Ellipsoid av rotasjon og dens parametere. Jordens ellipsoide. Koordinatsystemer for høyere geodesi og forholdet mellom dem

Parametre for jordens ellipsoide

Jordens ellipsoide har tre hovedparametere, hvorav to av dem unikt bestemmer formen:

Det er også andre parametere for ellipsoiden:

For den praktiske implementeringen av jordens ellipsoid er det nødvendig orientere seg i jordens kropp. I dette tilfellet fremsettes en generell betingelse: orientering må utføres på en slik måte at forskjellene mellom astronomiske og geodetiske koordinater er minimale.

Referanseellipsoide

Referanseellipsoidfiguren er best egnet for territoriet til et enkelt land eller flere land. Vanligvis brukes referanseellipsoider for å behandle geodetiske målinger lovgivningsmessig. I Russland/USSR har Krasovskys ellipsoid blitt brukt siden år.

Orienteringen av referanseellipsoiden i jordens kropp er underlagt følgende krav:

1. Halv-minoraksen til ellipsoiden ( b) må være parallell med jordens rotasjonsakse.
2. Overflaten til ellipsoiden bør være så nær overflaten av geoiden som mulig innenfor et gitt område.

For å fikse referanseellipsoiden i jordens kropp, er det nødvendig å sette geodetiske koordinater B 0, L 0, H 0 utgangspunkt for det geodetiske nettverket og innledende asimut En 0 til neste punkt. Settet med disse mengdene kalles originale geodetiske datoer.

Grunnleggende referanseellipsoider og deres parametere

Jordens ellipsoide

Den generelle terrestriske ellipsoiden må være orientert i jordens kropp i henhold til følgende krav:

Når du orienterer en generell terrestrisk ellipsoide i jordens kropp (i motsetning til en referanseellipsoide), er det ikke nødvendig å angi de opprinnelige geodetiske datoene.

Siden kravene til universelle ellipsoider i praksis oppfylles med noen toleranser, og sistnevnte (3) er umulig å implementere fullt ut, kan det innen geodesi og relaterte vitenskaper brukes forskjellige implementeringer av ellipsoiden, hvis parametere er veldig nære, men ikke sammenfallende (se nedenfor).

Moderne globale ellipsoider og deres parametere

Og oppkalt etter F.N. Krasovsky.

I alle fall er det geodetiske koordinatsystemet Pulkovo-1942 (SK-42), SK-63, brukt i Russland og noen andre land, samt Afgooye og Hanoi 1972-koordinatsystemene basert på det.

SK-42, ved resolusjon fra Ministerrådet nr. 760, ble introdusert i 1946 for å utføre arbeid over hele Sovjetunionens territorium. Fra 1. juli 2002, i samsvar med dekret fra regjeringen i Den russiske føderasjonen av 28. juli 2000 nr. 568, ble et nytt SK-95-system introdusert, også basert på Krasovsky-ellipsoiden.

Dimensjoner av jordens ellipsoide ifølge Krasovsky

se også

Lenker

• Morozov V.P. Forløp av sfæroidal geodesi. Ed. 2, revidert og tillegg M., Nedra, 1979, 296 s.

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva "Krasovskys ellipsoide" er i andre ordbøker:

Jordellipsoid, introdusert i USA i 1910. Oppkalt etter den amerikanske landmåleren John Hayford (1868 1925). Hayford-ellipsoiden er også kjent som "International ellipsoid 1924" etter... Wikipedia

Jordens ellipsoide, bestemt ut fra gradmålinger i 1940 under ledelse av F. N. Krasovsky. Dimensjoner til referanseellipsoiden: semimajor akse (ekvatorradius) 6 378 245 m, polar kompresjon 1: 298,3 ... Stor encyklopedisk ordbok

KRASOVSKY ELLIPSOID, jordens ellipsoide, bestemt ut fra gradmålinger i 1940 under ledelse av F. N. Krasovsky. Dimensjoner til referanseellipsoiden: semimajor akse (ekvatorradius) 6 378 245 m, polar kompresjon 1: 298,3 ... encyklopedisk ordbok

Krasovskys ellipsoide er jordens ellipsoide, bestemt ut fra gradmålinger i 1940 av en gruppe ledet av F.N. I følge andre kilder ble definisjonen fullført i 1942 av en gruppe ledet av landmåler A. A. Izotov og ... Wikipedia

Jordens ellipsoide, hvis dimensjoner ble beregnet i 1940 ved Central Scientific Research Institute of Geodesy, Aerial Photography and Cartography av den sovjetiske geodesisten A. A. Izotov på grunnlag av forskning utført under generell ledelse av F. N ...

Jordens ellipsoide, bestemt fra gradmålinger i 1940 for hånden. F.N. Krasovsky. Dimensjoner til referanseellipsoiden: semimajor akse (ekvatorradius) 6378245 m, polar kompresjon 1: 298,3 ... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

Jordens ellipsoide, bestemt ut fra gradmålinger i 1940 under ledelse av F.N. Dimensjoner til referanseellipsoiden: semimajor akse (ekvatorradius) 6378245 m, polar kompresjon 1:298,3 ... encyklopedisk ordbok

En rotasjonsellipsoide, hvis dimensjoner er valgt med forbehold om den beste samsvar med figuren til en kvasi-geoid for jorden som helhet (generell terrestrisk ellipsoid) eller dens individuelle deler (referanseellipsoide). Innhold 1 Parametre for jordens ellipsoide 2 ... Wikipedia

Referanseellipsoide er en tilnærming av formen til jordoverflaten (eller rettere sagt geoiden) ved hjelp av en rotasjonsellipsoide, brukt til geodesiens behov på et bestemt område av jordens overflate (territoriet til et enkelt land eller flere land). I Russland (i USSR siden ... ... Wikipedia

En rotasjonsellipsoide som best representerer figuren til geoiden, dvs. figuren til jorden som helhet. For den beste representasjonen av geoiden innenfor hele jorden, introduseres vanligvis en generell geoide. og definer det slik at: 1) volumet er lik volumet... Stor sovjetisk leksikon

Lengden på den store halvaksen til jordens ellipsoide er a = 6 378 245 m, mindre b = 6 356 863 m Forskjellen mellom halvaksene er 21,4 km. Holdning

Når man løser de fleste problemene innen navigasjon, neglisjeres jordens kompresjonsverdi, som er 0,3 %, og jorden anses å være en kule, hvis volum er lik volumet til jordens ellipsoide. Basert på denne konvensjonen, dvs. at

Grunnleggende punkter, linjer og sirkler

Storsirkelen EABQ (fig. 2), som er sporet av skjæringspunktet mellom jordklodens overflate med et plan vinkelrett på rotasjonsaksen PNPS og som går gjennom sentrum 0, kalles ekvator. Ekvatorplanet deler kloden i to halvkuler: nordlige og sørlige.

Sirkler av små sirkler, for eksempel eabq, e1a1b1q1, som er spor etter skjæringen av jordklodens overflate ved plan parallelt med ekvatorialplanet, kalles paralleller.

Store sirkler, for eksempel PN aAa1PS og PNbBb1PS, som er spor etter skjæringspunktet mellom jordklodens overflate av fly som går gjennom jordens rotasjonsakse (meridialplan), kalles meridianer.

Et ubegrenset antall paralleller og meridianer kan trekkes, men gjennom ett punkt kan det bare trekkes en parallell og en meridian, som kalles henholdsvis parallellen til et gitt punkt eller sted og meridianen til et gitt punkt eller sted.

Ris. 2

I nærheten av biblioteket i Alexandria, under solens posisjon over Siena på senit, var han i stand til å måle lengden på jordens meridian og beregne jordens radius. Det var Newton som først viste at formen på jorden burde være forskjellig fra en kules.

Det er kjent at planeten ble dannet under påvirkning av to krefter - kraften til gjensidig tiltrekning av partiklene og sentrifugalkraften som oppstår fra rotasjonen av planeten rundt sin akse. Tyngdekraften er resultatet av disse to kreftene. Graden av kompresjon avhenger av rotasjonsvinkelhastigheten: jo raskere kroppen roterer, jo mer flates den ved polene.

Ris. 2.1. Jordrotasjon

Konseptet med jordens figur kan tolkes forskjellig avhengig av hvilke krav som stilles til nøyaktigheten av å løse visse problemer. I noen tilfeller kan jorden tas som et fly, i andre - som en ball, i andre - som en biaksial rotasjonsellipsoide med lav polar kompresjon, i fjerdedeler - som en triaksial ellipsoid.

Ris. 2.2. Jordens fysiske overflate ( utsikt fra verdensrommet)

Land utgjør omtrent en tredjedel av jordens totale overflate. Den stiger over havet med gjennomsnittlig 900 - 950 m Sammenlignet med jordens radius (R = 6371 km), er dette en veldig liten verdi. Siden mesteparten av jordens overflate er okkupert av hav og hav, kan jordens form anses å være en jevn overflate som faller sammen med den uforstyrrede overflaten av verdenshavet og mentalt videreføres under kontinentene scientist Listing, ble denne figuren kalt geoid .
En figur avgrenset av en jevn overflate som sammenfaller med overflaten av vannet i Verdenshavet i en rolig tilstand, mentalt videreført under kontinentene, kalles geoid .
Verdenshavet refererer til overflatene til hav og hav knyttet til hverandre.
Overflaten til geoiden er vinkelrett på loddet på alle punkter.
Formen på geoiden avhenger av fordelingen av masser og tettheter i jordkroppen. Den har ikke et eksakt matematisk uttrykk og er praktisk talt ubestemmelig, og derfor brukes i geodetiske målinger, i stedet for geoiden, dens tilnærming - en kvasi-geoid -. Quasigeoid, i motsetning til geoiden, er unikt bestemt fra resultatene av målinger, sammenfaller med geoiden på territoriet til verdenshavet og er svært nær geoiden på land, og avviker bare noen få centimeter i flatt terreng og ikke mer enn 2 meter i høye fjell.
For å studere planeten vår, må du først bestemme formen og dimensjonene til en viss modell, hvis overflate er relativt godt studert geometrisk og mest fullstendig karakteriserer formen og dimensjonene til jorden. Deretter, med denne betingede figuren som den opprinnelige, bestemmes høydene på punktene i forhold til den. For å løse mange geodesiproblemer er Jordmodellen tatt Ellipsoid av revolusjon (sfæroid).

Retningen til loddet og retningen til normalen (vinkelrett) på overflaten av ellipsoiden ved punkter på jordoverflaten faller ikke sammen og danner en vinkel ε , kalt avvik av loddlinjen . Dette fenomenet skyldes det faktum at massetettheten i jordkroppen ikke er den samme og at loddlinjen avviker mot tettere masser. I gjennomsnitt er verdien 3 - 4", og på steder med anomalier når den titalls sekunder. Det faktiske havnivået i forskjellige regioner på jorden vil avvike med mer enn 100 meter fra den ideelle ellipsoiden.

Ris. 2.3. Forholdet mellom overflatene til geoiden og jordens ellipsoide.
1) verdenshavet; 2) jordens ellipsoide; 3) lodd; 4) jordens kropp; 5) geoide

For å bestemme størrelsen på jordens ellipsoide på land ble det tatt spesielle gradsmålinger (avstanden langs en meridianbue på 1º ble bestemt). I løpet av et og et halvt århundre (fra 1800 til 1940) ble det oppnådd forskjellige størrelser av jordens ellipsoide (ellipsoider av Delembert (d'Alembert), Bessel, Hayford, Clark, Krasovsky, etc.).
Delemberts ellipsoide har kun historisk betydning som grunnlag for å etablere det metriske målesystemet (på overflaten av Delemberts ellipsoide er en avstand på 1 meter lik en ti-milliondel av avstanden fra polen til ekvator).
Clark-ellipsoiden brukes i USA, Latin-Amerika, Mellom-Amerika og andre land. I Europa brukes Hayford-ellipsoiden. Den ble også anbefalt som en internasjonal, men parametrene til denne ellipsoiden ble hentet fra målinger gjort bare i USA, og inneholder dessuten store feil.
Fram til 1942 ble Bessel-ellipsoiden brukt i vårt land. I 1946 ble dimensjonene til Krasovskys jordellipsoide godkjent for geodetisk arbeid på Sovjetunionens territorium og er fortsatt i kraft på Ukrainas territorium.
Ellipsoiden, som brukes av en gitt stat, eller en egen gruppe av stater, for å utføre geodetisk arbeid og projisere punkter på jordens fysiske overflate på overflaten kalles referanseellipsoide. Referanseellipsoiden fungerer som en matematisk hjelpeoverflate som resultatene av geodetiske målinger på jordoverflaten føres til. Den mest suksessrike matematiske modellen av jorden for vårt territorium i form av en referanseellipsoide ble foreslått av prof. F. N. Krasovsky. Det geodetiske koordinatsystemet Pulkovo-1942 (SK-42), som ble brukt i Ukraina for å lage topografiske kart fra 1946 til 2007, er basert på denne ellipsoiden.

Dimensjoner av jordens ellipsoide ifølge Krasovsky

Da de introduserte Pulkovo-koordinatsystemet og det baltiske høydesystemet, overlot USSRs ministerråd generalstaben til de væpnede styrker i USSR og hoveddirektoratet for geodesi og kartografi under ministerrådet for USSR å beregne trianguleringen på nytt. og utjevning av nettverk til et enkelt system av koordinater og høyder, fullført før 1946, og forpliktet dem til å fullføre dem dette arbeidet innen en 5-års periode. Kontroll over gjenutgivelsen av topografiske kart ble overlatt til generalstaben for de væpnede styrker i USSR, og nautiske kart til hovedkvarteret til sjøstyrkene.
1. januar 2007 ble a USK-2000 - Ukrainsk koordinatsystem i stedet for SK-42. Den praktiske verdien av det nye koordinatsystemet er muligheten til effektivt å bruke globale navigasjonssatellittsystemer i topografisk og geodetisk produksjon, som har en rekke fordeler sammenlignet med tradisjonelle metoder.
Forfatteren av denne læreboken har ingen informasjon om at i Ukraina ble koordinatene til SK-42 omregnet til USK-2000 og nye topografiske kart ble publisert. På pedagogiske topografiske kart utgitt i 2010 av Statens forsknings- og produksjonsbedrift "Kartografi", forblir inskripsjonen "Koordinatsystem 1942" fortsatt i øvre venstre hjørne.
Koordinatsystemet fra 1963 (SK-63) var et derivat av det forrige statlige koordinatsystemet fra 1942 og hadde visse forbindelsesparametere med seg. For å sikre hemmelighold ble ekte data kunstig forvrengt i SK-63. Med fremveksten av kraftig datateknologi for høypresisjonsbestemmelse av kommunikasjonsparametere mellom ulike koordinatsystemer, mistet dette koordinatsystemet sin betydning på begynnelsen av 80-tallet. Det skal bemerkes at SK-63 ble kansellert ved en avgjørelse fra USSRs ministerråd i mars 1989. Men senere, gitt de store volumene av akkumulerte geospatiale data og kartografisk materiale (inkludert resultatene av landforvaltningsarbeid under Sovjetunionen), ble bruksperioden forlenget til alle data ble overført til det nåværende statlige koordinatsystemet.
For satellittnavigasjon brukes det tredimensjonale koordinatsystemet WGS 84 (World Geodetic System 1984). I motsetning til lokale systemer, er det et enkelt system for hele planeten. WGS 84 bestemmer koordinater i forhold til jordens massesenter, feilen er mindre enn 2 cm I WGS 84 regnes primmeridianen for å være IERS Reference Meridian. Det ligger 5,31 ″ øst for Greenwich-meridianen. Grunnlaget er en sfæroid med en større radius - 6.378.137 m (ekvatorial) og en mindre - 6.356.752.3142 m (polar). Avviker fra geoiden med mindre enn 200 m.
De strukturelle egenskapene til jordens figur tas fullt ut i betraktning i den matematiske behandlingen av geodetiske målinger med høy presisjon og opprettelsen av statlige geodetiske referansenettverk. På grunn av den lille kompresjonen (forholdet mellom forskjellen mellom den store og ekvatoriale halvaksen ( EN) av jordens ellipsoide og den polare semi-minoraksen ( b) til semi-hovedaksen [ a-b]/b) ≈ 1:300) når man løser mange problemer, kan jordens figur tas med tilstrekkelig nøyaktighet for praktiske formål sfære , lik i volum med jordens ellipsoide . Radiusen til en slik sfære for Krasovsky-ellipsoiden er R = 6371,11 km.

2.2. GRUNNLINJER OG FLY AV JORDENS ELLIPSOIDE

Når du bestemmer posisjonen til punkter på jordoverflaten og på overflaten av jordens ellipsoide, brukes visse linjer og plan.
Det er kjent at skjæringspunktene mellom rotasjonsaksen til jordens ellipsoide med overflaten er poler, hvorav en kalles nord Rs, og den andre - Sør Ryu(Fig. 2.4).

Ris. 2.4. Grunnlinjer og plan av jordens ellipsoide

Deler av jordens ellipsoide etter plan vinkelrett på dens mindre akse danner et spor i form av sirkler, som kalles paralleller. Paralleller har radier av forskjellige størrelser. Jo nærmere parallellene er midten av ellipsoiden, desto større radier. Parallellen med største radius lik halvhovedaksen til jordens ellipsoide kalles ekvator . Ekvatorplanet passerer gjennom midten av jordens ellipsoide og deler den i to like deler: den nordlige og den sørlige halvkule.
Krumningen av ellipsoidens overflate er en viktig egenskap. Det er preget av krumningsradiene til meridianseksjonen og delen av den første vertikalen, som kalles hovedseksjonene
Deler av overflaten til jordens ellipsoide av fly som passerer gjennom dens mindre akse (rotasjonsaksen) danner et spor i form av ellipser, som kalles meridianseksjoner .
I fig. 2,4 rett CO", vinkelrett på tangentplanet QC" på kontaktpunktet MED, kalt normal til overflaten av ellipsoiden på dette punktet. Hver normal til overflaten av ellipsoiden ligger alltid i meridianplanet, og skjærer derfor ellipsoidens rotasjonsakse. Normaler til punkter som ligger på samme parallelle krysser den lille aksen (rotasjonsaksen) i samme punkt. Normaler til punkter plassert på forskjellige paralleller skjærer rotasjonsaksen på forskjellige punkter. Normalen til et punkt som ligger på ekvator ligger i ekvatorplanet, og normalen ved polpunktet faller sammen med ellipsoidens rotasjonsakse.
Flyet som går gjennom normalen kalles normalt fly , og sporet fra delen av ellipsoiden ved dette planet er normal tverrsnitt . Et uendelig antall normale seksjoner kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt på overflaten av en ellipsoid. Meridianen og ekvator er spesielle tilfeller av normale snitt ved et gitt punkt på ellipsoiden.
Normalplan vinkelrett på meridianplanet ved et gitt punkt MED, kalt planet til den første vertikalen , og sporet langs hvilket det skjærer overflaten av ellipsoiden er en del av den første vertikalen (fig. 2.4).
Den relative posisjonen til meridianen og enhver normal seksjon som går gjennom punktet MED(Fig. 2.5) på en gitt meridian, bestemmes på overflaten av ellipsoiden av vinkelen EN, dannet av meridianen til et gitt punkt MED og vanlig seksjon.

Ris. 2.5. Normal seksjon

Denne vinkelen kalles geodetisk asimut normal seksjon. Den måles fra nordlig retning av meridianen med klokken fra 0 til 360°.
Hvis vi tar jorden for å være en ball, vil normalen til et hvilket som helst punkt på ballens overflate passere gjennom midten av ballen, og et hvilket som helst normalt plan danner et spor på overflaten av ballen i form av en sirkel , som kalles en stor sirkel.

2.3. METODER FOR Å BESTEMME JORDENS FIGUR OG DIMENSJONER

Følgende metoder ble brukt for å bestemme formen og størrelsen på jorden:

Astronomisk - geodetisk metode

Bestemmelse av jordens form og størrelse er basert på bruk av gradmålinger, hvis essens koker ned til å bestemme den lineære verdien av en grad av meridianbuen og parallell på forskjellige breddegrader. Direkte lineære målinger av betydelig utstrekning på jordens overflate er imidlertid vanskelige å redusere nøyaktigheten av arbeidet betydelig.
Trianguleringsmetode. Høy nøyaktighet ved måling av lange avstander sikres ved bruk av trianguleringsmetoden, utviklet på 1600-tallet. Den nederlandske vitenskapsmannen W. Snellius (1580 - 1626).
Trianguleringsarbeid for å bestemme buene til meridianer og paralleller ble utført av forskere fra forskjellige land. Tilbake på 1700-tallet. det ble funnet at en buegrad av meridianen ved polen er lengre enn ved ekvator. Slike parametere er typiske for en ellipsoide komprimert ved polene. Dette bekreftet I. Newtons hypotese om at Jorden, i samsvar med hydrodynamikkens lover, skulle ha form som en rotasjonsellipsoide, flatet ved polene.

Geofysisk (gravimetrisk) metode

Den er basert på måling av mengder som karakteriserer jordens gravitasjonsfelt og deres fordeling på jordoverflaten. Fordelen med denne metoden er at den kan brukes i hav og hav, det vil si hvor evnene til den astronomisk-geodetiske metoden er begrenset. Data fra målinger av gravitasjonspotensialet gjort på planetens overflate gjør det mulig å beregne komprimeringen av jorden med større nøyaktighet enn å bruke den astronomisk-geodetiske metoden.
Gravimetriske observasjoner begynte i 1743 av den franske vitenskapsmannen A. Clairaut (1713 - 1765). Han antok at jordens overflate har form av en sfæroid, det vil si figuren som jorden ville tatt hvis den var i en tilstand av hydrostatisk likevekt kun under påvirkning av kreftene til gjensidig tyngdekraft til partiklene og sentrifugalen. rotasjonskraft om en konstant akse. A. Clairaut foreslo også at jordens kropp består av kuleformede lag med et felles senter, hvis tetthet øker mot sentrum.

Utviklingen av rommetoden og studiet av jorden er knyttet til utforskningen av det ytre rom, som begynte med oppskytingen av den sovjetiske kunstige jordsatellitten (AES) i oktober 1957. Geodesi ble møtt med nye oppgaver knyttet til den raske utviklingen av astronautikk. Disse inkluderer overvåking av satellitter i bane og å bestemme deres romlige koordinater på et gitt tidspunkt. De identifiserte avvikene til reelle satellittbaner fra de forhåndsberegnet, forårsaket av ujevn fordeling av masser i jordskorpen, gjør det mulig å klargjøre ideen om jordens gravitasjonsfelt og som et resultat dens figur.

Spørsmål og oppgaver for selvkontroll

Til hvilke formål brukes data om jordas form og størrelse?

Ved hvilke tegn bestemte eldgamle mennesker at jorden har en sfærisk form?

Hvilken figur kalles geoiden?

Hvilken form kalles en ellipsoide?

Hvilken figur kalles referanseellipsoiden?

Hva er elementene og dimensjonene til Krasovskys ellipsoide?

Nevn hovedlinjene og planene til jordens ellipsoide.

Hvilke metoder brukes for å bestemme formen og størrelsen på jorden?

Gi en kort beskrivelse av hver metode.

Overflaten til jordens ellipsoide dannes ved å rotere ellipsen rundt sin mindre akse og har samme parametere som ellipsen som danner den. En ellipse er et geometrisk lokus av punkter hvis sum av avstander fra to faste punkter, kalt dens foci, er konstant og lik ellipsens hovedakse.

Ligningen til en ellipse i et system av plane rektangulære koordinater har formen

polar kompresjon 
; (2. 2)

eksentrisitet
; (2. 3)

andre eksentrisitet
. (2. 4)

For entydig å bestemme overflaten til en omdreiningsellipsoide, er det nødvendig å kjenne til to parametere, hvorav den ene må være lineær. Ved å bruke uttrykk (2.3) – (2.4), er det enkelt å få formler for å koble sammen ulike parametere:

) =en
=
;

;
;

;
.

For Krasovsky-ellipsoiden, som kjent, den semimajor-akse EN= 6.378.245 m Og polar kompresjon  = 1: 298. 3 , som kan brukes til å beregne følgende parameterverdier:

b = 6 356 863,0188m;

= 0. 003 352 3299;

e 2 = 0. 006 693 4216;

e /2 = 0. 006 738 5254.

For omtrentlige beregninger er det nyttig å huske de avrundede verdiene til parametrene til jordens ellipsoide: EN6400 km, a – b21km,1: 300 (310 -3), e 2 e /2 21: 150 (710 -3).

1. Koordinatsystemer for høyere geodesi og forholdet mellom dem

Ligningen av overflaten til en omdreiningsellipsoide i systemet med romlige rektangulære koordinater har formen

(3. 1)

Qn– normal til overflaten av ellipsoiden ved punktet Q.

Hvis i (3.1) setter vi x = 0 eller y = 0, får vi ligningene til meridianellipser

;
.

Hvis vi setter z = 0 i ligning (3.1), får vi ligningen til den geodesiske ekvator, som er en sirkel med radius en

Hvis overflaten til ellipsoiden blir skjært av planet z = const, får vi sirkler med radius r, som kalles geodesiske paralleller. Det følger at ekvator er en parallell med største radius ( r = en).

I figur 3.2 har vi koordinatsystemer som bestemmer posisjonen til punktet Q på meridianellipsen: flat rektangulær x, y; geodetisk breddegrad B; geosentrisk breddegrad Ф – vinkelen dannet av den geosentriske radiusvektoren OQ med ekvatorialplanet; redusert breddegrad u - vinkelen dannet av linjestykket Q 1 Q 2 O med ekvatorialplanet, hvor Q 1 og Q 2 er projeksjonene av punktet Q på sirkelen med radier en Og b, beskrevet rundt punkt O som sentrum.