Lo scopo della lezione: Imparare come condurre ricerche sulle funzioni; costruire i loro grafici.

Modulo: conversazione-lezione.

Metodi: dialoghi, aiuti visivi e diapositive.

Attrezzatura: ICT, tabelle.

Durante le lezioni

I. Controllo i compiti.

Insegnante: - Ragazzi! Avevi dei compiti "Punti critici di una funzione, massimi e minimi". Definire il punto critico di una funzione.

Studente: - Un punto critico è un punto interno del dominio di definizione in cui la derivata è uguale a zero o non esiste.

Insegnante: - Come trovare i punti critici?

Studente: - 1

) Trovare la derivata della funzione;

2) Risolvi l'equazione: f "(x) = 0. Le radici di questa equazione sono punti critici.

Docente: - Trovare i punti critici delle funzioni:

a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

b) f(x)= 4x - x 3 /3

a) 1) Trova la derivata di questa funzione:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) Risolvi l'equazione f "(x)=0<=>-2+14x =0<=>x=1/7

3) Poiché l'equazione f "(x) = 0 ha una radice, questa funzione ha un punto critico x = 1/7.

b) 1) Trova la derivata di questa funzione: f "(x)= 4 - x 2

2) Risolvi l'equazione: f "(x)=0<=>4 -x2 = 0<=>x = 2 o x = -2

3) Poiché l'equazione f "(x) = 0 ha due radici, questa funzione ha due punti critici x 1 = 2 e x 2 = -2.

II.Lavoro orale.

Insegnante: - Ragazzi! Ripetiamo le domande fondamentali necessarie per studiare un nuovo argomento. Per fare ciò, considera le tabelle con immagini ( Allegato 1).

Indicare i punti in cui la funzione aumenta e diminuisce. Come si chiamano questi punti?

Studente: - Nella figura a) - il punto K è il punto massimo, nella figura b) - il punto M è il punto massimo.

Insegnante: - Nomina i punti minimi della funzione.

Studente: - Il punto K nelle figure c) ed) è il punto minimo della funzione.

Insegnante: - Quali punti possono essere estremi della funzione?

Studente: - I punti critici possono essere punti estremi di una funzione.

Insegnante: - Quali condizioni necessarie conosci?

Studente: - Esiste il teorema di Fermat. Condizione necessaria per un estremo: Se il punto x 0 è il punto estremo della funzione f e in questo punto esiste una derivata f ", allora è uguale a zero: f "(x) = 0.

Docente: - Trovare i punti critici per la funzione:

a) f(x) = | x|

b) f(x) = 2x + | x|

Studente: - Considera la funzione f(x) = | x| ( appendice 2). Questa funzione non ha una derivata in 0. Ciò significa che 0 è un punto critico. Ovviamente nel punto 0 la funzione ha un minimo.

Studente: - Considera la funzione f(x) = 2x + | x| ( Appendice 3). Il grafico mostra che nel punto 0 questa funzione non ha estremi. A questo punto la funzione non ha derivata.

Infatti, se assumiamo che la funzione f abbia derivata nel punto 0, allora anche f(x) - 2x ha derivata nel punto 0. Ma f(x) - 2x = | x | e la funzione | x| al punto 0 non è differenziabile, cioè siamo arrivati ​​ad una contraddizione.

Ciò significa che la funzione f nel punto 0 non ha derivata.

Insegnante: - Dal teorema di Fermat segue che quando si trovano i punti estremi, è necessario trovare i punti critici. Ma dagli esempi considerati è chiaro che affinché questo punto critico possa essere un punto estremo sono necessarie alcune condizioni aggiuntive.

Quali condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo in un punto conosci?

Alunno: - Segno di massimo della funzione: Se la funzione f è continua nel punto x 0, e f "(x)>0 sull'intervallo (a; x 0) e f "(x)<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

Cioè, se nel punto x 0 la derivata cambia segno da più a meno, allora x 0 è il punto massimo.

Alunno: - Segno minimo: Se la funzione f è continua nel punto x 0, e f "(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 sull'intervallo (x 0 ; b), allora il punto x 0 è il punto di minimo della funzione f.

Cioè, se nel punto x 0 la derivata cambia segno da meno a più, allora x 0 è il punto di minimo.

Insegnante: - Quale algoritmo conosci per trovare i punti estremi di una funzione?

Lo studente spiega l'algoritmo per studiare la funzione f fino al suo estremo utilizzando la derivata ( Appendice 4) e trova i punti estremi della funzione:

f(x)=x4 -2x2

D (f) = IR e f è continua su tutta la linea numerica, come un'intera funzione razionale.

2. f "(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).

3. f "(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.

Fig.1 (segni f ")

Poiché f è continua nei punti critici, dalla Figura 1 ( Appendice 5) è chiaro che -1 e 1 sono i punti di minimo, e 0 è il punto di massimo della funzione f.

fmin = f(-1) = f(1) = -1, fmax = f(0) =0.

Insegnante: - Ragazzi! Ricordiamo l'algoritmo per trovare gli intervalli di monotonicità di una funzione f.

Lo studente ricorda l'algoritmo per trovare intervalli di monotonicità della funzione f ( Appendice 6).

Insegnante: - Trova gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione f dati dalla formula

f(x)= x3 -12x

Soluzione:

1. Poiché f(x) è un polinomio, allora D (f) =IR.

2. La funzione f è differenziabile su tutta la linea numerica e f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).

3. I punti critici di una funzione f possono essere solo gli zeri di f "(x).

f"(x) =0<=>x = -2 Vx=2.

D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).

Fig.2 (segni f ").

Trova i domini di definizione e i valori di questa funzione f.

Scopri se la funzione ha caratteristiche che facilitano la ricerca, cioè se la funzione f:

a) pari o dispari;

b) periodico.

3. Calcola le coordinate dei punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate.

4. Trova gli intervalli di segno costante della funzione f.

5. Scopri su quali intervalli la funzione f aumenta e su quali diminuisce.

6. Trova i punti estremi (massimo o minimo) e calcola i valori di f in questi punti.

7. Investigare il comportamento della funzione f in prossimità di punti caratteristici non compresi nel dominio di definizione.

8. Costruisci un grafico della funzione.

Questo diagramma è approssimativo.

Tenendo conto di tutto quanto detto, esaminiamo la funzione: f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 e costruiamo il suo grafico.

Conduciamo uno studio secondo lo schema indicato:

D (f ") = IR, poiché f (x) è un polinomio.

La funzione f non è né pari né dispari, poiché

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)

Troviamo le coordinate dei punti di intersezione del grafico con gli assi coordinati:

a) con l'asse 0X, per questo risolviamo l'equazione: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.

Usando il metodo di selezione, puoi trovare una delle radici (x = 1). Altre radici possono essere trovate solo approssimativamente. Pertanto, per questa funzione, non troveremo i restanti punti di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse e gli intervalli di segno costante.

b) con asse 0У: f(0)=2

Il punto A (0; 2) è il punto di intersezione del grafico della funzione con l'asse 0Y.

Abbiamo notato che non troveremo intervalli di costanza di segno.

Troviamo gli intervalli della funzione crescente e decrescente

a) f "(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)

D(f") =IR, quindi non esistono punti critici per i quali f"(x) non esiste.

b) f "(x) = 0, se x 2 (x 2 -1) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.

c) Otteniamo tre punti critici; dividono la linea coordinata in quattro intervalli. Determiniamo il segno della derivata su questi intervalli:

Fig.3 (segni f ")

IV. Appuntare un nuovo argomento. Risoluzione dei problemi.

Insegnante: - Esplora la funzione e costruisci il suo grafico: f (x) = x 4 -2x 2 -3.

Studente: - 1) D (f) = R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),

Ciò significa che la funzione f è pari. Il suo studio può essere effettuato sull'intervallo in cui la funzione aumenta da - a -4, quindi su questo intervallo l'equazione f (x) = 0 non ha radici.

b) Nell'intervallo [-1; 2] anche l'equazione non ha radici, poiché su questo intervallo la funzione diminuisce da -4 a -31.

c) Sull'intervallo e diminuisce di [-∞;-1].

Punti estremi: x min = -1

Estremi della funzione: y min =y(-1)=1-2= -1

Capitolo III. Ricerca di funzioni.

3.1. Schema generale per lo studio delle funzioni.

Quando si esamina una funzione, è necessario conoscere lo schema generale di ricerca:

1) D(y) – dominio di definizione (intervallo di variazione della variabile x)

2) E(y) – area del valore x (area di cambiamento della variabile y)

3) Tipo di funzione: funzione pari, dispari, periodica o generale.

4) Punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi Ohi O (se possibile).

5) Intervalli di costanza dei segni:

a) la funzione assume un valore positivo: f(x)>0

b) valore negativo: f(x)<0.

6) Intervalli di monotonia della funzione:

a) aumentare;

b) decrescente;

c) costanza (f=const).

7) Punti estremi (punti minimo e massimo)

8) Funzione estremi (valore della funzione nei punti minimo e massimo)

9) Punti aggiuntivi.

Possono essere presi per tracciare in modo più accurato il grafico della funzione.

Va notato che gli estremi della funzione f non sempre coincidono con i valori più grande e più piccolo della funzione.

3.2. Un segno di funzioni crescenti e decrescenti.

Se costruisci un grafico di una funzione utilizzando alcuni punti selezionati casualmente, collegandoli con una linea morbida, quindi anche con un numero molto elevato di punti selezionati casualmente, potrebbe risultare che il grafico costruito in questo modo sarà molto diverso da quello grafico della funzione data.

Se usi la derivata quando studi una funzione e trovi i cosiddetti punti di “riferimento”, cioè punti di interruzione, punti di massimo e minimo, intervalli di monotonicità di una funzione, quindi anche con un piccolo numero di tali punti di “riferimento” avremo un'idea corretta del grafico della funzione.

Prima di passare agli esempi, fornirò le definizioni e i teoremi necessari.

Determinazione della monotonicità di una funzione su un intervallo Una funzione y=f(x) si dice crescente su un intervallo se per ogni punto x 1 ex 2 di questo intervallo dalla condizione x 1<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), allora la funzione si dice decrescente in questo intervallo.

Un segno sufficiente della monotonicità di una funzione nell'intervallo. Teorema: se una funzione ha una derivata positiva (negativa) in ogni punto dell'intervallo, allora la funzione aumenta (diminuisce) su questo intervallo.

Questo teorema è accettato senza dimostrazione nei libri di testo scolastici.

L’interpretazione geometrica del teorema è molto semplice se ricordiamo che f ’(x)=tgα, α è la pendenza della tangente al grafico della funzione in un dato punto x. Se, ad esempio, f ' (x)>0 in tutti i punti di un certo intervallo, allora la tangente al grafico con l'asse delle ascisse forma angoli acuti, il che significa che all'aumentare di x aumenta anche f(x). Se f' (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Punti critici di una funzione, massimi e minimi.

Determinazione dei punti estremi di una funzione . Sia x 0 un punto interno al dominio di definizione della funzione f(x). Allora, se esiste un tale δ - intorno ] x 0 - δ, x 0 + δ [ punti x 0 tale che per tutti gli x di questo intorno la disuguaglianza f(x)≤f(x 0) (la disuguaglianza f(x )≥f (x 0)), il punto x 0 è chiamato punto massimo (punto minimo) di questa funzione.

I punti massimo e minimo sono punti interni del dominio di definizione della funzione.

Un segno necessario dell'esistenza di un estremo di una funzione differenziabile .

Il teorema di Fermat.

Se x 0 è il punto estremo della funzione f(x) e in questo punto esiste la derivata, allora è uguale a zero: f ’(x 0) = 0.

Questo teorema non è una condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione differenziabile: se in un punto x 0 la derivata svanisce, allora non ne consegue che la funzione abbia un estremo nel punto x 0.

Determinazione dei punti critici di una funzione . I punti interni del dominio di definizione di una funzione in cui la sua derivata è uguale a zero o non esiste sono detti punti critici della funzione.

Condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo .

Teorema 1. Se la funzione f(x) è continua nel punto x 0, f’(x)>0 sull’intervallo e f’(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Teorema 2. Se la funzione f(x) è continua nel punto x 0, f'(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 sull'intervallo , allora x 0 è il punto di minimo della funzione f(x).

Per trovare i punti estremi di una funzione, è necessario trovare i suoi punti critici e per ciascuno di essi verificare se sono soddisfatte le condizioni sufficienti per l'estremo.

3.4. I valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Regole per trovare i valori più grandi e più piccoli delle funzioni nell'intervallo. Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione differenziabile in un certo intervallo, è necessario trovare tutti i punti critici che si trovano all'interno dell'intervallo, calcolare i valori della funzione in questi punti e alle estremità dell'intervallo, e seleziona il più grande e il più piccolo tra tutti i valori della funzione così ottenuti.

Capitolo IV. Esempi di applicazione della derivata allo studio di una funzione.

Esempio 11. Esplora la funzione y=x 3 +6x 2 +9x e disegna un grafico.

2) Determiniamo il tipo di funzione:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x funzione di forma generale.

x=0 oppure x2+6x+9=0

D=0, l'equazione ha una radice.

(0;0) e (-3;0) sono i punti di intersezione con l'asse x.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, cioè 3x 2 +12x+9=0 riduci di 3

D>0, l'equazione ha 2 radici.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y'=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Trova x min e x max:

8) Trova gli estremi della funzione:

ymin =y(-1)=-1+6-9=-4

ymax =y(-3)=-27+54-27=0

9) Tracciamo la funzione:

10) Punti aggiuntivi:

y(-4)=-64+96-36=-4

Esempio 12. Esplora la funzione y=x 2 /(x-2) e traccia un grafico

y=x2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Troviamo gli asintoti della funzione:

x≠ 2, x=2 – asintoto verticale

y=x+2 – asintoto obliquo, perché

Troviamo il dominio di definizione.

2) Determiniamo il tipo di funzione.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), una funzione di forma generale.

3) Trovare i punti di intersezione con gli assi.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – punto di intersezione con l'asse y.

x=0 oppure x=2 (2;0) – punto di intersezione con l'asse x

4) Trova la derivata della funzione:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2)2 =(x2 -4x)/(x-2)2

5) Determiniamo i punti critici:

x2-4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0 e (x-2) 2 ≠ 0, cioè x≠ 2

6) Designiamo i punti critici sulla linea delle coordinate e determiniamo il segno della funzione.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Trovare i punti di minimo e massimo della funzione:

8) Trova gli estremi della funzione:

ymin =y(4)=16/2=8

9) Tracciamo la funzione:

10) Punti aggiuntivi:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Esempio 13. Esplora la funzione y=(6(x-1))/(x 2 +3) e costruisci un grafico. 1) Trovare il dominio di definizione della funzione:

2) Determiniamo il tipo di funzione:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) è una funzione di forma generale.

3) Trovare i punti di intersezione con gli assi:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – punto di intersezione con l'asse y.

(6(x-1))/(x2+3)=0

Ox: y=0,<=>

4) Trova la derivata della funzione:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x2+3)2

5) Determiniamo i punti critici:

y’=0, cioè -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2 =0

y’=0, se x 1 =-1 oppure x 2 =3, allora x=-1 e x=3, punti critici.

6) Indichiamo i punti critici sulla linea delle coordinate e determiniamo il segno della funzione:

-3 2

x=-2, y'=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Trova i punti minimo e massimo:

8) Trova gli estremi della funzione:

ymin =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

ymax =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Tracciamo la funzione:

10) Punti aggiuntivi:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Esempio 14. Esplora la funzione y=xlnx e tracciala:

1) Trovare il dominio di definizione della funzione:

D(y)=R+ (solo valori positivi)

2) Determiniamo il tipo di funzione:

y(-x)=-xlnx - di forma generale.

3) Trovare i punti di intersezione con gli assi:

O y, ma x≠ 0, il che significa che non ci sono punti di intersezione con l'asse y.

O x: y=0, cioè xlnx=0

x=0 o lnx=0

(1;0) – punto di intersezione con l'asse x

4) Trova la derivata della funzione:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Determiniamo i punti critici:

y’=0, cioè lnx +1=0

y’=0, se x=1/e, allora x=1/e è il punto critico.

6) Indichiamo i punti critici sulla linea delle coordinate e determiniamo il segno della funzione:

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – punto di minimo della funzione.

8) Trova gli estremi della funzione:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Tracciamo la funzione:

Conclusione.

Molti scienziati e filosofi hanno lavorato su questo argomento. Molti anni fa hanno avuto origine questi termini: funzione, grafico, studio della funzione, e ancora oggi si sono conservati, acquisendo nuove funzionalità e caratteristiche.

Ho scelto questo argomento perché mi interessava molto intraprendere questo percorso di ricerca sulla funzione. Mi sembra che molti sarebbero interessati a saperne di più sulla funzione, sulle sue proprietà e trasformazioni. Completando questo saggio, ho sistematizzato le mie competenze e ampliato le mie conoscenze su questo argomento.

Vorrei incoraggiare tutti ad approfondire questo argomento.

Bibliografia.

1. Bashmakov, M.I. L'algebra e l'inizio dell'analisi - M.: Education, 1992.

2. Glazer, G.I. Storia della matematica nella scuola - M.: Education, 1983.

3. Gusev, V.A. Matematica: materiali di riferimento - M.: Educazione, 1888.

4. Dorofeev, G.V. Un manuale di matematica per chi entra nelle università - M.: Nauka, 1974.

5. Zorin, V.V. Un manuale di matematica per chi entra nelle università - M.: Higher School, 1980.

6. Kolmogorov A.N. L'algebra e gli inizi dell'analisi - M.: Education, 1993.

Scopo della lezione: testare le capacità di studiare funzioni e tracciare grafici utilizzando le derivate.

Parte teorica della prova.

Domande Determinazione del punteggio minimo e massimo.

Parte teorica della prova

1) Determinazione del punto minimo.

Se la funzione è definita in qualche intorno del punto X 0, allora viene chiamato il punto X 0 punto minimo funzioni f(x), se esiste un intorno del punto X 0 tale che per tutti gli xx 0 di questo intorno la disuguaglianza f(x)>f(x 0) è soddisfatta.

Determinazione del punto massimo.

Se la funzione è definita in qualche intorno del punto X 0, allora viene chiamato il punto X 0 punto massimo funzioni f(x), se esiste un intorno del punto X 0 tale che per tutti gli x? x 0 di questo intorno la disuguaglianza f(x) è soddisfatta

2) Determinazione dei punti critici.

I punti critici sono punti interni del dominio di definizione di una funzione in cui la derivata non esiste o è uguale a zero.

3) Condizione necessaria affinché X 0 sia un punto estremo : Questo punto deve essere critico.

4) Algoritmo per la ricerca dei punti critici.

1. Trova il dominio di definizione della funzione.

2. Trova la derivata della funzione.

3. Trova il dominio di definizione della derivata di una data funzione (per determinare se ci sono punti in cui la derivata non esiste. Se ci sono tali punti, controlla se sono punti interni del dominio di definizione della funzione.

4. Trova i punti in cui la derivata è uguale a zero risolvendo l'equazione: f "(x)=0.

Controlla se i punti trovati sono punti interni del dominio della funzione.

5) Punti stazionari - punti in cui la derivata della funzione è uguale a zero.

6) Teorema di Fermat. (Prerequisito estremo della funzione).

y=f(x) è una funzione che è definita in un certo intorno del punto X 0 e ha una derivata in questo punto.

Teorema: se X 0 è il punto estremo della funzione differenziabile f(x), allora f "(x)=0.

7) Condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo funzioni in un punto.

y=f(x) è definito su (a;c). X 0 è il punto critico.

Se la funzione f è continua nel punto X 0, e f "(x)>0 sull'intervallo (a; x 0) e f "(x)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является punto massimo della funzione f.

(Formulazione semplificata: se nel punto X 0 la derivata cambia segno da “+” a “_”, allora X 0 c'è un punto massimo.)

Se la funzione f è continua nel punto X 0, e f "(x)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 sull'intervallo (X 0 ;â), allora il punto x 0 è punto minimo della funzione F.

(Formulazione semplificata: se nel punto X 0 la derivata cambia segno da “_” a “+”, allora X 0 è punto minimo.)

8) Segnale di aumento sufficiente, discendente funzioni .

Se f "(x)>0 per tutti gli x dall'intervallo (a; b), allora la funzione aumenta nell'intervallo (a; b).

Se f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Se la funzione è continua alla fine dell'intervallo, allora può essere aggiunta all'intervallo della funzione crescente (decrescente).)

9) Punti estremi, estremi della funzione.

Vengono chiamati X 0 - punto massimo, X 0 - punto minimo punti estremi.

f(x 0) - massimo della funzione,

f(x 0) - viene chiamato il minimo della funzione estremi della funzione.

10) Algoritmo per trovare gli estremi di una funzione.

1. Trova il dominio di definizione della funzione.

2. Trova la derivata della funzione.

3. Trova i punti critici.

4. Determiniamo il segno della derivata su ciascuno degli intervalli in cui i punti critici dividono il dominio di definizione.

5. Troviamo i punti estremi, tenendo conto della natura del cambiamento nel segno della derivata.

6. Troviamo gli estremi delle funzioni.

11) Algoritmo per trovare il più grande e i valori più piccoli di una funzione su un segmento.

1. Trova i valori della funzione alle estremità del segmento [a; V].

2. Trova i valori della funzione in quei punti critici che appartengono all'intervallo (a; b).

3. Dai valori trovati, selezionare il più grande e il più piccolo.

Parte pratica della prova

“Studio delle funzioni mediante derivate.

I valori più grandi e più piccoli delle funzioni su un segmento”

a) punti critici delle funzioni,

b) estremi delle funzioni

c) i valori più grandi e più piccoli delle funzioni nell'intervallo specificato

d) costruire un grafico.

Nel problema B15 si propone di esaminare la funzione specificata dalla formula degli estremi. Questo è un problema di calcolo standard e la sua difficoltà varia notevolmente a seconda della funzione in questione: alcuni possono essere risolti letteralmente oralmente, mentre altri richiedono una riflessione seria.

Prima di studiare i metodi risolutivi, è necessario comprendere alcuni termini del campo dell'analisi matematica. Quindi, nel Problema B15 devi trovare le seguenti quantità utilizzando la derivata:

1. Punti massimi (minimi) locali: il valore della variabile in corrispondenza del quale la funzione raggiunge il suo valore massimo (minimo). Tali punti sono anche chiamati punti estremi.
2. Il massimo (minimo) globale di una funzione è il valore più grande (più piccolo) della funzione entro le restrizioni specificate. Un altro nome è estremi globali.

In questo caso, gli estremi globali vengono solitamente ricercati non sull'intero dominio di definizione della funzione, ma solo su un determinato segmento. È importante capire che l'estremo globale e il valore della funzione nel punto estremo non sempre coincidono. Spieghiamolo con un esempio specifico:

Compito. Trova il punto minimo e il valore minimo della funzione y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 sull'intervallo [−3; 3].

Per prima cosa troviamo il punto di minimo, per il quale calcoliamo la derivata:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

Troviamo i punti critici risolvendo l'equazione y' = 0. Otteniamo l'equazione quadratica standard:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Contrassegniamo questi punti sulla linea delle coordinate, aggiungiamo segni e restrizioni derivative - le estremità del segmento:

La scala dell'immagine non ha importanza. La cosa più importante è segnare i punti nella sequenza corretta. Da un corso di matematica scolastica sappiamo che nel punto di minimo la derivata cambia segno da meno a più. Il conteggio va sempre da sinistra a destra, nella direzione del semiasse positivo. Esiste quindi un solo punto di minimo: x = 2.

Troviamo ora il valore minimo della funzione sull'intervallo [−3; 3]. Si ottiene nel punto di minimo (quindi diventa il punto di minimo globale) o alla fine del segmento. Nota che sull'intervallo (2; 3) la derivata è positiva ovunque, il che significa y(3) > y(2), quindi l'estremità destra del segmento può essere ignorata. Gli unici punti rimasti sono x = −3 (l'estremità sinistra del segmento) e x = 2 (il punto minimo). Abbiamo:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Quindi, il valore più piccolo della funzione si ottiene alla fine del segmento ed è pari a −44.

Risposta: xmin = 2; ymin = −44

Da quanto sopra segue un fatto importante che molte persone dimenticano. La funzione assume il suo valore massimo (minimo) non necessariamente nel punto estremo. A volte questo valore viene raggiunto alla fine del segmento e la derivata non deve essere uguale a zero.

Schema di risoluzione dei problemi B15

Se nel problema B15 devi trovare il valore massimo o minimo della funzione f(x) sull'intervallo, esegui i seguenti passaggi:

1. Risolvi l'equazione f’(x) = 0. Se non ci sono radici, salta il terzo passaggio e vai direttamente al quarto.
2. Dall'insieme di radici risultante, cancella tutto ciò che si trova al di fuori del segmento. Indichiamo i numeri rimanenti x 1, x 2, ..., x n - di regola ce ne saranno pochi.
3. Sostituiamo le estremità del segmento e i punti x 1, x 2, ..., x n nella funzione originale. Otteniamo un insieme di numeri f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), da cui selezioniamo il valore più grande o più piccolo - questo sarà la risposta.

Una breve spiegazione su come cancellare le radici quando coincidono con le estremità di un segmento. Possono anche essere cancellati, poiché nel quarto passaggio le estremità del segmento vengono comunque sostituite nella funzione, anche se l'equazione f’(x) = 0 non ha soluzioni.

Compito. Trova il valore più grande della funzione y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 sull'intervallo [−5; 0].

Per prima cosa troviamo la derivata: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Quindi risolviamo l’equazione: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Cancelliamo la radice x = 1, perché non appartiene al segmento [−5; 0].

Resta da calcolare il valore della funzione agli estremi del segmento e nel punto x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.

Ovviamente, il valore più grande è 20 - si ottiene nel punto x = −3.

Consideriamo ora il caso in cui devi trovare il punto massimo o minimo della funzione f(x) sul segmento. Se il segmento non è specificato, la funzione è considerata nel suo dominio di definizione. In ogni caso la soluzione è la seguente:

1. Trova la derivata della funzione: f’(x).
2. Risolvi l'equazione f’(x) = 0. Se la derivata è una funzione razionale frazionaria, scopriamo inoltre quando il suo denominatore è zero. Indichiamo le radici risultanti x 1 , x 2 , ..., x n .
3. Segna x 1, x 2, ..., x n sulla linea delle coordinate e disponi i segni che prende la derivata tra questi numeri. Se viene fornito un segmento, contrassegnalo e cancella tutto ciò che si trova al di fuori di esso.
4. Tra i punti rimanenti cerchiamo quello in cui il segno della derivata cambia da meno a più (questo è il punto di minimo) o da più a meno (il punto di minimo). Dovrebbe esserci solo uno di questi punti: questa sarà la risposta.

Il lettore attento noterà probabilmente che per alcune funzioni questo algoritmo non funziona. In effetti, esiste un'intera classe di funzioni per le quali la ricerca dei punti estremi richiede calcoli più complessi. Tali funzioni però non si trovano nell'Esame di Stato Unificato di matematica.

Prestare particolare attenzione al posizionamento dei segni tra i punti x 1, x 2, ..., x n. Ricorda: quando si passa per una radice di molteplicità pari, il segno della derivata non cambia. Quando si cercano i punti estremi, i segnali vengono sempre visti da sinistra a destra, cioè nella direzione dell'asse dei numeri.

Compito. Trova il punto massimo della funzione

sul segmento [−8; 8].

Troviamo la derivata:

Poiché si tratta di una funzione razionale frazionaria, equiparamo la derivata e il suo denominatore a zero:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (seconda radice della molteplicità).

Segniamo i punti x = −5, x = 0 e x = 5 sulla linea delle coordinate, posizioniamo segni e confini:

Ovviamente rimane solo un punto all'interno del segmento x = −5, in cui il segno della derivata cambia da più a meno. Questo è il punto massimo.

Spieghiamo ancora una volta in che modo i punti estremi differiscono dagli estremi stessi. I punti estremi sono i valori delle variabili in cui la funzione assume il valore più grande o più piccolo. Gli estremi sono i valori delle funzioni stesse, massimi o minimi in alcuni dei loro quartieri.

Oltre ai soliti polinomi e funzioni razionali frazionarie, nel Problema B15 si trovano i seguenti tipi di espressioni:

1. Funzioni irrazionali
2. Funzioni trigonometriche,
3. funzioni esponenziali,
4. Funzioni logaritmiche.

Di norma non sorgono problemi con le funzioni irrazionali. I restanti casi meritano di essere considerati più in dettaglio.

Funzioni trigonometriche

La principale difficoltà con le funzioni trigonometriche è che quando si risolvono le equazioni si formano un numero infinito di radici. Ad esempio, l'equazione sin x = 0 ha radici x = πn, dove n ∈ Z. Ebbene, come contrassegnarle sulla linea delle coordinate se esistono infiniti numeri simili?

La risposta è semplice: è necessario sostituire valori specifici di n. Infatti, nei problemi B15 con funzioni trigonometriche c'è sempre un vincolo: un segmento. Pertanto, per cominciare, prendiamo n = 0, quindi aumentiamo n finché la radice corrispondente “vola” oltre i confini del segmento. Allo stesso modo, diminuendo n, otterremo molto presto una radice inferiore al limite inferiore.

È facile mostrare che sul segmento non esistono radici diverse da quelle ottenute nel processo considerato. Consideriamo ora questo processo utilizzando esempi specifici.

Compito. Trovare il punto massimo della funzione y = sin x − 5x·sen x − 5cos x + 1, appartenente al segmento [−π/3; π/3].

Calcoliamo la derivata: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.

Quindi risolviamo l’equazione: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 oppure x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Tutto è chiaro con la radice x = 0,2, ma la formula x = π/2 + πn richiede un'ulteriore elaborazione. Sostituiremo diversi valori di n, partendo da n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Ma π/2 > π/3, quindi la radice x = π/2 non è inclusa nel segmento originale. Inoltre, maggiore è n, maggiore è x, quindi non ha senso considerare n > 0.

n = −1 ⇒ x = −π/2. Ma −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Risulta che nell'intervallo [−π/3; π/3] sta solo con la radice x = 0,2. Contrassegniamolo insieme ai segni e ai confini sulla linea delle coordinate:

Per essere sicuri che la derivata a destra di x = 0,2 sia realmente negativa, è sufficiente sostituire il valore x = π/4 in y’. Noteremo semplicemente che nel punto x = 0,2 la derivata cambia segno da più a meno, e quindi questo è il punto di massimo.

Compito. Trovare il valore più grande della funzione y = 4tg x − 4x + π − 5 sull'intervallo [−π/4; π/4].

Calcoliamo la derivata: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Quindi risolviamo l’equazione: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Estraiamo le radici da questa formula sostituendo n specifico, partendo da n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Questa radice ci si addice.
n = 1 ⇒ x = π. Ma π > π/4, quindi la radice x = π e i valori n > 1 devono essere cancellati.
n = −1 ⇒ x = −π. Ma π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Di tutta la varietà di radici ne rimane solo una: x = 0. Pertanto, calcoliamo il valore della funzione per x = 0, x = π/4 e x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Ora notiamo che π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Nota che nell'ultimo problema era possibile non confrontare i numeri tra loro. Dopotutto, dei numeri π − 5, 1 e 2π − 9, solo uno può essere scritto nel modulo di risposta. In effetti, come scrivere, ad esempio, il numero π su un modulo? Ma assolutamente no. Questa è una caratteristica importante della prima parte dell'Esame di Stato Unificato di matematica, che semplifica notevolmente la soluzione di molti problemi. E funziona non solo in B15.

A volte, quando si studia una funzione, emergono equazioni che non hanno radici. In questo caso il compito diventa ancora più semplice, poiché restano da considerare solo le estremità del segmento.

Compito. Trovare il valore più piccolo della funzione y = 7sin x − 8x + 5 sull'intervallo [−3π/2; 0].

Innanzitutto troviamo la derivata: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Proviamo a risolvere l'equazione: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Ma i valori di cos x giacciono sempre nell'intervallo [−1; 1] e 8/7 > 1. Pertanto non ci sono radici.

Se non ci sono radici, non è necessario cancellare nulla. Passiamo all'ultimo passaggio: calcoliamo il valore della funzione:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sen 0 − 8 0 + 5 = 5.

Poiché il numero 12π + 12 non può essere scritto sul foglio delle risposte, rimane solo y = 5.

Funzioni esponenziali

In generale, una funzione esponenziale è un'espressione della forma y = a x, dove a > 0. Ma nel problema B15 ci sono solo funzioni della forma y = e x e, in casi estremi, y = e kx + b. Il motivo è che le derivate di queste funzioni si calcolano molto facilmente:

1. (e x)" = e x. Non è cambiato nulla.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b. Basta aggiungere un fattore uguale al coefficiente della variabile x. Questo è un caso speciale di derivata di una funzione complessa.

Tutto il resto è assolutamente standard. Naturalmente, le reali funzioni dei problemi B15 sembrano più gravi, ma ciò non cambia lo schema di soluzione. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi, evidenziando solo i punti principali della soluzione, senza ragionamenti o commenti approfonditi.

Compito. Trova il valore più piccolo della funzione y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 sull'intervallo [−1; 5].

Derivata: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Trova le radici: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Entrambe le radici giacciono sul segmento [−1; 5]. Resta da trovare il valore della funzione in tutti i punti:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2 .

Dei quattro numeri ottenuti, solo y = −1 può essere scritto nella forma. Inoltre, questo è l'unico numero negativo: sarà il più piccolo.

Compito. Trova il valore più grande della funzione y = (2x − 7) e 8 − 2x sul segmento.

Derivata: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .

Trova le radici: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

La radice x = 4 appartiene al segmento . Cerchiamo i valori della funzione:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4 .

Ovviamente solo y = 1 può essere la risposta.

Funzioni logaritmiche

Per analogia con le funzioni esponenziali, nel problema B15 si incontrano solo logaritmi naturali, poiché la loro derivata è facilmente calcolabile:

1. (ln x)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). In particolare, se b = 0, allora (ln(kx))’ = 1/x.

Pertanto, la derivata sarà sempre una funzione razionale frazionaria. Tutto ciò che resta da fare è equiparare questa derivata e il suo denominatore a zero, quindi risolvere le equazioni risultanti.

Per trovare il valore massimo o minimo di una funzione logaritmica, ricorda: il logaritmo naturale diventa un numero “normale” solo nei punti della forma e n. Ad esempio, ln 1 = ln e 0 = 0 è uno zero logaritmico e molto spesso la soluzione si riduce a questo. In altri casi è impossibile “togliere” il segno del logaritmo.

Compito. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 2 − 3x + ln x sul segmento.

Calcoliamo la derivata:

Troviamo gli zeri della derivata e il suo denominatore:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - non c'è nulla da decidere qui.

Dei tre numeri x = 0, x = 0,5 e x = 1, solo x = 1 si trova all'interno del segmento e il numero x = 0,5 è la sua estremità. Abbiamo:
y(0,5) = 0,5 2 − 3 0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Dei tre valori ottenuti, solo y = −2 non contiene il segno del logaritmo: questa sarà la risposta.

Compito. Trova il valore massimo della funzione y = ln(6x) − 6x + 4 sul segmento.

Calcoliamo la derivata:

Scopriamo quando la derivata o il suo denominatore sono uguali a zero:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - già deciso.

Cancelliamo il numero x = 0, poiché si trova all'esterno del segmento. Calcoliamo il valore della funzione agli estremi del segmento e nel punto x = 1/6:
y(0,1) = ln(6 0,1) − 6 0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.

Ovviamente solo y = 3 può fungere da risposta: i restanti valori contengono un segno del logaritmo e non possono essere scritti sul foglio delle risposte.

Come studiare una funzione e costruire il suo grafico?

Mi sembra di cominciare a comprendere il volto spiritualmente perspicace del leader del proletariato mondiale, autore di opere raccolte in 55 volumi... Il lungo viaggio è iniziato con le informazioni di base su funzioni e grafici, e ora il lavoro su un argomento ad alta intensità di lavoro termina con un risultato logico: un articolo circa uno studio completo della funzione. Il compito tanto atteso è formulato come segue:

Studia una funzione utilizzando metodi di calcolo differenziale e costruisci il suo grafico in base ai risultati dello studio

O in breve: esamina la funzione e costruisci un grafico.

Perché esplorare? In casi semplici, non sarà difficile per noi comprendere le funzioni elementari, disegnare un grafico ottenuto utilizzando trasformazioni geometriche elementari e così via. Tuttavia, le proprietà e le rappresentazioni grafiche delle funzioni più complesse sono tutt’altro che ovvie, motivo per cui è necessario uno studio completo.

I passaggi principali della soluzione sono riepilogati nel materiale di riferimento Schema di studio delle funzioni, questa è la tua guida alla sezione. I principianti hanno bisogno di una spiegazione passo passo di un argomento, alcuni lettori non sanno da dove iniziare o come organizzare la propria ricerca e gli studenti avanzati potrebbero essere interessati solo ad alcuni punti. Ma chiunque tu sia, caro visitatore, il riassunto proposto con indicazioni alle varie lezioni ti orienterà e ti guiderà rapidamente nella direzione di interesse. I robot versano lacrime =) Il manuale è stato strutturato come file pdf e ha preso il posto che spettava nella pagina Formule e tabelle matematiche.

Sono abituato a scomporre la ricerca di una funzione in 5-6 punti:

6) Punti aggiuntivi e grafico basati sui risultati della ricerca.

Per quanto riguarda l'azione finale, penso che tutto sia chiaro a tutti: sarebbe molto deludente se in pochi secondi venisse cancellata e l'attività venisse restituita per la revisione. UN DISEGNO CORRETTO E ACCURATO è il risultato principale della soluzione! È probabile che “copra” errori analitici, mentre una pianificazione errata e/o negligente causerà problemi anche con uno studio condotto perfettamente.

Va notato che in altre fonti il ​​numero di punti di ricerca, l'ordine della loro implementazione e lo stile di progettazione possono differire in modo significativo dallo schema da me proposto, ma nella maggior parte dei casi è abbastanza sufficiente. La versione più semplice del problema consiste di solo 2-3 fasi ed è formulata in questo modo: "investiga la funzione utilizzando la derivata e costruisci un grafico" o "investiga la funzione utilizzando la derivata 1a e 2a, costruisci un grafico".

Naturalmente, se il tuo manuale descrive in dettaglio un altro algoritmo o il tuo insegnante richiede rigorosamente che tu rispetti le sue lezioni, dovrai apportare alcune modifiche alla soluzione. Non è più difficile che sostituire la forchetta della motosega con un cucchiaio.

Controlliamo la funzione per pari/dispari:

Questo è seguito da un modello di risposta:
, il che significa che questa funzione non è né pari né dispari.

Poiché la funzione è continua su , non esistono asintoti verticali.

Non ci sono nemmeno asintoti obliqui.

Nota : Ti ricordo che più è alto ordine di crescita, di , quindi il limite finale è esattamente “ più infinito."

Scopriamo come si comporta la funzione all'infinito:

In altre parole, se andiamo a destra, il grafico andrà infinitamente in alto, se andiamo a sinistra, andrà infinitamente in basso. Sì, ci sono anche due limiti sotto un'unica voce. Se hai difficoltà a decifrare i segni, visita la lezione su funzioni infinitesimali.

Quindi la funzione non limitato dall'alto E non limitato dal basso. Considerando che non abbiamo punti di interruzione, diventa chiaro gamma di funzioni: – anche qualsiasi numero reale.

TECNICA TECNICA UTILE

Ogni fase dell'attività apporta nuove informazioni sul grafico della funzione, pertanto, durante la soluzione è conveniente utilizzare una sorta di LAYOUT. Disegniamo un sistema di coordinate cartesiane su una bozza. Cosa è già noto con certezza? Innanzitutto, il grafico non ha asintoti, quindi non è necessario tracciare linee rette. In secondo luogo, sappiamo come si comporta la funzione all'infinito. Secondo l’analisi, trarremo una prima approssimazione:

Si prega di notare che a causa di continuità funzione attiva e il fatto che il grafico deve attraversare l'asse almeno una volta. O forse ci sono diversi punti di intersezione?

3) Zeri della funzione e intervalli di segno costante.

Per prima cosa troviamo il punto di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate. È semplice. È necessario calcolare il valore della funzione in:

Uno e mezzo sopra il livello del mare.

Per trovare i punti di intersezione con l'asse (zeri della funzione), dobbiamo risolvere l'equazione, e qui ci aspetta una spiacevole sorpresa:

Alla fine c'è un membro libero in agguato, il che rende il compito molto più difficile.

Tale equazione ha almeno una radice reale e molto spesso questa radice è irrazionale. Nella favola peggiore ci aspettano i tre porcellini. L'equazione è risolvibile utilizzando il cosiddetto Formule di Cardano, ma il danno alla carta è paragonabile a quasi l'intero studio. A questo proposito è più saggio cercare di selezionarne almeno uno, a voce o in bozza. Totale radice. Controlliamo se questi numeri sono:
- non adatto;
- C'è!

Fortunato qui. In caso di fallimento, puoi anche testare e, se questi numeri non corrispondono, temo che ci siano pochissime possibilità di una soluzione redditizia all’equazione. Allora è meglio saltare completamente il punto di ricerca - forse qualcosa diventerà più chiaro nella fase finale, quando verranno sfondati ulteriori punti. E se la radice o le radici sono chiaramente “cattive”, allora è meglio tacere modestamente sugli intervalli di costanza dei segni e disegnare con maggiore attenzione.

Tuttavia, abbiamo una bella radice, quindi dividiamo il polinomio senza resto:

L'algoritmo per dividere un polinomio per un polinomio è discusso in dettaglio nel primo esempio della lezione Limiti complessi.

Di conseguenza, il lato sinistro dell'equazione originale si decompone nel prodotto:

E ora qualcosa su uno stile di vita sano. Naturalmente lo capisco equazioni quadratiche va risolto ogni giorno, ma oggi faremo un’eccezione: l’equazione ha due radici vere.

Tracciamo i valori trovati sulla linea numerica E metodo dell'intervallo Definiamo i segni della funzione:


og Così, sugli intervalli si trova il programma
sotto l'asse x e agli intervalli – sopra questo asse.

I risultati ci consentono di affinare il nostro layout e la seconda approssimazione del grafico appare così:

Tieni presente che una funzione deve avere almeno un massimo su un intervallo e almeno un minimo su un intervallo. Ma non sappiamo ancora quante volte, dove e quando il programma si ripeterà. A proposito, una funzione può averne infiniti estremi.

4) Crescente, decrescente ed estremi della funzione.

Troviamo i punti critici:

Questa equazione ha due radici reali. Mettiamoli sulla linea numerica e determiniamo i segni della derivata:


Pertanto la funzione aumenta di e diminuisce di .
Nel punto in cui la funzione raggiunge il suo massimo: .
Nel punto in cui la funzione raggiunge il minimo: .

I fatti accertati spingono il nostro modello in un quadro abbastanza rigido:

Inutile dire che il calcolo differenziale è una cosa potente. Capiamo finalmente la forma del grafico:

5) Convessità, concavità e punti di flesso.

Troviamo i punti critici della derivata seconda:

Definiamo i segni:


Il grafico della funzione è convesso e concavo. Calcoliamo l'ordinata del punto di flesso: .

Quasi tutto è diventato chiaro.

6) Resta da trovare ulteriori punti che ti aiuteranno a costruire un grafico in modo più accurato ed eseguire l'autotest. In questo caso ce ne sono pochi, ma non li trascureremo:

Facciamo il disegno:

Il punto di flesso è contrassegnato in verde, i punti aggiuntivi sono contrassegnati da croci. Il grafico di una funzione cubica è simmetrico rispetto al suo punto di flesso, che si trova sempre rigorosamente a metà tra il massimo e il minimo.

Man mano che l'incarico procedeva, ho fornito tre ipotetici disegni provvisori. In pratica è sufficiente disegnare un sistema di coordinate, segnare i punti trovati e dopo ogni punto di ricerca stimare mentalmente come potrebbe apparire il grafico della funzione. Non sarà difficile per gli studenti con un buon livello di preparazione svolgere un'analisi del genere esclusivamente nella loro testa senza coinvolgere una bozza.

Per risolverlo da solo:

Esempio 2

Esplora la funzione e costruisci un grafico.

Qui tutto è più veloce e divertente, un esempio approssimativo del progetto finale a fine lezione.

Lo studio delle funzioni razionali frazionarie rivela molti segreti:

Esempio 3

Utilizzare metodi di calcolo differenziale per studiare una funzione e, sulla base dei risultati dello studio, costruire il suo grafico.

Soluzione: la prima fase dello studio non presenta nulla di notevole, ad eccezione di un buco nella zona di definizione:

1) La funzione è definita e continua su tutta la linea numerica tranne il punto, dominio: .

, il che significa che questa funzione non è né pari né dispari.

È ovvio che la funzione non è periodica.

Il grafico della funzione rappresenta due rami continui situati nel semipiano sinistro e destro: questa è forse la conclusione più importante del punto 1.

2) Asintoti, il comportamento di una funzione all'infinito.

a) Usando i limiti unilaterali, esaminiamo il comportamento della funzione vicino a un punto sospetto, dove dovrebbe esserci chiaramente un asintoto verticale:

In effetti, le funzioni durano divario infinito al punto
e la linea retta (asse) è asintoto verticale arti grafiche .

b) Controlliamo se esistono asintoti obliqui:

Sì, è dritto asintoto obliquo grafica, se.

Non ha senso analizzarne i limiti, poiché è già chiaro che la funzione abbraccia il suo asintoto obliquo non limitato dall'alto E non limitato dal basso.

Il secondo punto di ricerca ha fornito molte informazioni importanti sulla funzione. Facciamo uno schizzo approssimativo:

La conclusione n. 1 riguarda gli intervalli di segno costante. A “meno infinito” il grafico della funzione si trova chiaramente sotto l'asse x, e a “più infinito” è sopra questo asse. Inoltre i limiti unilaterali ci dicevano che sia a sinistra che a destra del punto anche la funzione è maggiore di zero. Si tenga presente che nel semipiano sinistro il grafico deve incrociare almeno una volta l'asse x. Potrebbero non esserci zeri della funzione nel semipiano destro.

La conclusione n. 2 è che la funzione aumenta a sinistra del punto (va “dal basso verso l'alto”). A destra di questo punto la funzione diminuisce (va “dall'alto al basso”). Il ramo destro del grafico deve certamente avere almeno un minimo. A sinistra, gli estremi non sono garantiti.

La conclusione n. 3 fornisce informazioni affidabili sulla concavità del grafico in prossimità del punto. Non possiamo ancora dire nulla sulla convessità/concavità agli infiniti, poiché una linea può essere premuta verso il suo asintoto sia dall'alto che dal basso. In generale, esiste un modo analitico per capirlo adesso, ma la forma del grafico diventerà più chiara in una fase successiva.

Perché così tante parole? Per controllare i successivi punti di ricerca ed evitare errori! Ulteriori calcoli non dovrebbero contraddire le conclusioni tratte.

3) Punti di intersezione del grafico con gli assi coordinati, intervalli di segno costante della funzione.

Il grafico della funzione non interseca l'asse.

Utilizzando il metodo dell'intervallo determiniamo i segni:

, Se ;
, Se .

I risultati di questo punto sono pienamente coerenti con la Conclusione n. 1. Dopo ogni fase, guarda la bozza, controlla mentalmente la ricerca e completa il grafico della funzione.

Nell'esempio in esame, il numeratore è diviso termine per termine per il denominatore, il che è molto utile per la differenziazione:

In realtà, questo è già stato fatto per la ricerca degli asintoti.

- punto critico.

Definiamo i segni:

aumenta di e diminuisce di

Nel punto in cui la funzione raggiunge il minimo: .

Inoltre non ci sono state discrepanze con la Conclusione n. 2 e, molto probabilmente, siamo sulla strada giusta.

Ciò significa che il grafico della funzione è concavo su tutto il dominio di definizione.

Fantastico e non è necessario disegnare nulla.

Non ci sono punti di flesso.

La concavità è coerente con la Conclusione n. 3, inoltre, indica che all'infinito (sia lì che lì) si trova il grafico della funzione più alto il suo asintoto obliquo.

6) Fisseremo coscienziosamente il compito con punti aggiuntivi. È qui che dovremo lavorare sodo, poiché conosciamo solo due punti della ricerca.

E un'immagine che molte persone probabilmente immaginavano molto tempo fa:

Durante l'esecuzione del compito, è necessario assicurarsi attentamente che non vi siano contraddizioni tra le fasi della ricerca, ma a volte la situazione è urgente o addirittura disperatamente senza uscita. L'analisi "non quadra" - tutto qui. In questo caso ti consiglio una tecnica d'emergenza: troviamo quanti più punti possibili che appartengono al grafico (tutta la pazienza che abbiamo), e li segniamo sul piano delle coordinate. Un'analisi grafica dei valori trovati ti dirà nella maggior parte dei casi dov'è la verità e dove è falsa. Inoltre, il grafico può essere precostruito utilizzando alcuni programmi, ad esempio in Excel (ovviamente ciò richiede competenze).

Esempio 4

Utilizzare metodi di calcolo differenziale per studiare una funzione e costruirne il grafico.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. In esso, l'autocontrollo è rafforzato dalla parità della funzione: il grafico è simmetrico rispetto all'asse e se c'è qualcosa nella tua ricerca che contraddice questo fatto, cerca un errore.

Una funzione pari o dispari può essere studiata solo in , e quindi utilizzare la simmetria del grafico. Questa soluzione è ottimale, ma, secondo me, sembra molto insolita. Personalmente guardo l'intera linea numerica, ma trovo comunque punti aggiuntivi solo a destra:

Esempio 5

Condurre uno studio completo della funzione e costruire il suo grafico.

Soluzione: le cose si sono fatte difficili:

1) La funzione è definita e continua su tutta la linea numerica: .

Ciò significa che questa funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

È ovvio che la funzione non è periodica.

2) Asintoti, il comportamento di una funzione all'infinito.

Poiché la funzione è continua su , non esistono asintoti verticali

Per una funzione contenente un esponente, è tipico separato studiando il "più" e il "meno dell'infinito", tuttavia, la nostra vita è facilitata dalla simmetria del grafico: o c'è un asintoto sia a sinistra che a destra, oppure non ce n'è. Pertanto, entrambi i limiti infiniti possono essere scritti in un'unica voce. Durante la soluzione che usiamo La regola dell'Hopital:

La linea retta (asse) è l'asintoto orizzontale del grafico in .

Nota come ho astutamente evitato l'algoritmo completo per trovare l'asintoto obliquo: il limite è completamente legale e chiarisce il comportamento della funzione all'infinito, e l'asintoto orizzontale è stato scoperto “come se allo stesso tempo”.

Dalla continuità in poi e dall'esistenza di un asintoto orizzontale segue che la funzione delimitato sopra E delimitato inferiormente.

3) Punti di intersezione del grafico con gli assi coordinati, intervalli di segno costante.

Anche qui accorciamo la soluzione:
Il grafico passa per l'origine.

Non ci sono altri punti di intersezione con gli assi coordinati. Inoltre gli intervalli di costanza di segno sono evidenti, e non è necessario tracciare l'asse: , il che significa che il segno della funzione dipende solo da “x”:
, Se ;
, Se .

4) Crescente, decrescente, estremi della funzione.


- punti critici.

I punti sono simmetrici rispetto allo zero, come dovrebbe essere.

Determiniamo i segni della derivata:


La funzione aumenta su un intervallo e diminuisce su intervalli

Nel punto in cui la funzione raggiunge il suo massimo: .

A causa della proprietà (la stranezza della funzione) non è necessario calcolare il minimo:

Poiché la funzione diminuisce nell'intervallo, ovviamente il grafico si trova a "meno infinito" Sotto il suo asintoto. Nel corso dell'intervallo, anche la funzione diminuisce, ma qui è vero il contrario: dopo aver attraversato il punto massimo, la linea si avvicina all'asse dall'alto.

Da quanto sopra segue anche che il grafico della funzione è convesso in “meno infinito” e concavo in “più infinito”.

Dopo questo punto di studio è stato tracciato il range dei valori della funzione:

Se hai qualche malinteso su qualche punto, ti esorto ancora una volta a disegnare gli assi delle coordinate sul tuo taccuino e, con una matita tra le mani, a rianalizzare ogni conclusione del compito.

5) Convessità, concavità, pieghe del grafico.

- punti critici.

La simmetria dei punti è preservata e, molto probabilmente, non ci sbagliamo.

Definiamo i segni:


Il grafico della funzione è convesso e concavo .

È stata confermata la convessità/concavità agli intervalli estremi.

In tutti i punti critici ci sono delle pieghe nel grafico. Troviamo le ordinate dei punti di flesso e riduciamo nuovamente il numero di calcoli utilizzando la stranezza della funzione: