Kapituj shtesë të mekanikës kuantike. Laboratori i strukturës dhe mekanikës kuantike të molekulave Departamenti i Mekanikës Kuantike Universiteti Shtetëror i Shën Petersburgut

Në nivelin nënatomik, grimcat përshkruhen nga funksionet valore.

Fjala "kuantike" vjen nga latinishtja kuantike(“sa, sa”) dhe anglisht kuantike("sasia, pjesa, kuantike"). "Mekanikë" ka qenë prej kohësh emri i dhënë shkencës së lëvizjes së materies. Prandaj, termi "mekanikë kuantike" nënkupton shkencën e lëvizjes së materies në pjesë (ose, në gjuhën moderne shkencore, shkencën e lëvizjes të kuantizuaraçështje). Termi "kuant" u krijua nga fizikani gjerman Max Planck. cm. Konstanta e Plankut) për të përshkruar bashkëveprimin e dritës me atomet.

Mekanika kuantike shpesh bie ndesh me konceptet tona të sensit të përbashkët. Dhe gjithçka sepse arsyeja e shëndoshë na tregon gjëra që janë marrë nga përvoja e përditshme, dhe në përvojën tonë të përditshme duhet të merremi vetëm me objekte dhe fenomene të mëdha të botës makro, dhe në nivelin atomik dhe nënatomik, grimcat materiale sillen krejtësisht ndryshe. Parimi i pasigurisë së Heisenberg përshkruan saktësisht kuptimin e këtyre dallimeve. Në botën makro, ne mund të përcaktojmë në mënyrë të besueshme dhe të paqartë vendndodhjen (koordinatat hapësinore) të çdo objekti (për shembull, ky libër). Nuk ka rëndësi nëse përdorim vizore, radar, sonar, fotometri apo ndonjë metodë tjetër matjeje, rezultatet e matjes do të jenë objektive dhe të pavarura nga pozicioni i librit (sigurisht, me kusht që të jeni të kujdesshëm në procesin e matjes). Kjo do të thotë, disa pasiguri dhe pasaktësi janë të mundshme - por vetëm për shkak të aftësive të kufizuara të instrumenteve matëse dhe gabimeve të vëzhgimit. Për të marrë rezultate më të sakta dhe më të besueshme, thjesht duhet të marrim një pajisje matës më të saktë dhe të përpiqemi ta përdorim atë pa gabime.

Tani, nëse në vend të koordinatave të një libri na duhet të masim koordinatat e një mikrogrimceje, për shembull një elektroni, atëherë nuk mund të neglizhojmë më ndërveprimet midis pajisjes matëse dhe objektit të matjes. Forca e ndikimit të një vizoreje ose një pajisjeje tjetër matëse në një libër është e papërfillshme dhe nuk ndikon në rezultatet e matjes, por për të matur koordinatat hapësinore të një elektroni, duhet të lëshojmë një foton, një elektron tjetër ose një grimcë tjetër elementare të energjitë e krahasueshme me elektronin e matur në drejtimin e tij dhe matin devijimin e tij. Por në të njëjtën kohë, vetë elektroni, i cili është objekt i matjes, do të ndryshojë pozicionin e tij në hapësirë ​​si rezultat i ndërveprimit me këtë grimcë. Kështu, vetë akti i matjes çon në një ndryshim në pozicionin e objektit të matur, dhe pasaktësia e matjes përcaktohet nga vetë fakti i matjes, dhe jo nga shkalla e saktësisë së pajisjes matëse të përdorur. Kjo është situata me të cilën jemi të detyruar të durojmë në mikrokozmos. Matja është e pamundur pa ndërveprim, dhe ndërveprimi është i pamundur pa ndikuar në objektin e matur dhe, si pasojë, duke shtrembëruar rezultatet e matjes.

Vetëm një gjë mund të thuhet për rezultatet e këtij ndërveprimi:

pasiguria e koordinatave hapësinore × pasiguria e shpejtësisë së grimcave > h/m,

ose, në terma matematikorë:

Δ x × Δ v > h/m

ku Δ x dhe Δ v- pasiguria e pozicionit hapësinor dhe shpejtësisë së grimcave, përkatësisht, h- Konstantja e Planck-ut, dhe m- masë grimcash.

Prandaj, pasiguria lind kur përcaktohen koordinatat hapësinore jo vetëm të një elektroni, por edhe të çdo grimce nënatomike, dhe jo vetëm koordinatat, por edhe vetitë e tjera të grimcave - siç është shpejtësia. Gabimi i matjes i çdo çifti të tillë karakteristikash të ndërlidhura të grimcave përcaktohet në mënyrë të ngjashme (një shembull i një çifti tjetër është energjia e emetuar nga një elektron dhe periudha kohore gjatë së cilës ai emetohet). Kjo do të thotë, nëse ne, për shembull, kemi arritur të masim pozicionin hapësinor të një elektroni me saktësi të lartë, atëherë ne në të njëjtin moment në kohë ne kemi vetëm idenë më të paqartë për shpejtësinë e tij, dhe anasjelltas. Natyrisht, në matjet reale nuk i arrin këto dy ekstreme dhe situata është gjithmonë diku në mes. Kjo do të thotë, nëse do të kishim mundësi, për shembull, të masim pozicionin e një elektroni me një saktësi prej 10 -6 m, atëherë mund të masim njëkohësisht shpejtësinë e tij, në rastin më të mirë, me një saktësi prej 650 m/s.

Për shkak të parimit të pasigurisë, përshkrimi i objekteve të mikrobotës kuantike është i një natyre të ndryshme nga përshkrimi i zakonshëm i objekteve të makrobotës së Njutonit. Në vend të koordinatave hapësinore dhe shpejtësisë, të cilat ne jemi mësuar të përshkruajmë lëvizjen mekanike, për shembull, një top në një tavolinë bilardo, në mekanikën kuantike objektet përshkruhen nga të ashtuquajturat. funksioni i valës. Kreshta e "valës" korrespondon me probabilitetin maksimal për të gjetur një grimcë në hapësirë ​​në momentin e matjes. Lëvizja e një vale të tillë përshkruhet nga ekuacioni i Shrodingerit, i cili na tregon se si ndryshon gjendja e një sistemi kuantik me kalimin e kohës.

Pamja e ngjarjeve kuantike në mikrobotë, e nxjerrë nga ekuacioni i Shrodingerit, është i tillë që grimcat krahasohen me valët e baticës individuale që përhapen përgjatë sipërfaqes së hapësirës oqeanike. Me kalimin e kohës, kreshta e valës (që korrespondon me probabilitetin maksimal për të gjetur një grimcë, të tillë si një elektron, në hapësirë) lëviz nëpër hapësirë ​​në përputhje me funksionin e valës, që është zgjidhja e këtij ekuacioni diferencial. Prandaj, ajo që ne tradicionalisht mendojmë si grimcë, në nivelin kuantik, shfaq një sërë karakteristikash karakteristike të valëve.

Koordinimi i vetive valore dhe korpuskulare të objekteve të mikrobotës ( cm. Marrëdhënia e De Broglie) u bë e mundur pasi fizikanët ranë dakord t'i konsideronin objektet e botës kuantike jo si grimca ose valë, por si diçka të ndërmjetme dhe që zotëronin veti valore dhe trupore; Nuk ka analoge për objekte të tilla në mekanikën Njutoniane. Edhe pse edhe me një zgjidhje të tillë, ka ende shumë paradokse në mekanikën kuantike ( cm. Teorema e Bell-it), askush nuk ka propozuar ende një model më të mirë për të përshkruar proceset që ndodhin në mikrobotë.

Programi

Subjekti1. Zgjidhës (funksioni i Green-it) Hamiltonian në mekanikën kuantike. T-matrica. Ekuacioni Lippmann-Schwinger. Marrëdhënia ndërmjet matricës T dhe amplitudës së shpërndarjes. Paraqitja grafike e ekuacionit Lippmann-Schwinger. Përafrimi i lindur. Shembuj. Paraqitja spektrale e matricës T

Subjekti2. Shprehje analitike për amplituda e shpërndarjes për potencialin e ndashëm. Rasti kufizues i potencialit me rreze zero. Amplituda të lindura për potencialet singulare. Identiteti i Hilbertit. Kushti i unitaritetit. Kushti i unitaritetit për amplituda të pjesshme. Diagramet e Argandit. Fazat e shpërndarjes. Vetitë analitike të amplitudës së shpërndarjes. Klasifikimi i poleve të amplitudës së shpërndarjes (gjendjet e lidhura, gjendjet virtuale, polet Breit-Wigner).

Subjekti3. Vlerat e pragut të amplitudave të pjesshme. Gjatësia e shpërndarjes dhe rrezja efektive. Gjendjet e lidhura me energji të ulët lidhëse. Shpërndarja në një sferë të fortë me energji të ulëta.

Subjekti4. Funksionet Jost dhe matrica S. Vetitë analitike të funksioneve Jost. Teorema e Levinsonit. Shembuj analitikë: potenciali i pusit drejtkëndor dhe potenciali Hultén. Kufizoni kalimin në potencialin Kulomb.

Subjekti5. Potencialet nukleon-nukleon: potencialet qendrore, tensore dhe spin-orbite. Nxjerrja e një shprehjeje analitike për potencialin Yukawa. Potencialet e shkëmbimit të 1-bosonit. Përafrimi i forcave me rreze zero. Kushti për ekzistimin e një shteti të lidhur n.p. sistemeve. Mungesa e gjendjeve të ngacmuara të deuteronit.

Subjekti6. Gjendjet treshe dhe të vetme në një sistem prej 2 nukleonësh. Operatorët e projektimit. Vala D në deuteron. Operatori tensor. Formula Rarita-Schwinger. Momentet elektromagnetike statike të bërthamave.

Subjekti7. Momenti katërpolësh i deuteronit. Momenti magnetik i deuteronit. Fotodisintegrimi i Deuteronit. Shkëmbimi i rrymave në deuteron. Faktori i formës elektromagnetike.

Subjekti8. Klasifikimi i gjendjeve të mezonit në modelin e kuarkut. Potenciali i Cornell. Përfaqësimet e grupit SU(3) për barionet. Potenciali i llojit të kryqëzimit të vargut. Përafrimi hiper-radial. Vlerësimi gjysmëklasik i masave të barioneve të lehta dhe të rënda.

Subjekti9. Funksionet e rrotullimit të tre fermioneve dhe paraqitjet e grupit të ndërrimit S 3 . Skemat e Jung-ut. Llogaritja e korrigjimeve hiperfine ndaj masave të N dhe barioneve.

Subjekti10. Qasja e eikonal. Paraqitja e parametrit të ndikimit. Shpërndarja në një sferë të fortë me energji të larta. Shpërndarja e potencialit dhe e hijes.

Subjekti11. Teoria e perturbimit të pavarur nga koha. Rast jo i degjeneruar. Problem me 2 nivele. Rinormalizimi i funksionit valor. Shembuj; oshilator harmonik dhe efekt kuadratik Stark.

Subjekti12. Efekti linear Stark Efekti Zeeman në atomin e hidrogjenit. Forcat Van der Waals. Metodat variacionale.

Subjekti13. Potencialet e varura nga koha. Pamja e ndërveprimit. Rezonanca magnetike bërthamore. Rezonanca magnetike e rrotullimit.

Subjekti14. Seria Dyson. Probabiliteti i tranzicionit. Shembuj: shqetësim i vazhdueshëm, shqetësim harmonik

Subjekti15. Përhapësi si amplitudë tranzicioni. Formulimi i Feynman-it për integralin e rrugës. Operatori i evolucionit dhe elementet e tij të matricës në paraqitjen e koordinatave. Llogaritja e operatorit të evolucionit për një grimcë të lirë

Subjekti16. Graviteti në mekanikën kuantike. Ndërhyrja kuantike e shkaktuar nga graviteti. Transformimet e gradientit në elektromagnetizëm. Efekti Bohm-Aharon dhe integral i rrugës. Monopolet magnetike dhe kuantizimi i ngarkesave.

Letërsia

Kryesor

1. L.D. Dandau dhe E. M. Lifshitz, Mekanika kuantike, teoria jo-relativiste, Fizmatlit, 2008
2. L.D. Dandau dhe E. M. Lifshitz, Mekanika kuantike relativiste, Fizmatlit, 2008
3. F. Dyson, Mekanika kuantike relativiste, ICS 2009

Shtesë

J.J Sakurai, Moderne Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. 1985

R. Newton, Teoria e shpërndarjes së valëve dhe grimcave (Mir, 1969)

L.P.Kok, J.Visser, Kuantike Mekanikë. Problemet dhe zgjidhjet e tyre, Coulomb Press, Leiden 1987

Kursi është krijuar kryesisht për studentët që presin të angazhohen profesionalisht në fizikën teorike në të ardhmen. Ai i kushtohet zgjidhjes së problemeve në mekanikën kuantike dhe një studimi të detajuar të metodave të përdorura në këtë rast. Vëmendje e veçantë i kushtohet atyre qasjeve dhe problemeve që nuk përfshihen (ose preken pak) në kursin e përgjithshëm të fizikës teorike në MIPT, siç janë përafrimi adiabatik, integralet e rrugës dhe vetitë topologjike të fazës Berry. Qëllimi shtesë i lëndës është përgatitja për dhënien e provimit minimal teorik në mekanikën kuantike, të nevojshme për të studiuar në Departamentin e Problemeve të Fizikës Teorike.

Kursi është vjetor, mësohet në dy semestra.

Programi

1. Hyrje në mekanikën kuantike:
   • Operatorët dhe të Vëzhgueshmet
   • ekuacioni i Shrodingerit
   • Sistemi me dy nivele, lëkundjet Rabi
2. Lëvizja njëdimensionale. Gjendjet e ndërlidhura:
   • Vetitë e përgjithshme të gjendjeve të palëvizshme
   • Teorema e oshilatorit
   • Shtetet në puse të vogla potenciale
   • Oscilator harmonik kuantik, operatorë shkallësh
3. Lëvizja njëdimensionale. Spektri i vazhdueshëm:
   • Dendësia e fluksit të probabilitetit
   • Problemi i shpërndarjes njëdimensionale
   • Evolucioni i paketave valore
4. Probleme ekzaktësisht të zgjidhshme
   • Probleme dydimensionale aksimetrike
   • Zbatimi i funksionit hipergjeometrik për zgjidhjen e potencialeve të një lloji të veçantë
   • Oscilator harmonik
5. Teoria e shqetësimeve:
   • Korrigjimet e energjive dhe funksioneve valore
   • Ekuacioni laik, Hamiltonian efektiv për një problem pothuajse të degjeneruar
   • Teoria e shqetësimeve jostacionare
   • Rregulli i Artë i Fermit
6. Përafrimi adiabatik:
   • Ngadalë në kohë ndryshon Hamiltonian, ansatz adiabatik
   • Faza e kokrrave
   • Përafrim adiabatik stacionar, nënsisteme "të shpejta" dhe "të ngadalta".
7. Përafrim gjysmëklasik. Pjesa 1:
   • Funksioni valor gjysmëklasik
   • Kushtet kufitare dhe rregulli Bohr-Sommerfeld
   • Tunelizim
8. Përafrim gjysmëklasik. Pjesa 2:
   • Kushtet për përputhjen e funksioneve gjysmëklasike në formën e matricës
   • Ndarja e tunelit në një potencial me pus të dyfishtë
   • Prishja e një gjendjeje metastabile
   • Lidhja me adiabatikët dhe problemi Landau-Zener
9. Metodat matematikore të mekanikës kuantike:
   • Metoda e Laplace duke përdorur shembullin e lëvizjes së grimcave në një fushë elektrike konstante
   • Metoda e kalimit
   • Zgjidhja e saktë e problemit Landau-Zener
10. Teoria e shpërndarjes. Funksioni i Green-it me një grimcë:
    • Formulimi i problemit të shpërndarjes, prerje tërthore të shpërndarjes
    • Teoria e shqetësimeve për funksionin e Green-it
    • Formula e Bornit
    • Shpërndarja me kënd të vogël
    • Shpërndarja e grimcave të ngadalta
11. Teoria e shpërndarjes. Teoria e fazës:
    • Vetitë e përgjithshme të lëvizjes së lirë në potencialet sferike simetrike
    • Ndërrime fazore
    • Zbërthimi i valës së rrafshët
    • Teoria e shpërndarjes së fazës
    • Zbatimi i përafrimit gjysmëklasik për llogaritjen e zhvendosjeve fazore
12. Matrica e densitetit:
    • Vetitë e përgjithshme dhe aparati i matricave të densitetit
    • Gjendjet "të pastra" dhe "të përziera".
    • Matricë me densitet të reduktuar, ngatërrim
    • Evolucioni i matricës së densitetit
13. Sistemet e hapura me dy nivele:
    • Modeli spin-bozon
    • Ekuacioni Lindblad për matricën e densitetit të reduktuar në përafrimin Born-Markov
    • Kohë relaksimi dhe defaksioni
    • Shtypja e tunelit për shkak të ndërveprimit me mjedisin
14. Grimcat që ndërveprojnë me mjedisin:
    • Mekanika kuantike disipative
    • Modeli Caldeira-Leggett
15. Dukuritë topologjike në mekanikën kuantike:
    • Modeli SSH
    • Fazat topologjike
    • Gjendjet e skajeve të mbrojtura topologjikisht
    • Jackiw-Rebby deklaron
16. Marrëdhënia midis fazës Berry dhe topologjisë:
    • Izolues topologjik
    • Lakim kokrra të kuqe
    • Kuantizimi i përçueshmërisë së Hallit, lidhja e tij me lakimin e Berry-t
17. Rruga integrale për një grimcë kuantike:
    • Shprehje për përhapësin e vonuar të një grimce kuantike në terma të një integrali funksional
    • Përhapësi i lirë i grimcave
    • Integralet funksionale të Gausit. Përhapësi i oshilatorit harmonik kuantik
    • Ekuivalenca e formulimit përsa i përket integralit të rrugës dhe ekuacioneve të Shrodingerit
18. Instantons. Pjesa 1:
    • Potenciali me pus të dyfishtë
    • Kthesa e Vikovskit
    • Metoda e pikës së shalës në integralin funksional
    • Llogaritja e përcaktorit të luhatjes nëpërmjet diagonalizimit të saktë
    • Modalitete zero
19. Instantons. Pjesa 2:
    • Përmbledhja e "gazit të rrallë të çastit"
    • Formalizmi Gelfand-Yaglom për llogaritjen e përcaktuesve funksionalë
20. Reflektimi mbi barrierë:
    • Përafrimi gjysmëklasik në rrafshin kompleks
    • Fenomeni Stokes
    • Pika kthese komplekse

Letërsia

1. L.D. Landau, E.M. Lifshitz "Mekanika kuantike (teoria jorelativiste)", M., Nauka, 1989
2. V.M. Galitsky, B.M. Karnakov, V.I. Kogan "Problemet në mekanikën kuantike", M., Nauka, 1992
3. Z. Flügge "Probleme në mekanikën kuantike (në 2 vëllime)", Mir, 1974
4. R. Feynman, A. Hibs "Mekanika kuantike dhe integralet e rrugës"