Derivat i një numri negativ. Gabimet tipike gjatë llogaritjes së derivatit. Derivati ​​i shumës dhe diferencës

Është dhënë formula për derivatin e shumës dhe ndryshimit të funksioneve. Është dhënë një provë dhe shembuj të zbatimit të kësaj formule janë diskutuar në detaje.

Formula për derivatin e shumës (diferencës) të funksioneve

Le të jenë dhe funksione të ndryshores së pavarur x. Le të jenë të diferencueshëm në një gamë vlerash të ndryshores x. Më pas, në këtë zonë, derivati ​​i shumës (diferencës) së këtyre funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve të këtyre funksioneve:
(1) .

Dëshmi

Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në , ekzistojnë kufijtë e mëposhtëm, të cilët janë derivate të këtyre funksioneve:
;
.

Konsideroni funksionin y të ndryshores x, i cili është shuma e funksioneve dhe:
.
Le të zbatojmë përkufizimin e derivatit.


.

Kështu, ne kemi vërtetuar se derivati ​​i shumës së funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve:
.

Në të njëjtën mënyrë, mund të tregoni se derivati ​​i ndryshimit të funksioneve është i barabartë me diferencën e derivateve:
.
Kjo mund të tregohet në një mënyrë tjetër, duke përdorur rregullin e sapo provuar për diferencimin e shumës dhe:
.

Këto dy rregulla mund të shkruhen si një ekuacion:
(1) .

Pasoja

Më sipër shikuam rregullin për gjetjen e derivatit të shumës së dy funksioneve. Ky rregull mund të përgjithësohet në shumën dhe ndryshimin e çdo numri funksionesh të diferencueshëm.

Derivati ​​i shumës (diferencës) i çdo numri të fundëm funksionesh të diferencueshëm është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve të tyre. Duke marrë parasysh rregullin e vendosjes së një konstante jashtë shenjës së derivatit, ky rregull mund të shkruhet si më poshtë:
.
Ose në formë të zgjeruar:
(2) .
Këtu - konstante;
- funksionet e diferencueshme të ndryshores x.

Provat e hetimit

Kur n = 2 , zbatojmë rregullin (1) dhe rregullin e vendosjes së konstantës jashtë shenjës së derivatit. Ne kemi:
.
Kur n = 3 aplikoni formulën (1) për funksionet dhe:
.

Për një numër arbitrar n, ne aplikojmë metodën e induksionit. Le të plotësohet ekuacioni (2) për . Atëherë për ne kemi:

.
Kjo do të thotë, nga supozimi se ekuacioni (2) është i kënaqur për atë rrjedh se ekuacioni (2) është i kënaqur për . Dhe meqenëse ekuacioni (2) është i vërtetë për , është i vërtetë për të gjithë .
Hetimi është vërtetuar.

Shembuj

Shembulli 1

Gjeni derivatin
.

Hapja e kllapave. Për ta bërë këtë ne aplikojmë formulën
.
Ne gjithashtu përdorim vetitë e funksioneve të fuqisë.
;

;
.

Zbatojmë formulën (2) për derivatin e shumës dhe diferencës së funksioneve.
.

Nga tabela e derivateve gjejmë:
.
Pastaj
;
;
.

Më në fund kemi:
.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni në lidhje me ndryshoren x
.

Le të reduktojmë rrënjët në funksionet e fuqisë.
.
Zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës dhe diferencës.
.
Zbatojmë formulat nga tabela e derivateve.
;
;
;
;
;
.
Le të zëvendësojmë:
.
I sjellim thyesat në një emërues të përbashkët.
.
Këtu kemi marrë parasysh se funksioni i dhënë është përcaktuar në .
.

Në këtë mësim do të mësojmë të zbatojmë formulat dhe rregullat e diferencimit.

Shembuj. Gjeni derivatet e funksioneve.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Zbatimi i rregullit I, formulat 4, 2 dhe 1. Ne marrim:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Ne zgjidhim në mënyrë të ngjashme, duke përdorur të njëjtat formula dhe formulë 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Zbatimi i rregullit I, formulat 3, 5 Dhe 6 Dhe 1.

Zbatimi i rregullit IV, formulat 5 Dhe 1 .

Në shembullin e pestë, sipas rregullit I derivati ​​i shumës është i barabartë me shumën e derivateve, dhe ne sapo gjetëm derivatin e termit të parë (shembull 4 ), pra, do të gjejmë derivate 2 Dhe 3 termat, dhe për 1 mbledhim dhe mund të shkruajmë menjëherë rezultatin.

Le të dallojmë 2 Dhe 3 termat sipas formulës 4 . Për ta bërë këtë, ne i transformojmë rrënjët e fuqisë së tretë dhe të katërt në emërues në fuqi me eksponentë negativ, dhe më pas, sipas 4 formulë, gjejmë derivatet e fuqive.

Shikoni këtë shembull dhe rezultatin. E keni kapur modelin? Mirë. Kjo do të thotë se ne kemi një formulë të re dhe mund ta shtojmë atë në tabelën tonë të derivateve.

Le të zgjidhim shembullin e gjashtë dhe të nxjerrim një formulë tjetër.

Le të përdorim rregullin IV dhe formula 4 . Le të zvogëlojmë fraksionet që rezultojnë.

Le të shohim këtë funksion dhe derivatin e tij. Ju, sigurisht, e kuptoni modelin dhe jeni gati të emërtoni formulën:

Mësoni formula të reja!

Shembuj.

1. Gjeni shtimin e argumentit dhe shtimin e funksionit y= x 2, nëse vlera fillestare e argumentit ishte e barabartë me 4 , dhe e re - 4,01 .

Zgjidhje.

Vlera e re e argumentit x=x 0 +Δx. Le të zëvendësojmë të dhënat: 4.01=4+Δx, pra rritja e argumentit Δx=4,01-4=0,01. Rritja e një funksioni, sipas përkufizimit, është e barabartë me diferencën midis vlerave të reja dhe të mëparshme të funksionit, d.m.th. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Meqenëse kemi një funksion y=x2, Kjo Dy=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Përgjigje: rritje argumenti Δx=0,01; rritja e funksionit Dy=0,0801.

Rritja e funksionit mund të gjendet ndryshe: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Gjeni këndin e prirjes së tangjentes me grafikun e funksionit y=f(x) në pikën x 0, Nëse f "(x 0) = 1.

Zgjidhje.

Vlera e derivatit në pikën e tangjences x 0 dhe është vlera e tangjentes së këndit tangjent (kuptimi gjeometrik i derivatit). Ne kemi: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sepse tg45°=1.

Përgjigje: tangjentja me grafikun e këtij funksioni formon një kënd me drejtim pozitiv të boshtit Ox të barabartë me 45°.

3. Nxjerr formulën për derivatin e funksionit y=xn.

Diferencimiështë veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni.

Kur gjeni derivatet, përdorni formulat që janë nxjerrë bazuar në përkufizimin e një derivati, në të njëjtën mënyrë siç kemi nxjerrë formulën për shkallën e derivatit: (x n)" = nx n-1.

Këto janë formulat.

Tabela e derivateve Do të jetë më e lehtë të mësosh përmendësh duke shqiptuar formulime verbale:

1. Derivati ​​i një sasie konstante është zero.

2. X i thjeshtë është i barabartë me një.

3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit.

4. Derivati ​​i një shkalle është i barabartë me prodhimin e eksponentit të kësaj shkalle me një shkallë me të njëjtën bazë, por eksponenti është një më pak.

5. Derivati ​​i rrënjës është i barabartë me një të ndarë me dy rrënjë të barabarta.

6. Derivati ​​i një pjesëtuar me x është i barabartë me minus një pjesëtuar me x në katror.

7. Derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin.

8. Derivati ​​i kosinusit është i barabartë me minus sinus.

9. Derivati ​​i tangjentes është i barabartë me një të ndarë me katrorin e kosinusit.

10. Derivati ​​i kotangjentës është i barabartë me minus një pjesëtuar me katrorin e sinusit.

Ne mësojmë rregullat e diferencimit.

1. Derivati ​​i një shume algjebrike është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të termave.

2. Derivati ​​i një produkti është i barabartë me produktin e derivatit të faktorit të parë dhe të dytit plus produktin e faktorit të parë dhe derivatin e të dytit.

3. Derivati ​​i "y" i pjesëtuar me "ve" është i barabartë me një thyesë në të cilën numëruesi është "y i thjeshtë shumëzuar me "ve" minus "y i shumëzuar me ve të thjeshtë", dhe emëruesi është "ve në katror".

4. Një rast i veçantë i formulës 3.

Le të mësojmë së bashku!

Faqja 1 nga 1 1

Vërtetimi dhe nxjerrja e formulave për derivatin e logaritmit natyror dhe logaritmin me bazën a. Shembuj të llogaritjes së derivateve të ln 2x, ln 3x dhe ln nx. Vërtetimi i formulës për derivatin e logaritmit të rendit të n-të duke përdorur metodën e induksionit matematik.

Shiko gjithashtu: Logaritmi - vetitë, formulat, grafiku
Logaritmi natyror - vetitë, formulat, grafiku

Derivimi i formulave për derivatet e logaritmit natyror dhe logaritmit për të bazuar një

Derivati ​​i logaritmit natyror të x është i barabartë me një pjesëtuar me x:
(1) (ln x)′ =.

Derivati ​​i logaritmit në bazën a është i barabartë me një pjesëtuar me ndryshoren x shumëzuar me logaritmin natyror të a:
(2) (log a x)′ =.

Dëshmi

Le të ketë një numër pozitiv jo të barabartë me një. Konsideroni një funksion në varësi të një ndryshoreje x, e cila është një logaritëm me bazën:
.
Ky funksion është përcaktuar në. Le të gjejmë derivatin e tij në lidhje me ndryshoren x. Sipas përkufizimit, derivati ​​është kufiri i mëposhtëm:
(3) .

Le ta transformojmë këtë shprehje për ta reduktuar në vetitë dhe rregullat e njohura matematikore. Për ta bërë këtë, ne duhet të dimë faktet e mëposhtme:
A) Vetitë e logaritmit. Do të na duhen formulat e mëposhtme:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Vazhdimësia e logaritmit dhe vetia e kufijve për një funksion të vazhdueshëm:
(7) .
Këtu është një funksion që ka një kufi dhe ky kufi është pozitiv.
NË) Kuptimi i kufirit të dytë të shquar:
(8) .

Le t'i zbatojmë këto fakte në kufirin tonë. Fillimisht transformojmë shprehjen algjebrike
.
Për ta bërë këtë, ne aplikojmë vetitë (4) dhe (5).

.

Le të përdorim vetinë (7) dhe kufirin e dytë të shquar (8):
.

Dhe së fundi, ne aplikojmë pronën (6):
.
Logaritmi në bazë e thirrur logaritmi natyror. Është caktuar si më poshtë:
.
Pastaj;
.

Kështu, kemi marrë formulën (2) për derivatin e logaritmit.

Derivat i logaritmit natyror

Edhe një herë shkruajmë formulën për derivatin e logaritmit në bazën a:
.
Kjo formulë ka formën më të thjeshtë për logaritmin natyror, për të cilin, . Pastaj
(1) .

Për shkak të kësaj thjeshtësie, logaritmi natyror përdoret shumë gjerësisht në analizën matematikore dhe në degë të tjera të matematikës që lidhen me llogaritjet diferenciale. Funksionet logaritmike me baza të tjera mund të shprehen në terma të logaritmit natyror duke përdorur vetinë (6):
.

Derivati ​​i logaritmit në lidhje me bazën mund të gjendet nga formula (1), nëse e hiqni konstanten nga shenja e diferencimit:
.

Mënyra të tjera për të vërtetuar derivatin e një logaritmi

Këtu supozojmë se e dimë formulën për derivatin e eksponencialit:
(9) .
Atëherë mund të nxjerrim formulën për derivatin e logaritmit natyror, duke pasur parasysh se logaritmi është funksioni i anasjelltë i eksponencialit.

Le të vërtetojmë formulën për derivatin e logaritmit natyror, duke zbatuar formulën për derivatin e funksionit të anasjelltë:
.
Në rastin tonë.
.
Funksioni i anasjelltë ndaj logaritmit natyror është eksponencial:
.
Derivati ​​i tij përcaktohet me formulën (9). Variablat mund të përcaktohen me çdo shkronjë. Në formulën (9), zëvendësoni variablin x me y:
.
Pastaj
.
Që atëherë

Formula është e vërtetuar. Tani vërtetojmë formulën për derivatin e logaritmit natyror duke përdorur rregullat për diferencimin e funksioneve komplekse
.
. Meqenëse funksionet dhe janë të anasjellta me njëri-tjetrin, atëherë
(10) .
Le ta dallojmë këtë ekuacion në lidhje me ndryshoren x:
.
Derivati ​​i x është i barabartë me një:
.
Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse:
.
Këtu.
.

Le të zëvendësojmë në (10):

Nga këtu Shembull Gjeni derivatet e Dhe n 2x,.

n 3x lnnx Funksionet origjinale kanë një formë të ngjashme. Prandaj do të gjejmë derivatin e funksionit y = log nx. Pastaj ne zëvendësojmë n = 2 dhe n = 3. Dhe, kështu, marrim formula për derivatet e Gjeni derivatet e .

2x
lnnx .
Dhe
1) Funksionet në varësi të një ndryshoreje: ;
2) Funksionet në varësi të një ndryshoreje: .
Atëherë funksioni origjinal është i përbërë nga funksionet dhe:
.

Le të gjejmë derivatin e funksionit në lidhje me ndryshoren x:
.
Le të gjejmë derivatin e funksionit në lidhje me ndryshoren:
.
Zbatojmë formulën për derivatin e një funksioni kompleks.
.
Këtu e vendosëm.

Kështu ne gjetëm:
(11) .
Shohim se derivati ​​nuk varet nga n. Ky rezultat është mjaft i natyrshëm nëse transformojmë funksionin origjinal duke përdorur formulën për logaritmin e produktit:
.
- kjo është një konstante. Derivati ​​i tij është zero. Atëherë, sipas rregullit të diferencimit të shumës, kemi:
.

; ; .

Derivati ​​i logaritmit të modulit x

Le të gjejmë derivatin e një funksioni tjetër shumë të rëndësishëm - logaritmin natyror të modulit x:
(12) .

Le të shqyrtojmë rastin. Atëherë funksioni duket si:
.
Derivati ​​i tij përcaktohet me formulën (1):
.

Tani le të shqyrtojmë rastin. Atëherë funksioni duket si:
,
Ku .
Por derivatin e këtij funksioni e gjetëm edhe në shembullin e mësipërm. Nuk varet nga n dhe është e barabartë me
.
Pastaj
.

Ne i kombinojmë këto dy raste në një formulë:
.

Prandaj, që logaritmi të bazojë a, kemi:
.

Derivatet e rendit më të lartë të logaritmit natyror

Merrni parasysh funksionin
.
Ne gjetëm derivatin e tij të rendit të parë:
(13) .

Le të gjejmë derivatin e rendit të dytë:
.
Le të gjejmë derivatin e rendit të tretë:
.
Le të gjejmë derivatin e rendit të katërt:
.

Mund të vëreni se derivati ​​i rendit të n-të ka formën:
(14) .
Le ta vërtetojmë këtë me induksion matematik.

Dëshmi

Le të zëvendësojmë vlerën n = 1 në formulën (14):
.
Meqenëse , atëherë kur n = 1 , formula (14) është e vlefshme.

Le të supozojmë se formula (14) është e kënaqur për n = k. Le të vërtetojmë se kjo nënkupton që formula është e vlefshme për n = k + 1 .

Në të vërtetë, për n = k kemi:
.
Diferenconi në lidhje me ndryshoren x:

.
Kështu që ne morëm:
.
Kjo formulë përkon me formulën (14) për n = k + 1 . Kështu, nga supozimi se formula (14) është e vlefshme për n = k, rrjedh se formula (14) është e vlefshme për n = k + 1 .

Prandaj, formula (14), për derivatin e rendit të n-të, është e vlefshme për çdo n.

Derivatet e rendit më të lartë të logaritmit në bazën a

Për të gjetur derivatin e rendit të n-të të një logaritmi në bazën a, duhet ta shprehni atë në termat e logaritmit natyror:
.
Duke aplikuar formulën (14), gjejmë derivatin e n-të:
.

Derivat

Llogaritja e derivatit të një funksioni matematikor (diferencimi) është një problem shumë i zakonshëm kur zgjidhet matematika e lartë. Për funksionet e thjeshta (elementare) matematikore, kjo është një çështje mjaft e thjeshtë, pasi tabelat e derivateve për funksionet elementare janë përpiluar prej kohësh dhe janë lehtësisht të arritshme. Megjithatë, gjetja e derivatit të një funksioni kompleks matematikor nuk është një detyrë e parëndësishme dhe shpesh kërkon përpjekje dhe kohë të konsiderueshme.

Gjeni derivatin në internet

Shërbimi ynë në internet ju lejon të heqni qafe llogaritjet e gjata të pakuptimta dhe gjeni derivatin në internet në një moment. Për më tepër, duke përdorur shërbimin tonë të vendosur në faqen e internetit www.site, mund të llogarisni derivat në internet si nga një funksion elementar ashtu edhe nga një shumë kompleks që nuk ka zgjidhje analitike. Përparësitë kryesore të faqes sonë në krahasim me të tjerët janë: 1) nuk ka kërkesa strikte për metodën e futjes së një funksioni matematikor për llogaritjen e derivatit (për shembull, kur futni funksionin sine x, mund ta futni atë si sin x ose sin (x) ose mëkat[x], etj. d.); 2) llogaritja e derivateve në internet ndodh menjëherë në online dhe absolutisht falas; 3) ne ju lejojmë të gjeni derivatin e një funksioni ndonjë porosi, ndryshimi i renditjes së derivatit është shumë i lehtë dhe i kuptueshëm; 4) ne ju lejojmë të gjeni derivatin e pothuajse çdo funksioni matematikor në internet, madje edhe ato shumë komplekse që nuk mund të zgjidhen nga shërbime të tjera. Përgjigja e dhënë është gjithmonë e saktë dhe nuk mund të përmbajë gabime.

Përdorimi i serverit tonë do t'ju lejojë të 1) llogarisni derivatin në internet për ju, duke eliminuar llogaritjet që kërkojnë kohë dhe të lodhshme gjatë të cilave mund të bëni një gabim ose gabim shtypi; 2) nëse e llogaritni vetë derivatin e një funksioni matematikor, atëherë ne ju ofrojmë mundësinë të krahasoni rezultatin e marrë me llogaritjet e shërbimit tonë dhe të siguroheni që zgjidhja është e saktë ose të gjeni një gabim që ka depërtuar; 3) përdorni shërbimin tonë në vend të përdorimit të tabelave të derivateve të funksioneve të thjeshta, ku shpesh kërkon kohë për të gjetur funksionin e dëshiruar.

Gjithçka që kërkohet nga ju është që gjeni derivatin në internet- është për të përdorur shërbimin tonë në

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, fillimisht llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka kurthe në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.