ความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) เราจะพบตัวแปรในภายหลัง xs(หลังจากพบตัวแปรที่เหลือแล้ว) สบรรทัด -th ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในเวลาต่อมา ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและตัวแปรอิสระหนึ่งตัวที่น้อยกว่าระบบเดิม

ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของระบบดั้งเดิม (1.20) เริ่มต้นด้วย รสมการซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว xsผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ รสมการต่างๆ คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ บีจ(ฉัน¹ ร) ของสมการใดๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแทนตัวแปรที่แสดงใน (1.22) xsวี ฉันสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้สูตรที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของระบบ (1.21) (ยกเว้นข้อยกเว้น) รสมการที่:

(1.25)
การเปลี่ยนแปลงของระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาแสดงในรูปแบบของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) จึงเชื่อมโยงกับตาราง Jordan ต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.1

ตาราง Jordan 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งใช้เขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และแถวส่วนหัวด้านบนที่ใช้เขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางจะสร้างเมทริกซ์หลักของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าคุณคูณเมทริกซ์ กไปที่เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวหัวเรื่องบนสุด คุณจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์หัวเรื่องด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้ว ตาราง Jordan เป็นรูปแบบเมทริกซ์สำหรับการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ระบบ (1.21) สอดคล้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.2

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นด้วยตัวหนา โปรดจำไว้ว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดน องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวของตารางที่มีองค์ประกอบการเปิดใช้งานเรียกว่าแถวการเปิดใช้งาน คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( xs) จากแถวส่วนหัวด้านบนของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกที่ว่างของระบบ ( ใช่) ย้ายจากคอลัมน์หัวซ้ายของตารางไปยังแถวหัวบนสุด

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่เมื่อย้ายจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบการแก้ไขจะถูกแทนที่ด้วยหมายเลขผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของสตริงการแก้ไขจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบการแก้ไขและเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์ความละเอียดจะแบ่งออกเป็นองค์ประกอบความละเอียด:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวที่อนุญาตและคอลัมน์ที่อนุญาตจะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร:

สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าสังเกตองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วน , อยู่ที่ทางแยก ฉัน-โอ้และ ร-th บรรทัดและ เจและ สคอลัมน์ที่ th (การแยกแถว การแยกคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบที่คำนวณใหม่ตั้งอยู่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้แผนภาพต่อไปนี้:

เมื่อดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นของ Jordan คุณสามารถเลือกองค์ประกอบใดๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์เป็นองค์ประกอบการแก้ปัญหา x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เป็นศูนย์) อย่าเลือกองค์ประกอบการเปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้าย เพราะ คุณต้องค้นหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5. เช่น เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในบรรทัดที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบการเปิดใช้งานแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปยังตารางที่ 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวบนสุดจะสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในกรณีนี้คือตัวแปร x 3 แสดงผ่านตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 ได้หลังจากจำล่วงหน้าแล้ว คอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดหัวเรื่องด้านบนก็ไม่รวมอยู่ในตารางที่ 1.4 เช่นกัน ประเด็นก็คือโดยไม่คำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์ที่กำหนด ข ฉัน 3 พจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ การกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และจดจำสมการตัวใดตัวหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยขีดเส้นไว้ x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตาราง 1.5 จำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยมีศูนย์อยู่ด้านบน)

ตารางที่ 1.5 ตารางที่ 1.6

จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบว่า: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วอย่างต่อเนื่องลงในบรรทัดที่จำได้ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ตัวแปร x 5 สามารถกำหนดค่าได้ตามใจชอบ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = เสื้อ เราได้พิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบแล้วและพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

x 1 = - 3 + 2ที

x 2 = - 1 - 3ที

x 3 = - 2 + 4ที . (1.27)
x 4 = 4 + 5ที

x 5 = ที

ให้พารามิเตอร์ ทีเมื่อค่าต่างกัน เราก็จะได้คำตอบของระบบเดิมจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)