Salbiy sonning hosilasi. lotinni hisoblashda tipik xatolar. Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi hosilasi formulasi berilgan. Dalil berilgan va ushbu formulani qo'llash misollari batafsil ko'rib chiqiladi.

Funktsiyalar yig'indisi (farqi) hosilasi formulasi

X mustaqil o'zgaruvchining funksiyalari bo'lsin va bo'lsin. Ular x o'zgaruvchisi qiymatlarining ba'zi diapazonlarida farqlansin. Keyin bu sohada bu funksiyalar yig‘indisining (farqining) hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig‘indisiga (farqiga) teng:
(1) .

Isbot

Funktsiyalar va da differensial bo'lganligi sababli, ushbu funktsiyalarning hosilalari bo'lgan quyidagi chegaralar mavjud:
;
.

X o‘zgaruvchining y funksiyasini ko‘rib chiqaylik, bu funksiyalar yig‘indisi va:
.
Keling, hosila ta'rifini qo'llaymiz.


.

Shunday qilib, funksiyalar yig‘indisining hosilasi hosilalari yig‘indisiga teng ekanligini isbotladik:
.

Xuddi shu tarzda, siz funksiyalar ayirmasining hosilasi hosilalar ayirmasiga teng ekanligini ko'rsatishingiz mumkin:
.
Buni boshqa yo'l bilan ko'rsatish mumkin, yig'indini farqlash uchun tasdiqlangan qoidadan foydalanib:
.

Ushbu ikki qoidani bitta tenglama sifatida yozish mumkin:
(1) .

Natija

Yuqorida biz ikkita funktsiya yig'indisining hosilasini topish qoidasini ko'rib chiqdik. Bu qoidani differensiallanuvchi funksiyalarning istalgan sonining yig‘indisi va ayirmasiga umumlashtirish mumkin.

Har qanday cheklangan sonli differentsiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining (farqining) hosilasi ularning hosilalari yig‘indisiga (farqiga) teng. Konstantani hosila belgisidan tashqariga qo'yish qoidasini hisobga olib, bu qoidani quyidagicha yozish mumkin:
.
Yoki kengaytirilgan shaklda:
(2) .
Bu erda - konstantalar;
- x o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyalari.

Tergovning dalillari

n = bo'lganda 2 , (1) qoidasini va doimiyni hosila belgisidan tashqariga qo'yish qoidasini qo'llaymiz. Bizda ... bor:
.
n = bo'lganda 3 Funktsiyalar uchun formula (1) ni qo'llang va:
.

Ixtiyoriy n soni uchun biz induksiya usulini qo'llaymiz. uchun (2) tenglama bajarilsin. Keyin bizda:

.
Ya'ni, (2) tenglama uning uchun qanoatlantiriladi degan farazdan kelib chiqadiki, (2) tenglama uchun bajariladi. Va (2) tenglama uchun to'g'ri bo'lgani uchun, u hamma uchun to'g'ri.
Tergov isbotlangan.

Misollar

1-misol

Hosilini toping
.

Qavslarni ochish. Buning uchun biz formulani qo'llaymiz
.
Quvvat funksiyalarining xossalaridan ham foydalanamiz.
;

;
.

Funktsiyalar yig'indisi va ayirmasi hosilasi uchun (2) formulani qo'llaymiz.
.

Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.
Keyin
;
;
.

Nihoyat bizda:
.

2-misol

Funksiyaning x o‘zgaruvchisiga nisbatan hosilasini toping
.

Keling, quvvat funktsiyalarining ildizlarini qisqartiraylik.
.
Yig'indi va ayirmani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Biz hosilalar jadvalidagi formulalarni qo'llaymiz.
;
;
;
;
;
.
Keling, almashtiramiz:
.
Biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz.
.
Bu yerda berilgan funksiya da aniqlanganligini hisobga oldik.
.

Ushbu darsda biz differensiallash formulalari va qoidalarini qo'llashni o'rganamiz.

Misollar. Funksiyalarning hosilalarini toping.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Qoidani qo'llash I, formulalar 4, 2 va 1. Biz olamiz:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Xuddi shu formulalar va formulalar yordamida biz xuddi shunday hal qilamiz 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Qoidani qo'llash I, formulalar 3, 5 Va 6 Va 1.

Qoidani qo'llash IV, formulalar 5 Va 1 .

Beshinchi misolda, qoida bo'yicha I yig'indining hosilasi hosilalar yig'indisiga teng va biz hozirgina 1-sonning hosilasini topdik (misol 4 ), shuning uchun hosilalarni topamiz 2 Va 3 shartlar va 1 uchun summand biz darhol natijani yozishimiz mumkin.

Keling, farq qilaylik 2 Va 3 formulaga muvofiq atamalar 4 . Buning uchun maxrajdagi uchinchi va to‘rtinchi darajalarning ildizlarini manfiy ko‘rsatkichli darajalarga, so‘ngra unga ko‘ra o‘zgartiramiz. 4 formula, biz kuchlarning hosilalarini topamiz.

Ushbu misol va natijaga qarang. Shaklni tushundingizmi? Yaxshi. Bu degani, bizda yangi formula bor va uni lotinlar jadvalimizga qo'shishimiz mumkin.

Oltinchi misolni yechib, boshqa formula chiqaramiz.

Keling, qoidadan foydalanamiz IV va formula 4 . Olingan kasrlarni kamaytiramiz.

Keling, ushbu funktsiyani va uning hosilasini ko'rib chiqaylik. Siz, albatta, naqshni tushunasiz va formulani nomlashga tayyormiz:

Yangi formulalarni o'rganish!

Misollar.

1. Argumentning o‘sish va y= funksiyasining o‘sish qismini toping x 2, agar argumentning boshlang'ich qiymati teng bo'lsa 4 va yangi - 4,01 .

Yechim.

Yangi argument qiymati x=x 0 +Dx. Keling, ma'lumotlarni almashtiramiz: 4.01=4+Dx, demak, argumentning o'sishi. Dx=4,01-4=0,01. Funktsiyaning o'sishi, ta'rifiga ko'ra, funktsiyaning yangi va oldingi qiymatlari o'rtasidagi farqga teng, ya'ni. Dy=f (x 0 +Dx) - f (x 0). Chunki bizda funktsiya mavjud y=x2, Bu du=(x 0 +Dx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Dx+(Dx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Dx+(Dx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Javob: argument ortishi Dx=0,01; funktsiyaning o'sishi du=0,0801.

Funktsiya o'sishi boshqacha topilishi mumkin edi: dy=y (x 0 +Dx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Funksiya grafigiga teginish burchagini toping y=f(x) nuqtada x 0, Agar f "(x 0) = 1.

Yechim.

Hosilning teginish nuqtasidagi qiymati x 0 va tangens burchak tangensining qiymati (hosilning geometrik ma'nosi). Bizda ... bor: f "(x 0) = tana = 1 → a = 45°, chunki tg45°=1.

Javob: bu funksiyaning grafigiga tegish Ox o'qining musbat yo'nalishi ga teng bo'lgan burchak hosil qiladi 45°.

3. Funktsiyaning hosilasi formulasini chiqaring y=x n.

Differentsiatsiya funksiyaning hosilasini topish harakatidir.

Hosilalarni topishda, hosila darajasi uchun formulani olganimiz kabi, hosila ta'rifi asosida olingan formulalardan foydalaning: (x n)" = nx n-1.

Bu formulalar.

Hosilalar jadvali Og'zaki formulalarni talaffuz qilish orqali eslab qolish osonroq bo'ladi:

1. Doimiy miqdorning hosilasi nolga teng.

2. X tub soni birga teng.

3. Doimiy koeffitsient hosila belgisidan chiqarilishi mumkin.

4. Darajaning hosilasi shu daraja ko'rsatkichining bir xil asosga ega bo'lgan daraja ko'paytmasiga teng, lekin ko'rsatkich bitta kam.

5. Ildizning hosilasi ikkita teng ildizga bo'lingan birga teng.

6. X ga bo'lingan birning hosilasi minus bir bo'lingan x kvadratga teng.

7. Sinusning hosilasi kosinusga teng.

8. Kosinusning hosilasi minus sinusga teng.

9. Tangensning hosilasi kosinusning kvadratiga bo'lingan biriga teng.

10. Kotangentning hosilasi sinus kvadratiga bo'lingan minus birga teng.

Biz o'rgatamiz farqlash qoidalari.

1. Algebraik yig‘indining hosilasi atamalar hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.

2. Mahsulotning hosilasi birinchi omilning hosilasi va ikkinchisining hosilasi va birinchi omilning hosilasi va ikkinchisining hosilasiga teng.

3. “y” ning “ve” ga bo‘lingan hosilasi kasrga teng bo‘lib, bunda pay “y tub sonini “ve”ga ko‘paytiruvchi minus “y”ni ve tubiga ko‘paytiruvchi”, maxraji “ve kvadrat” bo‘ladi.

4. Formulaning alohida holati 3.

Keling, birgalikda o'rganamiz!

1 sahifadan 1 1

Natural logarifm va a asosining logarifmi hosilasi formulalarini isbotlash va hosil qilish. ln 2x, ln 3x va ln nx hosilalarini hisoblash misollari. n-tartibli logarifm hosilasi formulasini matematik induksiya usuli yordamida isbotlash.

Shuningdek qarang: Logarifm - xossalar, formulalar, grafik
Natural logarifm - xossalar, formulalar, grafik

Tabiiy logarifm va logarifmning hosilalari uchun formulalar hosil qilish.

X ning natural logarifmining hosilasi x ga bo'lingan birga teng:
(1) (ln x)' =.

a asosining logarifm hosilasi x o‘zgaruvchisiga bo‘linib a ning natural logarifmiga ko‘paytirilgan biriga teng:
(2) (log a x)' =.

Isbot

Birga teng bo'lmagan ijobiy son bo'lsin. X o'zgaruvchisiga bog'liq funktsiyani ko'rib chiqing, bu bazaning logarifmi:
.
Bu funktsiya da belgilangan. Uning x o‘zgaruvchisiga nisbatan hosilasi topilsin. Ta'rifga ko'ra, lotin quyidagi chegara hisoblanadi:
(3) .

Keling, ushbu ifodani ma'lum matematik xususiyatlar va qoidalarga qisqartirish uchun aylantiramiz. Buning uchun biz quyidagi faktlarni bilishimiz kerak:
A) Logarifmning xossalari. Bizga quyidagi formulalar kerak bo'ladi:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Logarifmning uzluksizligi va uzluksiz funksiya uchun limitlar xossasi:
(7) .
Bu erda chegarasi bo'lgan ba'zi funktsiyalar mavjud va bu chegara ijobiydir.
IN) Ikkinchi ajoyib chegaraning ma'nosi:
(8) .

Keling, ushbu faktlarni o'z chegaramizga qo'llaylik. Avval algebraik ifodani o'zgartiramiz
.
Buning uchun (4) va (5) xossalarni qo'llaymiz.

.

Keling, (7) xususiyatni va ikkinchi ajoyib chegarani (8) ishlatamiz:
.

Va nihoyat, biz mulkni qo'llaymiz (6):
.
Logarifmdan asosga e chaqirdi tabiiy logarifm. U quyidagicha belgilanadi:
.
Keyin;
.

Shunday qilib, logarifmning hosilasi uchun formula (2) ni oldik.

Natural logarifmning hosilasi

Biz yana bir bor logarifmning a asosiga hosilasi formulasini yozamiz:
.
Bu formula natural logarifm uchun eng oddiy shaklga ega, buning uchun , . Keyin
(1) .

Ushbu soddaligi tufayli tabiiy logarifm matematik tahlilda va matematikaning differentsial hisob bilan bog'liq boshqa sohalarida juda keng qo'llaniladi. Boshqa asoslar bilan logarifmik funksiyalar (6) xossasi yordamida natural logarifm bilan ifodalanishi mumkin:
.

Logarifmning asosga nisbatan hosilasini (1) formuladan topish mumkin, agar siz doimiyni differentsiatsiya belgisidan chiqarsangiz:
.

Logarifm hosilasini isbotlashning boshqa usullari

Bu erda biz eksponensial hosila uchun formulani bilamiz deb taxmin qilamiz:
(9) .
Keyin, logarifm ko'rsatkichning teskari funksiyasi ekanligini hisobga olsak, natural logarifmaning hosilasi formulasini chiqarishimiz mumkin.

Natural logarifm hosilasi formulasini isbotlaylik, teskari funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llash:
.
Bizning holatda.
.
Natural logarifmga teskari funktsiya eksponensial hisoblanadi:
.
Uning hosilasi (9) formula bilan aniqlanadi. O'zgaruvchilar har qanday harf bilan belgilanishi mumkin. (9) formuladagi x o'zgaruvchisini y bilan almashtiring:
.
Keyin
.
O'shandan beri

Formula isbotlangan. Endi biz natural logarifm hosilasi formulasini foydalanib isbotlaymiz murakkab funktsiyalarni farqlash qoidalari
.
. va funktsiyalari bir-biriga teskari bo'lgani uchun
(10) .
Bu tenglamani x o‘zgaruvchisiga nisbatan farqlaylik:
.
X ning hosilasi birga teng:
.
Biz murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:
.
Bu yerga . (10) ni almashtiramiz:
.

Bu yerdan

Misol ning hosilalarini toping ln 2x, Va ln 3x.

lnnx Asl funktsiyalar shunga o'xshash shaklga ega. Shuning uchun biz funktsiyaning hosilasini topamiz y = log nx . Keyin n = 2 va n = 3 ni almashtiramiz. Shunday qilib, hosilalarining formulalarini olamiz ln 2x ln 2x, .

Va
Asl funktsiyalar shunga o'xshash shaklga ega. Shuning uchun biz funktsiyaning hosilasini topamiz .
Shunday qilib, biz funktsiyaning hosilasini qidiramiz
1) O'zgaruvchiga bog'liq funksiyalar: ;
2) O'zgaruvchiga bog'liq funksiyalar: .
Keyin asl funktsiya quyidagi funktsiyalardan iborat bo'ladi:
.

Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan hosilasi topilsin:
.
Funktsiyaning o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi topilsin:
.
Kompleks funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
.
Mana biz uni o'rnatdik.

Shunday qilib, biz topdik:
(11) .
Biz hosila n ga bog'liq emasligini ko'ramiz. Agar mahsulotning logarifmi formulasidan foydalanib, asl funktsiyani o'zgartirsak, bu natija tabiiydir:
.
- bu doimiy. Uning hosilasi nolga teng. Keyin, yig'indini farqlash qoidasiga ko'ra, bizda:
.

; ; .

X modulining logarifmining hosilasi

Yana bir muhim funktsiyaning hosilasi - x modulining natural logarifmini topamiz:
(12) .

Keling, ishni ko'rib chiqaylik. Keyin funktsiya quyidagicha ko'rinadi:
.
Uning hosilasi (1) formula bilan aniqlanadi:
.

Endi ishni ko'rib chiqaylik. Keyin funktsiya quyidagicha ko'rinadi:
,
Qayerda.
Lekin biz yuqoridagi misolda bu funksiyaning hosilasini ham topdik. U n ga bog'liq emas va ga teng
.
Keyin
.

Biz ushbu ikki holatni bitta formulaga birlashtiramiz:
.

Shunga ko'ra, logarifm a ga asoslanishi uchun bizda quyidagilar mavjud:
.

Natural logarifmning yuqori tartibli hosilalari

Funktsiyani ko'rib chiqing
.
Biz uning birinchi tartibli hosilasini topdik:
(13) .

Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
.
Uchinchi tartibli hosilani topamiz:
.
To'rtinchi tartibli hosilani topamiz:
.

n-tartibli hosila quyidagi shaklga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin:
(14) .
Keling, buni matematik induksiya bilan isbotlaylik.

Isbot

n = 1 qiymatini (14) formulaga almashtiramiz:
.
dan beri, keyin n = bo'lganda 1 , formula (14) amal qiladi.

Faraz qilaylik, (14) formula n = k uchun qanoatlansin. Bu formulaning n = k uchun haqiqiyligini bildirishini isbotlaylik + 1 .

Darhaqiqat, n = k uchun bizda:
.
X o'zgaruvchisiga nisbatan farqlang:

.
Shunday qilib, biz oldik:
.
Bu formula n = k + uchun formula (14) bilan mos keladi 1 . Shunday qilib, (14) formula n = k uchun o'rinli degan farazdan (14) formula n = k + uchun o'rinli degan xulosaga keladi. 1 .

Demak, n-tartibli hosila uchun (14) formula har qanday n uchun amal qiladi.

A asosi uchun logarifmning yuqori tartibli hosilalari

Logarifmning n-tartibli hosilasini a ning asosini topish uchun uni natural logarifm bilan ifodalash kerak:
.
(14) formuladan foydalanib, n-chi hosilani topamiz:
.

Hosil

Matematik funktsiyaning hosilasini hisoblash (differentsiatsiya) oliy matematikani yechishda juda keng tarqalgan muammodir. Oddiy (elementar) matematik funktsiyalar uchun bu juda oddiy masala, chunki elementar funktsiyalar uchun hosilalar jadvallari uzoq vaqtdan beri tuzilgan va ularga osongina kirish mumkin. Biroq, murakkab matematik funktsiyaning hosilasini topish arzimas ish emas va ko'pincha katta kuch va vaqtni talab qiladi.

Onlaynda lotin toping

Bizning onlayn xizmatimiz sizga ma'nosiz uzoq hisob-kitoblardan xalos bo'lishga imkon beradi va onlayn lotin toping bir lahzada. Bundan tashqari, veb-saytda joylashgan bizning xizmatimizdan foydalanish www.sayt, hisoblashingiz mumkin onlayn hosila elementar funksiyadan ham, analitik yechimga ega bo‘lmagan juda murakkab funksiyadan ham. Saytimizning boshqalarga nisbatan asosiy afzalliklari: 1) hosilani hisoblash uchun matematik funktsiyani kiritish usuliga qat'iy talablar yo'q (masalan, sinus x funksiyasini kiritishda uni sin x yoki sin sifatida kiritishingiz mumkin. (x) yoki sin[x] va boshqalar d.); 2) onlayn lotin hisoblash bir zumda sodir bo'ladi onlayn va mutlaqo tekinga; 3) funksiyaning hosilasini topishga imkon beramiz har qanday buyurtma, lotinning tartibini o'zgartirish juda oson va tushunarli; 4) biz sizga deyarli har qanday matematik funktsiyaning hosilasini, hatto boshqa xizmatlar tomonidan yechilmaydigan juda murakkablarini ham topishga imkon beramiz. Berilgan javob har doim to'g'ri va xatolarni o'z ichiga olmaydi.

Bizning serverimizdan foydalanish sizga 1) hosilani siz uchun onlayn hisoblab chiqish imkonini beradi, bunda xato yoki matn terish xatosiga yo'l qo'yishingiz mumkin bo'lgan vaqt va zerikarli hisob-kitoblarni bartaraf etish; 2) agar siz matematik funktsiyaning hosilasini o'zingiz hisoblasangiz, biz sizga olingan natijani bizning xizmatimiz hisob-kitoblari bilan solishtirish va yechimning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish yoki kirib kelgan xatoni topish imkoniyatini beramiz; 3) oddiy funksiyalarning hosilalari jadvallarini ishlatish o'rniga bizning xizmatimizdan foydalaning, bu erda kerakli funktsiyani topish uchun ko'pincha vaqt talab etiladi.

Sizga kerak bo'lgan yagona narsa onlayn lotin toping- bizning xizmatimizdan foydalanish

Matematikada fizik masalalarni yoki misollarni echish hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan butunlay mumkin emas. Hosila matematik tahlildagi eng muhim tushunchalardan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. Hosila nima, uning fizik va geometrik ma'nosi nima, funktsiyaning hosilasi qanday hisoblanadi? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ma'lum bir oraliqda ko'rsatilgan (a, b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argumentni o'zgartirish - uning qiymatlaridagi farq x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. lotin ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, ikkinchisi nolga intiladi.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Va bu nima:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

Hosilning fizik ma'nosi: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni o'ziga xos yo'l ekanligini biladi x=f(t) va vaqt t . Muayyan vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini aniqlash t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni o'rnating

Konstantani hosila belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni yechayotganda, uni qoida sifatida qabul qiling - Agar siz ifodani soddalashtira olsangiz, uni soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differensiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Yechim:

Bu yerda murakkab funksiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhim. Murakkab funktsiyaning hosilasi ushbu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasi bilan teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun avval tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini hisoblab chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: ikkita funktsiya bo'limining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savollar bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin testni yechishga va vazifalarni tushunishga yordam beramiz, hatto siz ilgari hech qachon lotin hisob-kitoblarini qilmagan bo'lsangiz ham.