Neigiamojo skaičiaus išvestinė. Tipinės klaidos skaičiuojant išvestinę priemonę. Sumos ir skirtumo išvestinė

Pateikta funkcijų sumos ir skirtumo išvestinės formulė. Pateikiamas įrodymas ir išsamiai aptariami šios formulės taikymo pavyzdžiai.

Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinės formulė

Tegul ir yra nepriklausomo kintamojo x funkcijos. Tegul jie gali būti diferencijuojami tam tikrame kintamojo x verčių diapazone. Tada šioje srityje šių funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai (skirtumui):
(1) .

Įrodymas

Kadangi funkcijos ir yra diferencijuojamos , yra šios ribos, kurios yra šių funkcijų išvestinės:
;
.

Apsvarstykite kintamojo x funkciją y, kuri yra funkcijų suma ir:
.
Taikykime išvestinės apibrėžimą.


.

Taigi, mes įrodėme, kad funkcijų sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai:
.

Tuo pačiu būdu galite parodyti, kad funkcijų skirtumo išvestinė yra lygi išvestinių skirtumui:
.
Tai galima parodyti kitu būdu, naudojant ką tik įrodytą taisyklę, skirtą sumos diferencijavimui ir :
.

Šios dvi taisyklės gali būti parašytos kaip viena lygtis:
(1) .

Pasekmė

Aukščiau pažvelgėme į taisyklę, kaip rasti dviejų funkcijų sumos išvestinę. Šią taisyklę galima apibendrinti iki bet kokio diferencijuojamų funkcijų skaičiaus ir skirtumo.

Bet kurio baigtinio skaičiaus diferencijuojamų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi jų išvestinių sumai (skirtumui). Atsižvelgiant į konstantos pastatymo už išvestinės ženklo ribų taisyklę, šią taisyklę galima parašyti taip:
.
Arba išplėstine forma:
(2) .
Čia – konstantos;
- kintamojo x diferencijuojamos funkcijos.

Tyrimo įrodymai

Kai n = 2 , taikome taisyklę (1) ir konstantos pastatymo už išvestinės ženklo ribų taisyklę. Mes turime:
.
Kai n = 3 taikykite (1) formulę funkcijoms ir:
.

Savavališkam skaičiui n taikome indukcijos metodą. Tegul lygtis (2) tenkinama . Tada mes turime:

.
Tai reiškia, kad iš prielaidos, kad (2) lygtis yra patenkinta, išplaukia, kad (2) lygtis yra patenkinta . Ir kadangi (2) lygtis yra teisinga , ji tinka visiems .
Tyrimas įrodytas.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Skliaustų atidarymas. Norėdami tai padaryti, taikome formulę
.
Naudojame ir galios funkcijų savybes.
;

;
.

Funkcijų sumos ir skirtumo išvestinei taikome formulę (2).
.

Iš darinių lentelės randame:
.
Tada
;
;
.

Pagaliau turime:
.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu
.

Suveskime šaknis į galios funkcijas.
.
Taikome sumos ir skirtumo diferenciacijos taisyklę.
.
Taikome išvestinių lentelės formules.
;
;
;
;
;
.
Pakeiskime:
.
Sukeliame trupmenas į bendrą vardiklį.
.
Čia atsižvelgėme į tai, kad nurodyta funkcija yra apibrėžta .
.

Šioje pamokoje mokysimės taikyti diferenciacijos formules ir taisykles.

Pavyzdžiai. Raskite funkcijų išvestinius.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Taisyklės taikymas aš, formulės 4, 2 ir 1. Mes gauname:

y’ = 7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Mes sprendžiame panašiai, naudodami tas pačias formules ir formulę 3.

y’=3∙6x5–2=18x5–2.

Taisyklės taikymas aš, formulės 3, 5 Ir 6 Ir 1.

Taisyklės taikymas IV, formulės 5 Ir 1 .

Penktame pavyzdyje pagal taisyklę aš sumos išvestinė lygi išvestinių sumai, o mes ką tik radome 1-ojo nario išvestinę (pavyzdys 4 ), todėl rasime išvestinių 2-oji Ir 3 terminai ir už 1 d sumuoti galime iš karto parašyti rezultatą.

Atskirkime 2-oji Ir 3 terminai pagal formulę 4 . Norėdami tai padaryti, paverčiame vardikliuose esančias trečiosios ir ketvirtosios galių šaknis į laipsnius su neigiamais eksponentais, o tada pagal 4 formulę, randame galių išvestinius.

Pažvelkite į šį pavyzdį ir rezultatą. Ar pagavote modelį? gerai. Tai reiškia, kad turime naują formulę ir galime įtraukti ją į savo išvestinių išvestinių lentelę.

Išspręskime šeštąjį pavyzdį ir išveskime kitą formulę.

Pasinaudokime taisykle IV ir formulę 4 . Sumažinkime gautas trupmenas.

Pažiūrėkime į šią funkciją ir jos išvestinę. Jūs, žinoma, suprantate modelį ir esate pasirengę pavadinti formulę:

Mokykitės naujų formulių!

Pavyzdžiai.

1. Raskite argumento prieaugį ir funkcijos y= prieaugį x 2, jei pradinė argumento reikšmė buvo lygi 4 , ir naujas - 4,01 .

Sprendimas.

Nauja argumento reikšmė x=x 0 +Δx. Pakeiskime duomenis: 4.01=4+Δx, taigi argumento prieaugis Δх=4,01-4=0,01. Funkcijos prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui tarp naujos ir ankstesnės funkcijos reikšmių, t.y. Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Kadangi mes turime funkciją y=x2, Tai Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Atsakymas: argumentų prieaugis Δх=0,01; funkcijos padidėjimas Δу=0,0801.

Funkcijos prieaugį galima rasti skirtingai: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Raskite funkcijos grafiko liestinės polinkio kampą y=f(x) taške x 0, Jei f "(x 0) = 1.

Sprendimas.

Išvestinės vertė liesties taške x 0 ir yra liestinės kampo liestinės reikšmė (geometrinė išvestinės reikšmė). Mes turime: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, nes tg45°=1.

Atsakymas: šios funkcijos grafiko liestinė sudaro kampą, kurio teigiama Ox ašies kryptis lygi 45°.

3. Išveskite funkcijos išvestinės formulę y=x n.

Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės radimo veiksmas.

Ieškodami išvestinių, naudokite formules, kurios buvo išvestos remiantis išvestinės apibrėžimu, taip pat, kaip išvedėme išvestinio laipsnio formulę: (x n)" = nx n-1.

Tai yra formulės.

Darinių lentelė Ištarus žodines formuluotes bus lengviau įsiminti:

1. Pastovaus dydžio išvestinė lygi nuliui.

2. X pirminis yra lygus vienetui.

3. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo.

4. Laipsnio išvestinė yra lygi šio laipsnio rodiklio sandaugai laipsniu su ta pačia baze, bet rodiklis yra vienu mažesnis.

5. Šaknies išvestinė yra lygi vienetui, padalintam iš dviejų lygių šaknų.

6. Vieneto, padalyto iš x, išvestinė yra lygi minus vienas, padalytas iš x kvadratu.

7. Sinuso išvestinė lygi kosinusui.

8. Kosinuso išvestinė lygi minus sinusui.

9. Liestinės išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kosinuso kvadrato.

10. Kotangento išvestinė yra lygi minus vienetui, padalytam iš sinuso kvadrato.

Mes mokome diferenciacijos taisyklės.

1. Algebrinės sumos išvestinė lygi terminų išvestinių algebrinei sumai.

2. Produkto išvestinė yra lygi pirmojo ir antrojo veiksnio išvestinei, pridėjus pirmojo veiksnio ir antrojo išvestinės sandaugai.

3. „Y“ išvestinė, padalyta iš „ve“, yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra „y pirminis, padaugintas iš „ve“ atėmus „y padaugintas iš ve pirminio“, o vardiklis yra „ve kvadratas“.

4. Ypatingas formulės atvejis 3.

Mokykimės kartu!

1 puslapis iš 1 1

Natūralaus logaritmo išvestinės ir logaritmo iki a pagrindo formulių įrodymas ir išvedimas. Ln 2x, ln 3x ir ln nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės logaritmo išvestinės formulės įrodymas matematinės indukcijos metodu.

Taip pat žiūrėkite: Logaritmas – savybės, formulės, grafikas
Natūralusis logaritmas – savybės, formulės, grafikas

Natūralaus logaritmo ir logaritmo iki a pagrindo išvestinių formulių išvedimas

Natūralaus x logaritmo išvestinė yra lygi vienetui, padalytam iš x:
(1) (ln x)′ =.

Logaritmo išvestinė į bazę a yra lygi vienetui, padalytam iš kintamojo x, padauginta iš natūraliojo a logaritmo:
(2) (log a x)′ =.

Įrodymas

Tegul yra teigiamas skaičius, nelygus vienetui. Apsvarstykite funkciją, priklausančią nuo kintamojo x, kuris yra logaritmas su baze:
.
Ši funkcija apibrėžta adresu . Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu. Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba:
(3) .

Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti šiuos faktus:
A) Logaritmo savybės. Mums reikės šių formulių:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:
(7) .
Čia yra funkcija, kuri turi ribą ir ši riba yra teigiama.
IN) Antrosios nepaprastos ribos reikšmė:
(8) .

Taikykime šiuos faktus iki savo ribų. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Norėdami tai padaryti, taikome savybes (4) ir (5).

.

Naudokime savybę (7) ir antrąją reikšmingą ribą (8):
.

Ir galiausiai taikome nuosavybę (6):
.
Logaritmas iki pagrindo e paskambino natūralusis logaritmas. Jis žymimas taip:
.
Tada;
.

Taip gavome logaritmo išvestinės formulę (2).

Natūralaus logaritmo išvestinė

Dar kartą išrašome logaritmo išvestinės į bazę a formulę:
.
Ši formulė turi paprasčiausią natūraliojo logaritmo formą, kuriai , . Tada
(1) .

Dėl šio paprastumo natūralusis logaritmas labai plačiai naudojamas matematinėje analizėje ir kitose su diferencialiniu skaičiavimu susijusiose matematikos šakose. Logaritminės funkcijos su kitais pagrindais gali būti išreikštos natūraliu logaritmu, naudojant savybę (6):
.

Logaritmo išvestinę bazės atžvilgiu galima rasti iš (1) formulės, jei iš diferenciacijos ženklo išimsite konstantą:
.

Kiti logaritmo išvestinės įrodymo būdai

Čia darome prielaidą, kad žinome eksponentinės išvestinės formulę:
(9) .
Tada galime išvesti natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, atsižvelgiant į tai, kad logaritmas yra atvirkštinė eksponentinės funkcija.

Įrodykime natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, taikant atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę:
.
Mūsų atveju.
.
Natūraliojo logaritmo atvirkštinė funkcija yra eksponentinė:
.
Jo išvestinė nustatoma pagal (9) formulę. Kintamieji gali būti pažymėti bet kokia raide. (9) formulėje kintamąjį x pakeiskite y:
.
Tada
.
Nuo tada

Formulė įrodyta. Dabar įrodome natūraliojo logaritmo išvestinės formulę naudodami sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklės
.
. Kadangi funkcijos ir yra atvirkštinės viena kitai, tada
(10) .
Išskirkime šią lygtį kintamojo x atžvilgiu:
.
x išvestinė lygi vienetui:
.
Taikome sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę:
.
čia .
.

Pakeiskime (10):

Iš čia Pavyzdys Rasti išvestinius iš Ir 2x,.

3x lnnx Originalios funkcijos turi panašią formą. Todėl rasime funkcijos išvestinę y = log nx. Tada pakeičiame n = 2 ir n = 3. Ir taip gauname išvestinių formules Rasti išvestinius iš .

ln 2x
lnnx .
Ir
1) Funkcijos, priklausančios nuo kintamojo: ;
2) Funkcijos, priklausančios nuo kintamojo: .
Tada pradinė funkcija susideda iš funkcijų ir:
.

Raskime funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
.
Čia mes jį nustatome.

Taigi mes radome:
(11) .
Matome, kad išvestinė nepriklauso nuo n. Šis rezultatas yra gana natūralus, jei pradinę funkciją transformuosime naudodami sandaugos logaritmo formulę:
.
– tai konstanta. Jo išvestinė yra nulis. Tada pagal sumos diferenciacijos taisyklę turime:
.

; ; .

Modulio x logaritmo išvestinė

Raskime kitos labai svarbios funkcijos išvestinę – modulio x natūralųjį logaritmą:
(12) .

Panagrinėkime atvejį. Tada funkcija atrodo taip:
.
Jo darinys nustatomas pagal (1) formulę:
.

Dabar panagrinėkime atvejį. Tada funkcija atrodo taip:
,
Kur.
Tačiau aukščiau esančiame pavyzdyje taip pat radome šios funkcijos išvestinę. Jis nepriklauso nuo n ir yra lygus
.
Tada
.

Šiuos du atvejus sujungiame į vieną formulę:
.

Atitinkamai, kad logaritmas būtų pagrįstas a, turime:
.

Natūralaus logaritmo aukštesnių laipsnių išvestiniai

Apsvarstykite funkciją
.
Mes radome jo pirmosios eilės išvestinį:
(13) .

Raskime antros eilės išvestinę:
.
Raskime trečios eilės išvestinę:
.
Raskime ketvirtos eilės išvestinę:
.

Galite pastebėti, kad n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(14) .
Įrodykime tai matematine indukcija.

Įrodymas

Pakeiskime reikšmę n = 1 į formulę (14):
.
Nuo tada, kai n = 1 , galioja (14) formulė.

Tarkime, kad formulė (14) tenkinama, kai n = k. Įrodykime, kad tai reiškia, kad formulė galioja n = k + 1 .

Iš tiesų, n = k turime:
.
Atskirkite pagal kintamąjį x:

.
Taigi mes gavome:
.
Ši formulė sutampa su (14) formule, kai n = k + 1 . Taigi iš prielaidos, kad formulė (14) galioja n = k, išplaukia, kad formulė (14) galioja n = k + 1 .

Todėl n-osios eilės išvestinei formulė (14) galioja bet kuriam n.

Aukštesniųjų logaritmo eilių išvestiniai į bazę a

Norėdami rasti logaritmo n-osios eilės išvestinį pagrindą a, turite jį išreikšti natūraliu logaritmu:
.
Taikydami formulę (14), randame n-ąją išvestinę:
.

Darinys

Matematinės funkcijos išvestinės (diferenciacijos) skaičiavimas yra labai dažna problema sprendžiant aukštąją matematiką. Paprastoms (elementarioms) matematinėms funkcijoms tai yra gana paprastas dalykas, nes elementariųjų funkcijų išvestinių lentelės jau seniai buvo sudarytos ir yra lengvai prieinamos. Tačiau sudėtingos matematinės funkcijos išvestinės radimas nėra nereikšminga užduotis ir dažnai reikalauja didelių pastangų ir laiko.

Raskite išvestinę priemonę internete

Mūsų internetinė paslauga leidžia atsikratyti beprasmiškų ilgų skaičiavimų ir rasti išvestinį internete per vieną akimirką. Be to, naudodamiesi mūsų svetainėje esančia paslauga www.svetainė, galite paskaičiuoti internetinis darinys tiek iš elementarios funkcijos, tiek iš labai sudėtingos, kuri neturi analitinio sprendimo. Pagrindiniai mūsų svetainės pranašumai, lyginant su kitomis, yra šie: 1) nėra griežtų reikalavimų matematinės funkcijos įvedimo būdui apskaičiuojant išvestinę (pavyzdžiui, įvesdami funkciją sinusas x galite įvesti kaip sin x arba sin (x) arba sin[x] ir tt d.); 2) internetinis išvestinis apskaičiavimas įvyksta akimirksniu prisijungęs ir absoliučiai nemokamai; 3) leidžiame rasti funkcijos išvestinę bet koks užsakymas, keisti išvestinės eilės tvarką labai lengva ir suprantama; 4) leidžiame internete rasti beveik bet kokios matematinės funkcijos išvestį, net ir labai sudėtingų, kurių negali išspręsti kitos paslaugos. Pateiktas atsakymas visada yra tikslus ir jame negali būti klaidų.

Naudodamiesi mūsų serveriu galėsite 1) apskaičiuoti išvestinę priemonę internetu už jus, pašalindami daug laiko reikalaujančius ir varginančius skaičiavimus, kurių metu galite padaryti klaidą ar rašybos klaidą; 2) jei matematinės funkcijos išvestinę skaičiuojate patys, tuomet suteikiame galimybę gautą rezultatą palyginti su mūsų paslaugos skaičiavimais ir įsitikinti, kad sprendimas yra teisingas ar rasti įsivėlė klaidą; 3) naudotis mūsų paslauga, o ne naudoti paprastų funkcijų išvestinių lenteles, kuriose dažnai reikia laiko surasti norimą funkciją.

Viskas, ko iš jūsų reikalaujama, yra rasti išvestinį internete- yra naudotis mūsų paslauga

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtingos funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.