Zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën përcaktuese në internet. Metoda e Cramer-it: zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (slau)

Gabriel Kramer është një matematikan zviceran, student dhe mik i Johann Bernoulli, një nga krijuesit e algjebrës lineare. Cramer konsideroi një sistem të një numri arbitrar ekuacionesh lineare me një matricë katrore. Ai e paraqiti zgjidhjen e sistemit si një kolonë thyesash me një emërues të përbashkët - përcaktorin e matricës. Metoda e Cramer-it bazohet në përdorimin e përcaktuesve në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare, gjë që shpejton ndjeshëm procesin e zgjidhjes. Kjo metodë mund të përdoret për të zgjidhur një sistem me aq ekuacione lineare sa ka të panjohura në secilin ekuacion. Gjëja kryesore është që përcaktori i sistemit nuk është i barabartë me "0", atëherë metoda e Cramer mund të përdoret në zgjidhje, nëse "0" - kjo metodë nuk mund të përdoret. Kjo metodë mund të përdoret gjithashtu për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare me një zgjidhje unike.

Teorema e Kramerit. Nëse përcaktorja e sistemit është jozero, atëherë sistemi i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike, dhe e panjohura është e barabartë me raportin e përcaktorëve. Emëruesi përmban përcaktorin e sistemit, dhe numëruesi përmban përcaktorin e marrë nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar koeficientët e kësaj të panjohure me terma të lirë. Kjo teoremë vlen për një sistem ekuacionesh lineare të çdo rendi.

Supozoni se na është dhënë një SLAE e këtij lloji:

\[\majtas\(\fillimi(matrica) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \fund(matrica)\djathtas.\]

Sipas teoremës së Cramer-it marrim:

Përgjigje: \

Ku mund të zgjidh një ekuacion duke përdorur metodën e Cramer-it duke përdorur një zgjidhës në internet?

Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Në pjesën e parë kemi parë disa materiale teorike, metodën e zëvendësimit, si dhe metodën e mbledhjes term pas termi të ekuacioneve të sistemit. Unë rekomandoj të gjithë ata që kanë hyrë në faqe përmes kësaj faqeje të lexojnë pjesën e parë. Ndoshta disa vizitorëve do ta kenë materialin shumë të thjeshtë, por në procesin e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare, bëra një sërë komentesh dhe përfundimesh shumë të rëndësishme në lidhje me zgjidhjen e problemeve matematikore në përgjithësi.

Tani do të analizojmë rregullin e Cramer-it, si dhe do të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur një matricë të kundërt (metoda e matricës). Të gjitha materialet janë paraqitur thjesht, në detaje dhe qartë, pothuajse të gjithë lexuesit do të jenë në gjendje të mësojnë se si të zgjidhin sistemet duke përdorur metodat e mësipërme.

Së pari, do t'i hedhim një vështrim më të afërt rregullit të Cramer-it për një sistem me dy ekuacione lineare në dy të panjohura. Per cfare? – Në fund të fundit, sistemi më i thjeshtë mund të zgjidhet duke përdorur metodën e shkollës, metodën e mbledhjes term pas termi!

Fakti është se, megjithëse ndonjëherë, ndodh një detyrë e tillë - të zgjidhet një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura duke përdorur formulat e Cramer. Së dyti, një shembull më i thjeshtë do t'ju ndihmojë të kuptoni se si të përdorni rregullin e Cramer për një rast më kompleks - një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura.

Përveç kësaj, ekzistojnë sisteme ekuacionesh lineare me dy ndryshore, të cilat këshillohen të zgjidhen duke përdorur rregullin e Cramer!

Konsideroni sistemin e ekuacioneve

Në hapin e parë, ne llogarisim përcaktorin, quhet përcaktuesi kryesor i sistemit.

Metoda e Gausit.

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike dhe për të gjetur rrënjët duhet të llogarisim edhe dy përcaktues të tjerë:
Dhe

Në praktikë, kualifikuesit e mësipërm mund të shënohen edhe me një shkronjë latine.

Ne gjejmë rrënjët e ekuacionit duke përdorur formulat:
,

Shembulli 7

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare

Zgjidhje: Shohim se koeficientët e ekuacionit janë mjaft të mëdhenj në anën e djathtë ka thyesa dhjetore me presje; Presja është një mysafir mjaft i rrallë në detyrat praktike në matematikë. E mora këtë sistem nga një problem ekonometrik.

Si të zgjidhet një sistem i tillë? Mund të përpiqeni të shprehni një variabël në termat e një tjetri, por në këtë rast ndoshta do të përfundoni me fraksione të tmerrshme të zbukuruara me të cilat është jashtëzakonisht e papërshtatshme për të punuar, dhe dizajni i zgjidhjes do të duket thjesht i tmerrshëm. Ju mund të shumëzoni ekuacionin e dytë me 6 dhe të zbrisni term për term, por të njëjtat thyesa do të lindin edhe këtu.

Çfarë duhet bërë? Në raste të tilla, formulat e Cramer vijnë në shpëtim.

;

;

Përgjigju: ,

Të dyja rrënjët kanë bishta të pafund dhe gjenden afërsisht, gjë që është mjaft e pranueshme (dhe madje e zakonshme) për problemet ekonometrike.

Komentet nuk nevojiten këtu, pasi detyra zgjidhet duke përdorur formula të gatshme, megjithatë, ekziston një paralajmërim. Kur përdorni këtë metodë, të detyrueshme Një fragment i dizajnit të detyrës është fragmenti i mëposhtëm: "Kjo do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike". Përndryshe, recensuesi mund t'ju ndëshkojë për mosrespektimin e teoremës së Cramer.

Nuk do të ishte e tepërt të kontrollohej, gjë që mund të kryhet me lehtësi në një kalkulator: ne zëvendësojmë vlerat e përafërta në anën e majtë të secilit ekuacion të sistemit. Si rezultat, me një gabim të vogël, duhet të merrni numra që janë në anët e duhura.

Shembulli 8

Paraqisni përgjigjen me thyesa të zakonshme të pasakta. Bëni një kontroll.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (një shembull i modelit përfundimtar dhe përgjigja në fund të mësimit).

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë rregullin e Cramer për një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura:

Gjejmë përcaktuesin kryesor të sistemit:

Nëse , atëherë sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent (nuk ka zgjidhje). Në këtë rast, rregulli i Cramer-it nuk do t'ju ndihmojë të përdorni metodën e Gausit.

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike dhe për të gjetur rrënjët duhet të llogarisim edhe tre përcaktues të tjerë:
, ,

Dhe së fundi, përgjigjja llogaritet duke përdorur formulat:

Siç mund ta shihni, rasti "tre nga tre" në thelb nuk është i ndryshëm nga rasti "dy nga dy" kolona e termave të lirë në mënyrë sekuenciale "ecën" nga e majta në të djathtë përgjatë kolonave të përcaktorit kryesor;

Shembulli 9

Zgjidheni sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

Zgjidhje: Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Përgjigju: .

Në fakt, këtu përsëri nuk ka asgjë të veçantë për të komentuar, për faktin se zgjidhja ndjek formula të gatshme. Por ka disa komente.

Ndodh që si rezultat i llogaritjeve të fitohen thyesa të pareduktueshme “të këqija” p.sh.: .
Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm të "trajtimit". Nëse nuk keni një kompjuter në dorë, bëni këtë:

1) Mund të ketë një gabim në llogaritjet. Sapo të hasni një fraksion "të keq", menjëherë duhet të kontrolloni A është rishkruar si duhet kushti?. Nëse kushti rishkruhet pa gabime, atëherë duhet të rillogaritni përcaktuesit duke përdorur zgjerimin në një rresht (kolona) tjetër.

2) Nëse nuk identifikohen gabime si rezultat i kontrollit, atëherë ka shumë të ngjarë të ketë pasur një gabim shtypi në kushtet e detyrës. Në këtë rast, punoni me qetësi dhe me kujdes detyrën deri në fund, dhe më pas sigurohuni që të kontrolloni dhe ne e hartojmë atë në një fletë të pastër pas vendimit. Sigurisht, të kontrollosh një përgjigje të pjesshme është një detyrë e pakëndshme, por do të jetë një argument çarmatos për mësuesin, i cili me të vërtetë i pëlqen të japë një minus për çdo marrëzi si . Mënyra e trajtimit të thyesave përshkruhet në detaje në përgjigjen e Shembullit 8.

Nëse keni një kompjuter në dorë, atëherë përdorni një program të automatizuar për të kontrolluar, i cili mund të shkarkohet falas që në fillim të mësimit. Nga rruga, është më e dobishme të përdorni programin menjëherë (edhe para se të filloni zgjidhjen, menjëherë do të shihni hapin e ndërmjetëm ku keni bërë një gabim); I njëjti kalkulator llogarit automatikisht zgjidhjen e sistemit duke përdorur metodën e matricës.

Vërejtje e dytë. Herë pas here ka sisteme në ekuacionet e të cilave mungojnë disa variabla, për shembull:

Këtu në ekuacionin e parë nuk ka variabël, në të dytin nuk ka ndryshore. Në raste të tilla, është shumë e rëndësishme të shkruani saktë dhe me kujdes përcaktuesin kryesor:
– zero vendosen në vend të variablave që mungojnë.
Nga rruga, është racionale të hapen përcaktuesit me zero sipas rreshtit (kolonës) në të cilën ndodhet zeroja, pasi ka dukshëm më pak llogaritje.

Shembulli 10

Zgjidheni sistemin duke përdorur formulat e Cramer-it.

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur (një mostër e modelit përfundimtar dhe përgjigja në fund të mësimit).

Për rastin e një sistemi prej 4 ekuacionesh me 4 të panjohura, formulat e Cramer-it shkruhen sipas parimeve të ngjashme. Mund të shihni një shembull të drejtpërdrejtë në mësimin Vetitë e përcaktorëve. Zvogëlimi i rendit të përcaktorit - pesë përcaktorë të rendit të katërt janë mjaft të zgjidhshëm. Edhe pse detyra tashmë të kujton shumë këpucën e një profesori në gjoksin e një studenti me fat.

Zgjidhja e sistemit duke përdorur një matricë të kundërt

Metoda e matricës së kundërt është në thelb një rast i veçantë ekuacioni i matricës(Shih shembullin nr. 3 të mësimit të specifikuar).

Për të studiuar këtë seksion, duhet të jeni në gjendje të zgjeroni përcaktuesit, të gjeni inversin e një matrice dhe të kryeni shumëzimin e matricës. Lidhjet përkatëse do të sigurohen ndërsa shpjegimet përparojnë.

Shembulli 11

Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e matricës

Zgjidhje: Le ta shkruajmë sistemin në formë matrice:
, Ku

Ju lutemi shikoni sistemin e ekuacioneve dhe matricat. Unë mendoj se të gjithë e kuptojnë parimin me të cilin ne i shkruajmë elementet në matrica. Komenti i vetëm: nëse disa variabla do të mungonin në ekuacionet, atëherë zero do të duhej të vendoseshin në vendet përkatëse në matricë.

Ne gjejmë matricën e kundërt duke përdorur formulën:
, ku është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

Së pari, le të shohim përcaktuesin:

Këtu përcaktori zgjerohet në rreshtin e parë.

Kujdes! Nëse , atëherë matrica e anasjelltë nuk ekziston dhe është e pamundur të zgjidhet sistemi duke përdorur metodën e matricës. Në këtë rast, sistemi zgjidhet me metodën e eliminimit të të panjohurave (metoda Gauss).

Tani duhet të llogarisim 9 minore dhe t'i shkruajmë në matricën e të miturve

Referenca:Është e dobishme të dihet kuptimi i nënshkrimeve të dyfishta në algjebër lineare. Shifra e parë është numri i rreshtit në të cilin ndodhet elementi. Shifra e dytë është numri i kolonës në të cilën ndodhet elementi:

Kjo do të thotë, një nënshkrim i dyfishtë tregon që elementi është në rreshtin e parë, kolonën e tretë dhe, për shembull, elementi është në 3 rreshta, 2 kolona

Metoda Cramer përdoret për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) në të cilat numri i ndryshoreve të panjohura është i barabartë me numrin e ekuacioneve dhe përcaktori i matricës kryesore është jozero. Në këtë artikull do të analizojmë se si gjenden variablat e panjohur duke përdorur metodën e Cramer dhe do të marrim formula. Pas kësaj, le të kalojmë te shembujt dhe të përshkruajmë në detaje zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it.

Navigimi i faqes.

Metoda e Cramer-it - derivimi i formulave.

Le të na duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare të formës

Ku x 1, x 2, ..., x n janë ndryshore të panjohura, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- koeficientët numerikë, b 1, b 2, ..., b n - terma të lirë. Një zgjidhje për një SLAE është një grup i tillë vlerash x 1 , x 2 , ..., x n për të cilat të gjitha ekuacionet e sistemit bëhen identitete.

Në formë matrice, ky sistem mund të shkruhet si A ⋅ X = B, ku - matrica kryesore e sistemit, elementet e saj janë koeficientët e variablave të panjohur, - matrica është një kolonë me terma të lirë dhe - matrica është një kolonë e variablave të panjohur. Pas gjetjes së variablave të panjohur x 1, x 2, …, x n, matrica bëhet zgjidhje e sistemit të ekuacioneve dhe barazia A ⋅ X = B bëhet identitet.

Do të supozojmë se matrica A është jo njëjës, domethënë përcaktorja e saj është jo zero. Në këtë rast, sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer-it. (Metodat për zgjidhjen e sistemeve për janë diskutuar në seksionin Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare).

Metoda e Cramer bazohet në dy veti të përcaktuesit të matricës:

Pra, le të fillojmë të gjejmë ndryshoren e panjohur x 1. Për ta bërë këtë, ne i shumëzojmë të dy pjesët e ekuacionit të parë të sistemit me A 1 1, të dy pjesët e ekuacionit të dytë me A 2 1, dhe kështu me radhë, të dyja pjesët e ekuacionit të n-të me A n 1 (d.m.th. shumëzoni ekuacionet e sistemit me plotësimet algjebrike përkatëse të kolonës së parë të matricës A):

Le të mbledhim të gjitha anët e majta të ekuacionit të sistemit, duke grupuar termat për ndryshoret e panjohura x 1, x 2, ..., x n, dhe ta barazojmë këtë shumë me shumën e të gjitha anëve të djathta të ekuacioneve:

Nëse i drejtohemi vetive të përmendura më parë të përcaktorit, kemi

dhe barazia e mëparshme merr formën

ku

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë x 2. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë të dy anët e ekuacioneve të sistemit me plotësimet algjebrike të kolonës së dytë të matricës A:

Ne mbledhim të gjitha ekuacionet e sistemit, grupojmë termat për ndryshoret e panjohura x 1, x 2, ..., x n dhe zbatojmë vetitë e përcaktorit:

Ku
.

Variablat e mbetur të panjohur gjenden në mënyrë të ngjashme.

Nëse caktojmë

Pastaj marrim formulat për gjetjen e ndryshoreve të panjohura duke përdorur metodën e Cramer .

Komentoni.

Nëse sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare është homogjen, d.m.th , atëherë ka vetëm një zgjidhje të parëndësishme (në ). Në të vërtetë, për terma zero të lirë, të gjithë përcaktuesit do të jetë e barabartë me zero, pasi ato do të përmbajnë një kolonë me elemente zero. Prandaj, formulat do të japë .

Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën Cramer.

Le ta shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën Cramer.

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën Cramer.

Le të shohim zgjidhjet për disa shembuj.

Shembull.

Gjeni një zgjidhje për një sistem johomogjen të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it .

Zgjidhje.

Matrica kryesore e sistemit ka formën . Le të llogarisim përcaktorin e tij duke përdorur formulën :

Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, SLAE ka një zgjidhje unike dhe mund të gjendet me metodën e Cramer. Le të shkruajmë përcaktorët dhe . Ne zëvendësojmë kolonën e parë të matricës kryesore të sistemit me një kolonë me terma të lirë dhe marrim përcaktorin . Në mënyrë të ngjashme, ne zëvendësojmë kolonën e dytë të matricës kryesore me kolonën e termave të lirë, dhe marrim .

Ne llogarisim këta përcaktues:

Gjeni variablat e panjohur x 1 dhe x 2 duke përdorur formulat :

Le të kontrollojmë. Le të zëvendësojmë vlerat e marra x 1 dhe x 2 në sistemin origjinal të ekuacioneve:

Të dy ekuacionet e sistemit bëhen identitete, prandaj zgjidhja u gjet saktë.

Përgjigje:

.

Disa elementë të matricës kryesore të SLAE mund të jenë të barabartë me zero. Në këtë rast, variablat përkatëse të panjohura do të mungojnë në ekuacionet e sistemit. Le të shohim një shembull.

Shembull.

Gjeni zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Cramer-it .

Zgjidhje.

Le ta rishkruajmë sistemin në formë , në mënyrë që matrica kryesore e sistemit të bëhet e dukshme . Le të gjejmë përcaktuesin e tij duke përdorur formulën

Ne kemi

Përcaktori i matricës kryesore është jozero, prandaj, sistemi i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike. Le ta gjejmë duke përdorur metodën e Cramer. Le të llogarisim përcaktorët :

Kështu,

Përgjigje:

Emërtimet e variablave të panjohur në ekuacionet e sistemit mund të ndryshojnë nga x 1, x 2, ..., x n. Kjo nuk ndikon në procesin e vendimmarrjes. Por rendi i variablave të panjohur në ekuacionet e sistemit është shumë i rëndësishëm kur përpilohet matrica kryesore dhe përcaktuesit e nevojshëm të metodës Cramer. Le ta sqarojmë këtë pikë me një shembull.

Shembull.

Duke përdorur metodën e Cramer-it, gjeni një zgjidhje për një sistem me tre ekuacione algjebrike lineare në tre të panjohura .

Zgjidhje.

Në këtë shembull, variablat e panjohur kanë një shënim të ndryshëm (x, y dhe z në vend të x 1, x 2 dhe x 3). Kjo nuk ndikon në zgjidhjen, por kini kujdes me shënimet e ndryshueshme. NUK MUND ta marrësh si matricë kryesore të sistemit . Është e nevojshme që fillimisht të renditen ndryshoret e panjohura në të gjitha ekuacionet e sistemit. Për ta bërë këtë, ne rishkruajmë sistemin e ekuacioneve si . Tani matrica kryesore e sistemit është qartë e dukshme . Le të llogarisim përcaktuesin e tij:

Përcaktori i matricës kryesore është jozero, prandaj, sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike. Le ta gjejmë duke përdorur metodën e Cramer. Le të shkruajmë përcaktorët (i kushtoni vëmendje shënimit) dhe llogaritni ato:

Mbetet për të gjetur variablat e panjohur duke përdorur formulat :

Le të kontrollojmë. Për ta bërë këtë, shumëzoni matricën kryesore me zgjidhjen që rezulton (nëse është e nevojshme, shihni seksionin):

Si rezultat, ne morëm një kolonë me terma të lirë të sistemit origjinal të ekuacioneve, kështu që zgjidhja u gjet saktë.

Përgjigje:

x = 0, y = -2, z = 3.

Shembull.

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Cramer-it , ku a dhe b janë disa numra realë.

Zgjidhje.

Përgjigje:

Shembull.

Gjeni zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve me metodën e Cramer-it, - një numër real.

Zgjidhje.

Le të llogarisim përcaktorin e matricës kryesore të sistemit: . shprehja është një interval, pra për çdo vlerë reale. Rrjedhimisht, sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer-it. Ne llogarisim dhe:

Lëreni sistemin ekuacionet lineare përmban aq ekuacione sa numri i ndryshoreve të pavarura, d.m.th. duket si

Sisteme të tilla ekuacionesh lineare quhen kuadratike. Përcaktori, i përbërë nga koeficientët për ndryshoret e pavarura të sistemit (1.5), quhet përcaktor kryesor i sistemit. Do ta shënojmë me shkronjën greke D. Kështu,

. (1.6)

Nëse përcaktori kryesor përmban një arbitrar ( j th) kolona, ​​zëvendësoni me një kolonë të kushteve të lira të sistemit (1.5), atëherë mund të merrni n kualifikues ndihmës:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Rregulli i Kramerit zgjidhja e sistemeve kuadratike të ekuacioneve lineare është si më poshtë. Nëse përcaktori kryesor D i sistemit (1.5) është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila mund të gjendet duke përdorur formulat:

(1.8)

Shembulli 1.5. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve duke përdorur metodën e Cramer-it

.

Le të llogarisim përcaktuesin kryesor të sistemit:

Që nga D¹0, sistemi ka një zgjidhje unike, e cila mund të gjendet duke përdorur formulat (1.8):

Kështu,

Veprimet në matrica

1. Shumëzimi i një matrice me një numër. Operacioni i shumëzimit të një matrice me një numër përcaktohet si më poshtë.

2. Për të shumëzuar një matricë me një numër, duhet të shumëzoni të gjithë elementët e saj me këtë numër. Kjo eshte

. (1.9)

Shembulli 1.6. .

Shtimi i matricës.

Ky operacion prezantohet vetëm për matricat e rendit të njëjtë.

Për të shtuar dy matrica, është e nevojshme të shtoni elementët përkatës të një matrice tjetër në elementët e një matrice:

(1.10)
Operacioni i mbledhjes së matricës ka vetitë e asociativitetit dhe komutativitetit.

Shembulli 1.7. .

Shumëzimi i matricës.

Nëse numri i kolonave të matricës A përkon me numrin e rreshtave të matricës NË, atëherë për matrica të tilla prezantohet operacioni i shumëzimit:

2

Kështu, kur shumëzohet një matricë A dimensionet m´ n te matrica NË dimensionet n´ k marrim një matricë ME dimensionet m´ k. Në këtë rast, elementët e matricës ME llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

Problemi 1.8. Gjeni, nëse është e mundur, produktin e matricave AB Dhe B.A.:

Zgjidhje. 1) Për të gjetur një punë AB, keni nevojë për rreshta matricë A shumohen me kolona matrice B:

2) Puna B.A. nuk ekziston, sepse numri i kolonave të matricës B nuk përputhet me numrin e rreshtave të matricës A.

Matrica e anasjelltë. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Matricë A- 1 quhet inversi i një matrice katrore A, nëse plotësohet barazia:

ku nëpër I tregon matricën e identitetit të rendit të njëjtë me matricën A:

.

Në mënyrë që një matricë katrore të ketë një invers, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktorja e saj të jetë e ndryshme nga zero. Matrica e anasjelltë gjendet duke përdorur formulën:

, (1.13)

Ku Një ij- shtesat algjebrike të elementeve një ij matricat A(vini re se shtesat algjebrike në rreshtat e matricës A ndodhen në matricën e anasjelltë në formën e kolonave përkatëse).

Shembulli 1.9. Gjeni matricën e anasjelltë A- 1 në matricë

.

Matricën e anasjelltë e gjejmë duke përdorur formulën (1.13), e cila për rastin n= 3 ka formën:

.

Le të gjejmë det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Meqenëse përcaktori i matricës origjinale është jozero, ekziston matrica e kundërt.

1) Gjeni plotësimet algjebrike Një ij:

Për lehtësinë e gjetjes së matricës së kundërt, ne kemi vendosur shtesat algjebrike në rreshtat e matricës origjinale në kolonat përkatëse.

Nga shtesat algjebrike të fituara, ne hartojmë një matricë të re dhe e ndajmë atë me përcaktorin det. A. Kështu, marrim matricën e kundërt:

Sistemet kuadratike të ekuacioneve lineare me një përcaktues kryesor jozero mund të zgjidhen duke përdorur matricën e kundërt. Për ta bërë këtë, sistemi (1.5) është shkruar në formën e matricës:

Ku

Duke shumëzuar të dyja anët e barazisë (1.14) nga e majta me A- 1, marrim zgjidhjen e sistemit:

, ku

Kështu, për të gjetur një zgjidhje për një sistem katror, ​​ju duhet të gjeni matricën e kundërt të matricës kryesore të sistemit dhe ta shumëzoni atë në të djathtë me matricën e kolonës së termave të lirë.

Problemi 1.10. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare

duke përdorur matricën e kundërt.

Zgjidhje. Le ta shkruajmë sistemin në formë matrice:

Ku - matrica kryesore e sistemit, - kolona e të panjohurave dhe - kolona e termave të lirë. Meqenëse përcaktori kryesor i sistemit , pastaj matrica kryesore e sistemit A ka një matricë të kundërt A-1. Për të gjetur matricën e anasjelltë A-1 , ne llogarisim plotësimet algjebrike për të gjithë elementët e matricës A:

Nga numrat e fituar do të përpilojmë një matricë (dhe shtesa algjebrike në rreshtat e matricës A shkruaje në kolonat përkatëse) dhe pjesëtoje me përcaktorin D. Kështu, kemi gjetur matricën e anasjelltë:

Zgjidhjen e sistemit e gjejmë duke përdorur formulën (1.15):

Kështu,

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e zakonshme të eliminimit të Jordanit

Le të jepet një sistem arbitrar (jo domosdoshmërisht kuadratik) i ekuacioneve lineare:

(1.16)

Kërkohet të gjendet një zgjidhje për sistemin, d.m.th. një grup i tillë variablash që plotëson të gjitha barazitë e sistemit (1.16). Në rastin e përgjithshëm, sistemi (1.16) mund të ketë jo vetëm një zgjidhje, por edhe zgjidhje të panumërta. Mund të mos ketë fare zgjidhje.

Kur zgjidhen probleme të tilla, përdoret metoda e njohur e kursit shkollor për eliminimin e të panjohurave, e cila quhet edhe metoda e zakonshme e eliminimit të Jordanisë. Thelbi i kësaj metode është se në një nga ekuacionet e sistemit (1.16) njëri nga variablat shprehet në terma të variablave të tjerë. Kjo variabël më pas zëvendësohet me ekuacione të tjera në sistem. Rezultati është një sistem që përmban një ekuacion dhe një ndryshore më pak se sistemi origjinal. Mbahet mend ekuacioni nga i cili është shprehur ndryshorja.

Ky proces përsëritet derisa një ekuacion i fundit të mbetet në sistem. Nëpërmjet procesit të eliminimit të të panjohurave, disa ekuacione mund të bëhen identitete të vërteta, p.sh. Ekuacione të tilla përjashtohen nga sistemi, pasi ato janë të kënaqura për çdo vlerë të variablave dhe, për rrjedhojë, nuk ndikojnë në zgjidhjen e sistemit. Nëse, në procesin e eliminimit të të panjohurave, të paktën një ekuacion bëhet një barazi që nuk mund të plotësohet për asnjë vlerë të variablave (për shembull), atëherë arrijmë në përfundimin se sistemi nuk ka zgjidhje.

Nëse gjatë zgjidhjes nuk lindin ekuacione konfliktuale, atëherë një nga variablat e mbetur në të gjendet nga ekuacioni i fundit. Nëse ka mbetur vetëm një ndryshore në ekuacionin e fundit, atëherë ai shprehet si numër. Nëse variablat e tjerë mbeten në ekuacionin e fundit, atëherë ato konsiderohen si parametra dhe ndryshorja e shprehur përmes tyre do të jetë funksion i këtyre parametrave. Pastaj ndodh e ashtuquajtura "lëvizje e kundërt". Ndryshorja e gjetur zëvendësohet në ekuacionin e fundit të kujtuar dhe gjendet ndryshorja e dytë. Pastaj dy ndryshoret e gjetura zëvendësohen në ekuacionin e parafundit të memorizuar dhe gjendet ndryshorja e tretë, e kështu me radhë, deri në ekuacionin e parë të memorizuar.

Si rezultat, ne marrim një zgjidhje për sistemin. Kjo zgjidhje do të jetë unike nëse variablat e gjetur janë numra. Nëse variabla e parë e gjetur, dhe më pas të gjitha të tjerat, varen nga parametrat, atëherë sistemi do të ketë një numër të pafund zgjidhjesh (çdo grup parametrash korrespondon me një zgjidhje të re). Formulat që ju lejojnë të gjeni një zgjidhje për një sistem në varësi të një grupi të caktuar parametrash quhen zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Shembulli 1.11.

x

Pas memorizimit të ekuacionit të parë dhe duke sjellë terma të ngjashëm në ekuacionin e dytë dhe të tretë, arrijmë në sistemin:

Le të shprehemi y nga ekuacioni i dytë dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e parë:

Le të kujtojmë ekuacionin e dytë, dhe nga i pari gjejmë z:

Duke punuar mbrapsht, ne vazhdimisht gjejmë y Dhe z. Për ta bërë këtë, së pari zëvendësojmë në ekuacionin e fundit të kujtuar, nga ku gjejmë y:

.

Pastaj e zëvendësojmë atë në ekuacionin e parë të kujtuar ku mund ta gjejmë x:

Problemi 1.12. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke eliminuar të panjohurat:

. (1.17)

Zgjidhje. Le të shprehim variablin nga ekuacioni i parë x dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e dytë dhe të tretë:

.

Le të kujtojmë ekuacionin e parë

Në këtë sistem, ekuacioni i parë dhe i dytë bien ndesh me njëri-tjetrin. Në të vërtetë, duke shprehur y , marrim se 14 = 17. Ky barazi nuk vlen për asnjë vlerë të variablave x, y, Dhe z. Rrjedhimisht, sistemi (1.17) është i paqëndrueshëm, d.m.th. nuk ka zgjidhje.

Ftojmë lexuesit të kontrollojnë vetë nëse përcaktori kryesor i sistemit origjinal (1.17) është i barabartë me zero.

Le të shqyrtojmë një sistem që ndryshon nga sistemi (1.17) vetëm me një term të lirë.

Problemi 1.13. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke eliminuar të panjohurat:

. (1.18)

Zgjidhje. Si më parë, ne shprehim variablin nga ekuacioni i parë x dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e dytë dhe të tretë:

.

Le të kujtojmë ekuacionin e parë dhe paraqesin terma të ngjashëm në ekuacionin e dytë dhe të tretë. Arrijmë në sistemin:

Duke shprehur y nga ekuacioni i parë dhe duke e zëvendësuar atë në ekuacionin e dytë , marrim identitetin 14 = 14, i cili nuk ndikon në zgjidhjen e sistemit dhe, për rrjedhojë, mund të përjashtohet nga sistemi.

Në barazinë e fundit të kujtuar, ndryshorja z do ta konsiderojmë një parametër. Ne besojmë. Pastaj

Le të zëvendësojmë y Dhe z në barazinë e parë kujtohet dhe gjeni x:

.

Kështu, sistemi (1.18) ka një numër të pafund zgjidhjesh, dhe çdo zgjidhje mund të gjendet duke përdorur formulat (1.19), duke zgjedhur një vlerë arbitrare të parametrit t:

(1.19)
Pra, zgjidhjet e sistemit, për shembull, janë grupet e mëposhtme të variablave (1; 2; 0), (2; 26; 14), etj. Formulat (1.19) shprehin zgjidhjen e përgjithshme (çdo) të sistemit (1.18 ).

Në rastin kur sistemi origjinal (1.16) ka një numër mjaft të madh ekuacionesh dhe të panjohurash, metoda e treguar e eliminimit të zakonshëm të Jordanisë duket e rëndë. Megjithatë, nuk është. Mjafton të nxirret algoritmi për rillogaritjen e koeficientëve të sistemit në një hap në formë të përgjithshme dhe të zyrtarizohet zgjidhja e problemit në formën e tabelave speciale Jordan.

Le të jepet një sistem formash (ekuacionesh) lineare:

, (1.20)
Ku x j- variabla të pavarur (të kërkuar), një ij- koeficientët konstant
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Pjesët e duhura të sistemit y i (i = 1, 2,…, m) mund të jenë ose ndryshore (të varura) ose konstante. Kërkohet gjetja e zgjidhjeve për këtë sistem duke eliminuar të panjohurat.

Le të shqyrtojmë operacionin e mëposhtëm, i quajtur tani e tutje "një hap i eliminimeve të zakonshme të Jordanisë". Nga arbitrariteti ( r th) barazi ne shprehim një ndryshore arbitrare ( xs) dhe zëvendësohet me të gjitha barazitë e tjera. Sigurisht, kjo është e mundur vetëm nëse një rs¹ 0. Koeficienti një rs quhet elementi zgjidhës (ndonjëherë udhëzues ose kryesor).

Ne do të marrim sistemin e mëposhtëm:

. (1.21)

Nga s- barazia e sistemit (1.21), më pas gjejmë variablin xs(pasi janë gjetur variablat e mbetur). S Rreshti -të mbahet mend dhe më pas përjashtohet nga sistemi. Sistemi i mbetur do të përmbajë një ekuacion dhe një ndryshore më pak të pavarur se sistemi origjinal.

Le të llogarisim koeficientët e sistemit që rezulton (1.21) përmes koeficientëve të sistemit origjinal (1.20). Le të fillojmë me r ekuacioni th, i cili pasi shpreh variablin xs përmes variablave të mbetur do të duket kështu:

Kështu, koeficientët e rinj r ekuacionet llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

(1.23)
Tani le të llogarisim koeficientët e rinj b ij(i¹ r) të një ekuacioni arbitrar. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë variablin e shprehur në (1.22) xs V i ekuacioni i sistemit (1.20):

Pasi sjellim terma të ngjashëm, marrim:

(1.24)
Nga barazia (1.24) marrim formula me të cilat llogariten koeficientët e mbetur të sistemit (1.21) (me përjashtim r-ekuacioni i th):

(1.25)
Shndërrimi i sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e eliminimit të zakonshëm Jordan është paraqitur në formën e tabelave (matricave). Këto tabela quhen "tavolina Jordan".

Kështu, problemi (1.20) shoqërohet me tabelën e mëposhtme të Jordanisë:

Tabela 1.1

Tabela Jordan 1.1 përmban një kolonë të kokës së majtë në të cilën janë shkruar pjesët e djathta të sistemit (1.20) dhe një rresht të sipërm të kokës në të cilin janë shkruar variablat e pavarur.

Elementet e mbetura të tabelës formojnë matricën kryesore të koeficientëve të sistemit (1.20). Nëse e shumëzoni matricën A në matricën e përbërë nga elementët e rreshtit të titullit të sipërm, ju merrni një matricë të përbërë nga elementët e kolonës së majtë të titullit. Kjo do të thotë, në thelb, tabela Jordan është një formë matrice e shkrimit të një sistemi ekuacionesh lineare: . Sistemi (1.21) korrespondon me tabelën e mëposhtme Jordan:

Tabela 1.2

Element lejues një rs Do t'i theksojmë me shkronja të zeza. Kujtojmë se për të zbatuar një hap të eliminimit të Jordanisë, elementi zgjidhës duhet të jetë jo zero. Rreshti i tabelës që përmban elementin mundësues quhet rreshti aktivizues. Kolona që përmban elementin enable quhet kolona enable. Kur lëvizni nga një tabelë e caktuar në tabelën tjetër, një ndryshore ( xs) nga rreshti i sipërm i kokës së tabelës zhvendoset në kolonën e kokës së majtë dhe, anasjelltas, një nga anëtarët e lirë të sistemit ( y r) lëviz nga kolona e majtë e kokës së tabelës në rreshtin e sipërm të kokës.

Le të përshkruajmë algoritmin për rillogaritjen e koeficientëve kur lëvizim nga tabela Jordan (1.1) në tabelën (1.2), e cila rrjedh nga formula (1.23) dhe (1.25).

1. Elementi zgjidhës zëvendësohet me numrin e kundërt:

2. Elementet e mbetur të vargut zgjidhës ndahen në elementin zgjidhës dhe e ndryshojnë shenjën në të kundërtën:

3. Elementet e mbetura të kolonës së rezolucionit ndahen në elementin e rezolucionit:

4. Elementet që nuk përfshihen në rreshtin lejues dhe kolonën lejuese rillogariten duke përdorur formulat:

Formula e fundit është e lehtë për t'u mbajtur mend nëse vëreni se elementët që përbëjnë thyesën , janë në kryqëzim i-oh dhe r-vijat dhe j th dhe s kolonat e th (rreshti zgjidhës, kolona zgjidhëse dhe rreshti dhe kolona në kryqëzimin e të cilave ndodhet elementi i rillogaritur). Më saktësisht, kur mbani mend formulën mund të përdorni diagramin e mëposhtëm:

Kur kryeni hapin e parë të përjashtimeve të Jordanisë, mund të zgjidhni çdo element të tabelës 1.3 të vendosur në kolona si element zgjidhës x 1 ,…, x 5 (të gjithë elementët e specifikuar nuk janë zero). Thjesht mos zgjidhni elementin aktivizues në kolonën e fundit, sepse ju duhet të gjeni variabla të pavarur x 1 ,…, x 5 . Për shembull, ne zgjedhim koeficientin 1 me ndryshore x 3 në rreshtin e tretë të tabelës 1.3 (elementi aktivizues tregohet me shkronja të zeza). Kur kaloni në tabelën 1.4, ndryshorja x 3 nga rreshti i sipërm i kokës zëvendësohet me konstanten 0 të kolonës së majtë të kokës (rreshti i tretë). Në këtë rast, ndryshorja x 3 shprehet përmes variablave të mbetur.

Varg x 3 (Tabela 1.4), pasi të mbahet mend paraprakisht, mund të përjashtohet nga Tabela 1.4. Kolona e tretë me një zero në rreshtin e sipërm të titullit është gjithashtu i përjashtuar nga Tabela 1.4. Çështja është se pavarësisht nga koeficientët e një kolone të caktuar b i 3 të gjithë termat përkatës të secilit ekuacion 0 b i 3 sisteme do të jenë të barabarta me zero. Prandaj, këta koeficientë nuk duhet të llogariten. Eliminimi i një ndryshoreje x 3 dhe duke kujtuar një nga ekuacionet, arrijmë në një sistem që korrespondon me Tabelën 1.4 (me vijën e kryqëzuar x 3). Përzgjedhja në tabelën 1.4 si element zgjidhës b 14 = -5, shkoni në tabelën 1.5. Në tabelën 1.5, mbani mend rreshtin e parë dhe përjashtoni atë nga tabela së bashku me kolonën e katërt (me një zero në krye).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Nga tabela e fundit 1.7 gjejmë: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Duke zëvendësuar vazhdimisht variablat e gjetura në rreshtat e mbajtura mend, gjejmë variablat e mbetur:

Kështu, sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje. E ndryshueshme x 5, mund të caktohen vlera arbitrare. Kjo variabël vepron si një parametër x 5 = t. Ne vërtetuam përputhshmërinë e sistemit dhe gjetëm zgjidhjen e tij të përgjithshme:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Dhënia e parametrit t vlera të ndryshme, do të marrim një numër të pafund zgjidhjesh për sistemin origjinal. Kështu, për shembull, zgjidhja e sistemit është grupi i mëposhtëm i variablave (- 3; - 1; - 2; 4; 0).