สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. โดยการคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกเพิ่ม:

เช้า·a n = a m + n

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:

3. ระดับของผลคูณของ 2 ปัจจัยขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

(ก/ข) n = n /b n

5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(ก) n = ก ม n .

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการที่มีราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเลขรากเป็นกำลังนี้:

4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลัง th เป็นจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก:

สูตร เช้า:a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.

ตัวอย่างเช่น. ก4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ให้เป็นสูตร เช้า:a n =a ม - nยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.

ในบทเรียนวิดีโอที่แล้ว เราได้เรียนรู้ว่าระดับของฐานหนึ่งคือนิพจน์ที่แสดงถึงผลคูณของฐานด้วยตัวมันเอง ซึ่งคิดเป็นจำนวนเท่ากับเลขยกกำลัง ให้เราศึกษาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดบางประการและการปฏิบัติการของอำนาจกัน

ตัวอย่างเช่น ลองคูณเลขยกกำลังสองตัวที่มีฐานเดียวกัน:

ขอนำเสนองานนี้อย่างครบถ้วน:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้แล้ว เราจะได้เลข 32 ในทางกลับกัน ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างเดียวกัน 32 สามารถแสดงเป็นผลคูณของฐานเดียวกัน (สอง) ได้ 5 ครั้ง และแท้จริงหากเจ้านับมันแล้ว

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้อย่างมั่นใจว่า:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

กฎนี้ใช้ได้ผลดีกับตัวบ่งชี้และเหตุผลใดก็ตาม คุณสมบัติของการคูณกำลังนี้เป็นไปตามกฎที่ว่าความหมายของนิพจน์จะถูกคงไว้ระหว่างการแปลงในผลิตภัณฑ์ สำหรับฐาน a ใดๆ ผลคูณของสองนิพจน์ (a)x และ (a)y จะเท่ากับ a(x + y) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อมีการสร้างนิพจน์ใดๆ ที่มีฐานเดียวกัน ผลลัพธ์ monomial จะมีดีกรีรวมที่เกิดขึ้นโดยการบวกดีกรีของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง

กฎที่นำเสนอยังใช้งานได้ดีเมื่อคูณหลายนิพจน์ เงื่อนไขหลักคือทุกคนมีพื้นฐานเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มองศา และแน่นอนว่าจะดำเนินการร่วมกันตามกำลังด้วยองค์ประกอบสองอย่างของนิพจน์หากฐานต่างกัน
ดังที่วิดีโอของเราแสดงให้เห็น เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของกระบวนการคูณและการหาร กฎสำหรับการเพิ่มกำลังในผลคูณจึงถูกถ่ายโอนไปยังขั้นตอนการหารอย่างสมบูรณ์แบบ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้:

เรามาแปลงนิพจน์ให้เป็นรูปแบบเต็มทีละเทอมและลดองค์ประกอบเดียวกันในตัวหารและตัวหารลง:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

ผลลัพธ์สุดท้ายของตัวอย่างนี้ไม่น่าสนใจนักเนื่องจากอยู่ในกระบวนการแก้ไขเป็นที่ชัดเจนว่าค่าของนิพจน์เท่ากับกำลังสองของสอง และเป็นสองที่ได้โดยการลบดีกรีของนิพจน์ที่สองจากดีกรีของนิพจน์แรก

ในการกำหนดระดับของผลหาร จำเป็นต้องลบระดับของตัวหารออกจากระดับของเงินปันผล กฎนี้ใช้ได้กับฐานเดียวกันสำหรับค่านิยมทั้งหมดและสำหรับพลังธรรมชาติทั้งหมด ในรูปแบบของนามธรรมเรามี:

(ก) x / (ก) y = (ก) x - y

จากกฎการแบ่งฐานที่เหมือนกันด้วยองศา คำจำกัดความของระดับศูนย์จะเป็นไปตามนี้ แน่นอนว่านิพจน์ต่อไปนี้มีลักษณะดังนี้:

(ก) x / (ก) x = (ก) (x - x) = (ก) 0

ในทางกลับกัน ถ้าเราทำการหารในลักษณะที่ชัดเจนมากขึ้น เราจะได้:

(ก) 2 / (ก) 2 = (ก) (ก) / (ก) (ก) = 1

เมื่อลดองค์ประกอบที่มองเห็นได้ทั้งหมดของเศษส่วน จะได้นิพจน์ 1/1 เสมอ นั่นคือหนึ่ง ดังนั้นจึงเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าฐานใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

โดยไม่คำนึงถึงมูลค่าของ a.

อย่างไรก็ตาม คงเป็นเรื่องไร้สาระถ้า 0 (ซึ่งยังคงให้ 0 สำหรับการคูณใดๆ ก็ตาม) เท่ากับ 1 ดังนั้นการแสดงออกของรูปแบบ (0) 0 (กำลังจากศูนย์ถึงศูนย์) ก็ไม่สมเหตุสมผล และในการสูตร ( ก) 0 = 1 เพิ่มเงื่อนไข: “ถ้า a ไม่เท่ากับ 0”

มาแก้แบบฝึกหัดกันเถอะ เรามาค้นหาความหมายของสำนวนกัน:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

เนื่องจากฐานจะเหมือนกันทุกแห่งและเท่ากับ 34 ค่าสุดท้ายจะมีฐานเดียวกันพร้อมระดับ (ตามกฎข้างต้น):

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

คำตอบ: นิพจน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

I. ผลคูณของอำนาจที่มีฐานเดียวกัน

ผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกันสามารถแสดงเป็นกำลังที่มีฐาน x ได้เสมอ

ตามคำนิยาม กำลัง x 7 เป็นผลคูณของตัวประกอบ 7 ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ x และ x 9 เป็นผลคูณของตัวประกอบ 9 ตัวที่มีตัวประกอบเดียวกัน ดังนั้น x 7 x 9 จึงเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ 7 + 9 ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ x นั่นคือ

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

ปรากฎว่าหากฐานของระดับ a เป็นจำนวนใดๆ ก็ตาม และ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

เป็น ม · n = เป็น ม + n

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติประการหนึ่งของดีกรี

ผลคูณของสองกำลังที่มีฐานเดียวกันจะเท่ากับยกกำลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังเท่ากับผลรวมของเลขชี้กำลังของเลขยกกำลังเหล่านี้

คุณสมบัตินี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่จำนวนปัจจัยมากกว่าสอง

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของปัจจัยสามประการที่เรามี:

มี ม · ก n · ก = (ม · ก n) ก = ก ม + n · ก = ก ม + n + k

เมื่อทำการแปลง จะสะดวกในการใช้กฎ: เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะคงเดิมและเพิ่มเลขชี้กำลัง

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

ตัวอย่างที่ 2

7 ก -8 = ก -1

ตัวอย่างที่ 3

6 1.7 6 - 0.9 = 6 1.7+(- 0.9) = 6 1.7 - 0.9 = 6 0.8

ครั้งที่สอง ส่วนขององศาที่มีฐานเดียวกัน

ผลหารของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันสามารถแสดงเป็นกำลังที่มีฐานเดียวกันได้เสมอ

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1- ผลหาร x 17: x 5 สามารถแสดงเป็นกำลังที่มีฐาน x:

x 17: x 5 = x 12,

เนื่องจากตามคำจำกัดความของผลหารและขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับ x 5 · x 12 = x 17 เลขชี้กำลังของผลหาร (หมายเลข 12) เท่ากับผลต่างระหว่างเลขชี้กำลังของเงินปันผลและตัวหาร (17 – 5):

x 17: x 5 = x 17-5

ตัวอย่างที่ 2

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

ตัวอย่างที่ 3

ก -8: ก 6 = ก -8-6 = ก -14

ตัวอย่างที่ 4

ข 5: ข -4 = ข 5-(-4) = ข 9

ตัวอย่างที่ 5

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

เมื่อทำการแปลง จะสะดวกที่จะใช้กฎ: เมื่อทำการหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะคงเดิม และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

ตัวอย่างที่ 6

4: 4 = 4-4 = 0

ค่าของนิพจน์ a 0 สำหรับ a ≠ 0 ใดๆ เท่ากับ 1

สาม. ยกระดับขึ้นไปอีกระดับหนึ่ง

ให้กำลังที่เจ็ดของนิพจน์ a 2 แสดงเป็นกำลังที่มีฐาน a

ตามคำนิยาม กำลัง (a 2) 7 เป็นผลคูณของตัวประกอบ 7 ตัว ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ 2 นั่นคือ

(ก 2) 7 = ก 2 · ก 2 · ก 2 × ก 2 · ก 2 · ก 2 · ก 2

เมื่อใช้คุณสมบัติกำลังเราจะได้:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7

ปรากฎว่า (a 2) 7 = 2 7 = 14

เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง ฐานจะคงเดิม และเลขยกกำลังจะถูกคูณ:

(ม) n = a mn .

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

ตัวอย่างที่ 2

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

นิพจน์การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางอำนาจ (การแสดงออกด้วยพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ที่มีพลัง อันดับแรก เราจะเน้นไปที่การแปลงที่ดำเนินการด้วยนิพจน์ใดๆ รวมถึงนิพจน์ที่ยกกำลัง เช่น วงเล็บเปิดและการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ เช่น การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง โดยใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

คำว่า "การแสดงออกถึงอำนาจ" ในทางปฏิบัติไม่ปรากฏในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ปรากฏค่อนข้างบ่อยในคอลเลกชันของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการเตรียมสอบ Unified State และ Unified State Exam เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นในการดำเนินการใดๆ ด้วยการแสดงออกถึงอำนาจ จะเห็นได้ชัดว่าการแสดงออกถึงอำนาจนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงออกที่มีพลังในรายการของพวกเขา ดังนั้น คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ด้วยตนเอง:

คำนิยาม.

การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีองศา

ให้กันเถอะ ตัวอย่างการแสดงออกถึงอำนาจ- นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตามพัฒนาการของมุมมองจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติไปจนถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงเกิดขึ้นได้อย่างไร

ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ขั้นแรกจะทำความคุ้นเคยกับกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นนี้ นิพจน์ยกกำลังที่ง่ายที่สุดประเภท 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ปรากฏ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นาน จะทำการศึกษากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์กำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

ในโรงเรียนมัธยมปลายพวกเขากลับไปสู่ระดับปริญญา ที่นั่นมีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะซึ่งนำมาซึ่งลักษณะของการแสดงออกทางอำนาจที่สอดคล้องกัน: , , และอื่น ๆ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและนิพจน์ที่มีพวกมันจะได้รับการพิจารณา: , .

เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงนิพจน์กำลังที่ระบุไว้: ตัวแปรจะแทรกเข้าไปในเลขชี้กำลังเพิ่มเติม และตัวอย่าง นิพจน์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: 2 x 2 +1 หรือ - และหลังจากทำความคุ้นเคยกับ นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2·lgx −5·x lgx

ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจหมายถึงอะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้ที่จะเปลี่ยนแปลงพวกเขา

การแปลงการแสดงออกทางอำนาจประเภทหลัก

ด้วยนิพจน์กำลัง คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานของนิพจน์ใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่คล้ายกัน เป็นต้น โดยปกติแล้วในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับในการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่านิพจน์ยกกำลัง 2 3 ·(4 2 −12)

สารละลาย.

ตามลำดับการดำเนินการ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน อันดับแรกเราแทนที่กำลัง 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (หากจำเป็น โปรดดู) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 เรามี 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลัง 2 3 ด้วยค่า 8 หลังจากนั้นเราคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

คำตอบ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลัง 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

สารละลาย.

แน่นอนว่า สำนวนนี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3·a 4 ·b −7 และ 2·a 4 ·b −7 และเราสามารถนำเสนอได้:

คำตอบ:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

สารละลาย.

คุณสามารถรับมือกับงานได้โดยแสดงเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

มีพลังที่ฐานและ/หรือเลขยกกำลังไม่ใช่แค่ตัวเลขหรือตัวแปร แต่ยังมีบางนิพจน์ด้วย ตามตัวอย่าง เราใส่ค่า (2+0.3·7) 5−3.7 และ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของดีกรีและนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันใน ODZ ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เราทราบ เราสามารถแยกการแปลงฐานของดีกรีและแยกเลขยกกำลังออกจากกัน เป็นที่ชัดเจนว่าจากการเปลี่ยนแปลงนี้ จะได้รับการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่นๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลังที่กล่าวถึงข้างต้น (2+0.3 7) 5−3.7 คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลังได้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถเลื่อนไปยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ที่ฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังของรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+ 1) .

การใช้คุณสมบัติปริญญา

หนึ่งในเครื่องมือหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนให้เห็น ให้เราจำหลักๆ สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนจริงใดๆ r และ s ใดๆ คุณสมบัติของกำลังต่อไปนี้จะเป็นจริง:

• r ·a s = r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ก·ข) r = ร ร ·ข r ;
• (มี:ข) ร =มี ร:b ร ;
• (มี r) s = มี r·s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดมากนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับค่าบวก a เท่านั้น แต่ยังสำหรับค่าลบด้วย และสำหรับ a=0 ด้วย

ที่โรงเรียน จุดสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกทางอำนาจคือความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานของกำลัง - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นโดยที่ฐานจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้นซึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของกำลังได้อย่างอิสระ . โดยทั่วไปคุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าในกรณีนี้เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาใด ๆ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่การลดคุณค่าทางการศึกษาและปัญหาอื่น ๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยใช้คุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6- การแสดงออกยกกำลังดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 แน่นอนว่าเรายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกันอยู่
ก 2.5 ·ก −6:a −5.5 =
ก 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2

คำตอบ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

คุณสมบัติของพลังเมื่อแปลงนิพจน์พลังจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของการแสดงออกยกกำลัง

สารละลาย.

ความเท่าเทียมกัน (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้เราสามารถย้ายจากนิพจน์ดั้งเดิมไปสู่ผลคูณของแบบฟอร์มและต่อไป และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเป็น: .

เป็นไปได้ที่จะแปลงการแสดงออกดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

เมื่อพิจารณานิพจน์ยกกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้แนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5

สารละลาย.

องศา a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับถึงดีกรี (a r) s = a r s เมื่อประยุกต์จากขวาไปซ้าย ให้แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 ดังนั้น, ก 1.5 −ก 0.5 −6=(ก 0.5) 3 −ก 0.5 −6- ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6

คำตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีหรือแสดงเศษส่วนด้วยกำลังได้ การแปลงเศษส่วนขั้นพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนชนิดใดก็ตามสามารถนำไปใช้กับเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือเศษส่วนที่มีกำลังสามารถลดลง ลดเหลือตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันโดยมีตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่ออธิบายคำเหล่านี้ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

การแสดงออกยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน ลองใช้ตัวเศษและส่วนของมันกัน. ในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลังและในตัวส่วนเราจะนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และลองเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

คำตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่มีพลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้ตัวส่วนใหม่ ในกรณีนี้ จะพบปัจจัยเพิ่มเติมและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดตัวส่วนใหม่อาจทำให้ VA แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) เป็นตัวส่วน a, b) ถึงตัวส่วน

สารละลาย.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะพิจารณาว่าตัวคูณเพิ่มเติมตัวใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวคูณของ 0.3 เนื่องจาก 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a (นี่คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) กำลังของ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและส่วนของค่าที่กำหนด เศษส่วนตามปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อพิจารณาตัวส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น คุณจะพบสิ่งนั้น

และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะให้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x และ y นิพจน์จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:

คำตอบ:

ก) , ข) .

ไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีพลัง: ตัวเศษและส่วนจะแสดงเป็นจำนวนตัวประกอบ และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข) .

สารละลาย.

ก) ประการแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดจำนวนลงได้ 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดลง x 0.5 +1 และทีละ - นี่คือสิ่งที่เรามี:

b) ในกรณีนี้ ตัวเศษและตัวส่วนที่เหมือนกันจะไม่สามารถมองเห็นได้ในทันที เพื่อให้ได้มาคุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ ประกอบด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

ก)

ข) .

การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และเศษส่วนตัวลดมักใช้ในการทำเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นตัวเศษจะถูกบวก (ลบ) แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยการผกผัน

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำสิ่งนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วมซึ่งก็คือ หลังจากนั้นเราก็ลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะลดลงยกกำลัง x 1/2 หลังจากนั้นเราก็ได้ .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

แน่นอนว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งจะได้เศษส่วน - เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ X ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้เป็นผลคูณ นี่ทำให้เรามีโอกาสที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: - และในตอนท้ายของกระบวนการ เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน.

คำตอบ:

.

และให้เราเพิ่มเติมด้วยว่าเป็นไปได้ และในหลายกรณี เป็นเรื่องที่พึงประสงค์ในการโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน หรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษ โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ได้ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

บ่อยครั้ง ในนิพจน์ที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางอย่าง รากที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนก็ปรากฏพร้อมกับยกกำลังด้วย หากต้องการแปลงการแสดงออกให้เป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ไปที่รากหรือเฉพาะพลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับพลัง พวกเขาจึงมักจะย้ายจากรากไปสู่พลัง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้แล้ว การเปลี่ยนบทความจากรากไปสู่พลังและด้านหลัง หลังจากทำความคุ้นเคยกับดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ก็มีการแนะนำดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจ ในขั้นตอนนี้ มันเริ่มที่จะเป็น เรียนที่โรงเรียน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยยกกำลัง ฐานเป็นตัวเลข และเลขยกกำลังเป็นตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขอยู่ในฐานของกำลังและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจะเกิดขึ้น

ควรจะกล่าวว่าเมื่อทำการแก้ไขจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม พวกมันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริญญาและมีเป้าหมายส่วนใหญ่ในการแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคต สมการจะทำให้เราสามารถสาธิตพวกมันได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ประการแรก กำลังซึ่งอยู่ในเลขยกกำลังซึ่งก็คือผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ต่อไปความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งบน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมจะใช้ค่าบวกเท่านั้น (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้เราไม่ได้ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ตามมาด้วยพลัง ):

ตอนนี้เราสามารถหักล้างเศษส่วนด้วยยกกำลังซึ่งให้ได้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของความสัมพันธ์ ทำให้เกิดสมการขึ้นมา ซึ่งเทียบเท่ากัน - การแปลงที่ทำขึ้นทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะช่วยลดการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมไปเป็นการแก้สมการกำลังสอง

หลังจากกำหนดกำลังของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ- ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังของตัวเลข พร้อมทั้งกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะแสดงหลักฐานคุณสมบัติทั้งหมดขององศา และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างไรในการแก้ตัวอย่าง

การนำทางหน้า

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

ตามคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ กำลัง a n คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และยังใช้ คุณสมบัติของการคูณจำนวนจริงเราสามารถรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:

1. คุณสมบัติหลักของระดับ a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมัน
2. คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเท่ากัน a m:a n =a m−n ;
3. คุณสมบัติกำลังของผลิตภัณฑ์ (a·b) n =a n ·b n ส่วนขยาย;
4. คุณสมบัติของผลหารในระดับธรรมชาติ (a:b) n =a n:b n ;
5. เพิ่มระดับเป็นกำลัง (a m) n =a m·n ลักษณะทั่วไปของมัน (((ไม่มี 1) ไม่มี 2) …) n k =มี 1 ·n 2 ·…·n k;
6. การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
   • ถ้า a>0 แล้ว n>0 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n;
   • ถ้า a=0 ดังนั้น a n =0;
   • ถ้าก<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ถ้า<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวก และ a
8. ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่น m>n แล้วจะเป็น 0 0 อสมการ a m >a n เป็นจริง

ให้เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดนั้น เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด สามารถเปลี่ยนทั้งชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m ·a n =a m+n ด้วย ลดความซับซ้อนของการแสดงออกมักใช้ในรูปแบบ a m+n =a m ·a n

ทีนี้มาดูรายละเอียดแต่ละรายการกัน

เริ่มจากคุณสมบัติของผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกันซึ่งเรียกว่า ทรัพย์สินหลักของการศึกษาระดับปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของดีกรี จากคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกันในรูปแบบ a m ·a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณจึงสามารถเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ได้เป็น และผลคูณนี้คือกำลังของจำนวน a โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ m+n เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

ให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐาน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานขององศา เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 มาตรวจสอบความถูกต้องโดยการคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 · 2 3 และ 2 5 . เรามีการยกกำลัง 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32และ 2 5 =2·2·2·2·2=32 เนื่องจากได้รับค่าเท่ากัน ความเท่าเทียมกัน 2 2 ·2 3 =2 5 จึงมีความถูกต้อง และยืนยันคุณสมบัติหลักของดีกรี

สมบัติพื้นฐานของดีกรีซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ สามารถนำมาสรุปเป็นผลคูณของกำลังสามตัวขึ้นไปที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน ดังนั้นสำหรับจำนวน k ใดๆ ของจำนวนธรรมชาติ n 1, n 2, …, n k ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: ไม่มี 1 ·ไม่มี 2 ·…·ไม่มี k =ไม่มี 1 +n 2 +…+n k.

ตัวอย่างเช่น, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

เราสามารถไปยังคุณสมบัติต่อไปของกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ – คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ที่ตรงตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง

ก่อนที่จะนำเสนอหลักฐานของคุณสมบัตินี้ ให้เราหารือเกี่ยวกับความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร เงื่อนไข a≠0 เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหาร เราก็ตกลงกันว่าเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ มีการแนะนำเงื่อนไข m>n เพื่อที่เราจะได้ไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขชี้กำลัง m−n จะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m−n ) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m

การพิสูจน์. คุณสมบัติหลักของเศษส่วนช่วยให้เราเขียนความเท่าเทียมกันได้ a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m- จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน a m−n ·a n =a m และตามมาว่า m−n คือผลหารของกำลัง a m และ a n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเหมือนกัน

ลองยกตัวอย่าง ลองหาสององศาด้วยฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 ความเท่าเทียมกัน π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 สอดคล้องกับคุณสมบัติของระดับที่พิจารณา

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน คุณสมบัติพลังงานของผลิตภัณฑ์: กำลังธรรมชาติ n ผลคูณของจำนวนจริงสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a·b) n =a n ·b n

แท้จริงแล้ว จากนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เราก็ได้ - ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ซึ่งเท่ากับ a n · bn

นี่คือตัวอย่าง: .

คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงพลังของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยตั้งแต่สามตัวขึ้นไป นั่นคือคุณสมบัติของระดับธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัย k เขียนเป็น (ก 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n.

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของตัวประกอบ 3 ตัวยกกำลัง 7 เราได้

ทรัพย์สินดังต่อไปนี้คือ คุณสมบัติของผลหารชนิด: ผลหารของจำนวนจริง a และ b, b≠0 เทียบกับกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n

การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (ก:ข) n ข n =((a:b) ข) n =a nและจากความเท่าเทียมกัน (a:b) n ·b n =a n ตามมาว่า (a:b) n คือผลหารของ a n หารด้วย b n

ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวเลขเฉพาะเป็นตัวอย่าง: .

ตอนนี้ขอเสียงมัน คุณสมบัติของการเพิ่มพลังให้เป็นพลัง: สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n กำลังของ m กำลังของ n เท่ากับกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n

เช่น (5 2) 3 =5 2·3 =5 6

การพิสูจน์คุณสมบัติกำลังต่อระดับคือสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: .

ทรัพย์สินที่พิจารณาสามารถขยายออกไปได้ระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน - เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น นี่คือตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

ยังคงต้องอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบศูนย์และกำลังกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ

ขั้นแรก ลองพิสูจน์ว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ

ผลคูณของจำนวนบวกสองตัวคือจำนวนบวก ตามนิยามของการคูณได้ดังนี้ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณชี้ให้เห็นว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกจำนวนใดก็ตามจะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ตามนิยามแล้ว คือผลคูณของตัวประกอบ n ตัว ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เรายืนยันได้ว่าสำหรับฐานบวก a ใดๆ ระดับ a n จะเป็นจำนวนบวก เนื่องจากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 และ .

เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ที่มี a=0 องศาของ n จะเป็นศูนย์ แท้จริงแล้ว 0 n =0·0·…·0=0 ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0

มาดูฐานลบของดีกรีกัน

เริ่มต้นด้วยกรณีที่เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ลองเขียนเป็น 2·m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว - สำหรับแต่ละผลคูณของรูปแบบ a·a เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลข a และ a ซึ่งหมายความว่ามันเป็นจำนวนบวก ดังนั้นสินค้าก็จะเป็นบวกเช่นกัน และองศา 2·ม. ลองยกตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ

สุดท้าย เมื่อฐาน a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m−1 - ผลคูณทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

มาดูคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เหมือนกัน ซึ่งมีสูตรดังนี้: ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเหมือนกัน n จะน้อยกว่าค่าที่มีฐานน้อยกว่า และค่าที่มากกว่าคือค่าที่มีฐานใหญ่กว่า . มาพิสูจน์กัน

ความไม่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติของความไม่เท่าเทียมกันอสมการที่พิสูจน์ได้ของรูปแบบ a n ก็เป็นจริงเช่นกัน (2.2) 7 และ .

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของรายการพลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดกัน ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและฐานบวกเหมือนกันน้อยกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังน้อยกว่าจะใหญ่กว่า และกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและมีฐานเท่ากันมากกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังมากกว่าจะใหญ่กว่า ให้เราดำเนินการพิสูจน์ทรัพย์สินนี้ต่อไป

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 0 เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น m>n ซึ่งหมายความว่าที่ 0

ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1 a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง m −a n หลังจากนำ n ออกจากวงเล็บจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 องศา a n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง m−n −1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากสภาวะเริ่มต้น และสำหรับ a>1 องศา m−n มากกว่าหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ a m −a n >0 และ a m >a n ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงด้วยความไม่เท่าเทียมกัน 3 7 >3 2

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกันทุกประการกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติอยู่ในรายการและพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า

เรากำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยความเท่ากัน ยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทั้งเลขชี้กำลังศูนย์และเลขชี้กำลังลบ ในขณะที่ฐานของกำลังนั้นแตกต่างจากศูนย์แน่นอน

ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และ b รวมถึงจำนวนเต็มใดๆ m และ n สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง: คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม:

1. มี ม ·มี n =มี ม+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (ก·ข) n =a n ·b n ;
4. (ก:ข) n =ก n:b n ;
5. (ม.) n =ม.n ;
6. ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a ข−n ;
7. ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m>n แล้วจะเป็น 0 1 ความไม่เท่าเทียมกัน a m >a n ถืออยู่

เมื่อ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งก็คือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนยังใช้ได้กับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

การพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่างไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้คำจำกัดความขององศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็ม รวมถึงคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยจำนวนจริง ตามตัวอย่าง ขอให้เราพิสูจน์ว่าคุณสมบัติยกกำลังมีทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =a p·(−q) และ (a −p) −q =a (−p)·(−q)- มาทำกัน.

สำหรับค่าบวกของ p และ q ความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า ถ้า p=0 เราจะได้ (a 0) q =1 q =1 และ 0·q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0·q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (ap) 0 =1 และ a p·0 =a 0 =1 ดังนั้น (ap) 0 =a p·0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 ดังนั้น (a 0) 0 =1 0 =1 และ 0·0 =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) 0 =a 0·0

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า (a −p) q =a (−p)·q โดยนิยามกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบแล้ว - โดยคุณสมบัติของผลหารต่อกำลังที่เรามี - ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ จากนั้น . ตามนิยามแล้ว นิพจน์สุดท้ายคือกำลังที่อยู่ในรูป a −(p·q) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น (−p)·q เนื่องจากกฎการคูณ

เช่นเดียวกัน .

และ .

เมื่อใช้หลักการเดียวกัน คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มซึ่งเขียนในรูปของความเท่ากันได้

ในช่วงสุดท้ายของคุณสมบัติที่บันทึกไว้ ควรพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มลบใดๆ −n และค่าบวก a และ b ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข a - เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 . ผลคูณ a n · bn ยังเป็นผลบวกเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ bn จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นค่าบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n −a n และ a n ·b n ดังนั้น a −n >b −n จึงเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คุณสมบัติสุดท้ายของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่คล้ายคลึงกัน

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะมีคุณสมบัติเหมือนกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ:

การพิสูจน์คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และคุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ให้เราแสดงหลักฐาน

โดยนิยามกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และ แล้ว - คุณสมบัติของรากเลขคณิตช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เราได้รับ ซึ่งจากคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราได้ และตัวบ่งชี้ระดับที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะที่คล้ายกันอย่างยิ่ง:

ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยใช้หลักการที่คล้ายกัน:

เรามาพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปกันดีกว่า ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าบวก a และ b, a ใดๆ บีพี ลองเขียนจำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไขหน้า<0 и p>0 ในกรณีนี้คือเงื่อนไข m<0 и m>0 ตามนั้น สำหรับ m>0 และ a

ในทำนองเดียวกันสำหรับม<0 имеем a m >b m จากที่ไหน นั่นคือ และ a p >b p

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายที่ระบุไว้ ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0 0 – อสมการ a p >a q เราสามารถลดจำนวนตรรกยะ p และ q ให้เป็นตัวส่วนร่วมได้เสมอ แม้ว่าเราจะได้เศษส่วนสามัญ และ โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้ เงื่อนไข p>q จะสอดคล้องกับเงื่อนไข m 1 >m 2 ซึ่งตามมาจาก จากนั้นด้วยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังธรรมชาติที่ 0 1 – อสมการ a m 1 >a m 2 ความไม่เท่าเทียมกันในคุณสมบัติของรากสามารถเขียนใหม่ได้ตามนั้น และ - และคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้และตามลำดับ จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0 0 – อสมการ a p >a q

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

จากวิธีการกำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบไม่ลงตัว เราสามารถสรุปได้ว่าปริญญามีคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0, b>0 และจำนวนอตรรกยะใดๆ p และ q สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว:

1. a p ·a q = a p+q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (ก·ข) พี =เอ พี ·บี พี ;
4. (ก:ข) พี =เอ พี:บี พี ;
5. (ap) q = a p·q ;
6. สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b, a 0 ความไม่เท่าเทียมกัน a p บีพี ;
7. สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q, p>q ที่ 0 0 – อสมการ a p >a q

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)