함수 값의 테이블을 제공하자 응 나노드에서 엑스 0 < х 1 < ... < х п .표시 나는 = x 나는 – x 나는 -1 , 나= 1, 2, ... , 피.

운형자– 주어진 점을 통과하는 부드러운 곡선( x 나는, 응 나), 나 = 0, 1, ... , 피. 스플라인 보간 그것은 각 세그먼트에 [ x 나는 -1 , x 나는]어느 정도의 다항식이 사용됩니다. 3차 다항식이 가장 자주 사용되며 2차 또는 4차 다항식은 덜 자주 사용됩니다. 이 경우 다항식의 계수를 결정하기 위해 보간 노드에서 도함수의 연속 조건이 사용됩니다.

큐빅 스플라인을 사용한 보간각 세그먼트에 있을 때 로컬 보간을 나타냅니다. x 나는 -1 , x 나는], 나 = 1, 2, ... , 피특정 평활도 조건, 즉 함수 자체의 연속성과 절점에서의 1차 및 2차 도함수를 만족하는 3차 곡선이 사용됩니다. 3차 함수를 사용하는 이유는 다음과 같습니다. 보간 곡선이 점에 고정된 탄성 눈금자에 해당한다고 가정하면( x 나는, 응 나), 재료의 강도에 대한 과정에서 이 곡선이 미분 방정식의 해로 정의되는 것으로 알려져 있습니다. 에프(IV) ( 엑스) = 간격 [에서 0 x 나는 -1 , x 나는](간단한 표현을 위해 물리적 치수와 관련된 문제는 고려하지 않습니다). 그러한 방정식에 대한 일반적인 해는 임의의 계수를 갖는 3차 다항식이며, 이는 편리하게 다음 형식으로 작성됩니다.
나는(엑스) = 그리고 나 + 비 나는(엑스 - x 나는 -1) +나와 함께(엑스 - x 나는 -1) 2 + 디 나는(엑스 - x 나는 -1) 3 ,
x 나는-1 £ 엑스 £ x 나는, 나 = 1, 2, ... , 피.(4.32)

함수 계수 나는(엑스)은 함수의 연속성 조건과 내부 노드에서의 1차 및 2차 도함수로부터 결정됩니다. x 나는,나= 1, 2,..., 피 - 1.

공식 (4.32)에서 엑스 = x 나는-1 우리는 얻습니다

나는(xi- 1) = 응 나 -1 = 나는, 나 = 1, 2,..., 피,(4.33)

그리고 언제 엑스 = x 나는

나는(x 나는) = 그리고 나 + 나 안녕 나 +나랑 안녕 2 + 나는 안녕 나는 3 ,(4.34)

나= 1, 2,..., N.

보간 함수의 연속 조건은 다음과 같이 작성됩니다. 나는(x 나는) = 나는 -1 (x 나는), 나= 1, 2, ... , N- 1과 조건 (4.33)과 (4.34)에 따르면 만족합니다.

함수의 미분을 찾아보자 나는(엑스):

S" 나는(엑스) =비 나는 + 2나와 함께(엑스 - x 나는 -1) + 3디(엑스 – x 나는 -1) 2 ,

S" 나는(엑스) = 2씨 나는 + 6디 나는(x - x 나는 -1).

~에 엑스 = x 나는-1, 우리는 S" 나는(x 나는 -1) = 비 나는, 에스" (x 나는 -1) = 2나와 함께, 그리고 언제 엑스 = x 나는우리는 얻는다

S" 나는(x 나는) = 비 나는+ 2나랑 안녕+ 3어이 난 2 , 에스" (x 나는) = 2나와 함께 6나는 안녕 나는.

도함수의 연속성을 위한 조건은 다음 방정식으로 이어집니다.

S" 나는(x 나는) =S" 나는 +1 (x 나는) Þ 비 나는+ 2나랑 안녕+ 3어이 난 2 = 비 나는 +1 ,

나= 1, 2,... , 피 - 1. (4.35)

S" 나는 (x 나는) = S" 나는 +1 (x 나는) Þ 2 나와 함께 6나는 안녕 나는= 2c 나는 +1 ,

나= 1, 2,..., N- 1. (4.36)

총 4 개가 있습니다. N– 4개를 결정하는 2개의 방정식 N알려지지 않은. 두 개의 방정식을 더 얻으려면 추가 경계 조건이 사용됩니다. 예를 들어 보간 곡선의 끝점에서 곡률이 0이어야 한다는 요구 사항, 즉 2차 도함수는 세그먼트 끝에서 0과 같아야 합니다. ㅏ, 비]ㅏ = 엑스 0 , 비= xn:

에스" 1 (엑스 0) = 2씨 1 = 0 Þ 와 함께 1 = 0,

S"n(xn) = 2n으로 + 6d n h n = 0 Þ n으로 + 3d n h n = 0. (4.37)

방정식 (4.33)-(4.37) 시스템은 단순화될 수 있으며 스플라인 계수 계산을 위한 반복 공식을 얻을 수 있습니다.

조건 (4.33)에서 계수를 계산하기 위한 명시적인 공식이 있습니다. 나는:

나는 = 응 나 -1 , 나= 1,..., N. (4.38)

표현해보자 디 나는~을 통해 c 나는(4.36), (4.37)을 사용하여:

; 나 = 1, 2,...,N; .

넣어보자 n으로+1 = 0이면 디 나는우리는 하나의 공식을 얻습니다.

, 나 = 1, 2,...,N. (4.39)

표현을 바꿔보자 그리고 나그리고 디 나는평등으로 (4.34):

, 나= 1, 2,..., N.

그리고 표현하다 비 나는, 을 통해 나와 함께:

, 나= 1, 2,..., N. (4.40)

방정식(4.35)에서 계수를 제외해 보겠습니다. 비 나는그리고 디 나는(4.39)와 (4.40)을 사용하여:

나= 1, 2,..., N -1.

여기에서 우리는 결정을 위한 방정식 시스템을 얻습니다. 나와 함께:

방정식 시스템(4.41)은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

여기서 표기법이 소개됩니다.

, 나 =1, 2,..., N- 1.

스윕 방법을 사용하여 방정식 시스템 (4.42)을 풀어 보겠습니다. 우리가 표현하는 첫 번째 방정식에서 와 함께 2부터 와 함께 3:

씨 2 = 2 씨 3 + b 2 , , . (4.43)

(4.43)을 두 번째 방정식 (4.42)에 대입해 보겠습니다.

시간 2 (2 씨 3 + b 2) + 2( 시간 2 + 시간 3)씨 3 +h 3 씨 4 = g 2 ,

그리고 표현하다 와 함께 3부터 와 함께 4:

와 함께 3 = 3 와 함께 4 + b 3 , (4.44)

가정하면 나와 함께-1 = 에이 나 -1 c 나는+b 나-1개 나우리는 방정식 (4.42)을 얻습니다.

c 나는=a 나는 나와 함께+1+b 나

, 나 = 3,..., N– 1, 에 N= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c 나는=a 나는 나와 함께+1+b 나, 나= N, N -1,..., 2, (4.48)

씨 1 = 0.

3. 계수 계산 그리고 나, 비 나는,디 나는:

나는 = 응 나 -1 ,

나= 1, 2,..., N.

4. 스플라인을 사용하여 함수의 값을 계산합니다. 이렇게 하려면 다음 값을 찾으세요. 나, 변수의 주어진 값은 엑스세그먼트에 속합니다 [ x 나는 -1 , x 나는] 그리고 계산

나는(엑스) = 그리고 나 + 비 나는(엑스 - x 나는 -1) +나와 함께(엑스 - x 나는 -1) 2 + 디 나는(엑스 - x 나는 -1) 3 . (4.50)

스플라인(영어 단어 "spline")이라는 단어는 평면의 주어진 점을 통해 부드러운 곡선을 그리는 데 사용되는 유연한 눈금자를 의미합니다. 각 세그먼트의 이 보편적인 패턴의 모양은 입방 포물선으로 설명됩니다. 스플라인은 엔지니어링 응용 프로그램, 특히 컴퓨터 그래픽에서 널리 사용됩니다. 그래서 각각에 나–번째 세그먼트 [ x 나는 –1 ,xi], 나는= 1, 2,…, N,우리는 3차 다항식의 형태로 해를 찾을 것입니다:

나는(엑스)=a 나는 +b 나는(x~xi)+c 나는(엑스–x 나는) 2 /2+디 나(x~xi) 3 /6

알 수 없는 확률 a i , b i , c i , d i , i= 1, 2,..., N,우리는 다음에서 찾습니다:

보간 조건: 나는(x 나는)=나는 , 나는= 1, 2,..., N;에스 1 (엑스 0)=f 0 ,

기능의 연속성 나는(x 나는– 1 )=S i– 1 (x 나는 –1), 나는= 2, 3,..., N,

1차 및 2차 도함수의 연속성:

시(x 나는– 1)=시- 1 (x 나는 –1), S//i(x 나는 –1)=S // 나는 –1 (x 나는 –1), 나는= 2, 3,..., N.

이를 고려하면 정의 4의 경우 N우리는 시스템 4를 얻습니다. N–2 방정식:

나는 =f 나는 , 나는= 1, 2,..., N,

비 나는 안녕 – 나는 안녕 2 /2+ 나는 안녕 3 /6=나는 – 나는 –1 , 나는= 1, 2,..., N,

b i – b i–1 = c i hi – d i hi 2 /2, 나는= 2, 3,..., N,

d i h i = ci – ci– 1 , 나는= 2, 3,..., N.

어디 h i =x i – x i– 1. 누락된 두 방정식은 추가 조건에서 파생됩니다. 에스 //(ㅏ)=S //(비)=0. 이 경우에는 이라는 것을 알 수 있습니다. 알 수 없는 항목은 시스템에서 제외될 수 있습니다. 비 나, 디 나,시스템을 받은 후 아니오계수를 결정하기 위한 1개의 선형 방정식(SLAE) c 나는:

씨 0 = 0, c N = 0,

안녕 나는 c 나는 –1 + 2(안녕하세요 + 안녕하세요 +1)c 나는 +h 나는 +1 c 나는 +1 = 6 , 나는= 1, 2,…, N–1. (1)

그 후 계수가 계산됩니다. 비, 디:

, 나= 1, 2,..., N. (2)

일정한 그리드의 경우 안녕하세요 =h이 방정식 시스템은 단순화되었습니다.

이 SLAE는 삼중대각 행렬을 가지며 스윕 방법으로 해결됩니다.

계수는 다음 공식으로 결정됩니다.

값을 계산하려면 에스(엑스) 세그먼트의 임의 지점에서 지∈[에, 비] 계수에 대한 연립방정식을 풀어야 합니다. 나는 , 나는= 1,2,…, N–1, 그런 다음 모든 계수를 찾으십시오. 비 나, 디 나.다음으로, 어떤 간격이 [ x 나는 0, x 나는 0–1 ] 이 지점에 도달하고 숫자를 알면 나는 0,한 지점에서 스플라인과 그 파생물의 값을 계산합니다. 지

에스(지)=아 나 0 +b 나 0 (z–xi 0)+c 나는 0 (z–xi 0) 2 /2+디 나 0 (z–xi 0) 3 /6

에스/(지)=b 나 0 +c 나는 0 (z–xi 0)+디 나 0 (z–xi 0) 2 /2, 에스 //(지)=c 나는 0 +디 나 0 (z–xi 0).

스플라인 보간법을 이용하여 0.25점과 0.8점의 함수값을 계산해야 합니다.

우리의 경우: h i =1/4, .

다음을 결정하기 위해 방정식 시스템을 작성해 보겠습니다.

이 선형 방정식 시스템을 풀면 다음을 얻습니다.

첫 번째 세그먼트에 속하는 지점 0.25를 고려해 보겠습니다. . 그러므로 우리는,

네 번째 세그먼트에 속하는 점 0.8을 고려해 보겠습니다. .

따라서,

전역 보간

언제 전역 보간전체 구간에 걸쳐 단일 다항식이 발견됩니다. 에, 비], 즉. 인수 x의 전체 변동 간격에 대해 함수 f(x)를 보간하는 데 사용되는 다항식이 구성됩니다. 다항식(다항식) 형태의 보간 함수를 찾아보겠습니다. 중-학위 오후(엑스)=a 0 +a 1 x+a 2 엑스 2 +a 3 엑스 3 +…+a m x m .모든 보간 조건을 만족하려면 다항식의 차수는 얼마여야 합니까? 두 개의 점이 주어졌다고 가정해 봅시다: ( 엑스 0 ,에프 0) 및 ( 엑스 1 ,에프 1) 즉, N=1. 이 점들을 통해 단일 직선을 그릴 수 있습니다. 보간 함수는 1차 다항식입니다. 피 1 (엑스)=a 0 +a 1 엑스.세 점(N=2)을 통해 포물선을 그릴 수 있습니다. 피 2 (엑스)=a 0 +a 1 x+a 2 엑스 2 등 이런 식으로 추론하면 원하는 다항식은 차수를 가져야 한다고 가정할 수 있습니다. N .

이를 증명하기 위해 계수에 대한 방정식 시스템을 작성합니다. 시스템 방정식은 각각의 보간 조건을 나타냅니다. x=x 나는:

이 시스템은 필요한 계수에 대해 선형입니다. ㅏ 0 ,ㅏ 1 ,ㅏ 2 , …,N. SLAE는 행렬식이 0이 아닌 경우 해를 갖는 것으로 알려져 있습니다. 이 시스템의 결정자

이름을 품고 있다 Vandermonde 행렬식. 수학적 분석 과정에서 다음과 같은 경우 0과 다른 것으로 알려져 있습니다. xk≠xm(즉, 모든 보간 노드가 다릅니다). 따라서 시스템에 솔루션이 있음이 입증되었습니다.

우리는 계수를 찾기 위해 다음을 보여주었습니다.
ㅏ 0 ,ㅏ 1 ,ㅏ 2 , …,엔 SLAE를 해결해야 하는 어려운 작업입니다. 하지만 다항식을 구성하는 또 다른 방법이 있습니다. N-그러한 시스템을 해결할 필요가 없는 학위.

라그랑주 다항식

우리는 다음과 같은 형태로 해결책을 찾고 있습니다. , 어디 내가(지) – 기초 다항식 N-조건을 만족하는 학위: . 그러한 다항식을 구성하면 다음을 검증해 보겠습니다. 패 엔 (x)보간 조건을 충족합니다.

기저 다항식을 구성하는 방법? 정의해보자

, 나= 0, 1,..., N.

그건 이해하기 쉽죠

기능 내가(지)는 다항식이다 N-학년 지그리고 이에 대한 "기본성" 조건이 충족됩니다.

0, i≠k;, 즉 k=1,…,i-1 또는 k=i+1,…,N.

따라서 우리는 보간 다항식을 구성하는 문제를 해결할 수 있었습니다. N-학위를 취득하기 위해서는 SLAE를 풀 필요가 없습니다. 라그랑주 다항식은 다음과 같은 간단한 공식으로 작성할 수 있습니다. . 이 공식의 오류는 원래 함수가 다음과 같은 경우 추정될 수 있습니다. g(엑스)에는 다음과 같은 파생 상품이 있습니다. 아니오첫 번째 주문:

이 공식에서 방법의 오류는 함수의 속성에 따라 달라집니다. g(엑스), 보간 노드 및 점의 위치 지.계산 실험에서 알 수 있듯이, 라그랑주 다항식은 작은 값에 대해 작은 오류를 갖습니다. N<20 . 더 크게 N오류가 증가하기 시작합니다. 이는 라그랑주 방법이 수렴하지 않음을 나타냅니다(즉 오류가 증가해도 오류가 감소하지 않음). N).

특별한 경우를 고려해 봅시다. N=1이라고 하자. 즉, 함수 값은 두 지점에서만 지정됩니다. 그런 다음 기본 다항식의 형식은 다음과 같습니다.

, 즉. 조각별 선형 보간에 대한 공식을 얻습니다.

N=2로 둡니다. 그 다음에:

결과적으로 우리는 소위 공식을 얻었습니다. 2차 또는 포물선 보간.

예:특정 기능의 값은 다음과 같습니다.

다음과 같은 경우 함수의 값을 찾아야 합니다. z= 1, Lgrange 보간 다항식을 사용합니다. 애드 혹 N=3, 즉 라그랑주 다항식은 3차입니다. 기본 다항식의 값을 계산해 보겠습니다. 지=1:

경험식의 선택

함수를 보간할 때 보간 다항식의 값과 보간 노드에서 주어진 함수의 동일 조건을 사용했습니다. 실험적 측정의 결과로 초기 데이터를 얻은 경우 데이터가 정확하게 얻어지지 않았으므로 정확한 일치에 대한 요구 사항이 필요하지 않습니다. 이러한 경우 보간 조건의 대략적인 충족만 요구할 수 있습니다. 이 조건은 보간 기능이 에프엑스(F(x))주어진 지점을 정확히 통과하지는 않지만, 예를 들어 그림 1에 표시된 것처럼 해당 지점의 일부 인근을 통과합니다.

그런 다음 그들은 이야기합니다. 실험식 선택. 경험적 공식의 구성은 알려지지 않은 매개변수를 포함하는 이 공식의 유형을 선택하고 어떤 의미에서 이러한 매개변수 중 가장 좋은 것을 결정하는 두 단계6로 구성됩니다. 공식의 형태는 때때로 물리적 고려 사항(탄성 매체의 경우 응력과 변형률 사이의 관계)을 통해 알려지거나 기하학적 고려 사항에서 선택됩니다. 실험 점은 그래프에 표시되고 관계의 일반적인 형태는 비교를 통해 대략적으로 추측됩니다. 가중치 함수 그래프가 포함된 결과 곡선. 여기서 성공은 주로 연구자의 경험과 직관에 의해 결정됩니다.

연습에서는 다항식으로 함수를 근사하는 경우가 중요합니다. .

경험적 의존성의 유형을 선택한 후 경험적 데이터에 대한 근접성 정도는 다음을 사용하여 결정됩니다. 계산된 데이터와 실험 데이터의 제곱 편차의 최소 합입니다.

최소제곱법

초기 데이터를 보자 x i , fi , i= 1,…,N(하나부터 시작하는 것이 좋습니다),선택한 경험적 의존 유형은 다음과 같습니다. 알 수 없는 계수를 사용합니다. 실험식을 사용하여 계산된 값과 주어진 실험 데이터 사이의 제곱 편차의 합을 적어 보겠습니다.

함수의 최소값에 대한 조건에서 매개변수를 찾습니다. . 이것은 최소제곱법(LSM).

최소점에서 의 모든 편도함수는 0과 같다고 알려져 있습니다.

(1)

실제로 널리 사용되는 특수한 경우를 위해 최소자승법의 사용을 고려해보자. 경험적 함수로서 다항식을 고려하십시오.

제곱 편차의 합을 결정하는 공식(1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

파생 상품을 계산해 보겠습니다.

이러한 표현식을 0으로 동일시하고 미지수에 대한 계수를 수집하면 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다.

전체 세그먼트에 대해 다수의 보간 노드를 사용할 때 Lagrange, Newton 및 Stirling 등의 보간 공식 [ ㅏ, 비] 계산 과정에서 오류가 누적되어 근사치가 좋지 않은 경우가 많습니다. 또한 보간 과정의 차이로 인해 노드 수를 늘려도 정확도가 반드시 향상되는 것은 아닙니다. 오류를 줄이기 위해 전체 세그먼트 [ ㅏ, 비]는 부분 세그먼트로 나뉘며 각 세그먼트에서 함수는 대략 낮은 차수의 다항식으로 대체됩니다. 그것은이라고 조각별 다항식 보간.

전체 세그먼트에 대한 보간 방법 중 하나 [ ㅏ, 비] 이다 스플라인 보간.

운형자구간별 다항식 함수는 [ ㅏ, 비] 그리고 이 세그먼트에 특정 수의 연속 파생 상품이 있습니다. 기존 보간법에 비해 스플라인 보간법의 장점은 계산 과정의 수렴성과 안정성입니다.

실제로 가장 일반적인 경우 중 하나인 함수 보간을 고려해 보겠습니다. 큐빅 스플라인.
세그먼트를 보자 [ ㅏ, 비] 연속 함수가 지정됩니다. 세그먼트의 파티션을 소개하겠습니다.

그리고 , .

주어진 함수와 보간 노드(6)에 해당하는 스플라인은 다음 조건을 만족하는 함수이다.

1) 각 세그먼트에서 함수는 3차 다항식입니다.

2) 함수와 그 1차 및 2차 도함수는 구간 [ ㅏ, 비] ;

세 번째 조건이라고 합니다. 보간 조건. 조건 1) – 3)에 의해 정의된 스플라인을 다음과 같이 부릅니다. 큐빅 스플라인 보간.

3차 스플라인을 구성하는 방법을 고려해 보겠습니다.

각 세그먼트에서, 3차 다항식 형태의 스플라인 함수를 찾아 보겠습니다.

(7)

어디 필요한 계수.

(7)을 세 번 미분해보자. 엑스:

어디서부터 다음과 같은가?

보간 조건 3)에서 다음을 얻습니다.

이는 함수의 연속성 조건에 따릅니다.

2.2 큐빅 스플라인을 이용한 보간

주어진 함수 f(x)와 주어진 노드 x i에 대응하는 3차 보간 스플라인은 다음 조건을 만족하는 함수 S(x)입니다:

1. 각 세그먼트 i = 1, 2, ..., N에서 함수 S(x)는 3차 다항식입니다.

2. 함수 S(x)와 그 1차 및 2차 도함수는 구간에서 연속입니다.

3. S(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., N.

각 세그먼트 i = 1, 2, ..., N에서 3차 다항식의 형태로 S(x) = S i (x) 함수를 찾습니다.

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x 나는 - 1 Ј x Ј x 나는 ,

여기서 a i, bi, c i, d i 는 n개의 모든 요소 세그먼트에 대해 결정되는 계수입니다. 대수 방정식 시스템이 해를 가지려면 방정식의 수가 미지수의 수와 정확히 같아야 합니다. 그러므로 우리는 4n개의 방정식을 얻어야 합니다.

우리는 함수 S(x)의 그래프가 주어진 점을 통과해야 한다는 조건으로부터 처음 2n개의 방정식을 얻습니다.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

이러한 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

S i (xi - 1) = a i = y i - 1 ,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i ,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

다음 2n - 2 방정식은 보간 노드에서 1차 도함수와 2차 도함수의 연속성 조건, 즉 모든 점에서 곡선의 평활도 조건을 따릅니다.

Si + 1 (xi) = Si (xi), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

각 내부 노드 x = x i에서 노드의 왼쪽과 오른쪽 간격으로 계산된 이러한 도함수의 값을 동일시하면 다음을 얻습니다(hi = x i - x i - 1을 고려).

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

Si + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

만약 x = x i라면

c i + 1 = c i + 3 h i d i , i = 1,2, ..., n - 1.

이 단계에서는 4n개의 미지수와 4n - 2개의 방정식이 있습니다. 따라서 두 개의 방정식을 더 찾아야 합니다.

끝이 느슨하게 고정되면 이 지점의 선 곡률을 0으로 설정할 수 있습니다. 끝 부분의 곡률이 0인 조건에서 이 점의 2차 도함수는 0과 같습니다.

S 1 (x 0) = 0 및 S n (x n) = 0,

c i = 0 및 2 c n + 6 d n h n = 0.

방정식은 4n개의 계수(a i, bi, ci, di (i = 1, 2, ..., n))를 결정하기 위한 선형 대수 방정식 시스템을 구성합니다.

이 시스템은 보다 편리한 형태로 구현될 수 있습니다. 조건에서 모든 계수 a i를 즉시 찾을 수 있습니다.

나는 = 1, 2, ..., n - 1,

이를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

b i = - (ci + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

방정식에서 계수 b i 및 d i 를 제외합니다. 마지막으로 i가 있는 계수에 대해서만 다음 방정식 시스템을 얻습니다.

c 1 = 0 및 c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (hi - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

나는 = 2, 3, ..., n입니다.

i를 사용하여 찾은 계수로부터 d i,b i를 계산하는 것은 쉽습니다.

Monte Carlo 방법을 사용한 적분 계산

이 소프트웨어 제품은 두 개의 2차원 스플라인 표면(차원 3의 피적분함수에 대해)으로 적분 영역에 대한 추가 제한을 설정하는 기능을 구현합니다.

함수 보간

함수 값 f(xi) = yi ()의 테이블이 주어지며 인수 값의 오름차순으로 정렬됩니다. x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

스플라인 보간

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프로그램의 알고리즘에 대해 알아 봅시다. 1. 값을 계산하고 2. 이 값을 기반으로 실행 계수를 계산하고 o. 3. 얻은 데이터를 바탕으로 계수 4를 계산합니다.

기술 객체의 수학적 모델링

내장된 MathCAD 기능을 사용하면 보간을 통해 실험 지점을 통해 다양한 복잡성 수준의 곡선을 그릴 수 있습니다. 선형 보간...

함수 근사 방법

각 세그먼트에서 보간 다항식은 상수, 즉 함수의 왼쪽 또는 오른쪽 값과 같습니다. 왼쪽 조각별 선형 보간의 경우 F(x)= fi-1, if xi-1 ?x

함수 근사 방법

각 구간에서 함수는 선형 Fi(x)=kix+li입니다. 계수 값은 세그먼트 끝 부분의 보간 조건인 Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi를 충족하여 찾습니다. 우리는 방정식 시스템을 얻습니다: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi, 여기서 ki=li= fi- kixi...를 찾습니다.

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미분 방정식을 푸는 과정을 설명하는 수학적 모델 구축

3.1 라그랑주 보간 다항식의 구축과 값의 응축 이 문제를 해결하는 확실한 방법은 함수 ѓ의 분석값을 사용하여 ѓ(x)의 값을 계산하는 것입니다. 이를 위해 - 초기 정보에 따르면...

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매끄러운 함수의 보간의 실제 적용

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수학적 문제를 해결하기 위한 수치적 방법의 적용

수치적 방법

따라서 위에서 언급한 것처럼 보간 작업은 그래프가 주어진 점을 통과하는 다항식을 찾는 것입니다. 함수 y=f(x)를 표(표 1)를 사용하여 지정합니다.

수학 문제를 해결하기 위한 수치적 방법

실제 문제에서 접하게 되는 곡선과 곡면은 다소 복잡한 형태를 갖는 경우가 많으며, 이는 기본 기능을 사용하여 전체적으로 보편적인 분석 작업을 허용하지 않습니다. 따라서 세그먼트(곡선) 또는 컷(표면)과 같은 비교적 단순한 부드러운 조각으로 구성되며, 각 조각은 하나 또는 두 개의 변수로 구성된 기본 함수를 사용하여 상당히 만족스럽게 설명할 수 있습니다. 이 경우, 부분 곡선이나 표면을 구성하는 데 사용되는 매끄러운 함수가 유사한 성격을 가져야 함을 요구하는 것은 매우 자연스러운 일입니다. 예를 들어 동일한 차수의 다항식이어야 합니다. 그리고 결과 곡선이나 표면이 충분히 매끄러워지도록 하려면 해당 조각이 결합되는 위치에 특히 주의해야 합니다. 다항식의 차수는 단순한 기하학적 고려 사항에서 선택되며 일반적으로 작습니다. 전체 복합 곡선을 따라 접선을 부드럽게 변경하려면 3차 다항식인 3차 다항식을 사용하여 결합된 곡선을 설명하는 것으로 충분합니다. 이러한 다항식의 계수는 해당 복합 곡선의 곡률이 연속적이도록 항상 선택될 수 있습니다. 1차원 문제를 해결할 때 발생하는 큐빅 스플라인은 복합 표면 조각 구성에 적용할 수 있습니다. 그리고 여기에서는 두 변수 각각에 3차 다항식을 사용하여 설명되는 쌍삼차 스플라인이 아주 자연스럽게 나타납니다. 이러한 스플라인을 사용하려면 상당히 많은 양의 계산이 필요합니다. 그러나 적절하게 구성된 프로세스를 통해 지속적으로 증가하는 컴퓨터 기술의 기능을 최대한 고려할 수 있습니다. 스플라인 기능 세그먼트, 즉 Remark를 설정합니다. 숫자 a^의 인덱스(t)가 이를 나타냅니다. 각 부분 세그먼트 D에서 함수 5(x)를 결정하는 계수 세트가 다르다는 것입니다. 각 세그먼트 D1에서 스플라인 5(x)는 p차 다항식이며 이 세그먼트에서 p + 1 계수에 의해 결정됩니다. 전체 부분 세그먼트 - 그럼. 이는 스플라인을 완전히 결정하려면 (p + 1)다음 숫자를 찾아야 함을 의미합니다. 조건)은 그리드 w의 모든 내부 노드에서 함수 5(x)와 그 파생어의 연속성을 의미합니다. 그러한 노드의 수는 m - 1입니다. 따라서 모든 다항식의 계수를 찾기 위해 p(m - 1) 조건(방정식)이 얻어집니다. 스플라인을 완전히 정의하려면 조건(방정식)이 충분하지 않습니다. 추가 조건의 선택은 고려 중인 문제의 성격에 따라 결정되며 때로는 단순히 사용자의 희망에 따라 결정됩니다. 스플라인 이론 솔루션의 예 보간 및 평활화 문제는 평면의 주어진 점 배열에서 하나 또는 다른 스플라인을 구성해야 할 때 가장 자주 고려됩니다. 보간 문제는 스플라인 그래프가 점을 통과해야 하며, 이는 m + 1 추가를 부과합니다. 계수에 대한 조건(방정식). 스플라인의 고유한 구성을 위한 나머지 p - 1 조건(방정식)은 고려 중인 세그먼트 끝에서 스플라인의 하급 도함수 값 형태로 가장 자주 지정됩니다. [a, 6] - 경계( 가장자리) 조건. 다양한 경계 조건을 선택하는 기능을 통해 다양한 속성을 가진 스플라인을 구성할 수 있습니다. 평활화 문제에서는 그래프가 점 (i""Y"), * = 0, 1,..., t 근처를 통과하고 이를 통과하지 않도록 스플라인이 구성됩니다. 이러한 근접성의 측정은 다양한 방식으로 정의될 수 있으며 결과적으로 매우 다양한 평활화 스플라인이 생성됩니다. 스플라인 기능을 구성할 때 선택하기 위해 설명된 옵션은 모든 다양성을 소진하지 않습니다. 그리고 처음에는 조각별 다항식 스플라인 함수만 고려했다면 적용 범위가 확장됨에 따라 다른 기본 함수에서 "함께 붙어 있는" 스플라인이 나타나기 시작했습니다. 보간 3차 스플라인 보간 문제의 설명 세그먼트 [a, 6)에 그리드 w가 주어졌다고 가정합니다. 그리드 노드 o"에서 지정된 값을 취하는 세그먼트(a, 6]에 대해 평활 함수를 구성합니다. 즉, 참고: 정식화된 보간 문제는 테이블에 지정된 평활 함수를 복원하는 것으로 구성됩니다(그림 2). 그러한 문제에는 다양한 해결책이 있다는 것이 분명합니다. 구성된 함수에 추가 조건을 부과함으로써 필요한 고유성을 달성하는 것이 가능합니다. 응용 프로그램에서는 충분히 좋은 규정을 갖춘 함수를 사용하여 분석적으로 정의된 함수를 근사화해야 하는 경우가 종종 있습니다. 예를 들어 주어진 함수 /(x)의 값이 지점에서 계산되는 경우 세그먼트 [a, 6]은 상당한 어려움과 연관되어 있으며/또는 주어진 함수 /(x)에는 다음이 없습니다. 부드러움이 필요하면 주어진 함수에 매우 근접하고 단점이 없는 다른 함수를 사용하는 것이 편리합니다. 세그먼트 [a, 6]와 일치하는 부드러운 함수 a(x). 주어진 함수 f(x)를 사용하여 그리드 노드 w에서. 보간 3차 스플라인의 정의 메시 w의 보간 3차 스플라인 S(x)는 1) 각 세그먼트에서 3차 다항식이고, 2) 세그먼트 [a, b에서 두 번 연속 미분 가능합니다. ], 즉 클래스 C2[a, 6]에 속하며, 3) 각 세그먼트에서 스플라인 S(x)는 3차 다항식이며 이 세그먼트에서 4개의 계수에 의해 결정됩니다. . 총 세그먼트 수는 m입니다. 이는 스플라인을 완전히 정의하려면 4m개의 숫자를 찾아야 함을 의미합니다. 조건은 함수 S(x)와 그 파생물 S"(x) 및 5"의 연속성을 의미합니다. (x) 모든 내부 그리드 노드 w에서. 그러한 노드의 수는 m - 1입니다. 따라서 모든 다항식의 계수를 찾기 위해 또 다른 3(m - 1) 조건(방정식)이 얻어집니다. 조건 (2)와 함께 조건(식)이 구해진다. 경계(에지) 조건 간격 [a, 6]의 끝에서 스플라인 및/또는 그 파생 값에 대한 제한 형식으로 두 가지 누락 조건이 지정됩니다. 보간 큐빅 스플라인을 구성할 때 다음 네 가지 유형의 경계 조건이 가장 자주 사용됩니다. 가. 1차 유형의 경계조건. - 간격 [a, b]의 끝에서 원하는 함수의 1차 도함수 값이 지정됩니다. B. 2차 유형의 경계조건. - 간격 (a, 6)의 끝에서 원하는 함수의 2차 도함수 값이 지정됩니다. B. 3차 유형의 경계조건. 주기적이라고 합니다. 보간된 함수가 주기 T = b-a로 주기적인 경우 이러한 조건을 충족해야 하는 것이 당연합니다. D. 4차 유형의 경계조건. 특별한 의견이 필요합니다. 코멘트. 내부 sepsi 노드에서 함수 S(x)의 3차 도함수는 일반적으로 불연속적입니다. 그러나 4차 유형의 조건을 사용하면 3차 미분의 불연속점 수를 줄일 수 있습니다. 이 경우 구성된 스플라인은 간격에 따라 연속적으로 3번 미분 가능하게 됩니다. 보간 3차 스플라인의 구성 구해지는 양의 개수가 동일한 3차 스플라인의 계수를 계산하는 방법을 설명하겠습니다. 각 간격에서 보간 스플라인 함수는 다음 형식으로 구됩니다. 여기서 SPLINE 이론 해와 숫자의 예는 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해이며 그 형식은 경계 조건 유형에 따라 다릅니다. 유형 1과 2의 경계 조건에 대해 이 시스템은 계수가 경계 조건의 선택에 따라 달라지는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 첫 번째 유형의 경계 조건: 두 번째 유형의 경계 조건: 세 번째 유형의 경계 조건의 경우 숫자를 결정하는 시스템은 다음과 같이 작성됩니다. 마지막 시스템의 미지수 수는 mn과 같습니다. po = nm라는 주기성 조건을 따릅니다. 네 번째 유형의 경계 조건의 경우 숫자 결정 시스템은 시스템에서 찾은 솔루션을 기반으로 공식을 사용하여 숫자 po와 n을 결정할 수 있는 형식을 갖습니다. 세 가지 선형 대수 시스템의 행렬은 모두 대각선 지배 행렬입니다. 행렬은 단수가 아니므로 각 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 정리. 조건 (2)와 위에 나열된 네 가지 유형 중 하나의 경계 조건을 충족하는 보간 3차 스플라인이 존재하며 고유합니다. 따라서 보간 3차 스플라인을 구성한다는 것은 그 계수를 구하는 것을 의미하며, 스플라인 계수를 구하면 선분 [a, b]의 임의 지점에서의 스플라인 S(x)의 값은 식 (3)을 이용하여 구할 수 있다. . 그러나 실제 계산에서는 값 5(g)를 찾는 다음 알고리즘이 더 적합합니다. x 6 [x"라고 하면 먼저 공식을 사용하여 A와 B의 값을 계산한 다음 값 5(x)를 찾습니다. 이 알고리즘을 사용하면 값을 결정하는 데 드는 계산 비용이 크게 줄어듭니다. 사용자 경계(에지) 조건과 보간 노드를 선택하면 보간 스플라인의 속성을 어느 정도 제어할 수 있습니다. A. 경계(가장자리) 조건의 선택. 경계 조건의 선택은 보간 함수의 핵심 문제 중 하나입니다. 이는 세그먼트 [a, 6)의 끝 부분 근처에 있는 스플라인 5(g)에 의한 함수 f(x) 근사의 높은 정확도를 보장해야 하는 경우에 특히 중요합니다. 경계값은 점 a와 b 근처의 스플라인 5(g)의 거동에 눈에 띄는 영향을 미치며, 이 영향은 점에서 멀어질수록 빠르게 약해집니다. 경계 조건의 선택은 근사 함수 f(x)의 동작에 대한 추가 정보의 가용성에 따라 결정되는 경우가 많습니다. 1차 도함수 f"(x)의 값이 세그먼트(a, 6)의 끝 부분에서 알려진 경우 첫 번째 유형의 경계 조건을 사용하는 것이 당연합니다. 2차 도함수 값이 f"(x)는 세그먼트 [a, 6]의 끝에서 알려져 있으므로 유형 2의 경계 조건을 자연스럽게 사용합니다. 유형 1과 2의 경계 조건 중에서 선택할 수 있는 경우 유형 1의 조건이 우선적으로 제공되어야 합니다. f(x)가 주기 함수인 경우 유형 3 경계 조건에서 멈춰야 합니다. 근사된 함수의 동작에 대한 추가 정보가 없는 경우 소위 자연 경계 조건이 사용되는 경우가 많습니다. 그러나 이러한 경계 조건을 선택하면 함수 f( x) 세그먼트 끝 근처의 스플라인 S(x)(a, ft]가 급격히 감소합니다. 때로는 첫 번째 또는 두 번째 유형의 경계 조건이 사용되지만 해당 도함수의 정확한 값은 아니지만 이 접근법의 실제 계산 경험에 따르면 이는 고려 중인 상황에서 네 번째 유형의 가장 적절한 선택입니다. B. 보간 노드 선택. 함수의 3차 도함수 f""(x)가 세그먼트 [a, b]의 일부 지점에서 불연속성을 갖는 경우 근사 품질을 향상시키기 위해 이러한 지점을 보간 노드 수에 포함해야 합니다. 2차 도함수 /"(x)가 불연속적인 경우 불연속점 근처에서 스플라인의 진동을 방지하려면 특별한 조치를 취해야 합니다. 일반적으로 2차 도함수의 불연속점이 떨어지도록 보간 노드가 선택됩니다. 값 a는 수치 실험을 통해 선택할 수 있습니다(종종 a = 0.01로 설정하는 것으로 충분함). (x)는 불연속적입니다. 가장 간단한 방법 중 하나로 다음을 제안할 수 있습니다. 근사 세그먼트를 도함수가 연속적인 간격으로 나누고 이러한 각 간격에 스플라인을 구성합니다. 보간 함수 선택(장단점) 접근 방식 1. 라그랑주 보간 다항식 주어진 배열 SPLINE THEORY 솔루션의 예(그림 3)에 대해 라그랑주 보간 다항식은 다음 식에 의해 결정됩니다. 두 개의 반대 위치에서 라그랑주 보간 다항식의 속성을 고려하여 주요 장점을 별도로 논의하는 것이 좋습니다. 단점. 첫 번째 접근법의 주요 장점: 1) 라그랑주 보간 다항식의 그래프가 배열의 각 점을 통과합니다. 2) 구성된 함수가 쉽게 설명됩니다(결정할 그리드의 라그랑주 보간 다항식의 계수 수는 다음과 같습니다). m + 1)과 같습니다. 3) 구성된 함수는 임의 차수의 연속 도함수를 갖습니다. 4) 보간 다항식은 주어진 배열에 의해 고유하게 결정됩니다. 첫 번째 접근 방식의 주요 단점: 1) 라그랑주 보간 다항식의 차수는 그리드 노드 수에 따라 달라지며, 이 수가 클수록 보간 다항식의 차수가 높아지므로 더 많은 계산이 필요합니다. 2) 배열에서 적어도 하나의 점을 변경하려면 라그랑주 보간 다항식의 계수를 완전히 다시 계산해야 합니다. 3) 배열에 새 점을 추가하면 라그랑주 보간 다항식의 차수가 1만큼 증가하고 계수도 완전히 다시 계산됩니다. , 4) 메시를 무제한으로 세분화하면 라그랑주 보간 다항식의 정도가 무한정 증가합니다. 무제한 메쉬 미세 조정을 사용하는 라그랑주 보간 다항식의 동작에는 일반적으로 특별한 주의가 필요합니다. 설명 A. 다항식에 의한 연속 함수의 근사. 구간의 임의의 연속(그리고 훨씬 더 부드러운) 함수는 다항식에 의해 이 구간에서 원하는 대로 근사화될 수 있다는 것이 알려져 있습니다(Weierstrass, 1885). 이 사실을 공식의 언어로 설명하겠습니다. f(x)를 구간 [a, 6]에서 연속인 함수로 둡니다. 그런 다음 e > 0에 대해 간격 [a, 6]의 모든 x에 대해 부등식이 충족되는 다항식 Р(x)가 있습니다(그림 4). 함수에 근사하는 동일한 차수라도 다항식에 유의하세요. f(x)는 지정된 정확도를 가지므로 무한히 많습니다. 세그먼트 [a, 6]에 그리드 w를 구성해 보겠습니다. 일반적으로 그 노드는 다항식 Pn(x) 그래프와 함수 f(x)의 교차점과 일치하지 않는다는 것이 분명합니다(그림 5). 따라서 주어진 메시에 대해 다항식 Pn(x)는 보간법이 아닙니다. 연속 함수가 Jla-gracz 보간 다항식에 의해 근사될 때, 그 그래프는 세그먼트 [a, b)의 각 점에서 함수 f(x)의 그래프에 가까울 필요가 없을 뿐만 아니라 다음에서 벗어날 수도 있습니다. 원하는 만큼 이 기능을 사용할 수 있습니다. 두 가지 예를 들어 보겠습니다. 사례 1(Rung, 1901). 간격 [-1, 1]에서 함수에 대한 노드 수가 무제한 증가하면 극한 동일성이 충족됩니다(그림 6) 예 2(Beristein, 1912). 연속 함수 /(x) = |x|에 대해 균일한 그리드에 구성된 일련의 라그랑주 보간 다항식 노드 수가 증가하는 세그먼트에서 m은 함수 /(x)에 대한 경향이 없습니다(그림 7). 접근 방식 2. 조각별 선형 보간 보간 함수의 매끄러움을 포기하면 장점 개수와 단점 개수의 비율이 전자쪽으로 눈에 띄게 변경될 수 있습니다. 점(xit y)을 직선 세그먼트와 순차적으로 연결하여 조각별 선형 함수를 구성해 보겠습니다(그림 8). 두 번째 접근 방식의 주요 장점: 1) 조각별 선형 함수의 그래프가 배열의 각 지점을 통과합니다. 2) 구성된 함수가 쉽게 설명됩니다(그리드에 대해 결정되는 해당 선형 함수의 계수 수( 1) 2m), 3) 구성된 함수는 주어진 배열에 의해 고유하게 정의됩니다. 4) 보간 함수를 설명하는 데 사용되는 다항식의 차수는 그리드 노드 수(1과 같음)에 의존하지 않습니다. 5) 변경됩니다. 배열의 한 점을 계산하려면 4개의 숫자(새 점에서 나오는 두 개의 직선 링크의 계수)를 계산해야 합니다. 6) 배열에 추가 점을 추가하려면 4개의 계수를 계산해야 합니다. 조각별 선형 함수는 메시를 다듬을 때에도 매우 잘 작동합니다. 두 번째 접근 방식의 주요 단점: 근사 조각별 선형 함수가 매끄럽지 않습니다. 1차 도함수는 그리드 노드(보간 귀)에서 불연속성을 겪습니다. 접근 방식 3. 스플라인 보간(Spline interpolation) 제안된 접근 방식을 결합하여 두 접근 방식의 나열된 장점 수를 유지하면서 동시에 단점 수를 줄일 수 있습니다. 이는 p차의 부드러운 보간 스플라인 함수를 구성하여 수행할 수 있습니다. 세 번째 접근 방식의 주요 장점: 1) 구성된 함수의 그래프가 배열의 각 점을 통과합니다. 2) 구성된 함수는 상대적으로 설명하기 쉽습니다(그리드에 대해 결정되는 해당 다항식의 계수 수( 1)은 3) 구성된 함수가 주어진 배열에 의해 고유하게 정의됩니다. 4) 차수 다항식은 그리드 노드 수에 의존하지 않으므로 증가해도 변하지 않습니다. 5) 구성된 함수는 연속적입니다. p - 1까지의 도함수, 6) 구성된 함수는 좋은 근사 속성을 갖습니다. 간략한 정보. 제안된 이름인 스플라인은 우연이 아닙니다. 우리가 소개한 부드러운 조각별 다항식 함수와 스플라인 그리기는 밀접하게 관련되어 있습니다. (x, y) 평면에 위치한 배열의 기준점을 통과하는 유연하고 이상적으로 얇은 눈금자를 생각해 보겠습니다. 베르누이-오일러 법칙에 따르면, 곡선 자의 선형 방정식은 S(x)가 굽힘, M(x)가 지지대에서 지지대까지 선형으로 변하는 굽힘 모멘트, E1이 자의 강성인 형태를 갖습니다. . 공식 선을 설명하는 함수 S(x)는 배열(지지점)의 각 점과 두 개의 인접한 점 사이의 3차 다항식이며 전체 간격(a, 6)에 걸쳐 두 번 연속으로 미분 가능합니다. 코멘트. 06 연속함수 보간 라그랑주 보간 다항식과 달리 균일한 메쉬에 3차 스플라인을 보간하는 시퀀스는 항상 보간 연속함수로 수렴하며, 이 함수의 미분 특성이 향상될수록 수렴 속도가 빨라집니다. 예. 함수의 경우 노드 수가 m = 6인 그리드의 3차 스플라인은 보간 다항식 Ls(z)와 동일한 차수의 근사 오류를 제공하고 노드 수가 m = 21인 그리드에서 이 오류는 다음과 같습니다. 너무 작아서 일반 책 그림의 규모로는 표시할 수 없습니다(그림 10)(보간 다항식 1>2o(r)은 이 경우 약 10,000J의 오류를 제공합니다). 보간 3차 스플라인의 속성 A. 3차 스플라인의 근사화 속성. 보간 스플라인의 근사 속성은 함수 f(x)의 매끄러움에 따라 달라집니다. 보간된 함수의 매끄러움이 높을수록 근사 차수가 높아지며, 메시를 다듬을 때 수렴 속도도 빨라집니다. 보간된 함수 f(x)가 구간에서 연속인 경우 보간된 함수 f(x)가 구간 [a, 6]에서 연속적인 1차 도함수를 갖는 경우, 즉 1차 또는 3차의 경계조건을 만족하는 보간 스플라인 유형, 그러면 h O에 대해 우리는 다음을 얻습니다. 이 경우 스플라인은 보간된 함수로 수렴할 뿐만 아니라 스플라인의 도함수도 이 함수의 도함수로 수렴합니다. 스플라인 S(x)가 세그먼트 [a, b]의 함수 f(x)에 근접하고 해당 1차 도함수와 2차 도함수는 각각 3차 스플라인의 극값 속성에 근접합니다. 보간 큐빅 스플라인에는 또 다른 유용한 속성이 있습니다. 다음 예를 고려하십시오. 예. 참조점 (x;, /(x, )) 그리고 지정된 공간에 속하며 경계 조건을 만족하는 3차 스플라인 5(x)는 함수에 극값(최소값)을 전달합니다. 비고 1. 종종 이 극값 속성은 보간 3차의 정의로 사용됩니다. 운형자. 비고 2. 보간 3차 스플라인이 위에서 설명한 매우 광범위한 함수 클래스, 즉 클래스 |o, 5]에 대해 극한 속성을 갖는다는 점은 흥미롭습니다. 1.2. 스무딩 큐빅 스플라인 스무딩 문제의 공식화에 대해 그리드와 숫자 집합을 제공합니다. 초기 데이터에 대한 설명 실제로 배열의 y 값이 일부로 지정된 경우를 처리해야 하는 경우가 많습니다. 오류. 실제로 이는 각 간격이 지정되고 이 간격의 모든 숫자를 y 값으로 사용할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, 임의의 오류가 포함된 변수 x의 주어진 값에 대한 일부 함수 y(x)의 측정 결과로 y의 값을 해석하는 것이 편리합니다. 이러한 "실험적" 값에서 함수를 복원하는 문제를 해결할 때 보간을 사용하는 것은 거의 권장되지 않습니다. 보간 함수는 배열(y,)의 임의 구성 요소로 인해 발생하는 기괴한 진동을 순순히 재현하기 때문입니다. 보다 자연스러운 접근 방식은 측정 결과의 임의성 요소를 어떻게든 줄이기 위해 고안된 평활화 절차를 기반으로 합니다. 일반적으로 이러한 문제에서는 x = x, * = 0, 1,...m에 대한 값이 적절한 간격에 속하고 또한 상당히 좋은 속성을 갖는 함수를 찾아야 합니다. 예를 들어, 연속적인 1차 및 2차 도함수를 가지거나 그래프가 너무 강하게 곡선을 그리지 않을 것입니다. 즉, 강한 진동이 없을 것입니다. 이런 종류의 문제는 주어진 (정확히) 배열이 주어졌을 때 주어진 지점을 통과하지 않고 그 근처에 있고 더욱 원활하게 변경되는 함수를 구성해야 할 때에도 발생합니다. 즉, 필요한 함수는 주어진 배열을 보간하는 것이 아니라 매끄럽게 만드는 것처럼 보였습니다. 그리드 w와 두 개의 숫자 세트가 주어집니다. SPLINE 이론 문제 해결의 예입니다. 그리드 노드 u의 값이 주어진 값만큼 숫자 y와 다른 세그먼트 [a, A]에 대해 매끄러운 함수를 구성합니다. 공식화된 평활화 문제는 다음과 같습니다.복구 테이블에 지정된 부드러운 기능. 그러한 문제에는 다양한 해결책이 있다는 것이 분명합니다. 생성된 함수에 추가 조건을 부과함으로써 필요한 명확성을 달성할 수 있습니다. 평활 3차 스플라인의 정의 그리드 w의 평활 3차 스플라인 S(x)는 1) 각 세그먼트의 3차 다항식이고, 2) 세그먼트 [a, 6에서 두 번 연속 미분 가능합니다. ], 즉 클래스 C2 [a, b]에 속하며, 3) 주어진 숫자가 있는 함수에 최소값을 전달하고, 4) 아래 표시된 세 가지 유형 중 하나의 경계 조건을 만족합니다. 경계(에지) 조건 경계 조건은 그리드 w의 경계 노드에서 스플라인 및 그 파생 값에 대한 제한 형식으로 지정됩니다. A. 유형 1 경계 조건. - 간격 [a, b)의 끝에서 원하는 함수의 1차 도함수 값이 지정됩니다. 유형 2 경계 조건. - 간격 끝에서 원하는 함수의 2차 도함수(a, b]는 0과 같습니다. B. 세 번째 유형의 경계 조건을 주기적이라고 합니다. 정리 3차 스플라인 S(x), 함수 최소화(4) 위의 세 가지 유형 중 하나의 경계 조건을 만족하는 것이 고유하게 정의됩니다. 함수 J(f)를 최소화하고 i-유형의 경계 조건을 만족하는 3차 스플라인을 i-유형의 평활화 스플라인이라고 합니다. 이 세그먼트는 4개의 계수로 구성됩니다. 이는 스플라인을 완전히 결정하려면 4m개의 숫자를 찾아야 함을 의미합니다. 그리드 o "의 모든 내부 노드에서 도함수입니다. 이러한 노드의 수는 m - 1입니다. 따라서 모든 다항식의 계수를 계산하기 위해 3(m - 1) 조건(방정식)을 얻습니다. 함수는 다음에서 검색됩니다. 다음 형식. 여기서 숫자와 는 경계 조건의 유형에 따라 형식이 달라지는 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해입니다. 먼저 n* 값을 찾는 방법을 설명하겠습니다. 첫 번째 및 두 번째 유형의 경계 조건에 대해 Hi 값을 결정하기 위한 선형 방정식 시스템은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다. 여기서는 알려진 숫자입니다. 계수는 경계 조건의 선택에 따라 달라집니다. 1차 유형의 경계조건: 2차 유형의 경계조건: 3차 유형의 경계조건의 경우 숫자를 결정하는 시스템은 다음과 같이 작성되며 모든 계수는 식 (5)에 따라 계산됩니다(값 ​​인덱스 k와 m + k는 동일한 것으로 간주됩니다. 중요* 참고. 시스템의 매트릭스는 퇴화된 것이 아니므로 각 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 숫자 n, -가 발견되면 주기적인 경계 조건의 경우 계수 선택이 함수 (4)에 포함되는 공식에 의해 양이 쉽게 결정됩니다. 스무딩 스플라인의 속성을 어느 정도 제어할 수 있습니다. 모든 것과 스무딩 스플라인이 보간인 것으로 판명되면. 이는 특히 값이 더 정확하게 지정될수록 해당 가중치 계수가 더 작아질 것으로 예상된다는 것을 의미합니다. 스플라인이 점 (x^, Vk)을 통과해야 하는 경우 이에 해당하는 가중치 p\는 0으로 설정되어야 합니다. 실제 계산에서 가장 중요한 것은 pi-Let D 값을 선택하는 것입니다. - y 값을 측정할 때의 오류입니다. 그러면 평활화 스플라인이 조건을 만족하도록 요구하는 것이 당연하며 이는 동일합니다. 가장 간단한 경우 가중치 계수 pi는 예를 들어 다음과 같은 형식으로 지정될 수 있습니다. 여기서 c는 충분히 작은 상수입니다. 그러나 이러한 가중치 p 선택은 y, - 값의 오류로 인해 "복도"의 사용을 허용하지 않습니다. p 값을 결정하기 위한 보다 합리적이면서도 노동 집약적인 알고리즘은 다음과 같습니다. fc 번째 반복에서 값이 발견되면 여기서 e는 컴퓨터의 비트 그리드, D 값 및 정확도를 고려하여 실험적으로 선택된 작은 숫자라고 가정합니다. 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다. i 지점의 fc 번째 반복에서 조건 (6)이 위반되면 마지막 공식은 해당 중량 계수 p의 감소를 보장합니다. 그렇다면 다음 반복에서 p의 증가는 "복도"(6)를 보다 완벽하게 사용하게 하고 궁극적으로 스플라인을 보다 부드럽게 변경하게 됩니다. 약간의 이론 A. 보간 3차 스플라인의 계수를 계산하기 위한 공식의 정당화. m이 현재 알려지지 않은 수량이라는 표기법을 소개하겠습니다. 그 수는 m + 1과 같다. 보간 조건을 만족하고 전체 구간 [a, b\: 수식에 대입하면 각각 연속되는 형태로 작성된 스플라인을 얻는다. 구간 [a, 6]에 대한 연속 1차 도함수: 관계식 (7)을 미분하고 이를 놓으면 해당 값을 얻습니다. 실제로. 스플라인 함수 (7)이 구간 [a, 6]에서 연속적인 2차 도함수를 갖도록 숫자 m을 선택할 수 있음을 보여드리겠습니다. 구간에서 스플라인의 2차 도함수를 계산해 봅시다. 점 x, - 0(t = 1에서)에서 우리는 다음을 얻습니다. 구간에서 스플라인의 2차 도함수를 계산해 보겠습니다. 점에서 우리는 연속성 조건으로부터 그리드 a의 내부 노드에서의 2차 도함수; 우리는 m - 1 관계를 얻습니다. 경계 조건에 따라 이러한 m - 1 방정식에 두 개를 더 추가하면 m + I 미지수 miy i = 0, 1을 갖는 m + 1 선형 대수 방정식 시스템을 얻습니다. ... , 중. 1차 유형과 2차 유형의 경계조건의 경우 rsh의 값을 계산하기 위한 방정식 시스템은 여기서 (1차 유형의 경계조건), (2차 유형의 경계조건)의 형태를 갖는다. 주기적인 경계 조건(유형 3 경계 조건)의 경우 메시 o; 하나 더 노드를 확장하고 가정하면 σ*의 값을 결정하는 시스템은 두 번째 및 (번째 - !)번째 그리드 노드에서 연속성의 형태를 갖게 됩니다. 우리는 마지막 두 관계로부터 4번째 유형의 경계 조건에 해당하는 누락된 두 방정식을 얻습니다. 방정식에서 알려지지 않은 goo와 방정식에서 알려지지 않은 pc를 제외하고 결과적으로 방정식 시스템을 얻습니다. 이 시스템에서 미지수의 수는 th - I입니다. 6. 평활화 하위 스플라인의 효율성을 계산하기 위한 공식의 정당성. Zi와 nj가 현재 알려지지 않은 수량이라는 표기법을 소개하겠습니다. 그 수는 2m + 2입니다. 형식으로 작성된 스플라인 함수는 전체 구간에 걸쳐 연속입니다. 8), 구간 [a, 6]에서 연속적인 1차 도함수를 가집니다. 스플라인 S(x)의 1차 도함수를 계산해 보겠습니다. 구간에서: 점 x^ - 0(t = 1에서)에서 우리는 다음을 얻습니다. 구간에서 스플라인 5(x)의 1차 도함수를 계산해 보겠습니다. 점에서 우리는 1차 도함수의 연속 조건으로부터 -> m - 1 관계를 얻습니다. 이 관계는 편리하게도 간격 [a, 6)에 대한 스플라인이 사용됩니다. 연속적인 2차 도함수를 가집니다: 관계식 (8)을 미분하여 각각 구합니다. 더욱이, 행렬 관계는 함수의 최소값에 대한 조건(4)으로부터 얻어집니다. 마지막 두 행렬 등식은 2m + 2개의 미지수에 대한 2m + 2개의 선형 대수 방정식의 선형 시스템으로 간주될 수 있습니다. 첫 번째 등식의 열 r을 관계식 (9)에서 얻은 표현식으로 대체하면 열 M을 결정하기 위한 해의 행렬 방정식 SPLINE THEORY 예제에 도달합니다. 이 방정식은 행렬 A + 6HRH7이 항상 퇴보하지 마세요. 그것을 발견하면 Eamsshine이라는 도시를 쉽게 식별할 수 있습니다. 스레드마골 행렬 A와 H의 요소는 그리드 매개변수 및(hi 단계 사용)에 의해서만 결정되며 y^ 값에 의존하지 않습니다. 3차 스플라인 함수의 선형 공간 메쉬 wcra+l 노드를 따라 세그먼트 [a, 6)에 구성된 3차 스플라인 세트는 차원 m + 3의 선형 공간입니다. 1) 메쉬 u에 구성된 2개의 3차 스플라인의 합 > 그리고 그리드 위에 구성된 큐빅 스플라인 의 곱은 > 임의의 숫자로 더 비밀스럽게 이 그리드 위에 구성된 큐빅 스플라인입니다. 2) 그리드와 노드에서 구성된 모든 큐빅 스플라인은 다음에 의해 완전히 결정됩니다. m + 1개의 노드 값 y"와 두 개의 경계 조건 - 단지 + 3개의 매개변수. m + 3개의 선형 독립 스플라인으로 구성된 이 공간에서 기저를 선택함으로써 임의의 3차 스플라인 a(x)를 독특한 방식으로 이들의 선형 조합으로 작성할 수 있습니다. 논평. 이러한 유형의 스플라인 할당은 컴퓨팅 실무에서 널리 사용됩니다. 특히 편리한 것은 소위 큐빅 B-스플라인(기본 또는 기본 스플라인)으로 구성된 데이터베이스입니다. D-스플라인을 사용하면 컴퓨터 메모리 요구 사항을 크게 줄일 수 있습니다. L-스플라인. 그리드 w를 따라 수직선에 구성된 0도 B-스플라인은 피치의 함수라고 하며 그리드 u의 수직선에 구축된 k ^ I 정도의 B-스플라인은 반복 공식에 의해 결정됩니다. 첫 번째 B, -1 "(g) 및 두 번째 in\7\x) 도의 B-스플라인 그래프가 각각 그림 11 및 12에 표시됩니다. 임의의 각도 k의 B-스플라인은 0과만 다를 수 있습니다. 특정 세그먼트(k + 2개 노드로 정의됨)에서 B, -3*(i)는 세그먼트 z,-+2]의 0과 다릅니다. 이 경우에 대한 3차 스플라인에 대한 공식을 제시합니다. 다른 경우에는 입방체 B-스플라인의 일반적인 그래프가 그림 13에 표시됩니다. 차입*을 통해 함수 a)는 구간에서 두 번 연속 미분 가능합니다. 는 클래스 C2[a, ")에 속하며 b)는 4개의 연속 간격에서만 0과 다릅니다. (완전히 임의로 취한 보조 노드로 그리드 w를 보충합시다. 확장된 메시 w*를 통해 패밀리를 구성할 수 있습니다. m + 3 입방 B-스플라인: 이 패밀리는 세그먼트(a, b]의 입방 스플라인 공간에서 기초를 형성합니다. 따라서 세그먼트 |b, 6] 그리드 o에 구성된 임의의 3차 스플라인 S(z); izm+1 노드는 선형 결합의 형태로 이 세그먼트에서 표현될 수 있습니다. 문제의 조건에 따라 이 확장의 계수 ft는 고유하게 결정됩니다. ... 그리드 노드에서 함수의 값 y*와 그리드 끝에서 함수의 1차 도함수 값 yo 및 Vm이 주어지는 경우(경계 보간 문제 첫 번째 종류의 조건), 이 계수는 다음 형식의 시스템에서 계산됩니다. b- i 및 &m+i 값을 제거한 후 미지수 5q, ..., bm 및 3- 이 조건은 대각선 우위를 보장하므로 이를 해결하기 위해 스윕 방법을 사용할 수 있습니다. 1. 다른 보간 문제를 고려할 때 유사한 유형의 선형 시스템이 발생합니다. 섹션 1.1에 설명된 알고리즘과 비교하여 * 보간 문제에서 R-스플라인을 사용하면 저장된 정보의 양을 * 줄일 수 있습니다. 즉, 컴퓨터 메모리 요구 사항을 크게 줄일 수 있습니다. 작업 수. 스플라인 함수를 사용하여 스플라인 곡선 구성 위에서 우리는 가로좌표가 엄격하게 증가하는 시퀀스를 형성하도록 점에 번호가 매겨진 배열을 고려했습니다. 예를 들어, 그림 1에 표시된 경우입니다. 14에서는 배열의 서로 다른 지점이 동일한 가로좌표를 갖는 경우 허용되지 않습니다. 이러한 상황은 근사 곡선 클래스(교통 함수)의 선택과 해당 구성 방법을 모두 결정했습니다. 그러나 위에서 제안한 방법을 사용하면 일반적으로 배열 점의 번호와 평면에서의 위치가 관련되지 않은 보다 일반적인 경우 보간 곡선을 매우 성공적으로 구성할 수 있습니다(그림 15). 또한, 보간 곡선을 구성하는 작업을 설정할 때 주어진 배열을 비평면으로 간주할 수 있습니다. 즉, 이 일반적인 문제를 해결하려면 닫힌 곡선을 포함하여 허용 가능한 곡선의 클래스를 크게 확장해야 한다는 것이 분명합니다. 곡선, 자기교차점이 있는 곡선, 공간 곡선. 우리가 요구하는 매개변수 방정식을 사용하여 이러한 곡선을 설명하는 것이 편리합니다. 또한 함수는 충분한 부드러움을 가져야 합니다. 예를 들어 함수는 C1 [a, /0] 클래스 또는 클래스에 속합니다. 배열의 모든 점을 순차적으로 통과하는 곡선의 매개변수 방정식을 찾으려면 다음과 같이 진행하십시오. 1단계. 임의의 세그먼트에서)