Rezolvarea ecuației de gradul 5. Ecuații de grade superioare. Ecuații de grad superior cu coeficienți întregi

În secolul al XVI-lea, matematicienii au dat peste numere complexe aproape întâmplător (vezi capitolul 11). Până în secolul al XVIII-lea, numerele complexe erau considerate o extensie a câmpului numerelor reale, dar lucrul cu ele încă conducea la erori de paritate, deoarece marea lucrare a lui Leonard E. privind teoria numerelor, Investigații aritmetice (1801), a evitat utilizarea așa-numitele „numere imaginare”. Mi se pare că cea mai importantă parte a acestei lucrări este prima demonstrație a teoremei fundamentale a algebrei. Gauss și-a dat seama cât de importantă era această teoremă, producând câteva dovezi suplimentare în anii următori. În 1849, a reelaborat prima versiune, de data aceasta folosind numere complexe. În termeni moderni, putem spune că pentru orice ecuație polinomială finită cu coeficienți reali sau complexi, toate rădăcinile sale vor fi numere reale sau complexe. Astfel, obținem un răspuns negativ la întrebarea de lungă durată dacă rezolvarea ecuațiilor polinomiale de ordin înalt necesită generarea de numere de ordin mai mare decât cele complexe.

Una dintre cele mai spinoase probleme din algebra din acea vreme a fost întrebarea dacă polinomul de ordinul al cincilea, quintica, putea fi rezolvat prin metode algebrice, adică folosind un număr finit de pași algebrici. În zilele noastre, în școală, se predau formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, iar din secolul al XVI-lea se cunosc metode similare pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea (Capitolul 11). Dar nu a fost găsită o singură metodă pentru chintice. Teorema fundamentală a algebrei poate părea că susține perspectiva unui răspuns pozitiv, dar de fapt pur și simplu garantează că există soluții, nu spune nimic despre existența formulelor care dau soluții exacte (metode numerice și grafice aproximative existau deja până atunci ). Și apoi au apărut două genii matematice cu o soartă tragică.

Niels Henrik Abel (1802–1829) s-a născut într-o familie numeroasă și săracă care trăiește într-un mic sat din Norvegia, o țară devastată de ani lungi de război cu Anglia și Suedia. Profesorul, care a fost amabil cu băiatul, i-a dat lecții particulare, dar după moartea tatălui său, la vârsta de optsprezece ani, în ciuda vârstei sale fragede și a sănătății fragile, Abel a fost nevoit să-și întrețină familia. În 1824, a publicat un articol științific în care afirma că quintica nu este rezolvabilă prin mijloace algebrice, așa cum este, într-adevăr, orice polinom de ordin superior. Abel credea că acest articol îi va servi drept bilet către lumea științifică și l-a trimis lui Gauss de la Universitatea din Göttingen. Din păcate, Gauss nu a apucat niciodată să taie paginile cu un cuțit (orice cititor trebuia să facă asta în acele zile) și nu a citit articolul. În 1826, guvernul norvegian a oferit în sfârșit fonduri pentru ca Abel să călătorească prin Europa. De teamă că comunicarea personală cu Gauss nu i-ar aduce prea multă bucurie, matematicianul a decis să nu viziteze Göttingen și a plecat în schimb la Berlin. Acolo s-a împrietenit cu August Leopold Krelle (1780–1855), un matematician, arhitect și inginer care a consiliat Ministerul Prusac al Educației în probleme de matematică. Krell intenționa să înființeze Journal of Pure and Applied Mathematics. Așa că Abel a avut ocazia să-și disemineze opera și a publicat mult, mai ales în primele numere ale Revistei, care a început imediat să fie considerată o publicație științifică foarte prestigioasă și cu autoritate. Norvegianul a publicat acolo o versiune extinsă a dovezii sale că quintica este indecidabilă prin metode algebrice. Și apoi a plecat la Paris. Această călătorie l-a supărat foarte mult pe Abel, pentru că practic nu a primit sprijinul de care avea nevoie de la matematicienii francezi. A devenit apropiat de Augustin Louis Cauchy (1789–1857), care era la acea vreme principalul luminat al analizei matematice, dar avea un caracter foarte complex. După cum a spus însuși Abel, „Cauchy este nebun și nu se poate face nimic în privința asta, deși în prezent el este singurul care este capabil de orice în matematică”. Dacă încercăm să justificăm manifestările de lipsă de respect și neglijare care emană de la Gauss și Cauchy, putem spune că quintica a obținut o anumită faimă și a atras atenția atât a matematicienilor respectați, cât și a originaliștilor. Abel s-a întors în Norvegia, unde a suferit din ce în ce mai mult de tuberculoză. El a continuat să-și trimită lucrările la Crelle, dar a murit în 1829, fără să știe cât de mult se consolidase reputația sa în lumea științifică. La două zile după moartea sa, Abel a primit o ofertă de a ocupa un post științific la Berlin.

Abel a arătat că orice polinom de peste ordinul al patrulea nu poate fi rezolvat folosind radicali precum rădăcini pătrate, rădăcini cubice sau de ordin superior. Cu toate acestea, condițiile explicite în care aceste polinoame puteau fi rezolvate în cazuri speciale și metoda de rezolvare a acestora au fost formulate de Galois. Évariste Galois (1811–1832) a trăit o viață scurtă și plină de evenimente. Era un matematician incredibil de talentat. Galois era neiertător față de cei pe care îi considera mai puțin talentați decât el și, în același timp, ura nedreptatea socială. Nu a arătat nicio aptitudine pentru matematică până când a citit Elementele de geometrie a lui Legendre (publicată în 1794, această carte a fost principalul manual pentru următoarele sute de ani). Apoi a devorat literalmente restul lucrărilor lui Legendre și, mai târziu, Abel. Entuziasmul, încrederea în sine și intoleranța lui au dus la consecințe cu adevărat teribile în relațiile sale cu profesorii și examinatorii. Galois a participat la un concurs pentru a intra la École Polytechnique, leagănul matematicii franceze, dar a picat examenul din lipsă de pregătire. De ceva vreme după ce a întâlnit un nou profesor care i-a recunoscut talentul, a reușit să-și țină temperamentul sub control. În martie 1829, Galois a publicat prima sa lucrare despre fracțiile continue, pe care o considera cea mai semnificativă lucrare a sa. A trimis un mesaj despre descoperirile sale Academiei de Științe, iar Cauchy a promis că le va prezenta, dar a uitat. Mai mult, pur și simplu a pierdut manuscrisul.

Al doilea eșec al lui Galois de a intra la École Polytechnique a devenit parte a folclorului matematic. Era atât de obișnuit să țină constant idei matematice complexe în cap, încât a fost înfuriat de sâcâiala meschină a examinatorilor. Întrucât examinatorii au avut dificultăți în înțelegerea explicațiilor sale, el a aruncat o cârpă ștersă uscată de pe tablă către unul dintre ei în față. La scurt timp după aceasta, tatăl său a murit, sinucidendu-se ca urmare a intrigilor bisericești. O revoltă a izbucnit practic la înmormântarea lui. În februarie 1830, Galois a scris următoarele trei lucrări, trimițându-le la Academia de Științe pentru Marele Premiu la Matematică. Joseph Fourier, pe atunci secretar al academiei, a murit fără să le citească, iar după moartea sa articolele nu au fost găsite printre lucrările sale. Un asemenea torent de dezamăgire ar fi copleșit pe oricine. Galois s-a răzvrătit împotriva celor de la putere pentru că a simțit că nu-i recunosc meritele și i-au distrus tatăl. S-a cufundat cu capul înainte în politică, devenind un republican înflăcărat - nu cea mai înțeleaptă decizie din Franța în 1830. Într-o ultimă încercare, el a trimis o lucrare științifică celebrului fizician și matematician francez Simeon Denis Poisson (1781–1840), care a răspuns cerând dovezi suplimentare.

Acesta a fost ultimul pahar. În 1831, Galois a fost arestat de două ori - mai întâi pentru că ar fi cerut asasinarea regelui Ludovic Filip, iar apoi pentru a-l proteja - autoritățile s-au temut de o rebeliune republicană! De data aceasta a fost condamnat la șase luni de închisoare sub acuzația falsă de purtare ilegală a uniformă a batalionului de artilerie desființat la care se alăturase. Eliberat condiționat, a preluat o sarcină care l-a dezgustat la fel de mult ca orice altceva în viață. În scrisorile sale către prietenul său devotat, Chevalier, se simte dezamăgirea lui. La 29 mai 1832, a acceptat o provocare la duel, motivele pentru care nu sunt pe deplin înțelese. „Am căzut victima unei cochete necinstite. Viața mea s-a stins într-o ceartă mizerabilă”, scrie el în „Scrisoare către toți republicanii”. Cea mai faimoasă lucrare a lui Galois a fost schițată cu o noapte înainte de duelul fatal. În margine sunt împrăștiate plângeri: „Nu mai am timp, nu mai am timp”. A fost nevoit să lase altora expunerea detaliată a pașilor intermediari care nu erau esențiali pentru înțelegerea ideii principale. Trebuia să pună pe hârtie baza descoperirilor sale – originile a ceea ce se numește acum teorema lui Galois. El și-a încheiat testamentul cerându-i lui Chevalier „să apeleze la Jacobi și Gauss să-și dea opinia publică, nu în ceea ce privește corectitudinea, ci importanța acestor teoreme”. Dis de dimineață, Galois a mers să-și întâlnească rivalul. Au fost nevoiți să tragă de la o distanță de 25 de pași. Galois a fost rănit și a murit la spital a doua zi dimineață. Avea doar douăzeci de ani.

Galois a construit pe lucrarea lui Lagrange și Cauchy, dar a dezvoltat o metodă mai generală. Aceasta a fost o realizare extrem de importantă în domeniul rezolvării chinticelor. Omul de știință a acordat mai puțină atenție ecuațiilor originale sau interpretării grafice și s-a gândit mai mult la natura rădăcinilor înseși. Pentru a simplifica, Galois a luat în considerare doar așa-numitele chintice ireductibile, adică cele care nu puteau fi factorizate sub formă de polinoame de ordin inferior (cum am spus, pentru orice ecuație polinomială de până la ordinul al patrulea există formule de găsire a acestora). rădăcini). În general, un polinom ireductibil cu coeficienți raționali este un polinom care nu poate fi descompus în polinoame mai simple având coeficienți raționali. De exemplu, (x 5 - 1) poate fi factorizat (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1),întrucât (x 5 - 2) Ireductibil. Scopul lui Galois a fost de a determina condițiile în care toate soluțiile unei ecuații polinomiale ireductibile generale pot fi găsite în termeni de radicali.

Cheia soluției este că rădăcinile oricărei ecuații algebrice ireductibile nu sunt independente, ele pot fi exprimate una prin alta. Aceste relații au fost formalizate într-un grup de toate permutările posibile, așa-numitul grup de simetrie a rădăcinii - pentru o chintică, acest grup conține 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemente. Algoritmii matematici ai teoriei Galois sunt foarte complexi și, cel mai probabil, parțial ca urmare a acestui fapt, au fost inițial greu de înțeles. Dar odată ce nivelul de abstractizare i-a permis să treacă de la soluțiile algebrice ale ecuațiilor la structura algebrică a grupurilor asociate acestora, Galois a fost capabil să prezică solubilitatea unei ecuații pe baza proprietăților unor astfel de grupuri. Mai mult decât atât, teoria sa a oferit și o metodă prin care aceste rădăcini ar putea fi găsite. Cât despre chintice, matematicianul Joseph Liouville (1809–1882), care în 1846 a publicat cea mai mare parte a lucrării lui Galois în Journal of Pure and Applied Mathematics, a remarcat că tânărul om de știință a dovedit o „teoremă frumoasă” și pentru a „să Dacă o ecuație ireductibilă a gradului inițial este rezolvabilă în termeni de radicali, este necesar și suficient ca toate rădăcinile ei să fie funcții raționale ale oricăror două dintre ele.” Deoarece acest lucru este imposibil pentru o chintică, nu poate fi rezolvat folosind radicali.

În trei ani, lumea matematică a pierdut două dintre cele mai strălucitoare stele ale sale. Au urmat acuzații reciproce și cercetarea sufletească, iar Abel și Galois au obținut recunoașterea binemeritată, dar numai postum. În 1829, Carl Jacobi, prin Legendre, a aflat despre manuscrisul „pierdut” al lui Abel, iar în 1830 a izbucnit un scandal diplomatic când consulul norvegian la Paris a cerut să fie găsit articolul compatriotului său. Cauchy a găsit în cele din urmă articolul, doar ca să-l piardă din nou de editorii academiei! În același an, Abel a primit Marele Premiu la Matematică (împărtășit cu Jacobi) - dar era deja mort. În 1841, a fost publicată biografia lui. În 1846, Liouville a editat unele dintre manuscrisele lui Galois pentru publicare și, în introducere, și-a exprimat regretul că academia a respins inițial lucrarea lui Galois din cauza complexității sale - „claritatea prezentării este într-adevăr necesară atunci când autorul conduce cititorul de pe drumurile bătute în sălbatici neexplorate. teritorii”. El continuă: „Galois nu mai este! Să nu cădem în critici inutile. Să lăsăm deoparte neajunsurile și să ne uităm la avantaje!” Fructele scurtei vieți a lui Galois se încadrează în doar șaizeci de pagini. Editorul unui jurnal de matematică pentru candidații la École Normale și École Polytechnique a comentat cazul Galois după cum urmează: „Un candidat cu inteligență înaltă a fost eliminat de un examinator cu un nivel de gândire mai scăzut. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."

În primul rând, a doua pagină a acestei lucrări nu este împovărată cu nume, prenume, descrieri ale statutului social, titluri și elegii în cinstea unui prinț zgârcit, al cărui portofel va fi deschis cu ajutorul acestor tămâie - cu amenințarea de a se închide. atunci când laudele se termină. Nu veți vedea aici elogii reverente, scrise cu litere de trei ori mai mari decât textul în sine, adresate celor cu poziție înaltă în știință, unui patron înțelept - ceva obligatoriu (aș spune inevitabil) pentru cineva la douăzeci de ani care vrea. a scrie ceva. Nu spun nimănui de aici că îi datorez sfaturile și sprijinul pentru tot binele care iese din munca mea. Nu spun asta pentru că ar fi o minciună. Dacă ar fi să menționez pe vreunul dintre cei mari din societate sau din știință (diferența dintre aceste două clase de oameni este aproape imperceptibilă în prezent), jur că nu ar fi un semn de recunoștință. Lor le datorez că am publicat atât de târziu primul dintre aceste două articole și că toate acestea le-am scris în închisoare - un loc care cu greu poate fi considerat potrivit pentru reflecția științifică și sunt adesea uimit de reținerea și capacitatea mea de a păstra gura mea închisă.castel în relație cu zoile proști și rele. Cred că pot folosi cuvântul „zoiles” fără teama de a fi acuzat de improprietate, deoarece așa îi numesc adversarii. Nu am de gând să scriu aici despre cum și de ce am fost trimis la închisoare, dar trebuie să spun că manuscrisele mele de cele mai multe ori pur și simplu s-au pierdut în dosarele domnilor membri ai academiei, deși, de fapt, nu îmi pot imagina așa ceva. indiscreția din partea oamenilor care sunt responsabili de moartea lui Abel. După părerea mea, oricine ar dori să fie comparat cu acest genial matematician. Este suficient să spun că articolul meu despre teoria ecuațiilor a fost trimis Academiei de Științe în februarie 1830, că extrase din acesta au fost trimise în februarie 1829, dar nimic din acestea nu a fost tipărit și chiar manuscrisul s-a dovedit a fi imposibil de întoarcere.

Sa luam in considerare rezolvarea ecuaţiilor cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.

Gradul ecuației P(x) = 0 este gradul polinomului P(x), adică. cea mai mare dintre puterile termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.

Deci, de exemplu, ecuația (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 are gradul al cincilea, deoarece în urma operaţiilor de deschidere a parantezelor şi aducere a unora asemănătoare se obţine ecuaţia echivalentă x 5 – 2x 3 + 3 = 0 de gradul al cincilea.

Să ne amintim regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare decât doi.

Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:

1. Un polinom de gradul al n-lea are un număr de rădăcini care nu depășește n, iar rădăcinile de multiplicitate m apar de exact de m ori.

2. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α este rădăcina lui P(x), atunci P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), unde Q n – 1 (x) este un polinom de grad (n – 1) .

4.

5. Polinomul redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul trei

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d este posibil unul din două lucruri: fie este descompus în produsul a trei binoame

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), sau se descompune în produsul dintre un binom și un trinom pătrat Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi extins în produsul a două trinoame pătrate.

8. Un polinom f(x) este divizibil cu un polinom g(x) fără rest dacă există un polinom q(x) astfel încât f(x) = g(x) · q(x). Pentru a împărți polinoamele, se folosește regula „divizării colțurilor”.

9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu un binom (x – c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcina lui P(x) (Corolarul teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcini reale ale polinomului

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Rezolvarea exemplelor

Exemplul 1.

Aflați restul diviziunii P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 prin (x – 1/3).

Soluţie.

Prin corolar teoremei lui Bezout: „Rămânul unui polinom împărțit la un binom (x – c) este egal cu valoarea polinomului lui c.” Să găsim P(1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2.

Împărțiți cu un „colț” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Soluţie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 – x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grad superior

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile este deja familiară din exemplul ecuațiilor biquadratice. Constă în faptul că pentru rezolvarea ecuației f(x) = 0 se introduce o nouă variabilă (substituție) t = x n sau t = g(x) și se exprimă f(x) prin t, obținându-se o nouă ecuație r (t). Apoi rezolvând ecuația r(t), se găsesc rădăcinile:

(t 1, t 2, …, t n). După aceasta, se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Soluţie:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substituție inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, din a doua: 0 și -1.

2. Factorizarea prin grupare și formule de înmulțire prescurtate

De asemenea, baza acestei metode nu este nouă și constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori este necesar să folosiți câteva tehnici artificiale.

Exemplul 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Soluţie.

Să ne imaginăm - 3x 2 = -2x 2 – x 2 și grupați:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 sau x 2 + x – 3 = 0.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedeterminați

Esența metodei este că polinomul original este factorizat cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoamele sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri, se găsesc coeficienții de expansiune necunoscuți.

Exemplul 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Soluţie.

Un polinom de gradul 3 poate fi extins în produsul factorilor liniari și pătratici.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

După ce am rezolvat sistemul:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, adică

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Raspunsul 1; -2.

4. Metoda de selectare a unei rădăcini folosind coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Fiecare rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

2) Pentru ca fracția ireductibilă p/q (p - întreg, q - natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0, iar q - un divizor natural al coeficientului conducător.

Exemplul 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Soluţie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu – 2, vom găsi alte rădăcini folosind diviziunea colțului, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Clasă: 9

Obiective de bază:

1. Întăriți conceptul unei întregi ecuații raționale de gradul al treilea.
2. Formulați metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare (n > 3).
3. Predați metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de ordin superior.
4. Învață să folosești tipul de ecuație pentru a determina cel mai eficient mod de a o rezolva.

Forme, metode și tehnici pedagogice utilizate de profesor în clasă:

• Sistem de predare curs-seminar (prelegeri - explicarea materialului nou, seminarii - rezolvarea problemelor).
• Tehnologiile informației și comunicării (sondaj frontal, lucru oral cu clasa).
• Învățare diferențiată, forme de grup și individuale.
• Utilizarea unei metode de cercetare în predare care vizează dezvoltarea aparatului matematic și a abilităților de gândire ale fiecărui elev în parte.
• Material tipărit – un scurt rezumat individual al lecției (concepte de bază, formule, enunțuri, material de curs condensat sub formă de diagrame sau tabele).

Planul lecției:

1. Organizarea timpului.
   Scopul etapei: includerea elevilor în activități educaționale, determinarea conținutului lecției.
2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.
   Scopul etapei: actualizarea cunoștințelor elevilor cu privire la subiecte conexe studiate anterior
3. Studierea unui subiect nou (prelegerea). Scopul etapei: formularea metodelor de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare (n > 3)
4. Rezumând.
   Scopul etapei: evidențierea din nou a punctelor cheie din materialul studiat în lecție.
5. Teme pentru acasă.
   Scopul etapei: formularea temelor pentru elevi.

Rezumatul lecției

1. Moment organizatoric.

Formularea temei de lecție: „Ecuațiile puterilor superioare. Metode de rezolvare a acestora.”

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

Sondaj teoretic – conversație. Repetarea unor informații studiate anterior din teorie. Elevii formulează definiții de bază și formulează teoremele necesare. Dați exemple pentru a demonstra nivelul de cunoștințe dobândite anterior.

• Conceptul de ecuație cu o variabilă.
• Conceptul de rădăcină a unei ecuații, soluția unei ecuații.
• Conceptul de ecuație liniară cu o variabilă, conceptul de ecuație pătratică cu o variabilă.
• Conceptul de echivalență a ecuațiilor, ecuații-consecințe (conceptul de rădăcini străine), tranziție nu prin consecință (cazul pierderii rădăcinilor).
• Conceptul unei întregi expresii raționale cu o variabilă.
• Conceptul unei întregi ecuații raționale n gradul. Forma standard a unei întregi ecuații raționale. Întreaga ecuație rațională redusă.
• Trecerea la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
• Conceptul de polinom n gradul de la X. teorema lui Bezout. Corolare din teorema lui Bezout. teoreme rădăcinilor ( Z-rădăcini și Q-rădăcini) a unei întregi ecuații raționale cu coeficienți întregi (reduși, respectiv nereduși).
• Schema lui Horner.

3. Studierea unui subiect nou.

Vom lua în considerare întreaga ecuație rațională n-a-a putere de formă standard cu o variabilă necunoscută x:Pn(x)= 0, unde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n gradul de la X, A n ≠ 0. Dacă A n = 1 atunci o astfel de ecuație se numește ecuație rațională cu număr întreg redus n gradul. Să luăm în considerare astfel de ecuații pentru diferite valori nși enumerați principalele metode de rezolvare a acestora.

n= 1 – ecuație liniară.

n= 2 – ecuație pătratică. Formula discriminantă. Formula pentru calcularea rădăcinilor. teorema lui Vieta. Selectarea unui pătrat complet.

n= 3 – ecuație cubică.

Metoda de grupare.

Exemplu: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Ecuație cubică reciprocă a formei topor 3 + bx 2 + bx + A= 0. Rezolvăm combinând termeni cu aceiași coeficienți.

Exemplu: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că căutarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile folosind un anumit algoritm în conformitate cu teorema Z-rădăcinile întregii ecuații raționale date cu coeficienți întregi.

Exemplu: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Ecuația este dată. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3; + 5; + 15). Să aplicăm schema lui Horner:

Primim ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că căutarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile folosind un anumit algoritm în conformitate cu teorema despre Q-rădăcinile unei ecuații raționale întregi nereduse cu coeficienți întregi.

Exemplu: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Ecuația este neredusă. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3). Să notăm divizorii coeficientului la cea mai mare putere a necunoscutului. ( + 1; + 3; + 9) În consecință, vom căuta rădăcini printre valori ( + 1; + ; + ; + 3). Să aplicăm schema lui Horner:

Primim ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Pentru ușurință de calcul atunci când selectați Q -rădăcini Poate fi convenabil să faceți o schimbare a variabilei, să mergeți la ecuația dată și să selectați Z -rădăcini.

Formula Cardano. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cubice - aceasta este formula Cardano. Această formulă este asociată cu numele matematicienilor italieni Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557) și Scipione del Ferro (1465–1526). Această formulă depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.

n= 4 – ecuația gradului al patrulea.

Metoda de grupare.

Exemplu: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metoda de înlocuire variabilă.

• Ecuația biquadratică a formei topor 4 + bx 2 + s = 0 .

Exemplu: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Înlocuire y = X 2. De aici y 1 = 4, y 2 = -9. De aceea X 1,2 = + 2 .

Rezolvăm combinând termeni cu aceiași coeficienți prin înlocuirea formei

• Ecuație recurentă generalizată de gradul al patrulea al formei topor 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

Exemplul 3 . Înlocuirea vederii generale(urmează din tipul de ecuație specifică).

n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q n = 3.

Formula generala. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea. Această formulă este asociată cu numele lui Ludovico Ferrari (1522–1565). Această formulă depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.

n > 5 – ecuații ale gradului cinci și superior.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel discutat mai sus pentru n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel discutat mai sus pentru n = 3.

Ecuații simetrice. Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcină X= -1 și după factorizarea în factori găsim că un factor are forma ( X+ 1), iar al doilea factor este o ecuație reciprocă de grad par (gradul său este cu unul mai mic decât gradul ecuației inițiale). Orice ecuație reciprocă de grad par împreună cu o rădăcină a formei x = φ contine si radacina speciei. Folosind aceste afirmații, rezolvăm problema scăzând gradul ecuației studiate.

Metoda de înlocuire variabilă. Utilizarea omogenității.

Nu există o formulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al cincilea (acest lucru a fost demonstrat de matematicianul italian Paolo Ruffini (1765–1822) și de matematicianul norvegian Niels Henrik Abel (1802–1829)) și de grade superioare (acest lucru a fost demonstrat de către Matematicianul francez Evariste Galois (1811–1832) )).

• Să reamintim încă o dată că în practică este posibil să se utilizeze combinatii metodele enumerate mai sus. Este convenabil să treceți la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
• În afara domeniului discuției noastre de astăzi sunt cele utilizate pe scară largă în practică. metode grafice rezolvarea ecuaţiilor şi metode de rezolvare aproximativă ecuații de grade superioare.
• Există situații în care ecuația nu are rădăcini R.
Apoi soluția se reduce la a arăta că ecuația nu are rădăcini. Pentru a demonstra acest lucru, analizăm comportamentul funcțiilor luate în considerare pe intervale de monotonitate. Exemplu: ecuație X 8 – X 3 + 1 = 0 nu are rădăcini.
• Folosind proprietatea monotonității funcțiilor
. Există situații în care utilizarea diferitelor proprietăți ale funcțiilor vă permite să simplificați sarcina.
Exemplul 1: Ecuația X 5 + 3X– 4 = 0 are o rădăcină X= 1. Datorită proprietății de monotonitate a funcțiilor analizate, nu există alte rădăcini.
Exemplul 2: Ecuația X 4 + (X– 1) 4 = 97 are rădăcini X 1 = -2 și X 2 = 3. Analizând comportamentul funcțiilor corespunzătoare pe intervale de monotonitate, concluzionăm că nu există alte rădăcini.

4. Rezumând.

Rezumat: Acum am stăpânit metodele de bază pentru rezolvarea diferitelor ecuații de grade superioare (pentru n > 3). Sarcina noastră este să învățăm cum să folosim eficient algoritmii enumerați mai sus. În funcție de tipul de ecuație, va trebui să învățăm să stabilim care metodă de soluție într-un caz dat este cea mai eficientă, precum și să aplicăm corect metoda aleasă.

5. Tema pentru acasă.

: paragraful 7, p. 164–174, nr. 33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Subiecte posibile pentru rapoarte sau rezumate pe această temă:

• Formula Cardano
• Metoda grafica de rezolvare a ecuatiilor. Exemple de soluții.
• Metode de rezolvare aproximativă a ecuațiilor.

Analiza învățării elevilor și a interesului față de subiect:

Experiența arată că interesul studenților este trezit în primul rând de posibilitatea de a selecta Z-rădăcini și Q-rădăcinile ecuațiilor folosind un algoritm destul de simplu folosind schema lui Horner. Elevii sunt, de asemenea, interesați de diferite tipuri standard de înlocuire a variabilelor, care pot simplifica semnificativ tipul de problemă. Metodele de rezolvare grafică prezintă de obicei un interes deosebit. În acest caz, puteți analiza suplimentar probleme folosind o metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor; discutați forma generală a graficului pentru un polinom de gradul 3, 4, 5; analizați modul în care numărul de rădăcini ale ecuațiilor de 3, 4, 5 grade este legat de aspectul graficului corespunzător. Mai jos este o listă de cărți în care puteți găsi informații suplimentare despre acest subiect.

Bibliografie:

1. Vilenkin N.Ya.şi alţii.„Algebră. Manual pentru elevii de clasa a IX-a cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 p.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„În spatele paginilor unui manual de matematică. Aritmetic. Algebră. clasele 10-11” – M., Educație, 2008 – 192 p.
3. Vygodsky M.Ya.„Manual de matematică” – M., AST, 2010 – 1055 p.
4. Galitsky M.L.„Colecție de probleme în algebră. Manual pentru clasele 8-9 cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 p.
5. Zvovich L.I.şi alţii.„Algebra şi începuturile analizei. 8-11 clase Un manual pentru școli și clase cu studiu avansat al matematicii” - M., Drofa, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I., Averianov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Teme de matematică pentru pregătirea pentru examenul scris în clasa a IX-a” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 p.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
9. Ivanov A.P.„Teste și teste la matematică. Tutorial". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 p.
10. Leibson K.L.„Culegere de sarcini practice la matematică. Partea 2–9 clase” – M., MTSNM, 2009 – 184 p.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebră. Capitole suplimentare pentru manualul școlii de clasa a IX-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii.” – M., Educație, 2006 – 224 p.
12. Mordkovich A.G."Algebră. Studiu aprofundat. clasa a 8-a. Manual” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
13. Savin A.P.„Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician” - M., Pedagogie, 1985 - 352 p.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.„Materiale didactice despre algebră pentru clasa a 9-a cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 p.
15. Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități la cursul de matematică școlară. Prelegeri 1–4” – M., 1 septembrie 2006 – 88 p.
16. Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități la cursul de matematică școlară. Prelegeri 5–8” – M., 1 septembrie 2009 – 84 p.

Judecând după începutul publicației, pe care îl vom omite aici, textul a fost scris de Iuri Ignatievici. Și este bine scris, iar problemele sunt de actualitate, dar numiți Rusia așa, așa cum face Mukhin...

Indiferent de ce simte cineva despre puterea anti-popor, Rusia este deasupra ei și nu merită insulte. Chiar și de la talentatul exponator de minciuni de la agenția americană NASA.

*

Apel la tovarăș Mukhina Yu.I.

Cu toții apreciem munca voastră dezinteresată în domeniul dezvăluirii minciunilor Occidentului, minciunilor Americii, minciunilor pseudo-savanților, minciunilor liberalilor. Cu plăcere și folos pentru noi și societate ne gândim la subiectele serioase pe care ni le aruncați din când în când, fie că este vorba despre meritocrație sau metafizică, dragoste pentru istoria națională sau restabilirea justiției.

Cu toate acestea, definițiile tale despre Patria noastră comună sunt încurcate și foarte supărătoare.

Cu toate acestea, judecă singur: cum ai caracteriza o persoană care a început să-și insulte mama, care era bolnavă și, ca urmare, a încetat temporar să lucreze?

Dar Rusia, indiferent cum se numește și oricât de bun sau dezgustător ar fi guvernul, Rusia este Patria noastră. Patrie. Pentru ea, bunicii noștri au vărsat sânge și și-au dat viața.

Prin urmare, a-l pune la egalitate cu puterea înseamnă coborârea sublimului spiritual la nivelul materialului, și chiar la nivelul inferior. Acestea. comparați categorii complet diferite. Un lucru inacceptabil pentru orice persoană sănătoasă la minte.

Te întreb, dragă tovarășă. Mukhin, gândește-te serios la asta.

**

...Și cu ecuații (nu știam asta) situația este așa. Cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice a fost descoperit în Egiptul antic.

Cum să găsiți rădăcinile unei ecuații cubice și a unei ecuații de gradul al patrulea a fost descoperit în secolul al XVI-lea, dar nu au putut găsi rădăcinile unei ecuații de gradul al cincilea până în 2016. Și nu doar oamenii obișnuiți au încercat.

În secolul al XVI-lea, fondatorul algebrei simbolice, François Viète, a încercat să găsească rădăcinile ecuațiilor de gradul al cincilea; în secolul al XIX-lea, fondatorul algebrei superioare moderne, matematicianul francez Evariste Galois, a încercat să găsească rădăcinile ecuații de gradul al cincilea; după el, matematicianul norvegian Niels Henrik Abel a încercat să găsească rădăcinile ecuațiilor de gradul al cincilea, care, în cele din urmă, a renunțat și a dovedit imposibilitatea rezolvării unei ecuații de gradul cinci în formă generală.

Citim pe Wikipedia despre meritele lui Abel: „Abel a finalizat un studiu strălucit al unei probleme străvechi:a dovedit imposibilitatea rezolvarii in forma generala (in radicali) a unei ecuatii de gradul 5...

În algebră, Abel a găsit o condiție necesară pentru ca rădăcina unei ecuații să fie exprimată „în radicali” prin coeficienții acestei ecuații. Condiția suficientă a fost descoperită curând de Galois, ale cărui realizări s-au bazat pe opera lui Abel.

Abel a dat exemple concrete de ecuații de gradul 5, ale căror rădăcini nu pot fi exprimate în radicali și, prin urmare, a închis în mare măsură problema antică.”

După cum puteți vedea, dacă au încercat să demonstreze teorema Poincaré tot timpul și Perelman s-a dovedit a avea mai mult succes decât alți matematicieni, atunci după Abel, matematicienii nu au preluat ecuațiile de gradul cinci.

Și în 2014 matematician din Tomsk Serghei Zaikov, despre care se poate judeca din fotografie că este deja de ani de zile și din datele din articolul despre el că este absolvent al Facultății de Matematică Aplicată și Cibernetică a Universității de Stat din Tomsk, în cursul activității sale a obţinut ecuaţii de gradul al cincilea. Capat de drum? Da, este o fundătură! Dar Serghei Zaikov s-a angajat să o rupă.

Și în 2016, a găsit modalități de a rezolva ecuațiile de gradul cinci în formă generală! A făcut ceea ce matematicienii Galois și Abel au dovedit imposibil.

Am încercat să găsesc informații despre Serghei Zaikov pe Wikipedia, dar la naiba cu tine! Despre matematicianul Serghei Zaikov și despre cum a găsit soluții la ecuațiile de gradul cinci fara informatii!

Ceea ce face problema și mai picantă este faptul că pentru matematicieni există un analog al Premiului Nobel - Premiul Abel(Nobel a interzis să dea premii matematicienilor și acum le dau pentru excremente matematice, numindu-le „fizică”).

Acest premiu de matematică este în onoarea aceluiași Abel care a dovedit imposibilitatea a ceea ce a făcut Zaikov. Cu toate acestea, autonominalizarea pentru acest premiu nu este permisă. Dar Zaikov este un matematician singur și nu există organizații care l-ar putea nominaliza pentru acest premiu.

Adevărat, avem o Academie de Științe, dar academicienii stau acolo nu pentru a dezvolta matematica, ci pentru a „face bani”. Cine are nevoie de acest Zaikov acolo?

Ei bine, pentru agențiile de presă, Zaikov nu este Perelman! Prin urmare, descoperirea lui Zaikov pentru mass-media nu este o senzație.

Da, Poroșenko a greșit ușa! Aceasta este o adevărată senzație!

Matematicianul din Tomsk a rezolvat o problemă care nu a putut fi rezolvată timp de două sute de ani

Odată cu apariția algebrei, sarcina sa principală a fost considerată a fi rezolvarea ecuațiilor algebrice. Soluția unei ecuații de gradul doi era cunoscută în Babilon și Egiptul Antic. Trecem prin ecuații de genul acesta la școală. Vă amintiți ecuația x2 + ax + b = 0 și discriminantul?

Serghei Zaikov cu o carte

Soluția ecuațiilor algebrice de gradul al treilea și al patrulea a fost găsită în secolul al XVI-lea. Dar nu a fost posibil să se rezolve ecuația de gradul cinci. Lagrange a găsit motivul. El a arătat că soluția ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea a devenit posibilă deoarece acestea puteau fi reduse la ecuații care fuseseră deja rezolvate. O ecuație de gradul al treilea poate fi redusă la o ecuație de gradul al doilea, iar o ecuație de gradul al patrulea poate fi redusă la o ecuație de gradul al treilea. Dar o ecuație de gradul cinci se reduce la o ecuație de gradul șase, adică mai complexă, astfel încât metodele tradiționale de soluție nu sunt aplicabile.

Problema rezolvării unei ecuații de gradul al cincilea a avansat cu doar două sute de ani în urmă, când Abel a demonstrat că nu toate ecuațiile de gradul al cincilea pot fi rezolvate în radicali, adică în rădăcini pătrate, cubice și alte rădăcini cunoscute de la școală. . Și Galois în curând, adică acum două sute de ani, a găsit un criteriu care a făcut posibil să se determine care ecuații de gradul al cincilea pot fi rezolvate în radicali și care nu. Constă în faptul că grupul Galois solubil în radicali ai unei ecuații de gradul cinci trebuie să fie ciclic sau metaciclic. Dar Galois nu a găsit o modalitate de a rezolva în radicali acele ecuații de gradul cinci care sunt rezolvabile în radicali. Teoria Galois este foarte faimoasă, s-au scris multe cărți despre ea.

Până acum, s-au găsit doar soluții parțiale pentru ecuațiile de gradul al cincilea rezolvabile prin radicali. Și numai anul acesta, matematicianul din Tomsk Serghei Zaikov a rezolvat o problemă care nu a putut fi rezolvată timp de două sute de ani. A publicat cartea „Cum se rezolvă ecuațiile algebrice de gradul cinci în radicali”, în care a indicat o metodă de rezolvare pentru orice ecuații de gradul cinci care sunt rezolvabile în radicali. Zaikov este absolvent al Facultății de Matematică Aplicată și Cibernetică a Universității de Stat din Tomsk. Am reușit să-i luăm un interviu.

— Serghei, de ce ai început să rezolvi această problemă?

— Aveam nevoie de o soluție la o ecuație de gradul cinci pentru a rezolva o problemă dintr-o altă ramură a matematicii. Am început să-mi dau seama cum să o găsesc și am învățat că nu toate sunt rezolvate în radicali. Apoi am încercat să găsesc în literatura științifică o modalitate de a rezolva acele ecuații care sunt rezolvabile în radicali, dar am găsit doar un criteriu prin care se poate determina care sunt rezolvabile și care nu. Nu sunt algebrist, dar, bineînțeles, ca absolvent al FPMK, pot aplica și metode algebrice. Prin urmare, în 2014, am început serios să caut o soluție și am găsit-o și eu.

Metoda am găsit-o acum doi ani, am pregătit o carte în care nu numai că era descrisă, ci și metode de rezolvare a unor ecuații de puteri mai mari de cinci. Dar nu am avut bani să-l public. Anul acesta am decis că va fi mai ușor să public doar o parte din această lucrare și am luat doar jumătate din ea, dedicată unei metode de rezolvare a unei ecuații de gradul cinci la radicali.

Scopul meu este să public ceva ca un manual pentru rezolvarea acestei probleme, ușor de înțeles pentru matematicienii care trebuie să rezolve o anumită ecuație. Prin urmare, am simplificat-o, eliminând multe formule lungi și o parte semnificativă a teoriei, tăind-o la mai mult de jumătate, lăsând doar ceea ce era necesar. Prin urmare, am venit cu ceva de genul unei cărți „pentru manechine”, din care matematicienii care nu sunt familiarizați cu teoria Galois pot rezolva ecuația de care au nevoie.

— Pentru aceasta, multumiri mult lui Vladislav Beresnev, cu care ne cunoastem de multi ani. El a sponsorizat publicarea cărții.

— Este posibil să primiți vreun premiu la matematică pentru rezolvarea acestei probleme? De exemplu, l-ai menționat pe Abel. Dar există un Premiu Abel în matematică, care este considerat analog cu Premiul Nobel?

„Această posibilitate nu poate fi exclusă complet.” Dar nici nu ar trebui să speri la asta.

De exemplu, cererile pentru candidații pentru Premiul Abel 2019 sunt valabile până pe 15 septembrie. Mai mult, autonominalizarea nu este permisă. Și sunt un matematician singuratic. Nu există organizații sau matematicieni celebri care să-mi propună candidatura. Prin urmare, nu va fi luat în considerare indiferent dacă munca mea merită acest premiu și dacă este în spiritul acestui premiu să-l acordăm celor care continuă munca lui Abel. Dar chiar dacă este prezentat, totul depinde și de nivelul de muncă al altor candidați.

Cartea este destinată celor care nu sunt familiarizați cu teoria Galois. Bazele teoriei Galois sunt date numai în partea în care sunt necesare pentru a rezolva ecuația, metoda soluției este descrisă în detaliu și sunt prezentate tehnici care simplifică soluția. O parte semnificativă a cărții este dedicată unui exemplu de rezolvare a unei anumite ecuații. Recenzii cărții sunt doctorul în științe tehnice Gennady Petrovici Agibalov și doctorul în fizică. mat. Științe, profesorul Pyotr Andreevici Krylov.

PREGĂTIT ANASTASIA SKIRNEVSKAYA

În general, o ecuație de grad mai mare de 4 nu poate fi rezolvată în radicali. Dar uneori mai putem găsi rădăcinile unui polinom din stânga într-o ecuație de cel mai înalt grad dacă o reprezentăm ca produs de polinoame la un grad de cel mult 4. Rezolvarea unor astfel de ecuații se bazează pe factorizarea unui polinom, așa că vă sfătuim să revizuiți acest subiect înainte de a studia acest articol.

Cel mai adesea ai de-a face cu ecuații de grade superioare cu coeficienți întregi. În aceste cazuri, putem încerca să găsim rădăcini raționale și apoi factorizați polinomul astfel încât apoi să îl putem transforma într-o ecuație de grad inferior care este ușor de rezolvat. În acest material ne vom uita la astfel de exemple.

Ecuații de grad superior cu coeficienți întregi

Toate ecuațiile de forma a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , putem obține o ecuație de același grad înmulțind ambele părți cu a n n - 1 și făcând o modificare variabilă de forma y = a n x:

un n x n + un n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Coeficienții rezultați vor fi, de asemenea, întregi. Astfel, va trebui să rezolvăm ecuația redusă de gradul al n-lea cu coeficienți întregi, având forma x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Calculăm rădăcinile întregi ale ecuației. Dacă ecuația are rădăcini întregi, trebuie să le căutați printre divizorii termenului liber a 0 . Să le notăm și să le substituim în egalitatea originală unul câte unul, verificând rezultatul. Odată ce am obținut identitatea și am găsit una dintre rădăcinile ecuației, o putem scrie sub forma x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Aici x 1 este rădăcina ecuației, iar P n - 1 (x) este câtul x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 împărțit la x - x 1 .

Înlocuim divizorii rămași scriși în P n - 1 (x) = 0, începând cu x 1, deoarece rădăcinile pot fi repetate. După obținerea identității, rădăcina x 2 se consideră găsită, iar ecuația poate fi scrisă sub forma (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Aici P n - 2 (x) va fi câtul împărțirii P n - 1 (x) la x - x 2.

Continuăm să sortăm prin divizori. Să găsim toate rădăcinile întregi și să le notăm numărul ca m. După aceasta, ecuația inițială poate fi reprezentată ca x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Aici P n - m (x) este un polinom de n - m grad. Pentru calcul este convenabil să folosiți schema lui Horner.

Dacă ecuația noastră originală are coeficienți întregi, nu putem obține în cele din urmă rădăcini fracționale.

Am ajuns la ecuația P n - m (x) = 0, ale cărei rădăcini pot fi găsite în orice mod convenabil. Ele pot fi iraționale sau complexe.

Să arătăm cu un exemplu specific cum este utilizată această schemă de soluții.

Exemplul 1

Condiție: găsiți soluția ecuației x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Soluţie

Să începem prin a găsi rădăcini întregi.

Avem un termen liber egal cu minus trei. Are divizori egali cu 1, - 1, 3 și - 3. Să le substituim în ecuația originală și să vedem care dintre ele dă identitățile rezultate.

Cu x egal cu unu, obținem 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, ceea ce înseamnă că unul va fi rădăcina acestei ecuații.

Acum să împărțim polinomul x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 la (x - 1) într-o coloană:

Deci x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Am obținut o identitate, ceea ce înseamnă că am găsit o altă rădăcină a ecuației, egală cu - 1.

Împărțiți polinomul x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 la (x + 1) într-o coloană:

Înțelegem asta

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Inlocuim urmatorul divizor in egalitatea x 2 + x + 3 = 0, incepand de la - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Egalitățile rezultate vor fi incorecte, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini întregi.

Rădăcinile rămase vor fi rădăcinile expresiei x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

De aici rezultă că acest trinom pătratic nu are rădăcini reale, dar există și conjugate complexe: x = - 1 2 ± i 11 2.

Să clarificăm că în loc să ne împărțim într-o coloană, poate fi folosită schema lui Horner. Acest lucru se face astfel: după ce am determinat prima rădăcină a ecuației, completăm tabelul.

În tabelul de coeficienți putem vedea imediat coeficienții coeficientului împărțirii polinoamelor, ceea ce înseamnă x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

După ce găsim următoarea rădăcină, care este - 1, obținem următoarele:

Răspuns: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Exemplul 2

Condiție: rezolvați ecuația x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Soluţie

Termenul liber are divizori 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Să le verificăm în ordine:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Aceasta înseamnă că x = 2 va fi rădăcina ecuației. Împărțiți x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 la x - 2 folosind schema lui Horner:

Ca rezultat, obținem x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Aceasta înseamnă că 2 va fi din nou rădăcina. Împărțiți x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 la x - 2:

Ca rezultat, obținem (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Verificarea divizorilor rămași nu are sens, deoarece egalitatea x 2 + 3 x + 3 = 0 este mai rapidă și mai convenabilă de rezolvat folosind discriminantul.

Să rezolvăm ecuația pătratică:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Obținem o pereche complexă de rădăcini conjugate: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Răspuns: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Exemplul 3

Condiție: Aflați rădăcinile reale pentru ecuația x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Soluţie

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Înmulțim 2 3 de ambele părți ale ecuației:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Înlocuiți variabilele y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Ca urmare, am obținut o ecuație standard de gradul 4, care poate fi rezolvată conform schemei standard. Să verificăm divizorii, să împărțim și în cele din urmă să obținem că are 2 rădăcini reale y = - 2, y = 3 și două complexe. Nu vom prezenta aici întreaga soluție. Datorită substituției, rădăcinile reale ale acestei ecuații vor fi x = y 2 = - 2 2 = - 1 și x = y 2 = 3 2.

Răspuns: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter