Fiecare dintre segmentele av. Compararea segmentelor. Acțiuni pe segmente. Înmulțirea și împărțirea unui segment cu un număr întreg

7. Multe puncte și linii sunt plasate pe un plan. Accepta asta puteți construi puncte și linii drepte pe un plan; În practică, o riglă este folosită pentru a construi o linie dreaptă.

Linia dreaptă se întinde la nesfârșit în ambele direcții. Pentru naiba. 4 se construiește linia dreaptă AB; cu imaginatia ta o poti continua la nesfarsit in ambele directii. Dacă construiți orice punct, de exemplu, punctul O, pe linia dreaptă CD (Figura 4), atunci linia dreaptă va fi împărțită în 2 părți: o parte se întinde din punctul O spre dreapta fără capăt, iar cealaltă din punct O la stânga fără capăt. Fiecare dintre aceste părți se numește rază. Aici avem 2 fascicule: fasciculul OD și fasciculul OC.

Putem construi nenumărate raze prin fiecare punct.

Dacă luăm 2 puncte pe o linie dreaptă, de exemplu, pe linia dreaptă KL (Figura 4) punctele E și F, atunci partea din dreapta dintre aceste puncte se numește segment. În desen avem segmentul EF.

8. Comparați datele din 2 segmente AB și CD (proiectul 5).

Să mutam segmentul CD astfel încât punctul C să lovească A și să-l rotim în jurul punctului A până când segmentul CD merge de-a lungul segmentului AB. Când realizăm acest lucru, observăm unde se încadrează punctul D: dacă se încadrează în B, atunci segmentele noastre sunt egale; dacă D se află undeva între punctele A și B (de exemplu, în M), atunci segmentul CD este considerat mai mic decât segmentul AB, iar dacă punctul D se află în spatele punctului B (de exemplu, în N), atunci segmentul CD este mai mare decât segmentul AB.

Înțelegem „compararea” a două segmente în sensul de a stabili dacă ele sunt egale sau unul este mai mare decât celălalt.

9. Aflați suma a două segmente date.

Sunt luate două segmente AB și CD (Fig. 6); trebuie să adăugați aceste segmente.

Pentru a face acest lucru, mutăm segmentul CD astfel încât punctul C să lovească B și apoi îl rotim în jurul lui B până când urmează continuarea segmentului AB. Observați unde se încadrează punctul D; dacă lovește K, atunci segmentul BK = CD și AK = AB + BK sau AK = AB + CD.

Orice segment poate fi împărțit prin puncte intermediare în suma mai multor termeni; de exemplu:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (desenul 7)

Pentru noi este clar că suma segmentelor nu se modifică în funcţie de rearanjarea termenilor .

10. Găsiți diferența dintre două segmente.

Având în vedere două segmente AB și CD (Fig. 8); Este necesar să se scadă segmentul mai mic CD din segmentul mai mare AB.

Mutăm segmentul CD astfel încât punctul D să lovească punctul B și începem să îl rotim în jurul lui B până când merge în direcția BA; Să remarcăm, când realizăm acest lucru, unde punctul C va cădea Dacă C se încadrează în K, atunci KB = CD și AK = AB – KB sau AK = AB – CD.

Puteți înmulți acest segment cu 2, 3, 4 etc., adică repetați-l ca termen de 2, 3, etc. ori.

Din paragrafe. 8-10, este important pentru noi să înțelegem că 1) următoarele concepte sunt aplicabile segmentelor, precum și numerelor: „egal”, „mai mare decât” și „mai mic decât”; 2) conceptele de „suma și diferența a două segmente” au un sens foarte definit.

În practică, pentru a construi un segment egal cu unul dat, se folosește o busolă.

11. Exerciții. 1. Numiți segmentele sumand și suma lor în fiecare dintre imaginile următoare; notează (desenul A).

2. Pe aceleași desene, indicați care segment poate fi considerat diferența dintre alte două segmente; scrie.

3. Împărțiți acest segment în 2, 3 și 4 termeni; scrie.

4. Prezentați acest segment ca diferență dintre alte două segmente.

12. Putem construi o figură formată din două raze care emană dintr-un punct, – o astfel de figură se numește unghi. Pentru naiba. Figura 9 prezintă un unghi format din raze OA și OB care emană din punctul O. Acest punct se numește vârful unghiului, iar fiecare rază se numește latura sa. Cuvântul „unghi” este înlocuit cu semnul ∠. Un unghi este numit cu trei litere, dintre care una este plasată la vârf, iar celelalte două undeva pe laturile unghiului - litera de la vârf este plasată în mijlocul numelui unghiului. Pentru naiba. 9 avem ∠AOB sau ∠BOA; uneori, un unghi se numește o literă plasată la vârful său, spunând ∠O. Laturile unghiului (razele) trebuie considerate ca fiind fără capăt.

Un caz special al unui unghi va apărea atunci când laturile sale formează o linie dreaptă; un astfel de unghi special se numeşte rectificat sau unghi rotit(Figura 12 prezintă unghiuri drepte AOB și A 1 O 1 B 1).

Fiecare unghi împarte planul în 2 părți, în două regiuni. Una dintre aceste părți se numește zona interioara colț și spuneți că se află în interiorul colțului, iar celălalt se numește zona exterioara colț și spuneți că se află în afara colțului. Care dintre aceste două părți se numește regiunea externă și care internă este o chestiune de condiție. De fiecare dată ar trebui să marcați ceva intern, de exemplu, o zonă. Vom marca zona interioară a colțului cu linii curbe desenate pe zona interioară dintre părțile laterale ale colțului; pe negru 10 marchează regiunile interne ale unghiurilor ABC, DEF și ∠KLM îndreptate.

Este util să tăiați colțuri dintr-o foaie de carton subțire: o bucată de carton este o reprezentare brută a unei părți a avionului; desenând pe ea două raze care emană dintr-un punct și tăind această bucată de-a lungul laturilor unghiului desenat, vom împărți bucata de carton în 2 părți; Să luăm una dintre aceste părți, despre care vrem să presupunem că se află în interiorul unghiului, și să o eliminăm pe cealaltă - atunci vom avea un model al unghiului împreună cu regiunea sa internă. Pentru a interpreta corect acest model, trebuie să rețineți că o bucată de carton este o imagine a doar unei părți a unui avion, iar avionul în sine se întinde fără sfârșit.

13. Comparați două unghiuri date∠ABC și ∠DEF (desenul 11).

A „compara” două unghiuri înseamnă a determina dacă unghiurile sunt egale sau unul este mai mare decât celălalt. Pentru a face acest lucru, vom începe să suprapunem un unghi pe altul, astfel încât zonele lor interne să meargă una de-a lungul celeilalte: dacă în acest caz se dovedește că este posibil să se realizeze ca vârfurile și laturile unghiurilor noastre să fie aliniate, atunci spunem că aceste unghiuri sunt egale; dacă vârfurile de pe o parte a unghiurilor noastre coincid, dar celelalte laturi nu coincid, atunci unghiurile nu sunt egale, iar pe cel mai mic îl citim ca fiind cel a cărui zonă interioară se potrivește pe zona interioară a celeilalte.

Exercițiu. Decupați modelele de colțuri din hârtie împreună cu zonele lor interne și, prin suprapunerea acestor modele unul peste altul, stabiliți posibilitatea cazurilor descrise mai sus; După ce decupați un model cu un unghi, apoi decupați un model cu un unghi egal cu acesta și modele cu unghiuri care nu sunt egale cu acesta (mai mult sau mai puțin).

Să ne uităm la unghiurile ABC și DEF (Figura 11); zona internă a fiecăruia dintre ele este marcată în desen. Mutăm ∠DEF astfel încât vârful său E să lovească punctul B și latura sa EF să meargă de-a lungul laturii BC - atunci zonele interne ale colțurilor vor fi situate una după alta. Dacă latura ED merge de-a lungul laturii BA, atunci ∠DEF = ∠ABC; dacă partea ED intră în interiorul ∠ABC, de exemplu, de-a lungul fasciculului BM, atunci ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Este util să se repete același raționament pentru unghiurile ABC și DEF (cu regiunile interioare marcate) date în Fig. 11 bis.

Să aplicăm metoda descrisă de a compara două unghiuri cu două unghiuri îndreptate. Să avem 2 unghiuri îndreptate ∠AOB și ∠A1O1B1 (desenul 12), ale căror zone interne sunt marcate în desen. Suprapunând unul dintre aceste unghiuri pe celălalt astfel încât vârful O 1 al unuia să cadă în vârful O al celuilalt și astfel încât latura O 1 A 1 a unuia să meargă de-a lungul laturii OA a celuilalt, ajungem la concluzia că celelalte laturi ale acestor unghiuri O 1 B 1 și OB coincid, deoarece liniile A 1 O 1 B 1 și AOB sunt drepte, a căror poziție este determinată de două puncte. (Uneori se spune: „OB este o continuare a OA” în loc să spună că linia AOB este o linie dreaptă). Prin urmare ajungem la concluzia:

Toate unghiurile drepte sunt egale între ele.

14. ∠AOB îndreptat (desenul 12) împarte planul în 2 regiuni, internă și externă. Dacă îndoiți avionul de-a lungul liniei drepte AOB, atunci ambele părți vor coincide. Prin urmare, putem presupune că zonele interne și externe ale unui unghi îndreptat sunt egale între ele.

Dacă avem orice unghi nerectificat, de exemplu, ∠DEF (desenul 11 ​​sau desenul 11 ​​bis), atunci continuând una dintre laturile sale, de exemplu, latura DE (nu se desenează continuare pe desene), vom vedea că despre unghiul nostru, se poate stabili că este fie mai mic decât îndreptat (desenul 11), fie mai mare decât acesta (desenul 11 ​​bis); Depinde care dintre cele două părți ale planului este considerată regiunea interioară a colțului. De obicei, zona interioară a unghiului este aleasă astfel încât acest unghi să fie mai mic decât cel îndreptat, iar în acest caz suntem de acord să nu marchem zona interioară a unghiului. Uneori, originea unghiului va indica faptul că regiunea internă trebuie considerată acea parte a planului în care unghiul va fi mai mare decât cel îndreptat. Aceste cazuri vor apărea uneori în viitor și atunci trebuie să marchem zona interioară a colțului.

15. Aflați suma a două unghiuri: ∠AOB și ∠PNM (desenul 13), sau adăugați ∠AOB și ∠PNM.

Aici în desen zonele interne ale colțurilor nu sunt marcate; conform observației din paragraful anterior, aceasta înseamnă că acestea trebuie alese astfel încât fiecare unghi să fie mai mic decât îndreptat, iar aceste zone le vedem clar.

Să mutam ∠PNM astfel încât vârful său N să coincidă cu vârful O al unghiului AOB, iar prin rotirea în jurul punctului O ne vom asigura că latura NP merge de-a lungul laturii OB; atunci regiunile interne ale unghiurilor noastre vor fi adiacente între ele - această circumstanță este esențială pentru adăugarea unghiurilor. Să observăm apoi cum va merge partea NM: să mergem, de exemplu, de-a lungul razei OC. Apoi obținem un nou ∠AOC, care este luat ca sumă a celor două unghiuri date. Putem scrie:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
și 3) (bazat pe 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

De asemenea, puteți plia mai multe colțuri; Puteți împărți acest unghi în mai mulți termeni. Pentru naiba. 14 avem:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Este ușor să construiți două sau mai multe unghiuri aplicate unul altuia, astfel încât suma lor să fie egală cu unghiul îndreptat. Este posibil ca suma mai multor unghiuri să fie mai mare decât unghiul îndreptat (Fig. 15 ar trebui remarcată).

Un alt caz special de adăugare de unghiuri este posibil, atunci când regiunile interne ale unghiurilor adăugate acoperă întregul plan atunci când sunt aplicate unele pe altele. Pentru naiba. 16 avem următoarele unghiuri: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF și ∠FOA. În acest caz, după ce am construit raza OM, care este o continuare a razei OA, vedem că suma unghiurilor noastre constă din două unghiuri îndreptate: 1) îndreptat ∠AOM, a cărui regiune interioară este marcată de o linie curbă. , și 2) îndreptat ∠AOM, a cărui regiune interioară este marcată cu o linie dublă curbă. Aici avem:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 colțuri îndreptate.

Ei spun: Suma tuturor unghiurilor succesive din jurul unui punct este egală cu două unghiuri drepte.

Dacă există unghiuri suplimentare decât cele construite în desen. 16, atunci acestea vor trebui aplicate din nou celor anterioare de-a lungul primului unghi îndreptat, iar apoi suma se dovedește a fi mai mult de două unghiuri îndreptate, egale cu trei unghiuri îndreptate, mai mult de trei unghiuri îndreptate etc.

16. Aflați diferența dintre două unghiuri: ∠AOB și ∠MNP (Dev. 17), sau scădeți ∠MNP din ∠AOB, presupunând că ∠MNP< ∠AOB.

Să mutăm ∠MNP astfel încât vârful său N să cadă în vârful O al unghiului AOB; Prin rotirea în jurul punctului O, vom obține apoi că latura NM merge de-a lungul laturii OB, iar zonele interioare ale acestor unghiuri sunt situate una peste alta. Lasă partea NP să urmeze fasciculul OC; atunci obținem un nou ∠AOC, despre care știm că ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, din care, conform definiției scăderii ca acțiune inversă a adunării, obținem:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
dar ∠COB = ∠MNP; De aceea
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Din paragrafe. 13-16 trebuie să înțelegem ideea că următoarele concepte sunt aplicabile la unghiuri, precum și la segmente: mai mult, mai puțin, egal, și că conceptele de sumă și diferență a două unghiuri au un anumit sens.

17. Exerciții. 1. Construiți două unghiuri atașate unul de celălalt, numiți-le cu litere, indicați suma lor și notați adunarea acestor unghiuri.

2. Pe același desen, indicați că unul dintre unghiuri este diferența dintre celelalte două; noteaza.

3. În desenele următoare (vezi desenul B) ∠AOB este exprimat prin diferența celorlalte două unghiuri.

4. Împărțiți acest unghi în 2, 3 și 4 termeni; notează-l de fiecare dată; procedați la fel cu colțul îndreptat.

5. Prezentați acest unghi ca diferență între cel îndreptat și un alt unghi. Ce fel de structură este nevoie pentru asta?

6. Adăugați și scădeți unghiuri folosind modele de unghi decupate din hârtie.

18. Pe viitor, vom numerota adesea unghiurile pentru a scurta litera numindu-le numere. Vom scrie numerele unghiurilor în interiorul fiecărui unghi lângă vârf.

Să construim ∠AOB (desenul 18) și să-l numim ∠1. Să adăugăm acest unghi la unul drept. Problema are două soluții: construiți o rază OC, care servește ca o continuare a razei OA; atunci obținem ∠BOC sau ∠2, care satisface cerința, deoarece vedem că

∠1 + ∠2 = unghi îndreptat.

Aici avem un exemplu de adăugare a două unghiuri când suma este egală cu unghiul îndreptat - astfel de unghiuri se numesc adiacente: ∠1 și ∠2 sunt unghiuri adiacente. Pentru ca 2 unghiuri să poată fi numite „adiacente”, este necesar ca 1) să fie atașate unul de celălalt și 2) ca suma lor să fie egală cu unghiul îndreptat sau, ceea ce este la fel, ca aceste unghiuri să aibă un comun vârf (la unghiurile 1 și 2 vârf comun O), o latură comună (colțurile noastre au o latură comună OB) și că celelalte două laturi sunt o continuare una a celeilalte (OC este o continuare a lui OA).

A doua soluție la problema noastră va fi obținută dacă continuăm latura OB - să fie OD o continuare a OB; apoi obținem un alt ∠AOD sau ∠4 adiacent cu ∠1. Să numim și unghiul rezultat COD cu ∠3.

Să examinăm cele 2 soluții obținute la problema noastră, adică ∠2 și ∠4. Vedem particularitatea locației lui ∠2 și ∠4: au un vârf comun O, laturile uneia dintre ele sunt continuare ale laturilor celeilalte, și anume OC este o continuare a lui OA și invers, iar OB este o continuare a lui OD și invers - astfel de unghiuri sunt numite verticale.

Atunci știm că atât ∠2 cât și ∠4 completează fiecare ∠1 până la rectificare; de aici tragem concluzia că

Iată un rezumat mai detaliat al acestei din urmă considerații. Conform construcției, avem:

1) ∠1 + ∠2 = unghi îndreptat;
2) ∠1 + ∠4 = unghi îndreptat.

Vedem că ambele adunări duc la aceeași sumă (toate unghiurile drepte sunt egale între ele) și, în plus, un termen (și anume ∠1) din ambele adunări este același; de aici concluzionăm că ceilalți termeni trebuie să fie egali între ei, adică ∠2 = ∠4.

Dacă construim două drepte care se intersectează, obținem două perechi de unghiuri verticale. Pentru naiba. 18 avem drepte AC și BD, o pereche de unghiuri verticale este ∠2 și ∠4, iar cealaltă este ∠1 și ∠3. Totul de mai sus se aplică fiecărei perechi de unghiuri verticale; de exemplu, pentru perechea ∠1 și ∠3 avem că fiecare dintre ele îl completează pe ∠2 pe cel rectificat, deci, ∠1 = ∠3. Deci avem teorema:
Unghiurile verticale sunt egale între ele.

Exercițiu. Construiți trei linii drepte prin punct și indicați unghiurile verticale rezultate; notează-le egalitatea.

Să ne dăm două segmente AB și CD (Fig.). Să suprapunem segmentul AB pe segmentul CD astfel încât punctul A să coincidă cu punctul C și să direcționăm segmentul AB de-a lungul segmentului CD. Dacă punctul B coincide cu punctul D, atunci segmentele AB și CD sunt egale; AB = CD.

Să comparăm două segmente KO și EM (Fig.).

Să suprapunem segmentul KO pe segmentul EM astfel încât punctele K și E să coincidă. Să direcționăm segmentul KO de-a lungul segmentului EM. Dacă punctul O este undeva între punctele E și M, atunci ei spun că segmentul EM este mai mare decât segmentul KO; segmentul KO este mai mic decât segmentul EM.

Se scrie așa: EAT > KO, KO

Construirea unui segment egal cu unul dat folosind o busolă.

un picior al busolei este plasat la un capăt al segmentului AB, iar celălalt - la celălalt capăt al acestuia și, fără a schimba unghiul busolei, transferați-l pe o anumită linie dreaptă, astfel încât capătul unui picior să marcheze un punct N, apoi capătul celuilalt picior al busolei marchează un punct R pe aceeași linie dreaptă. Segmentul NP va fi egal cu segmentul AB.

Adunarea și scăderea segmentelor.

Este scris astfel:

NM = AB + CD.

În același mod, se găsește suma mai multor segmente (Fig.)

MN = AB + CD + EF.

La adunarea segmentelor, ca și în aritmetică la adunarea numerelor, se respectă următoarele legi: comutativă și asociativă.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF =AB + (CD + EF).

Pentru a găsi diferența dintre două segmente AB și CD (Fig.),

Este necesar să lăsați deoparte un segment mai mic (CD) pe un segment mai mare (AB) de la capătul său, de exemplu, punctul A. Partea rămasă (KB) a segmentului mai mare va fi diferența dintre aceste segmente:

AB - CD = KV.

Înmulțirea și împărțirea unui segment cu un număr întreg.

Segmentul MN este produsul dintre segmentul AB și numărul 5.

b) În figură, segmentul MN este compus din cinci segmente egale, adică segmentul MN este împărțit în cinci părți egale. Fiecare dintre ele constituie 1/5 din segmentul MN.

c) Pentru a împărți un segment în părți egale folosind o busolă, procedați astfel. De exemplu, dacă trebuie să împărțiți un segment în două părți egale, atunci busola este îndepărtată cu ochiul, astfel încât deschiderea busolei să fie aproximativ jumătate din segment. Apoi, pe un segment dat de la capătul său, două segmente sunt așezate secvențial, unul după altul, cu această soluție de busolă. Dacă suma de segmente rezultată este mai mică decât acest segment, atunci soluția busolei este mărită; dacă cantitatea se dovedește a fi mai mare decât acest segment, atunci soluția busolei este redusă. Deci, corectând treptat eroarea, puteți găsi destul de precis jumătate din segment (Fig.).

În același mod, se realizează o împărțire aproximativă a unui segment în 3, 4, 5 etc. părți egale. Numai în acest caz ar trebui să luați 1/3 cu ochi; 14; 1/5... dintr-un segment și puneți deoparte segmentul luat de 3, 4, 5... ori, în funcție de câte părți egale trebuie împărțit segmentul dat.

Proprietatea segmentelor tăiate prin linii paralele pe laturile unui unghi

Fie așezate segmente egale BM = MK = KS (Fig.) pe latura AB a unghiului ABN și linii paralele care intersectează latura BN a aceluiași unghi sunt trasate prin punctele de diviziune M, K și C.

Pe această parte s-au format trei segmente: VM', M'K' şi K'S'. Este necesar să se demonstreze că VM' = M'K' = K'C'.

Pentru a demonstra acest lucru, trasăm drepte paralele cu AB prin punctele M’ și K’. Obținem triunghiuri ВММ', М'ЭК' și К'РС'. Să comparăm aceste triunghiuri.

Mai întâi, comparați triunghiurile MVM' și M'EK'. În aceste triunghiuri avem:

∠1 = ∠2, ca unghiuri corespunzătoare pentru paralele BA și M'E și secante BN;

∠3 = ∠4, ca unghiuri ascuțite 1 cu laturile paralele corespunzător (AB || M’E și MM’ || KK’).

VM = MK prin construcție;

MK = M'E, ca laturile opuse ale unui paralelogram.

Unghiurile 1 și 4 se pot dovedi a fi ambele obtuze, dar în acest caz vor rămâne egale și, prin urmare, demonstrația teoremei nu se va schimba.

Prin urmare, BM = M'E. Astfel, ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (pe latura și două unghiuri adiacente). Rezultă că VM' = M'K'.

De asemenea, se poate dovedi că VM’ = K’C’, adică VM’ = M’K’ = K’C’. Când demonstrăm teorema, am început să așezăm segmente de la vârful unghiului, dar teorema este valabilă și pentru cazul în care așezarea segmentelor începe nu de la vârful unghiului, ci din orice punct de pe latura acestuia.

În acest caz, vârful colțului nu trebuie să fie marcat în desen (Fig.).

Teorema este valabilă și pentru cazul în care dreptele KO și MR sunt paralele.

Segmente proporționale

Din aritmetică știm că egalitatea a două rapoarte se numește proporție. De exemplu: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 Avem același lucru în geometrie: dacă sunt date două perechi de segmente ale căror rapoarte sunt egale, atunci se poate face o proporție.

Dacă A / b= 4 / 3 și c / d= 4 / 3 (Desen 351), atunci obținem proporția A / b = c / d ;

segmente a, b, c, d sunt numite proporţional.

Atitudine A / b se numește, ca și în aritmetică, prima relație, c / d- a doua relație; AȘi d se numesc termeni extremi ai proporției, bȘi Cu- membrii mijlocii.

Într-o proporție, rapoartele pot fi inversate; puteți rearanja membrii extremi, membrii de mijloc; le puteți rearanja pe amândouă în același timp.

Pentru că în proporție A / b = c / d literele înseamnă numere care exprimă lungimile segmentelor, apoi produsul membrilor săi extremi este egal cu produsul membrilor săi din mijloc. De aici, cunoscând cei trei termeni ai proporției, puteți găsi al patrulea termen necunoscut. Da, în proporție A / X = c / d X = anunț / c

Să mai notăm câteva proprietăți ale proporțiilor, care vor trebui folosite în viitor la demonstrarea unor teoreme și rezolvarea problemelor.

a) Dacă trei termeni dintr-o proporție sunt, respectiv, egali cu trei termeni dintr-o altă proporție, atunci și al patrulea termen din aceste proporții sunt egali.

Dacă A / b = c / XȘi A / b = c / y,Acea x = y. Într-adevăr, X = b c / A , la = b c / A, adică și XȘi la egală cu același număr b c / A .

b) Dacă termenii anteriori sunt egali proporțional, atunci cei următori sunt egali, adică dacă A / X = A / y, Acea x = y.

Pentru a verifica acest lucru, haideți să rearanjam termenii de mijloc în această proporție.

Primim: A / A = X / y. Dar A / A= 1. Prin urmare, și X / y = 1.

Și acest lucru este posibil numai dacă numărătorul și numitorul fracției sunt egale, adică.

x = y.

c) Dacă termenii următori sunt egali proporțional, atunci cei anteriori sunt egali, adică dacă X / A = y / A, Acea x = y.

Sunteți invitat să verificați pentru dvs. valabilitatea acestei proprietăți. Pentru a face acest lucru, efectuați un raționament similar cu cel anterior.

Construcția segmentelor proporționale

Fie două drepte EF și OP să fie intersectate de trei drepte paralele AB, CD și MN (Fig.).

Se cere să se demonstreze că segmentele AC, CM, BD și DN, închise între secante paralele, sunt proporționale, adică.

AC/CM = BD/DN

Fie lungimea segmentului AC R, iar lungimea segmentului CM este egală cu q.

De exemplu, R= 4 cm și q= 5 cm.

Să împărțim AC și CM în segmente egale cu 1 cm, iar din punctele de împărțire trasăm drepte paralele cu liniile drepte AB, CD și MN, așa cum se arată în figură.

Apoi, se vor depune segmente egale pe linia dreaptă SAU, cu 4 segmente pe segmentul BD, și 5 segmente pe segmentul DN.

Raportul dintre AC și CM este 4/5 și, în mod similar, raportul dintre BD și DN este 4/5.

Prin urmare, AC/CM = BD/DN.

Aceasta înseamnă că segmentele AC, CM, BD și DN sunt proporționale. Segmentele AC, AM, BD și BN (care se suprapun) sunt de asemenea proporționale, adică AC / AM = BD / BN,

deoarece AC/AM = 4/9 și BD/BN = 4/9

Teorema va fi valabilă pentru orice alte valori întregi RȘi q.

Dacă lungimile segmentelor AC și CM nu sunt exprimate în numere întregi pentru o anumită unitate de măsură (de exemplu, un centimetru), atunci este necesar să se ia o unitate mai mică (de exemplu, un milimetru sau micron), în care lungimile segmentelor AC și CM sunt practic exprimate în numere întregi.

Teorema dovedită este valabilă și în cazul în care una dintre secantele paralele trece prin punctul de intersecție al acestor drepte. Este valabil și în cazul în care segmentele nu sunt reprezentate direct unul după altul, ci după un anumit interval.

Segment de linie. Lungimea segmentului. Triunghi.

1. În acest paragraf vei fi introdus în câteva concepte de geometrie. Geometrie- știința „măsurării pământului”. Acest cuvânt provine din cuvintele latine: geo - pământ și metr - măsură, a măsura. În geometrie, diverse obiecte geometrice, proprietățile lor, conexiunile lor cu lumea exterioară. Cele mai simple obiecte geometrice sunt un punct, o linie, o suprafață. Obiectele geometrice mai complexe, de exemplu, figurile și corpurile geometrice, sunt formate din cele mai simple.

Dacă aplicăm o riglă la două puncte A și B și trasăm o linie de-a lungul ei care leagă aceste puncte, obținem segment de linie, care se numește AB sau VA (citim: „a-fi”, „fi-a”). Punctele A și B sunt numite capetele segmentului(imaginea 1). Distanța dintre capetele unui segment, măsurată în unități de lungime, se numește lungimea tăiaka.

Unități de lungime: m - metru, cm - centimetru, dm - decimetru, mm - milimetru, km - kilometru etc. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Pentru a măsura lungimea segmentelor, utilizați o riglă sau o bandă de măsurare. A măsura lungimea unui segment înseamnă a afla de câte ori se încadrează în el o anumită măsură de lungime.

Egal se numesc două segmente care pot fi combinate prin suprapunerea una peste alta (Figura 2). De exemplu, puteți tăia efectiv sau mental unul dintre segmente și îl puteți atașa la altul, astfel încât capetele lor să coincidă. Dacă segmentele AB și SK sunt egale, atunci scriem AB = SK. Segmentele egale au lungimi egale. Opusul este adevărat: două segmente de lungime egală sunt egale. Dacă două segmente au lungimi diferite, atunci ele nu sunt egale. Dintre două segmente inegale, cel mai mic este cel care face parte din celălalt segment. Puteți compara segmente care se suprapun folosind o busolă.

Dacă extindem mental segmentul AB în ambele direcții până la infinit, atunci ne vom face o idee despre Drept AB (Figura 3). Orice punct situat pe o linie îl împarte în două grindă(Figura 4). Punctul C împarte linia AB în două grindă SA si SV. Tosca C se numeste începutul razei.

2. Dacă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă sunt legate prin segmente, atunci obținem o cifră numită triunghi. Aceste puncte sunt numite culmi triunghi, iar segmentele care le unesc sunt petreceri triunghi (Figura 5). FNM - triunghi, segmente FN, NM, FM - laturile triunghiului, punctele F, N, M - vârfurile triunghiului. Laturile tuturor triunghiurilor au următoarea proprietate: d Lungimea oricărei laturi a unui triunghi este întotdeauna mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale.

Dacă extindeți mental, de exemplu, suprafața unui blat de masă în toate direcțiile, vă veți face o idee avion. Punctele, segmentele, liniile drepte, razele sunt situate pe un plan (Figura 6).

Bloc 1. Suplimentar

Lumea în care trăim, tot ceea ce ne înconjoară, a fost numită de antici natură sau spațiu. Spațiul în care trăim este considerat tridimensional, adică. are trei dimensiuni. Ele sunt adesea numite: lungime, lățime și înălțime (de exemplu, lungimea unei camere este de 4 m, lățimea unei camere este de 2 m și înălțimea este de 3 m).

Ideea unui punct geometric (matematic) ne este dată de o stea pe cerul nopții, un punct la sfârșitul acestei propoziții, un semn de la un ac etc. Cu toate acestea, toate obiectele enumerate au dimensiuni, în contrast, dimensiunile unui punct geometric sunt considerate egale cu zero (dimensiunile acestuia sunt egale cu zero). Prin urmare, un punct matematic real poate fi imaginat doar mental. De asemenea, puteți spune unde se află. Prin plasarea unui punct într-un caiet cu un stilou, nu vom reprezenta un punct geometric, ci vom presupune că obiectul construit este un punct geometric (Figura 6). Punctele sunt desemnate cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D, (citit " punctul a, punctul fi, punctul tse, punctul de") (Figura 7).

Firele agățate de stâlpi, o linie vizibilă a orizontului (limita dintre cer și pământ sau apă), o albie reprezentată pe o hartă, un cerc de gimnastică, un curent de apă care țâșnește dintr-o fântână ne dau o idee despre linii.

Există linii închise și deschise, linii netede și nenetede, linii cu și fără auto-intersecție (Figurile 8 și 9).

O foaie de hârtie, disc laser, carcasă de minge de fotbal, cutie de ambalare din carton, mască de plastic de Crăciun etc. da-ne o idee despre suprafete(Figura 10). Când vopsiți podeaua unei camere sau a unei mașini, suprafața podelei sau a mașinii este acoperită cu vopsea.

Corp uman, piatră, cărămidă, brânză, minge, gheață, etc. da-ne o idee despre geometric corpuri (Figura 11).

Cea mai simplă dintre toate rândurile este este drept. Așezați o riglă pe o foaie de hârtie și trageți o linie dreaptă de-a lungul ei cu un creion. Extinzând mental această linie la infinit în ambele direcții, vom avea ideea unei linii drepte. Se crede că o linie dreaptă are o dimensiune - lungime, iar celelalte două dimensiuni ale ei sunt egale cu zero (Figura 12).

Când rezolvați probleme, o linie dreaptă este descrisă ca o linie care este trasată de-a lungul unei rigle cu un creion sau cretă. Liniile directe sunt desemnate cu litere latine mici: a, b, n, m (Figura 13). De asemenea, puteți indica o linie dreaptă cu două litere corespunzătoare punctelor aflate pe ea. De exemplu, drept nîn figura 13 putem nota: AB sau VA, ADsauDA,DB sau BD.

Punctele pot fi situate pe o linie (aparțin unei linii) sau să nu se situeze pe o linie (nu aparțin unei linii). Figura 13 prezintă punctele A, D, B situate pe linia AB (aparținând dreptei AB). În același timp ei scriu. Citiți: punctul A aparține dreptei AB, punctul B aparține lui AB, punctul D aparține lui AB. Punctul D aparține și dreptei m, se numește general punct. În punctul D liniile AB și m se intersectează. Punctele P și R nu aparțin dreptelor AB și m:

Prin oricare două puncte întotdeauna poți trage o linie dreaptă și numai una .

Dintre toate tipurile de linii care leagă oricare două puncte, segmentul ale cărui capete sunt aceste puncte are cea mai mică lungime (Figura 14).

O figură care constă din puncte și segmente care le unesc se numește linie întreruptă (Figura 15). Segmentele care formează o linie întreruptă se numesc link-uri linie întreruptă și capetele lor - culmi linie frântă O linie întreruptă este numită (desemnată) prin listarea tuturor vârfurilor ei în ordine, de exemplu, linia întreruptă ABCDEFG. Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale. Aceasta înseamnă că lungimea liniei întrerupte ABCDEFG este egală cu suma: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Se numește o linie întreruptă închisă poligon, vârfurile sale sunt numite vârfurile poligonului, și legăturile sale petreceri poligon (Figura 16). Un poligon este numit (desemnat) prin listarea în ordine a tuturor vârfurilor sale, începând de la oricare, de exemplu, poligon (heptagon) ABCDEFG, poligon (pentagon) RTPKL:

Se numește suma lungimilor tuturor laturilor unui poligon perimetru poligon și este notat cu latinescul scrisoarep(citit: pe). Perimetrele poligoanelor din Figura 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Extindem mental suprafața unui blat de masă sau a unei ferestre la infinit în toate direcțiile, ne facem o idee despre suprafață, care se numește avion (Figura 17). Avioanele sunt desemnate cu litere mici ale alfabetului grecesc: α, β, γ, δ, ... (noi citim: plan alfa, beta, gamma, delta etc.).

Blocul 2. Vocabular.

Realizați un dicționar de termeni și definiții noi din §2. Pentru a face acest lucru, introduceți cuvinte din lista de termeni de mai jos în rândurile goale ale tabelului. În tabelul 2, indicați numerele termenilor în conformitate cu numerele liniilor. Este recomandat să revizuiți cu atenție §2 și blocul 2.1 înainte de a completa dicționarul.

Blocul 3. Stabilirea corespondenței (CS).

Figuri geometrice.

Blocul 4. Autotestare.

Măsurarea unui segment folosind o riglă.

Să ne amintim că a măsura un segment AB în centimetri înseamnă a-l compara cu un segment de 1 cm lungime și a afla câte astfel de segmente de 1 cm se încadrează într-un segment AB. Pentru a măsura un segment în alte unități de lungime, procedați în același mod.

Pentru a finaliza sarcinile, lucrați conform planului dat în coloana din stânga tabelului. În acest caz, vă recomandăm să acoperiți coloana din dreapta cu o coală de hârtie. Puteți compara apoi constatările dvs. cu soluțiile din tabelul din dreapta.

Blocul 5. Stabilirea unei secvențe de acțiuni (SE).

Construirea unui segment de o lungime dată.

Opțiunea 1. Tabelul conține un algoritm mixt (o ordine amestecată a acțiunilor) pentru construirea unui segment de o lungime dată (de exemplu, să construim un segment BC = 7cm). În coloana din stânga este o indicație a acțiunii, în coloana din dreapta este rezultatul efectuării acestei acțiuni. Rearanjați rândurile tabelului astfel încât să obțineți algoritmul corect pentru construirea unui segment de o lungime dată. Scrieți succesiunea corectă de acțiuni.

Opțiunea 2. Următorul tabel prezintă algoritmul pentru construirea segmentului KM = n cm, unde în loc de n Puteți înlocui orice număr. În această opțiune nu există nicio corespondență între acțiune și rezultat. Prin urmare, este necesar să stabiliți o secvență de acțiuni, apoi pentru fiecare acțiune, selectați rezultatul acesteia. Scrieți răspunsul sub forma: 2a, 1c, 4b etc.

Opțiunea 3. Folosind algoritmul opțiunii 2, construiți segmente în caiet la n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

Blocul 6. Testul fațetelor.

Segment, rază, linie dreaptă, plan.

În sarcinile testului de fațetă, se folosesc imagini și înregistrări numerotate 1 - 12, prezentate în Tabelul 1, din acestea se formează datele sarcinilor. Apoi li se adaugă cerințele sarcinilor, care sunt plasate în test după cuvântul de legătură „TO”. Răspunsurile la probleme sunt plasate după cuvântul „EGAL”. Setul de sarcini este prezentat în Tabelul 2. De exemplu, sarcina 6.15.19 este compusă după cum urmează: „DACĂ problema folosește Figura 6 , s Apoi i se adaugă condiția numărul 15, cerința sarcinii este numărul 19.”

13) construiți patru puncte astfel încât fiecare trei dintre ele să nu se afle pe aceeași linie dreaptă;

14) trageți o linie dreaptă prin fiecare două puncte;

15) extinde mental fiecare dintre suprafețele cutiei în toate direcțiile până la infinit;

16) numărul de segmente diferite din figură;

17) numărul de raze diferite din figură;

18) numărul de linii drepte diferite din figură;

19) numărul de avioane diferite obţinute;

20) lungimea segmentului AC în centimetri;

21) lungimea segmentului AB în kilometri;

22) lungimea segmentului DC în metri;

23) perimetrul triunghiului PRQ;

24) lungimea poliliniei QPRMN;

25) coeficientul perimetrelor triunghiurilor RMN și PRQ;

26) lungimea segmentului ED;

27) lungimea segmentului BE;

28) numărul de puncte rezultate de intersecție a liniilor;

29) numărul de triunghiuri rezultate;

30) numărul de părți în care a fost împărțit avionul;

31) perimetrul poligonului, exprimat în metri;

32) perimetrul poligonului, exprimat în decimetri;

33) perimetrul poligonului, exprimat în centimetri;

34) perimetrul poligonului, exprimat în milimetri;

35) perimetrul poligonului, exprimat în kilometri;

EGAL (egal, are forma):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b; j) 80∙b; k) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; x) 28

Blocul 7. Hai să ne jucăm.

7.1. Labirint de matematică.

Labirintul este format din zece camere cu câte trei uși. În fiecare dintre camere există câte un obiect geometric (este desenat pe peretele camerei). Informațiile despre acest obiect sunt în „ghidul” labirintului. În timp ce îl citiți, trebuie să mergeți în camera despre care este scris în ghid. Pe măsură ce mergi prin camerele labirintului, desenează-ți traseul. Ultimele două camere au ieșiri.

Ghidul labirintului

1. Trebuie să intri în labirint printr-o cameră în care există un obiect geometric care nu are început, dar are două capete.
2. Obiectul geometric al acestei camere nu are dimensiuni, este ca o stea îndepărtată pe cerul nopții.
3. Obiectul geometric al acestei încăperi este compus din patru segmente care au trei puncte comune.
4. Acest obiect geometric este format din patru segmente cu patru puncte comune.
5. Această cameră conține obiecte geometrice, fiecare dintre ele având un început, dar fără sfârșit.
6. Iată două obiecte geometrice care nu au nici început, nici sfârșit, dar cu un punct comun.

1. O idee despre acest obiect geometric este dată de zborul obuzelor de artilerie

(traiectoria mișcării).

1. Această cameră conține un obiect geometric cu trei vârfuri, dar acestea nu sunt munte

1. Zborul unui bumerang dă o idee despre acest obiect geometric (vânătoare

armele poporului indigen din Australia). În fizică, această linie se numește traiectorie

mișcările corpului.

1. O idee despre acest obiect geometric este dată de suprafața lacului din

vreme calmă.

Acum poți ieși din labirint.

Labirintul conține obiecte geometrice: plan, linie deschisă, linie dreaptă, triunghi, punct, linie închisă, linie întreruptă, segment, rază, patrulater.

7.2. Perimetrul formelor geometrice.

În desene, evidențiați forme geometrice: triunghiuri, patrulatere, pentagoane și hexagoane. Folosind o riglă (în milimetri), determinați perimetrele unora dintre ele.

7.3. Cursa de ștafete a obiectelor geometrice.

Sarcinile releu au cadre goale. Notează cuvântul care lipsește în ele. Apoi mutați acest cuvânt într-un alt cadru unde indică săgeata. În acest caz, puteți schimba majusculele acestui cuvânt. Pe măsură ce parcurgeți etapele ștafei, finalizați formațiunile necesare. Dacă completați corect releul, veți primi următorul cuvânt la sfârșit: perimetru.

7.4. Forța obiectelor geometrice.

Citiți § 2, notați numele obiectelor geometrice din textul său. Apoi scrieți aceste cuvinte în celulele goale ale „cetății”.