Cel lekcji: Dowiedz się, jak prowadzić badania nad funkcjami; zbudować ich wykresy.

Formularz: lekcja-rozmowa.

Metody: dialogi, pomoce wizualne i slajdy.

Sprzęt: ICT, tabele.

Podczas zajęć

I. Sprawdzanie pracy domowej.

Nauczyciel: - Chłopaki! Miałeś zadanie domowe „Punkty krytyczne funkcji, maksima i minima”. Zdefiniuj punkt krytyczny funkcji.

Student: - Punkt krytyczny to taki wewnętrzny punkt dziedziny definicji, w którym pochodna albo jest równa zeru, albo nie istnieje.

Nauczyciel: - Jak znaleźć punkty krytyczne?

Uczeń: - 1

) Znajdź pochodną funkcji;

2) Rozwiąż równanie: f "(x) = 0. Pierwiastkami tego równania są punkty krytyczne.

Nauczyciel: - Znajdź punkty krytyczne funkcji:

a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

b) f(x)= 4x - x 3 /3

a) 1) Znajdź pochodną tej funkcji:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) Rozwiąż równanie f "(x)=0<=>-2+14x =0<=>x=1/7

3) Ponieważ równanie f "(x) = 0 ma jeden pierwiastek, funkcja ta ma jeden punkt krytyczny x = 1/7.

b) 1) Znajdź pochodną tej funkcji: f "(x)= 4 - x 2

2) Rozwiąż równanie: f "(x)=0<=>4 - x 2 = 0<=>x = 2 lub x = -2

3) Ponieważ równanie f "(x) = 0 ma dwa pierwiastki, funkcja ta ma dwa punkty krytyczne x 1 = 2 i x 2 = -2.

II.Praca ustna.

Nauczyciel: - Chłopaki! Powtórzmy podstawowe pytania potrzebne do przestudiowania nowego tematu. Aby to zrobić, rozważ tabele ze zdjęciami ( Aneks 1).

Wskaż punkty, w których funkcja rośnie i maleje. Jak nazywają się te punkty?

Student: - Na rysunku a) - punkt K jest punktem maksymalnym, na rysunku b) - punkt M jest punktem maksymalnym.

Nauczyciel: - Wymień punkty minimalne funkcji.

Student: - Punkt K na rysunku c) id) jest punktem minimalnym funkcji.

Nauczyciel: - Jakie punkty mogą być ekstremami funkcji?

Student: - Punkty krytyczne mogą być ekstremami funkcji.

Nauczyciel: - Jakie znasz warunki konieczne?

Student: - Istnieje twierdzenie Fermata. Warunek konieczny ekstremum: Jeżeli punkt x 0 jest punktem ekstremalnym funkcji f i w tym punkcie występuje pochodna f”, to jest ona równa zeru: f”(x) = 0.

Nauczyciel: - Znajdź punkty krytyczne funkcji:

a) f(x) = | x |

b) f(x) = 2x + | x |

Student: - Rozważmy funkcję f(x) = | x | ( Załącznik 2). Funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0. Oznacza to, że 0 jest punktem krytycznym. Oczywiście w punkcie 0 funkcja ma minimum.

Student: - Rozważmy funkcję f(x) = 2x + | x | ( Dodatek 3). Z wykresu wynika, że ​​w punkcie 0 funkcja ta nie ma ekstremum. W tym momencie funkcja nie ma pochodnej.

Faktycznie, jeżeli założymy, że funkcja f ma pochodną w punkcie 0, to f(x) - 2x również ma pochodną w punkcie 0. Ale f(x) - 2x = | x | i funkcja | x | w punkcie 0 nie jest różniczkowalna, tj. doszliśmy do sprzeczności.

Oznacza to, że funkcja f w punkcie 0 nie ma pochodnej.

Nauczyciel: - Z twierdzenia Fermata wynika, że ​​szukając ekstremów, należy znaleźć punkty krytyczne. Jednak z rozważanych przykładów jasno wynika, że ​​aby ten punkt krytyczny był punktem ekstremalnym, potrzebny jest jakiś dodatkowy warunek.

Jakie znasz warunki wystarczające na istnienie ekstremum w punkcie?

Student: - Znak maksimum funkcji: Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, a f "(x)>0 na przedziale (a; x 0) i f "(x)<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

Oznacza to, że jeśli w punkcie x 0 pochodna zmienia znak z plusa na minus, to x 0 jest punktem maksymalnym.

Student: - Znak minimum: Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, a f „(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 na przedziale (x 0 ; b), wówczas punkt x 0 jest punktem minimalnym funkcji f.

Oznacza to, że jeśli w punkcie x 0 pochodna zmienia znak z minus na plus, to x 0 jest punktem minimalnym.

Nauczyciel: - Jaki znasz algorytm znajdowania ekstremów funkcji?

Student wyjaśnia algorytm badania funkcji f do jej ekstremum za pomocą pochodnej ( Dodatek 4) i znajduje ekstrema funkcji:

fa (x)= x 4 -2x 2

D (f) =IR i f jest ciągłe na całej osi liczbowej, jak cała funkcja wymierna.

2. f "(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).

3. f "(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.

Ryc.1 (znaki f ")

Ponieważ f jest ciągłe w punktach krytycznych, to z rysunku 1 ( Dodatek 5) jasne jest, że -1 i 1 są punktami minimalnymi, a 0 jest punktem maksymalnym funkcji f.

f min = f (-1) = f (1) = -1, f maks. = f (0) =0.

Nauczyciel: - Chłopaki! Przypomnijmy sobie algorytm znajdowania przedziałów monotoniczności funkcji f.

Student przypomina sobie algorytm znajdowania przedziałów monotoniczności funkcji f ( Załącznik 6).

Nauczyciel: - Znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji f podanej wzorem

f (x)= x 3 -12x

Rozwiązanie:

1. Ponieważ f(x) jest wielomianem, to D (f) =IR.

2. Funkcja f jest różniczkowalna na całej osi liczbowej i f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).

3. Punktami krytycznymi funkcji f mogą być tylko zera f ”(x).

fa "(x) =0<=>x = -2 V x=2.

D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).

Ryc. 2 (znaki f „).

Znajdź dziedziny definicji i wartości tej funkcji f.

Dowiedz się, czy funkcja ma cechy ułatwiające badania, czyli czy funkcja f:

a) parzysty lub nieparzysty;

b) okresowe.

3. Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami współrzędnych.

4. Znajdź przedziały znaku stałego funkcji f.

5. Dowiedz się, w jakich przedziałach funkcja f rośnie, a w jakich maleje.

6. Znajdź punkty ekstremalne (maksimum lub minimum) i oblicz wartości f w tych punktach.

7. Badać zachowanie funkcji f w sąsiedztwie punktów charakterystycznych nie objętych dziedziną definicji.

8. Konstruuj wykres funkcji.

Ten schemat jest przybliżony.

Biorąc pod uwagę wszystko, co zostało powiedziane, przeanalizujmy funkcję: f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 i skonstruujmy jej wykres.

Przeprowadźmy badanie według wskazanego schematu:

D (f ") =IR, ponieważ f (x) jest wielomianem.

Funkcja f nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ponieważ

fa (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)

Znajdźmy współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami współrzędnych:

a) z osią 0X, w tym celu rozwiązujemy równanie: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.

Korzystając z metody selekcji, możesz znaleźć jeden z pierwiastków (x = 1). Inne korzenie można znaleźć tylko w przybliżeniu. Dlatego dla tej funkcji nie znajdziemy pozostałych punktów przecięcia wykresu z osią odciętych i przedziałami znaku stałego.

b) z osią 0У: f(0)=2

Punkt A (0; 2) jest punktem przecięcia wykresu funkcji z osią 0Y.

Zauważyliśmy, że nie znajdziemy przedziałów stałości znaku.

Znajdźmy przedziały funkcji rosnącej i malejącej

a) f "(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)

D(f”) =IR, zatem nie ma punktów krytycznych, dla których f”(x) nie istnieje.

b) f "(x) = 0, jeśli x 2 (x 2 -1) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.

c) Otrzymujemy trzy punkty krytyczne, które dzielą linię współrzędnych na cztery przedziały. Wyznaczmy znak pochodnej na tych przedziałach:

Ryc.3 (znaki f ")

IV. Przypinanie nowego tematu. Rozwiązywanie problemów.

Nauczyciel: - Zbadaj funkcję i zbuduj jej wykres: f (x) = x 4 -2x 2 -3.

Student: - 1) D (f) = R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),

Oznacza to, że funkcja f jest parzysta. Jego badanie można przeprowadzić na przedziale, w którym funkcja rośnie od - do -4, zatem na tym przedziale równanie f (x) = 0 nie ma pierwiastków.

b) Na przedziale [-1; 2] równanie również nie ma pierwiastków, ponieważ w tym przedziale funkcja maleje od -4 do -31.

c) Na przedziale i maleje o [-∞;-1].

Punkty ekstremalne: x min = -1

Ekstrema funkcji: y min =y(-1)=1-2= -1

Rozdział III. Badanie funkcji.

3.1. Ogólny schemat badania funkcji.

Badając funkcję, musisz znać ogólny schemat badań:

1) D(y) – dziedzina definicji (zakres zmian zmiennej x)

2) E(y) – obszar wartości x (obszar zmiany zmiennej y)

3) Rodzaj funkcji: parzysta, nieparzysta, okresowa lub ogólna.

4) Punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami Ohi O (jeśli to możliwe).

5) Przedziały stałości znaków:

a) funkcja przyjmuje wartość dodatnią: f(x)>0

b) wartość ujemna: f(x)<0.

6) Przedziały monotoniczności funkcji:

a) wzrost;

b) malejące;

c) stałość (f=const).

7) Punkty ekstremalne (punkty minimalne i maksymalne)

8) Ekstrema funkcji (wartość funkcji w punktach minimalnych i maksymalnych)

9) Dodatkowe punkty.

Można je podjąć w celu dokładniejszego wykreślenia wykresu funkcji.

Należy zauważyć, że ekstrema funkcji f nie zawsze pokrywają się z największą i najmniejszą wartością funkcji.

3.2. Znak funkcji rosnących i malejących.

Jeśli zbudujesz wykres funkcji z kilku losowo wybranych punktów, łącząc je gładką linią, to nawet przy bardzo dużej liczbie losowo wybranych punktów może się okazać, że tak skonstruowany wykres będzie bardzo różnił się od wykres danej funkcji.

Jeśli podczas badania funkcji użyjesz pochodnej i znajdziesz tzw. punkty „odniesienia”, tj. punkty załamania, punkty maksymalne i minimalne, przedziały monotoniczności funkcji, to nawet przy niewielkiej liczbie takich punktów „odniesienia” otrzymamy prawidłowe wyobrażenie o wykresie funkcji.

Zanim przejdę do przykładów, podam niezbędne definicje i twierdzenia.

Wyznaczanie monotoniczności funkcji na przedziale Mówi się, że funkcja y=f(x) rośnie na pewnym przedziale, jeśli dla dowolnych punktów x 1 i x 2 tego przedziału z warunku x 1<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), to mówimy, że funkcja maleje w tym przedziale.

Wystarczający znak monotoniczności funkcji w przedziale. Twierdzenie: jeśli funkcja ma w każdym punkcie przedziału dodatnią (ujemną) pochodną, ​​to funkcja rośnie (maleje) w tym przedziale.

Twierdzenie to jest akceptowane bez dowodu w podręcznikach szkolnych.

Geometryczna interpretacja twierdzenia jest bardzo prosta, jeśli pamiętamy, że f’(x)=tgα, α jest nachyleniem stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie x. Jeśli na przykład f’ (x)>0 we wszystkich punktach pewnego przedziału, to styczna do wykresu z osią odciętych tworzy kąty ostre, co oznacza, że ​​wraz ze wzrostem x wzrasta również f(x). Jeśli f’ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Punkty krytyczne funkcji, maksima i minima.

Wyznaczanie ekstremów funkcji . Niech x 0 będzie punktem wewnętrznym z dziedziny definicji funkcji f(x). Wtedy jeśli istnieje takie δ - sąsiedztwo ] x 0 - δ, x 0 + δ [ punkty x 0 takie, że dla wszystkich x z tego otoczenia nierówność f(x)≤f(x 0) (nierówność f(x )≥f (x 0)), punkt x 0 nazywany jest punktem maksymalnym (punktem minimalnym) tej funkcji.

Punkty maksymalne i minimalne są punktami wewnętrznymi dziedziny definicji funkcji.

Niezbędny znak istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej .

Twierdzenie Fermata.

Jeżeli x 0 jest ekstremum funkcji f(x) i w tym miejscu istnieje pochodna, to jest ona równa zeru: f ’(x 0) = 0.

Twierdzenie to nie jest warunkiem wystarczającym na istnienie ekstremum funkcji różniczkowalnej: jeśli w pewnym punkcie x 0 pochodna zanika, to nie wynika z tego, że funkcja ma ekstremum w punkcie x 0.

Wyznaczanie punktów krytycznych funkcji . Punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji, w których jej pochodna jest równa zeru lub nie istnieje, nazywane są punktami krytycznymi funkcji.

Warunki wystarczające na istnienie ekstremum .

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0, f’(x)>0 na przedziale oraz f’(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0, f’(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 na przedziale , to x 0 jest punktem minimalnym funkcji f(x).

Aby znaleźć ekstrema funkcji, należy znaleźć jej punkty krytyczne i dla każdego z nich sprawdzić, czy spełnione są warunki wystarczające do wystąpienia ekstremum.

3.4. Największe i najmniejsze wartości funkcji.

Zasady znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji w przedziale. Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji różniczkowalnej w pewnym przedziale, należy znaleźć wszystkie punkty krytyczne leżące wewnątrz przedziału, obliczyć wartości funkcji w tych punktach i na końcach przedziału, i spośród wszystkich uzyskanych w ten sposób wartości funkcji wybierz największą i najmniejszą.

Rozdział IV. Przykłady zastosowania pochodnej do badania funkcji.

Przykład 11. Zbadaj funkcję y=x 3 +6x 2 +9x i narysuj wykres.

2) Określmy typ funkcji:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x funkcja postaci ogólnej.

x=0 lub x2 +6x+9=0

D=0, równanie ma jeden pierwiastek.

(0;0) i (-3;0) to punkty przecięcia z osią x.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, tj. 3x 2 +12x+9=0 zmniejsz o 3

D>0, równanie ma 2 pierwiastki.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Znajdź x min i x max:

8) Znajdź ekstrema funkcji:

y min =y(-1)=-1+6-9=-4

ymax =y(-3)=-27+54-27=0

9) Wykreślmy funkcję:

10) Dodatkowe punkty:

y(-4)=-64+96-36=-4

Przykład 12. Zbadaj funkcję y=x 2 /(x-2) i narysuj wykres

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Znajdźmy asymptoty funkcji:

x≠ 2, x=2 – asymptota pionowa

y=x+2 – asymptota ukośna, ponieważ

Znajdźmy dziedzinę definicji.

2) Określmy typ funkcji.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), funkcja w postaci ogólnej.

3) Znajdź punkty przecięcia z osiami.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – punkt przecięcia z osią y.

x=0 lub x=2 (2;0) – punkt przecięcia z osią x

4) Znajdź pochodną funkcji:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Określmy punkty krytyczne:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x ≠ 2

x 2 -4x=0, oraz (x-2) 2 ≠ 0, tj. x≠2

6) Wyznaczmy punkty krytyczne na osi współrzędnych i określmy znak funkcji.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Znajdź minimum i maksimum punktów funkcji:

8) Znajdź ekstrema funkcji:

ymin =y(4)=16/2=8

9) Wykreślmy funkcję:

10) Dodatkowe punkty:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Przykład 13. Zbadaj funkcję y=(6(x-1))/(x 2 +3) i skonstruuj wykres. 1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji:

2) Określmy typ funkcji:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) jest funkcją w postaci ogólnej.

3) Znajdź punkty przecięcia z osiami:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – punkt przecięcia z osią y.

(6(x-1))/(x2 +3)=0

Ox: y=0,<=>

4) Znajdź pochodną funkcji:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x 2 +3) 2

5) Określmy punkty krytyczne:

y’=0, tj. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, jeśli x 1 =-1 lub x 2 =3, to x=-1 i x=3, punkty krytyczne.

6) Oznaczmy punkty krytyczne na osi współrzędnych i określmy znak funkcji:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Znajdź minimum i maksimum punktów:

8) Znajdź ekstrema funkcji:

y min =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y maks. =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Wykreślmy funkcję:

10) Dodatkowe punkty:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Przykład 14. Zbadaj funkcję y=xlnx i wykreśl ją:

1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji:

D(y)=R + (tylko wartości dodatnie)

2) Określmy typ funkcji:

y(-x)=-xlnx - w postaci ogólnej.

3) Znajdź punkty przecięcia z osiami:

O y, ale x≠ 0, co oznacza, że ​​nie ma punktów przecięcia z osią y.

O x: y=0, czyli xlnx=0

x=0 lub lnx=0

(1;0) – punkt przecięcia z osią x

4) Znajdź pochodną funkcji:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Określmy punkty krytyczne:

y’=0, czyli lnx +1=0

y’=0, jeśli x=1/e, to x=1/e jest punktem krytycznym.

6) Oznaczmy punkty krytyczne na osi współrzędnych i określmy znak funkcji:

1/tj

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – minimalny punkt funkcji.

8) Znajdź ekstrema funkcji:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Wykreślmy funkcję:

Wniosek.

Wielu naukowców i filozofów pracowało nad tym tematem. Wiele lat temu powstały terminy: funkcja, graf, badanie funkcji i nadal są one zachowane, nabierając nowych cech i właściwości.

Wybrałem ten temat, ponieważ bardzo interesowało mnie przebycie tej ścieżki badań nad funkcją. Wydaje mi się, że wielu byłoby zainteresowanych poznaniem funkcji, jej właściwości i przekształceń. Pisząc ten esej, usystematyzowałem swoje umiejętności i poszerzyłem swoją wiedzę na ten temat.

Chciałbym zachęcić wszystkich do dalszego studiowania tego tematu.

Bibliografia.

1. Bashmakov, M.I. Algebra i początki analizy - M.: Edukacja, 1992.

2. Glazer, G.I. Historia matematyki w szkole - M.: Edukacja, 1983.

3. Gusiew, V.A. Matematyka: Materiały źródłowe - M.: Edukacja, 1888.

4. Dorofeev, G.V. Podręcznik matematyki dla rozpoczynających naukę na uniwersytetach – M.: Nauka, 1974.

5. Zorin, V.V. Podręcznik matematyki dla rozpoczynających naukę na uniwersytetach – M.: Szkoła Wyższa, 1980.

6. Kołmogorow A.N. Algebra i początki analizy - M.: Edukacja, 1993.

Cel lekcji: sprawdzenie umiejętności badania funkcji i sporządzania wykresów za pomocą pochodnych.

Część teoretyczna egzaminu.

pytania Określenie punktów minimalnych i maksymalnych.

Część teoretyczna egzaminu

1) Wyznaczenie punktu minimalnego.

Jeżeli funkcja jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu X 0, to wywoływany jest punkt X 0 minimalny punkt Funkcje f(x), jeśli istnieje takie otoczenie punktu X 0, że dla wszystkich xx 0 z tego otoczenia nierówność f(x)>f(x 0) jest spełniona.

Wyznaczanie punktu maksymalnego.

Jeżeli funkcja jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu X 0, to wywoływany jest punkt X 0 maksymalny punkt Funkcje f(x), jeśli istnieje takie otoczenie punktu X 0, że dla wszystkich x? x 0 z tego otoczenia nierówność f(x) jest spełniona

2) Wyznaczanie punktów krytycznych.

Punkty krytyczne to punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji, w których pochodna nie istnieje lub jest równa zeru.

3) Warunek konieczny, aby X 0 było punktem ekstremum : Ten punkt musi być krytyczny.

4) Algorytm znajdowania punktów krytycznych.

1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.

2. Znajdź pochodną funkcji.

3. Znajdź dziedzinę definicji pochodnej danej funkcji (aby ustalić, czy są punkty, w których pochodna nie istnieje. Jeżeli takie punkty istnieją, to sprawdź, czy są to punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji) funkcjonować.

4. Znajdź punkty, w których pochodna jest równa zeru, rozwiązując równanie: f „(x)=0.

Sprawdź, czy znalezione punkty są punktami wewnętrznymi dziedziny funkcji.

5) Punkty stacjonarne - punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru.

6) Twierdzenie Fermata. (Warunek wstępny ekstremum funkcji.)

y=f(x) jest funkcją zdefiniowaną w pewnym otoczeniu punktu X 0 i mającą w tym punkcie pochodną.

Twierdzenie: jeśli X 0 jest ekstremum funkcji różniczkowalnej f(x), to f "(x)=0.

7) Warunki wystarczające na istnienie ekstremum funkcjonuje w jednym punkcie.

y=f(x) jest zdefiniowane na (a;c). X 0 jest punktem krytycznym.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie X 0, a f”(x)>0 na przedziale (a; x 0) i f”(x)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является maksymalny punkt funkcji f.

(Uproszczenie: jeśli w punkcie X 0 pochodna zmienia znak z „+” na „_”, to X 0 istnieje punkt maksymalny.)

Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie X 0 i f „(x)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 na przedziale (X 0 ;в), to punkt x 0 wynosi minimalny punkt funkcji F.

(Sformułowanie uproszczone: jeśli w punkcie X 0 pochodna zmienia znak z „_” na „+”, to X 0 wynosi minimalny punkt.)

8) Wystarczający znak wzrostu, malejąco Funkcje .

Jeżeli f"(x)>0 dla wszystkich x z przedziału (a; b), to funkcja rośnie w przedziale (a; b).

Jeśli f „(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Jeśli na końcu przedziału funkcja jest ciągła, to można ją dodać do przedziału funkcji rosnącej (malejącej).)

9) Punkty ekstremalne, ekstremum funkcji.

X 0 – punkt maksymalny, X 0 – punkt minimalny punkty ekstremalne.

f(x 0) - maksimum funkcji,

f(x 0) - wywoływane jest minimum funkcji ekstrema funkcji.

10) Algorytm znajdowania ekstremów funkcji.

1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.

2. Znajdź pochodną funkcji.

3. Znajdź punkty krytyczne.

4. Wyznaczmy znak pochodnej na każdym z przedziałów, na jakie punkty krytyczne dzielą dziedzinę definicji.

5. Znajdźmy punkty ekstremalne, biorąc pod uwagę charakter zmiany znaku pochodnej.

6. Znajdźmy ekstrema funkcji.

11) Algorytm znajdowania największego i najmniejsze wartości funkcji w segmencie.

1. Znajdź wartości funkcji na końcach segmentu [a; V].

2. Znajdź wartości funkcji w tych punktach krytycznych, które należą do przedziału (a; b).

3. Spośród znalezionych wartości wybierz największą i najmniejszą.

Część praktyczna egzaminu

„Badanie funkcji za pomocą pochodnych.

Największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie”

a) punkty krytyczne funkcji,

b) ekstrema funkcji

c) największe i najmniejsze wartości funkcji w określonym przedziale

d) zbuduj wykres.

W zadaniu B15 proponuje się zbadać funkcję określoną wzorem na ekstrema. Jest to standardowe zadanie rachunku różniczkowego, a jego stopień trudności różni się znacznie w zależności od danej funkcji: niektóre można rozwiązać dosłownie ustnie, inne zaś wymagają poważnego przemyślenia.

Zanim zaczniesz studiować metody rozwiązywania, musisz zrozumieć niektóre terminy z zakresu analizy matematycznej. Zatem w zadaniu B15 należy znaleźć następujące wielkości, korzystając z pochodnej:

1. Lokalne maksimum (minimum) punkty – wartość zmiennej, przy której funkcja osiąga największą (najmniejszą) wartość. Takie punkty nazywane są także punktami ekstremalnymi.
2. Globalne maksimum (minimum) funkcji to największa (najmniejsza) wartość funkcji przy określonych ograniczeniach. Inna nazwa to globalne ekstrema.

W tym przypadku ekstremów globalnych szuka się zwykle nie w całej dziedzinie definicji funkcji, a jedynie w pewnym jej segmencie. Ważne jest, aby zrozumieć, że ekstremum globalne i wartość funkcji w punkcie ekstremum nie zawsze się pokrywają. Wyjaśnijmy to na konkretnym przykładzie:

Zadanie. Znajdź minimalny punkt i minimalną wartość funkcji y = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 1 na przedziale [-3; 3].

Najpierw znajdujemy punkt minimalny, dla którego obliczamy pochodną:
y’ = (2x 3 – 3x 2 – 12x + 1)’ = 6x 2 – 6x – 12.

Znajdźmy punkty krytyczne rozwiązując równanie y’ = 0. Otrzymujemy standardowe równanie kwadratowe:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Zaznaczmy te punkty na osi współrzędnych, dodajmy znaki pochodne i ograniczenia - końce odcinka:

Skala obrazu nie ma znaczenia. Najważniejsze jest, aby zaznaczyć punkty we właściwej kolejności. Ze szkolnych zajęć z matematyki wiemy, że w punkcie minimalnym pochodna zmienia znak z minus na plus. Liczenie zawsze przebiega od lewej do prawej - w kierunku dodatniej półosi. Dlatego istnieje tylko jeden punkt minimalny: x = 2.

Znajdźmy teraz minimalną wartość funkcji na przedziale [−3; 3]. Osiąga się to albo w punkcie minimalnym (wówczas staje się to globalnym punktem minimalnym), albo na końcu odcinka. Należy zauważyć, że na przedziale (2; 3) pochodna jest wszędzie dodatnia, co oznacza y(3) > y(2), więc prawy koniec odcinka można pominąć. Pozostały tylko punkty to x = −3 (lewy koniec odcinka) i x = 2 (punkt minimalny). Mamy:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Zatem najmniejsza wartość funkcji osiągana jest na końcu odcinka i wynosi −44.

Odpowiedź: x min = 2; ymin = −44

Z powyższego rozumowania wynika ważny fakt, o którym wiele osób zapomina. Funkcja przyjmuje wartość maksymalną (minimalną) niekoniecznie w punkcie ekstremalnym. Czasami wartość tę osiąga się na końcu odcinka i pochodna tam nie musi być równa zeru.

Schemat rozwiązywania problemów B15

Jeśli w zadaniu B15 chcesz znaleźć wartość maksymalną lub minimalną funkcji f(x) na przedziale, wykonaj następujące kroki:

1. Rozwiąż równanie f’(x) = 0. Jeśli nie ma pierwiastków, pomiń trzeci krok i przejdź od razu do czwartego.
2. Z powstałego zestawu korzeni skreśl wszystko, co leży poza segmentem. Oznaczmy pozostałe liczby x 1, x 2, ..., x n - z reguły będzie ich niewiele.
3. Podstawmy końce odcinka i punkty x 1, x 2, ..., x n do pierwotnej funkcji. Otrzymujemy zbiór liczb f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), z którego wybieramy największą lub najmniejszą wartość – będzie to odpowiedź.

Krótkie wyjaśnienie dotyczące przekreślania pierwiastków, gdy pokrywają się one z końcami odcinka. Można je również przekreślić, gdyż w czwartym kroku w dalszym ciągu podstawiamy końce odcinka do funkcji – nawet jeśli równanie f’(x) = 0 nie miało rozwiązań.

Zadanie. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 w przedziale [−5; 0].

Najpierw znajdźmy pochodną: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Następnie rozwiązujemy równanie: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Skreślamy pierwiastek x = 1, ponieważ nie należy on do odcinka [−5; 0].

Pozostaje obliczyć wartość funkcji na końcach odcinka i w punkcie x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 - 9 0 - 7 = -7.

Oczywiście największą wartością jest 20 – osiąga się ją w punkcie x = −3.

Rozważmy teraz przypadek, gdy trzeba znaleźć maksimum lub minimum punktu funkcji f(x) na odcinku. Jeśli segment nie jest określony, funkcję rozważa się w jej dziedzinie definicji. W każdym razie rozwiązanie jest następujące:

1. Znajdź pochodną funkcji: f’(x).
2. Rozwiąż równanie f’(x) = 0. Jeżeli pochodna jest funkcją wymierną ułamkową, dodatkowo dowiadujemy się, kiedy jej mianownik wynosi zero. Oznaczmy powstałe pierwiastki x 1 , x 2 , ..., x n .
3. Na osi współrzędnych zaznacz x 1, x 2, ..., x n i uporządkuj znaki, jakie pochodna przyjmuje pomiędzy tymi liczbami. Jeśli podany jest segment, zaznacz go i skreśl wszystko, co leży poza nim.
4. Wśród pozostałych punktów szukamy takiego, w którym znak pochodnej zmienia się z minus na plus (jest to punkt minimalny) lub z plusa na minus (punkt minimalny). Powinien być tylko jeden taki punkt - to będzie odpowiedź.

Uważny czytelnik zapewne zauważy, że dla niektórych funkcji algorytm ten nie działa. Rzeczywiście istnieje cała klasa funkcji, dla których znalezienie ekstremum wymaga bardziej skomplikowanych obliczeń. Jednak takich funkcji nie można znaleźć w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki.

Zwróć szczególną uwagę na rozmieszczenie znaków pomiędzy punktami x 1, x 2, ..., x n. Pamiętaj: przechodząc przez pierwiastek parzystej wielokrotności, znak pochodnej nie zmienia się. Szukając punktów skrajnych, znaki zawsze ogląda się od lewej do prawej, tj. w kierunku osi liczb.

Zadanie. Znajdź maksymalny punkt funkcji

na odcinku [−8; 8].

Znajdźmy pochodną:

Ponieważ jest to funkcja wymierna ułamkowa, przyrównujemy pochodną i jej mianownik do zera:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (drugi pierwiastek krotności).

Zaznaczmy punkty x = −5, x = 0 i x = 5 na osi współrzędnych, umieśćmy znaki i granice:

Oczywiście wewnątrz odcinka x = −5 pozostał tylko jeden punkt, w którym znak pochodnej zmienia się z plusa na minus. To jest maksymalny punkt.

Wyjaśnijmy jeszcze raz, czym punkty ekstremalne różnią się od samych ekstremów. Punkty ekstremalne to wartości zmiennych, przy których funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą wartość. Ekstrema to wartości samych funkcji, maksymalne lub minimalne w niektórych ich otoczeniach.

Oprócz zwykłych wielomianów i ułamkowych funkcji wymiernych, w zadaniu B15 występują następujące typy wyrażeń:

1. Funkcje irracjonalne
2. Funkcje trygonometryczne,
3. funkcje wykładnicze,
4. Funkcje logarytmiczne.

Z reguły nie ma problemów z funkcjami niewymiernymi. Pozostałe przypadki warto rozważyć bardziej szczegółowo.

Funkcje trygonometryczne

Główną trudnością związaną z funkcjami trygonometrycznymi jest to, że podczas rozwiązywania równań powstaje nieskończona liczba pierwiastków. Np. równanie sin x = 0 ma pierwiastki x = πn, gdzie n ∈ Z. No cóż, jak je zaznaczyć na osi współrzędnych, jeśli takich liczb jest nieskończenie wiele?

Odpowiedź jest prosta: musisz zastąpić określone wartości n. Rzeczywiście, w zadaniach B15 z funkcjami trygonometrycznymi zawsze występuje ograniczenie - odcinek. Dlatego na początek bierzemy n = 0, a następnie zwiększamy n, aż odpowiedni pierwiastek „wyleci” poza granice segmentu. Podobnie, zmniejszając n, bardzo szybko otrzymamy pierwiastek mniejszy niż dolna granica.

Łatwo wykazać, że na odcinku nie istnieją żadne pierwiastki poza tymi uzyskanymi w rozpatrywanym procesie. Rozważmy teraz ten proces na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź maksymalny punkt funkcji y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, należący do odcinka [−π/3; π/3].

Obliczamy pochodną: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.

Następnie rozwiązujemy równanie: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 lub x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Wszystko jest jasne z pierwiastkiem x = 0,2, ale wzór x = π/2 + πn wymaga dodatkowego przetwarzania. Zastąpimy różne wartości n, zaczynając od n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Ale π/2 > π/3, więc pierwiastek x = π/2 nie jest uwzględniony w pierwotnym segmencie. Ponadto im większe n, tym większe x, zatem nie ma sensu rozważać n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2. Ale −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Okazuje się, że na przedziale [−π/3; π/3] leży tylko z pierwiastkiem x = 0,2. Zaznaczmy to wraz ze znakami i granicami na linii współrzędnych:

Aby mieć pewność, że pochodna na prawo od x = 0,2 jest rzeczywiście ujemna, wystarczy podstawić wartość x = π/4 do y’. Zauważymy po prostu, że w punkcie x = 0,2 pochodna zmienia znak z plusa na minus, a zatem jest to punkt maksymalny.

Zadanie. Znajdź największą wartość funkcji y = 4tg x − 4x + π − 5 na przedziale [−π/4; π/4].

Obliczamy pochodną: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Następnie rozwiązujemy równanie: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Wyodrębnijmy pierwiastki z tego wzoru, podstawiając konkretne n, zaczynając od n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Ten pierwiastek nam odpowiada.
n = 1 ⇒ x = π. Ale π > π/4, więc pierwiastek x = π i wartości n > 1 należy przekreślić.
n = −1 ⇒ x = −π. Ale π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Z całej różnorodności pierwiastków pozostaje tylko jeden: x = 0. Dlatego obliczamy wartość funkcji dla x = 0, x = π/4 i x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 - 4 0 + π - 5 = π - 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) - 4 π/4 + π - 5 = -1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Teraz zauważ, że π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Należy zauważyć, że w ostatnim zadaniu można było nie porównywać liczb ze sobą. Przecież z liczb π – 5, 1 i 2π – 9 w formularzu odpowiedzi można wpisać tylko jedną. Rzeczywiście, jak zapisać, powiedzmy, liczbę π w formularzu? Ale nie ma mowy. Jest to ważna cecha pierwszej części Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki, która znacznie ułatwia rozwiązanie wielu problemów. I działa nie tylko w B15.

Czasami podczas badania funkcji powstają równania, które nie mają pierwiastków. W tym przypadku zadanie staje się jeszcze prostsze, ponieważ do rozważenia pozostają tylko końce segmentu.

Zadanie. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = 7sin x − 8x + 5 na przedziale [−3π/2; 0].

Najpierw znajdujemy pochodną: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Spróbujmy rozwiązać równanie: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Ale wartości cos x zawsze leżą w przedziale [-1; 1] i 8/7 > 1. Dlatego nie ma pierwiastków.

Jeśli nie ma korzeni, nie ma potrzeby niczego przekreślać. Przejdźmy do ostatniego kroku - oblicz wartość funkcji:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 - 8 0 + 5 = 5.

Ponieważ na arkuszu odpowiedzi nie można zapisać liczby 12π + 12, pozostaje tylko y = 5.

Funkcje wykładnicze

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja wykładnicza jest wyrażeniem postaci y = a x, gdzie a > 0. Jednak w zadaniu B15 występują tylko funkcje postaci y = e x, a w skrajnych przypadkach y = e kx + b. Powodem jest to, że pochodne tych funkcji oblicza się bardzo łatwo:

1. (e x)" = e x. Nic się nie zmieniło.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b. Po prostu dodaj współczynnik równy współczynnikowi zmiennej x. Jest to szczególny przypadek pochodnej funkcji zespolonej.

Cała reszta jest absolutnie standardowa. Oczywiście funkcje rzeczywiste w zadaniach B15 wyglądają poważniej, ale nie zmienia to schematu rozwiązania. Przyjrzyjmy się kilku przykładom, podkreślając jedynie główne punkty rozwiązania – bez szczegółowego uzasadnienia i komentarza.

Zadanie. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 w przedziale [−1; 5].

Pochodna: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Znajdź pierwiastki: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Obydwa pierwiastki leżą na odcinku [−1; 5]. Pozostaje znaleźć wartość funkcji we wszystkich punktach:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 - 5 0 + 5)e 0 - 3 = ... = 5 mi -3 ;
y(3) = (3 2 - 5 3 + 5) e 3 - 3 = ... = -1;
y(5) = (5 2 - 5 5 + 5) mi 5 - 3 = ... = 5 mi 2 .

Z czterech uzyskanych liczb w formularzu można zapisać tylko y = −1. Poza tym jest to jedyna liczba ujemna – będzie najmniejsza.

Zadanie. Znajdź największą wartość funkcji y = (2x − 7) e 8 − 2x na odcinku.

Pochodna: y’ = ((2x – 7) mi 8 – 2x)’ = ... = (16 – 4x) mi 8 – 2x = 4(4 – x) mi 8 – 2x .

Znajdź pierwiastki: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

Pierwiastek x = 4 należy do odcinka . Szukamy wartości funkcji:
y(0) = (2 0 - 7) e 8 - 2 0 = ... = -7 mi 8 ;
y(4) = (2 4 - 7) e 8 - 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 - 7) mi 8 - 2 6 = ... = 5 mi -4 .

Oczywiście odpowiedzią może być tylko y = 1.

Funkcje logarytmiczne

Analogicznie do funkcji wykładniczych, w zadaniu B15 spotykamy jedynie logarytmy naturalne, gdyż ich pochodną można łatwo obliczyć:

1. (lnx)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). W szczególności, jeśli b = 0, to (ln(kx))’ = 1/x.

Zatem pochodna będzie zawsze ułamkową funkcją wymierną. Pozostaje tylko zrównać tę pochodną i jej mianownik do zera, a następnie rozwiązać powstałe równania.

Aby znaleźć maksymalną lub minimalną wartość funkcji logarytmicznej, pamiętaj: logarytm naturalny staje się liczbą „normalną” tylko w punktach postaci e n. Na przykład ln 1 = ln e 0 = 0 jest zerem logarytmicznym i najczęściej do tego sprowadza się rozwiązanie. W innych przypadkach nie da się „usunąć” znaku logarytmu.

Zadanie. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 2 − 3x + ln x na odcinku.

Obliczamy pochodną:

Znajdujemy zera pochodnej i jej mianownik:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - tu nie ma o czym decydować.

Z trzech liczb x = 0, x = 0,5 i x = 1, tylko x = 1 leży wewnątrz odcinka, a liczba x = 0,5 jest jego końcem. Mamy:
y(0,5) = 0,5 2 - 3 0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 - 1,25;
y(1) = 1 2 - 3 1 + ln 1 = -2;
y(5) = 5 2 - 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Z trzech uzyskanych wartości tylko y = −2 nie zawiera znaku logarytmu – to będzie odpowiedź.

Zadanie. Znajdź największą wartość funkcji y = ln(6x) − 6x + 4 na odcinku.

Obliczamy pochodną:

Dowiadujemy się, kiedy pochodna lub jej mianownik są równe zeru:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - już postanowione.

Przekreślamy liczbę x = 0, ponieważ leży ona poza segmentem. Wartość funkcji obliczamy na końcach odcinka i w punkcie x = 1/6:
y(0,1) = ln(6 0,1) - 6 0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6 1/6) - 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.

Oczywiście jako odpowiedź może służyć tylko y = 3 – pozostałe wartości zawierają znak logarytmiczny i nie można ich zapisać na karcie odpowiedzi.

Jak badać funkcję i budować jej wykres?

Wydaje się, że zaczynam rozumieć duchowo wnikliwą twarz przywódcy światowego proletariatu, autora dzieł zebranych w 55 tomach… Długą podróż rozpoczęliśmy od podstawowych informacji nt funkcje i wykresy, a teraz praca nad pracochłonnym tematem kończy się logicznym rezultatem - artykułem o pełnym badaniu funkcji. Długo oczekiwane zadanie sformułowano w następujący sposób:

Zbadaj funkcję za pomocą metod rachunku różniczkowego i zbuduj jej wykres na podstawie wyników badania

Lub w skrócie: zbadaj funkcję i zbuduj wykres.

Po co eksplorować? W prostych przypadkach nie będzie nam trudno zrozumieć podstawowe funkcje i narysować uzyskany za pomocą wykres elementarne przekształcenia geometryczne i tak dalej. Jednak właściwości i reprezentacje graficzne bardziej złożonych funkcji są dalekie od oczywistych, dlatego potrzebne jest całe badanie.

Główne etapy rozwiązania podsumowano w materiale referencyjnym Schemat badania funkcji, to jest Twój przewodnik po tej sekcji. Manekiny potrzebują wyjaśnienia tematu krok po kroku, niektórzy czytelnicy nie wiedzą od czego zacząć i jak zorganizować swoje badania, a zaawansowani studenci mogą być zainteresowani tylko kilkoma punktami. Ale kimkolwiek jesteś, drogi gościu, proponowane podsumowanie ze wskazówkami do różnych lekcji szybko Cię zorientowa i poprowadzi w kierunku zainteresowań. Roboty roniły łzy =) Podręcznik został wydany w formie pliku pdf i zajął należne mu miejsce na stronie Wzory i tablice matematyczne.

Przyzwyczaiłem się do dzielenia badania funkcji na 5-6 punktów:

6) Dodatkowe punkty i wykres na podstawie wyników badań.

Jeśli chodzi o końcową akcję, myślę, że wszystko jest jasne dla wszystkich - będzie bardzo rozczarowujące, jeśli za kilka sekund zostanie przekreślone, a zadanie zwrócone do sprawdzenia. Głównym efektem rozwiązania jest PRAWIDŁOWY I DOKŁADNY RYSUNEK! Prawdopodobnie „zakryje” błędy analityczne, a błędny i/lub nieostrożny harmonogram spowoduje problemy nawet przy doskonale przeprowadzonym badaniu.

Należy zaznaczyć, że w innych źródłach liczba punktów badawczych, kolejność ich realizacji i styl projektowania mogą znacznie różnić się od zaproponowanego przeze mnie schematu, ale w większości przypadków jest to w zupełności wystarczające. Najprostsza wersja problemu składa się tylko z 2-3 etapów i jest sformułowana mniej więcej tak: „zbadaj funkcję za pomocą pochodnej i zbuduj wykres” lub „zbadaj funkcję za pomocą 1. i 2. pochodnej, zbuduj wykres”.

Naturalnie, jeśli w podręczniku szczegółowo opisano inny algorytm lub nauczyciel rygorystycznie wymaga, abyś przestrzegał jego wykładów, wówczas będziesz musiał wprowadzić pewne zmiany w rozwiązaniu. Nie trudniejsze niż zastąpienie widelca piły łańcuchowej łyżką.

Sprawdźmy funkcję parzystą/nieparzystą:

Następnie następuje szablon odpowiedzi:
, co oznacza, że ​​ta funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta.

Ponieważ funkcja jest ciągła na , nie ma asymptot pionowych.

Nie ma też asymptot ukośnych.

Notatka : Przypominam, że tym wyżej porządek wzrostu, niż , dlatego ostateczna granica wynosi dokładnie „ plus nieskończoność."

Przekonajmy się, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności:

Innymi słowy, jeśli pójdziemy w prawo, wykres pójdzie nieskończenie daleko w górę, jeśli pójdziemy w lewo, pójdziemy nieskończenie daleko w dół. Tak, w ramach jednego wpisu również obowiązują dwa limity. Jeśli masz trudności z rozszyfrowaniem znaków, zapraszamy do lekcji nt nieskończenie małe funkcje.

Zatem funkcja nie ograniczone z góry I nie ograniczone od dołu. Biorąc pod uwagę, że nie mamy punktów przerwania, staje się jasne zakres funkcji: – także dowolna liczba rzeczywista.

PRZYDATNA TECHNIKA TECHNICZNA

Każdy etap zadania wnosi nowe informacje o wykresie funkcji dlatego podczas rozwiązania wygodnie jest zastosować rodzaj UKŁADU. Narysujmy kartezjański układ współrzędnych na szkicu. Co już jest pewne? Po pierwsze, wykres nie ma asymptot, dlatego nie ma potrzeby rysowania linii prostych. Po drugie, wiemy jak funkcja zachowuje się w nieskończoności. Zgodnie z analizą dokonujemy pierwszego przybliżenia:

Należy pamiętać, że z powodu ciągłość funkcję włączoną oraz fakt, że wykres musi przynajmniej raz przeciąć oś. A może jest kilka punktów przecięcia?

3) Zera funkcji i przedziały znaku stałego.

Najpierw znajdźmy punkt przecięcia wykresu z osią rzędnych. To proste. Należy obliczyć wartość funkcji przy:

Półtora nad poziomem morza.

Aby znaleźć punkty przecięcia z osią (zera funkcji) musimy rozwiązać równanie i tutaj czeka nas niemiła niespodzianka:

Na końcu czai się wolny członek, co znacznie utrudnia zadanie.

Takie równanie ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i najczęściej ten pierwiastek jest irracjonalny. W najgorszej bajce czekają na nas trzy małe świnki. Równanie jest rozwiązywalne za pomocą tzw Formuły Cardano, ale zniszczenia papieru są porównywalne z niemal całym opracowaniem. W związku z tym rozsądniej jest spróbować wybrać przynajmniej jeden, ustnie lub w wersji roboczej. całyźródło. Sprawdźmy, czy są to liczby:
- nie pasujący;
- Jest!

Tutaj masz szczęście. W razie niepowodzenia można też przetestować i jeśli te liczby nie będą pasować, to obawiam się, że szanse na opłacalne rozwiązanie równania są bardzo nikłe. Wtedy lepiej całkowicie pominąć punkt badawczy - być może coś wyjaśni się na ostatnim etapie, kiedy zostaną przebite dodatkowe punkty. A jeśli pierwiastek(y) są wyraźnie „złe”, to lepiej skromnie milczeć na temat przedziałów stałości znaków i rysować ostrożniej.

Mamy jednak piękny pierwiastek, więc dzielimy wielomian bez reszty:

Algorytm dzielenia wielomianu przez wielomian został szczegółowo omówiony w pierwszym przykładzie lekcji Złożone granice.

W rezultacie lewa strona pierwotnego równania rozkłada się na produkt:

A teraz trochę o zdrowym stylu życia. Oczywiście, że to rozumiem równania kwadratowe należy rozwiązywać codziennie, ale dzisiaj zrobimy wyjątek: równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki.

Wykreślmy znalezione wartości na osi liczbowej I metoda interwałowa Zdefiniujmy znaki funkcji:


og Zatem w interwałach znajduje się harmonogram
poniżej osi x i w odstępach – powyżej tej osi.

Ustalenia pozwalają nam udoskonalić nasz układ, a drugie przybliżenie wykresu wygląda następująco:

Należy pamiętać, że funkcja musi mieć co najmniej jedno maksimum w przedziale i co najmniej jedno minimum w przedziale. Ale nie wiemy jeszcze, ile razy, gdzie i kiedy harmonogram będzie się powtarzał. Nawiasem mówiąc, funkcja może mieć nieskończenie wiele skrajności.

4) Rosnące, malejące i ekstrema funkcji.

Znajdźmy punkty krytyczne:

To równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Umieśćmy je na osi liczbowej i określmy znaki pochodnej:


Zatem funkcja wzrasta o i maleje o .
W punkcie, w którym funkcja osiąga maksimum: .
W tym momencie funkcja osiąga minimum: .

Ustalone fakty nadają naszemu szablonowi dość sztywne ramy:

Nie trzeba dodawać, że rachunek różniczkowy to potężna rzecz. W końcu zrozumiemy kształt wykresu:

5) Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia.

Znajdźmy punkty krytyczne drugiej pochodnej:

Zdefiniujmy znaki:


Wykres funkcji jest wypukły i wklęsły. Obliczmy rzędną punktu przegięcia: .

Prawie wszystko stało się jasne.

6) Pozostaje znaleźć dodatkowe punkty, które pomogą Ci dokładniej skonstruować wykres i przeprowadzić autotest. W tym przypadku jest ich niewiele, ale nie zaniedbamy ich:

Zróbmy rysunek:

Punkt przegięcia zaznaczony jest na zielono, dodatkowe punkty zaznaczono krzyżykami. Wykres funkcji sześciennej jest symetryczny względem punktu przegięcia, który zawsze znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy maksimum i minimum.

W miarę postępu zadania dostarczyłem trzy hipotetyczne rysunki tymczasowe. W praktyce wystarczy narysować układ współrzędnych, zaznaczyć znalezione punkty i po każdym punkcie badań oszacować w myślach, jak mógłby wyglądać wykres funkcji. Studentom o dobrym poziomie przygotowania nie będzie trudno przeprowadzić taką analizę wyłącznie w głowie, bez angażowania szkicu.

Aby rozwiązać to samodzielnie:

Przykład 2

Zbadaj funkcję i zbuduj wykres.

Tutaj wszystko jest szybsze i przyjemniejsze, przybliżony przykład ostatecznego projektu na koniec lekcji.

Badanie ułamkowych funkcji wymiernych ujawnia wiele tajemnic:

Przykład 3

Do badania funkcji należy zastosować metody rachunku różniczkowego i na podstawie wyników badania skonstruować jej wykres.

Rozwiązanie: pierwszy etap badań nie wyróżnia się niczym niezwykłym, z wyjątkiem dziury w obszarze definicyjnym:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu, domena: .

, co oznacza, że ​​ta funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta.

Wiadomo, że funkcja jest nieokresowa.

Wykres funkcji przedstawia dwie ciągłe gałęzie położone w lewej i prawej półpłaszczyźnie – to chyba najważniejszy wniosek z punktu 1.

2) Asymptoty, zachowanie funkcji w nieskończoności.

a) Wykorzystując granice jednostronne badamy zachowanie funkcji w pobliżu podejrzanego punktu, w którym powinna wyraźnie znajdować się asymptota pionowa:

Rzeczywiście, funkcje trwają niekończąca się przepaść w tym punkcie
a linia prosta (oś) jest pionowa asymptota sztuki graficzne.

b) Sprawdźmy, czy istnieją asymptoty ukośne:

Tak, jest prosto asymptota ukośna grafika, jeśli .

Analizowanie granic nie ma sensu, skoro wiadomo już, że funkcja obejmuje swoją asymptotę ukośną nie ograniczone z góry I nie ograniczone od dołu.

Drugi punkt badawczy dostarczył wielu ważnych informacji na temat funkcji. Zróbmy przybliżony szkic:

Wniosek nr 1 dotyczy przedziałów o stałym znaku. Przy „minus nieskończoności” wykres funkcji znajduje się wyraźnie poniżej osi x, a przy „plus nieskończoności” powyżej tej osi. Ponadto jednostronne granice powiedziały nam, że zarówno po lewej, jak i po prawej stronie punktu funkcja jest również większa od zera. Należy pamiętać, że w lewej półpłaszczyźnie wykres musi przynajmniej raz przeciąć oś x. W prawej półpłaszczyźnie funkcji nie może być zer.

Wniosek nr 2 jest taki, że funkcja rośnie na i na lewo od punktu (idzie „od dołu do góry”). Na prawo od tego punktu funkcja maleje (przechodzi „z góry na dół”). Prawa gałąź grafu z pewnością musi mieć przynajmniej jedno minimum. Po lewej stronie skrajności nie są gwarantowane.

Wniosek nr 3 dostarcza wiarygodnej informacji o wklęsłości wykresu w sąsiedztwie punktu. Nie możemy jeszcze nic powiedzieć o wypukłości/wklęsłości w nieskończoności, ponieważ prostą można docisnąć do asymptoty zarówno od góry, jak i od dołu. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje obecnie analityczny sposób, aby to ustalić, ale kształt wykresu stanie się jaśniejszy na późniejszym etapie.

Dlaczego tak wiele słów? Aby kontrolować kolejne punkty badawcze i unikać błędów! Dalsze obliczenia nie powinny zaprzeczać wyciągniętym wnioskom.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, przedziały znaku stałego funkcji.

Wykres funkcji nie przecina osi.

Metodą przedziałową wyznaczamy znaki:

, Jeśli ;
, Jeśli .

Wyniki tego punktu są w pełni zgodne z Konkluzją nr 1. Po każdym etapie zapoznaj się z projektem, sprawdź w myślach badania i uzupełnij wykres funkcji.

W rozważanym przykładzie licznik jest dzielony wyraz po wyrazie przez mianownik, co jest bardzo korzystne przy różnicowaniu:

Właściwie zostało to już zrobione przy znajdowaniu asymptot.

- punkt krytyczny.

Zdefiniujmy znaki:

wzrasta o i maleje o

W tym momencie funkcja osiąga minimum: .

Nie było też rozbieżności z Konkluzją nr 2 i najprawdopodobniej jesteśmy na dobrej drodze.

Oznacza to, że wykres funkcji jest wklęsły w całej dziedzinie definicji.

Świetnie – i nie musisz niczego rysować.

Nie ma punktów przegięcia.

Wklęsłość jest zgodna z Konkluzją nr 3, ponadto wskazuje, że w nieskończoności (zarówno tam, jak i tam) znajduje się wykres funkcji wyższy jego asymptota ukośna.

6) Sumiennie przypinamy zadanie dodatkowymi punktami. Tutaj będziemy musieli ciężko popracować, ponieważ z badań znamy tylko dwa punkty.

I obraz, który wiele osób zapewne wyobrażało sobie dawno temu:

Podczas realizacji zadania należy dokładnie zadbać o to, aby pomiędzy etapami badań nie było sprzeczności, ale czasami sytuacja jest pilna lub wręcz rozpaczliwie ślepa. Analityka „nie sumuje się” – to wszystko. W tym przypadku polecam technikę awaryjną: znajdujemy jak najwięcej punktów należących do wykresu (tyle mamy cierpliwości) i zaznaczamy je na płaszczyźnie współrzędnych. Graficzna analiza znalezionych wartości w większości przypadków powie Ci, gdzie jest prawda, a gdzie fałsz. Dodatkowo wykres można wstępnie zbudować za pomocą jakiegoś programu, np. w Excelu (oczywiście wymaga to umiejętności).

Przykład 4

Do badania funkcji i konstruowania jej wykresu należy stosować metody rachunku różniczkowego.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. W nim samokontrolę wzmacnia parzystość funkcji - wykres jest symetryczny względem osi i jeśli w Twoich badaniach jest coś, co temu zaprzecza, szukaj błędu.

Funkcję parzystą lub nieparzystą można badać tylko w , a następnie skorzystać z symetrii wykresu. To rozwiązanie jest optymalne, ale moim zdaniem wygląda bardzo nietypowo. Osobiście patrzę na całą oś liczbową, ale nadal znajduję dodatkowe punkty tylko po prawej stronie:

Przykład 5

Przeprowadź pełne badanie funkcji i skonstruuj jej wykres.

Rozwiązanie: sprawy się skomplikowały:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej: .

Oznacza to, że ta funkcja jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem początku.

Wiadomo, że funkcja jest nieokresowa.

2) Asymptoty, zachowanie funkcji w nieskończoności.

Ponieważ funkcja jest ciągła na , nie ma asymptot pionowych

Dla funkcji zawierającej wykładnik jest to typowe oddzielny badanie „plusa” i „minusu nieskończoności”, jednak życie ułatwia nam symetria wykresu - albo po lewej i prawej stronie jest asymptota, albo jej nie ma. Dlatego obie granice nieskończone można zapisać pod jednym wpisem. Podczas rozwiązania, którego używamy Reguła de l'Hopitala:

Linia prosta (oś) jest poziomą asymptotą wykresu w punkcie .

Proszę zwrócić uwagę, jak sprytnie ominąłem pełny algorytm znajdowania asymptoty ukośnej: granica jest w pełni legalna i wyjaśnia zachowanie funkcji w nieskończoności, a asymptota pozioma została odkryta „jak gdyby w tym samym czasie”.

Z ciągłości i istnienia asymptoty poziomej wynika, że ​​funkcja ograniczony powyżej I ograniczony poniżej.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, przedziały znaku stałego.

Tutaj również skracamy rozwiązanie:
Wykres przechodzi przez początek.

Nie ma innych punktów przecięcia z osiami współrzędnych. Ponadto przedziały stałości znaku są oczywiste i nie trzeba rysować osi: , co oznacza, że ​​znak funkcji zależy tylko od „x”:
, Jeśli ;
, Jeśli .

4) Rosnące, malejące, ekstrema funkcji.


- punkt krytyczny.

Punkty są symetryczne względem zera, tak jak powinno być.

Ustalmy znaki pochodnej:


Funkcja rośnie w przedziale i maleje w przedziałach

W punkcie, w którym funkcja osiąga maksimum: .

Ze względu na nieruchomość (dziwność funkcji) minimum nie trzeba obliczać:

Ponieważ funkcja maleje w przedziale, to oczywiście wykres znajduje się w „minus nieskończoności” pod jego asymptota. W przedziale funkcja również maleje, ale tutaj jest odwrotnie - po przejściu przez punkt maksymalny prosta zbliża się do osi od góry.

Z powyższego wynika również, że wykres funkcji jest wypukły w „minus nieskończoności” i wklęsły w „plus nieskończoności”.

Po tym punkcie badań wykreślono zakres wartości funkcji:

W przypadku niezrozumienia jakichkolwiek punktów jeszcze raz zachęcam do narysowania w zeszycie osi współrzędnych i z ołówkiem w dłoniach ponowne przeanalizowanie każdego zakończenia zadania.

5) Wypukłość, wklęsłość, załamania wykresu.

- punkt krytyczny.

Symetria punktów została zachowana i najprawdopodobniej się nie mylimy.

Zdefiniujmy znaki:


Wykres funkcji jest wypukły i wklęsły .

Potwierdzono wypukłość/wklęsłość w skrajnych odstępach.

We wszystkich krytycznych punktach wykresu występują załamania. Znajdźmy współrzędne punktów przegięcia i ponownie zmniejszmy liczbę obliczeń, korzystając z nieparzystości funkcji: