Formula pentru tangenta la graficul unei functii. Ecuația unei tangente la graficul unei funcții. Ghidul cuprinzător (2019)

O tangentă este o linie dreaptă , care atinge graficul funcției într-un punct și toate punctele care se află la cea mai mică distanță de graficul funcției. Prin urmare, tangenta trece tangentă la graficul funcției la un anumit unghi, iar mai multe tangente la unghiuri diferite nu pot trece prin punctul de tangență. Ecuațiile tangente și ecuațiile normale la graficul unei funcții sunt construite folosind derivata.

Ecuația tangentei este derivată din ecuația dreptei .

Să derivăm ecuația tangentei și apoi ecuația normalei la graficul funcției.

y = kx + b .

În el k- coeficientul unghiular.

De aici obținem următoarea intrare:

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Valoarea derivată f "(X 0 ) funcții y = f(X) la punct X0 egală cu panta k= tg φ tangentă la graficul unei funcții trasate printr-un punct M0 (X 0 , y 0 ) , Unde y0 = f(X 0 ) . Aceasta este sensul geometric al derivatului .

Astfel, putem înlocui k pe f "(X 0 ) și obțineți următoarele ecuația tangentei la graficul unei funcții :

y - y 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .

În problemele care implică alcătuirea ecuației unei tangente la graficul unei funcții (și vom trece la ele în curând), este necesar să reducem ecuația obținută din formula de mai sus la ecuația unei drepte în formă generală. Pentru a face acest lucru, trebuie să mutați toate literele și numerele în partea stângă a ecuației și lăsați zero în partea dreaptă.

Acum despre ecuația normală. Normal - aceasta este o dreaptă care trece prin punctul de tangență la graficul funcției perpendiculară pe tangentă. Ecuație normală :

(X - X 0 ) + f "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Pentru a vă încălzi, vi se cere să rezolvați singur primul exemplu, apoi să priviți soluția. Există toate motivele să sperăm că această sarcină nu va fi un „duș rece” pentru cititorii noștri.

Exemplul 0. Creați o ecuație tangentă și o ecuație normală pentru graficul unei funcții într-un punct M (1, 1) .

Exemplul 1. Scrieți o ecuație tangentă și o ecuație normală pentru graficul unei funcții , dacă abscisa este tangentă .

Să găsim derivata funcției:

Acum avem tot ce trebuie înlocuit în intrarea dată în ajutorul teoretic pentru a obține ecuația tangentei. Primim

În acest exemplu, am avut noroc: panta s-a dovedit a fi zero, așa că nu a fost nevoie să reducem separat ecuația la forma sa generală. Acum putem crea ecuația normală:

În figura de mai jos: graficul funcției este visiniu, tangenta este verde, normala este portocalie.

Următorul exemplu nu este, de asemenea, complicat: funcția, ca și în cea precedentă, este și un polinom, dar panta nu va fi egală cu zero, așa că se va adăuga încă un pas - aducând ecuația la o formă generală.

Exemplul 2.

Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangentei:

Să găsim derivata funcției:

.

Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:

Înlocuim toate datele obținute în „formula goală” și obținem ecuația tangentei:

Aducem ecuația la forma ei generală (colectăm toate literele și numerele, altele decât zero în partea stângă și lăsăm zero în dreapta):

Compunem ecuația normală:

Exemplul 3. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.

Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangentei:

Să găsim derivata funcției:

.

Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:

.

Găsim ecuația tangentei:

Înainte de a aduce ecuația la forma sa generală, trebuie să o „pieptănați” puțin: înmulțiți termen cu termen cu 4. Facem acest lucru și aducem ecuația la forma sa generală:

Compunem ecuația normală:

Exemplul 4. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.

Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangentei:

.

Să găsim derivata funcției:

Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:

.

Obtinem ecuatia tangentei:

Aducem ecuația la forma ei generală:

Compunem ecuația normală:

O greșeală comună atunci când scrieți ecuații tangente și normale este să nu observați că funcția dată în exemplu este complexă și să calculați derivata ei ca derivată a unei funcții simple. Următoarele exemple sunt deja din funcții complexe(lecția corespunzătoare se va deschide într-o fereastră nouă).

Exemplul 5. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.

Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangentei:

Atenţie! Această funcție este complexă, deoarece argumentul tangentă (2 X) este în sine o funcție. Prin urmare, găsim derivata unei funcții ca derivată a unei funcții complexe.

Articolul oferă o explicație detaliată a definițiilor, semnificația geometrică a derivatei cu notații grafice. Ecuația unei linii tangente va fi luată în considerare cu exemple, se vor găsi ecuațiile unei tangente la curbele de ordinul 2.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

Unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b se numește unghi α, care se măsoară de la direcția pozitivă a axei x la dreapta y = k x + b în direcția pozitivă.

În figură, direcția x este indicată printr-o săgeată verde și un arc verde, iar unghiul de înclinare printr-un arc roșu. Linia albastră se referă la linia dreaptă.

Definiția 2

Panta dreptei y = k x + b se numește coeficient numeric k.

Coeficientul unghiular este egal cu tangentei dreptei, cu alte cuvinte k = t g α.

• Unghiul de înclinare al unei drepte este egal cu 0 numai dacă este paralelă în jurul lui x și panta este egală cu zero, deoarece tangenta lui zero este egală cu 0. Aceasta înseamnă că forma ecuației va fi y = b.
• Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este acut, atunci condițiile 0 sunt îndeplinite< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 și există o creștere a graficului.
• Dacă α = π 2, atunci locația dreptei este perpendiculară pe x. Egalitatea este specificată de x = c, valoarea c fiind un număr real.
• Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este obtuz, atunci corespunde condițiilor π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

O secantă este o dreaptă care trece prin 2 puncte ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, o secanta este o linie dreaptă care trece prin oricare două puncte din graficul unei anumite funcții.

Figura arată că A B este o secante, iar f (x) este o curbă neagră, α este un arc roșu, indicând unghiul de înclinare al secantei.

Când coeficientul unghiular al unei drepte este egal cu tangenta unghiului de înclinare, este clar că tangenta unui triunghi dreptunghic A B C poate fi găsită prin raportul laturii opuse față de cea adiacentă.

Definiția 4

Obținem o formulă pentru găsirea unei secante de forma:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, unde abscisele punctelor A și B sunt valorile x A, x B și f (x A), f (x B) sunt funcțiile de valori în aceste puncte.

Evident, coeficientul unghiular al secantei este determinat folosind egalitatea k = f (x B) - f (x A) x B - x A sau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , iar ecuația trebuie scrisă ca y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) sau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Secanta împarte graficul vizual în 3 părți: la stânga punctului A, de la A la B, la dreapta lui B. Figura de mai jos arată că există trei secante care sunt considerate coincidente, adică sunt stabilite folosind un ecuație similară.

Prin definiție, este clar că linia dreaptă și secanta ei în acest caz coincid.

O secanta poate intersecta graficul unei funcții date de mai multe ori. Dacă există o ecuație de forma y = 0 pentru o secantă, atunci numărul de puncte de intersecție cu sinusoida este infinit.

Definiția 5

Tangenta la graficul functiei f (x) in punctul x 0 ; f (x 0) este o dreaptă care trece printr-un punct dat x 0; f (x 0), cu prezența unui segment care are multe valori x apropiate de x 0.

Exemplul 1

Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de mai jos. Atunci este clar că linia definită de funcția y = x + 1 este considerată tangentă la y = 2 x în punctul cu coordonatele (1; 2). Pentru claritate, este necesar să luați în considerare graficele cu valori apropiate de (1; 2). Funcția y = 2 x este afișată cu negru, linia albastră este linia tangentă, iar punctul roșu este punctul de intersecție.

Evident, y = 2 x se îmbină cu linia y = x + 1.

Pentru a determina tangentei, ar trebui să luăm în considerare comportamentul tangentei A B pe măsură ce punctul B se apropie la infinit de punctul A. Pentru claritate, prezentăm un desen.

Secanta A B, indicată de linia albastră, tinde spre poziția tangentei însăși, iar unghiul de înclinare al secantei α va începe să tinde spre unghiul de înclinare al tangentei însăși α x.

Definiția 6

Tangenta la graficul funcției y = f (x) în punctul A este considerată a fi poziția limită a secantei A B, deoarece B tinde spre A, adică B → A.

Acum să trecem la considerarea semnificației geometrice a derivatei unei funcții într-un punct.

Să trecem la considerarea secantei A B pentru funcția f (x), unde A și B cu coordonatele x 0, f (x 0) și x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) și ∆ x este notat ca increment al argumentului . Acum funcția va lua forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pentru claritate, să dăm un exemplu de desen.

Se consideră triunghiul dreptunghic rezultat A B C. Folosim definiția tangentei pentru a rezolva, adică obținem relația ∆ y ∆ x = t g α . Din definiția unei tangente rezultă că lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Conform regulii derivatei într-un punct, avem că derivata f (x) în punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, unde ∆ x → 0 , atunci o notăm f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Rezultă că f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, unde k x este notat ca panta tangentei.

Adică, constatăm că f' (x) poate exista în punctul x 0, și ca tangente la un grafic dat al funcției în punctul de tangență egal cu x 0, f 0 (x 0), unde valoarea lui panta tangentei în punctul este egală cu derivata în punctul x 0 . Atunci obținem că k x = f " (x 0) .

Sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct este că dă conceptul existenței unei tangente la grafic în același punct.

Pentru a scrie ecuația oricărei drepte pe un plan, este necesar să existe un coeficient unghiular cu punctul prin care trece. Notația sa este considerată x 0 la intersecție.

Ecuația tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul x 0, f 0 (x 0) ia forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Aceasta înseamnă că valoarea finală a derivatei f „(x 0) poate determina poziția tangentei, adică pe verticală, cu condiția lim x → x 0 + 0 f „(x) = ∞ și lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ sau absență deloc în condiția lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Locația tangentei depinde de valoarea coeficientului ei unghiular k x = f "(x 0). Când este paralelă cu axa o x, obținem că k k = 0, când paralel cu o y - k x = ∞ și forma ecuația tangentă x = x 0 crește cu k x > 0, scade pe măsură ce k x< 0 .

Exemplul 2

Alcătuiți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 în punctul cu coordonatele (1; 3) și determinați unghiul de înclinare.

Soluţie

Prin condiție, avem că funcția este definită pentru toate numerele reale. Constatăm că punctul cu coordonatele specificate de condiția, (1; 3) este un punct de tangență, atunci x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Este necesar să găsiți derivata în punctul cu valoarea - 1. Înțelegem asta

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Valoarea lui f' (x) în punctul de tangență este panta tangentei, care este egală cu tangentei pantei.

Atunci k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Rezultă că α x = a r c t g 3 3 = π 6

Răspuns: ecuația tangentei ia forma

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Pentru claritate, dăm un exemplu într-o ilustrație grafică.

Culoarea neagră este folosită pentru graficul funcției originale, culoarea albastră este imaginea tangentei, iar punctul roșu este punctul de tangență. Figura din dreapta arată o vedere mărită.

Exemplul 3

Determinați existența unei tangente la graficul unei funcții date
y = 3 · x - 1 5 + 1 în punctul cu coordonatele (1 ; 1) . Scrieți o ecuație și determinați unghiul de înclinare.

Soluţie

Prin condiție, avem că domeniul de definire al unei funcții date este considerat a fi mulțimea tuturor numerelor reale.

Să trecem la găsirea derivatei

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Dacă x 0 = 1, atunci f' (x) este nedefinit, dar limitele sunt scrise ca lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ și lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ceea ce înseamnă existența tangentă verticală în punctul (1; 1).

Răspuns: ecuația va lua forma x = 1, unde unghiul de înclinare va fi egal cu π 2.

Pentru claritate, să-l descriem grafic.

Exemplul 4

Aflați punctele de pe graficul funcției y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, unde

1. Nu există tangentă;
2. Tangenta este paralelă cu x;
3. Tangenta este paralelă cu dreapta y = 8 5 x + 4.

Soluţie

Este necesar să se acorde atenție domeniului de aplicare al definiției. Prin condiție, avem că funcția este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Extindem modulul și rezolvăm sistemul cu intervale x ∈ - ∞ ; 2 şi [-2; + ∞). Înțelegem asta

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Este necesar să se diferențieze funcția. Avem asta

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Când x = − 2, atunci derivata nu există deoarece limitele unilaterale nu sunt egale în acel punct:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculăm valoarea funcției în punctul x = - 2, de unde obținem asta

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, adică tangenta în punctul ( - 2; - 2) nu va exista.
2. Tangenta este paralelă cu x când panta este zero. Atunci k x = t g α x = f "(x 0). Adică, este necesar să se găsească valorile unui astfel de x atunci când derivata funcției o transformă la zero. Adică, valorile lui f ' (x) vor fi punctele de tangență, unde tangenta este paralelă cu x .

Când x ∈ - ∞ ; - 2, atunci - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, iar pentru x ∈ (- 2; + ∞) obținem 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calculați valorile funcției corespunzătoare

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Prin urmare - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 sunt considerate a fi punctele necesare ale graficului funcției.

Să ne uităm la o reprezentare grafică a soluției.

Linia neagră este graficul funcției, punctele roșii sunt punctele de tangență.

1. Când liniile sunt paralele, coeficienții unghiulari sunt egali. Apoi este necesar să căutați puncte pe graficul funcției unde panta va fi egală cu valoarea 8 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație de forma y "(x) = 8 5. Atunci, dacă x ∈ - ∞; - 2, obținem că - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, iar dacă x ∈ ( - 2 ; + ∞), atunci 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prima ecuație nu are rădăcini deoarece discriminantul este mai mic decât zero. Să scriem asta

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

O altă ecuație are două rădăcini reale, deci

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Să trecem la găsirea valorilor funcției. Înțelegem asta

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Puncte cu valori - 1; 4 15, 5; 8 3 sunt punctele în care tangentele sunt paralele cu dreapta y = 8 5 x + 4.

Răspuns: linie neagră – graficul funcției, linie roșie – graficul lui y = 8 5 x + 4, linie albastră – tangente în puncte - 1; 4 15, 5; 8 3.

Poate exista un număr infinit de tangente pentru funcții date.

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor disponibile ale funcției y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, care sunt situate perpendicular pe dreapta y = - 2 x + 1 2.

Soluţie

Pentru a compila ecuația tangentei, este necesar să se găsească coeficientul și coordonatele punctului tangente, pe baza condiției de perpendicularitate a dreptelor. Definiția este următoarea: produsul coeficienților unghiulari care sunt perpendiculari pe liniile drepte este egal cu - 1, adică scris ca k x · k ⊥ = - 1. Din condiția avem că coeficientul unghiular este situat perpendicular pe dreapta și este egal cu k ⊥ = - 2, atunci k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Acum trebuie să găsiți coordonatele punctelor de atingere. Trebuie să găsiți x și apoi valoarea lui pentru o funcție dată. Rețineți că din sensul geometric al derivatei la punct
x 0 obținem că k x = y "(x 0). Din această egalitate găsim valorile lui x pentru punctele de contact.

Înțelegem asta

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Această ecuație trigonometrică va fi folosită pentru a calcula ordonatele punctelor tangente.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk sau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z este o mulțime de numere întregi.

au fost găsite x puncte de contact. Acum trebuie să treceți la căutarea valorilor lui y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 sau y 0 = - 4 5 + 1 3

Din aceasta obținem că 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sunt punctele de tangență.

Răspuns: ecuaţiile necesare se vor scrie ca

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pentru o reprezentare vizuală, luați în considerare o funcție și o tangentă pe o dreaptă de coordonate.

Figura arată că funcţia este situată pe intervalul [ - 10 ; 10 ], unde linia neagră este graficul funcției, liniile albastre sunt tangente, care sunt situate perpendicular pe dreapta dată de forma y = - 2 x + 1 2. Punctele roșii sunt puncte de atingere.

Ecuațiile canonice ale curbelor de ordinul 2 nu sunt funcții cu o singură valoare. Ecuațiile tangente pentru ele sunt compilate conform schemelor cunoscute.

Tangent la un cerc

A defini un cerc cu centru în punctul x c e n t e r ; y c e n t e r şi raza R, aplicaţi formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Această egalitate poate fi scrisă ca o unire a două funcții:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prima funcție este situată în partea de sus, iar a doua în partea de jos, așa cum se arată în figură.

Pentru a compila ecuația unui cerc în punctul x 0; y 0 , care este situat în semicercul superior sau inferior, ar trebui să găsiți ecuația graficului unei funcții de forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r sau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r la punctul indicat.

Când în punctele x c ​​e n t e r ; y c e n t e r + R și x ce n t e r ; y c e n t e r - R tangente pot fi date de ecuațiile y = y c e n t e r + R și y = y c e n t e r - R , iar în punctele x c ​​e n t e r + R ; y c e n t e r şi
x c e n t e r - R ; y c e n t e r va fi paralel cu o y, atunci obținem ecuații de forma x = x c e n t e r + R și x = x c e n t e r - R .

Tangent la o elipsă

Când elipsa are un centru în x c e n t e r ; y c e n t e r cu semiaxele a și b, atunci poate fi specificat folosind ecuația x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

O elipsă și un cerc pot fi notate prin combinarea a două funcții, și anume semielipsa superioară și inferioară. Atunci obținem asta

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Dacă tangentele sunt situate la vârfurile elipsei, atunci ele sunt paralele cu x sau despre y. Mai jos, pentru claritate, luați în considerare figura.

Exemplul 6

Scrieți ecuația tangentei la elipsa x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 în punctele cu valorile lui x egale cu x = 2.

Soluţie

Este necesar să găsiți punctele tangente care corespund valorii x = 2. Substituim în ecuația existentă a elipsei și aflăm că

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Apoi 2; 5 3 2 + 5 și 2; - 5 3 2 + 5 sunt punctele tangente care aparțin semielipsei superioare și inferioare.

Să trecem la găsirea și rezolvarea ecuației elipsei în raport cu y. Înțelegem asta

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Evident, semielipsa superioară este specificată folosind o funcție de forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, iar jumătatea inferioară y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Să aplicăm un algoritm standard pentru a crea o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții într-un punct. Să scriem că ecuația pentru prima tangentă la punctul 2; 5 3 2 + 5 vor arăta ca

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Constatăm că ecuația celei de-a doua tangente cu o valoare în punct
2; - 5 3 2 + 5 ia forma

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafic, tangentele sunt desemnate după cum urmează:

Tangenta la hiperbola

Când o hiperbolă are un centru în x c e n t e r ; y c e n t e r şi vârfuri x c e n t e r + α ; y c e n t e r şi x c e n t e r - α ; y c e n t e r , are loc inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, dacă cu vârfuri x c e n t e r ; y c e n t e r + b și x c e n t e r ; y c e n t e r - b , atunci este specificat folosind inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

O hiperbolă poate fi reprezentată ca două funcții combinate ale formei

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r sau y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e · r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

În primul caz avem că tangentele sunt paralele cu y, iar în al doilea sunt paralele cu x.

Rezultă că pentru a găsi ecuația tangentei la o hiperbolă este necesar să aflăm cărei funcție îi aparține punctul de tangență. Pentru a determina acest lucru, este necesar să se substituie în ecuații și să se verifice identitatea.

Exemplul 7

Scrieți o ecuație pentru tangentei la hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 la punctul 7; - 3 3 - 3 .

Soluţie

Este necesar să se transforme înregistrarea soluției pentru găsirea unei hiperbole folosind 2 funcții. Înțelegem asta

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 și y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Este necesar să se identifice cărei funcție îi aparține un punct dat cu coordonatele 7; - 3 3 - 3 .

Evident, pentru a verifica prima funcție este necesar y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, atunci punctul nu aparține graficului, întrucât egalitatea nu se menține.

Pentru a doua funcție avem că y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ceea ce înseamnă că punctul aparține graficului dat. De aici ar trebui să găsiți panta.

Înțelegem asta

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Răspuns: ecuaţia tangentei poate fi reprezentată ca

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Este clar descris astfel:

Tangent la o parabolă

Pentru a crea o ecuație pentru tangenta la parabola y = a x 2 + b x + c în punctul x 0, y (x 0), trebuie să utilizați un algoritm standard, apoi ecuația va lua forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). O astfel de tangentă la vârf este paralelă cu x.

Ar trebui să definiți parabola x = a y 2 + b y + c ca uniunea a două funcții. Prin urmare, trebuie să rezolvăm ecuația pentru y. Înțelegem asta

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Înfățișat grafic ca:

Pentru a afla dacă un punct x 0, y (x 0) aparține unei funcții, procedați ușor conform algoritmului standard. O astfel de tangentă va fi paralelă cu o y față de parabolă.

Exemplul 8

Scrieți ecuația tangentei la graficul x - 2 y 2 - 5 y + 3 când avem un unghi de tangentă de 150 °.

Soluţie

Începem soluția reprezentând parabola ca două funcții. Înțelegem asta

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Valoarea pantei este egală cu valoarea derivatei în punctul x 0 al acestei funcții și este egală cu tangentei unghiului de înclinare.

Primim:

k x = y „(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

De aici determinăm valoarea x pentru punctele de contact.

Prima funcție va fi scrisă ca

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Evident, nu există rădăcini reale, deoarece am primit o valoare negativă. Concluzionăm că nu există o tangentă cu un unghi de 150° pentru o astfel de funcție.

A doua funcție va fi scrisă ca

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Avem că punctele de contact sunt 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Răspuns: ecuația tangentei ia forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Să o reprezentăm grafic astfel:

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” demonstrează material educațional pentru însușirea subiectului. În timpul lecției video sunt descrise materialul teoretic necesar formulării conceptului de ecuație a unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat, un algoritm pentru găsirea unei astfel de tangente și exemple de rezolvare a problemelor folosind materialul teoretic studiat. .

Tutorialul video folosește metode care îmbunătățesc claritatea materialului. Prezentarea conține desene, diagrame, comentarii vocale importante, animație, evidențiere și alte instrumente.

Lecția video începe cu o prezentare a subiectului lecției și o imagine a unei tangente la graficul unei funcții y=f(x) în punctul M(a;f(a)). Se știe că coeficientul unghiular al tangentei trasate la grafic într-un punct dat este egal cu derivata funcției f΄(a) în acest punct. Tot din cursul de algebră cunoaștem ecuația dreptei y=kx+m. Schematic este prezentată soluția problemei găsirii ecuației tangentei într-un punct, ceea ce se reduce la găsirea coeficienților k, m. Cunoscând coordonatele unui punct aparținând graficului funcției, putem găsi m substituind valoarea coordonatei în ecuația tangentei f(a)=ka+m. Din el găsim m=f(a)-ka. Astfel, cunoscând valoarea derivatei într-un punct dat și coordonatele punctului, putem reprezenta ecuația tangentei în acest fel y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Următorul este un exemplu de compunere a unei ecuații tangente după diagramă. Având în vedere funcția y=x 2 , x=-2. Luând a=-2, găsim valoarea funcției la un punct dat f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinăm derivata funcției f΄(x)=2x. În acest moment, derivata este egală cu f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Pentru alcătuirea ecuației s-au găsit toți coeficienții a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, deci ecuația tangentei este y=4+(-4)(x+2). Simplificand ecuația, obținem y = -4-4x.

Următorul exemplu sugerează construirea unei ecuații pentru tangenta de la origine la graficul funcției y=tgx. La un punct dat a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Deci ecuația tangentei arată ca y=x.

Ca o generalizare, procesul de alcătuire a unei ecuații tangente la graficul unei funcții la un anumit punct este formalizat sub forma unui algoritm format din 4 pași:

• Introduceți denumirea a pentru abscisa punctului tangent;
• f(a) se calculează;
• Se determină f΄(x) și se calculează f΄(a). Valorile găsite ale lui a, f(a), f΄(a) sunt substituite în formula ecuației tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Exemplul 1 are în vedere alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y=1/x în punctul x=1. Pentru a rezolva problema folosim un algoritm. Pentru o funcție dată la punctul a=1, valoarea funcției f(a)=-1. Derivată a funcției f΄(x)=1/x 2. La punctul a=1 derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Cu ajutorul datelor obținute se întocmește ecuația tangentei y=-1+(x-1), sau y=x-2.

În exemplul 2, este necesar să găsim ecuația tangentei la graficul funcției y=x 3 +3x 2 -2x-2. Condiția principală este paralelismul tangentei și dreptei y=-2x+1. În primul rând, găsim coeficientul unghiular al tangentei, egal cu coeficientul unghiular al dreptei y=-2x+1. Deoarece f΄(a)=-2 pentru o linie dată, atunci k=-2 pentru tangenta dorită. Găsim derivata funcției (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Știind că f΄(a)=-2, găsim coordonatele punctului 3a 2 +6a-2=-2. După ce am rezolvat ecuația, obținem un 1 =0 și 2 =-2. Folosind coordonatele găsite, puteți găsi ecuația tangentei folosind un algoritm binecunoscut. Găsim valoarea funcției în punctele f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Valoarea derivatei în punctul f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substituind valorile găsite în ecuația tangentei, obținem pentru primul punct a 1 =0 y=-2x-2, iar pentru al doilea punct a 2 =-2 ecuația tangentei y=-2x-22.

Exemplul 3 descrie compoziția ecuației tangentei pentru trasarea acesteia în punctul (0;3) la graficul funcției y=√x. Rezolvarea se face folosind un algoritm binecunoscut. Punctul tangent are coordonatele x=a, unde a>0. Valoarea funcției în punctul f(a)=√x. Derivata funcției f΄(х)=1/2√х, deci la un punct dat f΄(а)=1/2√а. Înlocuind toate valorile obținute în ecuația tangentei, obținem y = √a + (x-a)/2√a. Transformând ecuația, obținem y=x/2√а+√а/2. Știind că tangenta trece prin punctul (0;3), găsim valoarea lui a. Găsim a de la 3=√a/2. Prin urmare √a=6, a=36. Găsim ecuația tangentei y=x/12+3. Figura prezintă graficul funcției luate în considerare și tangenta dorită construită.

Elevilor li se reamintesc egalitățile aproximative Δy=≈f΄(x)Δx și f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Luând x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obținem f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deci f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

În exemplul 4, este necesar să găsim valoarea aproximativă a expresiei 2.003 6. Deoarece este necesar să găsim valoarea funcției f(x)=x 6 în punctul x=2,003, putem folosi formula binecunoscută, luând f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivată în punctul f΄(2)=192. Prin urmare, 2,003 6 ≈65-192·0,003. După ce am calculat expresia, obținem 2,003 6 ≈64,576.

Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” este recomandată pentru utilizare într-o lecție tradițională de matematică la școală. Pentru un profesor care predă de la distanță, materialul video va ajuta la explicarea subiectului mai clar. Videoclipul poate fi recomandat elevilor să-l revizuiască singuri dacă trebuie să-și aprofundeze înțelegerea subiectului.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Știm că dacă un punct M (a; f(a)) (em cu coordonatele a și ef din a) aparține graficului funcției y = f (x) și dacă în acest punct este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe abscisa axei, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a) (eff prim din a).

Să fie date o funcție y = f(x) și un punct M (a; f(a)) și se știe de asemenea că f´(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul unei funcții date la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx+m (y este egal cu ka x plus em), deci sarcina este de a găsi valorile lui coeficienții k și m. (ka și em)

Coeficientul unghiului k= f"(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)). Aceasta înseamnă că dacă înlocuim coordonatele lui punctul M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă : f(a) = ka+m, de unde aflăm că m = f(a) - ka.

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților ki și m în ecuația dreptei:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(A)+ f"(A) (X- A). ( y este egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu x minus a).

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.

Dacă, să spunem, y = x 2 și x = -2 (adică a = -2), atunci f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, ceea ce înseamnă f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (atunci ef a lui a este egal cu patru, ef a primului lui x este egal cu doi x, ceea ce înseamnă ef prim din a este egal cu minus patru)

Înlocuind valorile găsite a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 în ecuație, obținem: y = 4+(-4)(x+2), adică y = -4x -4.

(E este egal cu minus patru x minus patru)

Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tanx (y este egal cu tangentei x) la origine. Avem: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , ceea ce înseamnă f"(0) = l. Înlocuind valorile găsite a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 în ecuație, obținem: y=x.

Să rezumam pașii noștri în găsirea ecuației tangentei la graficul unei funcții în punctul x folosind un algoritm.

ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFUL FUNCTIEI y = f(x):

1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.

2) Calculați f(a).

3) Aflați f´(x) și calculați f´(a).

4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f´(a) în formulă y= f(A)+ f"(A) (X- A).

Exemplul 1. Creați o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = - in

punctul x = 1.

Soluţie. Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Înlocuiți cele trei numere găsite: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 în formula. Se obține: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Răspuns: y = x-2.

Exemplul 2. Având în vedere funcția y = x 3 +3x 2 -2x-2. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x), paralelă cu dreapta y = -2x +1.

Folosind algoritmul de alcătuire a ecuației tangentei, ținem cont că în acest exemplu f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, dar abscisa punctului tangent nu este indicată aici.

Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = -2x+1. Și liniile paralele au coeficienți unghiulari egali. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: k tangentă. = -2. Hok cas. = f"(a). Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f ´(a) = -2.

Să găsim derivata funcției y=f(X):

f"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f„(a)= 3a 2 +6a-2.

Din ecuația f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 găsim a 1 =0, a 2 =-2. Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 0, cealaltă în punctul cu abscisa -2.

Acum puteți urma algoritmul.

1) a 1 =0 și 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Înlocuind valorile a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 în formulă, obținem:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Înlocuind valorile a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 în formula, obținem:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Răspuns: y=-2x-2, y=-2x+2.

Exemplul 3. Din punctul (0; 3) trageți o tangentă la graficul funcției y = . Soluţie. Sa folosim algoritmul de alcatuire a ecuatiei tangentei, tinand cont ca in acest exemplu f(x) = . Rețineți că aici, ca în exemplul 2, abscisa punctului tangent nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.

1) Fie x = a abscisa punctului de tangență; este clar că un >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Înlocuind valorile lui a, f(a) = , f"(a) = în formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), primim:

Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 3). Înlocuind valorile x = 0, y = 3 în ecuație, obținem: 3 = , iar apoi =6, a =36.

După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =36 în ecuație, obținem: y=+3

În fig. Figura 1 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: se construiește un grafic al funcției y =, se trasează o linie dreaptă y = +3.

Răspuns: y = +3.

Știm că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată în punctul x, egalitatea aproximativă este valabilă: Δyf´(x)Δx (delta y este aproximativ egal cu eff prim al lui x înmulțit cu delta x)

sau, mai detaliat, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff din x plus delta x minus ef din x este aproximativ egal cu ef prim din x prin delta x).

Pentru comoditatea discuțiilor ulterioare, să schimbăm notația:

în loc de x vom scrie A,

în loc de x+Δx vom scrie x

În loc de Δx vom scrie x-a.

Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff din x este aproximativ egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu diferența dintre x și a).

Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 2.003 6.

Soluţie. Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 6 în punctul x = 2,003. Să folosim formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ținând cont că în acest exemplu f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 și, prin urmare, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Ca rezultat obținem:

2,003 6 64+192· 0,003, i.e. 2,003 6 =64,576.

Dacă folosim un calculator, obținem:

2,003 6 = 64,5781643...

După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.

Tipul locului de muncă: 7

Condiție

Linia dreaptă y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului tangent este mai mică decât zero.

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul de tangență aparține simultan atât graficului funcția și tangenta, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. Conform condiției de abscisă, punctele tangente sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatelor. Tangenta la graficul unei functii

Condiție

Linia dreaptă y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Aflați abscisa punctului tangent.

Soluţie

Coeficientul unghiular al dreptei la graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este egal cu y"(x_0). Dar y"=-2x+5, ceea ce înseamnă y" (x_0)=-2x_0+5. Unghiar coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiție este egal cu -3. Paralele au aceiași coeficienți de pantă.De aceea, găsim o valoare x_0 astfel încât =- 2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatelor. Tangenta la graficul unei functii

Condiție

Soluţie

Din figură determinăm că tangenta trece prin punctele A(-6; 2) și B(-1; 1). Să notăm cu C(-6; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=-6 și y=1, iar cu \alpha unghiul ABC (se vede în figură că este acut). Apoi linia dreaptă AB formează un unghi \pi -\alpha cu direcția pozitivă a axei Ox, care este obtuză.

După cum se știe, tg(\pi -\alpha) va fi valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0. observa asta tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. De aici, folosind formulele de reducere, obținem: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatelor. Tangenta la graficul unei functii

Condiție

Linia dreaptă y=-2x-4 este tangentă la graficul funcției y=16x^2+bx+12. Aflați b, având în vedere că abscisa punctului tangent este mai mare decât zero.

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=16x^2+bx+12 prin care

este tangent la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=32x_0+b=-2. Pe de altă parte, punctul de tangență aparține simultan atât graficului funcția și tangenta, adică 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cazuri)

Rezolvând sistemul, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. Conform condiției de abscisă, punctele tangente sunt mai mari decât zero, deci x_0=1, apoi b=-2-32x_0=-34.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatelor. Tangenta la graficul unei functii

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y=6.

Soluţie

Linia dreaptă y=6 este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe acest grafic, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 4 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatelor. Tangenta la graficul unei functii

Condiție

Linia y=4x-6 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=x^2-4x+9. Aflați abscisa punctului tangent.

Soluţie

Panta tangentei la graficul funcției y=x^2-4x+9 într-un punct arbitrar x_0 este egală cu y"(x_0). Dar y"=2x-4, ceea ce înseamnă y"(x_0)= 2x_0-4.Panta tangentei y =4x-7, specificată în condiție, este egală cu 4. Dreptele paralele au aceiași coeficienți unghiulari.De aceea, găsim o valoare a x_0 astfel încât 2x_0-4 = 4. obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatelor. Tangenta la graficul unei functii

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x_0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0.

Soluţie

Din figură determinăm că tangenta trece prin punctele A(1; 1) și B(5; 4). Să notăm cu C(5; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=5 și y=1, iar cu \alpha unghiul BAC (se vede în figură că este acut). Apoi linia dreaptă AB formează un unghi \alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

Luați în considerare următoarea figură:

Acesta descrie o anumită funcție y = f(x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul M cu coordonatele (a; f(a)) este marcat. O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului.

Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.

Tangenta la graficul unei functii

Tangenta la graficul unei funcții este poziția limită a secantei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă către el.

În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila in punctul x0 este o anumita dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand un coeficient unghiular f’(x0).

Ecuația tangentei

Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea formă:

Deoarece coeficientul nostru de pantă este egal cu derivata f’(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f’(x0)*x + b.

Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 în punctul x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari obținem: y = 4*x - 7.

Răspuns: y = 4*x - 7.

Schema generala de alcatuire a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):

1. Determinați x0.

2. Calculați f(x0).

3. Calculați f’(x)