Logaritmus so základom 0. Prirodzený logaritmus, funkcia ln x. Výpočet logaritmov podľa definície

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných exponentov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady využitia tejto funkcie nájdete takmer všade tam, kde si potrebujete zjednodušiť ťažkopádne násobenie jednoduchým sčítaním. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchým a prístupným jazykom.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (teda akéhokoľvek kladného) „b“ k základu „a“ sa považuje za mocninu „c“. “, na ktorú musí byť základ „a“ zvýšený, aby sa v konečnom dôsledku získala hodnota „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť výkon tak, aby od 2 po požadovaný výkon dostal 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov v hlave dostaneme číslo 3! A to je pravda, pretože 2 ku 3 dáva odpoveď ako 8.

Typy logaritmov

Pre mnohých študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Existujú tri samostatné typy logaritmických výrazov:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich riešení.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a je tiež nemožné extrahovať párnu odmocninu záporných čísel. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• Základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a nie rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že „c“ musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Úlohou je napríklad nájsť odpoveď na rovnicu 10 x = 100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť mocninu zvýšením čísla desať, na ktoré sa dostaneme 100. To je samozrejme 10 2 = 100.

Teraz si predstavme tento výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov sa všetky akcie prakticky zbiehajú, aby našli mocninu, do ktorej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Pre väčšie hodnoty však budete potrebovať tabuľku výkonu. Využiť ho môžu aj tí, ktorí o zložitých matematických témach nevedia vôbec nič. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný riadok čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky obsahujú číselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najpravdivejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnosť. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako základný 3 logaritmus 81 rovný štyrom (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Nižšie sa pozrieme na príklady a riešenia rovníc, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je uvedený nasledujúci výraz: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota „x“ je pod logaritmickým znamienkom. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla so základom dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti je rozsah prijateľných hodnoty a body sa určia porušovaním tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi na rovnicu, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh hľadania hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. Na príklady rovníc sa pozrieme neskôr, najprv sa pozrime na každú vlastnosť podrobnejšie.

1. Hlavná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, keď a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je povinná podmienka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec môžete dokázať príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupne ), a potom podľa definície: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo bolo potrebné dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva „vlastnosť stupňa logaritmu“. Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika je založená na prirodzených postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nech log a b = t, ukáže sa a t =b. Ak obe časti zdvihneme na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n, preto log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi problémov na logaritmoch sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež povinnou súčasťou skúšok z matematiky. Ak chcete vstúpiť na univerzitu alebo zložiť prijímacie skúšky z matematiky, musíte vedieť, ako správne riešiť takéto úlohy.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, ale na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu možno použiť určité pravidlá. V prvom rade by ste mali zistiť, či je možné výraz zjednodušiť alebo zredukovať na všeobecnú formu. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi rýchlo zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc musíme určiť, aký typ logaritmu máme: vzorový výraz môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že potrebujú určiť výkon, s ktorým bude základ 10 rovný 100 a 1026. Ak chcete vyriešiť prirodzené logaritmy, musíte použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia základných teorémov o logaritmoch.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu sa dá využiť v úlohách, kde je potrebné rozložiť veľkú hodnotu čísla b na jednoduchšie faktory. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako môžete vidieť, pomocou štvrtej vlastnosti logaritmickej mocniny sa nám podarilo vyriešiť zdanlivo zložitý a neriešiteľný výraz. Stačí vypočítať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy z jednotnej štátnej skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Tieto úlohy sa zvyčajne nachádzajú nielen v časti A (najjednoduchšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najkomplexnejšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy „Prirodzené logaritmy“.

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych verzií jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Dané log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, podľa definície logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, teda 2x = 17; x = 8,5.

• Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, preto keď exponent výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a jeho základ sa vyberie ako násobiteľ, výraz zostávajúci pod logaritmom musí byť kladný.

Jedným z prvkov algebry primitívnych úrovní je logaritmus. Názov pochádza z gréckeho jazyka zo slova „číslo“ alebo „moc“ a znamená moc, na ktorú musí byť číslo v základe povýšené, aby sa zistilo konečné číslo.

Typy logaritmov

• log a b – logaritmus čísla b so základom a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – desiatkový logaritmus (logaritmus so základom 10, a = 10);
• ln b – prirodzený logaritmus (logaritmus k základu e, a = e).

Ako vyriešiť logaritmy?

Logaritmus b na základ a je exponent, ktorý vyžaduje, aby sa b zvýšilo na základ a. Získaný výsledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b na základ a“. Riešením logaritmických problémov je, že musíte zo zadaných čísel určiť danú mocninu v číslach. Existuje niekoľko základných pravidiel na určenie alebo riešenie logaritmu, ako aj na prevod samotného zápisu. Pomocou nich sa riešia logaritmické rovnice, nachádzajú sa derivácie, riešia sa integrály a vykonáva sa mnoho ďalších operácií. V zásade je riešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Nižšie sú uvedené základné vzorce a vlastnosti:

Pre akékoľvek a ; a > 0; a ≠ 1 a pre ľubovoľné x; y > 0.

• a log a b = b – základná logaritmická identita
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pre k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – vzorec pre prechod na nový základ
• log a x = 1/log x a

Ako riešiť logaritmy - pokyny na riešenie krok za krokom

• Najprv si zapíšte požadovanú rovnicu.

Poznámka: ak je základný logaritmus 10, potom sa záznam skráti, čo vedie k desiatkovému logaritmu. Ak existuje prirodzené číslo e, zapíšeme ho a zredukujeme ho na prirodzený logaritmus. To znamená, že výsledkom všetkých logaritmov je mocnina, na ktorú sa základné číslo zvýši, aby sa získalo číslo b.

Priamo riešenie spočíva vo výpočte tohto stupňa. Pred riešením výrazu s logaritmom je potrebné ho zjednodušiť podľa pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavné identity nájdete tak, že sa v článku vrátite trochu späť.

Pri sčítaní a odčítaní logaritmov s dvoma rôznymi číslami, ale s rovnakými základmi, nahraďte jedným logaritmom súčin alebo delenie čísel b a c. V tomto prípade môžete použiť vzorec na prechod na inú základňu (pozri vyššie).

Ak používate výrazy na zjednodušenie logaritmu, je potrebné zvážiť určité obmedzenia. A to je: základ logaritmu a je iba kladné číslo, ale nie je rovné jednej. Číslo b, podobne ako a, musí byť väčšie ako nula.

Existujú prípady, keď zjednodušením výrazu nebudete môcť vypočítať logaritmus numericky. Stáva sa, že takýto výraz nedáva zmysel, pretože mnohé mocniny sú iracionálne čísla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu čísla ako logaritmus.

Ako sa spoločnosť rozvíjala a výroba sa stávala zložitejšou, rozvíjala sa aj matematika. Pohyb od jednoduchého k zložitému. Od bežného účtovania metódou sčítania a odčítania sme s ich opakovaným opakovaním dospeli k pojmu násobenie a delenie. Zníženie opakovanej operácie násobenia sa stalo konceptom umocňovania. Prvé tabuľky závislosti čísel od základu a počtu umocnení zostavil už v 8. storočí indický matematik Varasena. Z nich môžete spočítať čas výskytu logaritmov.

Historický náčrt

Oživenie Európy v 16. storočí podnietilo aj rozvoj mechaniky. T vyžadovalo veľké množstvo výpočtov súvisí s násobením a delením viacciferných čísel. Staroveké stoly mali skvelú službu. Umožnili nahradiť zložité operácie jednoduchšími – sčítanie a odčítanie. Veľkým krokom vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej realizoval myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo použiť tabuľky nielen pre mocniny vo forme prvočísel, ale aj pre ľubovoľné racionálne.

V roku 1614 Škót John Napier, ktorý rozvíjal tieto myšlienky, prvýkrát zaviedol nový termín „logaritmus čísla“. Boli zostavené nové komplexné tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínusov, ako aj tangens. To značne znížilo prácu astronómov.

Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali už tri storočia. Uplynulo veľa času, kým nová operácia v algebre nadobudla svoju hotovú podobu. Bola daná definícia logaritmu a boli študované jeho vlastnosti.

Až v 20. storočí, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staroveké tabuľky, ktoré úspešne fungovali počas 13. storočia.

Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, ktoré je mocninou a na vytvorenie b. Toto je napísané ako vzorec: x = log a(b).

Napríklad log 3(9) by sa rovnalo 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak zvýšime 3 na 2, dostaneme 9.

Formulovaná definícia teda stanovuje len jedno obmedzenie: čísla a a b musia byť reálne.

Typy logaritmov

Klasická definícia sa nazýva reálny logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x = b. Možnosť a = 1 je hraničná a nie je zaujímavá. Pozor: 1 na akúkoľvek mocninu sa rovná 1.

Skutočná hodnota logaritmu definované iba vtedy, keď základ a argument sú väčšie ako 0 a základ sa nesmie rovnať 1.

Osobitné miesto v oblasti matematiky hrať logaritmy, ktoré budú pomenované v závislosti od veľkosti ich základne:

Pravidlá a obmedzenia

Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus súčinu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp = log a(b) + log a(p).

Ako variant tohto tvrdenia bude: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocientová funkcia sa rovná rozdielu funkcií.

Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je ľahké vidieť, že: log a(b p) = p * log a(b).

Medzi ďalšie vlastnosti patrí:

Komentujte. Nerobte bežnú chybu – logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.

Po mnoho storočí bola operácia hľadania logaritmu pomerne časovo náročná úloha. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie expanzie polynómov:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kde n je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré určuje presnosť výpočtu.

Logaritmy s inými bázami boli vypočítané pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu súčinu.

Keďže táto metóda je veľmi náročná na prácu a pri riešení praktických problémov náročné na implementáciu sme použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, čo výrazne urýchlilo celú prácu.

V niektorých prípadoch boli použité špeciálne zostavené grafy logaritmov, ktoré poskytli menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili hľadanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y = log a(x), vytvorená cez niekoľko bodov, umožňuje pomocou bežného pravítka nájsť hodnotu funkcie v akomkoľvek inom bode. Inžinieri na tieto účely dlho používali takzvaný milimetrový papier.

V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré v 19. storočí nadobudli ucelenú podobu. Najúspešnejšie zariadenie sa nazývalo posuvné pravítko. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých inžinierskych výpočtov, čo je ťažké preceňovať. V súčasnosti pozná toto zariadenie len málo ľudí.

Nástup kalkulačiek a počítačov spôsobil, že používanie akýchkoľvek iných zariadení bolo zbytočné.

Rovnice a nerovnice

Na riešenie rôznych rovníc a nerovníc pomocou logaritmov sa používajú tieto vzorce:

• Prechod z jednej bázy na druhú: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• V dôsledku predchádzajúcej možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).

Na riešenie nerovností je užitočné vedieť:

• Hodnota logaritmu bude kladná iba vtedy, ak základ aj argument sú väčšie alebo menšie ako jedna; ak je porušená aspoň jedna podmienka, hodnota logaritmu bude záporná.
• Ak je logaritmická funkcia aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základňa logaritmu je väčšia ako jedna, potom sa znamienko nerovnosti zachová; inak sa to mení.

Príklady problémov

Zvážme niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady s riešením rovníc:

Zvážte možnosť umiestniť logaritmus do mocniny:

• Úloha 3. Vypočítajte 25^log 5(3). Riešenie: v podmienkach problému je zadanie podobné nasledujúcemu (5^2)^log5(3) alebo 5^(2 * log 5(3)). Napíšme to inak: 5^log 5(3*2), alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie možno zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5^log 5(3))^2. Použitím vlastností logaritmov sa tento výraz rovná 3^2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.

Praktické využitie

Keďže ide o čisto matematický nástroj, zdá sa ďaleko od skutočného života, že logaritmus zrazu nadobudol veľký význam pre popis objektov v reálnom svete. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. V plnej miere to platí nielen pre prírodné, ale aj pre humanitné oblasti poznania.

Logaritmické závislosti

Tu je niekoľko príkladov numerických závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky sa mechanika a fyzika vždy rozvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky, vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uveďme len dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.

Problém výpočtu takého zložitého množstva, ako je rýchlosť rakety, možno vyriešiť pomocou vzorca Tsiolkovského, ktorý položil základ pre teóriu prieskumu vesmíru:

V = I * ln (M1/M2), kde

• V je konečná rýchlosť lietadla.
• I – špecifický impulz motora.
• M 1 – počiatočná hmotnosť rakety.
• M 2 – výsledná hmotnosť.

Ďalší dôležitý príklad- to je použité vo vzorci iného veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na vyhodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.

S = k * ln (Ω), kde

• S – termodynamická vlastnosť.
• k – Boltzmannova konštanta.
• Ω je štatistická váha rôznych stavov.

Chémia

Menej zrejmé je použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Uveďme len dva príklady:

• Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu prostredia vo vzťahu k aktivite látok a rovnovážnej konštante.
• Výpočet takých konštánt, ako je index autolýzy a kyslosť roztoku, sa tiež nezaobíde bez našej funkcie.

Psychológia a biológia

A vôbec nie je jasné, čo s tým má spoločné psychológia. Ukazuje sa, že silu vnemu táto funkcia dobre popisuje ako inverzný pomer hodnoty intenzity stimulu k nižšej hodnote intenzity.

Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov je v biológii široko používaná. O biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam by sa dali písať celé zväzky.

Ostatné oblasti

Zdá sa, že existencia sveta je nemožná bez spojenia s touto funkciou a riadi všetky zákony. Najmä keď sú prírodné zákony spojené s geometrickým postupom. Stojí za to obrátiť sa na webovú stránku MatProfi a existuje veľa takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:

Zoznam môže byť nekonečný. Po zvládnutí základných princípov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš mi? Dobre. Teraz, len za 10 - 20 minút:

1. Pochopte čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálnych rovníc. Aj keď ste o nich nič nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Navyše na to budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a ako zvýšiť číslo na mocninu...

Cítim, že máš pochybnosti... Dobre, dobre, poznačte si čas! Choď!

Najprv si v hlave vyriešte túto rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: log a X a log a r. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. log a X+ denník a r=log a (X · r);
2. log a X− denník a r=log a (X : r).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: tu je kľúčový bod rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Denník 6 4 + denník 6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa odstránený zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, X> 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. Čísla pred znakom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

[Popis k obrázku]

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logaritmu a X. Potom pre ľubovoľné číslo c také že c> 0 a c≠ 1, platí rovnosť:

[Popis k obrázku]

Najmä ak dáme c = X, dostaneme:

[Popis k obrázku]

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade číslo n sa stáva indikátorom stupňa stojaceho v argumente. číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. To je to, čo sa nazýva: základná logaritmická identita.

V skutočnosti, čo sa stane, ak číslo b zvýšiť na takú silu, že počet b tejto mocnine dáva číslo a? Správne: dostanete rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

[Popis k obrázku]

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. log a a= 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus na akúkoľvek základňu a z tohto základu sa rovná jednej.
2. log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základňa a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.