Derivată a unui număr negativ. Erori tipice la calcularea derivatei. Derivată a sumei și diferenței

Este dată formula pentru derivata sumei și diferenței funcțiilor. Se face o dovadă și se analizează în detaliu exemple de aplicare a acestei formule.

Formula pentru derivata sumei (diferenței) funcțiilor

Fie și să fie funcții ale variabilei independente x. Să fie diferențiabile într-un interval de valori ale variabilei x. Apoi, în acest domeniu, derivata sumei (diferenței) acestor funcții este egală cu suma (diferenței) derivatelor acestor funcții:
(1) .

Dovada

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile la , există următoarele limite, care sunt derivate ale acestor funcții:
;
.

Se consideră funcția y a variabilei x, care este suma funcțiilor și:
.
Să aplicăm definiția derivatei.


.

Astfel, am demonstrat că derivata sumei funcțiilor este egală cu suma derivatelor:
.

În același mod, puteți arăta că derivata diferenței de funcții este egală cu diferența de derivate:
.
Acest lucru poate fi arătat într-un alt mod, folosind regula tocmai dovedită pentru diferențierea sumei și:
.

Aceste două reguli pot fi scrise ca o singură ecuație:
(1) .

Consecinţă

Mai sus ne-am uitat la regula pentru găsirea derivatei sumei a două funcții. Această regulă poate fi generalizată la suma și diferența oricărui număr de funcții diferențiabile.

Derivata sumei (diferenței) oricărui număr finit de funcții diferențiabile este egală cu suma (diferenței) derivatelor lor. Ținând cont de regula plasării unei constante în afara semnului derivatei, această regulă poate fi scrisă după cum urmează:
.
Sau în formă extinsă:
(2) .
Aici - constante;
- funcţii diferenţiabile ale variabilei x.

Dovada anchetei

Când n = 2 , aplicăm regula (1) și regula plasării constantei în afara semnului derivatei. Avem:
.
Când n = 3 aplicați formula (1) pentru funcții și:
.

Pentru un număr arbitrar n, aplicăm metoda inducției. Fie satisfăcută ecuația (2) pentru . Atunci pentru că avem:

.
Adică, din ipoteza că ecuația (2) este valabilă pentru , rezultă că ecuația (2) este valabilă pentru . Și întrucât ecuația (2) este adevărată pentru , este adevărată pentru toți .
Ancheta a fost dovedită.

Exemple

Exemplul 1

Găsiți derivata
.

Deschiderea parantezelor. Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
.
De asemenea, folosim proprietățile funcțiilor de putere.
;

;
.

Aplicam formula (2) pentru derivata sumei si diferentei functiilor.
.

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Apoi
;
;
.

În sfârșit avem:
.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții față de variabila x
.

Să reducem rădăcinile la funcții de putere.
.
Aplicăm regula diferențierii sumei și diferenței.
.
Aplicam formulele din tabelul derivatelor.
;
;
;
;
;
.
Să înlocuim:
.
Aducem fracțiile la un numitor comun.
.
Aici am ținut cont de faptul că funcția dată este definită la .
.

În această lecție vom învăța să aplicăm formule și reguli de diferențiere.

Exemple. Găsiți derivate ale funcțiilor.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicarea regulii eu, formule 4, 2 și 1. Primim:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rezolvăm în mod similar, folosind aceleași formule și formulă 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Aplicarea regulii eu, formule 3, 5 Și 6 Și 1.

Aplicarea regulii IV, formule 5 Și 1 .

În al cincilea exemplu, conform regulii eu derivata sumei este egală cu suma derivatelor și tocmai am găsit derivata primului termen (exemplu 4 ), prin urmare, vom găsi derivate al 2-leaȘi al 3-lea termeni, și pentru 1 sumand putem scrie imediat rezultatul.

Sa facem diferenta al 2-leaȘi al 3-lea termeni conform formulei 4 . Pentru a face acest lucru, transformăm rădăcinile puterii a treia și a patra din numitori în puteri cu exponenți negativi și apoi, conform 4 formula, găsim derivate ale puterilor.

Priviți acest exemplu și rezultatul. Ai prins modelul? Amenda. Aceasta înseamnă că avem o formulă nouă și o putem adăuga la tabelul nostru de derivate.

Să rezolvăm al șaselea exemplu și să obținem o altă formulă.

Să folosim regula IV si formula 4 . Să reducem fracțiile rezultate.

Să ne uităm la această funcție și la derivata ei. Desigur, înțelegeți modelul și sunteți gata să denumiți formula:

Învăț noi formule!

Exemple.

1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x 2, dacă valoarea inițială a argumentului a fost egală cu 4 , și nou - 4,01 .

Soluţie.

Noua valoare a argumentului x=x 0 +Δx. Să înlocuim datele: 4.01=4+Δх, de unde și incrementul argumentului Δх=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, Acea Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Răspuns: increment de argument Δх=0,01; creșterea funcției Δу=0,0801.

Incrementul funcției poate fi găsit diferit: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, Dacă f „(x 0) = 1.

Soluţie.

Valoarea derivatei în punctul de tangență x 0și este valoarea tangentei unghiului tangentei (sensul geometric al derivatei). Avem: f „(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, deoarece tg45°=1.

Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox egala cu 45°.

3. Deduceți formula derivatei funcției y=xn.

Diferenţiere este acțiunea de a găsi derivata unei funcții.

Când găsiți derivate, utilizați formule care au fost derivate pe baza definiției unei derivate, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.

Acestea sunt formulele.

Tabelul derivatelor Va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:

1. Derivata unei marimi constante este zero.

2. Primul x este egal cu unu.

3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.

4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu un grad cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.

5. Derivata unei rădăcini este egală cu una împărțită la două rădăcini egale.

6. Derivata lui unu împărțit la x este egală cu minus unu împărțit la x pătrat.

7. Derivata sinusului este egala cu cosinusul.

8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.

9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.

10. Derivata cotangentei este egală cu minus unu împărțit la pătratul sinusului.

Noi predam reguli de diferențiere.

1. Derivata unei sume algebrice este egală cu suma algebrică a derivatelor termenilor.

2. Derivata unui produs este egala cu produsul derivatei primului factor si al doilea plus produsul primului factor si derivata celui de-al doilea.

3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție în care numărătorul este „y prim înmulțit cu „ve” minus „y înmulțit cu veți prim”, iar numitorul este „ve pătrat”.

4. Un caz special al formulei 3.

Să învățăm împreună!

Pagina 1 din 1 1

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata logaritmului natural și a logaritmului la baza a. Exemple de calculare a derivatelor lui ln 2x, ln 3x și ln nx. Demonstrarea formulei pentru derivata logaritmului de ordinul al n-lea folosind metoda inducției matematice.

Vezi si: Logaritm - proprietăți, formule, grafic
Logaritm natural - proprietăți, formule, grafic

Derivarea formulelor pentru derivatele logaritmului natural și logaritmului la baza a

Derivata logaritmului natural al lui x este egala cu una impartita la x:
(1) (ln x)′ =.

Derivata logaritmului la baza a este egala cu unu impartita la variabila x inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) (log a x)′ =.

Dovada

Să existe un număr pozitiv care nu este egal cu unul. Luați în considerare o funcție care depinde de o variabilă x, care este un logaritm față de bază:
.
Această funcție este definită la . Să găsim derivata ei în raport cu variabila x. Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem următoarele fapte:
A) Proprietățile logaritmului. Vom avea nevoie de următoarele formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(7) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
ÎN) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(8) .

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietățile (4) și (5).

.

Să folosim proprietatea (7) și a doua limită remarcabilă (8):
.

Și, în sfârșit, aplicăm proprietatea (6):
.
Logaritm la bază e numit logaritmul natural. Este desemnată astfel:
.
Apoi ;
.

Astfel, am obținut formula (2) pentru derivata logaritmului.

Derivată a logaritmului natural

Încă o dată scriem formula pentru derivata logaritmului la baza a:
.
Această formulă are cea mai simplă formă pentru logaritmul natural, pentru care , . Apoi
(1) .

Datorită acestei simplități, logaritmul natural este utilizat pe scară largă în analiza matematică și în alte ramuri ale matematicii legate de calculul diferențial. Funcțiile logaritmice cu alte baze pot fi exprimate în termeni de logaritm natural folosind proprietatea (6):
.

Derivata logaritmului față de bază poate fi găsită din formula (1), dacă scoateți constanta din semnul de diferențiere:
.

Alte moduri de a demonstra derivata unui logaritm

Aici presupunem că știm formula pentru derivata exponențialului:
(9) .
Apoi putem deriva formula pentru derivata logaritmului natural, dat fiind că logaritmul este funcția inversă a exponențialului.

Să demonstrăm formula pentru derivata logaritmului natural, aplicând formula pentru derivata funcţiei inverse:
.
În cazul nostru . Funcția inversă față de logaritmul natural este exponențial:
.
Derivatul său este determinat de formula (9). Variabilele pot fi desemnate prin orice literă. În formula (9), înlocuiți variabila x cu y:
.
De atunci
.
Apoi
.
Formula este dovedită.

Acum demonstram formula pentru derivata logaritmului natural folosind reguli de diferențiere a funcțiilor complexe. Deoarece funcțiile și sunt inverse între ele, atunci
.
Să diferențiem această ecuație față de variabila x:
(10) .
Derivata lui x este egala cu unu:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:
.
Aici . Să înlocuim în (10):
.
De aici
.

Exemplu

Găsiți derivate ale ln 2x, ln 3xȘi lnnx.

Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției y = log nx. Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ln 2xȘi ln 3x .

Deci, căutăm derivata funcției
y = log nx .
Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
1) Funcții în funcție de o variabilă: ;
2) Funcţii în funcţie de o variabilă: .
Atunci funcția originală este compusă din funcțiile și:
.

Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
.
Aici o punem la punct.

Deci am gasit:
(11) .
Vedem că derivata nu depinde de n. Acest rezultat este destul de natural dacă transformăm funcția originală folosind formula pentru logaritmul produsului:
.
- aceasta este o constantă. Derivata sa este zero. Apoi, conform regulii de diferențiere a sumei, avem:
.

; ; .

Derivată a logaritmului modulului x

Să găsim derivata unei alte funcții foarte importante - logaritmul natural al modulului x:
(12) .

Să luăm în considerare cazul. Apoi funcția arată astfel:
.
Derivatul său este determinat de formula (1):
.

Acum să luăm în considerare cazul. Apoi funcția arată astfel:
,
Unde .
Dar am găsit și derivata acestei funcții în exemplul de mai sus. Nu depinde de n și este egal cu
.
Apoi
.

Combinăm aceste două cazuri într-o singură formulă:
.

În consecință, pentru ca logaritmul să bazeze a, avem:
.

Derivate de ordine superioare ale logaritmului natural

Luați în considerare funcția
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(13) .

Să găsim derivata de ordinul doi:
.
Să găsim derivata de ordinul trei:
.
Să găsim derivata de ordinul al patrulea:
.

Puteți observa că derivata de ordinul n-a are forma:
(14) .
Să demonstrăm acest lucru prin inducție matematică.

Dovada

Să înlocuim valoarea n = 1 în formula (14):
.
Din moment ce , atunci când n = 1 , formula (14) este valabilă.

Să presupunem că formula (14) este satisfăcută pentru n = k. Să demonstrăm că aceasta implică că formula este valabilă pentru n = k + 1 .

Într-adevăr, pentru n = k avem:
.
Diferențierea față de variabila x:

.
Deci avem:
.
Această formulă coincide cu formula (14) pentru n = k + 1 . Astfel, din ipoteza că formula (14) este valabilă pentru n = k, rezultă că formula (14) este valabilă pentru n = k + 1 .

Prin urmare, formula (14), pentru derivata de ordinul n, este valabilă pentru orice n.

Derivate de ordine superioare ale logaritmului la baza a

Pentru a găsi derivata de ordinul al n-lea a unui logaritm la baza a, trebuie să o exprimați în termeni de logaritm natural:
.
Aplicând formula (14), găsim derivata a n-a:
.

Derivat

Calcularea derivatei unei funcții matematice (diferențiere) este o problemă foarte frecventă la rezolvarea matematicii superioare. Pentru funcțiile matematice simple (elementare), aceasta este o chestiune destul de simplă, deoarece tabelele de derivate pentru funcțiile elementare au fost compilate de mult timp și sunt ușor accesibile. Cu toate acestea, găsirea derivatei unei funcții matematice complexe nu este o sarcină banală și necesită adesea efort și timp semnificativ.

Găsiți derivate online

Serviciul nostru online vă permite să scăpați de calculele lungi și inutile găsiți derivate onlineîntr-o clipă. Mai mult, folosind serviciul nostru situat pe site www.site, puteți calcula derivat online atât dintr-o funcţie elementară cât şi dintr-una foarte complexă care nu are o soluţie analitică. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu altele sunt: ​​1) nu există cerințe stricte pentru metoda de introducere a unei funcții matematice pentru calcularea derivatei (de exemplu, atunci când introduceți funcția sinus x, o puteți introduce ca sin x sau sin (x) sau sin[x] etc. d.); 2) calculul derivat online are loc instantaneu în pe net si absolut gratuit; 3) vă permitem să găsiți derivata unei funcții orice ordine, schimbarea ordinii derivatei este foarte ușoară și de înțeles; 4) vă permitem să găsiți online derivata aproape a oricărei funcții matematice, chiar și a celor foarte complexe care nu pot fi rezolvate de alte servicii. Răspunsul oferit este întotdeauna corect și nu poate conține erori.

Utilizarea serverului nostru vă va permite 1) să calculați derivatul online pentru dvs., eliminând calculele obositoare și consumatoare de timp în timpul cărora ați putea face o eroare sau o greșeală de tipar; 2) dacă calculați singur derivata unei funcții matematice, atunci vă oferim posibilitatea de a compara rezultatul obținut cu calculele serviciului nostru și de a vă asigura că soluția este corectă sau de a găsi o eroare care s-a strecurat; 3) folosiți serviciul nostru în loc să folosiți tabele de derivate ale funcțiilor simple, unde adesea este nevoie de timp pentru a găsi funcția dorită.

Tot ceea ce ți se cere este să găsiți derivate online- este să folosim serviciul nostru pe

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși în raport cu variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.