Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).

Все связи можно разделить на несколько типов.

Связь - гладкая опора (без трения).Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рис. 1.7).

Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь). Груз подвешен на двух нитях (рис. 1.8).

Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.

Жесткий стержень.

На схемах стержни изображают толстой сплош­ной линией (рис. 1.9).

Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня.

Стер­жень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допуска­ется в данный момент наложенными на него связями.

Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Сле­довательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.

Шарнирная опора

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Разли­чают два вида шарниров.

Подвижный шарнир. Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачивать­ся вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 1.10).

Реакция подвижного шарни­ра направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.

Неподвижный шарнир. Точка крепления переме­щаться не может. Стержень может свободно поворачи­ваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры прохо­дит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Её принято изображать ввиде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (R x , Ry) (рис. 1.11).

Защемление или «заделка». Любые перемещения точки крепле­ния невозможны.

Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реак­тивный момент М R , препятствующий повороту (рис. 1.12).

Реактивную силу принято представ­лять в виде двух составляющих вдоль осей координат

R = R x + R y

Примеры решения задач

Последовательность решения задач:

1. Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматри­вать.
2. Освободить тело (шарнир) от связей и изобразить действую­щие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира, так как принято предполагать, что стержни растянуты.
3. Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия, ис­пользуя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ∑Xi = 0; ∑Yi = 0. Выбирая оси координат, следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей напра­вить перпендикулярно одной из неизвестных сил.
4. Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений.
5. Проверить правильность полученных результатов, решив уравне­ния равновесия относительно заново выбранных координат х и у.

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 1.13). Изобразить систему сил, действующих на шарнир А.

Решение

1.
Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 1.13, а).

2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем воз­можные перемещения точки А.

Неподвижный блок с действующими на него силами не рассмат­риваем.

3. Убираем стержень 1, точка А поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.

4. Убираем стержень 2, точка А поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.

5. Канат тянет вправо.

6. Освобождаемся от связей (рис. 1.13, б).

Пример 2. Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 1.14а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).

Решение

1. Реакция нити - вдоль нити к точке В вверх (рис. 1.14, б).

2. Реакция гладкой опоры (стен­ки) - по нормали от поверхности опоры.

Пример 3. Представим, что на горизонтально расположенный брус АБ, собственной массой которого пренебрегаем, действует вертикальная нагрузка F, приложенная в точке С бруса (рис. 1.14-1, а). Левый конец бруса А прикреплен к опоре шарниром, а правый В опира­ется на гладкую наклонную плоскость.

Изобразим брус схематично отрезком АВ, как на рис. 1.14-1, б, и приложим к нему в точке С вертикальную силу F. В точке В со стороны наклонной плоскости к брусу приложена ее реакция R B , направленная перпендикулярно плоскости; линии действия сил F и R B пересекаются в точке О. Кроме этих сил на брус действует еще одна сила - реакция шарнирно-неподвижной опоры. А так как брус находится в равновесии, то линия действия третьей силы также пройдет через точку О, т. е. реакция R шарнир-но-неподвижной опоры направлена вдоль отрезка АО.

Примененный здесь метод рассуждения называется принципом освобождения тела от связей и замены связей их реакциями.

Пример 4. Определить усилие в стержне CD и силу давления груза А на опорную плоскость EF (рис. 1.14-2, а). Массой стержня CD, блока К, каната и трением каната о блок пренебречь.

Решение

Натяжение кана­та во всех его точках одина­ково и равно силе тяжести груза В, так как неподвиж­ный блок изменяет только направление силы, действую­щей на канат.

Рассмотрим равновесие си­стемы: стержень CD и блок К ML. Отбросим связи и заменим их действие соответствующими реакциями (рис. 1.14-2, 6). Для полученной системы сил можно соста­вить только одно уравнение равновесия:

На рис. 1.14-2, в показаны силы, действующие на груз А с прилегающим к нему отрезком каната ОН. R EF - реак­ция опорной плоскости.

Так как груз А находится в равновесии, то

R еf = Pa – Рв = 600 – 400 = 200 Н.

Сила давления груза А на опорную плоскость RA показана на рис, 1.14-2, г. Очевидно, R A = R EF = 200 H (сила действия равна силе противодействия).

Пример 5. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F 1 = 70 кН и F 2 = 100 кН (рис. а). Массой стержней пренебречь.

Решение

1. Рассматриваем равновесие шарнира В (рис. а).

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис. б).

3. Выбираем систему координат, совместив ось у по направлению С реакцией R 2 (рис. б) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

3. Определяем реакции стержней R 1 и R 2 , решая уравнения.

Подставляя найденное значение R 1 в уравнение (2), получаем

Знак минус перед значением R 2 указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное - следует направить реак­цию R 2 в противоположную сторону, т.е. к шарниру В (на рис. б истинное направление реакции R 2 показано штриховым вектором).

5. Проверяем правильность полученных результатов, выбрав новое расположение осей координат х и у (рис. а). Относительно этих осей составляем уравнения равновесия:

Значения реакций R 1 и R 2 , полученные при решении уравнений (1) и (2), совпадают по величине и направлению со значениями, найденными из уравнений (3) и (4), следовательно, задача решена правильно.

Контрольные вопросы и задания

1. Какая из приведенных систем сил (рис. 1.15) уравновешена?

4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 1.18).

Связи и реакции связей

Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.

Все тела делятся на свободные и связанные.

Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.

Связанные тела - тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей.

Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.

Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).

Все связи можно разделить на несколько типов.

Связь - гладкая опора (без трения)

Рисунок 1

Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рис. 1).

Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) Груз подвешен на двух нитях (рис. 2).

Рисунок 2

Жесткий стержень

На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 3).

Рисунок 3

Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.

Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.

Шарнирная опора

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.

Подвижный шарнир

Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 4).

Рисунок 4

Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.

Неподвижный шарнир

Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной ( Rx ; R у) (рис. 5).

Рисунок 5

Защемление или «заделка»

Любые перемещения точки крепления невозможны.

Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент М R , препятствующий повороту (рис. 6).

Рисунок 6

Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат

Примеры решения задач

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 7). Изобразить систему сил, действующих на шарнир А.

Рисунок 7

Решение

1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 7а).

2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем возможные перемещения точки А.

Неподвижный блок с действующими на него силами не рассматриваем.

3. Убираем стержень 1, точка А поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.

4. Убираем стержень 2, точка А поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.

5. Канат тянет вправо.

6. Освобождаемся от связей (рис. 7б).

Пример 2. Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 8а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).

Рисунок 8

Решение

1. Реакция нити - вдоль нити к точке В вверх (рис. 8б).

2. Реакция гладкой опоры (стенки) - по нормали от поверхности опоры.

Контрольные вопросы и задания

4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 9).

Рисунок 9

1. Гладкая поверхность (плоскость) или опора (рисунок 1.10). Гладкой называют такую плоскость или поверхность, на которой можно пренебречь трением. Такая связь не препятствует скольжению по ней поверхности тела, а препятствует только перемещению в направлении общей нормали к поверхности тела и к связи, поэтому сила реакции направлена по этой нормали. (Любые две поверхности, контактирующие в точке, имеют общую нормаль и общую касательную плоскость, проходящие через точку контакта). Такую реакцию называют нормальной силой реакции .

Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 1.10, б ), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

Рисунок 1.10 – Реакции гладких поверхностей или опор

2. Нить. Связь, осуществлённая в виде гибкой нерастяжимой нити (рисунок 1.11), не даёт телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.

Рисунок 1.11 – Реакция нити

3. Цилиндрический шарнир (подшипник) . Одно тело может вращаться относительно другого вокруг общей оси, называемой осью шарнира (например, как две половины ножниц). Если тело АВ прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D (рис. 1.12, а ), то точка А тела не может при этом переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному оси шарнира. Следовательно, реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, т.е. в плоскости Axy. Для силы в этом случае наперёд неизвестны ни её модуль R , ни направление (угол α). Часто реакцию заменяют её составляющими по осям x и y, как на рис.1.12, б , где шарнир А неподвижно закреплён при помощи двух стержней на шарнирах.

а) б)

Рисунок 1.12 – Реакция шарнира

4. Подвижный шарнир . Стержень, закреплённый на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей. Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т.к. не допускается только перемещение поперёк опорной поверхности.

5. Сферический шарнир и подпятник. Тела, соединённые сферическим шарниром, могут как угодно поворачиваться одно относительно другого вокруг центра шарнира. Пример – прикрепление фотоаппарата к штативу. Точка A тела (рис. 1.13 а ), совпадающая с центром шарнира, не может совершить ни какого перемещения в пространстве. Следовательно, реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве. Для неё наперёд не известны ни её модуль R, ни углы с осями Axyz .

Произвольное направление в пространстве может иметь и реакция подпятника (подшипника с упором), изображённого на рис. 1.13 б .

Рисунок 1.13– Сферический шарнир и подпятник

6. Невесомый стержень. Невесомым называют такой стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой, можно пренебречь. Пусть для находящегося в равновесии тела такой стержень, прикреплённый в точках A и B шарнирами, является связью (примеры на рис. 1.14 а и б ). Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в точках A и B . При равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т.е. вдоль AB . Но тогда согласно закону о действии и противодействии стержень будет действовать на тело с силой, тоже направленной вдоль AB . Следовательно, реакция невесомого шарнирно прикреплённого стержня направлена вдоль прямой, соединяющей шарниры . При этом стержень может быть прямым или кривым, сжатым или растянутым.

Рисунок 1.14 – Связи в виде невесомых стержней: прямого растянутого (а) и криволинейного сжатого (б )

7. Направляющая позволяет только прямолинейное движение вдоль своей оси. Создаёт силу реакции в направлении, перпендикулярном оси, и момент реакции (в плоской системе сил). (Рис. 1.15, а .) Если одна направляющая установлена на другой направляющей, то тело может перемещаться в плоскости как угодно, но не может поворачиваться. (Рис. 1.15, б .). В такой опоре имеется реакция в виде момента.

а) б)

Рисунок 1.15 – Реакции направляющих: а) – одиночной и б) - сдвоенной

8. Жёсткая заделка (рисунок 1.16, а,б ). Даже одна жёсткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых видах нагрузок. Сила реакции заделки может иметь любое направление, поэтому обычно определяют составляющие R x , R y , R z . (на рисунке 1.16, а они обозначены и ) Кроме того, жёсткая заделка препятствует повороту тела, поэтому на тело действует момент заделки . Его, как мы увидим далее, тоже можно представить как сумму моментов M x , M y , M z . В случае действия плоской системы сил возникают две составляющие реакции (на рисунке 1.16, б они обозначены и ) и момент заделки в плоскости действия сил (на рисунке 1.16, б он обозначен М з ).

Рисунок 1.16 – Реакции заделки в пространственной (а) и плоской (б) системе сил

9. Связь осуществляется посредством негладкой неподвижной поверхности (рисунок 1.17, а, б ). До сих пор мы рассматривали связи, которые осуществлялись посредством абсолютно гладких поверхностей. В действительности же реальные поверхности бывают негладкими (шероховатыми). Негладкая поверхность не только препятствует перемещению, нарушающему связь, но и оказывает некоторое сопротивление перемещению по этой поверхности. Это сопротивление тоже представляет некоторую реакцию, направленную по касательной плоскости к поверхности и называемую силой трения скольжения . Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную той, в которую двигают или стремятся сдвинуть тело приложенные к нему активные силы. Как и всякая реакция связи, сила трения определяется теми активными силами, которые действуют на рассматриваемое тело*. Следовательно, реакция негладкой неподвижной поверхности имеет две составляющие: одну – нормальную к поверхности, осуществляющей негладкую связь, а другую – лежащую в общей касательной плоскости к поверхности тела и поверхности, осуществляющей негладкую связь. Первая составляющая – нормальная сила реакции – на рисунке 1.17 а, б обозначена через и , а
вторая составляющая – сила трения скольжения – на тех же рисунках обозначена через и .

Рис. – Реакции с учётом силы трения

Тело называется свободным , если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещение которого ограничено другими телами, называется несвободным . Тела, ограничивающие перемещения данного тела, называются связями . Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей .

Принцип освобождаемости : всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к телу.

Основные типы связей :

а) опора на идеально гладкую поверхность – реакция поверхности направлена по нормали к ней, т.е. перпендикулярно касательной – нормальная реакция;

б) одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (угол), реакция направлена по нормали к другой поверхности;

в) нить – реакция направлена вдоль нити к точке подвеса;

г) цилиндрический шарнир (шарнирно-неподвижная опора) – реакция может иметь любое направление в плоскости, при решении задач заменяется двумя взаимно перпендикулярными составляющими;

д) цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (шарнир на катках) – реакция направлена перпендикулярно опорной плоскости;

е) невесомый стержень (обязательно невесомый) – реакция направлена вдоль стержня;

ж) жёсткая заделка (заделанная в стену балка) – возникает произвольно направленная реакция – сила и реактивный момент, также неизвестный по направлению. Реакция раскладывается на две составляющие.

3. Проекция силы на ось и плоскость

Проекция силы на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый, проекция положительна, если тупой - отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, ее проекция на ось равна нулю.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. .

Силы можно задавать не только при помощи векторов, но и аналитический, с помощью проекций силы на координатные оси. Пользуемся правой системой координат, т.е. такой, в которой кратчайшее совмещение оси Ox c Oy происходит, если смотреть с положительного конца оси Oz , против хода часовой стрелки.

Для пространственной системы: ,

F x =Fcosa; F y =Fcosb; F z =Fcosg;

4. Сложение сил

Геометрический способ сложения сил

1. Сложение двух сил.

Геометрическая сумма двух сил и находится по правилу параллелограмма или построением силового треугольника изображающего одну из половин этого параллелограмма.

2. Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости.

Геометрическая сумма трех сил , , , не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). В справедливости этого убеждаемся, применяя последовательно правило параллелограмма.

3. Сложение системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил , , , …, , откладываем от произвольной точки вектор , изображающий в выбранном масштабе силу , от точки - вектор изображающий силу , от точки - вектор , изображающий силу , и т. д.; от конца предпоследнего вектора откладываем вектор , изображающий . Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил: .

Аналитический способ сложения сил.

Силы можно складывать и аналитически с помощью проекций этих сил на координатные оси. При этом проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых на ту же ось. -> R x =åF ix ; R y =åF iy ; R z =åF iz ; .

Если силы расположены в одной плоскости, то R x =åF ix ; R y =åF iy ; .

5. Равновесие системы сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Равнодействующа я сходящихся сил равна геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложена в точке их пересечения . Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил были равны нулю

1. Геометрическое условие равновесия . Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

2. Аналитические условия равновесия . ó , , .

Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. åF ix =0; åF iy =0; åF iz =0. Для плоской системы только первые 2 уравнения.

3. Теорема о трех силах : Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Для доказательства теоремы рассмотрим сначала какие-нибудь две из действующих на тело сил, например и . Так как по условиям теоремы эти силы лежат в одной плоскости и не параллельны, то их линии действия пересекаются в некоторой точке А. Приложим силы и в этой точке и заменим их равнодействующей

F 1 F

А F 2 r A О

Очевидно, что перенос точки приложения силы вдоль ее линии действия не может изменить главного вектора системы, так как при этой операции вектор каждой силы остается неизменным. Главный момент также не изменится, так как момент силы не зависит от положения точки приложения силы на ее линии действия.

Рассмотрим теперь вторую операцию. Пусть в точке А приложены две силы F 1 и F 2 (рис.16) Заменим их одной силой F , найденной по правилу параллелограмма:

F = F1 + F2 .

Найдем момент силы F относительно точки О .

m O (F ) = r A ×F = r A ×(F 1 + F 2 ) = r A ×F 1 +r A ×F 2 = m O (F 1 ) +m O (F 2 ).

Таким образом, применение этой элементарной операции приводит к замене в выражениях главного вектора и главного момента двух слагаемых их геометрической суммой. Очевидно, что главный вектор и главный момент при этом не изменяются.

4. ВИДЫ СВЯЗЕЙ И ИХ РЕАКЦИИ.

4.1. Гладкая поверхность . Гладкой считается поверхность, трением о которую можно пренебречь. Гладкое тело, опирающееся на гладкую поверхность, может скользить вдоль этой поверхности и не может перемещаться по нормали к ней.

Реакция гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям тела и опоры и приложена в точке их контакта (рис.17). В случае шероховатых поверхностей трение можно исключить при

помощи катков (рис.18), соединенных с телом и устанавливаемых на опорную плоскость. Реакция катков направлена по нормали к опорной плоскости.

4.2 Точечная опора (острие, гладкий выступ).Реакция точечной опоры направлена по нормали к поверхности тела (рис.19).

4.3. Нить , на которой подвешено тело (рис. 20), не дает ему удаляться от точки

подвеса. Реакция направлена вдоль нити от точки ее закрепления на данном теле.

4.4. Цилиндрический шарнир состоит из болта и надетой на него втулки. Такое закрепление допускает перемещение вдоль оси шарнира и вращение вокруг нее. Реакция шарнира приложена в точке контакта болта и втулки и направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям. Положение точки контакта зависит от приложенных к телу активных сил, поэтому направление реакции шарнира заранее неизвестно (рис.21), и ее раскладывают на две взаимно-перпендикулярные составляющие, параллельные координатным осям (рис.22).

4.5. Подшипник – опора вала, допускающая его вращение вокруг своей оси и перемещение вдоль этой оси. Реакция подшипника лежит в плоскости, перпендикулярной оси вала и раскладывается на две взаимно-перпендикулярные составляющие (рис.23).

4.6. Подпятник представляет собой опору вала, позволяющую ему перемещаться только в одном направлении вдоль оси вала и поворачиваться вокруг нее. Реакция подпятника (рис.24) раскладывается на три взаимноперпендикулярные составляющие.

5. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ДВУМ СИЛАМ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ.

5.1. Теорема. Произвольную систему сил при помощи элементарных операций можно преобразовать в эквивалентную систему, состоящую из двух сил; при этом главный вектор и главный момент системы не изменятся.

Доказательство. Докажем эту теорему для системы, состоящей из трех сил. Пусть к твердому телу в точках А, В и С приложены силы F 1 , F 2 и F 3 (рис.27).

Будем считать, что эти силы не лежат в одной плоскости. Проведем через точку А и силуF 2 плоскость П, а через точку А и силу F 3 - плоскость Н. Выберем на линии

пересечения этих плоскостей произвольную точку D. Соединим точки А и D с точками В и С. Разложим силуF 2 на две составляющие F 2 1 иF 2 11 , направленные по прямым АВ и ВD и перенесем эти составляющие по линиям их действия в точки

А и D.

параллелограмма, одной силой Р 1 . Таким образом, исходная система сил{ F 1 , F 2 , F 3 } оказалась замененной системой { P 1 , P 2 } . Так как при этом применялись только элементарные операции, то системы { P 1 , P 2 } и { F 1 , F 2 , F 3 } оказались эквивалентными, и, следовательно, их главные векторы и главные моменты не изменились:

R F = R P , MO F = MO P .

Если плоскости П и Н сливаются, то точку D можно брать где угодно в этих плоскостях.

Теорема доказана для системы, состоящей из трех сил. Если система состоит из большего числа сил, то, повторяя эту операцию несколько раз, приведем к двум силам и любую заданную систему сил.

Операция замены системы сил эквивалентной системой, состоящей из двух сил, называется приведением данной системы сил к двум силам.

5.2.Теорема о равновесии системы сил. Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно любого центра равнялись нулю.

Доказательство необходимости. Пусть система сил{ F 1 , F 2 ,..., F n } ∞ 0 .

Докажем, что главный вектор системы равен нулю и главный момент относительно любого центра также равен нулю:

по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис.28). Главный вектор R P = P 1 + P 2 = 0 .

Главный момент системы M O P = r A × P 1 + r B × P 2 = (r A − r B ) × P 1 = ВA × P 1 = 0 векторы BА и P 1 направлены по одной прямой.

А P 1

Определим главный момент системы { P 1 , P 2 } относительно точки О: