Formulat e diplomës përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:

Operacionet me gradë.

1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, shtohen treguesit e tyre:

jam·a n = a m + n .

2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:

3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n /b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n Fuqia e th është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si ai i pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:

Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jo të barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallën m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.

Në mësimin e fundit të videos, mësuam se shkalla e një baze të caktuar është një shprehje që përfaqëson produktin e bazës në vetvete, të marrë në një sasi të barabartë me eksponentin. Le të studiojmë tani disa nga vetitë dhe funksionet më të rëndësishme të fuqive.

Për shembull, le të shumëzojmë dy fuqi të ndryshme me të njëjtën bazë:

Le ta paraqesim këtë vepër në tërësi:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Pasi kemi llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje, marrim numrin 32. Nga ana tjetër, siç shihet nga i njëjti shembull, 32 mund të paraqitet si prodhim i së njëjtës bazë (dy), marrë 5 herë. Dhe me të vërtetë, nëse e numëroni, atëherë:

Kështu, mund të konkludojmë me besim se:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ky rregull funksionon me sukses për çdo tregues dhe çdo arsye. Kjo veti e shumëzimit të fuqisë rrjedh nga rregulli që kuptimi i shprehjeve ruhet gjatë shndërrimeve në një produkt. Për çdo bazë a, prodhimi i dy shprehjeve (a)x dhe (a)y është i barabartë me a(x + y). Me fjalë të tjera, kur prodhohen shprehje me të njëjtën bazë, monomi që rezulton ka një shkallë totale të formuar duke shtuar shkallët e shprehjeve të parë dhe të dytë.

Rregulli i paraqitur gjithashtu funksionon mirë kur shumëzoni disa shprehje. Kushti kryesor është që të gjithë të kenë të njëjtat baza. Për shembull:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Është e pamundur të shtohen shkallë dhe në të vërtetë të kryhen veprime të përbashkëta të bazuara në fuqi me dy elementë të një shprehjeje nëse bazat e tyre janë të ndryshme.
Siç tregon videoja jonë, për shkak të ngjashmërisë së proceseve të shumëzimit dhe pjesëtimit, rregullat për shtimin e fuqive në një produkt transferohen në mënyrë të përsosur në procedurën e ndarjes. Merrni parasysh këtë shembull:

Le ta transformojmë shprehjen term pas termi në formën e saj të plotë dhe të zvogëlojmë të njëjtat elementë në dividend dhe pjesëtues:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultati përfundimtar i këtij shembulli nuk është aq interesant, sepse tashmë në procesin e zgjidhjes së tij është e qartë se vlera e shprehjes është e barabartë me katrorin e dy. Dhe është dy që fitohet duke zbritur shkallën e shprehjes së dytë nga shkalla e së parës.

Për të përcaktuar shkallën e herësit, është e nevojshme të zbritet shkalla e pjesëtuesit nga shkalla e dividentit. Rregulli funksionon me të njëjtën bazë për të gjitha vlerat e tij dhe për të gjitha fuqitë natyrore. Në formën e abstraksionit kemi:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Nga rregulli i pjesëtimit të bazave identike me gradë, rrjedh përkufizimi për shkallën zero. Natyrisht, shprehja e mëposhtme duket si:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Nga ana tjetër, nëse e bëjmë ndarjen në një mënyrë më vizuale, marrim:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kur zvogëloni të gjithë elementët e dukshëm të një fraksioni, gjithmonë fitohet shprehja 1/1, domethënë një. Prandaj, përgjithësisht pranohet se çdo bazë e ngritur në fuqinë zero është e barabartë me një:

Pavarësisht nga vlera e a.

Sidoqoftë, do të ishte absurde nëse 0 (i cili ende jep 0 për çdo shumëzim) është disi i barabartë me një, kështu që një shprehje e formës (0) 0 (zero në fuqinë zero) thjesht nuk ka kuptim, dhe formula ( a) 0 = 1 shtoni një kusht: "nëse a nuk është e barabartë me 0."

Le të zgjidhim ushtrimin. Le të gjejmë vlerën e shprehjes:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Meqenëse baza është e njëjtë kudo dhe e barabartë me 34, vlera përfundimtare do të ketë të njëjtën bazë me një shkallë (sipas rregullave të mësipërme):

Me fjale te tjera:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Përgjigje: shprehja është e barabartë me një.

I. Produkt i fuqive me baza të njëjta.

Prodhimi i dy fuqive me baza të njëjta mund të paraqitet gjithmonë si fuqi me bazë x.

Sipas përkufizimit, fuqia x 7 është prodhimi i shtatë faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me x, dhe x 9 është prodhimi i nëntë faktorëve të njëjtë. Prandaj, x 7 x 9 është e barabartë me produktin e 7 + 9 faktorëve. Secila prej të cilave është e barabartë me x, domethënë

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Rezulton se nëse baza e shkallës a është një numër arbitrar, dhe m dhe n janë çdo numër natyror, atëherë barazia është e vërtetë:

a m · a n = a m + n

Kjo barazi shpreh një nga vetitë e shkallës.

Prodhimi i dy fuqive me të njëjtën bazë është i barabartë me një fuqi me të njëjtën bazë dhe një eksponent të barabartë me shumën e eksponentëve të këtyre fuqive.

Kjo veti ndodh edhe në rastet kur numri i faktorëve është më shumë se dy.

Për shembull, në rastin e tre faktorëve kemi:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

Gjatë kryerjes së transformimeve, është e përshtatshme të përdoret rregulli: kur shumëzohen fuqitë me të njëjtat baza, bazat lihen të njëjta dhe shtohen eksponentët.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 1.

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

Shembulli 2.

a 7 a -8 = a -1

Shembulli 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Pjesë të shkallëve me baza të njëjta.

Herësi i dy fuqive me eksponentë të njëjtë mund të paraqitet gjithmonë si një fuqi me të njëjtën bazë.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 1. Herësi x 17: x 5 mund të përfaqësohet si një fuqi me një bazë x:

x 17: x 5 = x 12,

meqenëse sipas përkufizimit të herësit dhe bazuar në vetinë e shkallës x 5 · x 12 = x 17. Eksponenti i herësit (numri 12) është i barabartë me diferencën midis eksponentëve të dividendit dhe pjesëtuesit (17 - 5):

x 17: x 5 = x 17-5

Shembulli 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Shembulli 3.

a -8: a 6 = a -8-6 = a -14

Shembulli 4.

b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9

Shembulli 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Gjatë kryerjes së transformimeve, është e përshtatshme të përdoret rregulli: kur ndahen fuqitë me të njëjtat baza, bazat lihen të njëjta, dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividentit.

Shembulli 6.

a 4: a 4 = a 4-4 = a 0

Vlera e shprehjes a 0 për çdo a ≠ 0 është e barabartë me 1.

III. Ngritja e një diplome në një shkallë.

Le të paraqitet fuqia e shtatë e shprehjes a 2 si fuqi me bazë a.

Sipas përkufizimit, fuqia (a 2) 7 është produkt i shtatë faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me 2, d.m.th.

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Duke aplikuar vetinë e fuqisë, marrim:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7 .

Rezulton, (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza lihet e njëjtë dhe eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a mn .

Le të shohim shembuj.

Shembulli 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Shembulli 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Shprehje, shndërrim shprehjesh

Shprehjet e fuqisë (shprehjet me fuqi) dhe shndërrimi i tyre

Në këtë artikull do të flasim për konvertimin e shprehjeve me fuqi. Së pari, do të fokusohemi në transformimet që kryhen me shprehje të çdo lloji, duke përfshirë shprehjet e fuqisë, si hapja e kllapave dhe sjellja e termave të ngjashëm. Dhe më pas do të analizojmë transformimet e qenësishme në mënyrë specifike në shprehjet me shkallë: duke punuar me bazën dhe eksponentin, duke përdorur vetitë e shkallëve, etj.

Navigimi i faqes.

Cilat janë shprehjet e fuqisë?

Termi "shprehje fuqie" praktikisht nuk shfaqet në tekstet shkollore të matematikës, por ai shfaqet mjaft shpesh në koleksionet e problemeve, veçanërisht ato të destinuara për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit, për shembull. Pas analizimit të detyrave në të cilat është e nevojshme të kryhet ndonjë veprim me shprehje fuqie, bëhet e qartë se shprehjet e fuqisë kuptohen si shprehje që përmbajnë fuqi në hyrjet e tyre. Prandaj, ju mund të pranoni përkufizimin e mëposhtëm për veten tuaj:

Përkufizimi.

Shprehjet e fuqisë janë shprehje që përmbajnë shkallë.

Le të japim shembuj të shprehjeve të fuqisë. Për më tepër, ne do t'i paraqesim ato sipas mënyrës se si ndodh zhvillimi i pikëpamjeve nga një shkallë me një eksponent natyror në një shkallë me një eksponent real.

Siç dihet, së pari njihet fuqia e një numri me një eksponent natyror; në këtë fazë, shprehjet e para më të thjeshta të fuqisë të tipit 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 duket −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etj.

Pak më vonë, studiohet fuqia e një numri me një eksponent numër të plotë, gjë që çon në shfaqjen e shprehjeve të fuqisë me fuqi të numrit të plotë negativ, si më poshtë: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Në shkollë të mesme kthehen në diploma. Aty prezantohet një shkallë me një eksponent racional, i cili përfshin shfaqjen e shprehjeve përkatëse të fuqisë: , , e kështu me radhë. Së fundi, konsiderohen shkallët me eksponentë irracionalë dhe shprehjet që i përmbajnë ato: , .

Çështja nuk kufizohet në shprehjet e renditura të fuqisë: më tej ndryshorja depërton në eksponent dhe, për shembull, lindin shprehjet e mëposhtme: 2 x 2 +1 ose . Dhe pas njohjes me , shprehjet me fuqi dhe logaritme fillojnë të shfaqen, për shembull, x 2·lgx −5·x lgx.

Pra, jemi marrë me pyetjen se çfarë përfaqësojnë shprehjet e fuqisë. Më pas do të mësojmë t'i transformojmë ato.

Llojet kryesore të shndërrimeve të shprehjeve të fuqisë

Me shprehjet e fuqisë, ju mund të kryeni cilindo nga transformimet bazë të identitetit të shprehjeve. Për shembull, mund të hapni kllapa, të zëvendësoni shprehjet numerike me vlerat e tyre, të shtoni terma të ngjashëm, etj. Natyrisht, në këtë rast, është e nevojshme të ndiqet procedura e pranuar për kryerjen e veprimeve. Le të japim shembuj.

Shembull.

Llogaritni vlerën e shprehjes së fuqisë 2 3 ·(4 2 −12) .

Zgjidhje.

Sipas rendit të ekzekutimit të veprimeve, fillimisht kryeni veprimet në kllapa. Atje, së pari, ne zëvendësojmë fuqinë 4 2 me vlerën e saj 16 (nëse është e nevojshme, shih), dhe së dyti, llogarisim diferencën 16−12=4. Ne kemi 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Në shprehjen që rezulton, ne zëvendësojmë fuqinë 2 3 me vlerën e saj 8, pas së cilës llogarisim prodhimin 8·4=32. Kjo është vlera e dëshiruar.

Kështu që, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Përgjigje:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Shembull.

Thjeshtoni shprehjet me fuqi 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Zgjidhje.

Natyrisht, kjo shprehje përmban terma të ngjashëm 3·a 4 ·b −7 dhe 2·a 4 ·b −7, dhe mund t'i paraqesim: .

Përgjigje:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Shembull.

Shprehni një shprehje me fuqi si produkt.

Zgjidhje.

Ju mund ta përballoni detyrën duke paraqitur numrin 9 si një fuqi prej 3 2 dhe më pas duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar - ndryshimin e katrorëve:

Përgjigje:

Ekzistojnë gjithashtu një numër transformimesh identike të natyrshme në mënyrë specifike në shprehjet e fuqisë. Ne do t'i analizojmë ato më tej.

Puna me bazën dhe eksponentin

Ka shkallë, baza dhe/ose eksponenti i të cilave nuk janë thjesht numra ose ndryshore, por disa shprehje. Si shembull, japim hyrjet (2+0.3·7) 5−3.7 dhe (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kur punoni me shprehje të tilla, mund të zëvendësoni si shprehjen në bazën e shkallës ashtu edhe shprehjen në eksponent me një shprehje identike të barabartë në ODZ të ndryshoreve të saj. Me fjalë të tjera, sipas rregullave të njohura për ne, ne mund të transformojmë veçmas bazën e shkallës dhe veçmas eksponentin. Është e qartë se si rezultat i këtij transformimi, do të merret një shprehje që është identike e barabartë me atë origjinale.

Transformime të tilla na lejojnë të thjeshtojmë shprehjet me fuqi ose të arrijmë qëllime të tjera që na duhen. Për shembull, në shprehjen e fuqisë të përmendur më sipër (2+0.3 7) 5−3.7, mund të kryeni veprime me numrat në bazë dhe eksponent, të cilat do t'ju lejojnë të kaloni në fuqinë 4.1 1.3. Dhe pasi hapim kllapat dhe sjellim terma të ngjashëm në bazën e shkallës (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), marrim një shprehje fuqie të një forme më të thjeshtë një 2·(x+ 1) .

Përdorimi i vetive të diplomës

Një nga mjetet kryesore për transformimin e shprehjeve me fuqi janë barazitë që reflektojnë . Le të kujtojmë ato kryesore. Për çdo numër pozitiv a dhe b dhe numra real arbitrarë r dhe s, vetitë e mëposhtme të fuqive janë të vërteta:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Vini re se për eksponentët natyrorë, numra të plotë dhe pozitivë, kufizimet në numrat a dhe b mund të mos jenë aq të rrepta. Për shembull, për numrat natyrorë m dhe n barazia a m ·a n =a m+n është e vërtetë jo vetëm për a pozitive, por edhe për negative a dhe për a=0.

Në shkollë, fokusi kryesor gjatë transformimit të shprehjeve të fuqisë është në aftësinë për të zgjedhur vetinë e duhur dhe për ta zbatuar atë në mënyrë korrekte. Në këtë rast, bazat e shkallëve janë zakonisht pozitive, gjë që lejon që vetitë e gradave të përdoren pa kufizime. E njëjta gjë vlen edhe për transformimin e shprehjeve që përmbajnë variabla në bazat e fuqive - diapazoni i vlerave të lejueshme të variablave është zakonisht i tillë që bazat marrin vetëm vlera pozitive mbi të, gjë që ju lejon të përdorni lirshëm vetitë e fuqive . Në përgjithësi, duhet të pyesni vazhdimisht veten nëse është e mundur të përdorni ndonjë pronë të gradave në këtë rast, sepse përdorimi i pasaktë i pronave mund të çojë në një ngushtim të vlerës arsimore dhe telashe të tjera. Këto pika diskutohen në detaje dhe me shembuj në artikullin e transformimit të shprehjeve duke përdorur vetitë e shkallëve. Këtu do të kufizohemi në shqyrtimin e disa shembujve të thjeshtë.

Shembull.

Shprehni shprehjen a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 si fuqi me bazë a.

Zgjidhje.

Së pari, ne transformojmë faktorin e dytë (a 2) −3 duke përdorur vetinë e ngritjes së një fuqie në një fuqi: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Shprehja origjinale e fuqisë do të marrë formën a 2,5 ·a −6:a −5,5. Natyrisht, mbetet të përdorim vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit të fuqive me të njëjtën bazë, kemi
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Përgjigje:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Vetitë e fuqive gjatë transformimit të shprehjeve të fuqisë përdoren nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë.

Shembull.

Gjeni vlerën e shprehjes së fuqisë.

Zgjidhje.

Barazia (a·b) r =a r ·b r, e aplikuar nga e djathta në të majtë, na lejon të kalojmë nga shprehja origjinale në një produkt të formës dhe më tej. Dhe kur shumëzohen fuqitë me të njëjtat baza, eksponentët mblidhen: .

Ishte e mundur të transformohej shprehja origjinale në një mënyrë tjetër:

Përgjigje:

.

Shembull.

Duke pasur parasysh shprehjen e fuqisë a 1,5 −a 0,5 −6, prezantoni një ndryshore të re t=a 0,5.

Zgjidhje.

Shkalla a 1,5 mund të përfaqësohet si 0,5 3 dhe më pas, bazuar në vetinë e shkallës në shkallën (a r) s =a r s, e aplikuar nga e djathta në të majtë, transformohet në formën (a 0,5) 3. Kështu, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Tani është e lehtë të prezantosh një ndryshore të re t=a 0.5, marrim t 3 −t−6.

Përgjigje:

t 3 −t−6 .

Shndërrimi i thyesave që përmbajnë fuqi

Shprehjet e fuqisë mund të përmbajnë ose paraqesin thyesa me fuqi. Çdo nga transformimet bazë të thyesave që janë të natyrshme në thyesat e çdo lloji është plotësisht i zbatueshëm për thyesat e tilla. Domethënë, thyesat që përmbajnë fuqi mund të reduktohen, të reduktohen në një emërues të ri, të punohen veçmas me numëruesin e tyre dhe veçmas me emëruesin etj. Për të ilustruar këto fjalë, merrni parasysh zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë .

Zgjidhje.

Kjo shprehje e fuqisë është një fraksion. Le të punojmë me numëruesin dhe emëruesin e tij. Në numërues hapim kllapat dhe thjeshtojmë shprehjen që rezulton duke përdorur vetitë e fuqive, dhe në emërues paraqesim terma të ngjashëm:

Dhe le të ndryshojmë gjithashtu shenjën e emëruesit duke vendosur një minus përpara thyesës: .

Përgjigje:

.

Reduktimi i thyesave që përmbajnë fuqi në një emërues të ri kryhet në mënyrë të ngjashme me reduktimin e thyesave racionale në një emërues të ri. Në këtë rast, gjendet edhe një faktor shtesë dhe me të shumëzohen numëruesi dhe emëruesi i thyesës. Gjatë kryerjes së këtij veprimi, vlen të kujtohet se reduktimi në një emërues të ri mund të çojë në një ngushtim të VA. Për të parandaluar që kjo të ndodhë, është e nevojshme që faktori shtesë të mos shkojë në zero për asnjë vlerë të variablave nga variablat ODZ për shprehjen origjinale.

Shembull.

Reduktoni thyesat në një emërues të ri: a) në emërues a, b) tek emëruesi.

Zgjidhje.

a) Në këtë rast, është mjaft e lehtë të kuptosh se cili shumëzues shtesë ndihmon për të arritur rezultatin e dëshiruar. Ky është një shumëzues i një 0.3, pasi një 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Vini re se në rangun e vlerave të lejuara të ndryshores a (ky është grupi i të gjithë numrave realë pozitivë), fuqia e një 0.3 nuk zhduket, prandaj, ne kemi të drejtë të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e një të dhënë fraksion nga ky faktor shtesë:

b) Duke e parë më nga afër emëruesin, do ta gjeni

dhe duke shumëzuar këtë shprehje me do të japë shumën e kubeve dhe , që është, . Dhe ky është emëruesi i ri tek i cili duhet të zvogëlojmë thyesën origjinale.

Kështu kemi gjetur një faktor shtesë. Në rangun e vlerave të pranueshme të ndryshoreve x dhe y, shprehja nuk zhduket, prandaj, ne mund të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e fraksionit me të:

Përgjigje:

A) , b) .

Gjithashtu nuk ka asgjë të re në zvogëlimin e thyesave që përmbajnë fuqi: numëruesi dhe emëruesi paraqiten si një numër faktorësh, dhe të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit reduktohen.

Shembull.

Zvogëlo thyesën: a) , b) .

Zgjidhje.

a) Së pari, numëruesi dhe emëruesi mund të zvogëlohen me numrat 30 dhe 45, që është e barabartë me 15. Është gjithashtu padyshim e mundur të kryhet një reduktim me x 0,5 +1 dhe me . Ja çfarë kemi:

b) Në këtë rast, faktorët identikë në numërues dhe emërues nuk janë menjëherë të dukshëm. Për t'i marrë ato, do t'ju duhet të kryeni transformime paraprake. Në këtë rast, ato konsistojnë në faktorizimin e emëruesit duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

Përgjigje:

A)

b) .

Shndërrimi i thyesave në një emërues të ri dhe zvogëlimi i thyesave përdoren kryesisht për të bërë gjëra me thyesa. Veprimet kryhen sipas rregullave të njohura. Kur mblidhen (zbriten) thyesat, ato reduktohen në një emërues të përbashkët, pas së cilës numëruesit mblidhen (zbriten), por emëruesi mbetet i njëjtë. Rezultati është një thyesë, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve. Pjesëtimi me një thyesë është shumëzim me inversin e saj.

Shembull.

Ndiqni hapat .

Zgjidhje.

Së pari, ne zbresim thyesat në kllapa. Për ta bërë këtë, ne i sjellim ato në një emërues të përbashkët, i cili është , pas së cilës zbresim numëruesit:

Tani shumëzojmë thyesat:

Natyrisht, është e mundur të zvogëlohet me një fuqi prej x 1/2, pas së cilës kemi .

Ju gjithashtu mund të thjeshtoni shprehjen e fuqisë në emërues duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve: .

Përgjigje:

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë .

Zgjidhje.

Natyrisht, kjo thyesë mund të reduktohet me (x 2.7 +1) 2, kjo jep thyesën . Është e qartë se diçka tjetër duhet bërë me fuqitë e X. Për ta bërë këtë, ne e transformojmë fraksionin që rezulton në një produkt. Kjo na jep mundësinë të përfitojmë nga vetia e ndarjes së fuqive me të njëjtat baza: . Dhe në fund të procesit kalojmë nga produkti i fundit në fraksion.

Përgjigje:

.

Dhe le të shtojmë gjithashtu se është e mundur, dhe në shumë raste e dëshirueshme, të transferohen faktorët me eksponentë negativ nga numëruesi në emërues ose nga emëruesi në numërues, duke ndryshuar shenjën e eksponentit. Transformime të tilla shpesh thjeshtojnë veprimet e mëtejshme. Për shembull, një shprehje fuqie mund të zëvendësohet me .

Shndërrimi i shprehjeve me rrënjë dhe fuqi

Shpesh, në shprehjet në të cilat kërkohen disa shndërrime, së bashku me fuqitë janë të pranishme edhe rrënjët me eksponentë thyesorë. Për ta shndërruar një shprehje të tillë në formën e dëshiruar, në shumicën e rasteve mjafton të shkosh vetëm te rrënjët ose vetëm te pushtetet. Por meqenëse është më e përshtatshme të punosh me fuqi, ato zakonisht kalojnë nga rrënjët në fuqi. Sidoqoftë, këshillohet të kryhet një tranzicion i tillë kur ODZ e variablave për shprehjen origjinale ju lejon të zëvendësoni rrënjët me fuqi pa pasur nevojë t'i referoheni modulit ose të ndani ODZ në disa intervale (e kemi diskutuar në detaje në kalimi i artikullit nga rrënjët në fuqi dhe mbrapa Pas njohjes me shkallën me një eksponent racional paraqitet një diplomë me një eksponent irracional, i cili na lejon të flasim për një diplomë me një eksponent real arbitrar.Në këtë fazë, shkolla fillon të studim funksioni eksponencial, e cila jepet analitikisht nga një fuqi, baza e së cilës është një numër dhe eksponenti është një ndryshore. Pra, përballemi me shprehje fuqie që përmbajnë numra në bazën e fuqisë, dhe në eksponent - shprehje me ndryshore, dhe natyrshëm lind nevoja për të kryer transformime të shprehjeve të tilla.

Duhet thënë se transformimi i shprehjeve të tipit të treguar zakonisht duhet të kryhet gjatë zgjidhjes ekuacionet eksponenciale Dhe pabarazitë eksponenciale, dhe këto konvertime janë mjaft të thjeshta. Në shumicën dërrmuese të rasteve, ato bazohen në vetitë e diplomës dhe synojnë, në pjesën më të madhe, futjen e një variabli të ri në të ardhmen. Ekuacioni do të na lejojë t'i demonstrojmë ato 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Së pari, fuqitë, në eksponentët e të cilave është shuma e një ndryshoreje të caktuar (ose shprehjes me ndryshore) dhe një numri, zëvendësohen me produkte. Kjo vlen për termat e parë dhe të fundit të shprehjes në anën e majtë:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Më pas, të dy anët e barazisë ndahen me shprehjen 7 2 x, e cila në ODZ të ndryshores x për ekuacionin origjinal merr vetëm vlera pozitive (kjo është një teknikë standarde për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji, ne nuk jemi duke folur për këtë tani, kështu që përqendrohuni në transformimet e mëvonshme të shprehjeve me fuqi):

Tani mund të anulojmë thyesat me fuqi, gjë që jep .

Së fundi, raporti i fuqive me të njëjtët eksponentë zëvendësohet nga fuqitë e marrëdhënieve, duke rezultuar në ekuacionin , që është ekuivalente . Transformimet e bëra na lejojnë të prezantojmë një ndryshore të re, e cila redukton zgjidhjen e ekuacionit origjinal eksponencial në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik

Pasi të jetë përcaktuar fuqia e një numri, është logjike të flasim vetitë e shkallës. Në këtë artikull do të japim vetitë themelore të fuqisë së një numri, duke prekur të gjithë eksponentët e mundshëm. Këtu do të ofrojmë prova të të gjitha vetive të shkallëve, dhe gjithashtu do të tregojmë se si përdoren këto veti gjatë zgjidhjes së shembujve.

Navigimi i faqes.

Vetitë e shkallëve me eksponentë natyrorë

Sipas përkufizimit të një fuqie me një eksponent natyror, fuqia a n është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Bazuar në këtë përkufizim, dhe gjithashtu duke përdorur vetitë e shumëzimit të numrave realë, ne mund të marrim dhe justifikojmë sa vijon vetitë e shkallës me eksponent natyror:

1. vetia kryesore e shkallës a m ·a n =a m+n, përgjithësimi i saj;
2. veti e fuqive herës me baza identike a m:a n =a m−n ;
3. vetia e fuqisë së produktit (a·b) n =a n ·b n , shtrirja e tij;
4. veti e herësit në shkallën natyrore (a:b) n =a n:b n ;
5. ngritja e një shkalle në një fuqi (a m) n =a m·n, përgjithësimi i saj ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. Krahasimi i shkallës me zero:
   • nëse a>0, atëherë a n>0 për çdo numër natyror n;
   • nëse a=0, atëherë a n =0;
   • nese nje<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 nëse a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a
8. nëse m dhe n janë numra natyrorë të tillë që m>n , atëherë në 0 0 pabarazia a m >a n është e vërtetë.

Le të vërejmë menjëherë se të gjitha barazitë e shkruara janë identike në varësi të kushteve të specifikuara, të dyja pjesët e tyre të djathta dhe të majta mund të ndërrohen. Për shembull, vetia kryesore e thyesës a m ·a n =a m+n me thjeshtimi i shprehjeve shpesh përdoret në formën a m+n =a m ·a n .

Tani le të shohim secilën prej tyre në detaje.

Le të fillojmë me vetinë e prodhimit të dy fuqive me baza të njëjta, e cila quhet vetia kryesore e diplomës: për çdo numër real a dhe çdo numër natyror m dhe n, barazia a m ·a n =a m+n është e vërtetë.

Le të vërtetojmë vetinë kryesore të gradës. Me përkufizimin e një fuqie me një eksponent natyror, prodhimi i fuqive me baza të njëjta të formës a m ·a n mund të shkruhet si prodhim. Për shkak të vetive të shumëzimit, shprehja që rezulton mund të shkruhet si , dhe ky produkt është një fuqi e numrit a me një eksponent natyror m+n, pra një m+n. Kjo plotëson provën.

Le të japim një shembull që konfirmon vetinë kryesore të gradës. Le të marrim gradë me të njëjtat baza 2 dhe fuqi natyrore 2 dhe 3, duke përdorur vetinë bazë të shkallëve mund të shkruajmë barazinë 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Le të kontrollojmë vlefshmërinë e tij duke llogaritur vlerat e shprehjeve 2 2 · 2 3 dhe 2 5. Kryerja e eksponentimit, ne kemi 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 dhe 2 5 =2·2·2·2·2=32, meqenëse fitohen vlera të barabarta, atëherë barazia 2 2 ·2 3 =2 5 është e saktë dhe vërteton vetinë kryesore të shkallës.

Vetia bazë e një shkalle, bazuar në vetitë e shumëzimit, mund të përgjithësohet në produktin e tre ose më shumë fuqive me të njëjtat baza dhe eksponentë natyrorë. Pra, për çdo numër k të numrave natyrorë n 1, n 2, ..., n k barazia e mëposhtme është e vërtetë: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Për shembull, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Mund të kalojmë te vetia tjetër e fuqive me një eksponent natyror - veti e fuqive herës me baza të njëjta: për çdo numër real jozero a dhe numra natyrorë arbitrarë m dhe n që plotësojnë kushtin m>n, barazia a m:a n =a m−n është e vërtetë.

Para se të paraqesim vërtetimin e kësaj vetie, le të diskutojmë kuptimin e kushteve shtesë në formulim. Kushti a≠0 është i nevojshëm për të shmangur pjesëtimin me zero, pasi 0 n =0, dhe kur u njohëm me pjesëtimin, ramë dakord që nuk mund të pjesëtojmë me zero. Parashtrohet kushti m>n që të mos shkojmë përtej eksponentëve natyrorë. Në të vërtetë, për m>n eksponenti a m−n është një numër natyror, përndryshe do të jetë ose zero (që ndodh për m−n ) ose një numër negativ (që ndodh për m

Dëshmi. Vetia kryesore e një thyese na lejon të shkruajmë barazinë a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Nga barazia që rezulton a m−n ·a n =a m dhe rrjedh se një m−n është një herës i fuqive a m dhe a n . Kjo vërteton vetinë e fuqive herës me baza identike.

Le të japim një shembull. Le të marrim dy gradë me baza të njëjta π dhe eksponentë natyrorë 5 dhe 2, barazia π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 korrespondon me vetinë e konsideruar të shkallës.

Tani le të shqyrtojmë vetia e fuqisë së produktit: fuqia natyrore n e prodhimit të çdo dy numrash realë a dhe b është e barabartë me prodhimin e fuqive a n dhe b n , pra (a·b) n =a n ·b n .

Në të vërtetë, me përkufizimin e një shkalle me një eksponent natyror kemi . Bazuar në vetitë e shumëzimit, produkti i fundit mund të rishkruhet si , e cila është e barabartë me një n · b n.

Ja një shembull: .

Kjo veti shtrihet në fuqinë e produktit të tre ose më shumë faktorëve. Kjo do të thotë, vetia e shkallës natyrore n e prodhimit të k faktorëve shkruhet si (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Për qartësi, ne do ta tregojmë këtë pronë me një shembull. Për prodhimin e tre faktorëve në fuqinë 7 kemi .

Prona e mëposhtme është veti e një herësi në natyrë: herësi i numrave realë a dhe b, b≠0 ndaj fuqisë natyrore n është i barabartë me herësin e fuqive a n dhe b n, pra (a:b) n =a n:b n.

Prova mund të kryhet duke përdorur pronën e mëparshme. Kështu që (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dhe nga barazia (a:b) n ·b n =a n del se (a:b) n është herësi i një n i pjesëtuar me b n .

Le ta shkruajmë këtë veti duke përdorur numra të veçantë si shembull: .

Tani le ta shprehim atë veti e ngritjes së një pushteti në një pushtet: për çdo numër real a dhe çdo numër natyror m dhe n, fuqia e a m në fuqinë e n është e barabartë me fuqinë e numrit a me eksponent m·n, pra (a m) n =a m·n.

Për shembull, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Vërtetimi i vetive të fuqisë në shkallë është zinxhiri i mëposhtëm i barazive: .

Prona e konsideruar mund të zgjerohet në shkallë në shkallë në shkallë, etj. Për shembull, për çdo numër natyror p, q, r dhe s, barazia . Për qartësi më të madhe, këtu është një shembull me numra specifikë: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Mbetet të ndalemi në vetitë e krahasimit të shkallëve me një eksponent natyror.

Le të fillojmë duke vërtetuar vetinë e krahasimit të zeros dhe fuqisë me një eksponent natyror.

Së pari, le të vërtetojmë se a n >0 për çdo a>0.

Prodhimi i dy numrave pozitivë është një numër pozitiv, siç del nga përkufizimi i shumëzimit. Ky fakt dhe vetitë e shumëzimit sugjerojnë që rezultati i shumëzimit të çdo numri numrash pozitivë do të jetë gjithashtu një numër pozitiv. Dhe fuqia e një numri a me eksponent natyror n, sipas përkufizimit, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Këto argumente na lejojnë të pohojmë se për çdo bazë pozitive a, shkalla a n është një numër pozitiv. Për shkak të pronës së provuar 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 dhe .

Është mjaft e qartë se për çdo numër natyror n me a=0 shkalla e a n është zero. Në të vërtetë, 0 n =0·0·…·0=0 . Për shembull, 0 3 = 0 dhe 0 762 = 0.

Le të kalojmë në bazat negative të shkallës.

Le të fillojmë me rastin kur eksponenti është numër çift, le ta shënojmë si 2·m, ku m është një numër natyror. Pastaj . Për secilin prej prodhimeve të formës a·a është i barabartë me prodhimin e moduleve të numrave a dhe a, që do të thotë se është numër pozitiv. Prandaj, produkti do të jetë gjithashtu pozitiv dhe shkalla a 2·m. Le të japim shembuj: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dhe .

Së fundi, kur baza a është një numër negativ dhe eksponenti është një numër tek 2 m−1, atëherë . Të gjithë prodhimet a·a janë numra pozitivë, prodhimi i këtyre numrave pozitivë është gjithashtu pozitiv dhe shumëzimi i tij me numrin e mbetur negativ a rezulton në një numër negativ. Për shkak të kësaj vetie (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Le të kalojmë te vetia e krahasimit të fuqive me eksponentë të njëjtë natyror, e cila ka formulimin e mëposhtëm: nga dy fuqi me eksponentë të njëjtë natyrorë, n është më e vogël se ajo që ka bazën më të vogël dhe më e madhe është ajo që ka bazën më të madhe. . Le ta vërtetojmë.

Pabarazi a n vetitë e pabaraziveështë gjithashtu e vërtetë një pabarazi e provueshme e formës a n (2.2) 7 dhe .

Mbetet për të vërtetuar të fundit nga vetitë e renditura të fuqive me eksponentë natyrorë. Le ta formulojmë. Nga dy fuqitë me eksponentë natyrorë dhe me baza pozitive identike më të vogla se një, ai eksponenti i të cilit është më i vogël është më i madh; dhe prej dy fuqive me eksponentë natyrorë dhe baza identike më të mëdha se një, ai eksponenti i të cilit është më i madh është më i madh. Le të vazhdojmë me vërtetimin e kësaj prone.

Le të vërtetojmë se për m>n dhe 0 0 për shkak të kushtit fillestar m>n, që do të thotë se në 0

Mbetet të vërtetohet pjesa e dytë e pasurisë. Le të vërtetojmë se për m>n dhe a>1 a m >a n është e vërtetë. Ndryshimi a m −a n pas nxjerrjes së një n nga kllapat merr formën a n ·(a m−n −1) . Ky produkt është pozitiv, pasi për a>1 shkalla a n është një numër pozitiv, dhe ndryshimi a m−n −1 është një numër pozitiv, pasi m−n>0 për shkak të gjendjes fillestare, dhe për a>1 shkalla a m−n është më i madh se një. Rrjedhimisht, a m −a n >0 dhe a m >a n, që është ajo që duhej vërtetuar. Kjo veti ilustrohet nga pabarazia 3 7 > 3 2.

Vetitë e fuqive me eksponentë numër të plotë

Meqenëse numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë, atëherë të gjitha vetitë e fuqive me eksponentë të numrave të plotë pozitivë përkojnë saktësisht me vetitë e fuqive me eksponentë natyrorë të renditur dhe të provuar në paragrafin e mëparshëm.

Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent negativ numër të plotë, si dhe një shkallë me një eksponent zero, në mënyrë të tillë që të gjitha vetitë e shkallëve me eksponentë natyrorë, të shprehura me barazi, të mbeten të vlefshme. Prandaj, të gjitha këto veti janë të vlefshme si për eksponentë zero ashtu edhe për eksponentë negativë, ndërsa, natyrisht, bazat e fuqive janë të ndryshme nga zero.

Pra, për çdo numër real dhe jozero a dhe b, si dhe për çdo numër të plotë m dhe n, sa vijon janë të vërteta: vetitë e fuqive me eksponentë numër të plotë:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n;
6. nëse n është një numër i plotë pozitiv, a dhe b janë numra pozitivë dhe a b−n ;
7. nëse m dhe n janë numra të plotë, dhe m>n, atëherë në 0 1 vlen pabarazia a m >a n.

Kur a=0, fuqitë a m dhe a n kanë kuptim vetëm kur të dy m dhe n janë numra të plotë pozitivë, domethënë numra natyrorë. Kështu, vetitë e sapo shkruara vlejnë edhe për rastet kur a=0 dhe numrat m dhe n janë numra të plotë pozitiv.

Provimi i secilës prej këtyre vetive nuk është i vështirë; për ta bërë këtë, mjafton të përdorni përkufizimet e shkallëve me eksponentë natyrorë dhe të plotë, si dhe vetitë e veprimeve me numra realë. Si shembull, le të vërtetojmë se vetia fuqi-për-fuqi vlen si për numrat e plotë pozitivë ashtu edhe për numrat e plotë jo pozitivë. Për ta bërë këtë, ju duhet të tregoni se nëse p është zero ose një numër natyror dhe q është zero ose një numër natyror, atëherë barazitë (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) dhe (a −p) −q =a (−p)·(−q). Le ta bejme.

Për p dhe q pozitive, barazia (a p) q =a p·q u vërtetua në paragrafin e mëparshëm. Nëse p=0, atëherë kemi (a 0) q =1 q =1 dhe a 0·q =a 0 =1, prej nga (a 0) q =a 0·q. Në mënyrë të ngjashme, nëse q=0, atëherë (a p) 0 =1 dhe a p·0 =a 0 =1, prej nga (a p) 0 =a p·0. Nëse edhe p=0 edhe q=0, atëherë (a 0) 0 =1 0 =1 dhe a 0·0 =a 0 =1, prej nga (a 0) 0 =a 0·0.

Tani vërtetojmë se (a −p) q =a (−p)·q . Sipas përkufizimit të një fuqie me një eksponent negativ të numrit të plotë, atëherë . Nga vetia e koeficientëve ndaj fuqive kemi . Meqenëse 1 p =1·1·…·1=1 dhe , atëherë . Shprehja e fundit, sipas përkufizimit, është një fuqi e formës a −(p·q), e cila, për shkak të rregullave të shumëzimit, mund të shkruhet si a (−p)·q.

Po kështu .

DHE .

Duke përdorur të njëjtin parim, ju mund të provoni të gjitha vetitë e tjera të një shkalle me një eksponent numër të plotë, të shkruar në formën e barazive.

Në të parafundit të vetive të regjistruara, vlen të ndalemi te vërtetimi i pabarazisë a −n >b −n, e cila vlen për çdo numër të plotë negativ −n dhe çdo pozitiv a dhe b për të cilin kushti a plotësohet. . Meqenëse nga kushti a 0 . Prodhimi a n · b n është gjithashtu pozitiv si prodhimi i numrave pozitivë a n dhe b n . Atëherë thyesa që rezulton është pozitive si herës i numrave pozitivë b n −a n dhe a n ·b n . Prandaj, prej nga vjen a −n >b −n , që është ajo që duhej vërtetuar.

Vetia e fundit e fuqive me eksponentë të plotë vërtetohet në të njëjtën mënyrë si një veti e ngjashme e fuqive me eksponentë natyrorë.

Vetitë e fuqive me eksponentë racional

Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent thyesor duke zgjeruar vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë në të. Me fjalë të tjera, fuqitë me eksponentë thyesorë kanë të njëjtat veti si fuqitë me eksponentë të plotë. Gjegjësisht:

Vërtetimi i vetive të shkallëve me eksponentë thyesorë bazohet në përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor dhe në vetitë e një shkalle me një eksponent të plotë. Le të japim prova.

Sipas përkufizimit të një fuqie me një eksponent thyesor dhe , atëherë . Vetitë e rrënjës aritmetike na lejojnë të shkruajmë barazitë e mëposhtme. Më tej, duke përdorur vetinë e një shkalle me një eksponent numër të plotë, marrim , nga e cila, me përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor, kemi , dhe treguesi i shkallës së fituar mund të transformohet si më poshtë: . Kjo plotëson provën.

Vetia e dytë e fuqive me eksponentë thyesorë vërtetohet në një mënyrë absolutisht të ngjashme:

Barazitë e mbetura vërtetohen duke përdorur parime të ngjashme:

Le të kalojmë në vërtetimin e pronës së radhës. Le të vërtetojmë se për çdo pozitiv a dhe b, a b p . Le ta shkruajmë numrin racional p si m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Kushtet f<0 и p>0 në këtë rast kushtet m<0 и m>0 në përputhje me rrethanat. Për m>0 dhe a

Në mënyrë të ngjashme, për m<0 имеем a m >b m , nga ku, pra, dhe a p >b p .

Mbetet për të vërtetuar të fundit nga pronat e listuara. Le të vërtetojmë se për numrat racional p dhe q, p>q në 0 0 – pabarazi a p >a q . Ne gjithmonë mund t'i reduktojmë numrat racional p dhe q në një emërues të përbashkët, edhe nëse marrim thyesa të zakonshme dhe , ku m 1 dhe m 2 janë numra të plotë, dhe n është një numër natyror. Në këtë rast, kushti p>q do të korrespondojë me kushtin m 1 >m 2, i cili rrjedh nga. Pastaj, nga vetia e krahasimit të fuqive me të njëjtat baza dhe eksponentë natyrorë në 0 1 – pabarazi a m 1 >a m 2 . Këto pabarazi në vetitë e rrënjëve mund të rishkruhen në përputhje me rrethanat si Dhe . Dhe përkufizimi i një shkalle me një eksponent racional na lejon të kalojmë te pabarazitë dhe, në përputhje me rrethanat. Nga këtu nxjerrim përfundimin përfundimtar: për p>q dhe 0 0 – pabarazi a p >a q .

Vetitë e fuqive me eksponentë irracionalë

Nga mënyra se si përkufizohet një shkallë me një eksponent irracional, mund të konkludojmë se ajo i ka të gjitha vetitë e shkallëve me eksponentë racionalë. Pra, për çdo a>0, b>0 dhe numra irracionalë p dhe q sa vijon janë të vërteta vetitë e fuqive me eksponentë irracionalë:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. për çdo numër pozitiv a dhe b, a 0 pabarazia a p b p ;
7. për numrat irracionalë p dhe q, p>q në 0 0 – pabarazi a p >a q .

Nga kjo mund të konkludojmë se fuqitë me çdo eksponent real p dhe q për a>0 kanë të njëjtat veti.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor i matematikës për klasën e 5-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për klasën e 7-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. institucionet arsimore.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).