Geometrický model Model je reprezentácia údajov, ktorá čo najprimeranejšie odráža vlastnosti reálneho objektu, ktoré sú nevyhnutné pre proces návrhu. Typy geometrických modelov Čo sú geometrické modely

Modelovanie– jedna z hlavných metód poznávania, ktorá spočíva v izolácii niektorých častí od zložitého javu (objektu) a ich nahradení inými objektmi, ktoré sú zrozumiteľnejšie a pohodlnejšie na opis, vysvetlenie a rozvíjanie.

Model– skutočný fyzikálny objekt alebo proces, teoretická konštrukcia, usporiadaný súbor údajov, ktorý odráža niektoré prvky alebo vlastnosti skúmaného objektu alebo javu, významné z hľadiska modelovania.

Matematický model– model objektu, procesu alebo javu, ktorý predstavuje matematické zákony, pomocou ktorých sa opisujú hlavné charakteristiky modelovaného objektu, procesu alebo javu.

Geometrické modelovanie– sekcia matematického modelovania – umožňuje riešiť rôzne úlohy v dvojrozmernom, trojrozmernom a vo všeobecnosti aj vo viacrozmernom priestore.

Geometrický model zahŕňa systémy rovníc a algoritmy na ich implementáciu. Matematickým základom pre zostavenie modelu sú rovnice, ktoré popisujú tvar a pohyb predmetov. Celá paleta geometrických objektov je kombináciou rôznych primitív - najjednoduchších figúrok, ktoré sa zase skladajú z grafických prvkov - bodov, línií a plôch.

V súčasnosti sa geometrické modelovanie úspešne využíva v manažmente a iných oblastiach ľudskej činnosti. Existujú dve hlavné oblasti použitia geometrického modelovania: dizajn a vedecký výskum.

Geometrické modelovanie je možné použiť pri analýze numerických údajov. V takýchto prípadoch sú pôvodné číselné údaje spojené s nejakou geometrickou interpretáciou, ktorá sa potom analyzuje a výsledky analýzy sa interpretujú z hľadiska pôvodných údajov.

Etapy geometrického modelovania:

● formulácia geometrickej úlohy zodpovedajúcej pôvodnej použitej úlohe alebo jej časti;

● vývoj geometrického algoritmu na riešenie problému;

● implementácia algoritmu pomocou nástrojov;

● analýza a interpretácia získaných výsledkov.

Metódy geometrického modelovania:

● analytické;

● grafický;

● grafický, pomocou počítačových grafických nástrojov;

● graficko-analytické metódy.

Graficko-analytické metódy sú založené na úsekoch výpočtovej geometrie, ako je teória R-funkcií, teória Koonsových plôch, teória Bézierových kriviek, teória splajnov atď.

Moderný vedecký výskum sa vyznačuje používaním spolu s dvojrozmernými a trojrozmernými viacrozmernými geometrickými modelmi (časticová fyzika, jadrová fyzika atď.).

Súradnicové systémy

Súradnicový systém(SC) – množina základných (lineárne nezávislých) vektorov a jednotiek vzdialenosti pozdĺž týchto vektorov ( e 1, e 2, …, en).

Ak sú základné vektory normalizované (jednotkovej dĺžky) a vzájomne ortogonálne, potom sa takýto CS nazýva karteziánsky(DSK).

Svetový súradnicový systém (WCS) – xyz– obsahuje referenčný bod (počiatok súradníc) a lineárne nezávislú bázu, vďaka ktorej je možné digitálne popísať geometrické vlastnosti akéhokoľvek grafického objektu v absolútnych jednotkách.

Súradnicový systém obrazovky (ESC) – X uh r uh z e. Určuje polohu projekcií geometrických objektov na obrazovke. Projekcia bodu v ECS má súradnicu z e = 0. Táto súradnica by sa však nemala zahodiť, pretože MCS a ESC sa často vyberajú tak, aby sa zhodovali a vektor projekcie [ X uh, r e, 0] sa môže zúčastniť transformácií, kde sú potrebné nie dve, ale tri súradnice.

Súradnicový systém scény (SCS) – X s r s zс – popisuje polohu všetkých objektov v scéne - nejakej časti svetového priestoru s vlastným pôvodom a základom, ktoré sa používajú na popis polohy objektov bez ohľadu na MSK.

Objektový súradnicový systém (OCS) – X O r O z o – spojený s konkrétnym objektom a vykonáva s ním všetky pohyby v SCS alebo MSC.

V trojrozmernom priestore (R3):

● ortogonálne karteziánske SC (X, r, z);

● cylindrický SK (ρ, r, φ);

● sférický SC (r, φ, ω).

Vzťah medzi karteziánskym CS a cylindrickým CS:

Afinné transformácie

Transformácia sa nazýva afinná, ak má nasledujúce vlastnosti :

● akákoľvek afinná transformácia môže byť reprezentovaná ako postupnosť jednoduchých operácií: posun, natiahnutie/stlačenie, rotácia;

● rovné čiary, rovnobežnosť čiar, pomer dĺžok segmentov ležiacich na rovnakej priamke a pomer plôch obrázkov sú zachované.

Afinné transformácie súradníc v rovine :

(X, r) – dvojrozmerný súradnicový systém,

(X, Y) – súradnice starého súradnicového systému v novom súradnicovom systéme.

2. Predĺženie/stlačenie osi:

Obrátená konverzia

Afinné transformácie objektov v rovine.

X, r– staré súradnice bodu, X, Y– nové súradnice bodu.

Obrátená konverzia:

3. Rotácia okolo stredu súradníc:

Obrátená konverzia:

Geometrické modely plochých objektov

Základné pojmy

Poloha bodu v priestore R n (n-rozmerný priestor) je daný polomerovým vektorom p= [p 1, p 2, … , pn], majúce n súradnice p 1, p 2, … , pn a expanzia v n lineárne nezávislých bázových vektoroch e 1, e 2, … , en :

https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif" width="277" height="59">

Čiara v lietadle možno špecifikovať pomocou rovnice v implicitnom tvare:

(NF) f(X,r)= 0;

alebo v parametrickej forme:

(PF) p(t)= [X(t), r(t)].

V akomkoľvek pravidelnom (hladkom a nie viacnásobnom) bode na čiare p 0= [X 0, r 0]= p(t 0) možné linearizácia krivka, teda kreslenie dotyčnice k nej, ktorej rovnice majú tvar

(NF) Nx(X - X 0) + NY(r - r 0) = 0 alebo N ◦ (p - p 0) = 0,

(PF) X(t) = X 0 + Vx t, r(t)= r 0 + Vy t alebo p(t) = p 0 + Vt.

Normálny vektor N= [Nx, NY] je kolmá na čiaru a smeruje v smere kde f(p)> 0.

Vektor smerovej čiary V= [Vx, Vy] začína v bode p 0 a smeruje tangenciálne k p(t) smerom k zvýšeniu t.

vektory N A V ortogonálne, t.j. N ◦ V= 0 alebo NxVx + NyVy = 0.

Vzťah medzi normálovým vektorom a smerovým vektorom:

N=[Vy, - Vx], V=[-NY, Nx]

Metódy opisu (modelov) priamky

Implicitná rovnica priamky je daný tromi koeficientmi A, B A D, zložky vektora F= [A, B, D]:

(NF): Ax+ Autor:+ D=0.

Aspoň jedno z čísel A alebo B musí byť nenulové.

Ak sú oba koeficienty nenulové ( A≠0 a B≠0), potom priamka prebieha šikmo k súradnicovým osiam a pretína sa s nimi v bodoch (- D/ A, 0) a (0, - D/ B).

O A=0, B≠0 rovnica Autor:+ D=0 opisuje vodorovnú čiaru r= – D/ B .

O A≠0, B= 0 rovnica Ax+ D=0 opisuje zvislú čiaru X= – D/ A.

Priamka prechádza cez počiatok: f(0,0)=0 at D=0.

Vďaka vlastnosti priamky rozdeliť rovinu na dve polroviny s opačnými znamienkami vám implicitná rovnica umožňuje určiť polohu bodu (bodov) v rovine vzhľadom na priamku:

1) bod q leží na priamke ak f(q)=0;

2) body a A b ležať na jednej strane čiary, ak f(a)∙ f(b)>0;

3) body a A b ležať na opačných stranách priamky, ak f(a)∙ f(b)<0.

Pre zostrojenie priamky podľa implicitnej rovnice je potrebné a postačujúce mať buď dva nezhodné body p 0 a p 1, ktorým prechádza, alebo bod p 0 a smerový vektor V, s ktorým druhý bod p 1 sa vypočíta ako p 1= p 0+ V.

Z implicitnej rovnice priamky N= [A, B] Þ V= [- B, A].

Normálna rovnica priamky – priamka je opísaná bodom p 0 a normálne vektory N a je odvodený od podmienky vektorovej ortogonality N a ( p- p 0) za všetky body p, patriaci do línie f(p)= N◦(p- p 0).

Implicitná funkcia vám umožňuje odhadnúť polohu bodu p vzhľadom na normálny vektor čiary:

● kedy f(a)>0 bodov a leží v rovnakom polpriestore, kam smeruje normála a uhol Ð (a- p 0, N) pikantné;

● kedy f(b)<0 угол Ð (b- p 0, N) hlúpy, bodka b a normála sú na opačných stranách priamky.

Funkcia parametrickej čiary p(t)= p 0+ Vt, Kde
V= [- NY, Nx] je vhodný na špecifikovanie a konštrukciu častí priamky - úsečky a lúče. Aby ste to dosiahli, musíte určiť limity pre zmenu parametra t:

● nekonečný interval -¥<t<¥ не ограничивает протяженность бесконечной прямой;

● kedy t³0 vytvára lúč vychádzajúci z bodu p 0 až nekonečno v smere vektora V;

● konečný interval t 0≤t≤t 1 definuje priamku medzi bodmi p 0+ Vt 0 a p 0+ Vt 1.

Vzhľadom na ľavú orientáciu smerového vektora V vzhľadom na normálny vektor N ekvivalentná funkcia normálnej formy

https://pandia.ru/text/78/331/images/image030_34.gif" width="309" height="47 src=">

Zmena parametra lúča v intervale 0≤λ≤1 dáva také medziľahlé priamky, že rotácia nastáva pozdĺž najkratších uhlov.

Rovnica pre osi uhla medzi dvoma priamkami sa získa pri λ=0,5, ak | N 1|=| N 2| alebo | V 1|=| V 2|. Výsledkom je, že parametre osi je možné nájsť pomocou vzorcov

F bis =| N 2| F 1+| N 1| F 2, p bis( t)= q+ V bis t, V bis =| V 2| V 1+| V 1| V 2.

Výpočet osí je niekedy potrebný napríklad pri konštrukcii kružnice vpísanej do trojuholníka. Ako je známe, jeho stred leží v priesečníku priesečníkov vnútorných uhlov tohto trojuholníka. Pri konštrukcii osi vnútorného uhla treba brať do úvahy smery vektorov strán trojuholníka dosadených do vzorca: oba musia vychádzať z vrcholu, alebo doň musia vstupovať oba. Ak toto pravidlo nie je dodržané, uvedený vzorec nakreslí os prídavného uhla trojuholníka a kruh bude excentrický.

Výsledkom geometrického modelovania určitého objektu je matematický model jeho geometrie. Matematický model umožňuje graficky zobraziť modelovaný objekt, získať jeho geometrické charakteristiky, študovať mnohé z fyzikálnych vlastností objektu nastavením numerických experimentov, pripraviť sa na výrobu a nakoniec objekt vyrobiť.

Aby ste videli, ako objekt vyzerá, musíte simulovať tok svetelných lúčov dopadajúcich a vracajúcich sa z jeho povrchov. V tomto prípade môžu mať okraje modelu požadovanú farbu, priehľadnosť, textúru a ďalšie fyzikálne vlastnosti. Model je možné nasvietiť z rôznych strán svetlom rôznych farieb a intenzity.

Geometrický model umožňuje určiť hmotnostné centrovanie a zotrvačné charakteristiky navrhovaného objektu a merať dĺžky a uhly jeho prvkov. Umožňuje vypočítať rozmerové reťazce a určiť montážnosť navrhovaného objektu. Ak je objektom mechanizmus, potom na modeli môžete skontrolovať jeho výkon a vypočítať kinematické charakteristiky.

Pomocou geometrického modelu je možné vykonať numerický experiment na určenie napäťovo-deformačného stavu, frekvencií a režimov prirodzených vibrácií, stability konštrukčných prvkov, tepelných, optických a iných vlastností objektu. K tomu je potrebné doplniť geometrický model o fyzikálne vlastnosti, simulovať vonkajšie podmienky jeho fungovania a pomocou fyzikálnych zákonov vykonať príslušný výpočet.

Pomocou geometrického modelu je možné vypočítať trajektóriu rezného nástroja na obrábanie objektu. Vzhľadom na zvolenú technológiu výroby predmetu vám geometrický model umožňuje navrhnúť zariadenie a vykonať prípravu výroby, ako aj skontrolovať samotnú možnosť výroby predmetu touto metódou a kvalitu tejto výroby. Okrem toho je možná grafická simulácia výrobného procesu. No na výrobu predmetu sú potrebné okrem geometrických informácií aj informácie o technologickom postupe, výrobnom zariadení a mnohé ďalšie súvisiace s výrobou.

Mnohé z uvedených problémov tvoria samostatné sekcie aplikovanej vedy a nie sú o nič horšie v zložitosti a vo väčšine prípadov dokonca prekonávajú problém vytvorenia geometrického modelu. Geometrický model je východiskom pre ďalšie akcie. Pri konštrukcii geometrického modelu sme nepoužili fyzikálne zákony, polomerový vektor každého bodu rozhrania medzi vonkajšími a vnútornými časťami modelovaného objektu je známy, preto pri konštrukcii geometrického modelu musíme skladať a riešiť algebraicky; rovníc.

Problémy využívajúce fyzikálne zákony vedú k diferenciálnym a integrálnym rovniciam, ktorých riešenie je náročnejšie ako riešenie algebraických rovníc.

V tejto kapitole sa zameriame na vykonávanie výpočtov, ktoré nesúvisia s fyzikálnymi procesmi. Budeme uvažovať o výpočte čisto geometrických charakteristík telies a ich plochých rezov: povrch, objem, ťažisko, momenty zotrvačnosti a orientácia hlavných osí zotrvačnosti. Tieto výpočty nevyžadujú dodatočné informácie. Okrem toho zvážime problémy numerickej integrácie, ktoré je potrebné vyriešiť pri určovaní geometrických charakteristík.

Určenie plochy, ťažiska a momentov zotrvačnosti plochého rezu telesa vedie k výpočtu integrálov cez plochu prierezu. Pre rovinné rezy máme informácie o ich hraniciach. Integrály na ploche rovinného rezu redukujeme na krivočiare integrály, ktoré sa následne redukujú na určité integrály. Určenie plochy povrchu, objemu, ťažiska a momentov zotrvačnosti telesa vedie k výpočtu plošných a objemových integrálov. Budeme sa spoliehať na zobrazenie telesa pomocou hraníc, teda na popis telesa množinou plôch, ktoré ho obmedzujú a topologickú informáciu o vzájomnej blízkosti týchto plôch. Zredukujeme integrály cez objem telesa na povrchové integrály cez povrchy plôch telesa, ktoré sa zase zredukujú na dvojité integrály. Vo všeobecnosti je oblasťou integrácie spojená dvojrozmerná doména. Výpočet dvojitých integrálov numerickými metódami je možné vykonať pre oblasti jednoduchých typov - štvoruholníkového alebo trojuholníkového tvaru. V tejto súvislosti sú na konci kapitoly uvažované metódy výpočtu určitých integrálov a dvojitých integrálov pre štvoruholníkové a trojuholníkové oblasti. Metódy rozdelenia plôch na určenie povrchových parametrov do množiny trojuholníkových podoblastí sú popísané v ďalšej kapitole.

Na začiatku kapitoly sa budeme zaoberať redukciou plošných integrálov na krivkové integrály a redukciou objemových integrálov na plošné. Z toho budú vychádzať výpočty geometrických charakteristík modelov.

Subsystémy grafického a geometrického modelovania (GGM) zaujímajú v CAPP ústredné miesto. Dizajn výrobkov v nich sa spravidla vykonáva interaktívne pri práci s geometrickými modelmi, t.j. matematické objekty, ktoré zobrazujú tvar výrobku, zloženie montážnych jednotiek a prípadne niektoré doplnkové parametre (hmotnosť, farby povrchu atď.).

V podsystémoch GGM je typická cesta spracovania dát získanie návrhového riešenia v aplikačnom programe, jeho prezentácia vo forme geometrického modelu (geometrické modelovanie), príprava návrhového riešenia na vizualizáciu, samotná vizualizácia pomocou PC, v prípade potreby úprava riešenie interaktívne.

Posledné dve operácie sú implementované na báze výpočtových nástrojov GGM. Keď hovoríme o matematickej podpore GGM, majú na mysli predovšetkým modely, metódy a algoritmy pre geometrické modelovanie a prípravu na vizualizáciu.

Existuje dvojrozmerný (2D) a trojrozmerný (3D) softvér GGM.

Hlavnými aplikáciami 2D GGM je príprava výkresovej dokumentácie v SAPP, topologický návrh dosiek plošných spojov a LSI čipov v CAPP pre elektronický priemysel.

V procese 3D modelovania vznikajú geometrické modely, t.j. modely odrážajúce geometrické vlastnosti výrobkov. Existujú geometrické modely: rám (drôt), povrch, objemový (pevný).

Rámový model predstavuje tvar výrobku vo forme konečného súboru čiar ležiacich na povrchoch výrobku. Pre každú čiaru sú známe súradnice koncových bodov a je vyznačený ich dopad na hrany alebo plochy. Je nepohodlné pracovať s rámovým modelom v ďalších operáciách CAPP, a preto sa rámové modely v súčasnosti používajú len zriedka.

Povrchový model zobrazuje tvar produktu špecifikovaním jeho ohraničujúcich plôch, napríklad vo forme súboru údajov o plochách, hranách a vrcholoch.

Osobitné miesto zaujímajú modely produktov so zložitými tvarovanými povrchmi, tzv sochárske povrchy. Medzi takéto produkty patria napríklad kryty pre mikroobvody, počítače, pracovné stanice) atď.

Objemové modely sa líšia tým, že výslovne obsahujú informáciu o príslušnosti prvkov k vnútornému alebo vonkajšiemu priestoru vo vzťahu k produktu.

Uvažované modely zobrazujú telá s uzavretými objemami, ktoré sú takzvanými rozdeľovačmi. Niektoré systémy geometrického modelovania umožňujú pracovať s rôznymi modelmi ( nerôzny), ktorých príkladmi môžu byť modely telies, ktoré sa navzájom dotýkajú v jednom bode alebo pozdĺž priamky. Malé modely sú vhodné v procese navrhovania, keď je v medzistupňoch užitočné pracovať súčasne s trojrozmernými a dvojrozmernými modelmi bez špecifikácie hrúbky stien konštrukcie atď.

Systematizácia geometrických modelov

S geometrickými modelmi sa musia vysporiadať matematici a fyzici, inžinieri a dizajnéri, vedci a robotníci, lekári a umelci, astronauti a fotografi. Stále však neexistuje systematický návod na geometrické modely a ich aplikácie. Vysvetľuje to predovšetkým skutočnosť, že rozsah geometrických modelov je príliš široký a rôznorodý.

Geometrické modely môžu byť stelesnením plánu dizajnéra a slúžia na vytvorenie nového objektu. K obrátenej schéme dochádza aj vtedy, keď je model zhotovený z predmetu, napríklad pri reštaurovaní alebo oprave.

Geometrické modely sa delia na vecné (kresby, mapy, fotografie, rozloženia, televízne obrázky atď.), výpočtové a kognitívne. Predmetové modely úzko súvisia s vizuálnym pozorovaním. Informácie získané z modelov predmetov zahŕňajú informácie o tvare a veľkosti objektu a jeho umiestnení vo vzťahu k ostatným.

Výkresy strojov, konštrukcií, technických zariadení a ich častí sa vykonávajú v súlade s množstvom symbolov, osobitných pravidiel a určitej mierky. Existujú výkresy dielov, zostavy, celkový pohľad, zostava, tabuľkové, rozmerové, vonkajšie pohľady, prevádzkové atď. V závislosti od štádia návrhu sa výkresy delia na výkresy technického návrhu, predbežné a technické návrhy a pracovné výkresy. Výkresy sa rozlišujú aj podľa výrobných odvetví: strojárstvo, výroba nástrojov, stavebníctvo, banské a geologické, topografické atď. Nákresy zemského povrchu sa nazývajú mapy. Kresby sa rozlišujú podľa spôsobu zobrazenia: ortogonálna kresba, axonometria, perspektíva, číselné značky, afinné projekcie, stereografické projekcie, filmová perspektíva atď.

Geometrické modely sa výrazne líšia v spôsobe vyhotovenia: originálne kresby, originály, kópie, kresby, maľby, fotografie, filmy, röntgenové snímky, kardiogramy, rozloženia, modely, sochy atď. Medzi geometrickými modelmi je možné rozlíšiť ploché a objemové.

Grafické konštrukcie možno použiť na získanie numerických riešení rôznych problémov. Pri výpočte algebraických výrazov sú čísla reprezentované smerovanými segmentmi. Na nájdenie rozdielu alebo súčtu čísel sa zodpovedajúce segmenty vynesú na priamku. Násobenie a delenie sa vykonáva zostrojením proporcionálnych segmentov, ktoré sú po stranách uhla odrezané rovnobežnými priamkami. Kombinácia násobenia a sčítania vám umožňuje vypočítať súčty súčinov a vážené priemery. Grafické zvýšenie na celé číslo pozostáva zo sekvenčného opakovania násobenia. Grafickým riešením rovníc je hodnota úsečky priesečníka kriviek. Graficky viete vypočítať určitý integrál, zostaviť graf derivácie, t.j. diferencovať a integrovať diferenciálne rovnice. Geometrické modely pre grafické výpočty je potrebné odlíšiť od nomogramov a výpočtových geometrických modelov (CGM). Grafické výpočty vyžadujú zakaždým postupnosť konštrukcií. Nomogramy a RGM sú geometrické obrazy funkčných závislostí a nevyžadujú nové konštrukcie na nájdenie číselných hodnôt. Nomogramy a RGM sa používajú na výpočty a štúdie funkčných závislostí. Výpočty na RGM a nomogramoch sú nahradené čítaním odpovedí pomocou elementárnych operácií špecifikovaných v kľúči nomogramu. Hlavnými prvkami nomogramov sú stupnice a binárne polia. Nomogramy sa delia na elementárne a zložené. Nomogramy sa odlišujú aj operáciou v kľúči. Základný rozdiel medzi RGM a nomogramom je v tom, že na konštrukciu RGM sa používajú geometrické metódy a na zostavovanie nomogramov sa používajú analytické metódy.

Geometrické modely zobrazujúce vzťahy medzi prvkami množiny sa nazývajú grafy. Grafy sú modely poriadku a spôsobu pôsobenia. Na týchto modeloch nie sú žiadne vzdialenosti, uhly, nezáleží na tom, či sú body spojené priamou alebo zakrivenou čiarou. V grafoch sa rozlišujú iba vrcholy, hrany a oblúky. Grafy boli prvýkrát použité pri riešení hádaniek. V súčasnosti sa grafy efektívne využívajú v teórii plánovania a riadenia, teórii plánovania, sociológii, biológii, elektronike, pri riešení pravdepodobnostných a kombinatorických problémov atď.

Grafický model funkčnej závislosti sa nazýva graf. Grafy funkcií možno zostrojiť z jej danej časti alebo z grafu inej funkcie pomocou geometrických transformácií.

Grafický obrázok, ktorý jasne ukazuje vzťah akýchkoľvek veličín, je diagram. Napríklad stavový diagram (fázový diagram) graficky znázorňuje vzťah medzi stavovými parametrami termodynamického rovnovážneho systému. Stĺpcový graf, ktorý je súborom susedných obdĺžnikov postavených na jednej priamke a predstavuje rozdelenie ľubovoľných veličín podľa kvantitatívnej charakteristiky, sa nazýva histogram.

Osobitný význam majú teoretické geometrické modely. V analytickej geometrii sa geometrické obrazy študujú pomocou algebry na základe súradnicovej metódy. V projektívnej geometrii sa študujú projektívne transformácie a na nich nezávislé nemenné vlastnosti útvarov. V deskriptívnej geometrii sa priestorové útvary a metódy riešenia priestorových problémov študujú konštrukciou ich obrazov v rovine. Vlastnosti rovinných útvarov sa zvažujú v planimetrii, vlastnosti priestorových útvarov - v stereometrii. Sférická trigonometria študuje vzťahy medzi uhlami a stranami sférických trojuholníkov. Teória fotogrametrie a stereofotogrametrie umožňuje určovať tvary, veľkosti a polohy predmetov z ich fotografických obrazov.

Úvod do 3D modelovania

Moderné 3D konštrukčné systémy umožňujú vytvárať trojrozmerné modely najzložitejších dielov a zostáv. Pomocou vizuálnych metód na tvarovanie objemových prvkov dizajnér pracuje s jednoduchými a prirodzenými konceptmi: základňa, otvor, skosenie, výstuha, škrupina atď. V tomto prípade môže proces návrhu reprodukovať technologický proces výroby dielu. Po vytvorení 3D modelu produktu môže dizajnér získať jeho výkres bez rutinného vytvárania pohľadov pomocou plochých nástrojov na kreslenie.

Geometrické modely

Pri riešení väčšiny problémov v oblasti automatizovaného projektovania a technologickej prípravy výroby je potrebné brať do úvahy tvar navrhovaného výrobku. Z toho vyplýva, že geometrické modelovanie, chápané ako proces reprodukovania priestorových obrazov výrobkov a skúmania vlastností výrobkov z týchto obrazov, je jadrom počítačom podporovaného dizajnu. Informácie o geometrických charakteristikách objektu slúžia nielen na získanie grafického obrazu, ale aj na výpočet rôznych charakteristík výrobkov, technologických parametrov jeho výroby a pod. Na obr. 1. ukazuje, aké problémy sa riešia pomocou geometrického modelu v systéme počítačom podporovaného projektovania (CAD). Geometrickými modelmi sa rozumejú modely obsahujúce informácie o tvare a geometrii výrobku, technologické, funkčné a pomocné informácie.

Ryža. 1. Úlohy riešené pomocou geometrického modelu

Rozvoj metód a nástrojov geometrického modelovania predurčil zmenu orientácie grafických podsystémov CAD. V CAD možno rozlíšiť dva typy konštrukcie grafických subsystémov:

1. Orientovaný na kreslenie.

2. Objektovo orientované.

Výkresovo orientované systémy prvej generácie poskytujú potrebné podmienky pre tvorbu projektovej dokumentácie. V takýchto systémoch sa nevytvára objekt (diel, zostava), ale grafický dokument.

Evolúcia grafických podsystémov CAD viedla k tomu, že výkresovo orientované systémy postupne strácajú svoj význam (najmä v oblasti strojárstva) a čoraz rozšírenejšie sú objektovo orientované systémy. Na obr. Obrázok 2 ukazuje vývoj orientácie CAD grafických subsystémov za posledné desaťročia.

Ryža. 2. Jadro grafického podsystému CAD:

a – kresba; b – údaje o čerpaní; c – trojrozmerný geometrický model

V počiatočných fázach vývoja a implementácie CAD bol hlavným dokumentom výmeny medzi rôznymi subsystémami výkres (obr. 2a). Ďalšia generácia grafických subsystémov využívala ako dáta výkresové dáta, prostredníctvom ktorých bola zabezpečená výmena s funkčnými CAD subsystémami (obr. 2b). To nám umožnilo prejsť na technológiu bezpapierového dizajnu. V grafických subsystémoch integrovaných CAD sú jadrom trojrozmerné geometrické modely navrhovaných produktov (obr. 2c). V tomto prípade sa v takýchto podsystémoch automaticky generujú rôzne dvojrozmerné obrazy trojrozmerného modelu.

Pri riešení väčšiny problémov v oblasti počítačom podporovaného projektovania (CA) a technologickej prípravy výroby (TPP) je potrebné mať model konštrukčného objektu.

Pod objektový model rozumieť jeho nejakej abstraktnej reprezentácii, ktorá spĺňa podmienku primeranosti k tomuto objektu a umožňuje jeho zobrazenie a spracovanie pomocou počítača.

To. Model– súbor údajov odrážajúcich vlastnosti objektu a súbor vzťahov medzi týmito údajmi.

V závislosti od charakteru jeho vykonávania môže objektový model PR obsahovať množstvo rôznych charakteristík a parametrov. Objektové modely najčastejšie obsahujú údaje o tvare predmetu, jeho rozmeroch, toleranciách, použitých materiáloch, mechanických, elektrických, termodynamických a iných charakteristikách, spôsoboch spracovania, cene, ale aj mikrogeometrii (drsnosť, odchýlky tvaru, veľkosti).

Pre spracovanie modelu v grafických CAD systémoch nie je podstatné celé množstvo informácií o objekte, ale tá časť, ktorá určuje jeho geometriu, t.j. tvary, veľkosti, priestorové usporiadanie predmetov.

Popis objektu z hľadiska jeho geometrie sa nazýva geometrický model objektu.

Geometrický model však môže obsahovať aj niektoré technologické a pomocné informácie.

Informácie o geometrických charakteristikách objektu slúžia nielen na získanie grafického obrazu, ale aj na výpočet rôznych charakteristík objektu (napríklad pomocou MKP), na prípravu programov pre CNC stroje.

V tradičnom procese navrhovania dochádza k výmene informácií na základe náčrtu a pracovných výkresov pomocou normatívnej, referenčnej a technickej dokumentácie. V CAD sa táto výmena realizuje na základe strojovej reprezentácie objektu.

Pod geometrické modelovanie pochopiť celý viacstupňový proces – od verbálneho (verbálneho) opisu objektu v súlade so zadanou úlohou až po získanie strojovej reprezentácie objektu.

Systémy geometrického modelovania dokážu spracovať 2-rozmerné a 3-rozmerné objekty, ktoré zase môžu byť analyticky opísateľné a neopísateľné. Analyticky neopísateľné geometrické prvky, ako sú krivky a plochy voľného tvaru, sa používajú predovšetkým pri opise objektov v automobiloch, lietadlách a stavbe lodí.

Hlavné typy GM

2D modely, ktoré umožňujú vytvárať a upravovať výkresy, boli prvými použitými modelmi. Takéto modelovanie sa často používa dodnes, pretože je oveľa lacnejší (z hľadiska algoritmov a použitia) a je celkom vhodný pre priemyselné organizácie pri riešení rôznych problémov.

Vo väčšine systémov 2D geometrického modelovania sa popis objektu vykonáva interaktívne v súlade s algoritmami podobnými algoritmom tradičnej metódy navrhovania. Rozšírením takýchto systémov je, že obrysom alebo plochým povrchom je priradená konštantná alebo premenlivá hĺbka obrazu. Systémy fungujúce na tomto princípe sú tzv 2,5-rozmerný. Umožňujú získať axonometrické projekcie objektov na výkresoch.

Ale 2-rozmerná reprezentácia často nie je vhodná pre pomerne zložité produkty. Pri tradičných konštrukčných metódach (bez CAD) sa používajú výkresy, kde môže byť výrobok zastúpený vo viacerých typoch. Ak je produkt veľmi zložitý, môže byť prezentovaný vo forme modelu. 3D model slúži na vytvorenie virtuálnej reprezentácie produktu vo všetkých 3 rozmeroch.

Existujú 3 typy 3D modelov:

· rám (drôt)

povrch (polygonálny)

· objemové (modely pevných telies).

· Historicky prvý, ktorý sa objavil drôtové modely. Ukladajú iba súradnice vrcholov ( x,y,z) a hrany, ktoré ich spájajú.

Obrázok ukazuje, ako môže byť kocka vnímaná nejednoznačne.

Pretože Sú známe iba hrany a vrcholy. Drôtený model je jednoduchý, ale s jeho pomocou je možné v priestore znázorniť len obmedzenú triedu dielov, v ktorých sú aproximačné plochy roviny. Na základe drôtového modelu je možné získať projekcie. Nie je však možné automaticky odstrániť neviditeľné čiary a získať rôzne sekcie.

· Povrchové modely umožňujú opísať pomerne zložité povrchy. Preto často vychádzajú v ústrety potrebám priemyslu (lietadlá, lodiarstvo, automobilový priemysel) pri opise zložitých tvarov a práci s nimi.

Pri konštrukcii modelu povrchu sa predpokladá, že objekty sú ohraničené povrchmi, ktoré ich oddeľujú od prostredia. Povrch objektu sa tiež stáva ohraničený obrysmi, ale tieto obrysy sú výsledkom 2 dotýkajúcich sa alebo pretínajúcich sa povrchov. Vrcholy objektu môžu byť definované priesečníkom plôch, množinou bodov, ktoré spĺňajú nejakú geometrickú vlastnosť, podľa ktorej je určený obrys.

Sú možné rôzne typy definícií plôch (roviny, rotačné plochy, riadkové plochy). Pre zložité povrchy sa používajú rôzne matematické modely aproximácie povrchu (metódy Koons, Bezier, Hermite, B-spline). Umožňujú zmeniť charakter povrchu pomocou parametrov, ktorých význam je prístupný používateľovi, ktorý nemá špeciálne matematické vzdelanie.

Aproximácia všeobecných plôch plochými plochami dáva výhoda: Na spracovanie takýchto povrchov sa používajú jednoduché matematické metódy. Chyba: zachovanie tvaru a veľkosti objektu závisí od počtu plôch použitých na aproximácie. > počet tvárí,< отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Ak je pre model objektu podstatné rozlišovať body na vnútorné a vonkajšie, potom hovoríme o objemové modely. Na získanie takýchto modelov sa najprv určia povrchy obklopujúce objekt a potom sa zostavia do zväzkov.

V súčasnosti sú známe nasledujúce metódy na vytváranie trojrozmerných modelov:

· IN hraničné modely objem je definovaný ako súbor plôch, ktoré ho obmedzujú.

Štruktúra sa môže skomplikovať zavedením akcií posúvania, otáčania a zmeny mierky.

Výhody:

¾ záruka vygenerovania správneho modelu,

¾ veľké možnosti modelovania tvarov,

¾ rýchly a efektívny prístup ku geometrickým informáciám (napríklad na kreslenie).

Nedostatky:

¾ väčší objem počiatočných údajov ako pri metóde CSG,

¾ logicky modelovať< устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ zložitosť konštrukcie variácií foriem.

· IN CSG modely objekt je definovaný kombináciou elementárnych objemov pomocou geometrických operácií (zjednotenie, priesečník, rozdiel).

Elementárny objem je chápaný ako súbor bodov v priestore.

Modelom pre takúto geometrickú štruktúru je stromová štruktúra. Uzly (nekoncové vrcholy) sú operácie a listy sú elementárne objemy.

Výhody :

¾ koncepčná jednoduchosť,

¾ malé množstvo pamäte,

¾ konzistencia dizajnu,

¾ možnosť skomplikovania modelu,

¾ jednoduchosť prezentácie častí a sekcií.

nedostatky:

¾ obmedzenie na boolovské operácie,

¾ výpočtovo náročné algoritmy,

¾ nemožnosť použiť parametricky popísané povrchy,

¾ zložitosť pri práci s funkciami > ako 2. rádu.

· Bunková metóda. Obmedzená oblasť priestoru, ktorá pokrýva celý modelovaný objekt, sa považuje za rozdelená na veľké množstvo samostatných kubických buniek (zvyčajne jednotkovej veľkosti).

Modelovací systém by mal jednoducho zaznamenávať informácie o vlastníctve každej kocky ako objektu.

Štruktúra údajov je reprezentovaná 3-rozmernou maticou, v ktorej každý prvok zodpovedá priestorovej bunke.

Výhody:

¾ jednoduchosť.

nedostatky:

¾ veľké množstvo pamäte.

Na prekonanie tohto nedostatku sa používa princíp delenia buniek na podbunky v obzvlášť zložitých častiach objektu a na hranici.

Trojrozmerný model objektu získaný akoukoľvek metódou je správny, t.j. v tomto modeli nie sú žiadne rozpory medzi geometrickými prvkami, napríklad segment nemôže pozostávať z jedného bodu.

Wireframe reprezentácia m.b. používa sa nie pri modelovaní, ale pri odrážaní modelov (objemových alebo povrchových) ako jedna z metód vizualizácie.