Derivácia záporného čísla. Typické chyby pri výpočte derivácie. Derivácia súčtu a rozdielu

Je uvedený vzorec pre deriváciu súčtu a rozdielu funkcií. Je uvedený dôkaz a podrobne sú diskutované príklady použitia tohto vzorca.

Vzorec pre deriváciu súčtu (rozdielu) funkcií

Nech a sú funkcie nezávislej premennej x. Nech sú diferencovateľné v určitom rozsahu hodnôt premennej x. Potom v tejto oblasti derivácia súčtu (rozdielu) týchto funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií týchto funkcií:
(1) .

Dôkaz

Keďže funkcie a sú diferencovateľné na , existujú nasledujúce limity, ktoré sú derivátmi týchto funkcií:
;
.

Uvažujme funkciu y premennej x, ktorá je súčtom funkcií a:
.
Aplikujme definíciu derivátu.


.

Dokázali sme teda, že derivácia súčtu funkcií sa rovná súčtu derivácií:
.

Rovnakým spôsobom môžete ukázať, že derivácia rozdielu funkcií sa rovná rozdielu derivácií:
.
Dá sa to ukázať aj iným spôsobom, použitím práve osvedčeného pravidla na rozlíšenie súčtu a :
.

Tieto dve pravidlá možno zapísať ako jednu rovnicu:
(1) .

Dôsledok

Vyššie sme sa pozreli na pravidlo na nájdenie derivácie súčtu dvoch funkcií. Toto pravidlo možno zovšeobecniť na súčet a rozdiel ľubovoľného počtu diferencovateľných funkcií.

Derivácia súčtu (rozdielu) ľubovoľného konečného počtu diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) ich derivácií. Berúc do úvahy pravidlo umiestňovania konštanty mimo znamienka derivácie, možno toto pravidlo zapísať takto:
.
Alebo v rozšírenej forme:
(2) .
Tu - konštanty;
- diferencovateľné funkcie premennej x.

Dôkaz z vyšetrovania

Keď n = 2 , použijeme pravidlo (1) a pravidlo umiestnenia konštanty mimo znamienka derivácie. Máme:
.
Keď n = 3 použite vzorec (1) pre funkcie a:
.

Pre ľubovoľné číslo n použijeme indukčnú metódu. Nech je rovnica (2) splnená pre . Potom máme:

.
To znamená, že z predpokladu, že rovnica (2) je splnená pre , vyplýva, že rovnica (2) je splnená pre . A keďže rovnica (2) platí pre , platí pre všetky .
Vyšetrovanie bolo preukázané.

Príklady

Príklad 1

Nájdite derivát
.

Otváranie zátvoriek. Na tento účel použijeme vzorec
.
Využívame aj vlastnosti mocninových funkcií.
;

;
.

Pre deriváciu súčtu a rozdielu funkcií použijeme vzorec (2).
.

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Potom
;
;
.

Nakoniec tu máme:
.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú x
.

Zredukujme korene na mocenské funkcie.
.
Uplatňujeme pravidlo diferenciácie súčtu a rozdielu.
.
Aplikujeme vzorce z tabuľky derivátov.
;
;
;
;
;
.
Nahradíme:
.
Zlomky privádzame na spoločného menovateľa.
.
Tu sme brali do úvahy, že daná funkcia je definovaná na .
.

V tejto lekcii sa naučíme používať vzorce a pravidlá diferenciácie.

Príklady. Nájdite derivácie funkcií.

1. y = x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 9. Uplatnenie pravidla ja, vzorce 4, 2 a 1. Dostaneme:

y’=7x 6 +5x4-4x3+3x2-2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Riešime podobne, pomocou rovnakých vzorcov a vzorca 3.

y’=3∙6x 5-2=18x 5-2.

Uplatnenie pravidla ja, vzorce 3, 5 A 6 A 1.

Uplatnenie pravidla IV, vzorce 5 A 1 .

V piatom príklade podľa pravidla ja derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií a práve sme našli deriváciu 1. člena (príklad 4 ), preto nájdeme deriváty 2 A 3 podmienky a za 1 summand môžeme hneď napísať výsledok.

Poďme rozlišovať 2 A 3 termíny podľa vzorca 4 . Aby sme to dosiahli, transformujeme korene tretej a štvrtej mocniny v menovateli na mocniny so zápornými exponentmi a potom podľa 4 formule, nájdeme deriváty mocnín.

Pozrite si tento príklad a výsledok. Zachytili ste vzor? Dobre. To znamená, že máme nový vzorec a môžeme ho pridať do našej tabuľky derivátov.

Vyriešme šiesty príklad a odvodíme ďalší vzorec.

Využime pravidlo IV a vzorec 4 . Výsledné zlomky zredukujeme.

Pozrime sa na túto funkciu a jej deriváciu. Vy, samozrejme, rozumiete vzoru a ste pripravení pomenovať vzorec:

Učte sa nové vzorce!

Príklady.

1. Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie y= x 2, ak sa počiatočná hodnota argumentu rovnala 4 a nové - 4,01 .

Riešenie.

Nová hodnota argumentu x=x 0 +Δx. Dosadíme údaje: 4,01=4+Δх, teda prírastok argumentu Δх= 4,01-4 = 0,01. Prírastok funkcie sa podľa definície rovná rozdielu medzi novou a predchádzajúcou hodnotou funkcie, t.j. Ay=f (x 0 + Ax) - f (x 0). Keďže máme funkciu y=x2, To Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odpoveď: prírastok argumentov Δх=0,01; prírastok funkcie Δу=0,0801.

Prírastok funkcie možno nájsť inak: Δy=y(x0+Ax)-y(x0)=y(4,01)-y(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v bode x 0, Ak f "(x 0) = 1.

Riešenie.

Hodnota derivátu v bode dotyku x 0 a je hodnotou tangensu tangens uhla (geometrický význam derivácie). Máme: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, pretože tg45°=1.

odpoveď: dotyčnica ku grafu tejto funkcie zviera s kladným smerom osi Ox uhol rovný 45°.

3. Odvoďte vzorec pre deriváciu funkcie y=xn.

Diferenciácia je činnosť hľadania derivácie funkcie.

Pri hľadaní derivátov použite vzorce, ktoré boli odvodené na základe definície derivátu, rovnakým spôsobom, akým sme odvodili vzorec pre stupeň derivátu: (x n)" = nx n-1.

Toto sú vzorce.

Tabuľka derivátov Bude ľahšie zapamätať si vyslovovaním verbálnych formulácií:

1. Derivácia konštantnej veličiny sa rovná nule.

2. Prvočíslo x sa rovná jednej.

3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie.

4. Derivácia stupňa sa rovná súčinu exponentu tohto stupňa o stupeň s rovnakým základom, ale exponent je o jeden menší.

5. Derivácia koreňa sa rovná jednej delenej dvoma rovnakými koreňmi.

6. Derivácia jedna delená x sa rovná mínus jedna delená x na druhú.

7. Derivácia sínusu sa rovná kosínusu.

8. Derivácia kosínusu sa rovná mínus sínusu.

9. Derivácia dotyčnice sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu.

10. Derivácia kotangensu sa rovná mínus jednej delenej druhou mocninou sínusu.

učíme pravidlá diferenciácie.

1. Derivácia algebraického súčtu sa rovná algebraickému súčtu derivátov členov.

2. Derivát súčinu sa rovná súčinu derivátu prvého a druhého faktora plus súčinu prvého faktora a derivátu druhého.

3. Derivácia „y“ delená „ve“ sa rovná zlomku, v ktorom je čitateľ „y prvočíslo vynásobené „ve“ mínus „y vynásobené prvočíslom ve“ a menovateľ je „ve na druhú“.

4. Špeciálny prípad vzorca 3.

Poďme sa spolu učiť!

Strana 1 z 1 1

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu prirodzeného logaritmu a logaritmu so základom a. Príklady výpočtu derivácií ln 2x, ln 3x a ln nx. Dôkaz vzorca pre deriváciu logaritmu n-tého rádu metódou matematickej indukcie.

Pozri tiež: Logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf
Prirodzený logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf

Odvodenie vzorcov pre derivácie prirodzeného logaritmu a logaritmu so základom a

Derivácia prirodzeného logaritmu x sa rovná jednej delenej x:
(1) (ln x)′ =.

Derivácia logaritmu k základu a sa rovná jednotke vydelenej premennou x vynásobenou prirodzeným logaritmom a:
(2) (log a x)′ =.

Dôkaz

Nech existuje nejaké kladné číslo, ktoré sa nerovná jednej. Uvažujme funkciu závislú od premennej x, čo je logaritmus k základu:
.
Táto funkcia je definovaná na . Nájdime jej deriváciu vzhľadom na premennú x. Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Aby sme to dosiahli, potrebujeme poznať nasledujúce skutočnosti:
A) Vlastnosti logaritmu. Budeme potrebovať nasledujúce vzorce:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(7) .
Tu je funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
IN) Význam druhej pozoruhodnej hranice:
(8) .

Aplikujme tieto fakty na naše limity. Najprv transformujeme algebraický výraz
.
Na tento účel použijeme vlastnosti (4) a (5).

.

Použime vlastnosť (7) a druhú pozoruhodnú hranicu (8):
.

A nakoniec použijeme vlastnosť (6):
.
Logaritmus na základňu e volal prirodzený logaritmus. Označuje sa takto:
.
Potom ;
.

Takto sme získali vzorec (2) pre deriváciu logaritmu.

Derivácia prirodzeného logaritmu

Ešte raz napíšeme vzorec pre deriváciu logaritmu na základ a:
.
Tento vzorec má najjednoduchší tvar pre prirodzený logaritmus, pre ktorý , . Potom
(1) .

Kvôli tejto jednoduchosti je prirodzený logaritmus veľmi široko používaný v matematickej analýze a v iných odvetviach matematiky súvisiacich s diferenciálnym počtom. Logaritmické funkcie s inými bázami možno vyjadriť prirodzeným logaritmom pomocou vlastnosti (6):
.

Deriváciu logaritmu vzhľadom na základ možno nájsť zo vzorca (1), ak zo znamienka diferenciácie odstránite konštantu:
.

Iné spôsoby, ako dokázať deriváciu logaritmu

Tu predpokladáme, že poznáme vzorec pre deriváciu exponenciály:
(9) .
Potom môžeme odvodiť vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu za predpokladu, že logaritmus je inverznou funkciou exponenciály.

Dokážme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu, použitie vzorca pre deriváciu inverznej funkcie:
.
V našom prípade.
.
Inverzná funkcia k prirodzenému logaritmu je exponenciálna:
.
Jeho derivácia je určená vzorcom (9). Premenné môžu byť označené ľubovoľným písmenom. Vo vzorci (9) nahraďte premennú x za y:
.
Potom
.
Odvtedy

Vzorec je osvedčený. Teraz dokážeme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu pomocou pravidlá pre diferenciáciu zložitých funkcií
.
. Pretože funkcie a sú navzájom inverzné
(10) .
Diferencujme túto rovnicu vzhľadom na premennú x:
.
Derivácia x sa rovná jednej:
.
Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:
.
Tu . Nahradíme v (10):
.

Odtiaľ

Príklad Nájdite deriváty 2x, A ln 3x.

lnnx Pôvodné funkcie majú podobnú formu. Preto nájdeme deriváciu funkcie y = log nx . Potom dosadíme n = 2 a n = 3. A tak získame vzorce pre deriváty ln 2x 2x, .

A
Pôvodné funkcie majú podobnú formu. Preto nájdeme deriváciu funkcie .
Hľadáme teda deriváciu funkcie
1) Funkcie závislé od premennej: ;
2) Funkcie závislé od premennej: .
Potom sa pôvodná funkcia skladá z funkcií a :
.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú x:
.
Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú:
.
Aplikujeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.
.
Tu sme to nastavili.

Tak sme našli:
(11) .
Vidíme, že derivácia nezávisí od n. Tento výsledok je celkom prirodzený, ak transformujeme pôvodnú funkciu pomocou vzorca pre logaritmus súčinu:
.
- toto je konštanta. Jeho derivácia je nulová. Potom, podľa pravidla diferenciácie súčtu, máme:
.

; ; .

Derivácia logaritmu modulu x

Poďme nájsť deriváciu ďalšej veľmi dôležitej funkcie – prirodzeného logaritmu modulu x:
(12) .

Pozrime sa na prípad. Potom funkcia vyzerá takto:
.
Jeho derivát je určený vzorcom (1):
.

Teraz sa pozrime na prípad. Potom funkcia vyzerá takto:
,
Kde .
Vo vyššie uvedenom príklade sme však našli aj deriváciu tejto funkcie. Nezávisí od n a rovná sa
.
Potom
.

Tieto dva prípady spojíme do jedného vzorca:
.

Preto, aby logaritmus mal základ a, máme:
.

Deriváty vyšších rádov prirodzeného logaritmu

Zvážte funkciu
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(13) .

Poďme nájsť derivát druhého rádu:
.
Poďme nájsť derivát tretieho rádu:
.
Poďme nájsť derivát štvrtého rádu:
.

Môžete si všimnúť, že derivácia n-tého rádu má tvar:
(14) .
Dokážme to matematickou indukciou.

Dôkaz

Dosadíme hodnotu n = 1 do vzorca (14):
.
Od , potom keď n = 1 platí vzorec (14).

Predpokladajme, že vzorec (14) je splnený pre n = k. Dokážme, že to znamená, že vzorec platí pre n = k + 1 .

V skutočnosti pre n = k máme:
.
Diferencujte vzhľadom na premennú x:

.
Takže sme dostali:
.
Tento vzorec sa zhoduje so vzorcom (14) pre n = k + 1 . Teda z predpokladu, že vzorec (14) platí pre n = k, vyplýva, že vzorec (14) platí pre n = k + 1 .

Preto vzorec (14) pre deriváciu n-tého rádu platí pre každé n.

Deriváty vyšších rádov logaritmu k základu a

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu n-tého rádu k základu a, musíte ju vyjadriť v pojmoch prirodzeného logaritmu:
.
Použitím vzorca (14) nájdeme n-tú deriváciu:
.

Derivát

Výpočet derivácie matematickej funkcie (diferenciácia) je veľmi častým problémom pri riešení vyššej matematiky. Pre jednoduché (elementárne) matematické funkcie je to celkom jednoduchá záležitosť, keďže tabuľky derivácií pre elementárne funkcie sú už dávno zostavené a sú ľahko dostupné. Nájdenie derivácie komplexnej matematickej funkcie však nie je triviálna úloha a často si vyžaduje značné úsilie a čas.

Nájdite derivát online

Naša online služba vám umožňuje zbaviť sa zbytočných dlhých výpočtov a nájsť derivát online v jednom momente. Navyše pomocou našej služby umiestnenej na webovej stránke www.stránka, môžete vypočítať online derivát ako z elementárnej funkcie, tak aj z veľmi komplexnej funkcie, ktorá nemá analytické riešenie. Hlavné výhody našej stránky oproti iným sú: 1) neexistujú prísne požiadavky na spôsob zadávania matematickej funkcie pre výpočet derivácie (napr. pri zadávaní funkcie sínus x ju môžete zadať ako sin x alebo sin (x) alebo sin[x] atď. d.); 2) online výpočet derivátov prebieha okamžite v online a absolútne zadarmo; 3) umožňujeme vám nájsť deriváciu funkcie akúkoľvek objednávku, zmena poradia derivácie je veľmi jednoduchá a zrozumiteľná; 4) umožňujeme vám nájsť derivát takmer akejkoľvek matematickej funkcie online, dokonca aj veľmi zložitých, ktoré nie je možné vyriešiť inými službami. Poskytnutá odpoveď je vždy presná a nemôže obsahovať chyby.

Používanie nášho servera vám umožní 1) vypočítať derivát online za vás, čím sa eliminujú časovo náročné a únavné výpočty, počas ktorých by ste mohli urobiť chybu alebo preklep; 2) ak vypočítate deriváciu matematickej funkcie sami, potom vám poskytneme možnosť porovnať získaný výsledok s výpočtami našej služby a uistiť sa, že riešenie je správne, alebo nájsť chybu, ktorá sa vkradla; 3) použite našu službu namiesto používania tabuliek derivátov jednoduchých funkcií, kde nájdenie požadovanej funkcie často trvá.

Všetko, čo sa od vás vyžaduje, je nájsť derivát online- je využívať našu službu na

Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu vonkajšej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť najťažší test a pochopiť úlohy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.