Empirik funksiya va uning grafigi. Empirik taqsimot funksiyasi. Empirik taqsimot funksiyasi, xossalari

tarqatish: Fn(x) kamaymaydigan funksiya, uning qiymatlari segmentga tegishli;

Agar x 1 - parametrning eng kichik qiymati va xk - eng buyuk, demak Fn(x)= 0, Qachon x<x 1 , Va FP(xk)= 1 qachon x>=xk.

Funktsiya Fn(x) ED tomonidan belgilanadi, shuning uchun u deyiladi empirik taqsimot funktsiyasi. Empirik funktsiyadan farqli o'laroq Fn(x) taqsimlash funksiyasi F (x) populyatsiyaning nazariy taqsimot funksiyasi deyiladi, u hodisaning chastotasini emas, balki ehtimolini tavsiflaydi X<x. Bernulli teoremasidan kelib chiqadiki, chastota Fn(x) ehtimollikdan ehtimollikka intiladi F(x) cheksiz kattalashtirish bilan n. Binobarin, katta hajmdagi kuzatishlar bilan nazariy taqsimot funksiyasi F(x) empirik funksiya bilan almashtirilishi mumkin Fn(x).

Empirik funktsiya grafigi Fn(x) uzilgan chiziqdir. Variatsion qatorning qo'shni a'zolari orasidagi bo'shliqlarda Fn(x) doimiy bo'lib qoladi. Eksa nuqtalaridan o'tayotganda x, namuna a'zolariga teng, Fn(x) uzilishga duchor bo'lib, 1/ qiymatiga keskin ortadi. n, va agar tasodif bo'lsa l kuzatishlar - yoqilgan l/n.

2.1-misol. Kuzatish natijalari asosida empirik taqsimot funksiyasining variatsion qatori va grafigini tuzing, jadval. 2.1.

2.1-jadval

Istalgan empirik funktsiya, rasm. 2.1:

Guruch. 2.1. Empirik taqsimot funksiyasi

Katta namuna hajmi bilan ("katta hajm" tushunchasi maqsadlar va qayta ishlash usullariga bog'liq, bu holda biz ko'rib chiqamiz. P katta bo'lsa n>40) axborotni qayta ishlash va saqlash qulayligi uchun EDlarni intervallarga guruhlash uchun murojaat qiling. Intervallar soni shunday tanlanishi kerakki, agregatdagi parametr qiymatlarining xilma-xilligi kerakli darajada aks ettirilishi va shu bilan birga taqsimot sxemasi alohida toifalardagi tasodifiy chastota o'zgarishlari bilan buzilmasligi kerak. Tanlash uchun bo'sh ko'rsatmalar mavjud miqdorlar y Va hajmi h Bunday intervallar, xususan:

har bir intervalda kamida 5-7 element bo'lishi kerak. Ekstremal darajalarda faqat ikkita elementga ruxsat beriladi;

intervallar soni juda katta yoki juda kichik bo'lmasligi kerak. Eng kam y qiymati kamida 6 - 7 bo'lishi kerak. Namuna hajmi bir necha yuz elementlardan oshmasa, qiymat y 10 dan 20 gacha bo'lgan oraliqda o'rnatiladi. Juda katta namuna hajmi uchun ( n>1000) intervallar soni belgilangan qiymatlardan oshib ketishi mumkin. Ba'zi tadqiqotchilar nisbatdan foydalanishni tavsiya qiladilar y=1,441*ln( n)+1;

oraliqlar uzunligida nisbatan kichik notekislik bilan bir xil va teng qiymatni tanlash qulay

h= (x maksimal - x min)/y,

Qayerda x max - maksimal va x min – parametrning minimal qiymati. Agar taqsimot qonuni sezilarli darajada notekis bo'lsa, intervallarning uzunligi taqsimot zichligining tez o'zgarishi hududida kichikroq hajmga o'rnatilishi mumkin;

Agar sezilarli notekislik bo'lsa, har bir toifaga taxminan bir xil miqdordagi namunaviy elementlarni belgilash yaxshiroqdir. Keyin ma'lum bir intervalning uzunligi ushbu intervalga guruhlangan namunaviy elementlarning ekstremal qiymatlari bilan aniqlanadi, ya'ni. turli intervallar uchun har xil bo'ladi (bu holda, gistogrammani qurishda, interval uzunligi bo'yicha normallashtirish talab qilinadi - aks holda gistogrammaning har bir elementining balandligi bir xil bo'ladi).

Kuzatish natijalarini intervallar bo'yicha guruhlash quyidagilarni ta'minlaydi: parametrdagi o'zgarishlar oralig'ini aniqlash X; intervallar sonini va ularning hajmini tanlash; hamma uchun hisoblash men- th interval [ xi–xi+1 ] chastotalar ni yoki nisbiy chastota (chastota n i) variantlar intervalga tushadi. Natijada, shaklda EDning vakili shakllanadi intervalli yoki statistik qator.

Grafik jihatdan statistik qator gistogramma, ko'pburchak va pog'onali chiziq ko'rinishida ko'rsatiladi. Ko'pincha gistogramma asoslari uzunlik oraliqlari bo'lgan to'rtburchaklardan iborat figura sifatida ifodalanadi h, va balandliklar mos keladigan chastotaga teng. Biroq, bu yondashuv noto'g'ri. Balandligi men- to'rtburchak z i teng tanlanishi kerak ni/ (nh). Bunday gistogramma empirik taqsimot funksiyasining grafik tasviri sifatida talqin qilinishi mumkin fn(x), unda barcha to'rtburchaklarning umumiy maydoni bitta bo'ladi. Gistogramma EDni yaqinlashtirish uchun nazariy taqsimot funksiyasi turini tanlashga yordam beradi.

Poligon siniq chiziq deb ataladi, uning segmentlari koordinatali nuqtalarni abscissa o'qi bo'ylab intervallarning o'rta nuqtalariga teng va ordinat o'qi bo'ylab mos keladigan chastotalarga teng. Empirik taqsimot funktsiyasi bosqichli siniq chiziq sifatida ko'rsatiladi: har bir oraliqda joriy intervalda to'plangan chastotaga mutanosib balandlikda gorizontal chiziq segmenti chiziladi. Yig'ilgan chastota barcha chastotalar yig'indisiga teng bo'lib, birinchidan boshlab va shu intervalgacha.

2.2-misol. Signalning zaiflashuvi qiymatlarini qayd etish natijalari mavjud xi telefon tarmog'ining kommutatsiya qilingan kanalining 1000 Gts chastotasida. JB da o'lchangan bu qiymatlar jadvalda o'zgaruvchan seriyalar ko'rinishida keltirilgan. 2.3. Statistik qatorni tuzish kerak.

2.3-jadval

Yechim. Statistik seriyaning raqamlari soni, ularning har birida etarli miqdordagi urishni ta'minlash uchun imkon qadar minimal tanlanishi kerak y = 6. Raqamning o'lchamini aniqlaymiz;

h =(x maksimal - x min)/y =(29,28 – 25,79)/6 = 0,58.

Kuzatishlarni toifa, jadval bo‘yicha guruhlaymiz. 2.4.

2.4-jadval

Statistik ketma-ketlikka asoslanib, biz gistogramma tuzamiz, rasm. 2.2 va empirik taqsimot funksiyasining grafigi, shakl. 2.3.

Empirik taqsimot funksiyasining grafigi, rasm. 2.3 rasmda keltirilgan grafikdan farq qiladi. 2.1 Variantlarni o'zgartirish bosqichining tengligi va funktsiyaning o'sish bosqichining o'lchami (variatsiya qatori yordamida tuzilganda, o'sish bosqichi ko'p sonli bo'ladi

1/ n, va statistik seriyalarga ko'ra - ma'lum bir toifadagi chastotaga bog'liq).

Ko'rib chiqilgan ED ko'rinishlari turli parametrlarni keyingi qayta ishlash va hisoblash uchun dastlabki hisoblanadi.

O'rtacha namuna.

X miqdoriy xarakteristikasi bo'yicha umumiy populyatsiyani o'rganish uchun n o'lchamdagi namunani ajratib oling.

Namuna o'rtacha - bu tanlanma populyatsiyadagi xarakteristikaning o'rtacha arifmetik qiymati.

Namuna farqi.

Namuna qiymatlarining miqdoriy xarakteristikasining o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini kuzatish uchun umumiy xarakteristika kiritiladi - namunaviy dispersiya.

Namuna dispersiyasi - xarakteristikaning kuzatilgan qiymatlarining ularning o'rtacha qiymatidan chetlanishi kvadratlarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Agar namunaviy xarakteristikaning barcha qiymatlari boshqacha bo'lsa, unda

Tuzatilgan farq.

Tanlangan dispersiya - bu populyatsiya dispersiyasining noxolis bahosi, ya'ni. tanlanma dispersiyaning matematik kutilishi taxminiy umumiy dispersiyaga teng emas, lekin tengdir

Namunadagi farqni tuzatish uchun uni kasrga ko'paytirish kifoya

Namuna korrelyatsiya koeffitsienti formula orqali topiladi

qiymatlarning namunaviy standart og'ishlari qaerda va .

Tanlangan korrelyatsiya koeffitsienti va orasidagi chiziqli munosabatning yaqinligini ko'rsatadi: birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, va o'rtasidagi chiziqli bog'lanish shunchalik kuchli bo'ladi.

23. Chastotali ko'pburchak - segmentlari nuqtalarni bog'laydigan siniq chiziq. Chastotali ko‘pburchakni qurish uchun variantlar abscissa o‘qiga, mos keladigan chastotalar esa ordinatalar o‘qiga chiziladi va nuqtalar to‘g‘ri chiziq bo‘laklari bilan bog‘lanadi.

Nisbiy chastotali ko'pburchak xuddi shunday tarzda tuzilgan, faqat nisbiy chastotalar ordinata o'qida chizilgan.

Chastota gistogrammasi to'rtburchaklardan tashkil topgan pog'onali figura bo'lib, ularning asoslari h uzunlikdagi qisman intervallar, balandliklari esa nisbatga teng. Chastota gistogrammasini qurish uchun abscissa o'qiga qisman intervallar yotqiziladi va ularning ustiga abscissa o'qiga masofada (balandlikda) parallel bo'lgan segmentlar chiziladi. i-to'rtburchakning maydoni i-o intervalining chastotalari yig'indisiga teng, shuning uchun chastota gistogrammasining maydoni barcha chastotalar yig'indisiga teng, ya'ni. namuna hajmi.

Empirik taqsimot funksiyasi

Qayerda n x- dan kam namuna qiymatlari soni x; n- namuna hajmi.

22Matematik statistikaning asosiy tushunchalarini belgilaylik

.Matematik statistikaning asosiy tushunchalari. Populyatsiya va namuna. Variatsion qatorlar, statistik qatorlar. Guruhlangan namuna. Guruhlangan statistik qatorlar. Chastotali poligon. Namuna taqsimoti funksiyasi va gistogramma.

Aholi- mavjud ob'ektlarning butun to'plami.

Namuna- umumiy aholi orasidan tasodifiy tanlangan ob'ektlar to'plami.

O'sish tartibida yozilgan variantlar ketma-ketligi deyiladi o'zgaruvchan yaqin, va variantlar ro'yxati va ularga mos keladigan chastotalar yoki nisbiy chastotalar - statistik qator: umumiy aholi orasidan tasodifiy tanlangan.

Poligon chastotalar siniq chiziq deb ataladi, uning segmentlari nuqtalarni bog'laydi.

Chastotalar gistogrammasi to'rtburchaklardan tashkil topgan pog'onali figura bo'lib, ularning asoslari h uzunlikdagi qisman intervallar, balandliklari esa nisbatga teng.

Namuna (empirik) taqsimot funksiyasi funksiyani chaqiring F*(x), har bir qiymat uchun aniqlash X hodisaning nisbiy chastotasi X< x.

Agar biron bir uzluksiz xususiyat o'rganilayotgan bo'lsa, u holda variatsiya qatori juda ko'p sonlardan iborat bo'lishi mumkin. Bunday holda, undan foydalanish qulayroqdir guruhlangan namuna. Uni olish uchun atributning barcha kuzatilgan qiymatlarini o'z ichiga olgan interval bir nechta teng qisman uzunlik oralig'iga bo'linadi. h, va keyin har bir qisman interval uchun toping n i- kiritilgan variantning chastotalar yig'indisi i th interval.

20. Katta sonlar qonunini katta sonlar bilan bog'liq bo'lgan biron bir umumiy qonun deb tushunmaslik kerak. Katta sonlar qonuni bir nechta teoremalarning umumlashtirilgan nomi bo'lib, shundan kelib chiqadiki, sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan o'rtacha qiymatlar ma'lum konstantalarga moyil bo'ladi.

Bularga Chebishev va Bernulli teoremalari kiradi. Chebishev teoremasi katta sonlarning eng umumiy qonunidir.

"Katta sonlar qonuni" atamasi bilan birlashtirilgan teoremalarning isboti Chebishevning tengsizligiga asoslanadi, bu uning matematik taxminidan chetga chiqish ehtimolini belgilaydi:

19Pirson taqsimoti (chi - kvadrat) - tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda X 1, X 2,…, X n mustaqil va bir xil taqsimotga ega N(0,1). Bunday holda, atamalar soni, ya'ni. n, chi-kvadrat taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi.

Xi-kvadrat taqsimoti dispersiyani baholashda (ishonch oralig'idan foydalangan holda), kelishuv, bir xillik, mustaqillik gipotezalarini sinab ko'rishda,

Tarqatish t Student t - tasodifiy miqdorning taqsimlanishi

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda U Va X mustaqil, U standart normal taqsimotga ega N(0,1) va X– chi taqsimoti – kvadrat c n erkinlik darajalari. Qayerda n Talaba taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi.

U ishonch oraliqlaridan foydalangan holda matematik kutish, prognoz qiymati va boshqa xususiyatlarni baholashda, matematik taxminlar qiymatlari haqidagi farazlarni, regressiya koeffitsientlarini tekshirishda,

Fisher taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotidir

Fisher taqsimoti regressiya tahlilida, dispersiyalarning tengligida va amaliy statistikaning boshqa muammolarida modelning adekvatligi haqidagi farazlarni sinab ko'rishda qo'llaniladi.

18Chiziqli regressiya o'tgan ma'lumotlar asosida kelajakdagi narxlarni bashorat qilish uchun ishlatiladigan statistik vosita bo'lib, odatda narxlarning haddan tashqari qizib ketganini aniqlash uchun ishlatiladi. Eng kichik kvadratlar usuli bir qator narx qiymati nuqtalari orqali "eng yaxshi mos" to'g'ri chiziqni qurish uchun ishlatiladi. Kirish sifatida ishlatiladigan narx nuqtalari quyidagilardan biri bo'lishi mumkin: ochiq, yopiq, yuqori, past,

17. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdor ikki tasodifiy o'zgaruvchining tartiblangan to'plami yoki .

Misol: Ikkita zar tashlanadi. - mos ravishda birinchi va ikkinchi zarda tashlangan ochkolar soni

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlashning universal usuli bu taqsimot funktsiyasidir.

15.m.o Diskret tasodifiy miqdorlar

Xususiyatlari:

1) M(C) = C, C- doimiy;

2) M(CX) = SM.(X);

3) M(X 1 + X 2) = M(X 1) + M(X 2), Qayerda X 1, X 2- mustaqil tasodifiy miqdorlar;

4) M(X 1 X 2) = M(X 1)M(X 2).

Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutishlari ularning matematik kutishlari yig'indisiga teng, ya'ni.

Tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi farqning matematik kutilishi ularning matematik kutishlari farqiga teng, ya'ni.

Tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutishlari ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng, ya'ni.

Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlari bir xil C soniga ko'paytirilsa (kamaytirilsa), uning matematik kutilishi bir xil songa ortadi (kamayadi).

14. Eksponensial(eksponentsial)tarqatish qonuni X l >0 parametrli eksponensial taqsimot qonuniga ega, agar uning ehtimollik zichligi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa:

Kutilayotgan qiymat: .

Dispersiya: .

Eksponensial taqsimot qonuni navbat nazariyasi va ishonchlilik nazariyasida katta rol o'ynaydi.

13. Oddiy taqsimot qonuni buzilish chastotasi a (t) yoki buzilish ehtimoli zichligi f (t) ko'rinish bilan tavsiflanadi:

, (5.36)

bu erda s - SV ning standart og'ishi x;

m x- SV ning matematik kutilishi x. Ushbu parametr ko'pincha dispersiya markazi yoki SV ning eng ehtimol qiymati deb ataladi X.

x- tasodifiy o'zgaruvchi, bu vaqt, oqim qiymati, elektr kuchlanish qiymati va boshqa argumentlar sifatida qabul qilinishi mumkin.

Oddiy qonun ikki parametrli qonun bo'lib, uni yozish uchun siz m ni bilishingiz kerak x va s.

Oddiy taqsimot (Gauss taqsimoti) bir qator tasodifiy omillar ta'sirida bo'lgan mahsulotlarning ishonchliligini baholash uchun ishlatiladi, ularning har biri natijada yuzaga keladigan ta'sirga ozgina ta'sir qiladi.

12. Yagona taqsimlash qonuni. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X segmentda yagona taqsimot qonuniga ega [ a, b], agar uning ehtimollik zichligi ushbu segmentda doimiy bo'lsa va uning tashqarisida nolga teng bo'lsa, ya'ni.

Belgilanishi: .

Kutilayotgan qiymat: .

Dispersiya: .

Tasodifiy qiymat X, segment bo'yicha yagona qonun bo'yicha taqsimlangan deb ataladi tasodifiy raqam 0 dan 1 gacha. U har qanday taqsimot qonuniga ega tasodifiy miqdorlarni olish uchun boshlang'ich material bo'lib xizmat qiladi. Yagona taqsimot qonuni sonli hisob-kitoblarni amalga oshirishda yaxlitlash xatolarini tahlil qilishda, qator masalalarda, berilgan taqsimotga bog'liq kuzatuvlarni statistik modellashtirishda qo'llaniladi.

11. Ta'rif. Tarqatish zichligi uzluksiz tasodifiy X ning ehtimolliklari funksiya deyiladi f(x)– F(x) taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi.

Tarqatish zichligi ham deyiladi differentsial funktsiya. Diskret tasodifiy o'zgaruvchini tavsiflash uchun tarqatish zichligi qabul qilinishi mumkin emas.

Tarqatish zichligining ma'nosi shundaki, u X tasodifiy o'zgaruvchisi nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida qanchalik tez-tez paydo bo'lishini ko'rsatadi. X tajribalarni takrorlashda.

Tarqatish funktsiyalari va taqsimot zichligi bilan tanishib chiqqandan so'ng, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi ta'rifi berilishi mumkin.

10. X tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi, ehtimollik taqsimot zichligi, p(x) funksiyasi shundayki

va har qanday a uchun< b вероятность события a < x < b равна
.

Agar p(x) uzluksiz bo'lsa, u holda etarlicha kichik ∆x uchun x tengsizlik ehtimoli< X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

va agar F(x) differensiallansa, u holda

Empirik taqsimot funksiyasini aniqlash

$X$ tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlsin. $F(x)$ - berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. Biz bir xil sharoitda, bir-biridan mustaqil ravishda berilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha $n$ tajribalarini o'tkazamiz. Bunda biz $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$ qiymatlari ketma-ketligini olamiz, bu namuna deb ataladi.

Ta'rif 1

Har bir qiymat $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) variant deb ataladi.

Nazariy taqsimot funksiyasini baholashdan biri empirik taqsimot funksiyasidir.

Ta'rif 3

$F_n(x)$ empirik taqsimot funksiyasi har bir $x$ qiymati uchun $X \ hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydigan funktsiyadir.

bu yerda $n_x$ - $x$ dan kam variantlar soni, $n$ - namuna hajmi.

Empirik funktsiyaning nazariydan farqi shundaki, nazariy funktsiya $X hodisaning ehtimolini aniqlaydi.

Empirik taqsimot funksiyasining xossalari

Keling, taqsimot funktsiyasining bir qancha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

$F_n\left(x\right)$ funksiya diapazoni $$ segmentidir.

$F_n\left(x\right)$ kamaymaydigan funksiyadir.

$F_n\left(x\right)$ - chap uzluksiz funksiya.

$F_n\left(x\right)$ boʻlak-boʻlak doimiy funksiya boʻlib, faqat $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi qiymatlari nuqtalarida ortadi.

$X_1$ eng kichik va $X_n$ eng katta variant boʻlsin. Keyin $(x\le X)_1$ uchun $F_n\left(x\right)=0$ va $x\ge X_n$ uchun $F_n\left(x\right)=1$.

Keling, nazariy va empirik funktsiyalarni bog'laydigan teoremani kiritaylik.

Teorema 1

$F_n\left(x\right)$ empirik taqsimot funksiyasi, $F\left(x\right)$ umumiy tanlovning nazariy taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Keyin tenglik amal qiladi:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Empirik taqsimot funksiyasini topishga oid masalalarga misollar

1-misol

Namuna taqsimoti jadval yordamida quyidagi ma'lumotlarga ega bo'lsin:

1-rasm.

Namuna hajmini toping, empirik taqsimot funksiyasini yarating va uni chizing.

Namuna hajmi: $n=5+10+15+20=50$.

5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.

$x qiymati

$x qiymati

$x qiymati

Shunday qilib, biz olamiz:

2-rasm.

3-rasm.

2-misol

Rossiyaning markaziy qismidagi shaharlardan tasodifiy 20 ta shahar tanlab olindi, ular uchun jamoat transportida yo'l haqi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar olingan: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14 , 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Ushbu namuna uchun empirik taqsimot funksiyasini yarating va uni chizing.

Keling, namunaviy qiymatlarni o'sish tartibida yozamiz va har bir qiymatning chastotasini hisoblaymiz. Biz quyidagi jadvalni olamiz:

4-rasm.

Namuna hajmi: $n=20$.

5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.

$x qiymati

$x qiymati

$x qiymati

Shunday qilib, biz olamiz:

5-rasm.

Empirik taqsimotni chizamiz:

6-rasm.

Originallik: $92,12\%$.

Variatsion seriyalar. Poligon va gistogramma.

Tarqatish diapazoni- o'rganilayotgan populyatsiya birliklarining ma'lum bir o'zgaruvchan xususiyatga ko'ra guruhlarga tartibli taqsimlanishini ifodalaydi.

Tarqatish seriyasining shakllanishiga asos bo'lgan xususiyatga qarab, ular ajralib turadi atributiv va variatsion tarqatish qatorlari:

§ Miqdoriy xarakteristikalar qiymatlarining o'sish yoki kamayish tartibida tuzilgan taqsimot qatorlari deyiladi. o'zgaruvchan.

Tarqatishning variatsion qatori ikkita ustundan iborat:

Birinchi ustun deyiladi o'zgaruvchan xarakteristikaning miqdoriy qiymatlarini beradi variantlari va belgilangan. Diskret variant - butun son sifatida ifodalanadi. Interval varianti dan va gacha. Variantlarning turiga qarab, siz diskret yoki intervalli o'zgarishlar qatorini qurishingiz mumkin.
Ikkinchi ustun o'z ichiga oladi aniq variant soni, chastotalar yoki chastotalar bilan ifodalangan:

Chastotalar- bu mutlaq raqamlar bo'lib, xarakteristikaning berilgan qiymati jami necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadi. Barcha chastotalar yig'indisi butun populyatsiyadagi birliklar soniga teng bo'lishi kerak.

Chastotalar() jami foiz sifatida ifodalangan chastotalar. Foiz sifatida ifodalangan barcha chastotalar yig'indisi birning kasrlarida 100% ga teng bo'lishi kerak.

Tarqatish qatorlarining grafik tasviri

Tarqatish seriyalari grafik tasvirlar yordamida vizual tarzda taqdim etiladi.

Tarqatish seriyasi quyidagicha tasvirlangan:

§ Poligon

§ Gistogrammalar

§ Kumulatlar

Poligon

Ko'pburchakni qurishda o'zgaruvchan xarakteristikaning qiymatlari gorizontal o'qda (x o'qi) va chastotalar yoki chastotalar vertikal o'qda (y o'qi) chiziladi.

1. Rasmdagi ko‘pburchak. 6.1 1994 yilda Rossiya aholisini mikro-ro'yxatga olish ma'lumotlariga asoslanadi.

ustunli diagramma

Gistogrammani qurish uchun oraliqlar chegaralarining qiymatlari abtsissa o'qi bo'ylab ko'rsatiladi va ularning asosida balandligi chastotalarga (yoki chastotalarga) mutanosib bo'lgan to'rtburchaklar quriladi.

Shaklda. 6.2. 1997 yilda Rossiya aholisining yosh guruhlari bo'yicha taqsimlanishining histogrammasini ko'rsatadi.

1-rasm. Rossiya aholisining yosh guruhlari bo'yicha taqsimlanishi

Empirik taqsimot funksiyasi, xossalari.

X miqdoriy xarakteristikaning statistik chastota taqsimoti ma'lum bo'lsin, xarakteristikaning qiymati x dan kichik bo'lgan kuzatuvlar soni va kuzatuvlarning umumiy sonini n bilan belgilaymiz. Shubhasiz, X hodisaning nisbiy chastotasi

Empirik taqsimot funktsiyasi (namunalarni taqsimlash funktsiyasi) har bir x qiymati uchun X hodisasining nisbiy chastotasini aniqlaydigan funktsiyadir.

Namunaning empirik taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, populyatsiyani taqsimlash funktsiyasi nazariy taqsimot funktsiyasi deb ataladi. Bu funksiyalarning farqi shundaki, nazariy funksiya X hodisaning ehtimolini aniqlaydi

n ortishi bilan X hodisaning nisbiy chastotasi

Asosiy xususiyatlar

Elementar natija aniqlansin. Diskret taqsimotning taqsimot funksiyasi quyidagi ehtimollik funksiyasi bilan berilgan:

qayerda va - ga teng namunaviy elementlar soni. Xususan, agar namunaning barcha elementlari boshqacha bo'lsa, unda .

Ushbu taqsimotning matematik taxmini:

.

Shunday qilib, o'rtacha tanlama tanlov taqsimotining nazariy o'rtacha qiymati hisoblanadi.

Xuddi shunday, tanlama dispersiyasi tanlama taqsimotining nazariy dispersiyasidir.

Tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega:

Namuna taqsimoti funksiyasi taqsimot funksiyasining xolis bahosidir:

.

Namuna taqsimlash funksiyasining dispersiyasi quyidagi shaklga ega:

.

Katta sonlarning kuchli qonuniga ko'ra, namunani taqsimlash funktsiyasi nazariy taqsimot funktsiyasiga deyarli yaqinlashadi:

deyarli aniq da.

Namuna taqsimoti funksiyasi nazariy taqsimot funksiyasining asimptotik normal bahosidir. Agar , keyin

dagi taqsimotga ko'ra.