একটি ঋণাত্মক সংখ্যার ডেরিভেটিভ। ডেরিভেটিভ গণনা করার সময় সাধারণ ত্রুটি। যোগফল এবং পার্থক্যের ডেরিভেটিভ

ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্যের ডেরিভেটিভের সূত্র দেওয়া হয়েছে। একটি প্রমাণ দেওয়া হয়েছে এবং এই সূত্রের প্রয়োগের উদাহরণগুলি বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

ফাংশনের যোগফল (পার্থক্য) এর ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র

স্বাধীন চলক x এর ফাংশন ধরুন। চলক x এর মানের কিছু পরিসরে তাদের পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। তারপর এই এলাকায়, এই ফাংশনগুলির যোগফল (পার্থক্য) এর ডেরিভেটিভ এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভের যোগফলের (পার্থক্য) সমান:
(1) .

প্রমাণ

যেহেতু ফাংশনগুলি এবং তে পার্থক্যযোগ্য, নিম্নলিখিত সীমা রয়েছে, যা এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ:
;
.

পরিবর্তনশীল x এর ফাংশন y বিবেচনা করুন, যা ফাংশনের যোগফল এবং:
.
এর ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা যাক।


.

এইভাবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান:
.

একইভাবে, আপনি দেখাতে পারেন যে ফাংশনের পার্থক্যের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের পার্থক্যের সমান:
.
যোগফলের পার্থক্য করার জন্য সঠিক প্রমাণিত নিয়ম ব্যবহার করে এটি অন্যভাবে দেখানো যেতে পারে এবং:
.

এই দুটি নিয়ম একটি সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে:
(1) .

পরিণতি

উপরে আমরা দুটি ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার নিয়মটি দেখেছি। এই নিয়মটি যেকোন সংখ্যক ডিফারেনশিয়াবল ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্যে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

যেকোন সীমিত সংখ্যক ডিফারেন্সেবল ফাংশনের যোগফল (পার্থক্য) এর ডেরিভেটিভ তাদের ডেরিভেটিভের যোগফলের (পার্থক্য) সমান। ডেরিভেটিভের চিহ্নের বাইরে একটি ধ্রুবক রাখার নিয়মটি বিবেচনায় নিয়ে, এই নিয়মটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
.
বা প্রসারিত আকারে:
(2) .
এখানে - ধ্রুবক;
- পরিবর্তনশীল x এর পার্থক্যযোগ্য ফাংশন।

তদন্তের প্রমাণ

যখন n = 2 , আমরা নিয়ম (1) এবং ধ্রুবকটিকে ডেরিভেটিভের চিহ্নের বাইরে রাখার নিয়ম প্রয়োগ করি। আমাদের আছে:
.
যখন n = 3 ফাংশনের জন্য সূত্র (1) প্রয়োগ করুন এবং:
.

একটি নির্বিচারে সংখ্যা n এর জন্য, আমরা আনয়ন পদ্ধতি প্রয়োগ করি। সমীকরণ (2) এর জন্য সন্তুষ্ট হতে দিন। তারপর আমাদের জন্য আছে:

.
অর্থাৎ, অনুমান থেকে যে সমীকরণ (2) এর জন্য সন্তুষ্ট তা অনুসরণ করে যে সমীকরণ (2) এর জন্য সন্তুষ্ট। এবং যেহেতু সমীকরণ (2) এর জন্য সত্য, এটি সবার জন্য সত্য।
তদন্তে প্রমাণিত হয়েছে।

উদাহরণ

উদাহরণ 1

ডেরিভেটিভ খুঁজুন
.

বন্ধনী খোলা। এটি করার জন্য আমরা সূত্র প্রয়োগ করি
.
আমরা পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলিও ব্যবহার করি।
;

;
.

আমরা ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্যের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (2) প্রয়োগ করি।
.

ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
.
তারপর
;
;
.

অবশেষে আমাদের আছে:
.

উদাহরণ 2

চলক x এর সাপেক্ষে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
.

আসুন শিকড়কে পাওয়ার ফাংশনে কমিয়ে দেই।
.
আমরা যোগফল এবং পার্থক্যের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি।
.
আমরা ডেরিভেটিভের সারণী থেকে সূত্র প্রয়োগ করি।
;
;
;
;
;
.
আসুন প্রতিস্থাপন করি:
.
আমরা ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি।
.
এখানে আমরা বিবেচনায় নিয়েছি যে প্রদত্ত ফাংশনটি তে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।
.

এই পাঠে আমরা পার্থক্যের সূত্র এবং নিয়ম প্রয়োগ করতে শিখব।

উদাহরণ। ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন।

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9। নিয়ম প্রয়োগ করা আমি, সূত্র 4, 2 এবং 1. আমরা পেতে:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1।

2. y=3x 6 -2x+5। আমরা একই সূত্র এবং সূত্র ব্যবহার করে একইভাবে সমাধান করি 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2।

নিয়ম প্রয়োগ করা আমি, সূত্র 3, 5 এবং 6 এবং 1.

নিয়ম প্রয়োগ করা IV, সূত্র 5 এবং 1 .

পঞ্চম উদাহরণে, নিয়ম অনুযায়ী আমিযোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান, এবং আমরা এইমাত্র ১ম পদের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি (উদাহরণ 4 ), অতএব, আমরা ডেরিভেটিভস খুঁজে পাব ২য়এবং ৩য়শর্তাবলী, এবং ১ম জন্য summand আমরা অবিলম্বে ফলাফল লিখতে পারেন.

এর পার্থক্য করা যাক ২য়এবং ৩য়সূত্র অনুযায়ী পদ 4 . এটি করার জন্য, আমরা হরগুলির তৃতীয় এবং চতুর্থ শক্তিগুলির মূলগুলিকে ঋণাত্মক সূচক সহ শক্তিতে রূপান্তরিত করি এবং তারপরে, অনুযায়ী 4 সূত্র, আমরা শক্তির ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই।

এই উদাহরণ এবং ফলাফল দেখুন. আপনি প্যাটার্ন ধরা? ফাইন। এর মানে আমাদের কাছে একটি নতুন সূত্র আছে এবং আমরা এটিকে আমাদের ডেরিভেটিভ টেবিলে যোগ করতে পারি।

আসুন ষষ্ঠ উদাহরণটি সমাধান করি এবং আরেকটি সূত্র বের করি।

আসুন নিয়মটি ব্যবহার করি IVএবং সূত্র 4 . এর ফলে ভগ্নাংশ হ্রাস করা যাক.

আসুন এই ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভ দেখি। আপনি, অবশ্যই, প্যাটার্নটি বোঝেন এবং সূত্রটির নাম দিতে প্রস্তুত:

নতুন সূত্র শেখা!

উদাহরণ।

1. আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি এবং ফাংশন y= এর বৃদ্ধি খুঁজুন x 2, যদি আর্গুমেন্টের প্রাথমিক মান সমান হয় 4 , এবং নতুন - 4,01 .

সমাধান।

নতুন যুক্তি মান x=x 0 +Δx. আসুন ডেটা প্রতিস্থাপন করি: 4.01=4+Δх, তাই আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি Δх=4.01-4=0.01। একটি ফাংশনের বৃদ্ধি, সংজ্ঞা অনুসারে, ফাংশনের নতুন এবং পূর্ববর্তী মানের মধ্যে পার্থক্যের সমান, যেমন Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0)। যেহেতু আমরা একটি ফাংশন আছে y=x2, যে Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

উত্তর: যুক্তি বৃদ্ধি Δх=0.01; ফাংশন বৃদ্ধি Δу=0,0801.

ফাংশন বৃদ্ধি ভিন্নভাবে পাওয়া যেতে পারে: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801।

2. ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শকটির প্রবণতার কোণ খুঁজুন y=f(x)বিন্দুতে x 0, যদি f "(x 0) = 1.

সমাধান।

স্পর্শকতার বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান x 0এবং হল স্পর্শক কোণের স্পর্শকের মান (উৎপন্নের জ্যামিতিক অর্থ)। আমাদের আছে: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,কারণ tg45°=1।

উত্তর: এই ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক একটি কোণ গঠন করে যার ধনাত্মক দিক অক্স অক্ষের সমান 45°.

3. ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রটি বের কর y=x n.

পৃথকীকরণএকটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার ক্রিয়া।

ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার সময়, সূত্রগুলি ব্যবহার করুন যা একটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে উদ্ভূত হয়েছিল, যেভাবে আমরা ডেরিভেটিভ ডিগ্রির সূত্রটি তৈরি করেছি: (x n)" = nx n-1.

এগুলো হলো সূত্র।

ডেরিভেটিভের সারণীমৌখিক সূত্রগুলি উচ্চারণ করে মুখস্ত করা সহজ হবে:

1. একটি ধ্রুবক পরিমাণের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান।

2. X প্রাইম একের সমান।

3. ধ্রুবক গুণনীয়কটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে।

4. একটি ডিগ্রির ডেরিভেটিভ একই বেস সহ একটি ডিগ্রী দ্বারা এই ডিগ্রীর সূচকের গুণফলের সমান, কিন্তু সূচকটি একটি কম।

5. একটি মূলের ডেরিভেটিভ একটি সমান দুটি সমান মূল দ্বারা বিভক্ত।

6. এক ভাগ x এর ডেরিভেটিভ বিয়োগ এক ভাগ x বর্গ দ্বারা সমান।

7. সাইনের ডেরিভেটিভ কোসাইন এর সমান।

8. কোসাইনের ডেরিভেটিভ বিয়োগ সাইনের সমান।

9. স্পর্শকটির ডেরিভেটিভ কোসাইনের বর্গ দ্বারা বিভক্ত একের সমান।

10. কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভ সাইনের বর্গ দ্বারা বিয়োগ এক বিয়োগের সমান।

আমরা শেখাই পার্থক্য নিয়ম.

1. একটি বীজগণিতীয় সমষ্টির ডেরিভেটিভ পদের ডেরিভেটিভের বীজগাণিতিক যোগফলের সমান।

2. একটি পণ্যের ডেরিভেটিভ প্রথম গুণনীয়কের ডেরিভেটিভের গুণফলের সমান এবং দ্বিতীয়টি প্লাস প্রথম গুণকের গুণফল এবং দ্বিতীয়টির ডেরিভেটিভের সমান।

3. "y" এর ডেরিভেটিভটি "ve" দ্বারা বিভক্ত একটি ভগ্নাংশের সমান যেখানে লবটি "y প্রাইম দ্বারা গুনিত "ve" বিয়োগ "y গুনিত ve প্রাইম" এবং হরটি "ve বর্গ"।

4. সূত্র একটি বিশেষ ক্ষেত্রে 3.

আসুন একসাথে শিখি!

পৃষ্ঠা 1 এর 1 1

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রের প্রমাণ এবং ডেরিভেটিভ এবং লগারিদমের ভিত্তি a. ln 2x, ln 3x এবং ln nx এর ডেরিভেটিভ গণনার উদাহরণ। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি ব্যবহার করে nম ক্রম লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রের প্রমাণ।

আরো দেখুন: লগারিদম - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ
প্রাকৃতিক লগারিদম - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ এবং লগারিদমের ভিত্তি a-এর জন্য সূত্রের উদ্ভব

x এর প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ x দ্বারা ভাগ করা একের সমান:
(1) (ln x)′ =.

a এর লগারিদমের ডেরিভেটিভটি a এর প্রাকৃতিক লগারিদম দ্বারা গুণিত পরিবর্তনশীল x দ্বারা ভাগ করা একের সমান:
(2) (log a x)′ =.

প্রমাণ

কিছু ধনাত্মক সংখ্যা একের সমান নয়। একটি পরিবর্তনশীল x এর উপর নির্ভর করে একটি ফাংশন বিবেচনা করুন, যা বেসের লগারিদম:
.
এই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় . চলুন x চলকের সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ বের করি। সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরিভেটিভ হল নিম্নলিখিত সীমা:
(3) .

আসুন এই অভিব্যক্তিটিকে পরিচিত গাণিতিক বৈশিষ্ট্য এবং নিয়মগুলিতে হ্রাস করতে রূপান্তর করি। এটি করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত তথ্যগুলি জানতে হবে:
ক)লগারিদমের বৈশিষ্ট্য। আমাদের নিম্নলিখিত সূত্রগুলির প্রয়োজন হবে:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
খ)লগারিদমের ধারাবাহিকতা এবং একটানা ফাংশনের জন্য সীমার বৈশিষ্ট্য:
(7) .
এখানে একটি ফাংশন আছে যার একটি সীমা আছে এবং এই সীমাটি ইতিবাচক।
ভিতরে)দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার অর্থ:
(8) .

আসুন এই তথ্যগুলিকে আমাদের সীমাতে প্রয়োগ করি। প্রথমে আমরা বীজগাণিতিক রাশি রূপান্তর করি
.
এটি করার জন্য, আমরা বৈশিষ্ট্যগুলি (4) এবং (5) প্রয়োগ করি।

.

আসুন সম্পত্তি (7) এবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা (8) ব্যবহার করি:
.

এবং অবশেষে, আমরা সম্পত্তি প্রয়োগ (6):
.
লগারিদম থেকে বেস eডাকা প্রাকৃতিক লগারিদম. এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়:
.
তারপর;
.

এইভাবে, আমরা লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (2) পেয়েছি।

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ

আবারও আমরা লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি লিখি a এ:
.
এই সূত্রে প্রাকৃতিক লগারিদমের সহজতম রূপ রয়েছে, যার জন্য , . তারপর
(1) .

এই সরলতার কারণে, প্রাকৃতিক লগারিদমটি গাণিতিক বিশ্লেষণে এবং ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সম্পর্কিত গণিতের অন্যান্য শাখায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য বেসের সাথে লগারিদমিক ফাংশনগুলিকে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে সম্পত্তি ব্যবহার করে (6):
.

ভিত্তির সাপেক্ষে লগারিদমের ডেরিভেটিভ সূত্র (1) থেকে পাওয়া যাবে, যদি আপনি পার্থক্য চিহ্ন থেকে ধ্রুবকটিকে বের করেন:
.

লগারিদমের ডেরিভেটিভ প্রমাণ করার অন্যান্য উপায়

এখানে আমরা অনুমান করি যে আমরা সূচকের ডেরিভেটিভের সূত্রটি জানি:
(9) .
তারপরে আমরা প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি বের করতে পারি, কারণ লগারিদমটি সূচকের বিপরীত ফাংশন।

আসুন প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করি, বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র প্রয়োগ করা:
.
আমাদের ক্ষেত্রে . প্রাকৃতিক লগারিদমের বিপরীত ফাংশন হল সূচকীয়:
.
এর ডেরিভেটিভ সূত্র (9) দ্বারা নির্ধারিত হয়। ভেরিয়েবল যে কোন চিঠি দ্বারা মনোনীত করা যেতে পারে. সূত্রে (9), ভেরিয়েবল x কে y দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন:
.
তখন থেকে
.
তারপর
.
সূত্রটি প্রমাণিত।

এখন আমরা ব্যবহার করে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করি জটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য নিয়ম. যেহেতু ফাংশন এবং একে অপরের বিপরীত, তারপর
.
চলুন x চলকের ক্ষেত্রে এই সমীকরণটিকে আলাদা করা যাক:
(10) .
x এর ডেরিভেটিভ একের সমান:
.
আমরা জটিল ফাংশনগুলির পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি:
.
এখানে . এর বিকল্প করা যাক (10):
.
এখান থেকে
.

উদাহরণ

এর ডেরিভেটিভস খুঁজুন ln 2x, ln 3xএবং lnnx.

মূল ফাংশন একটি অনুরূপ ফর্ম আছে. তাই আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাব y = লগ nx. তারপর আমরা n = 2 এবং n = 3 প্রতিস্থাপন করব। এবং, এইভাবে, আমরা এর ডেরিভেটিভগুলির জন্য সূত্রগুলি পাই ln 2xএবং ln 3x .

সুতরাং, আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজছি
y = লগ nx .
আসুন এই ফাংশনটিকে দুটি ফাংশন নিয়ে গঠিত একটি জটিল ফাংশন হিসাবে কল্পনা করি:
1) একটি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে ফাংশন: ;
2) একটি পরিবর্তনশীল উপর নির্ভর করে ফাংশন: .
তারপর মূল ফাংশন ফাংশন গঠিত হয় এবং:
.

চলুন x চলকের সাপেক্ষে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক:
.
চলুন চলকটির সাপেক্ষে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আমরা একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি।
.
এখানে আমরা এটা সেট আপ.

তাই আমরা খুঁজে পেয়েছি:
(11) .
আমরা দেখি যে ডেরিভেটিভটি n-এর উপর নির্ভর করে না। এই ফলাফলটি বেশ স্বাভাবিক যদি আমরা পণ্যের লগারিদমের সূত্রটি ব্যবহার করে মূল ফাংশনটি রূপান্তর করি:
.
- এটি একটি ধ্রুবক। এর ডেরিভেটিভ শূন্য। তারপর, যোগফলের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে, আমাদের আছে:
.

; ; .

মডুলাস x এর লগারিদমের ডেরিভেটিভ

আসুন আরেকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি - মডুলাস x এর প্রাকৃতিক লগারিদম:
(12) .

এর মামলা বিবেচনা করা যাক. তারপর ফাংশন মত দেখায়:
.
এর ডেরিভেটিভ সূত্র (1) দ্বারা নির্ধারিত হয়:
.

এখন কেস বিবেচনা করা যাক. তারপর ফাংশন মত দেখায়:
,
কোথায় .
কিন্তু আমরা উপরের উদাহরণে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভও খুঁজে পেয়েছি। এটি n এর উপর নির্ভর করে না এবং এর সমান
.
তারপর
.

আমরা এই দুটি কেসকে একটি সূত্রে একত্রিত করি:
.

তদনুসারে, লগারিদমের ভিত্তি a করার জন্য, আমাদের আছে:
.

প্রাকৃতিক লগারিদমের উচ্চতর আদেশের ডেরিভেটিভ

ফাংশন বিবেচনা করুন
.
আমরা এটির প্রথম অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি:
(13) .

আসুন সেকেন্ড-অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আসুন তৃতীয় অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আসুন চতুর্থ অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.

আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে nth অর্ডার ডেরিভেটিভের ফর্ম রয়েছে:
(14) .
গাণিতিক আবেশ দ্বারা এটি প্রমাণ করা যাক।

প্রমাণ

আসুন n = 1 মানটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (14):
.
যেহেতু , তারপর যখন n = 1 , সূত্র (14) বৈধ।

ধরা যাক যে সূত্র (14) n = k এর জন্য সন্তুষ্ট। আসুন প্রমাণ করি যে এটি বোঝায় যে সূত্রটি n = k এর জন্য বৈধ + 1 .

প্রকৃতপক্ষে, n = k এর জন্য আমাদের আছে:
.
পরিবর্তনশীল x এর সাথে পার্থক্য করুন:

.
তাই আমরা পেয়েছি:
.
এই সূত্রটি n = k + এর জন্য সূত্র (14) এর সাথে মিলে যায় 1 . সুতরাং, অনুমান থেকে যে সূত্র (14) n = k এর জন্য বৈধ, এটি অনুসরণ করে যে সূত্রটি (14) n = k + এর জন্য বৈধ 1 .

অতএব, সূত্র (14), nম ক্রম ডেরিভেটিভের জন্য, যেকোনো n-এর জন্য বৈধ।

লগারিদমের উচ্চ ক্রমগুলির ডেরিভেটিভস বেস a

একটি লগারিদমের nম ক্রম ডেরিভেটিভকে বেস a করার জন্য, আপনাকে এটিকে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে হবে:
.
সূত্র প্রয়োগ করে (14), আমরা nম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
.

অমৌলিক

উচ্চতর গণিত সমাধান করার সময় একটি গাণিতিক ফাংশন (পার্থক্য) এর ডেরিভেটিভ গণনা করা একটি খুব সাধারণ সমস্যা। সাধারণ (প্রাথমিক) গাণিতিক ফাংশনগুলির জন্য, এটি একটি মোটামুটি সহজ বিষয়, যেহেতু প্রাথমিক ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভের টেবিলগুলি দীর্ঘদিন ধরে সংকলিত হয়েছে এবং সহজেই অ্যাক্সেসযোগ্য। যাইহোক, একটি জটিল গাণিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়া একটি তুচ্ছ কাজ নয় এবং প্রায়ই উল্লেখযোগ্য প্রচেষ্টা এবং সময় প্রয়োজন।

ডেরিভেটিভ অনলাইন খুঁজুন

আমাদের অনলাইন পরিষেবা আপনাকে অর্থহীন দীর্ঘ গণনা থেকে পরিত্রাণ পেতে দেয় এবং ডেরিভেটিভ অনলাইন খুঁজুনএক মুহূর্তে তাছাড়া, ওয়েবসাইটে অবস্থিত আমাদের পরিষেবা ব্যবহার করে www.site, আপনি গণনা করতে পারেন অনলাইন ডেরিভেটিভউভয় একটি প্রাথমিক ফাংশন থেকে এবং একটি খুব জটিল থেকে যার একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান নেই। অন্যদের তুলনায় আমাদের সাইটের প্রধান সুবিধাগুলি হল: 1) ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য একটি গাণিতিক ফাংশন প্রবেশের পদ্ধতির জন্য কোন কঠোর প্রয়োজনীয়তা নেই (উদাহরণস্বরূপ, সাইন এক্স ফাংশনটি প্রবেশ করার সময়, আপনি এটিকে sin x বা sin হিসাবে প্রবেশ করতে পারেন (x) বা পাপ[x], ইত্যাদি। d.); 2) অনলাইন ডেরিভেটিভ গণনা তাত্ক্ষণিকভাবে ঘটে অনলাইনএবং একেবারে বিনামুল্যে; 3) আমরা আপনাকে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অনুমতি দিই কোন আদেশ, ডেরিভেটিভের ক্রম পরিবর্তন করা খুব সহজ এবং বোধগম্য; 4) আমরা আপনাকে অনলাইনে প্রায় যেকোনো গাণিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অনুমতি দিই, এমনকি খুব জটিল যেগুলি অন্যান্য পরিষেবা দ্বারা সমাধান করা যায় না। প্রদত্ত প্রতিক্রিয়া সর্বদা সঠিক এবং এতে ত্রুটি থাকতে পারে না।

আমাদের সার্ভার ব্যবহার করে আপনি 1) আপনার জন্য অনলাইন ডেরিভেটিভ গণনা করতে পারবেন, সময়সাপেক্ষ এবং ক্লান্তিকর গণনাগুলি দূর করে যা আপনি একটি ত্রুটি বা টাইপো করতে পারেন; 2) যদি আপনি নিজে একটি গাণিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করেন, তাহলে আমরা আপনাকে আমাদের পরিষেবার গণনার সাথে প্রাপ্ত ফলাফলের তুলনা করার সুযোগ প্রদান করি এবং নিশ্চিত করি যে সমাধানটি সঠিক বা একটি ত্রুটি খুঁজে পাওয়া গেছে যা প্রবেশ করেছে; 3) সাধারণ ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভের টেবিল ব্যবহার করার পরিবর্তে আমাদের পরিষেবা ব্যবহার করুন, যেখানে প্রায়শই পছন্দসই ফাংশন খুঁজে পেতে সময় লাগে।

আপনি যা করতে হবে ডেরিভেটিভ অনলাইন খুঁজুন- আমাদের পরিষেবা ব্যবহার করতে হয়

গণিতের শারীরিক সমস্যা বা উদাহরণগুলি সমাধান করা সম্পূর্ণরূপে অসম্ভব ডেরিভেটিভ এবং এটি গণনার পদ্ধতি সম্পর্কে জ্ঞান ছাড়া। ডেরিভেটিভ হল গাণিতিক বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটি। আমরা আজকের নিবন্ধটি এই মৌলিক বিষয়ে উত্সর্গ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। ডেরিভেটিভ কী, এর ভৌত এবং জ্যামিতিক অর্থ কী, কীভাবে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করা যায়? এই সমস্ত প্রশ্নগুলিকে একত্রিত করা যেতে পারে: কীভাবে ডেরিভেটিভ বোঝা যায়?

ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক এবং শারীরিক অর্থ

একটি ফাংশন হতে দিন f(x) , একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে নির্দিষ্ট (ক, খ) . পয়েন্ট x এবং x0 এই ব্যবধানের অন্তর্গত। যখন x পরিবর্তন হয়, ফাংশন নিজেই পরিবর্তিত হয়। যুক্তি পরিবর্তন - তার মান পার্থক্য x-x0 . এই পার্থক্য হিসাবে লেখা হয় ডেল্টা x এবং আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট বলা হয়। একটি ফাংশনের পরিবর্তন বা বৃদ্ধি হল দুটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের মানের মধ্যে পার্থক্য। ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা:

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা যখন আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য হয়।

অন্যথায় এটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

এমন সীমা খুঁজে পাওয়ার কী আছে? এবং এখানে এটি কি:

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ OX অক্ষের মধ্যে কোণের স্পর্শক এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকের সমান।

ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ: সময়ের সাপেক্ষে পথের ডেরিভেটিভ রেক্টিলাইনার গতির গতির সমান।

প্রকৃতপক্ষে, স্কুলের দিন থেকেই সবাই জানে যে গতি একটি নির্দিষ্ট পথ x=f(t) এবং সময় t . একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে গড় গতি:

সময়ের একটি মুহুর্তে চলাচলের গতি খুঁজে বের করতে t0 আপনাকে সীমা গণনা করতে হবে:

নিয়ম এক: একটি ধ্রুবক সেট করুন

ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে। তাছাড়া, এটা করতে হবে। গণিতে উদাহরণ সমাধান করার সময়, এটি একটি নিয়ম হিসাবে নিন - আপনি যদি একটি অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করতে পারেন তবে এটিকে সরলীকরণ করতে ভুলবেন না .

উদাহরণ। আসুন ডেরিভেটিভ গণনা করা যাক:

নিয়ম দুই: ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ

দুটি ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান। ফাংশনের পার্থক্যের ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।

আমরা এই উপপাদ্যটির প্রমাণ দেব না, বরং একটি বাস্তব উদাহরণ বিবেচনা করব।

ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

নিয়ম তিন: ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ

দুটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

উদাহরণ: একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

সমাধান:

এখানে জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ গণনা করার বিষয়ে কথা বলা গুরুত্বপূর্ণ। একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ মধ্যবর্তী যুক্তির সাপেক্ষে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের গুণফলের সমান এবং স্বাধীন চলকের ক্ষেত্রে মধ্যবর্তী আর্গুমেন্টের ডেরিভেটিভের সমান।

উপরের উদাহরণে আমরা অভিব্যক্তিটি দেখতে পাই:

এই ক্ষেত্রে, মধ্যবর্তী যুক্তি হল 8x থেকে পঞ্চম শক্তি। এই ধরনের অভিব্যক্তির ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য, আমরা প্রথমে মধ্যবর্তী যুক্তির সাপেক্ষে বাহ্যিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করি, এবং তারপর স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে মধ্যবর্তী আর্গুমেন্টের ডেরিভেটিভ দ্বারা গুণ করি।

নিয়ম চার: দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ

দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ নির্ধারণের সূত্র:

আমরা স্ক্র্যাচ থেকে ডামি জন্য ডেরিভেটিভ সম্পর্কে কথা বলার চেষ্টা. এই বিষয়টা যতটা সহজ মনে হচ্ছে ততটা সহজ নয়, তাই সতর্ক করা উচিত: উদাহরণগুলিতে প্রায়শই ত্রুটি থাকে, তাই ডেরিভেটিভ গণনা করার সময় সতর্ক থাকুন।

এই এবং অন্যান্য বিষয়ে কোন প্রশ্ন থাকলে, আপনি ছাত্র পরিষেবার সাথে যোগাযোগ করতে পারেন। অল্প সময়ের মধ্যে, আমরা আপনাকে সবচেয়ে কঠিন পরীক্ষার সমাধান করতে এবং কাজগুলি বুঝতে সাহায্য করব, এমনকি যদি আপনি আগে কখনও ডেরিভেটিভ গণনা না করেন।