Proiecția unui punct pe un plan, coordonatele proiecției unui punct pe un plan. Proiectarea unui punct Proiectarea unui punct este întotdeauna

Proiectarea unui punct pe trei plane de proiecții unghiulare de coordonate începe cu obținerea imaginii acestuia pe planul H - planul de proiecție orizontal. Pentru a face acest lucru, un fascicul de proiecție este trecut prin punctul A (Fig. 4.12, a) perpendicular pe planul H.

În figură, perpendiculara pe planul H este paralelă cu axa Oz. Punctul de intersecție al grinzii cu planul H (punctul a) este ales arbitrar. Segmentul Aa determină la ce distanță se află punctul A față de planul H, indicând astfel în mod clar poziția punctului A din figură în raport cu planurile de proiecție. Punctul a este o proiecție dreptunghiulară a punctului A pe planul H și se numește proiecția orizontală a punctului A (fig. 4.12, a).

Pentru a obține o imagine a punctului A pe planul V (Fig. 4.12,b), un fascicul de proiecție este trecut prin punctul A perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor V. În figură, perpendiculara pe planul V este paralelă cu axa Oy . Pe planul H, distanța de la punctul A la planul V va fi reprezentată de segmentul aa x, paralel cu axa Oy și perpendicular pe axa Ox. Dacă ne imaginăm că raza proiectată și imaginea ei sunt efectuate simultan în direcția planului V, atunci când imaginea razei intersectează axa Ox în punctul a x, raza va intersecta planul V în punctul a." Desen din punctul ax din planul V o perpendiculară pe axa Ox, care este imaginea razei proiectante Aa pe planul V, la intersecția cu raza proiectantă, se obține punctul a." Punctul a" este proiecția frontală a punctului A, adică imaginea acestuia pe planul V.

Imaginea punctului A pe planul de proiecție a profilului (Fig. 4.12, c) este construită folosind un fascicul proiectat perpendicular pe planul W În figură, perpendiculara pe planul W este paralelă cu axa Ox. Raza proiectată din punctul A în planul W pe planul H va fi reprezentată printr-un segment aa y, paralel cu axa Ox și perpendicular pe axa Oy. Din punctul Oy, paralel cu axa Oz și perpendicular pe axa Oy, se construiește o imagine a razei proiectante aA și la intersecția cu raza proiectantă se obține punctul a." Punctul a" este o proiecție de profil a punctului A , adică o imagine a punctului A pe planul W.

Punctul a" poate fi construit desenând un segment a"a z din punctul a" (imaginea razei proiectate Aa" pe planul V) paralel cu axa Ox, iar din punctul a z - un segment a"a z paralel cu Oy axa până când se intersectează cu raza proeminentă.

După ce au primit trei proiecții ale punctului A pe planurile de proiecție, unghiul de coordonate este extins într-un singur plan, așa cum se arată în Fig. 4.11,b, împreună cu proiecțiile punctului A și razele proeminente, și punctul A și razele proeminente Aa, Aa" și Aa" sunt îndepărtate. Muchiile planurilor de proiecție combinate nu sunt desenate, ci sunt desenate doar axele de proiecție Oz, Oy și Ox, Oy 1 (Fig. 4.13).

Analiza desenului ortogonal al punctului arată că trei distanțe - Aa", Aa și Aa" (Fig. 4.12, c), care caracterizează poziția punctului A în spațiu, pot fi determinate prin aruncarea obiectului de proiecție în sine - punctul A, pe un unghi de coordonate transformat într-un singur plan (Fig. 4.13). Segmentele a"a z, aa y și Oa x sunt egale cu Aa" ca laturi opuse ale dreptunghiurilor corespunzătoare (Fig. 4.12c și 4.13). Ele determină distanța la care punctul A este situat față de planul de proiecție a profilului. Segmentele a"a x, a"a y1 și Oa y sunt egale cu segmentul Aa, definind distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție, segmentele aa x, a"a z și Oa y 1 sunt egale cu segmentul Aa ", definind distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor.

Segmentele Oa x, Oa y și Oa z, situate pe axele de proiecție, sunt o expresie grafică a dimensiunilor coordonatelor X, Y și Z ale punctului A. Coordonatele punctului sunt indicate cu indexul literei corespunzătoare. . Măsurând dimensiunea acestor segmente, puteți determina poziția punctului în spațiu, adică setați coordonatele punctului.

Pe diagramă, segmentele a"a x și aa x sunt situate ca o singură dreaptă perpendiculară pe axa Ox, iar segmentele a"a z și a"a z - pe axa Oz. Aceste linii se numesc linii de legătură de proiecție. Ele intersectează axele de proiecție în punctele ax și respectiv a z Linia de legătură a proiecției care leagă proiecția orizontală a punctului A cu cea a profilului s-a dovedit a fi „tăiată” în punctul a y.

Două proiecții ale aceluiași punct sunt întotdeauna situate pe aceeași linie de conexiune de proiecție, perpendiculară pe axa proiecțiilor.

Pentru a reprezenta poziția unui punct în spațiu, sunt suficiente două dintre proiecțiile sale și o origine dată (punctul O). 4.14, b două proiecții ale unui punct determină complet poziția acestuia în spațiu Folosind aceste două proiecții, este posibil să se construiască o proiecție de profil a punctului A. Prin urmare, în viitor, dacă nu este nevoie de o proiecție de profil, diagramele vor fi. să fie construit pe două planuri de proiecție: V și H.

Orez. 4.14. Orez. 4.15.

Să ne uităm la câteva exemple de construire și citire a unui desen al unui punct.

Exemplul 1. Determinarea coordonatelor punctului J specificate pe diagramă în două proiecții (Fig. 4.14). Se măsoară trei segmente: segmentul OB X (coordonată X), segmentul b X b (coordonată Y) și segmentul b X b" (coordonată Z). Coordonatele se scriu în următoarea ordine: X, Y și Z, după litera desemnarea punctului, de exemplu, B20 15;

Exemplul 2. Construirea unui punct la coordonate date. Punctul C este dat de coordonatele C30; 10; 40. Pe axa Ox (Fig. 4.15) găsiți punctul c x în care linia de legătură a proiecției intersectează axa de proiecție. Pentru a face acest lucru, coordonata X (dimensiunea 30) este trasată de-a lungul axei Ox de la origine (punctul O) și se obține un punct cu x. Prin acest punct este trasată o linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa Ox și coordonata Y (dimensiunea 10) este stabilită din punct, se obține un punct c - o proiecție orizontală a punctului C. Coordonata Z (dimensiunea 40) este așezat din punctul c x de-a lungul liniei de conectare a proiecției, punctul se obține c" - proiecția frontală a punctului C.

Exemplul 3. Construirea unei proiecții de profil a unui punct folosind proiecții date. Sunt date proiecțiile punctului D - d și d". Prin punctul O se desenează axele de proiecție Oz, Oy și Оу 1 (Fig. 4.16, a). Pentru a construi o proiecție de profil a punctului D punctul d", o proiecție linia de conectare este trasată perpendicular pe axa Oz și o continuă spre dreapta în spatele axei Oz. Proiecția de profil a punctului D va fi situată pe această linie Va fi situată la aceeași distanță de axa Oz ca și proiecția orizontală a punctului d: față de axa Ox, adică la o distanță dd x. Segmentele d z d" și dd x sunt aceleași, deoarece definesc aceeași distanță - distanța de la punctul D la planul frontal al proiecțiilor. Această distanță este coordonata Y a punctului D.

Grafic, segmentul d z d" se construiește prin transferul segmentului dd x din planul orizontal de proiecție pe cel de profil. Pentru a face acest lucru, trasați o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Ox, obțineți un punct d y pe axa Oy ( Fig. 4.16, b Apoi transferați dimensiunea segmentului Od y pe axa Oy 1, prin trasarea unui arc din punctul O cu raza egală cu segmentul Od y până la intersecția cu axa Oy 1 (Fig. 4.16). , b), se obține punctul dy 1. Acest punct poate fi construit, așa cum se arată în Fig. 4.16, c, prin trasarea unei linii drepte la un unghi de 45° față de axa Oy din punctul d y1, se trasează o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Oz și se așează pe ea un segment egal cu segmentul d"d x, se obține punctul d".

Transferarea valorii segmentului d x d în planul de profil al proiecțiilor se poate face folosind linia dreaptă constantă a desenului (Fig. 4.16, d). În acest caz, linia de conectare a proiecției dd y este trasată prin proiecția orizontală a punctului paralel cu axa Oy 1 până când se intersectează cu o dreaptă constantă și apoi paralelă cu axa Oy până când se intersectează cu continuarea proiecției. linia de legătură d"d z.

Cazuri speciale de localizare a punctelor în raport cu planurile de proiecție

Poziția unui punct în raport cu planul de proiecție este determinată de coordonatele corespunzătoare, adică dimensiunea segmentului liniei de conectare a proiecției de la axa Ox la proiecția corespunzătoare. În fig. 4.17 coordonata Y a punctului A este determinată de segmentul aa x - distanța de la punctul A la planul V. Coordonata Z a punctului A este determinată de segmentul a "a x - distanța de la punctul A la planul H. Dacă unul a coordonatelor este zero, atunci punctul este situat pe planul de proiecție. Figura 4.17 prezintă exemple de locații diferite ale punctelor în raport cu planurile de proiecție. Coordonata Z a punctului B este egală cu zero, punctul este situat în planul H. Proiecția sa frontală este pe axa Ox și coincide cu punctul b x Coordonata Y a punctului C este egală cu zero, punctul este situat pe planul V, proiecția sa orizontală c este pe axa Ox și coincide cu punctul c X.

Prin urmare, dacă un punct se află pe planul de proiecție, atunci una dintre proiecțiile acestui punct se află pe axa de proiecție.

În fig. 4.17, coordonatele Z și Y ale punctului D sunt egale cu zero, prin urmare, punctul D se află pe axa de proiecție Ox și cele două proiecții ale sale coincid.

Proiecția unui punct pe un plan este un caz special al problemei generale de găsire a proiecției unui punct pe o suprafață. Datorită simplității calculării proiecției unui punct pe o tangentă la o suprafață, planul este utilizat ca aproximare zero la rezolvarea problemei generale.

Luați în considerare problema proiectării unui punct pe un plan definit de un vector cu rază

Vom presupune că vectorii nu sunt coliniari. Să presupunem că în cazul general vectorii nu sunt ortogonali și nu au lungimea unitară. Planul trece prin punctul în care parametrii sunt egali cu zero, iar vectorii determină direcțiile parametrice. Un punct dat are o proiecție unică pe plan (4.6.1). Să construim o unitate normală cu planul

Orez. 4.6.1. Proiectia unui punct pe planul s(u, v)

Să calculăm vectorul rază al proiecției unui punct pe plan ca diferență între vectorul rază al punctului proiectat și componenta vectorului paralel cu normala planului,

(4.6.4)

În fig. 4.6.1 prezintă vectorii planului, punctul său de plecare și proiecția unui punct dat.

Parametrii și lungimile de proiecție sunt relaționați prin ecuații

unde cosinusul unghiului dintre vectori este determinat prin formula (1.7.13).

Din sistemul acestor ecuații găsim parametrii proiecției unui punct pe un plan

(4.6.6)

unde sunt coeficienții primei forme pătratice de bază a planului (1.7.8), ei sunt, de asemenea, componentele covariante ale tensorului metric al suprafeței și sunt componentele contravariante ale tensorului metric al suprafeței. Dacă vectorii sunt ortogonali, atunci formulele (4.6.6) și (4.6.7) iau forma

Distanța de la un punct la proiecția acestuia pe un plan este în general calculată ca lungime a vectorului. Distanța de la un punct până la proiecția acestuia în plan poate fi determinată fără a calcula proiecția punctului, ci prin calculul proiecției vectorului pe normala la plan.

(4.6.8)

Cazuri speciale.

Proiecțiile unui punct pe unele suprafețe analitice pot fi găsite fără a folosi metode numerice. De exemplu, pentru a găsi proiecțiile unui punct pe suprafața unui cilindru circular, con, sferă sau tor, trebuie să traduceți punctul proiectat în sistemul de coordonate local al suprafeței, unde este ușor să găsiți parametrii de proiecție. În mod similar, pot fi găsite proiecții pe suprafețele de extrudare și rotație. În unele cazuri speciale, poziția punctului proiectat al proiecției acestuia poate fi găsită cu ușurință pe alte suprafețe.

Caz general.

Să luăm în considerare problema proiectării unui punct pe o suprafață în cazul general. Să presupunem că trebuie să găsim toate proiecțiile unui punct pe o suprafață. Fiecare punct de suprafață necesar satisface un sistem de două ecuații

Sistemul de ecuații (4.6.9) conține două mărimi necunoscute - parametrii u și v. Această problemă este rezolvată în același mod ca și problema găsirii proiecțiilor unui punct dat pe o curbă.

În prima etapă, vom determina aproximații zero ale parametrilor de suprafață pentru proiecțiile unui punct, iar în a doua etapă vom găsi valorile exacte ale parametrilor care determină proiecțiile unui punct dat pe suprafață.

Să mergem de-a lungul suprafeței cu pași calculați folosind formulele (4.2.4) și (4.2.5), metoda de deplasare prin regiunea parametrică descrisă mai sus. Să notăm parametrii punctelor prin care vom trece pe lângă . În fiecare punct vom calcula produsele scalare ale vectorilor

(4.6.10)

Dacă soluția dorită se află în apropierea unui punct cu parametri , atunci aceștia vor avea semne diferite și vor avea, de asemenea, semne diferite. Schimbarea semnelor produselor scalare indică faptul că soluția dorită este în apropiere. Să luăm valorile ca aproximarea zero a parametrilor Pornind de la aproximarea zero a parametrilor, vom găsi o soluție a problemei cu o precizie dată folosind una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor neliniare. De exemplu, în metoda lui Newton la iterație, incrementele parametrilor de proiecție se găsesc din sistemul de ecuații liniare

unde sunt derivatele parțiale ale vectorului rază în raport cu parametrii. Următoarea aproximare a parametrilor proiecției punctuale sunt egale cu . Vom finaliza procesul de rafinare a parametrilor când, la următoarea iterație, inegalitățile sunt satisfăcute, unde este eroarea specificată. În același mod găsim toate celelalte rădăcini ale sistemului de ecuații (4.6.9).

Dacă trebuie doar să găsiți cea mai apropiată proiecție a unui punct dat pe suprafață, atunci puteți trece prin aceleași puncte ale obiectului geometric și îl puteți selecta pe cel mai apropiat de punctul dat. Parametrii punctului cel mai apropiat și ar trebui să fie aleși ca aproximarea zero a soluției problemei.

Proiecția unui punct pe o suprafață într-o direcție dată.

În anumite cazuri, se pune problema determinării proiecției unui punct pe o suprafață nu de-a lungul normalului acestuia, ci de-a lungul unei direcții date. Fie direcția de proiecție specificată de un vector cu lungimea unitară q. Să construim o linie dreaptă

(4.6.12)

trecând printr-un punct dat şi având direcţia unui vector dat. Definim proiecțiile unui punct pe o suprafață într-o direcție dată ca punctele de intersecție ale suprafeței cu o dreaptă (4.6.12) care trece printr-un punct dat într-o direcție dată.

Pr a b = |b|cos(a,b) sau

Unde a b este produsul scalar al vectorilor, |a| - modulul vectorului a.

Instrucțiuni. Pentru a găsi proiecția vectorului Pr a b online, trebuie să specificați coordonatele vectorilor a și b. În acest caz, vectorul poate fi specificat în plan (două coordonate) și în spațiu (trei coordonate). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. Dacă vectorii sunt specificați prin coordonatele punctelor, atunci trebuie să utilizați acest calculator.

Clasificarea proiecțiilor vectoriale

Tipuri de proiectii prin definitie proiectie vectoriala

1. Proiecția geometrică a vectorului AB pe axă (vector) se numește vector A"B", începutul căruia A' este proiecția începutului A pe axă (vector), iar capătul B' este proiecția capătului B pe aceeași axă.
2. Proiecția algebrică a vectorului AB pe axă (vector) se numește lungimea vectorului A"B", luată cu semnul + sau -, în funcție de faptul că vectorul A"B" are aceeași direcție ca axa ( vector).

Tipuri de proiecții în funcție de sistemul de coordonate

Proprietăți de proiecție vectorială

1. Proiecția geometrică a unui vector este un vector (are o direcție).
2. Proiecția algebrică a unui vector este un număr.

Teoreme de proiecție vectorială

AC" =AB" +B"C"

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Tipuri de proiectii vectoriale

1. proiecție pe axa OX.
2. proiecție pe axa OY.
3. proiecție pe un vector.

Proiecție pe axa OX	Proiecție pe axa OY	Proiecție la vector
Dacă direcția vectorului A’B’ coincide cu direcția axei OX, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A’B’ coincide cu direcția axei OY, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A’B’ coincide cu direcția vectorului NM, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn pozitiv.
Dacă direcția vectorului este opusă direcției axei OX, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A’B’ este opusă direcției axei OY, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A’B’ este opusă direcției vectorului NM, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.
Dacă vectorul AB este paralel cu axa OX, atunci proiecția vectorului A’B’ este egală cu valoarea absolută a vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu axa OY, atunci proiecția vectorului A’B’ este egală cu valoarea absolută a vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu vectorul NM, atunci proiecția vectorului A’B’ este egală cu valoarea absolută a vectorului AB.
Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OX, atunci proiecția A’B’ este egală cu zero (vector nul).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OY, atunci proiecția A’B’ este egală cu zero (vector nul).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe vectorul NM, atunci proiecția A’B’ este egală cu zero (vector nul).

1. Întrebare: Proiectia unui vector poate avea semn negativ? Răspuns: Da, vectorul de proiecție poate fi o valoare negativă. În acest caz, vectorul are direcția opusă (vezi cum sunt direcționate axa OX și vectorul AB)
2. Întrebare: Poate să coincidă proiecția unui vector cu valoarea absolută a vectorului? Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorii sunt paraleli (sau se află pe aceeași linie).
3. Întrebare: Poate fi proiecția unui vector egală cu zero (vector nul). Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorul este perpendicular pe axa corespunzătoare (vector).

Exemplul 1. Vectorul (Fig. 1) formează un unghi de 60° cu axa OX (este specificat de vectorul a). Dacă OE este o unitate de scară, atunci |b|=4, deci .

Într-adevăr, lungimea vectorului (proiecția geometrică b) este egală cu 2, iar direcția coincide cu direcția axei OX.

Exemplul 2. Vectorul (Fig. 2) formează un unghi (a,b) = 120 o cu axa OX (cu vectorul a). Lungimea |b| vectorul b este egal cu 4, deci pr a b=4·cos120 o = -2.

Într-adevăr, lungimea vectorului este 2, iar direcția este opusă direcției axei.

PROIECTAREA UNUI PUNCT PE DOUA PLANURI DE PROIECTIE

Formarea unui segment de linie dreaptă AA 1 poate fi reprezentată ca rezultat al mișcării punctului A în orice plan H (Fig. 84, a), iar formarea unui plan ca o mișcare a unui segment de dreaptă AB (Fig. 84, b).

Un punct este elementul geometric principal al unei linii și al unei suprafețe, prin urmare studiul proiecției dreptunghiulare a unui obiect începe cu construirea proiecțiilor dreptunghiulare ale unui punct.

În spațiul unghiului diedric format din două plane perpendiculare - planul frontal (vertical) al proiecțiilor V și planul orizontal al proiecțiilor H, plasăm punctul A (Fig. 85, a).

Linia de intersecție a planurilor de proiecție este o linie dreaptă, care se numește axa de proiecție și este desemnată cu litera x.

Planul V este reprezentat aici ca un dreptunghi, iar planul H ca un paralelogram. Partea înclinată a acestui paralelogram este de obicei desenată la un unghi de 45° față de latura sa orizontală. Lungimea laturii înclinate este considerată egală cu 0,5 din lungimea sa reală.

Din punctul A, perpendicularele sunt coborâte pe planele V și H. Punctele a" și a ale intersecției perpendicularelor cu planele de proiecție V și H sunt proiecții dreptunghiulare ale punctului A. Figura Aaa x a" din spațiu este un dreptunghi. Axa laterală a acestui dreptunghi din imaginea vizuală este redusă de 2 ori.

Să aliniem planurile H cu planul V rotind V în jurul liniei de intersecție a planurilor x. Rezultatul este un desen cuprinzător al punctului A (Fig. 85, b)

Pentru a simplifica desenul complex, limitele planurilor de proiecție V și H nu sunt indicate (Fig. 85, c).

Perpendicularele desenate din punctul A pe planurile de proiecție se numesc drepte de proiecție, iar bazele acestor drepte de proiecție - punctele a și a" - se numesc proiecții ale punctului A: a" este proiecția frontală a punctului A, a este proiecția orizontală de la punctul A.

Linia a" a se numește linia verticală de conexiune de proiecție.

Locația proiecției unui punct într-un desen complex depinde de poziția acestui punct în spațiu.

Dacă punctul A se află pe planul orizontal al proiecțiilor H (Fig. 86, a), atunci proiecția sa orizontală a coincide cu punctul dat, iar proiecția frontală a" este situată pe axă. Când punctul B este situat pe frontal planul proiecțiilor V, proiecția sa frontală coincide cu acest punct, iar proiecția orizontală se află pe axa x. Proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct dat C, situate pe axa x, coincid cu acest punct a punctelor A, B și C este prezentată în Fig. 86, b.

PROIECTAREA UNUI PUNCT PE TREI PLANURI DE PROIECTIE

În cazurile în care este imposibil să ne imaginăm forma unui obiect din două proiecții, acesta este proiectat pe trei planuri de proiecție. În acest caz, se introduce un plan de proiecție de profil W, perpendicular pe planurile V și H. O reprezentare vizuală a sistemului de trei plane de proiecție este dată în Fig. 87, a.

Muchiile unui unghi triedric (intersecția planurilor de proiecție) se numesc axe de proiecție și sunt desemnate x, y și z. Intersecția axelor de proiecție se numește începutul axelor de proiecție și se notează cu litera O. Să lăsăm o perpendiculară din punctul A la planul de proiecție W și, marcând baza perpendicularei cu litera „a”, vom obțineți o proiecție de profil a punctului A.

Pentru a obține un desen complex al punctului A, planurile H și W sunt combinate cu planul V, rotindu-le în jurul axelor Ox și Oz. Un desen cuprinzător al punctului A este prezentat în Fig. 87, b și c.

Segmentele de linii de proiectare de la punctul A la planurile de proiecție se numesc coordonatele punctului A și sunt desemnate: x A, y A și z A.

De exemplu, coordonata z A a punctului A, egală cu segmentul a"a x (Fig. 88, a și b), este distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție H. Coordonata y a punctului A, egală cu segmentul aa x, este distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor V. Coordonată x A, egală cu segmentul aa y - distanța de la punctul A la planul de profil al proiecțiilor W.

Astfel, distanța dintre proiecția unui punct și axa de proiecție determină coordonatele punctului și este cheia citirii desenului său complex. Din două proiecții ale unui punct pot fi determinate toate cele trei coordonate ale punctului.

Dacă sunt date coordonatele punctului A (de exemplu, x A = 20 mm, y A = 22 mm și z A = 25 mm), atunci pot fi construite trei proiecții ale acestui punct.

Pentru a face acest lucru, de la originea coordonatelor O în direcția axei Oz, este așezată coordonata z A și coordonata y A de la capetele segmentelor așezate - punctele a z și a y (Fig 88, a) - trageți linii drepte paralele cu axa Ox și așezați-le pe segmente egale cu coordonata x A. Punctele rezultate a" și a sunt proiecțiile frontale și orizontale ale punctului A.

Folosind două proiecții a" și a ale punctului A, puteți construi proiecția profilului acestuia în trei moduri:

1) de la originea coordonatelor O, se trasează un arc auxiliar cu raza Oa y egală cu coordonatele (Fig. 87, b și c), din punctul rezultat a y1 se trasează o linie dreaptă paralelă cu axa Oz și se așează de pe un segment egal cu z A;

2) din punctul a y se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45° faţă de axa Oy (fig. 88, a), se obţine punctul a y1 etc.;

3) de la originea O, se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45° față de axa Oy (Fig. 88, b), se obține punctul a y1 etc.

Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiune zero, atunci vorbirea despre proiecția sa este lipsită de sens.

Fig.9 Fig.10

În geometrie, este recomandabil să se considere un punct ca un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinitezimală poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.

Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, ar trebui să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: Proiecția ortogonală a unui punct este un punct.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care un punct este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor drepte cu planurile de proiecție și să măsurați mărimile corespunzătoare, care vor indica în mod corespunzător valorile absciselor. X, ordonate Yși degete Z puncte (Fig. 10).

Proiecția unui punct este baza perpendicularei trase din punct pe planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte A se numește proiecție dreptunghiulară a unui punct pe un plan orizontal de proiecție, proiecție frontală a /– respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de profil al proiecţiilor.

Direct Aaaa /Și Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare A pe planul orizontal al proiecțiilor se numește linie dreaptă proiectată orizontal, Aa /Și Aa //- respectiv: frontalȘi linii de proiectare a profilului.

Două linii de proiecție care trec printr-un punct A definiți un plan, care este de obicei numit proiectand.

La transformarea aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A – a / rămâne pe loc, ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția în timpul transformării luate în considerare. proiecție orizontală - Aîmpreună cu planul orizontal de proiecție se va roti în sensul mișcării acelor de ceasornic și va fi situat pe aceeași perpendiculară pe axă. X cu proiecție frontală. proiecție profil - A // se va roti odată cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În acest caz - A // va aparține perpendicularei pe axă Z, tras din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z la aceeași distanță cu proiecția orizontală A departe de axă X. Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yȘi a da //și arcul de cerc care le conectează cu centrul în punctul de intersecție a axelor ( DESPRE- origine). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (date două date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă k– constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat deoarece este mai precisă.

Prin urmare:

1. Un punct din spațiu este eliminat:

din planul orizontal H Z,

din planul frontal V prin valoarea unei coordonate date Y,

din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.

2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):

orizontală și frontală – perpendicular pe ax X,

orizontală și de profil – perpendicular pe axa Y,

frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.

3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Prin urmare - Folosind oricare două proiecții ortogonale date ale unui punct, este întotdeauna posibil să se construiască a treia proiecție lipsă.

Dacă un punct are trei coordonate specifice, atunci se numește un astfel de punct punct de poziţie generală. Dacă un punct are una sau două coordonate care au valoare zero, atunci se numește un astfel de punct punct privat.

Orez. 11 Fig. 12

Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, iar Figura 12 prezintă desene (diagrame) complexe ale acestor puncte. Punct A aparține planului frontal al proiecțiilor, punct ÎN– plan orizontal de proiecție, punct CU– planul și punctul de proiecție al profilului D– axa x ( X).