Proporționalitatea directă și graficul acesteia. Proporționalitatea directă și graficul acesteia Studiul funcției de proporționalitate directă $f(x)=kx$ și graficul acesteia

Obiectivele lecției: În această lecție vă veți familiariza cu un tip special de relație funcțională - proporționalitatea directă - și graficul acestuia.

Dependență direct proporțională

Să ne uităm la câteva exemple de dependențe.

Exemplul 1.

Dacă presupunem că un pieton se deplasează cu o viteză medie de 3,5 km/h, atunci lungimea traseului pe care o va parcurge depinde de timpul petrecut în călătorie:

într-o oră un pieton va merge 3,5 km
în două ore – 7 km
în 3,5 ore – 12,25 km
in spate t ore – 3,5 t km

În acest caz, putem scrie dependența lungimii căii parcurse de pieton în timp, după cum urmează: S(t)=3,5t.

t- variabila independenta, S– variabilă dependentă (funcție). Cu cât timpul este mai lung, cu atât calea este mai lungă și invers - cu cât timpul este mai scurt, cu atât calea este mai scurtă. Pentru fiecare valoare, variabila este independentă t puteți găsi raportul dintre lungimea căii și timpul. După cum știți, va fi egală cu viteza, adică, în acest caz, 3,5.

Exemplul 2.

Se știe că în timpul vieții sale o albină care caută hrană face aproximativ 400 de zboruri, zburând în medie 800 km. Se întoarce dintr-un zbor cu 70 mg de nectar. Pentru a obține 1 gram de miere, o albină trebuie să facă în medie 75 de astfel de zboruri. Astfel, în timpul vieții ei produce doar aproximativ 5 grame de miere. Să calculăm câtă miere vor produce pe parcursul vieții lor:

10 albine – 50 de grame
100 de albine – 500 de grame
280 de albine – 1400 de grame
1350 albine – 6750 grame
X albine – 5 grame

Astfel, putem scrie o ecuație care exprimă cantitatea de miere produsă de albine pe numărul de albine: P(x) = 5x.

X– variabilă independentă (argument), R– variabilă dependentă (funcția ). Cu cât mai multe albine, cu atât mai multă miere. Aici, ca și în exemplul anterior, puteți găsi raportul dintre cantitatea de miere și numărul de albine; acesta va fi egal cu 5.

Exemplul 3.

Fie ca funcția să fie dată de un tabel:

Să găsim raportul dintre valoarea variabilei dependente și valoarea variabilei independente pentru fiecare pereche ( X; la) și puneți această relație în tabel:

Vedem că pentru fiecare pereche de valori ( X; la), deci putem scrie funcția noastră astfel: y = –4Xținând cont de domeniul de definire al acestei funcții, adică pentru acele valori X, care sunt enumerate în tabel.

Rețineți că pentru perechea (0; 0) această dependență va fi și adevărată, deoarece la(0) = 4 ∙ 0 = 0, deci tabelul definește de fapt o funcție y = –4Xţinând cont de domeniul de definire al acestei funcţii.

Atât în ​​primul cât și în cel de-al doilea exemplu este vizibil un anumit model: cu cât valoarea variabilei independente (argumentul) este mai mare, cu atât valoarea variabilei dependente (funcția) este mai mare. Și invers: cu cât valoarea variabilei independente (argumentul) este mai mică, cu atât valoarea variabilei dependente (funcția) este mai mică. În acest caz, raportul dintre valoarea variabilei dependente și valoarea argumentului în fiecare caz rămâne același.

Această dependență se numește proporționalitate directă, și o valoare constantă care ia raportul dintre valoarea funcției și valoarea argumentului - factor de proporționalitate.

Cu toate acestea, observăm că modelul: cu atât mai mult X, cu atât mai mult lași, invers, cu atât mai puțin X, mai putin laîn acest tip de dependenţă va fi satisfăcută numai atunci când coeficientul de proporţionalitate este un număr pozitiv. Prin urmare, un indicator mai important că dependența este direct proporțională este constanța raportului dintre valorile variabilei dependente și celei independente, adică prezența factor de proporționalitate.

În Exemplul 3 avem de-a face și cu proporționalitatea directă, de data aceasta cu un coeficient negativ, care este egal cu -4.

De exemplu, dintre dependențele exprimate prin formule:

1. I = 1,6p
2. S = –12t + 2
3. r = –4k 3
4. v=13m
5. y = 25x – 2
6. P = 2,5a

Proporționalitatea directă este 1., 4. și 6. dependențe.

Veniți cu 3 exemple de dependențe care sunt direct proporționale și discutați exemplele dvs. în camera video.

Familiarizați-vă cu o altă abordare pentru determinarea proporționalității directe lucrând cu materialele tutorial video

Graficul de proporționalitate directă

Înainte de a studia următorul fragment al lecției, lucrați cu materialele resursei educaționale electronice « ».

Din materialele Resursei Educaționale Electronice, ați învățat că un grafic de proporționalitate directă este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor. Să ne asigurăm de acest lucru prin reprezentarea grafică a funcțiilor la = 1,5XȘi la = –0,5X pe același plan de coordonate.

Să creăm un tabel de valori pentru fiecare funcție:

la = 1,5X

Să trasăm punctele rezultate pe planul de coordonate:

Se poate observa că punctele pe care le-am marcat se află de fapt pe o linie dreaptă care trece prin origine. Acum să conectăm aceste puncte cu o linie dreaptă.

Acum să facem același lucru cu funcția la = –0,5X.

Să conectăm toate punctele obținute cu o linie:

Pentru a studia mai detaliat materialul legat de graficul proporționalității directe, lucrați cu materialele din fragmentul de lecție video„Proporționalitatea directă și graficul acesteia”.

Acum lucrați cu materialele resursei educaționale electronice «

>>Matematică: proporționalitatea directă și graficul acesteia

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Dintre funcţiile liniare y = kx + m se distinge mai ales cazul când m = 0; în acest caz ia forma y = kx şi se numeşte proporţionalitate directă. Acest nume se explică prin faptul că două mărimi y și x sunt numite direct proporționale dacă raportul lor este egal cu un anumit
un alt număr decât zero. Aici, acest număr k se numește coeficient de proporționalitate.

Multe situații din viața reală sunt modelate folosind proporționalitatea directă.

De exemplu, traseul s și timpul t la o viteză constantă de 20 km/h sunt legate de dependența s = 20t; aceasta este proporționalitate directă, cu k = 20.

Alt exemplu:

costul y și numărul x de pâine la un preț de 5 ruble. pentru pâine sunt legate prin dependența y = 5x; aceasta este proporționalitatea directă, unde k = 5.

Dovada.Îl vom implementa în două etape.
1. y = kx este un caz special al unei funcții liniare, iar graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă; să o notăm cu I.
2. Perechea x = 0, y = 0 satisface ecuația y - kx și, prin urmare, punctul (0; 0) aparține graficului ecuației y = kx, adică dreapta I.

În consecință, linia dreaptă I trece prin origine. Teorema a fost demonstrată.

Trebuie să poți trece nu doar de la modelul analitic y = kx la cel geometric (grafic de proporționalitate directă), ci și de la cel geometric modele la analitic. Luați în considerare, de exemplu, o linie dreaptă pe planul de coordonate xOy prezentat în Figura 50. Este un grafic de proporționalitate directă, trebuie doar să găsiți valoarea coeficientului k. Deoarece y, atunci este suficient să luăm orice punct de pe dreaptă și să găsiți raportul dintre ordonata acestui punct și abscisa sa. Linia dreaptă trece prin punctul P(3; 6), iar pentru acest punct avem: Aceasta înseamnă k = 2, și deci dreapta dată servește drept grafic de proporționalitate directă y = 2x.

Ca urmare, coeficientul k în notația funcției liniare y = kx + m se mai numește și coeficient de pantă. Dacă k>0, atunci linia dreaptă y = kx + m formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x (Fig. 49, a), iar dacă k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Trikhleb Daniil, elev în clasa a VII-a

cunoașterea proporționalității directe și a coeficientului de proporționalitate directă (introducerea conceptului de coeficient unghiular”);

construirea unui grafic de proporționalitate directă;

luarea în considerare a poziţiei relative a graficelor de proporţionalitate directă şi a funcţiilor liniare cu coeficienţi unghiulari identici.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Care este argumentul și valoarea unei funcții? Care variabilă se numește independentă sau dependentă? Ce este o funcție? REVIZIE Care este domeniul unei funcții?

Metode pentru specificarea unei funcții. Analitic (folosind o formulă) Grafic (folosind un grafic) Tabular (folosind un tabel)

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. PROGRAMUL FUNCȚIILOR

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

FINALIZAȚI SARCINA Construiți un grafic al funcției y = 2 x +1, unde 0 ≤ x ≤ 4. Faceți o masă. Folosind graficul, găsiți valoarea funcției la x=2,5. La ce valoare a argumentului valoarea funcției este egală cu 8?

Definiție Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y = k x, unde x este o variabilă independentă, k este un număr diferit de zero. (k-coeficient de proporționalitate directă) Proporționalitate directă

8 Graficul proporționalității directe - o dreaptă care trece prin originea coordonatelor (punctul O(0,0)) Pentru a construi un grafic al funcției y= kx sunt suficiente două puncte, dintre care unul este O (0,0) Pentru k > 0, graficul este situat la sferturile de coordonate I și III. La k

Grafice ale funcţiilor de proporţionalitate directă y x k>0 k>0 k

Sarcină Determinați care dintre grafice arată funcția de proporționalitate directă.

Sarcină Determinați ce grafic al funcției este prezentat în figură. Alegeți o formulă dintre cele trei oferite.

Lucru oral. Poate graficul unei funcții dat de formula y = k x, unde k

Determinați care dintre punctele A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) aparțin graficului proporționalității directe dat de formula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - incorect. Punctul A nu aparține graficului funcției y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - corect. Punctul B aparține graficului funcției y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - incorect Punctul C nu aparține graficului funcției y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - adevărat. Punctul E aparține graficului funcției y=5x

TEST 1 opțiunea 2 opțiunea nr. 1. Care dintre funcțiile date de formulă sunt direct proporționale? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

nr. 2. Scrieți numerele de drepte y = kx, unde k > 0 1 opțiunea k

Numarul 3. Determinați care dintre puncte aparțin graficului proporționalității directe, dat de formula Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opțiunea C (1, -1), E (0,0). ) Opțiunea 2

y =5x y =10x III A VI și IV E 1 2 3 1 2 3 Nr. Răspuns corect Răspuns corect Nu.

Finalizați sarcina: Arătați schematic cum se află graficul funcției date de formulă: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

SARCINA Din următoarele grafice, selectați numai grafice cu proporționalitate directă.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funcții y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Selectați funcțiile de forma y = k x (proporționalitate directă) și notați-le

Funcții de proporționalitate directă Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Funcții liniare care nu sunt funcții de proporționalitate directă 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Tema pentru acasă: paragraful 15 p. 65-67, Nr. 307; nr. 308.

Să o repetăm ​​din nou. Ce lucruri noi ai învățat? Ce ai învățat? Ce ți s-a părut deosebit de dificil?

Mi-a plăcut lecția și subiectul este înțeles: mi-a plăcut lecția, dar încă nu înțeleg totul: nu mi-a plăcut lecția și subiectul nu este clar.

Să construim un grafic al funcției date de formulă y = 0,5x.

1. Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor.

2. Să găsim câteva valori corespunzătoare ale variabilelor XȘi la.

Dacă x = -4, atunci y = -2.
Dacă x = -3, atunci y = -1,5.
Dacă x = -2, atunci y = -1.
Dacă x = -1, atunci y = -0,5.
Dacă x = 0, atunci y = 0.
Dacă x = 1, atunci y = 0,5.
Dacă x = 2, atunci y = 1.
Dacă x = 3, atunci y = 1,5.
Dacă x = 4, atunci y = 2.

3. Să marchem punctele din planul de coordonate ale căror coordonate le-am determinat la pasul 2. Rețineți că punctele construite aparțin unei anumite linii.

4. Să determinăm dacă alte puncte din graficul funcției aparțin acestei linii. Pentru a face acest lucru, vom găsi coordonatele mai multor puncte pe grafic.

Dacă x = -3,5, atunci y = -1,75.
Dacă x = -2,5, atunci y = -1,25.
Dacă x = -1,5, atunci y = -0,75.
Dacă x = -0,5, atunci y = -0,25.
Dacă x = 0,5, atunci y = 0,25.
Dacă x = 1,5, atunci y = 0,75.
Dacă x = 2,5, atunci y = 1,25.
Dacă x = 3,5, atunci y = 1,75.

După ce am construit puncte noi pe graficul funcției, observăm că acestea aparțin aceleiași drepte.

Dacă reducem treapta valorilor noastre (luăm, de exemplu, valorile X prin 0,1; prin 0,01 etc.), vom primi alte puncte de grafic aparținând aceleiași linii și situate din ce în ce mai aproape unul de celălalt din drag. Mulțimea tuturor punctelor de pe graficul unei funcții date este o dreaptă care trece prin origine.

Astfel, graficul funcției dat de formula y = khx, unde k ≠ 0, este o linie dreaptă care trece prin origine.

Daca domeniul de definitie al functiei dat de formula y = khx, unde k ≠ 0, nu constă din toate numerele, atunci graficul său este un subset de puncte pe o linie (de exemplu, o rază, un segment, puncte individuale).

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoaștem poziția celor două puncte ale sale. Prin urmare, un grafic de proporționalitate directă definit pe mulțimea tuturor numerelor poate fi construit folosind oricare dintre punctele sale (este convenabil să luăm originea coordonatelor ca unul dintre ele).

De exemplu, doriți să reprezentați o funcție dată de formulă y = -1,5x. Să alegem o valoare X, nu este egal 0 și calculați valoarea corespunzătoare la.

Dacă x = 2, atunci y = -3.

Să marchem un punct pe planul de coordonate cu coordonate (2; -3) . Să tragem o linie dreaptă prin acest punct și origine. Această linie dreaptă este graficul dorit.

Pe baza acestui exemplu, se poate dovedi că Orice linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor și nu coincide cu axele este un grafic de proporționalitate directă.

Dovada.

Să fie dată o anumită linie dreaptă, care trece prin originea coordonatelor și nu coincide cu axele. Să luăm un punct pe el cu abscisa 1. Să notăm ordonata acestui punct cu k. Evident, k ≠ 0. Să demonstrăm că această dreaptă este un grafic de proporționalitate directă cu coeficientul k.

Într-adevăr, din formula y = kh rezultă că dacă x = 0, atunci y = 0, dacă x = 1, atunci y = k, adică. graficul unei funcții dată de formula y = khx, unde k ≠ 0, este o dreaptă care trece prin punctele (0; 0) și (1; k).

Deoarece doar o singură linie dreaptă poate fi trasată prin două puncte, atunci această linie dreaptă coincide cu graficul funcției dat de formula y = khx, unde k ≠ 0, ceea ce trebuia dovedit.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.