อนุพันธ์ของจำนวนลบ ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อคำนวณอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

จะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชัน มีการให้หลักฐานและมีการอภิปรายตัวอย่างการใช้สูตรนี้โดยละเอียด

สูตรหาอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน

อนุญาต และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x ปล่อยให้พวกมันหาอนุพันธ์ได้ในช่วงค่าบางค่าของตัวแปร x แล้วในบริเวณนี้ อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเหล่านี้เท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:
(1) .

การพิสูจน์

เนื่องจากฟังก์ชัน และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ มีขีดจำกัดต่อไปนี้ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:
;
.

พิจารณาฟังก์ชัน y ของตัวแปร x ซึ่งก็คือผลรวมของฟังก์ชันและ:
.
ลองใช้นิยามของอนุพันธ์กัน


.

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์:
.

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถแสดงว่าอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์:
.
สิ่งนี้สามารถแสดงได้ในอีกทางหนึ่ง โดยใช้กฎที่ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับการแยกความแตกต่างของผลรวม และ :
.

กฎสองข้อนี้สามารถเขียนเป็นสมการเดียวได้:
(1) .

ผลที่ตามมา

ข้างต้นเราดูกฎในการค้นหาอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันทั้งสอง กฎนี้สามารถสรุปผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันหาอนุพันธ์จำนวนเท่าใดก็ได้

อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของจำนวนจำกัดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์จะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น เมื่อคำนึงถึงกฎของการวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายอนุพันธ์ กฎนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
.
หรือในรูปแบบขยาย:
(2) .
ที่นี่ - ค่าคงที่;
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร x

หลักฐานการสอบสวน

เมื่อ n = 2 เราใช้กฎ (1) และกฎการวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ เรามี:
.
เมื่อ n = 3 ใช้สูตร (1) สำหรับฟังก์ชันและ:
.

สำหรับจำนวนใดๆ n เราจะใช้วิธีการอุปนัย ให้สมการ (2) เป็นที่น่าพอใจสำหรับ แล้วสำหรับเรามี:

.
นั่นคือ จากสมมติฐานที่ว่าสมการ (2) เป็นไปตามสมการนั้น ตามมาด้วยสมการ (2) ที่เป็นไปตามสมการ และเนื่องจากสมการ (2) เป็นจริงสำหรับ จึงเป็นจริงสำหรับทุกคน
การสอบสวนได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์
.

การเปิดวงเล็บ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตร
.
เรายังใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังอีกด้วย
;

;
.

เราใช้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชัน
.

จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
แล้ว
;
;
.

ในที่สุดเราก็มี:
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x
.

ให้เราลดรากลงเป็นฟังก์ชันกำลัง
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวมและผลต่าง
.
เราใช้สูตรจากตารางอนุพันธ์
;
;
;
;
;
.
มาทดแทนกัน:
.
เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.
.
ที่นี่เราพิจารณาว่าฟังก์ชันที่กำหนดถูกกำหนดไว้ที่
.

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้การใช้สูตรและกฎการสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. การใช้กฎ ฉัน,สูตร 4, 2 และ 1- เราได้รับ:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. เราก็แก้เหมือนกันโดยใช้สูตรและสูตรเดียวกัน 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

การใช้กฎ ฉัน,สูตร 3, 5 และ 6 และ 1.

การใช้กฎ IV,สูตร 5 และ 1 .

ในตัวอย่างที่ห้าตามกฎ ฉันอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์และเราเพิ่งพบอนุพันธ์ของเทอมที่ 1 (ตัวอย่าง 4 ) ดังนั้นเราจะพบอนุพันธ์ 2และ 3เงื่อนไขและ สำหรับวันที่ 1สรุปเราสามารถเขียนผลลัพธ์ได้ทันที

เรามาแยกแยะกันดีกว่า 2และ 3เงื่อนไขตามสูตร 4 - ในการทำเช่นนี้ เราแปลงรากของกำลังสามและสี่ในตัวส่วนเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ จากนั้นตาม 4 สูตรเราหาอนุพันธ์ของกำลัง

ดูตัวอย่างนี้และผลลัพธ์ คุณจับรูปแบบหรือไม่? ดี. ซึ่งหมายความว่าเรามีสูตรใหม่และสามารถเพิ่มลงในตารางอนุพันธ์ของเราได้

มาแก้ตัวอย่างที่หกแล้วหาสูตรอื่นมา

ลองใช้กฎกันดู IVและสูตร 4 - ลองลดเศษส่วนผลลัพธ์กัน

ลองดูฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของมันกัน แน่นอนว่าคุณเข้าใจรูปแบบและพร้อมที่จะตั้งชื่อสูตรแล้ว:

เรียนรู้สูตรใหม่!

ตัวอย่าง.

1. ค้นหาส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์และส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน y= x2ถ้าค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ 4 และใหม่ - 4,01 .

สารละลาย.

ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่ x=x 0 +Δx- ลองทดแทนข้อมูล: 4.01=4+Δx ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆x=4.01-4=0.01. การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันตามคำจำกัดความจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าใหม่และค่าก่อนหน้าของฟังก์ชัน เช่น Δy=f (x 0 +Δx) - ฉ (x 0) เนื่องจากเรามีฟังก์ชัน ย=x2, ที่ ∆คุณ=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · ∆x+(∆x) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

คำตอบ: อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ∆x=0.01; เพิ่มฟังก์ชัน ∆คุณ=0,0801.

การเพิ่มฟังก์ชันอาจแตกต่างออกไป: ∆y=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. หามุมเอียงของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ตรงจุด x 0, ถ้า ฉ "(x 0) = 1.

สารละลาย.

มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส x 0และเป็นค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ (ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์) เรามี: ฉ "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,เพราะ tg45°=1.

คำตอบ: แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนี้ทำให้เกิดมุมโดยมีทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ 45°.

3. หาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=xn.

ความแตกต่างคือการกระทำในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ ให้ใช้สูตรที่ได้มาจากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เช่นเดียวกับที่เราได้รับสูตรสำหรับระดับอนุพันธ์: (x n)" = n x n-1.

เหล่านี้คือสูตร

ตารางอนุพันธ์การจดจำจะง่ายกว่าโดยการออกเสียงสูตรด้วยวาจา:

1. อนุพันธ์ของปริมาณคงที่คือศูนย์

2. x ไพรม์เท่ากับ 1

3. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้

4. อนุพันธ์ของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังของดีกรีนี้ด้วยดีกรีที่มีฐานเดียวกัน แต่เลขชี้กำลังน้อยกว่าหนึ่ง

5. อนุพันธ์ของรากเท่ากับ 1 หารด้วย 2 รากที่เท่ากัน

6. อนุพันธ์ของอันหนึ่งหารด้วย x เท่ากับ ลบ 1 หารด้วย x กำลังสอง

7. อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์

8. อนุพันธ์ของโคไซน์เท่ากับลบไซน์

9. อนุพันธ์ของแทนเจนต์เท่ากับ 1 หารด้วยกำลังสองของโคไซน์

10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์เท่ากับลบ 1 หารด้วยกำลังสองของไซน์

เราสอน กฎความแตกต่าง.

1. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของเงื่อนไข

2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของตัวประกอบที่หนึ่งและตัวที่สอง บวกด้วยผลคูณของตัวประกอบที่หนึ่งและอนุพันธ์ของตัวที่สอง

3. อนุพันธ์ของ “y” หารด้วย “ve” เท่ากับเศษส่วนโดยที่ตัวเศษคือ “y ไพรม์คูณด้วย “ve” ลบ “y คูณด้วย ve ไพรม์” และตัวส่วนคือ “ve กำลังสอง”

4. กรณีพิเศษของสูตร 3.

มาเรียนรู้ด้วยกัน!

หน้า 1 จาก 1 1

การพิสูจน์และการได้มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมเป็นฐาน a ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ ln 2x, ln 3x และ ln nx การพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมลำดับที่ n โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ดูสิ่งนี้ด้วย: ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร กราฟ
ลอการิทึมธรรมชาติ - คุณสมบัติ สูตร กราฟ

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมเป็นฐาน a

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของ x เท่ากับหนึ่งหารด้วย x:
(1) (ใน x)′ =.

อนุพันธ์ของลอการิทึมถึงฐาน a เท่ากับหนึ่งหารด้วยตัวแปร x คูณด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ a:
(2) (ล็อก a x)′ =.

การพิสูจน์

ให้มีเลขบวกไม่เท่ากับหนึ่ง. พิจารณาฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x ซึ่งเป็นลอการิทึมของฐาน:
.
ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดไว้ที่ ลองหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับตัวแปร x กัน ตามคำนิยาม อนุพันธ์มีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:
(3) .

มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องทราบข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
ก)คุณสมบัติของลอการิทึม เราจะต้องมีสูตรต่อไปนี้:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ข)ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของขีดจำกัดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:
(7) .
นี่คือฟังก์ชันบางส่วนที่มีขีดจำกัด และขีดจำกัดนี้เป็นค่าบวก
ใน)ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการที่สอง:
(8) .

ลองใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา ขั้นแรกเราแปลงนิพจน์พีชคณิต
.
ในการทำเช่นนี้ เราใช้คุณสมบัติ (4) และ (5)

.

ให้เราใช้คุณสมบัติ (7) และขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง (8):
.

และสุดท้าย เราใช้คุณสมบัติ (6):
.
ลอการิทึมถึงฐาน จเรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ- มันถูกกำหนดไว้ดังนี้:
.
แล้ว ;
.

ดังนั้นเราจึงได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึม

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

อีกครั้งเราเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมไปที่ฐาน a:
.
สูตรนี้มีรูปแบบที่ง่ายที่สุดสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ โดยที่ , แล้ว
(1) .

เนื่องจากความเรียบง่ายนี้ ลอการิทึมธรรมชาติจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และในคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานอื่นสามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้คุณสมบัติ (6):
.

อนุพันธ์ของลอการิทึมเทียบกับฐานหาได้จากสูตร (1) หากคุณนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:
.

วิธีอื่นๆ ในการพิสูจน์อนุพันธ์ของลอการิทึม

ที่นี่เราถือว่าเรารู้สูตรอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง:
(9) .
จากนั้นเราก็จะได้สูตรหาอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ โดยที่ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของเลขชี้กำลัง

ให้เราพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ การใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:
.
ในกรณีของเรา.
.
ฟังก์ชันผกผันกับลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง:
.
อนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร (9) ตัวแปรสามารถกำหนดด้วยตัวอักษรใดก็ได้ ในสูตร (9) ให้แทนที่ตัวแปร x ด้วย y:
.
แล้ว
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว ตอนนี้เราพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้กฎสำหรับการแยกฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
- เนื่องจากฟังก์ชันและมีการผกผันซึ่งกันและกันแล้ว
(10) .
ลองแยกสมการนี้ด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
.
อนุพันธ์ของ x เท่ากับ 1:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . แทนค่าใน (10):
.

จากที่นี่

ตัวอย่าง ค้นหาอนุพันธ์ของ ใน 2x,และ ใน 3x.

ใช่ ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบคล้ายกัน ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ y = บันทึก nx - จากนั้นเราแทน n = 2 และ n = 3 ดังนั้นเราจึงได้สูตรอนุพันธ์ของใน 2x ใน 2x, .

และ
ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบคล้ายกัน ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ .
ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1) ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปร: ;
2) ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปร: .
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะประกอบด้วยฟังก์ชันและ:
.

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x:
.
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรกัน:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
ที่นี่เราตั้งค่าไว้

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(11) .
เราจะเห็นว่าอนุพันธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติหากเราแปลงฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้สูตรลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:
.
- นี่คือค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันคือศูนย์ จากนั้นตามกฎการแยกผลรวมเราจะได้:
.

; ; .

อนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัส x

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สำคัญมากอีกฟังก์ชันหนึ่ง - ลอการิทึมธรรมชาติของโมดูลัส x:
(12) .

ลองพิจารณากรณีนี้ จากนั้นฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:
.
อนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร (1):
.

ทีนี้ลองมาพิจารณากรณีนี้กัน จากนั้นฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:
,
ที่ไหน .
แต่เรายังพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ในตัวอย่างด้านบนด้วย มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n และเท่ากับ
.
แล้ว
.

เรารวมสองกรณีนี้เป็นสูตรเดียว:
.

ดังนั้น เพื่อให้ลอการิทึมเป็นฐาน a เราได้:
.

อนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าของลอการิทึมธรรมชาติ

พิจารณาฟังก์ชัน
.
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
(13) .

มาหาอนุพันธ์อันดับสองกัน:
.
มาหาอนุพันธ์อันดับสามกัน:
.
มาหาอนุพันธ์อันดับสี่กัน:
.

คุณจะสังเกตเห็นว่าอนุพันธ์ลำดับที่ n มีรูปแบบ:
(14) .
ให้เราพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

การพิสูจน์

ให้เราแทนค่า n = 1 ลงในสูตร (14):
.
ตั้งแต่ แล้ว เมื่อ n = 1 สูตร (14) ถูกต้อง

สมมติว่าสูตร (14) เป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับ n = k ให้เราพิสูจน์ว่านี่บอกเป็นนัยว่าสูตรนี้ใช้ได้สำหรับ n = k + 1 .

อันที่จริงสำหรับ n = k เรามี:
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:

.
ดังนั้นเราจึงได้:
.
สูตรนี้เกิดขึ้นพร้อมกับสูตร (14) สำหรับ n = k + 1 - 1 .

ดังนั้น จากสมมุติฐานว่าสูตร (14) ใช้ได้กับ n = k จึงเป็นไปตามสูตร (14) ที่ถูกต้องสำหรับ n = k +

ดังนั้น สูตร (14) สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่ n จึงใช้ได้กับ n ใดๆ

อนุพันธ์ของลำดับลอการิทึมที่สูงกว่าถึงฐาน a
.
ในการค้นหาอนุพันธ์อันดับ n ของลอการิทึมถึงฐาน a คุณต้องแสดงมันในรูปของลอการิทึมธรรมชาติ:
.

ดูสิ่งนี้ด้วย:

การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (ความแตกต่าง) เป็นปัญหาที่พบบ่อยมากเมื่อแก้โจทย์คณิตศาสตร์ระดับสูง สำหรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย (ระดับประถมศึกษา) นี่เป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย เนื่องจากตารางอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันระดับประถมศึกษาได้รับการรวบรวมมานานแล้วและเข้าถึงได้ง่าย อย่างไรก็ตาม การค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนไม่ใช่เรื่องเล็กๆ น้อยๆ และมักต้องใช้ความพยายามและเวลาอย่างมาก

ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์

บริการออนไลน์ของเราช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณที่ยาวและไร้จุดหมายได้ ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์ในช่วงเวลาหนึ่ง นอกจากนี้การใช้บริการของเราที่อยู่บนเว็บไซต์ www.เว็บไซต์คุณสามารถคำนวณได้ อนุพันธ์ออนไลน์ทั้งจากฟังก์ชันพื้นฐานและจากฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากซึ่งไม่มีวิธีวิเคราะห์ ข้อได้เปรียบหลักของเว็บไซต์ของเราเมื่อเทียบกับที่อื่นคือ: 1) ไม่มีข้อกำหนดที่เข้มงวดสำหรับวิธีการป้อนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ (เช่น เมื่อป้อนฟังก์ชันไซน์ x คุณสามารถป้อนเป็น sin x หรือ sin (x) หรือบาป[x] ฯลฯ ง.); 2) การคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์เกิดขึ้นทันทีใน ออนไลน์และอย่างแน่นอน ฟรี- 3) เราให้คุณค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ คำสั่งใด ๆการเปลี่ยนลำดับอนุพันธ์นั้นง่ายและเข้าใจได้ง่ายมาก 4) เราช่วยให้คุณค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เกือบทุกชนิดทางออนไลน์ แม้แต่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากซึ่งบริการอื่นไม่สามารถแก้ไขได้ คำตอบที่ให้ไว้นั้นถูกต้องเสมอและต้องไม่มีข้อผิดพลาด

การใช้เซิร์ฟเวอร์ของเราจะทำให้คุณสามารถ 1) คำนวณอนุพันธ์ออนไลน์สำหรับคุณ ช่วยลดการเสียเวลาและการคำนวณที่น่าเบื่อในระหว่างที่คุณอาจทำข้อผิดพลาดหรือพิมพ์ผิด 2) หากคุณคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง เราจะให้โอกาสคุณในการเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับการคำนวณบริการของเรา และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ไขนั้นถูกต้องหรือพบข้อผิดพลาดที่พุ่งเข้ามา 3) ใช้บริการของเราแทนการใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ ซึ่งมักจะต้องใช้เวลาในการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ

สิ่งที่คุณต้องทำคือ ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์- คือการใช้บริการของเราบน

การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที - ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม