Integrale pentru manechine: cum se rezolvă, reguli de calcul, explicație. Metode de bază de integrare Tabelul integralelor elementare

Definiția 1

Antiderivata $F(x)$ pentru funcția $y=f(x)$ pe segmentul $$ este o funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al acestui segment și următoarea egalitate este valabilă pentru derivata sa:

Definiția 2

Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$, definite pe un anumit segment, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.

Din tabelul derivatelor și Definiția 2 obținem tabelul integralelor de bază.

Exemplul 1

Verificați validitatea formulei 7 din tabelul de integrale:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Exemplul 2

Verificați validitatea formulei 8 din tabelul de integrale:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 3

Verificați validitatea formulei 11" din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 4

Verificați validitatea formulei 12 din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 5

Verificați validitatea formulei 13" din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 6

Verificați validitatea formulei 14 din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 7

Găsiți integrala:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Să folosim teorema sumei integrale:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Să folosim teorema despre plasarea unui factor constant în afara semnului integral:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Conform tabelului de integrale:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Când calculăm prima integrală, folosim regula 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Prin urmare,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare pe care o cunoașteți pentru o integrală este să folosiți o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ați venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută încă din Egiptul Antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Și Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.

De exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.

Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundamentelor. Aceste formule trebuie cu siguranță reținute. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspunsul dvs. atunci când integrați!

Integrala unei constante

Integrarea unei funcții de putere

De fapt, a fost posibil să ne limităm doar la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup apar atât de des încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcțiilor exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim pur și simplu aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea este aceea că confundă semnele din formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive mulți oameni cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Nu este adevarat! Integrala sinusului este egală cu „minus cosinus”, dar integrala cosx este egală cu „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale reducând la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arctangente, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

De asemenea, este indicat să vă amintiți aceste formule. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrală a unei funcții complexe dacă funcția interioară este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x). Vă rugăm să rețineți: această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.

Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (treizeci)

Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), va trebui să inventezi o modalitate de a „lupta” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, în altele va trebui să faceți o schimbare de variabilă, iar uneori chiar formulele de algebră sau trigonometrie „școală” vă pot ajuta.

Un exemplu simplu de calcul al integralei nedefinite

Să folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Să ne amintim că constanta poate fi scoasă din semnul integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să integrăm funcția de putere, sinus, exponențial și constantă 1. Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la sfârșit:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

După transformări elementare obținem răspunsul final:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă prin diferențiere: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel rezumativ al integralelor

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link

Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioară (analiza matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă ai nevoie de serviciile unui profesor calificat, mergi pe pagina unui profesor superior de matematică. Vom rezolva problemele dumneavoastră împreună!

de asemenea poti fi interesat de

Tabel de antiderivate ("integrale"). Tabelul integralelor. Integrale nedefinite tabelare. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru). Formule de integrare pe părți. formula Newton-Leibniz.

Formule de integrare pe părți. Reguli de integrare.

Tabelul derivatelor. Derivate tabulare. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.

Dacă x este o variabilă independentă, atunci:

Proprietățile logaritmilor. Formule de bază pentru logaritmi. zecimală (lg) și logaritmi naturali (ln).

Logaritmul natural ln (logaritmul la baza e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Seria Taylor. Expansiunea în serie Taylor a unei funcții.

Se pare că majoritatea practic întâlnit funcțiile matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui anumit punct sub formă de serii de puteri care conțin puteri ale unei variabile în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x=1:

Când utilizați seria numită rândurile lui Taylor, funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Folosind seriale, puteți efectua adesea rapid diferențierea și integrarea.

Seria Taylor în vecinătatea punctului a are forma:

1) , unde f(x) este o funcție care are derivate de toate ordinele la x = a. R n - termenul rămas din seria Taylor este determinat de expresie

2)

Coeficientul k-al (la x k) al seriei este determinat de formula

3) Un caz special al seriei Taylor este seria Maclaurin (=McLaren). (expansiunea are loc în jurul punctului a=0)

la a=0

membrii seriei sunt determinati de formula

Condiții de utilizare a seriei Taylor.

1. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R;R), este necesar și suficient ca termenul rămas din formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pentru aceasta funcția tinde spre zero ca k →∞ pe intervalul specificat (-R;R).

2. Este necesar să existe derivate pentru o funcție dată în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul definiției lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.

Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar în același timp diferă de funcția din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt folosite în aproximarea (aproximarea este o metodă științifică care constă în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiate de cele originale, dar mai simple) a unei funcții prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu analiza unui sistem liniar, într-un fel echivalent cu cel original. .) Ecuațiile apar prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0) și Taylor în vecinătatea punctului 1. Primii termeni de extindere a funcțiilor principale din seria Taylor și McLaren.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0)

Exemple de expansiuni comune ale seriei Taylor în vecinătatea punctului 1

Integrare directă folosind tabelul de antiderivate (tabelul de integrale nedefinite)

Tabel cu antiderivate

Putem găsi antiderivată dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii dacă folosim proprietăţile integralei nedefinite. Din tabelul funcțiilor elementare de bază, folosind egalitățile ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C și ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x putem face un tabel de antiderivate.

Să scriem tabelul derivatelor sub formă de diferențiale.

Să ilustrăm cele de mai sus cu un exemplu. Să găsim integrala nedefinită a funcției de putere f (x) = x p.

Conform tabelului diferenţialelor d (x p) = p · x p - 1 · d x. După proprietățile integralei nedefinite avem ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Prin urmare, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. A doua versiune a intrării este următoarea: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .

Să o luăm egală cu - 1 și să găsim mulțimea de antiderivate ale funcției de putere f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Acum avem nevoie de un tabel de diferențe pentru logaritmul natural d (ln x) = d x x, x > 0, deci ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Prin urmare ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabel cu antiderivate (integrale nedefinite)

Coloana din stânga a tabelului conține formule care se numesc antiderivate de bază. Formulele din coloana din dreapta nu sunt de bază, dar pot fi folosite pentru a găsi integrale nedefinite. Ele pot fi verificate prin diferențiere.

Integrare directă

Pentru a realiza integrarea directă, vom folosi tabele de antiderivate, reguli de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, precum și proprietăți ale integralelor nedefinite ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Tabelul integralelor de bază și proprietățile integralelor poate fi utilizat numai după o transformare ușoară a integrandului.

Exemplul 1

Să aflăm integrala ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Soluţie

Înlăturăm coeficientul 3 de sub semnul integral:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Folosind formule de trigonometrie, transformăm funcția integrand:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Întrucât integrala sumei este egală cu suma integralelor, atunci
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Folosim datele din tabelul de antiderivate: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = gol 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Răspuns:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Exemplul 2

Este necesar să se găsească mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Soluţie

Folosim tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Aceasta înseamnă că ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Folosim regula de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Se obține ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Răspuns: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Folosind tabelul de antiderivate, proprietăți și regula de integrare, putem găsi o mulțime de integrale nedefinite. Acest lucru este posibil în cazurile în care este posibilă transformarea integrandului.

Pentru a găsi integrala funcției logaritm, funcțiile tangente și cotangente și o serie de altele, se folosesc metode speciale, pe care le vom lua în considerare în secțiunea „Metode de bază de integrare”.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter