1. Korištenjem izraza (2.5) vjerojatnost rada bez kvara u vremenskom intervalu od 500 sati do 2500 sati, pod uvjetom da je objekt radio bez kvara 500 sati, jednaka je

1. Srednje vrijeme do neuspjeha

3.5.2. Određivanje pokazatelja pouzdanosti za Rayleighovu distribuciju

Primjer. Parametar distribucije d* = 100 h.

Potrebno je odrediti za t = 50 sati vrijednosti P(t), Q(t), l (t),T 1.

Riješenje.

Koristeći formule (3.11), (3.12), (3.13), dobivamo

3.5.3. Određivanje indikatora kola pod Gaussovom distribucijom

Primjer. Električni krug je sastavljen od tri serijski spojena standardna otpornika: ;

(vrijednost odstupanja otpora od nominalne vrijednosti navedena je u %).

Potrebno je odrediti ukupni otpor kruga, uzimajući u obzir odstupanja u parametrima otpornika.

Riješenje.

Poznato je da se tijekom masovne proizvodnje elemenata iste vrste gustoća raspodjele njihovih parametara pokorava normalnom zakonu. Korištenje pravila 3 s (tri sigma), iz početnih podataka određujemo raspone u kojima leže vrijednosti otpora otpornika: ;

Stoga,

Kada vrijednosti parametara elementa imaju normalnu distribuciju, a elementi su nasumično odabrani prilikom izrade kruga, rezultirajuća vrijednost R e je funkcionalna varijabla, također distribuirana prema normalnom zakonu, a disperzija rezultirajuće vrijednosti, u našem slučaju, određena je izrazom

Budući da je rezultirajuća vrijednost R e raspodijeljen prema normalnom zakonu, zatim, koristeći pravilo 3 s, ajmo pisati

gdje su nazivni parametri putovnice otpornika.

Tako

Ili

Ovaj primjer pokazuje da se s povećanjem broja serijski spojenih elemenata rezultirajuća pogreška smanjuje. Konkretno, ako je ukupna pogreška svih pojedinačnih elemenata jednaka± 600 Ohma, tada je ukupna rezultirajuća pogreška± 374 Ohma. U složenijim krugovima, na primjer, u oscilatornim krugovima koji se sastoje od induktiviteta i kapacitivnosti, odstupanje induktiviteta ili kapacitivnosti od navedenih parametara povezano je s promjenom rezonantne frekvencije, a mogući raspon njezine promjene može se osigurati pomoću metoda slična proračunu otpornika.

3.5.4. Primjer određivanja pokazatelja pouzdanosti nepopravljivog objekta pomoću eksperimentalnih podataka

Primjer. Ispitano je N o = 1000 uzoraka iste vrste nepopravljive opreme; kvarovi su bilježeni svakih 100 sati.

Potrebno je definirati u vremenskom intervalu od 0 do 1500 sati. Broj kvarova u odgovarajućem intervalu prikazan je u tablici. 3.1. Tablica 3.1
Polazni podaci i rezultati proračuna

Riješenje..

Prosječno vrijeme do kvara, ovisno o kvaru svih N o objekata, određeno je izrazom

, gdje je tj vrijeme kvara j-tog objekta (j uzima vrijednosti od 0 do N o). U ovom eksperimentu, od N o = 1000 objekata, svi objekti nisu uspjeli. Stoga se na temelju dobivenih eksperimentalnih podataka može pronaći samo približna vrijednost prosječnog vremena do kvara. U skladu sa zadatkom koristit ćemo formulu iz: za r J N o, (3.16)

gdje je tj vrijeme do kvara j-tog objekta (j uzima vrijednosti
od 1 do r); r je broj zabilježenih kvarova (u našem slučaju r = 315); tr - vrijeme do r-tog (zadnjeg) kvara. Grafikon pokazuje da nakon razdoblja uhodavanja tі Nakon 600 sati, stopa kvarova postaje konstantna. Ako pretpostavimo da u budućnosti l bude konstantan, tada je period normalnog rada povezan s eksponencijalnim modelom vremena do kvara ispitivane vrste objekata. Zatim prosječno vrijeme do kvara

h.

Dakle, iz dvije procjene srednjeg vremena do kvara
= 3831 h i T 1 = 5208 h, potrebno je odabrati onu koja više odgovara stvarnoj raspodjeli kvarova. U ovom slučaju, možemo pretpostaviti da bismo, ako bismo testirali sve objekte do kvara, to jest, r = N o, dovršili graf na slici. 3.6 i identificirati vrijeme kada l počinje rasti, zatim za normalan radni interval ( l = const) trebate uzeti prosječno vrijeme do kvara T 1 = 5208 sati.

U zaključku za ovaj primjer, napominjemo da određivanje prosječnog vremena do kvara pomoću formule (2.7), kada je r<< N о, дает грубую ошибку. В нашем примере

h.

Ako umjesto N o stavimo broj onih koji su odbili objekti
r = 315, tada dobivamo

h.

U potonjem slučaju, predmeti koji nisu pali tijekom testa u količini od N o - r = 1000-315 = 685 kom. uopće nisu uključeni u ocjenu, odnosno utvrđeno je prosječno vrijeme do kvara samo 315 objekata. Te su pogreške prilično česte u praktičnim proračunima.

Ova je distribucija empirijska, dobivena kao rezultat proučavanja široke klase distribucija radnog vijeka. Iskustvo rada mnogih elektroničkih uređaja i značajne količine elektromehaničke opreme pokazuje da ih karakteriziraju tri vrste ovisnosti stope kvarova o vremenu, što odgovara trima životnim razdobljima tih uređaja.

Navedene tri vrste ovisnosti stope kvara o vremenu mogu se dobiti pomoću dvoparametarske Weibullove distribucije za probabilistički opis slučajnog vremena do kvara. Prema ovoj distribuciji, gustoća vjerojatnosti trenutka kvara

gdje je  parametar oblika (određen odabirom kao rezultat obrade eksperimentalnih podataka,  > 0);  - parametar mjerila,

Stopa neuspjeha određena je izrazom

(3.1)

Vjerojatnost rada bez greške

(3.2)

i prosječno vrijeme do kvara

(3.3)

Imajte na umu da s parametrom = 1 Weibullova distribucija postaje eksponencijalna, a s = 2 - s Rayleighovom distribucijom.

Pri 1, stopa kvarova se monotono smanjuje (razdoblje uhodavanja), a pri 1 monotono raste (razdoblje trošenja), vidi sliku. 3.1. Posljedično, odabirom parametra , moguće je u svakom od tri odjeljka dobiti takvu teoretsku krivulju  (t), koja se prilično podudara s eksperimentalnom krivuljom, a zatim se može izračunati traženi pokazatelji pouzdanosti. napravljen na temelju poznatog uzorka.

Weibullova distribucija je vrlo bliska nizu mehaničkih objekata (na primjer, kuglični ležajevi), može se koristiti za ubrzano testiranje objekata u prisilnom načinu rada

3. Eksponencijalna distribucija. Koristi se češće od ostalih raspodjela, jer je tipično za složene objekte koji se sastoje od mnogo elemenata s raspodjelama vremena rada. S obzirom na konstantnu stopu kvarova, daje jednostavne formule za izračun. Kao što je navedeno, eksponencijalna razdioba vjerojatnosti rada bez greške poseban je slučaj Weibullove razdiobe kada je parametar oblika  = 1. Ova je razdioba jednoparametarska, to jest, jedan parametar  = const dovoljan je za pisanje izračunati izraz. Za ovaj zakon vrijedi i suprotna izjava: ako je stopa kvarova konstantna, tada se vjerojatnost rada bez kvara kao funkcija vremena povinuje eksponencijalnom zakonu:

Prosječno vrijeme rada bez kvara prema eksponencijalnom zakonu raspodjele intervala rada bez kvara izražava se formulom:

(3.5)

Zamjenom vrijednosti  u izrazu s vrijednošću 1 / T 1,

primit ćemo . (3.6)

Dakle, znajući prosječno vrijeme rada bez kvara T 1 (ili konstantnu stopu kvara ), u slučaju eksponencijalne distribucije, moguće je pronaći vjerojatnost rada bez kvara za vremenski interval od trenutka kada je objekt je uključen u bilo kojem trenutku t.

4. Rayleigheva distribucija

Gustoća vjerojatnosti u Rayleighovu zakonu (vidi sl. 3.4) ima sljedeći oblik



gdje je  parametar Rayleighove distribucije (jednak modu ove distribucije). Ne mora se miješati sa standardnom devijacijom:

.

Stopa neuspjeha je:

(3.7)

Karakteristična značajka Rayleighove distribucije je ravna linija grafa (t), koja počinje od ishodišta.

Vjerojatnost besprijekornog rada objekta u ovom slučaju određena je izrazom

(3.8)

Srednje vrijeme do neuspjeha

(3.9)

5. Krnja normalna distribucija. Distribucija izvedena iz normalne (Gaussove) distribucije ograničenjem na pozitivne vrijednosti.

Zakon normalne distribucije karakterizira gustoća vjerojatnosti oblika

gdje su m x,  x redom matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable x.

Pri analizi pouzdanosti električnih instalacija, u obliku slučajne varijable, osim vremena, često se pojavljuju vrijednosti struje, električnog napona i drugi argumenti. Normalni zakon je zakon s dva parametra, za čije pisanje morate znati m x i  x.

Vjerojatnost rada bez greške određena je formulom

(3.10)

a stopa neuspjeha je prema formuli

Na sl. Na slici 3.5 prikazane su krivulje (t), R(t) i  (t) za slučaj  t  m t, karakteristične za elemente koji se koriste u sustavima automatskog upravljanja.

4. Gama distribucija. Poissonova distribucija i gama distribucija smatraju se međusobno povezanima budući da obje karakteriziraju iste procese. Samo u prvom slučaju kvarovi se smatraju varijablom, au drugom vrijeme. Za gama distribucije
V– prosječno vrijeme između kvarova;

A- broj kvarova; G( A) – gama funkcija jednaka
, Kada A–1 je pozitivan broj.

Za razuman izbor vrste praktične raspodjele vremena do sloma nužan je veliki broj sloma uz objašnjenje fizikalnih procesa koji se odvijaju u objektima prije sloma.

Visokopouzdani elementi elektroinstalacija, tijekom rada ili testova pouzdanosti, zakažu samo mali dio inicijalno dostupnih objekata. Stoga vrijednost numeričkih karakteristika dobivenih kao rezultat obrade eksperimentalnih podataka jako ovisi o vrsti očekivane distribucije vremena do kvara. Kao što je prikazano u, prema različitim zakonima vremena do kvara, vrijednosti prosječnog vremena do kvara, izračunate iz istih početnih podataka, mogu se razlikovati stotinama puta. Stoga se problemu izbora teorijskog modela raspodjele vremena do kvara mora posvetiti posebna pažnja uz odgovarajuće dokazivanje aproksimacije teorijske i eksperimentalne razdiobe.

Funkcija lognormalne distribucije našla je široku primjenu u analizi pouzdanosti objekata u tehnologiji, biologiji, ekonomiji itd. Na primjer, funkcija se uspješno koristi za opisivanje vremena do kvara ležajeva, elektroničkih uređaja i drugih proizvoda.

Nenegativne slučajne vrijednosti nekog parametra su lognormalno raspoređene ako je njegov logaritam normalno raspoređen. Gustoća distribucije za različite vrijednosti σ prikazana je na slici. 4.3.

Riža. 4.3.

Gustoću distribucije opisuje ovisnost

Gdje M x i σ – parametri procijenjeni iz rezultata P testovi do kvara:

(4.4)

Za zakon lognormalne distribucije, funkcija pouzdanosti

(4.5)

Vjerojatnost rada bez greške može se odrediti iz tablica za normalnu distribuciju (vidi tablicu A6.1 Dodatka 6) ovisno o vrijednosti kvantila

Matematičko očekivanje vremena do kvara

Standardna devijacija i koeficijent varijacije bit će jednaki

Ako v x ≤ 0,3, onda se vjeruje da ν x = σ, a pogreška nije veća od 1%.

Često se koristi za pisanje ovisnosti za zakon lognormalne distribucije u decimalnim logaritmima. U skladu s ovim zakonom, gustoća distribucije

Procjene lg parametara x 0 i σ određuju se na temelju rezultata ispitivanja:

Očekivana vrijednost M x, standardna devijacija σ x i koeficijent varijacije ν x puta do kvara su redom jednaki

Primjer 4.6

Odredite vjerojatnost rada mjenjača bez kvara tijekom t= 103 sata, ako je resurs raspoređen logaritamski s parametrima lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Riješenje

Pronađimo vrijednost kvantila i odredimo vjerojatnost rada bez greške:

Odgovor: R(t) = 0,0228.

Weibullova distribucija

Funkcija Weibullove distribucije je distribucija s dva parametra. Zakon koji opisuje je univerzalan, jer uz odgovarajuće vrijednosti parametara prelazi u normalne, eksponencijalne i druge vrste distribucija. Autor ovog zakona raspodjele, V. Weibull, njime je opisao i analizirao eksperimentalno opažene varijacije zamorne čvrstoće čelika i njezinih granica elastičnosti. Weibullov zakon na zadovoljavajući način opisuje vrijeme do kvara ležajeva i elemenata elektroničke opreme; koristi se za ocjenu pouzdanosti dijelova i sklopova strojeva, uključujući i automobile, kao i za ocjenu pouzdanosti strojeva tijekom procesa njihovog uhodavanja. Gustoću distribucije opisuje ovisnost

gdje je α parametar oblika krivulje distribucije; λ – parametar skale krivulje distribucije.

Graf funkcije gustoće distribucije prikazan je na sl. 4.4.

Riža. 4.4.

Funkcija Weibullove distribucije

Funkcija pouzdanosti za ovaj zakon raspodjele

Očekivanje slučajne varijable x jednaki

gdje je G( x) – gama funkcija.

Za kontinuirane vrijednosti x

Za cjelobrojne vrijednosti x Gama funkcija izračunava se pomoću formule

formule su također točne

Varijanca slučajne varijable jednaka je

Široka uporaba Weibullova zakona distribucije u analizi i proračunima pouzdanosti proizvoda objašnjava se činjenicom da ovaj zakon, generalizirajući eksponencijalnu distribuciju, sadrži dodatni parametar α.

Pravilnim odabirom parametara a i λ moguće je postići bolje slaganje izračunatih vrijednosti i eksperimentalnih podataka u odnosu na eksponencijalni zakon koji je jednoparametarski (parametar λ).

Dakle, kod proizvoda koji imaju skrivene nedostatke, ali koji se dugo ne koriste (i samim time sporije stare), rizik od kvara je najveći u početnom razdoblju, a zatim brzo opada. Funkcija pouzdanosti za takav proizvod dobro je opisana Weibullovim zakonom s parametrom α< 1.

Naprotiv, ako je proizvod dobro kontroliran tijekom proizvodnje i nema gotovo nikakvih skrivenih nedostataka, ali podliježe brzom starenju, tada je funkcija pouzdanosti opisana Weibullovim zakonom s parametrom α > 1. Pri α = 3,3, Weibullova distribucija je bliska u normalu.

Pitanja za predavanje:

Uvod

Modeli pouzdanosti tehničkih sustava

Zakoni raspodjele radnog vremena

Uvod

Kvantitativne metode za proučavanje tehničkih objekata, osobito u fazama njihova projektiranja i stvaranja, uvijek zahtijevaju izgradnju matematičkih modela procesa i pojava. Matematički model obično se shvaća kao međusobno povezani skup analitičkih i logičkih izraza, kao i početnih i rubnih uvjeta koji odražavaju, uz određenu aproksimaciju, stvarne procese funkcioniranja objekta. Matematički model je informacijski analog objekta u punoj veličini, uz pomoć kojeg možete dobiti znanje o projektu koji se stvara. Sposobnost predviđanja smatra se definirajućim svojstvom modela. Sve ovo u potpunosti vrijedi i za matematičke modele pouzdanosti.

Matematički model pouzdanosti shvaća se kao analitički reprezentativan sustav koji daje potpunu informaciju o pouzdanosti objekta. Prilikom konstruiranja modela proces promjene pouzdanosti se na određeni način pojednostavljuje i shematizira. Od velikog broja čimbenika koji djeluju na objekt pune veličine, identificiraju se glavni, čije promjene mogu uzrokovati primjetne promjene u pouzdanosti. Veze između komponenti sustava mogu se prikazati analitičkim ovisnostima, također uz određene aproksimacije. Kao rezultat toga, zaključci dobiveni na temelju proučavanja modela pouzdanosti objekta sadrže određenu nesigurnost.

Što je model uspješnije odabran, to bolje odražava karakteristične značajke funkcioniranja objekta, točnije će se procijeniti njegova pouzdanost i dobiti informirane preporuke za donošenje odluka.

1. Modeli pouzdanosti tehničkih sustava

Trenutno su uspostavljena opća načela za konstrukciju matematičkih modela pouzdanosti. Model se gradi samo za određeni objekt, točnije, za skupinu sličnih objekata, uzimajući u obzir karakteristike njihovog budućeg rada. Mora ispunjavati sljedeće zahtjeve:

Model mora uzeti u obzir najveći broj faktora koji utječu na pouzdanost objekta;

Model bi trebao biti dovoljno jednostavan za korištenje standardnih računalnih alata za dobivanje izlaznih pokazatelja pouzdanosti ovisno o promjenama u ulaznim faktorima.

Nedosljednost ovih zahtjeva ne dopušta nam da u potpunosti formaliziramo konstrukciju modela, što proces izrade modela čini u određenoj mjeri kreativnim.

Postoje mnoge klasifikacije modela pouzdanosti, od kojih je jedna prikazana na slici 1 1 .

Sl. 1. Klasifikacija modela pouzdanosti

Kao što slijedi sa slike 1, svi modeli se mogu podijeliti u dvije velike skupine: modeli pouzdanosti objekta i modeli elemenata. Modeli pouzdanosti elemenata imaju više fizičkog sadržaja i specifičniji su za elemente određenog dizajna. Ovi modeli koriste karakteristike čvrstoće materijala, uzimaju u obzir opterećenja koja djeluju na konstrukciju i razmatraju utjecaj radnih uvjeta na rad elemenata. Proučavanjem ovih modela dobiva se formalizirani opis procesa nastanka kvara ovisno o identificiranim čimbenicima.

Modeli pouzdanosti objekata kreirani su za formalizirani opis sa stajališta pouzdanosti procesa njihovog funkcioniranja kao procesa interakcije između elemenata koji čine određeni objekt. U takvom modelu međudjelovanje elemenata odvija se samo kroz najznačajnije veze koje utječu na ukupnu pouzdanost objekta.

Postoje parametarski modeli pouzdanosti objekta i modeli u smislu kvarova elemenata. Parametarski modeli sadrže funkcije slučajnih parametara elemenata, što omogućuje dobivanje željenog pokazatelja pouzdanosti objekta na izlazu iz modela. S druge strane, parametri elemenata mogu biti funkcije radnog vremena objekta.

Modeli kreirani u smislu kvarova elemenata su najviše formalizirani i glavni su pri analizi pouzdanosti složenih tehničkih sustava. Nužan uvjet za izradu takvih modela je jasan opis simptoma kvara svakog elementa sustava. Model odražava utjecaj kvara pojedinog elementa na pouzdanost sustava.

Prema načelima provedbe modeli se razlikuju na analitičke, statističke i kombinirane (inače funkcionalne - statističke).

Analitički modeli sadrže analitičke ovisnosti između parametara koji karakteriziraju pouzdanost sustava i pokazatelja izlazne pouzdanosti. Da bi se dobile takve ovisnosti, potrebno je ograničiti broj značajnih faktora i značajno pojednostaviti fizičku sliku procesa promjene pouzdanosti. Kao rezultat toga, analitički modeli mogu s dovoljnom točnošću opisati samo relativno jednostavne probleme promjene pokazatelja pouzdanosti sustava. Složenošću sustava i povećanjem broja faktora koji utječu na pouzdanost, statistički modeli dolaze do izražaja.

Metoda statističkog modeliranja omogućuje rješavanje višedimenzionalnih problema velike složenosti u kratkom vremenu i s prihvatljivom točnošću. S razvojem računalne tehnologije, mogućnosti ove metode se šire.

Još veći potencijal ima kombinirana metoda koja uključuje izradu funkcionalnih statističkih modela. U takvim modelima kreiraju se analitički modeli za elemente, a sustav kao cjelina simulira se u statističkom modu.

Odabir jednog ili drugog matematičkog modela ovisi o ciljevima proučavanja pouzdanosti objekta, o dostupnosti početnih informacija o pouzdanosti elemenata, o poznavanju svih čimbenika koji utječu na promjene pouzdanosti, o spremnosti analitičkog aparata za opisujući procese nakupljanja oštećenja i nastanka kvarova, te mnoge druge razloge. U konačnici, izbor modela donosi istraživač.

U teoriji pouzdanosti najčešće se koriste sljedeći zakoni raspodjele slučajnih varijabli: f(t):

Za diskretne slučajne varijable - binomni zakon; Poissonov zakon;

Za kontinuirane slučajne varijable - eksponencijalni zakon; normalno pravo; gama distribucija; Weibullov zakon; x 2 - raspodjela; log-normalna distribucija.

Binomni zakon distribucija broja n pojavljivanja događaja A V m nezavisni pokusi (testovi). Ako je vjerojatnost događanja događaja A u jednom testu je jednako str, vjerojatnost nepojavljivanja događaja A jednak q= 1– str; broj neovisnih pokušaja je m, tada će vjerojatnost pojavljivanja n događaja u pokušajima biti:

Gdje: - broj kombinacija od m Po n.

1) broj događaja n- pozitivan cijeli broj;

2) matematičko očekivanje broja događaja je mp;

3) standardna devijacija broja događaja:

Kako se broj pokusa povećava, približava se binomna distribucija

na normalu s prosječnom vrijednošću n/m i varijanca str(1– str) / m.

Poissonov zakon- raspodjela brojeva slučajnog događaja n ja tijekom τ . Vjerojatnost događanja slučajnog događaja n ponekad τ :

gdje je: λ intenzitet slučajnog događaja.

Svojstva distribucije su sljedeća:

1) matematičko očekivanje broja događaja tijekom vremena τ jednako λτ;

2) standardna devijacija broja događaja:

Karakteristična značajka Poissonove distribucije je jednakost matematičkog očekivanja i varijance. Ovo se svojstvo koristi za provjeru stupnja podudarnosti proučavane (eksperimentalne) distribucije s Poissonovom distribucijom.

Poissonova distribucija dobiva se iz binomne distribucije ako se broj pokušaja m neograničeno povećava i očekivani broj događaja a= λτ ostaje konstantan.

Zatim vjerojatnost binomna distribucija za svaki n, jednako 0, 1, 2, ..., teži granici:

Poissonov zakon se koristi kada je potrebno odrediti vjerojatnost da će se dogoditi jedan, dva, tri itd. kvara na proizvodu unutar zadanog vremena.

Eksponencijalni (eksponencijalni) zakon distribucija slučajne varijable x(Sl. 4.3.3, a) piše se u općem slučaju na sljedeći način:

P(x) = exp(–λ x),

Gdje: P(x) - vjerojatnost da slučajna varijabla x važnije x; vrijednosti e–x dati su u Dodatku 1.

U posebnom slučaju kada se vrijeme rada objekta uzima kao slučajna varijabla t, vjerojatnost da proizvod tijekom vremena tće biti u radnom stanju, jednako exp(–λ t):

P(t) = exp(–λ t), (4.3.4)

gdje je: λ - stopa kvara objekta za eksponencijalnu distribuciju

(konstantan je), tj. λ= const.

Izraz (4.3.4) može se dobiti izravno iz (4.3.3) ako je broj kvarova n uzeti jednako 0.

Vjerojatnost kvara tijekom vremena t iz (4.3.4):

Q(t) = 1– P(t) = 1– exp(–λ t). (4.3.5)

Prosječno vrijeme rada prije nego što dođe do kvara:

Disperzija radnog vremena prije nego što dođe do kvara:

RMS vrijeme rada:

σ( t) =T 1 . (4.3.9)

Jednakost standardne devijacije s prosječnim radnim vremenom je karakteristična značajka eksponencijalne distribucije.

Statistički materijali o kvarovima elemenata pokazuju da se, u osnovi, njihovo vrijeme rada pokorava eksponencijalnom zakonu raspodjele. Uvjet za pojavu eksponencijalnog zakona raspodjele vremena do otkaza je postojanost stope kvara, koja je karakteristična za iznenadne kvarove u vremenskom intervalu kada je završeno vrijeme uhodavanja predmeta i vrijeme trošenja. a starenje još nije počelo, tj. za normalne uvjete rada. Stopa kvarova složenih objekata postaje konstantna ako su uzrokovani kvarovima velikog broja sastavnih elemenata.

Vrijeme nastanka primarnih kvarova može se locirati na vremenskoj osi tako da ukupni tok kvarova složenog proizvoda postane blizak najjednostavnijem, tj. s konstantnom stopom kvarova.

Ove okolnosti, kao i činjenica da pretpostavka eksponencijalne distribucije značajno pojednostavljuje proračune pouzdanosti, objašnjavaju široku upotrebu eksponencijalnog zakona u inženjerskoj praksi.

Gama distribucija slučajna varijabla (slika 4.3.3, b). Ako dođe do kvara uređaja kada barem k kvarovi njegovih elemenata, a kvarovi elemenata podliježu eksponencijalnom zakonu s parametrima λ 0, gustoća vjerojatnosti kvara uređaja:

gdje je: λ 0 - početna stopa kvarova elemenata uređaja, čiji je kvar uzrokovan kvarom k elementi.

Ova raspodjela ovisi o vremenu rada redundantnih uređaja. Jednakost (4.3.9) dobiva se iz (4.3.3).

Vjerojatnost k ili više kvarova, tj. vjerojatnost kvara danog uređaja:

Gustoća vjerojatnosti kvara uređaja tijekom vremena t:

Prosječno vrijeme rada uređaja prije kvara:

Stopa kvarova uređaja:

Vjerojatnost stanja bez kvara uređaja:

Na k= 1 γ-distribucija podudara se s eksponencijalnom distribucijom. Kako k raste, γ-distribucija će se približavati simetričnoj distribuciji, a stopa kvarova će imati sve izraženiji karakter rastuće funkcije vremena.

Weibullova distribucija. Za slučaj kada tijek kvarova nije stacionaran, tj. kada se gustoća toka mijenja tijekom vremena, funkcija distribucije vremena do kvara ima oblik prikazan na slici. 4.3.3, c.

Gustoća vjerojatnosti kvara ove distribucije je:

t:

Postotak neuspjeha:

U (4.3.15)-(4.3.17) α i λ 0 su parametri zakona distribucije. Parametar λ 0 određuje skalu; kada se mijenja, krivulja distribucije se skuplja ili rasteže. Za α = 1 funkcija Weibullove distribucije podudara se s eksponencijalnom distribucijom; na α< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α >1-monotono raste. Ova okolnost omogućuje odabir najprikladnijih parametara α i λ 0 za eksperimentalne podatke, tako da jednadžba funkcije distribucije najbolje odgovara eksperimentalnim podacima. Weibullova raspodjela javlja se kod kvarova koji nastaju zbog zamora tijela dijela ili površinskih slojeva (ležajevi, zupčanici). Ovaj slučaj je povezan s razvojem zamorne pukotine u području lokalne koncentracije naprezanja, tehnološkog kvara ili početnog oštećenja. Vremensko razdoblje prije nastanka mikropukotine karakteriziraju znakovi iznenadnog sloma, a proces razaranja karakteriziraju znakovi sloma zbog trošenja.

Ovaj zakon je primjenjiv na kvarove uređaja koji se sastoje od dvostrukih elemenata spojenih u seriju i druge slične slučajeve.

Ova se raspodjela ponekad koristi za opisivanje pouzdanosti kotrljajućih ležajeva (α = 1,4-1,7).

Prosječno vrijeme do prvog kvara određeno je iz sljedećeg izraza:

Vrijednosti Γ (gama funkcija) prikazane su u tabeli (Dodatak 2).

Normalna distribucija(Sl. 4.3.3, d) slučajna varijabla x javlja se kad god x ovisi o velikom broju slučajnih faktora koji su homogeni po svom utjecaju, a utjecaj svakog od tih faktora je beznačajan u usporedbi s ukupnošću svih ostalih. Ovo stanje je tipično za vrijeme nastanka kvara uzrokovanog starenjem, tj. ovaj se zakon koristi za ocjenu pouzdanosti proizvoda u prisutnosti postupnih kvarova (istrošenosti).

Gustoća vjerojatnosti kvara:

Gdje: T- prosječno vrijeme do kvara;

σ - srednja kvadratna (standardna) devijacija vremena rada bez greške.

Vjerojatnost vremena kvara t:

Vrijednost funkcije distribucije određena je formulom:

F(t) = 0,5 + Φ( u) =Q(t); u= (t−T) / σ. (4.3.21)

Vjerojatnost nepostojanja kvara tijekom vremena t:

P(t) = 1 −Q(t) = 1 − = 0,5 −F(u). (4.3.22)

Vrijednosti F(t) tablično (prilog 3).

Grafikon λ( t) prikazan je na sl. 4.3.3, d. Stopa kvarova se monotono povećava T počinje se približavati asimptoti:

g= (t−T) / σ. (4.3.23)

Monotono povećanje stope kvarova tijekom vremena karakteristična je značajka normalne distribucije. Normalna distribucija značajno se razlikuje od eksponencijalne distribucije. Početak odbrojavanja t u (4.3.20) je početak rada predmeta, odnosno trenutak kada počinje proces trošenja i starenja, a početna točka u (4.3.4) je trenutak u vremenu kada se utvrđuje da proizvod je u dobrom radnom stanju (ovaj trenutak se može locirati u bilo kojoj točki na vremenskoj osi).

Krnja normalna distribucija(Slika 4.3.3, d). Budući da s normalnom distribucijom slučajna varijabla može uzeti bilo koju vrijednost od −∞ do +∞, a vrijeme bez kvara može biti samo pozitivno, trebalo bi razmotriti skraćenu normalnu distribuciju s gustoćom vjerojatnosti kvara:

Normalizirajući faktor c određuje se iz izraza:

c= 1 / F(T 1 / σ) = 1 / , (4.3.26)

tablično (Dodatak 4) kumulativna funkcija normalne distribucije;

normalizirana Laplaceova funkcija.

Tada će se (4.3.24) napisati na sljedeći način:

Srednje vrijeme do kvara u skraćenoj distribuciji i parametru T 1 neskraćena normalna distribucija povezana je sa:

Na T/ σ ≥ 2, koji se javlja u velikoj većini slučajeva pri procjeni pouzdanosti uređaja s normalno raspoređenim kvarovima, koeficijent c malo razlikuje od jedinice i skraćena normalna distribucija prilično je točno aproksimirana uobičajenim normalnim zakonom.

Vjerojatnost rada bez greške određuje se iz izraza:

Rayleijeva distribucija(Sl. 4.3.3, f) - kontinuirana distribucija vjerojatnosti s gustoćom:

ovisno o parametru mjerila σ > 0. Distribucija ima pozitivnu asimetriju, njezin jedini mod nalazi se u točki x= σ. Svi momenti Rayleighove distribucije su konačni.

Baš poput Weibullove ili γ distribucije, Rayleighova je distribucija prikladna za opisivanje ponašanja proizvoda koji se troše ili stare.

Stopa kvarova (funkcija gustoće vjerojatnosti kvara) određena je:

Vjerojatnost rada bez greške izračunava se iz izraza:

Stopa neuspjeha nalazi se iz:

λ( t) = t/ σ 2. (4.3.35)

Prosječno vrijeme do prvog kvara bit će:

3.4. O izboru zakona raspodjele otkaza pri proračunu pouzdanosti Određivanje zakona raspodjele kvarova od velike je važnosti u studijama i procjenama pouzdanosti. Definicija P(t) na temelju istih početnih informacija o T, ali pod različitim pretpostavkama o zakonu distribucije može dovesti do značajno različitih rezultata.

Zakon raspodjele kvarova može se odrediti iz eksperimentalnih podataka, ali to zahtijeva provođenje velikog broja eksperimenata pod identičnim uvjetima. U praksi je ove uvjete obično teško postići. Osim toga, takvo rješenje sadrži značajke pasivne registracije događaja.

Istodobno, u mnogim slučajevima, tijekom rada, samo mali dio izvornih objekata ne uspije. Dobiveni statistički podaci odgovaraju početnom (lijevom) dijelu eksperimentalne distribucije.

Racionalnije je proučavanje uvjeta i fizičkih procesa pod kojima se događa ova ili ona distribucija. Istodobno se sastavljaju modeli nastanka kvarova i odgovarajući zakoni raspodjele vremena prije pojave kvara, što omogućuje razumne pretpostavke o zakonu raspodjele.

Eksperimentalni podaci trebaju služiti kao sredstvo provjere valjanosti prognoze, a ne kao jedini izvor podataka o zakonu raspodjele. Ovaj pristup je neophodan za procjenu pouzdanosti novih proizvoda, za koje je statistički materijal vrlo ograničen.