Steven Strogatz The Pleasure of X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete. Steven Strogatz - potešenie z x

Túto knihu dobre dopĺňa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexibilné vedomie

Carol Dweck

Fyzika akciového trhu

James Weatherall

Radosť X

Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna

Štefan Strogatz

Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete

Informácie od vydavateľa

Prvýkrát publikované v ruštine

Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

The Pleasure of X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Steven Strogatz; pruh z angličtiny - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Táto kniha môže radikálne zmeniť váš postoj k matematike. Pozostáva z krátkych kapitol, v každej objavíte niečo nové. Dozviete sa, aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo vás, pochopíte krásu geometrie, zoznámite sa s gráciou integrálneho počtu, presvedčíte sa o dôležitosti štatistiky a prídete do kontaktu s nekonečnom. . Autor vysvetľuje základné matematické myšlienky jednoducho a elegantne s brilantnými príkladmi, ktorým rozumie každý.

Všetky práva vyhradené.

Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.

Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária Vegas-Lex.

© Steven Strogatz, 2012 Všetky práva vyhradené

© Preklad do ruštiny, publikácia v ruštine, dizajn. Mann, Ivanov a Ferber LLC, 2014

Predslov

Mám kamaráta, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii alebo kvantovej mechanike. No len čo sa začneme baviť o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly nielenže vzdorujú jeho chápaniu, ale niekedy ich ani nevie vysloviť.

V skutočnosti je dôvod jeho odmietania matematiky oveľa hlbší. Nebude mať potuchy, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že daný dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že si musím len sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova 1 + 1 = 2, a ísť tak hlboko do matematiky, ako len môže.

A hoci sa tento nápad zdá šialený, práve toto sa pokúsim zrealizovať v tejto knihe. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po vyššiu matematiku, aby ju konečne využili tí, ktorí chceli druhú šancu. A tentoraz nebudete musieť sedieť pri stole. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Pomôže vám to však pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká fascinujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.

Preskúmame, ako môžu slam dunks Michaela Jordana pomôcť vysvetliť základný počet. Ukážem vám jednoduchý a úžasný spôsob, ako pochopiť základnú vetu euklidovskej geometrie – Pytagorovu vetu. Pokúsime sa prísť na koreň niektorým životným záhadám, veľkým aj malým: zabil Jay Simpson svoju manželku? ako premiestniť matrac tak, aby vydržal čo najdlhšie; koľko partnerov treba pred uzavretím manželstva vystriedať – a uvidíme, prečo sú niektoré nekonečná väčšie ako iné.

Matematika je všade, len sa ju treba naučiť rozoznávať. Môžete vidieť sínusoidu na chrbte zebry, počuť ozveny Euklidových teorémov v Deklarácii nezávislosti; čo poviem, aj v suchých správach, ktoré predchádzali prvej svetovej vojne, sú záporné čísla. Môžete tiež vidieť, ako nové oblasti matematiky ovplyvňujú náš dnešný život, napríklad keď hľadáme reštaurácie pomocou počítača alebo sa snažíme aspoň pochopiť, či ešte lepšie prežiť desivé výkyvy na burze.

Séria 15 článkov pod všeobecným názvom „Základy matematiky“ sa objavila online koncom januára 2010. V reakcii na ich zverejnenie prichádzali listy a komentáre od čitateľov všetkých vekových kategórií, vrátane mnohých študentov a učiteľov. Boli aj jednoducho zvedaví ľudia, ktorí z jedného alebo druhého dôvodu „zablúdili“ v chápaní matematickej vedy; teraz mali pocit, že vynechali niečo, čo stálo za to, a chceli by to skúsiť znova. Potešilo ma najmä poďakovanie od rodičov, že s mojou pomocou dokázali svojim deťom vysvetliť matematiku a oni sami jej začali lepšie rozumieť. Zdalo sa, že aj moji kolegovia a súdruhovia, horliví obdivovatelia tejto vedy, radi čítali články, s výnimkou tých chvíľ, keď medzi sebou súperili, kto ponúka najrôznejšie odporúčania na zlepšenie môjho duchovného dieťaťa.

Napriek všeobecnému presvedčeniu je v spoločnosti jasný záujem o matematiku, hoci sa tomuto fenoménu venuje malá pozornosť. Všetko, o čom počujeme, je strach z matematiky, no mnohí by sa radi pokúsili jej lepšie porozumieť. A keď sa to stane, bude ťažké ich odtrhnúť.

Táto kniha vám predstaví najkomplexnejšie a najpokročilejšie myšlienky zo sveta matematiky. Kapitoly sú malé, ľahko sa čítajú a nie sú na sebe nijako zvlášť závislé. Medzi nimi sú tie, ktoré sú zahrnuté v prvej sérii článkov v New York Times. Takže, akonáhle pocítite mierny matematický hlad, neváhajte a pustite sa do ďalšej kapitoly. Ak chcete problematike, ktorá vás zaujíma, porozumieť podrobnejšie, tak na konci knihy sú poznámky s ďalšími informáciami a odporúčania, čo si o nej ešte môžete prečítať.

Pre pohodlie čitateľov, ktorí preferujú postupný prístup, som materiál rozdelil do šiestich častí v súlade s tradičným poradím študijných tém.

I. časť Čísla začína našu púť s počtami v materskej a základnej škole. Ukazuje, aké užitočné môžu byť čísla a aké magicky účinné sú pri opise sveta okolo nás.

Časť II, „Pomery“, presúva pozornosť od samotných čísel na vzťahy medzi nimi. Tieto myšlienky sú jadrom algebry a sú prvými nástrojmi na opis toho, ako jedna vec ovplyvňuje druhú, ukazujúci vzťah príčiny a následku rôznych vecí: ponuky a dopytu, stimulov a odozvy – skrátka všetkých druhov vzťahy, vďaka ktorým je svet taký bohatý a pestrý.

Časť III „Obrázky“ nehovorí o číslach a symboloch, ale o číslach a priestore - doméne geometrie a trigonometrie. Tieto témy spolu s popisom všetkých pozorovateľných objektov prostredníctvom tvarov, logického uvažovania a dôkazov posúvajú matematiku na novú úroveň presnosti.

V časti IV, Čas na zmenu, sa pozrieme na kalkul, najvzrušujúcejšie a najrozmanitejšie odvetvie matematiky. Kalkulus umožňuje predpovedať trajektóriu planét, cykly prílivu a odlivu a umožňuje pochopiť a opísať všetky periodicky sa meniace procesy a javy vo Vesmíre a v nás. Dôležité miesto v tejto časti má štúdium nekonečna, ktorého upokojenie sa stalo prelomom, ktorý umožnil fungovanie výpočtov. Výpočtová technika pomohla vyriešiť mnohé problémy, ktoré vznikli v starovekom svete, a to nakoniec viedlo k revolúcii vo vede a modernom svete.

Časť V, „Mnohé tváre údajov“, sa zaoberá pravdepodobnosťou, štatistikou, sieťami a vedou o údajoch – stále relatívne novými oblasťami, ktoré vznikli z menej vždy usporiadaných aspektov nášho života, ako sú príležitosti a šťastie, neistota, riziko. , variabilita, chaos, vzájomná závislosť. Pomocou správnych nástrojov matematiky a vhodných typov údajov sa naučíme odhaľovať vzory v toku náhodnosti.

Na konci našej cesty v časti VI „Hranice možného“ sa priblížime k hraniciam matematického poznania, k hranici medzi tým, čo je už známe, a tým, čo je zatiaľ neuchopiteľné a neznáme. Opäť si prejdeme témy v už známom poradí: čísla, pomery, čísla, zmeny a nekonečno – no zároveň sa na každú z nich pozrieme hlbšie, v jej modernej inkarnácii.

Dúfam, že všetky myšlienky opísané v tejto knihe sa vám budú zdať fascinujúce a prinútia vás viackrát zvolať: „Wow!“ Vždy však treba niekde začať, takže začnime jednoduchou, no fascinujúcou činnosťou, akou je počítanie.

1. Základy čísel: Pridávanie rýb

Najlepšia ukážka číselných konceptov, akú som kedy videl (najjasnejšie a najzábavnejšie vysvetlenie toho, čo sú čísla a prečo ich potrebujeme), bola v epizóde populárnej detskej relácie Sezamová ulica s názvom 123: Counting Together “(123 Counter with Me). X...

V roku 2010 napísal Steven Strogatz sériu článkov o základoch matematiky pre The New York Times. Články vyvolali búrku radosti. Každý stĺpec sa stal najobľúbenejším článkom v novinách a prilákal stovky komentárov. Čitatelia žiadali viac a Stephen nesklamal - objavila sa táto kniha, ktorá obsahovala už vydané časti aj úplne nové kapitoly.

Matematika preniká všetkým na tomto svete, vrátane nás samých, ale, žiaľ, len málo ľudí rozumie tomuto univerzálnemu jazyku natoľko, aby dokázalo oceniť jeho múdrosť a krásu. Steven Strogatz je učiteľ matematiky, o ktorom ste snívali na strednej škole. Učiteľ, ktorý dokáže zapáliť iskru záujmu a vštepiť k svojmu predmetu lásku na celý život. V tejto neuveriteľne ľahkej a zábavnej knihe nám všetkým dáva druhú šancu spoznať matematiku. V každej krátkej kapitole objavíte niečo nové, od toho, prečo sú na prvom mieste potrebné čísla, až po témy ako geometria, integrálny počet, štatistika a nekonečno. Autor vysvetľuje skvelé matematické myšlienky jednoducho a elegantne, s brilantnými príkladmi, ktorým rozumie každý. Táto kniha je pre každého. Tí, ktorí sú málo oboznámení s matematikou, sa s ňou bližšie zoznámia a tí, ktorí matematiku milujú, si radi prečítajú o „kráľovnej vied“.

Predslov

Mám kamaráta, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii alebo kvantovej mechanike. No len čo sa začneme baviť o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly nielenže vzdorujú jeho chápaniu, ale niekedy ich ani nevie vysloviť.

V skutočnosti je dôvod jeho odmietania matematiky oveľa hlbší. Nebude mať potuchy, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že daný dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že si musím len sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova 1 + 1 = 2, a ísť tak hlboko do matematiky, ako len môže.

A hoci sa tento nápad zdá šialený, práve toto sa pokúsim zrealizovať v tejto knihe. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po vyššiu matematiku, aby ju konečne využili tí, ktorí chceli druhú šancu. A tentoraz nebudete musieť sedieť pri stole. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Pomôže vám to však pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká fascinujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.

Preskúmame, ako môžu slam dunks Michaela Jordana pomôcť vysvetliť základný počet. Ukážem vám jednoduchý a úžasný spôsob, ako pochopiť základnú vetu euklidovskej geometrie – Pytagorovu vetu. Pokúsime sa prísť na koreň niektorým životným záhadám, veľkým aj malým: zabil Jay Simpson svoju manželku? ako premiestniť matrac tak, aby vydržal čo najdlhšie; koľko partnerov treba pred uzavretím manželstva vystriedať – a uvidíme, prečo sú niektoré nekonečná väčšie ako iné.

Matematika je všade, len sa ju treba naučiť rozoznávať. Môžete vidieť sínusoidu na chrbte zebry, počuť ozveny Euklidových teorémov v Deklarácii nezávislosti; čo poviem, aj v suchých správach, ktoré predchádzali prvej svetovej vojne, sú záporné čísla. Môžete tiež vidieť, ako nové oblasti matematiky ovplyvňujú náš dnešný život, napríklad keď hľadáme reštaurácie pomocou počítača alebo sa snažíme aspoň pochopiť, či ešte lepšie prežiť desivé výkyvy na burze.

— Prečítajte si online knihu „The Pleasure of X“ od Stephena Strogatza —

Séria 15 článkov pod všeobecným názvom „Základy matematiky“ sa objavila online koncom januára 2010. V reakcii na ich zverejnenie prichádzali listy a komentáre od čitateľov všetkých vekových kategórií, vrátane mnohých študentov a učiteľov. Boli aj jednoducho zvedaví ľudia, ktorí z jedného alebo druhého dôvodu „zablúdili“ v chápaní matematickej vedy; teraz mali pocit, že premeškali niečo, čo stálo za to, a chceli to skúsiť znova. Potešilo ma najmä poďakovanie od rodičov, že s mojou pomocou dokázali svojim deťom vysvetliť matematiku a oni sami jej začali lepšie rozumieť. Zdalo sa, že aj moji kolegovia a súdruhovia, horliví obdivovatelia tejto vedy, radi čítali články, s výnimkou tých chvíľ, keď medzi sebou súperili, kto ponúka najrôznejšie odporúčania na zlepšenie môjho duchovného dieťaťa.

Napriek všeobecnému presvedčeniu je v spoločnosti jasný záujem o matematiku, hoci sa tomuto fenoménu venuje malá pozornosť. Všetko, o čom počujeme, je strach z matematiky, no mnohí by sa radi pokúsili jej lepšie porozumieť. A keď sa to stane, bude ťažké ich odtrhnúť.

Táto kniha vám predstaví najkomplexnejšie a najpokročilejšie myšlienky zo sveta matematiky. Kapitoly sú malé, ľahko sa čítajú a nie sú na sebe nijako zvlášť závislé. Medzi nimi sú tie, ktoré sú zahrnuté v prvej sérii článkov v New York Times. Takže, akonáhle pocítite mierny matematický hlad, neváhajte a pustite sa do ďalšej kapitoly. Ak chcete problematike, ktorá vás zaujíma, porozumieť podrobnejšie, tak na konci knihy sú poznámky s ďalšími informáciami a odporúčania, čo si o nej ešte môžete prečítať.

The Pleasure of X - Steven Strogatz (stiahnuť)

(úvodná verzia)

A na záver vám odporúčame pozrieť si zaujímavé video

Aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo nás, aká je krása geometrie, aké elegantné sú integrálne čísla a aká dôležitá je štatistika? O tom všetkom hovorí Steven Strogatz vo svojej knihe The Pleasure of X. Autor jednoducho a elegantne vysvetľuje základné matematické myšlienky a uvádza príklady, ktorým rozumie každý. stránka publikuje jednu z kapitol knihy, ktorú vydali Mann, Ivanov a Ferber.

Štatistika sa zrazu stala trendovou oblasťou. S príchodom internetu, elektronického obchodu, sociálnych sietí, projektu ľudského genómu a rozvoja digitálnej kultúry všeobecne sa svet zavalil údajmi. Obchodníci skúmajú naše chute a zvyky. Spravodajské agentúry zhromažďujú informácie o našej polohe, e-maily a telefónne hovory. Športoví štatistici žonglujú s číslami, aby sa rozhodli, ktorých hráčov kúpiť, koho draftovať a koho postaviť na lavičku. Každý sa snaží pospájať bodky do grafu a objaviť vzor v neprehľadnej zbierke údajov.

Nie je prekvapujúce, že tieto trendy sa premietajú aj do vyučovania. „Pozrime sa na štatistiky,“ nabáda Greg Mankiw, ekonóm z Harvardskej univerzity, v stĺpci New York Times.

„Učebné osnovy matematiky na strednej škole trávia príliš veľa času tradičnými témami, ako je euklidovská geometria a trigonometria. Tieto duševné cvičenia, užitočné pre bežného človeka, sú však v každodennom živote málo užitočné. Študentom by veľmi prospelo, keby sa dozvedeli viac o pravdepodobnosti a štatistike.“ David Brooks ide ešte ďalej. Vo svojom článku o odboroch, ktoré si zaslúžia pozornosť na získanie slušného vzdelania, píše: „Zober si štatistiku. Uvidíte, ukáže sa, že vedieť, čo je štandardná odchýlka, bude pre vás v živote veľmi užitočné.“

Je to celkom pravdepodobné a je to tiež dobrý nápad pochopiť, čo je distribúcia. Toto je prvá vec, o ktorej chcem hovoriť. A rád by som sa na to zameral, pretože toto je jedna z hlavných lekcií štatistiky: veci sa zdajú byť beznádejne náhodné a nepredvídateľné, keď sa na ne pozeráme jednotlivo, ale spolu odhaľujú vzorec a predvídateľnosť.

Možno ste videli ukážku tohto princípu vo vedeckom múzeu (ak nie, videá nájdete online). Typickým exponátom je mašinka nazývaná Galtonova doska, ktorá trochu pripomína hrací automat bez plutvy. V jeho vnútri sú rovnomerné rady špendlíkov v pravidelných rozostupoch.

Galtonova doska

Experiment začína stovkami loptičiek vypustených do hornej časti Galtonovej dosky. Keď padajú, narážajú na kolíky a je rovnako pravdepodobné, že sa odrazia doprava alebo doľava, a potom sa rozložia na spodok dosky a spadnú do priehradiek rovnakej šírky. Výška stĺpca loptičiek ukazuje, aká je pravdepodobnosť, že loptička skončí na danom mieste. Väčšina guličiek je umiestnená približne v strede, po stranách je ich menej, na okrajoch ešte menej.

Vo všeobecnosti je obraz mimoriadne predvídateľný: loptičky vždy tvoria rozloženie v tvare zvona, hoci nie je možné predpovedať, kde každá jednotlivá guľa skončí.

Ako sa jednotlivé nehody menia na všeobecné vzorce? Ale takto funguje náhoda. Stredný stĺpec obsahuje najviac loptičiek, pretože mnohé z nich pred zvalením spravia približne rovnaký počet skokov doprava a doľava a v dôsledku toho skončia niekde v strede. Niekoľko osamelých loptičiek umiestnených na okrajoch tvorí chvosty distribúcie - sú to tie loptičky, ktoré sa pri zrážke s kolíkmi odrazili vždy rovnakým smerom. Takéto odrazy sú nepravdepodobné, a preto je na okrajoch tak málo loptičiek.

Rovnako ako umiestnenie každej gule je určené súčtom mnohých náhodných udalostí, mnohé javy v tomto svete sú výsledkom mnohých malých okolností a tiež sa riadia krivkou v tvare zvona. Na tomto princípe fungujú poisťovne. Dokážu presne odhadnúť počet svojich klientov, ktorí každý rok zomrú. Nevedia však, kto presne bude mať tentoraz smolu.

Alebo si vezmite napríklad výšku človeka. Závisí to od nespočetných nehôd súvisiacich s genetikou, biochémiou, výživou a životným prostredím. Preto je veľká šanca, že keď sa zohľadnia spolu, výšky dospelých mužov a žien vytvoria krivku v tvare zvona.

V blogovom príspevku s názvom „Misthings People Tell About Themselves Online“ štatistická služba zo zoznamky OkCupid nedávno zverejnila graf rastu svojich klientov, respektíve ich vlastných hodnôt. Zistilo sa, že rýchlosti rastu oboch pohlaví, ako sa očakávalo, tvoria krivku v tvare zvona. Prekvapivé však je, že obe distribúcie boli posunuté asi o dva palce doprava od očakávaných hodnôt.

Strogatz S. Pleasure from H. - M.: Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

Takže buď sú zákazníci, ktorých opýta OkCupid, vyšší ako priemer, alebo pri popisovaní online pridajú k svojej výške o pár centimetrov viac.

Idealizovanou verziou takýchto zvonových kriviek je to, čo matematici nazývajú normálne rozdelenie. Ide o jeden z najdôležitejších pojmov v štatistike, ktorý má teoretický základ. Dá sa dokázať, že k normálnemu rozdeleniu dochádza, keď sa sčíta veľké množstvo malých náhodných faktorov, pričom každý z nich pôsobí nezávisle od ostatných. A veľa udalostí sa deje týmto spôsobom.

Ale nie všetky. A toto je druhý bod, na ktorý by som rád upozornil. Normálne rozdelenie nie je také všadeprítomné, ako sa zdá. Počas stoviek rokov a najmä v posledných desaťročiach vedci a štatistici zaznamenali existenciu mnohých javov, ktoré sa odchyľujú od tejto krivky a riadia sa vlastným harmonogramom. Je zvláštne, že takéto typy distribúcií sa prakticky neuvádzajú v učebniciach o elementárnej štatistike, a ak sa nájdu, zvyčajne sa považujú za nejaký druh patológie.

Toto je zvláštne. Pokúsim sa vysvetliť, že mnohé fenomény moderného života sa stanú zmysluplnejšími, ak pochopíme tieto „patologické“ rozdelenia. Toto je nový normál. Vezmite si napríklad rozdelenie veľkostí miest v Spojených štátoch. Namiesto zhlukovania sa okolo nejakej priemernej zvonovej krivky je veľká väčšina miest malá, a preto sa zhlukujú na ľavej strane grafu.

Strogatz S. Pleasure from H. - M.: Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

A čím je počet obyvateľov mesta väčší, tým sú takéto mestá menej bežné. Inými slovami, v súhrne bude distribúcia viac krivka v tvare L ako krivka v tvare zvona.

A to nie je prekvapujúce. Každý vie, že megacities je oveľa menej ako malých miest. Aj keď to nie je také zrejmé, veľkosti miest majú pekné jednoduché rozdelenie - keď sa na ne pozriete v logaritmickej mierke.

Budeme predpokladať, že rozdiel medzi dvoma mestami je rovnaký, ak sa ich populácia líši rovnakým počtom krát (rovnako ako akékoľvek dva klávesy klavíra oddelené oktávou sa vždy líšia o polovicu vo frekvencii). A to isté urobíme na zvislej osi.

Strogatz S. Pleasure from H. - M.: Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

Údaje teraz ležia na krivke, ktorá je takmer dokonalou priamkou. Na základe vlastností logaritmov je ľahké odvodiť, že pôvodná krivka v tvare písmena L je závislosť mocninového zákona, ktorá je opísaná funkciou tvaru

kde x je počet obyvateľov mesta, y je počet miest tejto veľkosti, c je konštanta a exponent a (mocninový exponent) určuje záporný sklon priamky.

Rozvody výkonu majú z pohľadu tradičnej štatistiky niektoré nelogické vlastnosti. Napríklad na rozdiel od normálneho rozdelenia sa ich režimy, mediány a priemery nezhodujú v dôsledku šikmého, asymetrického tvaru kriviek v tvare L.

Prezident Bush z toho veľmi profitoval, keď v roku 2003 povedal, že zníženie daní ušetrilo každej rodine v priemere 1 586 dolárov. Hoci je to matematicky správne, využil priemerný odpočet, pod ktorým sa skrývali obrovské odpočty v stovkách tisíc dolárov, ktoré dostalo najbohatších 0,1 % obyvateľov krajiny. Je známe, že chvost na pravej strane rozdelenia príjmov sa riadi mocenským zákonom a v situácii, ako je táto, je použitie priemeru zavádzajúce, pretože je ďaleko od jeho skutočnej hodnoty. V skutočnosti väčšina rodín dostala späť menej ako 650 dolárov. V tomto rozdelení je medián výrazne nižší ako priemer.

Tento príklad demonštruje kľúčovú vlastnosť rozdelenia mocninného zákona: majú ťažké chvosty v porovnaní aspoň s malými tekutými chvostmi normálneho rozdelenia. Veľké chvosty, ako sú tieto, aj keď sú zriedkavé, sú v distribúcii údajov bežnejšie ako bežné krivky v tvare zvona.

V čierny pondelok 19. októbra 1987 klesol Dow Jones Industrial Average o 22 %. V porovnaní s obvyklou úrovňou volatility na akciovom trhu bol tento pokles viac ako dvadsať štandardných odchýlok. Podľa tradičnej štatistiky (ktorá používa normálne rozdelenie) je takáto udalosť takmer nemožná: jej pravdepodobnosť je menšia ako jedna ku 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10. mocnina). To sa však stalo – pretože kolísanie cien na akciovom trhu neprebiehalo podľa normálneho rozdelenia.

Na ich popis sú vhodnejšie distribúcie s ťažkým chvostom. Stáva sa to pri zemetraseniach, požiaroch a záplavách, čo poisťovniam sťažuje riadenie rizík.

Rovnaký matematický model popisuje počet obetí vojen a teroristických útokov, ako aj iné, oveľa mierumilovnejšie veci, ako napríklad počet slov v románe alebo počet sexuálnych partnerov, ktorých má človek.

Hoci prídavné mená používané na opis dlhých chvostov ich nevykresľujú vo veľmi priaznivom svetle, chvostoskoky nosia svoje chvosty hrdo. Tučný, ťažký a dlhý? Áno, je. Ale v tomto prípade mi ukáž, ​​ktorý z nich je normálny?

Túto knihu dobre dopĺňa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexibilné vedomie

Carol Dweck

Fyzika akciového trhu

James Weatherall

Radosť z X

Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna

Štefan Strogatz

Potešenie z X

Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete

Informácie od vydavateľa

Prvýkrát publikované v ruštine

Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Potešenie z X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Stephen Strogatz; pruh z angličtiny - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Táto kniha môže radikálne zmeniť váš postoj k matematike. Pozostáva z krátkych kapitol, v každej objavíte niečo nové. Dozviete sa, aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo vás, pochopíte krásu geometrie, zoznámite sa s gráciou integrálneho počtu, presvedčíte sa o dôležitosti štatistiky a prídete do kontaktu s nekonečnom. . Autor vysvetľuje základné matematické myšlienky jednoducho a elegantne s brilantnými príkladmi, ktorým rozumie každý.

Všetky práva vyhradené.

Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.

Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária Vegas-Lex.

© Steven Strogatz, 2012 Všetky práva vyhradené

© Preklad do ruštiny, publikácia v ruštine, dizajn. Mann, Ivanov a Ferber LLC, 2014

Predslov

Mám kamaráta, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii alebo kvantovej mechanike. No len čo sa začneme baviť o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly nielenže vzdorujú jeho chápaniu, ale niekedy ich ani nevie vysloviť.

V skutočnosti je dôvod jeho odmietania matematiky oveľa hlbší. Nebude mať potuchy, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že daný dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že si musím len sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova 1 + 1 = 2, a ísť tak hlboko do matematiky, ako len môže.

A hoci sa tento nápad zdá šialený, práve toto sa pokúsim zrealizovať v tejto knihe. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po vyššiu matematiku, aby ju konečne využili tí, ktorí chceli druhú šancu. A tentoraz nebudete musieť sedieť pri stole. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Pomôže vám to však pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká fascinujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.

Preskúmame, ako môžu slam dunks Michaela Jordana pomôcť vysvetliť základný počet. Ukážem vám jednoduchý a úžasný spôsob, ako pochopiť základnú vetu euklidovskej geometrie – Pytagorovu vetu. Pokúsime sa prísť na koreň niektorým životným záhadám, veľkým aj malým: zabil Jay Simpson svoju manželku? ako premiestniť matrac tak, aby vydržal čo najdlhšie; koľko partnerov treba pred uzavretím manželstva vystriedať – a uvidíme, prečo sú niektoré nekonečná väčšie ako iné.

Matematika je všade, len sa ju treba naučiť rozoznávať. Môžete vidieť sínusoidu na chrbte zebry, počuť ozveny Euklidových teorémov v Deklarácii nezávislosti; čo poviem, aj v suchých správach, ktoré predchádzali prvej svetovej vojne, sú záporné čísla. Môžete tiež vidieť, ako nové oblasti matematiky ovplyvňujú náš dnešný život, napríklad keď hľadáme reštaurácie pomocou počítača alebo sa snažíme aspoň pochopiť, či ešte lepšie prežiť desivé výkyvy na burze.

Matematika je najpresnejší a najuniverzálnejší jazyk vedy, ale je možné vysvetliť ľudské pocity pomocou čísel? Vzorce lásky, zárodky chaosu a romantické diferenciálne rovnice – T&P vydáva kapitolu z knihy Potešenie X od jedného z najlepších učiteľov matematiky na svete Stephena Strogatza, ktorú vydali Mann, Ivanov a Ferber.

Na jar, napísal Tennyson, sa predstavivosť mladého muža ľahko zmení na myšlienky lásky. Žiaľ, potenciálna partnerka mladého muža môže mať svoje vlastné predstavy o láske a potom bude ich vzťah plný búrlivých vzostupov a pádov, vďaka ktorým je láska taká vzrušujúca a bolestivá. Niektorí trpiaci neopätovanou láskou hľadajú vysvetlenie týchto milostných výkyvov vo víne, iní v poézii. A budeme konzultovať kalkul.

Nižšie uvedená analýza bude jazykom na pery, ale dotýka sa vážnych tém. Navyše, aj keď nám pochopenie zákonov lásky môže uniknúť, zákony neživého sveta sú teraz dobre preštudované. Majú formu diferenciálnych rovníc, ktoré opisujú, ako sa vzájomne súvisiace premenné menia z okamihu na okamih v závislosti od ich aktuálnych hodnôt. Takéto rovnice možno nemajú veľa spoločného s romantikou, ale môžu aspoň objasniť, prečo, slovami iného básnika, „cesta skutočnej lásky nikdy neprebehne hladko“. Na ilustráciu metódy diferenciálnych rovníc predpokladajme, že Rómeo miluje Júliu, ale v našej verzii príbehu je Júlia prchká milenka. Čím viac ju Romeo miluje, tým viac sa chce pred ním skrývať. Keď však Rómeo k nej ochladne, začne sa jej zdať nezvyčajne príťažlivý. Mladý milenec však má tendenciu odrážať jej city: žiari, keď ho miluje, a chladne, keď ho nenávidí.

Čo sa stane s našimi milencami? Ako ich láska pohltí a časom vyprchá? Tu prichádza na pomoc diferenciálny počet. Zostrojením rovníc, ktoré sumarizujú rastúce a slabnúce pocity Rómea a Júlie, a ich následným riešením môžeme predpovedať priebeh vzťahu páru. Konečnou prognózou pre ňu bude tragicky nekonečný cyklus lásky a nenávisti. Aspoň štvrtinu tohto času budú mať vzájomnú lásku.

Aby som dospel k tomuto záveru, predpokladal som, že Romeovo správanie sa dá modelovať pomocou diferenciálnej rovnice,

ktorý opisuje, ako sa jeho láska ® mení v nasledujúcom okamihu (dt). Podľa tejto rovnice je množstvo zmeny (dR) priamo úmerné (s koeficientom úmernosti a) Júliinej láske (J). Tento vzťah odráža to, čo už vieme: Rómeova láska rastie, keď ho miluje Júlia, no zároveň naznačuje, že Rómeova láska rastie priamo úmerne tomu, ako veľmi ho miluje Júlia. Tento predpoklad lineárneho vzťahu je emocionálne nepravdepodobný, ale výrazne uľahčuje riešenie rovnice.

Naproti tomu Júliino správanie sa dá modelovať pomocou rovnice

Záporné znamienko pred konštantou b odráža, že jej láska ochladzuje, keď sa Romeova láska zintenzívňuje.

Jediné, čo zostáva určiť, sú ich počiatočné pocity (to znamená hodnoty R a J v čase t = 0). Potom sa nastavia všetky potrebné parametre. Pomocou počítača môžeme postupovať pomaly, krok za krokom, a meniť hodnoty R a J podľa vyššie opísaných diferenciálnych rovníc. V skutočnosti pomocou základnej vety integrálneho počtu môžeme nájsť riešenie analyticky. Keďže model je jednoduchý, integrálny počet vytvára pár komplexných vzorcov, ktoré nám hovoria, ako veľmi sa budú Rómeo a Júlia milovať (alebo nenávidieť) kedykoľvek v budúcnosti.

Vyššie uvedené diferenciálne rovnice by mali byť študentom fyziky známe: Rómeo a Júlia sa správajú ako jednoduché harmonické oscilátory. Model teda predpovedá, že funkcie R (t) a J (t), ktoré popisujú zmenu ich pomerov v čase, budú sínusoidy, pričom každá z nich bude narastať a klesať, ale ich maximálne hodnoty sa nezhodujú.

"Hlúpy nápad opísať milostné vzťahy pomocou diferenciálnych rovníc ma napadol, keď som bol prvýkrát zamilovaný a snažil som sa pochopiť nepochopiteľné správanie mojej priateľky."

Model je možné urobiť realistickejším rôznymi spôsobmi. Napríklad Romeo môže reagovať nielen na Júliine pocity, ale aj na svoje vlastné. Čo ak je jedným z tých chlapov, ktorí sa tak bojí opustenia, že začne chladiť svoje city. Alebo patrí k inému typu chlapa, ktorý rád trpí - preto ju miluje.

Pridajte k týmto scenárom dve ďalšie Rómeove správanie: na Júliinu náklonnosť reaguje buď zvýšením alebo oslabením vlastnej náklonnosti – a uvidíte, že v milostnom vzťahu existujú štyri rôzne štýly správania. Moji študenti a študenti skupiny Petra Christophera na Worcester Polytechnic Institute navrhli volať predstaviteľov týchto typov takto: Pustovník alebo Zlý mizantrop pre Rómea, ktorý ochladzuje svoje city a dištancuje sa od Júlie, a Narcistický hlupák a Flirtujúci Fink ako Rómeo. ktorý zahreje svoj zápal, no Júlia ho odmietne. (Pre všetky tieto typy si môžete vymyslieť svoje vlastné mená.)

Aj keď sú uvedené príklady fantastické, typy rovníc, ktoré ich opisujú, sú celkom bystré. Predstavujú najmocnejšie nástroje, aké kedy ľudstvo vytvorilo na pochopenie hmotného sveta. Sir Isaac Newton použil diferenciálne rovnice na odhalenie tajomstva pohybu planét. Pomocou týchto rovníc zjednotil pozemskú a nebeskú sféru, čím ukázal, že pre obe platia rovnaké zákony pohybu.

Takmer 350 rokov po Newtonovi ľudstvo pochopilo, že fyzikálne zákony sú vždy vyjadrené v jazyku diferenciálnych rovníc. Platí to pre rovnice opisujúce prúdenie tepla, vzduchu a vody, pre zákony elektriny a magnetizmu, dokonca aj pre atóm, kde vládne kvantová mechanika.

Vo všetkých prípadoch musí teoretická fyzika nájsť správne diferenciálne rovnice a vyriešiť ich. Keď Newton objavil tento kľúč k tajomstvám Vesmíru a uvedomil si jeho veľký význam, zverejnil ho vo forme latinského anagramu. Vo voľnom preklade to znie takto: "Je užitočné riešiť diferenciálne rovnice."

Hlúpy nápad opísať milostné vzťahy pomocou diferenciálnych rovníc ma napadol, keď som bol prvýkrát zamilovaný a snažil som sa pochopiť nepochopiteľné správanie mojej priateľky. Bol to letný románik na konci môjho druhého ročníka na vysokej škole. Vtedy som sa veľmi podobal na prvého Rómea a ona na prvú Júliu. Cyklický charakter nášho vzťahu ma privádzal do šialenstva, kým som si neuvedomil, že obaja konáme zo zotrvačnosti, v súlade s jednoduchým pravidlom push-pull. No ku koncu leta sa moja rovnica začala rúcať a bol som ešte viac zmätený. Ukázalo sa, že sa stala dôležitá udalosť, ktorú som nebral do úvahy: jej bývalý milenec ju chcel späť.

V matematike tento problém nazývame problém troch telies. Je evidentne neriešiteľný, najmä v kontexte astronómie, kde prvýkrát vznikol. Keď Newton vyriešil diferenciálne rovnice pre problém dvoch telies (čo vysvetľuje, prečo sa planéty pohybujú po eliptických dráhach okolo Slnka), obrátil svoju pozornosť na problém troch telies pre Slnko, Zem a Mesiac. Ani on, ani iní vedci to nedokázali vyriešiť. Neskôr sa zistilo, že problém troch tiel obsahuje zárodky chaosu, čo znamená, že z dlhodobého hľadiska bolo ich správanie nepredvídateľné.

Newton nevedel nič o dynamike chaosu, ale podľa jeho priateľa Edmunda Halleyho sa sťažoval, že ho z problému troch telies rozbolela hlava a zdržiaval ho tak často, že na to už nemyslel.

Tu som s vami, Sir Isaac.