ฟังก์ชันเชิงประจักษ์และกราฟ ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ สมบัติ

การแจกแจง: เอฟn(x) ฟังก์ชันที่ไม่ลดลง ค่าของมันจะอยู่ในส่วน ;

ถ้า x 1 คือค่าที่น้อยที่สุดของพารามิเตอร์ และ xเค – ยิ่งใหญ่ที่สุดแล้ว เอฟn(x)= 0, เมื่อไร x<x 1 , และ เอฟป(xเค)= 1 เมื่อ x>=xเค.

การทำงาน เอฟn(x) ถูกกำหนดโดย ED ซึ่งเป็นสาเหตุว่าทำไมจึงถูกเรียก ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์. ต่างจากฟังก์ชันเชิงประจักษ์ เอฟn(x) ฟังก์ชันการกระจาย เอฟ (x) ของประชากรเรียกว่าฟังก์ชันการแจกแจงเชิงทฤษฎีมันไม่ได้ระบุลักษณะความถี่ แต่เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เอ็กซ์<x- จากทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี จะได้ความถี่ตามนั้น เอฟn(x) มีแนวโน้มความน่าจะเป็นต่อความน่าจะเป็น เอฟ(x) พร้อมกำลังขยายไม่จำกัด n- ดังนั้นเมื่อมีการสังเกตจำนวนมาก ฟังก์ชันการแจกแจงทางทฤษฎี เอฟ(x) สามารถแทนที่ได้ด้วยฟังก์ชันเชิงประจักษ์ เอฟn(x).

กราฟของฟังก์ชันเชิงประจักษ์ เอฟn(x) เป็นเส้นขาด ในช่องว่างระหว่างสมาชิกที่อยู่ติดกันของซีรีส์รูปแบบต่างๆ เอฟn(x) คงที่ เมื่อผ่านจุดแกน xเท่ากับสมาชิกตัวอย่าง เอฟn(x) เกิดการไม่ต่อเนื่องเพิ่มขึ้นทันทีด้วยค่า 1/ nและหากมีเหตุบังเอิญ ลการสังเกต - บน ล/n.

ตัวอย่างที่ 2.1- สร้างชุดความแปรผันและกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ตามผลการสังเกต ตาราง 2.1.

ตารางที่ 2.1

ฟังก์ชันเชิงประจักษ์ที่ต้องการ รูปที่ 2.1:

ข้าว. 2.1. ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์

ด้วยขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ (แนวคิดของ "ปริมาณมาก" ขึ้นอยู่กับเป้าหมายและวิธีการประมวลผล ในกรณีนี้ เราจะพิจารณา ปใหญ่ถ้า n>40) เพื่อความสะดวกในการประมวลผลและจัดเก็บข้อมูล หันไปจัดกลุ่ม ED ตามช่วงเวลาควรเลือกจำนวนช่วงเวลาเพื่อให้ค่าพารามิเตอร์ที่หลากหลายในการรวมสะท้อนให้เห็นในขอบเขตที่ต้องการและในขณะเดียวกันรูปแบบการกระจายจะไม่ถูกบิดเบือนจากความผันผวนของความถี่สุ่มในแต่ละหมวดหมู่ มีแนวปฏิบัติหลวมๆในการเลือก ปริมาณ yและ ขนาด ชม. ช่วงเวลาดังกล่าว โดยเฉพาะ:

แต่ละช่วงต้องมีองค์ประกอบอย่างน้อย 5–7 รายการ ในระดับที่รุนแรง อนุญาตให้มีเพียงสององค์ประกอบเท่านั้น

จำนวนช่วงเวลาไม่ควรมากหรือเล็กมาก ขั้นต่ำ ค่า y ต้องมีอย่างน้อย 6 – 7ด้วยขนาดตัวอย่างไม่เกินหลายร้อยองค์ประกอบจึงมีคุณค่า y ตั้งค่าไว้ในช่วงตั้งแต่ 10 ถึง 20สำหรับขนาดตัวอย่างที่ใหญ่มาก ( n>1000) จำนวนช่วงเวลาอาจเกินค่าที่ระบุ นักวิจัยบางคนแนะนำให้ใช้อัตราส่วนนี้ y=1.441*ln( n)+1;

ด้วยความไม่สม่ำเสมอที่ค่อนข้างเล็กในความยาวของช่วงเวลาจึงสะดวกในการเลือกค่าเดียวกันและเท่ากับค่า

ชั่วโมง= (xสูงสุด – xนาที)/ปี

ที่ไหน xสูงสุด – สูงสุดและ x min – ค่าต่ำสุดของพารามิเตอร์ หากกฎการกระจายไม่เท่ากันอย่างมีนัยสำคัญ ความยาวของช่วงเวลาสามารถตั้งค่าให้มีขนาดเล็กลงในพื้นที่ที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในความหนาแน่นของการกระจาย

หากมีความไม่สม่ำเสมออย่างมีนัยสำคัญ ควรกำหนดองค์ประกอบตัวอย่างให้มีจำนวนเท่ากันโดยประมาณในแต่ละหมวดหมู่ จากนั้นความยาวของช่วงเวลาหนึ่งจะถูกกำหนดโดยค่าสุดขีดขององค์ประกอบตัวอย่างที่จัดกลุ่มไว้ในช่วงเวลานี้เช่น จะแตกต่างกันตามช่วงเวลาที่ต่างกัน (ในกรณีนี้ เมื่อสร้างฮิสโตแกรม จำเป็นต้องมีการทำให้เป็นมาตรฐานตามความยาวของช่วงเวลา - มิฉะนั้นความสูงของแต่ละองค์ประกอบของฮิสโตแกรมจะเท่ากัน)

การจัดกลุ่มผลการสังเกตตามช่วงเวลาจะช่วยให้: การกำหนดช่วงของการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ เอ็กซ์- การเลือกจำนวนช่วงเวลาและขนาด นับสำหรับทุกคน ฉัน-ช่วงเวลาที่ [ xฉัน–xฉัน+1 ] ความถี่ nฉัน หรือความถี่สัมพัทธ์ (ความถี่ n ฉัน) ตัวเลือกจะอยู่ในช่วง เป็นผลให้เกิดการเป็นตัวแทนของ ED ในรูปแบบ ช่วงเวลาหรืออนุกรมทางสถิติ.

ในรูปแบบกราฟิก ชุดข้อมูลทางสถิติจะแสดงในรูปแบบของฮิสโตแกรม รูปหลายเหลี่ยม และเส้นขั้นบันได บ่อยครั้ง ฮิสโตแกรมแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีฐานเป็นช่วงความยาว ชม.และความสูงจะเท่ากับความถี่ที่สอดคล้องกันอย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่ถูกต้อง ความสูง ฉัน-สี่เหลี่ยมที่ z ฉันควรเลือกให้เท่าเทียมกัน nฉัน/ (นะ- ฮิสโตแกรมดังกล่าวสามารถตีความได้ว่าเป็นการแสดงกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ ฉn(x) ในนั้นพื้นที่รวมของสี่เหลี่ยมทั้งหมดจะเป็นหนึ่งเดียว ฮิสโตแกรมช่วยในการเลือกประเภทของฟังก์ชันการแจกแจงทางทฤษฎีสำหรับการประมาณค่า ED

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นขาด ซึ่งเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดกับพิกัดตามแกนแอบซิสซาเท่ากับจุดกึ่งกลางของช่วง และตามแกนกำหนดเท่ากับความถี่ที่สอดคล้องกัน ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์จะแสดงเป็นเส้นขาดแบบขั้น: ส่วนของเส้นแนวนอนจะถูกลากไปในแต่ละช่วงเวลาที่ความสูงเป็นสัดส่วนกับความถี่สะสมในช่วงเวลาปัจจุบัน ความถี่สะสมจะเท่ากับผลรวมของความถี่ทั้งหมด โดยเริ่มจากความถี่แรกและจนถึงช่วงนี้ด้วย

ตัวอย่างที่ 2.2- มีผลลัพธ์ของค่าการลดทอนสัญญาณการบันทึก xฉัน ที่ความถี่ 1,000 Hz ของช่องสวิตช์ของเครือข่ายโทรศัพท์ ค่าเหล่านี้ซึ่งวัดเป็น dB จะแสดงในรูปแบบของชุดรูปแบบต่างๆ ในตาราง 2.3. มีความจำเป็นต้องสร้างชุดข้อมูลทางสถิติ

ตารางที่ 2.3

สารละลาย- ควรเลือกจำนวนหลักของชุดข้อมูลทางสถิติให้น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้เพื่อให้แน่ใจว่ามีจำนวนการเข้าชมเพียงพอในแต่ละชุด ลองใช้ y = 6 มากำหนดขนาดของตัวเลขกัน

ชั่วโมง =(xสูงสุด – xนาที)/y =(29.28 – 25.79)/6 = 0.58

มาจัดกลุ่มการสังเกตตามหมวดหมู่ ตาราง 2.4.

ตารางที่ 2.4

จากอนุกรมทางสถิติ เราจะสร้างฮิสโตแกรม รูปที่ 1 2.2 และกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ รูปที่. 2.3.

กราฟของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ รูปที่ 1 2.3 แตกต่างจากกราฟที่แสดงในรูปที่ 2.1 ความเท่าเทียมกันของขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงของตัวเลือกและขนาดของขั้นตอนการเพิ่มของฟังก์ชัน (เมื่อสร้างโดยใช้ชุดรูปแบบต่างๆ ขั้นตอนการเพิ่มขึ้นจะเป็นจำนวนทวีคูณ

1/ nและตามชุดทางสถิติ - ขึ้นอยู่กับความถี่ในหมวดหมู่เฉพาะ)

การแสดง ED ที่ได้รับการพิจารณานั้นเป็นการแสดงเริ่มต้นสำหรับการประมวลผลและการคำนวณพารามิเตอร์ต่างๆ ในภายหลัง

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ให้แยกตัวอย่างขนาด n เพื่อศึกษาประชากรทั่วไปเกี่ยวกับคุณลักษณะเชิงปริมาณ X

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคุณลักษณะในประชากรตัวอย่าง

ความแปรปรวนตัวอย่าง

เพื่อสังเกตการกระจายตัวของลักษณะเชิงปริมาณของค่าตัวอย่างรอบค่าเฉลี่ย จะมีการแนะนำคุณลักษณะสรุป - ความแปรปรวนของตัวอย่าง

ความแปรปรวนตัวอย่างคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกำลังสองของการเบี่ยงเบนของค่าที่สังเกตได้ของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ย

หากค่าทั้งหมดของคุณลักษณะตัวอย่างแตกต่างกันแล้ว

แก้ไขความแปรปรวนแล้ว

ความแปรปรวนตัวอย่างเป็นการประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรอย่างเอนเอียง กล่าวคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของความแปรปรวนตัวอย่างไม่เท่ากับค่าความแปรปรวนทั่วไปโดยประมาณ แต่จะเท่ากับ

หากต้องการแก้ไขความแปรปรวนตัวอย่าง ให้คูณด้วยเศษส่วน

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างพบได้จากสูตร

โดยที่ ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่า และ .

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างแสดงความใกล้ชิดของความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง และ : ยิ่งใกล้กับเอกภาพมากเท่าใด ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง และ ก็จะยิ่งแข็งแกร่งมากขึ้นเท่านั้น

23. รูปหลายเหลี่ยมความถี่คือเส้นขาดที่แต่ละส่วนเชื่อมต่อกัน ในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมความถี่ รูปแบบต่างๆ จะถูกพล็อตบนแกน Abscissa และความถี่ที่สอดคล้องกันจะถูกพล็อตบนแกนพิกัด และจุดต่างๆ จะเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรง

รูปหลายเหลี่ยมความถี่สัมพัทธ์ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นว่าความถี่สัมพัทธ์จะถูกพล็อตบนแกนพิกัด

ฮิสโตแกรมความถี่คือรูปขั้นบันไดที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม โดยมีฐานเป็นช่วงความยาว h บางส่วน และความสูงเท่ากับอัตราส่วน ในการสร้างฮิสโตแกรมความถี่ ช่วงเวลาบางส่วนจะถูกวางบนแกน Abscissa และส่วนที่ขนานกับแกน Abscissa ที่ระยะห่าง (ความสูง) จะถูกวาดไว้เหนือพวกมัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยม i-th เท่ากับผลรวมของความถี่ของช่วงเวลา i-o ดังนั้นพื้นที่ของฮิสโตแกรมความถี่จึงเท่ากับผลรวมของความถี่ทั้งหมดนั่นคือ ขนาดตัวอย่าง.

ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์

ที่ไหน ไม่มี- จำนวนค่าตัวอย่างน้อยกว่า x; n- ขนาดตัวอย่าง.

22ให้เรานิยามแนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์กัน

.แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ ประชากรและกลุ่มตัวอย่าง อนุกรมความแปรผัน อนุกรมทางสถิติ ตัวอย่างที่จัดกลุ่ม ชุดสถิติที่จัดกลุ่ม รูปหลายเหลี่ยมความถี่ ฟังก์ชันการกระจายตัวอย่างและฮิสโตแกรม

ประชากร– ชุดวัตถุที่มีอยู่ทั้งหมด

ตัวอย่าง– ชุดวัตถุที่สุ่มเลือกจากประชากรทั่วไป

เรียกว่าลำดับของตัวเลือกที่เขียนตามลำดับจากน้อยไปหามาก แปรผันบริเวณใกล้เคียง และรายการตัวเลือกและความถี่ที่สอดคล้องกันหรือความถี่สัมพัทธ์ - ชุดสถิติ: สุ่มเลือกจากประชากรทั่วไป

รูปหลายเหลี่ยมความถี่เรียกว่าเส้นขาดซึ่งเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ

ฮิสโตแกรมความถี่เป็นรูปขั้นบันไดที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม โดยมีฐานเป็นช่วงย่อยของความยาว h และความสูงเท่ากับอัตราส่วน

ฟังก์ชันการกระจายตัวอย่าง (เชิงประจักษ์)เรียกใช้ฟังก์ชัน ฉ*(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า เอ็กซ์ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ เอ็กซ์< x.

หากมีการศึกษาคุณลักษณะต่อเนื่องบางอย่าง อนุกรมรูปแบบต่างๆ อาจประกอบด้วยตัวเลขจำนวนมาก ในกรณีนี้จะสะดวกกว่าในการใช้งาน ตัวอย่างที่จัดกลุ่ม- เพื่อให้ได้มาซึ่งช่วงเวลาที่มีค่าที่สังเกตได้ทั้งหมดของคุณลักษณะจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงความยาวบางส่วนที่เท่ากันหลายช่วง ชม.แล้วค้นหาช่วงเวลาย่อยแต่ละช่วง ฉัน– ผลรวมของความถี่ของตัวแปรที่รวมอยู่ใน ฉันช่วงเวลาที่.

20. ไม่ควรเข้าใจกฎแห่งจำนวนมากเช่นเดียวกับกฎทั่วไปข้อใดข้อหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับจำนวนมาก กฎของจำนวนมากเป็นชื่อทั่วไปสำหรับทฤษฎีบทหลาย ๆ ข้อ ซึ่งตามมาด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ค่าเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะมีค่าคงที่ที่แน่นอน

ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทของ Chebyshev และ Bernoulli ทฤษฎีบทของเชบีเชฟเป็นกฎทั่วไปที่สุดของจำนวนจำนวนมาก

การพิสูจน์ทฤษฎีบทซึ่งรวมกันเป็นคำว่า "กฎของจำนวนมาก" นั้นขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ซึ่งสร้างความน่าจะเป็นที่จะเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

19การแจกแจงแบบเพียร์สัน (ไค - สแควร์) - การแจกแจงของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มอยู่ที่ไหน X 1, X 2,…, Xnเป็นอิสระและมีการกระจายตัวเหมือนกัน เอ็น(0,1) ในกรณีนี้จำนวนเทอมคือ nเรียกว่า “จำนวนองศาอิสระ” ของการแจกแจงแบบไคสแควร์

การแจกแจงแบบไคสแควร์ใช้ในการประมาณค่าความแปรปรวน (โดยใช้ช่วงความเชื่อมั่น) เมื่อทดสอบสมมติฐานของข้อตกลง ความสม่ำเสมอ ความเป็นอิสระ

การกระจาย ที t ของนักเรียนคือการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มอยู่ที่ไหน ยูและ เอ็กซ์เป็นอิสระ, ยูมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน เอ็น(0.1) และ เอ็กซ์– การกระจายไค – กำลังสอง c nระดับความอิสระ. โดยที่ nเรียกว่า “จำนวนองศาอิสระ” ของการแจกแจงนักศึกษา

ใช้ในการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าพยากรณ์ และคุณลักษณะอื่น ๆ โดยใช้ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย

การแจกแจงแบบฟิชเชอร์คือการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม

การแจกแจงแบบฟิชเชอร์จะใช้เมื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความเพียงพอของแบบจำลองในการวิเคราะห์การถดถอย ความเท่าเทียมกันของความแปรปรวน และในปัญหาอื่นๆ ของสถิติประยุกต์

18การถดถอยเชิงเส้นเป็นเครื่องมือทางสถิติที่ใช้ในการทำนายราคาในอนาคตโดยอาศัยข้อมูลในอดีต และมักจะใช้เพื่อพิจารณาว่าเมื่อใดที่ราคามีความร้อนสูงเกินไป วิธีกำลังสองน้อยที่สุดใช้เพื่อสร้างเส้นตรงที่ "เหมาะสมที่สุด" ผ่านชุดจุดมูลค่าราคา จุดราคาที่ใช้เป็นอินพุตสามารถเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้: เปิด, ปิด, สูง, ต่ำ,

17. ตัวแปรสุ่มสองมิติคือชุดลำดับของตัวแปรสุ่มสองตัวหรือ

ตัวอย่าง: มีการโยนลูกเต๋าสองลูก – จำนวนแต้มที่ทอยบนลูกเต๋าลูกที่หนึ่งและลูกที่สองตามลำดับ

วิธีสากลในการระบุกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบสองมิติคือฟังก์ชันการแจกแจง

15.m.o ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

คุณสมบัติ:

1) ม(ค) = ค, ค- คงที่;

2) ม(CX) = ซี.เอ็ม.(เอ็กซ์);

3) ม(เอ็กซ์ 1 + เอ็กซ์ 2) = ม(เอ็กซ์ 1) + ม(เอ็กซ์ 2), ที่ไหน เอ็กซ์ 1, เอ็กซ์ 2- ตัวแปรสุ่มอิสระ

4) ม(เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2) = ม(เอ็กซ์ 1)ม(เอ็กซ์ 2).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา กล่าวคือ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มจะเท่ากับความแตกต่างของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา กล่าวคือ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา กล่าวคือ

หากค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยตัวเลข C เท่ากัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันจะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนเดียวกัน

14. เอ็กซ์โปเนนเชียล(เอ็กซ์โปเนนเชียล)กฎหมายการกระจาย เอ็กซ์มีกฎการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์ γ >0 หากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมีรูปแบบ:

มูลค่าที่คาดหวัง: .

การกระจายตัว: .

กฎการกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการเข้าคิวและทฤษฎีความน่าเชื่อถือ

13. กฎการแจกแจงแบบปกติมีลักษณะเป็นความถี่ความล้มเหลว a (t) หรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความล้มเหลว f (t) ของรูปแบบ:

, (5.36)

โดยที่ σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ SV x;

ม x– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ SV x- พารามิเตอร์นี้มักเรียกว่าจุดศูนย์กลางการกระจายตัวหรือค่า SV ที่เป็นไปได้มากที่สุด เอ็กซ์.

x– ตัวแปรสุ่มซึ่งสามารถพิจารณาเป็นเวลา ค่ากระแส ค่าแรงดันไฟฟ้า และอาร์กิวเมนต์อื่นๆ

กฎปกติคือกฎสองพารามิเตอร์ ในการเขียนซึ่งคุณต้องรู้ m xและ σ

การแจกแจงแบบปกติ (การแจกแจงแบบเกาส์เซียน) ใช้เพื่อประเมินความน่าเชื่อถือของผลิตภัณฑ์ที่ได้รับผลกระทบจากปัจจัยสุ่มจำนวนหนึ่ง ซึ่งแต่ละปัจจัยจะมีผลกระทบต่อผลลัพธ์เล็กน้อย

12. กฎหมายการกระจายเครื่องแบบ- ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์มีกฎหมายการกระจายแบบสม่ำเสมอในส่วน [ ก, ข] หากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคงที่ในส่วนนี้และเท่ากับศูนย์ด้านนอกนั่นคือ

การกำหนด: .

มูลค่าที่คาดหวัง: .

การกระจายตัว: .

ค่าสุ่ม เอ็กซ์กระจายตามกฎหมายเดียวกันในส่วนที่เรียกว่า หมายเลขสุ่มจาก 0 ถึง 1 ทำหน้าที่เป็นวัสดุเริ่มต้นในการรับตัวแปรสุ่มตามกฎการแจกแจงใดๆ กฎการกระจายแบบสม่ำเสมอใช้ในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเมื่อทำการคำนวณเชิงตัวเลข ในชุดปัญหาการเข้าคิว ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติของการสังเกตภายใต้การแจกแจงที่กำหนด

11. คำนิยาม.ความหนาแน่นของการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เรียกว่าฟังก์ชัน ฉ(x)– อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันการแจกแจง F(x)

ความหนาแน่นของการกระจายเรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล- ในการอธิบายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความหนาแน่นของการแจกแจงเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้

ความหมายของความหนาแน่นของการแจกแจงคือ แสดงว่าตัวแปรสุ่ม X ปรากฏขึ้นในย่านใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่งบ่อยเพียงใด เอ็กซ์เมื่อทำการทดลองซ้ำ

หลังจากแนะนำฟังก์ชันการแจกแจงและความหนาแน่นของการแจกแจงแล้ว จะสามารถให้คำจำกัดความต่อไปนี้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องได้

10. ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x คือฟังก์ชัน p(x) โดยที่

และสำหรับก< b вероятность события a < x < b равна
.

ถ้า p(x) ต่อเนื่องกัน แล้วสำหรับค่า ∆x ที่น้อยเพียงพอ ความน่าจะเป็นของอสมการ x< X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

และถ้า F(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้

การหาฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์

ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่ม $F(x)$ คือฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เราจะทำการทดลอง $n$ กับตัวแปรสุ่มที่กำหนดภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน โดยเป็นอิสระจากกัน ในกรณีนี้เราได้รับลำดับของค่า $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$ ซึ่งเรียกว่าตัวอย่าง

คำจำกัดความ 1

แต่ละค่า $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) เรียกว่าตัวแปร

ค่าประมาณหนึ่งของฟังก์ชันการแจกแจงทางทฤษฎีคือฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์

คำจำกัดความ 3

ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ $F_n(x)$ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับแต่ละค่า $x$ ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ $X \

โดยที่ $n_x$ คือจำนวนตัวเลือกที่น้อยกว่า $x$, $n$ คือขนาดตัวอย่าง

ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันเชิงประจักษ์และฟังก์ชันทางทฤษฎีก็คือ ฟังก์ชันทางทฤษฎีจะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $X

คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานหลายประการของฟังก์ชันการแจกแจง

ช่วงของฟังก์ชัน $F_n\left(x\right)$ คือส่วน $$

$F_n\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง

$F_n\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางซ้าย

$F_n\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันคงที่ทีละชิ้นและเพิ่มเฉพาะจุดของค่าของตัวแปรสุ่ม $X$

ให้ $X_1$ เป็นตัวเลือกที่เล็กที่สุดและ $X_n$ เป็นตัวเลือกที่ใหญ่ที่สุด จากนั้น $F_n\left(x\right)=0$ สำหรับ $(x\le X)_1$ และ $F_n\left(x\right)=1$ สำหรับ $x\ge X_n$

ให้เราแนะนำทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงฟังก์ชันทางทฤษฎีและเชิงประจักษ์

ทฤษฎีบท 1

ให้ $F_n\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ และ $F\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันการแจกแจงทางทฤษฎีของกลุ่มตัวอย่างทั่วไป จากนั้นความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

ตัวอย่างปัญหาการหาฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์

ตัวอย่างที่ 1

ให้การกระจายตัวอย่างมีข้อมูลต่อไปนี้บันทึกโดยใช้ตาราง:

ภาพที่ 1.

ค้นหาขนาดตัวอย่าง สร้างฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ แล้วลงจุด

ขนาดตัวอย่าง: $n=5+10+15+20=50$

ตามคุณสมบัติ 5 เราได้สิ่งนั้นสำหรับ $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ และสำหรับ $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$

มูลค่า $x

มูลค่า $x

มูลค่า $x

ดังนั้นเราจึงได้:

รูปที่ 2.

รูปที่ 3.

ตัวอย่างที่ 2

สุ่มเลือก 20 เมืองจากเมืองทางตอนกลางของรัสเซียซึ่งได้รับข้อมูลค่าโดยสารระบบขนส่งสาธารณะดังต่อไปนี้: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14 , 15, 13 , 13, 12, 12, 15, 14, 14.

สร้างฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์สำหรับตัวอย่างนี้แล้วลงจุด

มาเขียนค่าตัวอย่างตามลำดับจากน้อยไปมากแล้วคำนวณความถี่ของแต่ละค่า เราได้รับตารางต่อไปนี้:

รูปที่ 4.

ขนาดตัวอย่าง: $n=20$.

ตามคุณสมบัติ 5 เราได้สิ่งนั้นสำหรับ $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ และสำหรับ $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$

มูลค่า $x

มูลค่า $x

มูลค่า $x

ดังนั้นเราจึงได้:

รูปที่ 5.

ลองพล็อตการกระจายเชิงประจักษ์:

รูปที่ 6.

ความคิดริเริ่ม: $92.12\%$.

ซีรี่ส์รูปแบบต่างๆ รูปหลายเหลี่ยมและฮิสโตแกรม

ช่วงการจัดจำหน่าย- แสดงถึงการกระจายอย่างเป็นระเบียบของหน่วยประชากรที่กำลังศึกษาออกเป็นกลุ่มตามลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน

ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะที่เป็นรากฐานของการก่อตัวของซีรีย์การจัดจำหน่าย ที่มาและการเปลี่ยนแปลงแถวการแจกจ่าย:

§ เรียกว่าชุดการแจกแจงที่สร้างขึ้นโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปน้อยของค่าลักษณะเชิงปริมาณ แปรผัน.

ชุดรูปแบบการแจกแจงประกอบด้วยสองคอลัมน์:

คอลัมน์แรกระบุค่าเชิงปริมาณของคุณลักษณะที่แตกต่างกันซึ่งเรียกว่า ตัวเลือกและถูกกำหนดไว้ ตัวเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง - แสดงเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลือกช่วงเวลามีตั้งแต่และถึง คุณสามารถสร้างชุดความแปรผันแบบแยกหรือแบบช่วงเวลาได้ ขึ้นอยู่กับประเภทของตัวเลือก
คอลัมน์ที่สองประกอบด้วย จำนวนตัวเลือกเฉพาะแสดงในรูปของความถี่หรือความถี่:

ความถี่- เหล่านี้เป็นตัวเลขสัมบูรณ์ซึ่งแสดงจำนวนครั้งโดยรวมของมูลค่าที่กำหนดของคุณลักษณะที่เกิดขึ้นซึ่งแสดงถึง ผลรวมของความถี่ทั้งหมดจะต้องเท่ากับจำนวนหน่วยในประชากรทั้งหมด

ความถี่() คือความถี่ที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของทั้งหมด ผลรวมของความถี่ทั้งหมดที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์จะต้องเท่ากับ 100% ในเศษส่วนของหนึ่ง

การแสดงกราฟิกของซีรีย์การจัดจำหน่าย

ชุดการจัดจำหน่ายจะถูกนำเสนอด้วยภาพโดยใช้ภาพกราฟิก

ชุดการจัดจำหน่ายมีดังต่อไปนี้:

§ รูปหลายเหลี่ยม

§ ฮิสโตแกรม

§ สะสม

รูปหลายเหลี่ยม

เมื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยม ค่าของคุณลักษณะที่แตกต่างกันจะถูกพล็อตบนแกนนอน (แกน x) และความถี่หรือความถี่จะถูกพล็อตบนแกนตั้ง (แกน y)

1. รูปหลายเหลี่ยมในรูป 6.1 อิงตามข้อมูลจากการสำรวจสำมะโนประชากรขนาดเล็กของรัสเซียในปี 1994

แผนภูมิแท่ง

ในการสร้างฮิสโตแกรมค่าของขอบเขตของช่วงเวลาจะถูกระบุตามแกน abscissa และสร้างสี่เหลี่ยมขึ้นอยู่กับความสูงซึ่งเป็นสัดส่วนกับความถี่ (หรือความถี่)

ในรูป 6.2. แสดงฮิสโตแกรมการกระจายตัวของประชากรรัสเซียในปี 1997 ตามกลุ่มอายุ

รูปที่ 1. การกระจายตัวของประชากรรัสเซียตามกลุ่มอายุ

ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ สมบัติ

ให้ทราบการกระจายความถี่ทางสถิติของคุณลักษณะเชิงปริมาณ X ให้เราแสดงด้วยจำนวนการสังเกตโดยสังเกตค่าของคุณลักษณะนั้นน้อยกว่า x และด้วยจำนวนการสังเกตทั้งหมด แน่นอนว่าความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ X

ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ (ฟังก์ชันการกระจายตัวอย่าง) คือฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ X

ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ของกลุ่มตัวอย่าง ฟังก์ชันการแจกแจงประชากรเรียกว่าฟังก์ชันการแจกแจงทางทฤษฎี ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ก็คือ ฟังก์ชันทางทฤษฎีจะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ X

เมื่อ n เพิ่มขึ้น ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ X

คุณสมบัติพื้นฐาน

ปล่อยให้ผลลัพธ์เบื้องต้นได้รับการแก้ไข จากนั้นคือฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยฟังก์ชันความน่าจะเป็นต่อไปนี้:

ที่ไหน และ - จำนวนองค์ประกอบตัวอย่างเท่ากับ . โดยเฉพาะถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของกลุ่มตัวอย่างแตกต่างกันแล้ว .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงนี้คือ:

.

ดังนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างจึงเป็นค่าเฉลี่ยทางทฤษฎีของการกระจายตัวอย่าง

ในทำนองเดียวกัน ความแปรปรวนตัวอย่างคือความแปรปรวนทางทฤษฎีของการกระจายตัวอย่าง

ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบทวินาม:

ฟังก์ชันการกระจายตัวอย่างเป็นการประมาณค่าฟังก์ชันการกระจายอย่างเป็นกลาง:

.

ความแปรปรวนของฟังก์ชันการแจกแจงตัวอย่างมีรูปแบบดังนี้

.

ตามกฎที่เข้มงวดของจำนวนจำนวนมาก ฟังก์ชันการกระจายตัวอย่างมาบรรจบกันกับฟังก์ชันการกระจายเชิงทฤษฎีเกือบจะแน่นอน:

เกือบจะแน่นอนที่

ฟังก์ชันการกระจายตัวอย่างเป็นการประมาณค่าปกติแบบไม่แสดงกำกับของฟังก์ชันการกระจายตามทฤษฎี ถ้าอย่างนั้น

ตามการจำหน่ายที่.