1. Utilizzando l'espressione (2.5), la probabilità di funzionamento senza guasti nell'intervallo di tempo compreso tra 500 e 2500 ore, a condizione che l'oggetto abbia funzionato senza guasti per 500 ore, è pari a

1. Tempo medio fino al fallimento

3.5.2. Determinazione degli indicatori di affidabilità per la distribuzione di Rayleigh

Esempio. Parametro di distribuzione d* = 100 ore.

È necessario determinare per t = 50 ore i valori P(t), Q(t), l(t),T1.

Soluzione.

Utilizzando le formule (3.11), (3.12), (3.13), otteniamo

3.5.3. Determinazione degli indicatori circuitali sotto la distribuzione gaussiana

Esempio. Il circuito elettrico è composto da tre resistori standard collegati in serie: ;

(il valore della deviazione della resistenza dal valore nominale è specificato in %).

È necessario determinare la resistenza totale del circuito, tenendo conto delle deviazioni nei parametri del resistore.

Soluzione.

È noto che durante la produzione in serie di elementi dello stesso tipo, la densità di distribuzione dei loro parametri obbedisce alla legge normale. Utilizzando la regola 3 S (tre sigma), determiniamo dai dati iniziali gli intervalli in cui si trovano i valori di resistenza del resistore: ;

Quindi,

Quando i valori dei parametri degli elementi hanno una distribuzione normale e gli elementi vengono selezionati casualmente durante la creazione del circuito, il valore risultante R e è una variabile funzionale, anch'essa distribuita secondo la legge normale, e la dispersione del valore risultante, nel nostro caso, è determinata dall'espressione

Poiché il valore risultante di R e distribuiti secondo la legge normale, quindi, utilizzando la regola 3 sì, scriviamo

dove sono i parametri nominali del passaporto dei resistori.

Così

O

Questo esempio mostra che all'aumentare del numero di elementi collegati in serie, l'errore risultante diminuisce. In particolare, se l'errore totale di tutti i singoli elementi è uguale a± 600 Ohm, l'errore totale risultante è± 374 Ohm. In circuiti più complessi, ad esempio, nei circuiti oscillatori costituiti da induttanze e capacità, la deviazione dell'induttanza o della capacità dai parametri indicati è associata a una variazione della frequenza di risonanza e la possibile gamma della sua variazione può essere fornita da un metodo simile al calcolo dei resistori.

3.5.4. Un esempio di determinazione degli indicatori di affidabilità di un oggetto non riparabile utilizzando dati sperimentali

Esempio. Sono stati testati N o = 1000 campioni dello stesso tipo di apparecchiature non riparabili e sono stati registrati guasti ogni 100 ore.

È necessario definire l'intervallo di tempo da 0 a 1500 ore. Il numero di guasti nell'intervallo corrispondente è presentato nella tabella. 3.1. Tabella 3.1
Dati iniziali e risultati dei calcoli

Soluzione..

Il tempo medio fino al guasto, soggetto al guasto di tutti gli oggetti N o, è determinato dall'espressione

, dove tj è il tempo di guasto dell'oggetto j-esimo (j assume valori da 0 a N o). In questo esperimento, su N o = 1000 oggetti, tutti gli oggetti hanno fallito. Pertanto, sulla base dei dati sperimentali ottenuti, è possibile trovare solo un valore approssimativo del tempo medio fino alla rottura. In base al compito, utilizzeremo la formula da: per r Ј N о, (3.16)

dove tj è il tempo necessario al guasto del j-esimo oggetto (j assume i valori
da 1 a r); r è il numero di guasti registrati (nel nostro caso r = 315); tr - tempo fino all'r-esimo (ultimo) fallimento. Il grafico mostra che dopo il periodo di rodaggio tі Dopo 600 ore, il tasso di guasto diventa costante. Se lo assumiamo in futuro l sarà costante, quindi il periodo di funzionamento normale è associato al modello esponenziale del tempo fino al guasto del tipo di oggetti testati. Quindi il tempo medio fino al fallimento

H.

Quindi, da due stime del tempo medio al fallimento
= 3831 h e T 1 = 5208 h, è necessario scegliere quello più coerente con l'effettiva distribuzione dei guasti. In questo caso, possiamo assumere che se dovessimo testare tutti gli oggetti fino al cedimento, cioè r = N o, completeremmo il grafico di Fig. 3.6 e individuare il momento in cui l inizia ad aumentare, quindi per il normale intervallo di funzionamento ( l = const) dovresti prendere il tempo medio al guasto T 1 = 5208 ore.

In conclusione di questo esempio, notiamo che la determinazione del tempo medio al cedimento utilizzando la formula (2.7), quando r<< N о, дает грубую ошибку. В нашем примере

H.

Se invece di No mettessimo il numero di chi si è rifiutato oggetti
r = 315, quindi otteniamo

H.

In quest'ultimo caso, gli oggetti che non hanno ceduto durante il test per un importo di N o - r = 1000-315 = 685 pezzi. non sono stati affatto inclusi nella valutazione, cioè è stato determinato il tempo medio di guasto di soli 315 oggetti. Questi errori sono abbastanza comuni nei calcoli pratici.

Questa distribuzione è empirica, ottenuta come risultato dello studio di un'ampia classe di distribuzioni della durata di servizio. L'esperienza operativa di molti dispositivi elettronici e di una quantità significativa di apparecchiature elettromeccaniche mostra che sono caratterizzati da tre tipi di dipendenza del tasso di guasto dal tempo, corrispondenti a tre periodi della vita di questi dispositivi.

I tre tipi di dipendenza del tasso di guasto dal tempo indicati possono essere ottenuti utilizzando una distribuzione Weibull a due parametri per una descrizione probabilistica del tempo casuale al guasto. Secondo questa distribuzione, la densità di probabilità del momento del guasto

dove  è il parametro di forma (determinato dalla selezione a seguito dell'elaborazione dei dati sperimentali,  > 0);  - parametro di scala,

Il tasso di fallimento è determinato dall'espressione

(3.1)

Probabilità di funzionamento senza guasti

(3.2)

e il tempo medio fino al fallimento

(3.3)

Si noti che con il parametro = 1, la distribuzione di Weibull diventa esponenziale e con = 2 - con la distribuzione di Rayleigh.

A 1, il tasso di guasto diminuisce in modo monotono (periodo di rodaggio), e a 1 aumenta in modo monotono (periodo di usura), vedere Fig. 3.1. Di conseguenza, selezionando il parametro , è possibile ottenere, in ciascuna delle tre sezioni, tale curva teorica  (t), che coincide abbastanza strettamente con la curva sperimentale, e quindi si può procedere al calcolo degli indicatori di affidabilità richiesti realizzato sulla base di un modello noto.

La distribuzione di Weibull è abbastanza vicina a quella di un numero di oggetti meccanici (ad esempio cuscinetti a sfera), può essere utilizzata per test accelerati di oggetti in modalità forzata

3.Distribuzione esponenziale. Viene utilizzata più spesso di altre distribuzioni, poiché è tipica per oggetti complessi costituiti da molti elementi con distribuzioni del tempo di funzionamento. Dato un tasso di guasto costante, fornisce semplici formule di calcolo. Come notato, la distribuzione esponenziale della probabilità di funzionamento senza guasti è un caso speciale della distribuzione di Weibull quando il parametro di forma  = 1. Questa distribuzione è ad un parametro, ovvero un parametro  = const è sufficiente per scrivere il espressione calcolata. Per questa legge vale anche l’affermazione opposta: se il tasso di guasto è costante, allora la probabilità di funzionamento senza guasti in funzione del tempo obbedisce alla legge esponenziale:

Il tempo medio di funzionamento senza guasti secondo la legge esponenziale della distribuzione dell'intervallo di funzionamento senza guasti è espresso dalla formula:

(3.5)

Sostituendo il valore  nell'espressione con il valore 1 / T 1,

riceveremo. (3.6)

Pertanto, conoscendo il tempo medio di funzionamento senza guasti T 1 (o il tasso di guasto costante ), nel caso di una distribuzione esponenziale, è possibile trovare la probabilità di funzionamento senza guasti per l'intervallo di tempo dal momento in cui l'oggetto è acceso in un dato momento t.

4. Distribuzione di Rayleigh

La densità di probabilità nella legge di Rayleigh (vedi Fig. 3.4) ha la seguente forma



dove  è il parametro della distribuzione di Rayleigh (uguale alla moda di tale distribuzione). Non è necessario mescolarlo con la deviazione standard:

.

Il tasso di fallimento è:

(3.7)

Una caratteristica della distribuzione di Rayleigh è la retta del grafico (t), che parte dall'origine.

La probabilità di funzionamento senza guasti dell'oggetto in questo caso è determinata dall'espressione

(3.8)

Tempo medio fino al fallimento

(3.9)

5. Distribuzione normale troncata. Una distribuzione derivata da una distribuzione normale (gaussiana) mediante restrizione a valori positivi.

La legge della distribuzione normale è caratterizzata da una densità di probabilità della forma

dove m x,  x sono, rispettivamente, l'aspettativa matematica e la deviazione standard della variabile casuale x.

Quando si analizza l'affidabilità degli impianti elettrici, sotto forma di variabile casuale, oltre al tempo, compaiono spesso i valori di corrente, tensione elettrica e altri argomenti. La legge normale è una legge a due parametri, per scriverla è necessario conoscere m x e  x.

La probabilità di funzionamento senza guasti è determinata dalla formula

(3.10)

e il tasso di fallimento è secondo la formula

Nella fig. La Figura 3.5 mostra le curve (t), à(t) e  (t) per il caso  t  mt, caratteristiche degli elementi utilizzati nei sistemi di controllo automatico.

4. Distribuzione gamma. La distribuzione di Poisson e la distribuzione gamma sono considerate interconnesse, poiché caratterizzano entrambe gli stessi processi. Solo nel primo caso i guasti vengono considerati come una variabile, nel secondo invece. Per la distribuzione gamma
V– tempo medio tra i guasti;

UN- numero di guasti; G( UN) – funzione gamma uguale a
, Quando UN–1 è un numero positivo.

Per una scelta ragionevole del tipo di distribuzione pratica del tempo prima del guasto, è necessario un gran numero di guasti con una spiegazione dei processi fisici che si verificano negli oggetti prima del guasto.

Negli elementi altamente affidabili degli impianti elettrici, durante il funzionamento o i test di affidabilità, solo una piccola parte degli oggetti inizialmente disponibili fallisce. Pertanto, il valore delle caratteristiche numeriche riscontrate a seguito dell'elaborazione dei dati sperimentali dipende fortemente dal tipo di distribuzione attesa del tempo al cedimento. Come mostrato in, in base a diverse leggi del tempo al guasto, i valori del tempo medio al guasto, calcolati dagli stessi dati iniziali, possono differire centinaia di volte. Pertanto, la questione della scelta di un modello teorico per la distribuzione del tempo fino alla rottura deve ricevere particolare attenzione con un'adeguata dimostrazione dell'approssimazione delle distribuzioni teoriche e sperimentali.

La funzione di distribuzione lognormale ha trovato ampia applicazione nell'analisi dell'affidabilità di oggetti in tecnologia, biologia, economia, ecc. Ad esempio, la funzione viene utilizzata con successo per descrivere il tempo necessario al guasto di cuscinetti, dispositivi elettronici e altri prodotti.

I valori casuali non negativi di alcuni parametri vengono distribuiti in modo lognormale se il suo logaritmo è distribuito normalmente. La densità di distribuzione per diversi valori di σ è mostrata in Fig. 4.3.

Riso. 4.3.

La densità di distribuzione è descritta dalla dipendenza

Dove M x e σ – parametri stimati dai risultati P prove fino al fallimento:

(4.4)

Per una legge di distribuzione lognormale, la funzione di affidabilità

(4.5)

La probabilità di funzionamento senza guasti può essere determinata dalle tabelle per la distribuzione normale (vedere tabella A6.1 dell'appendice 6) in base al valore quantile

Aspettativa matematica del tempo prima del fallimento

La deviazione standard e il coefficiente di variazione, rispettivamente, saranno uguali

Se v X ≤ 0,3, allora si ritiene che ν x = σ e l'errore non è superiore a 1%.

Spesso utilizzato per scrivere le dipendenze per la legge di distribuzione lognormale in logaritmi decimali. In conformità con questa legge, la densità di distribuzione

Stime dei parametri LG X 0 e σ sono determinati in base ai risultati dei test:

Valore atteso M x, deviazione standard σ xe coefficiente di variazione ν x volte al fallimento sono rispettivamente uguali

Esempio 4.6

Determinare la probabilità di funzionamento senza guasti del cambio durante T= 103 ore, se la risorsa è distribuita logaritmicamente con parametri lg T 0 = 3,6; σ = 0,3.

Soluzione

Troviamo il valore quantile e determiniamo la probabilità di un funzionamento senza guasti:

Risposta: R(T) = 0,0228.

Distribuzione di Weibull

La funzione di distribuzione di Weibull è una distribuzione a due parametri. La legge che descrive è universale, poiché con valori appropriati dei parametri si trasforma in distribuzioni normali, esponenziali e di altro tipo. L'autore di questa legge di distribuzione, V. Weibull, la utilizzò per descrivere e analizzare le variazioni osservate sperimentalmente nella resistenza a fatica dell'acciaio e nei suoi limiti elastici. La legge di Weibull descrive in modo soddisfacente il tempo necessario al guasto dei cuscinetti e degli elementi delle apparecchiature elettroniche; viene utilizzata per valutare l'affidabilità di parti e gruppi di macchine, comprese le automobili, nonché per valutare l'affidabilità delle macchine durante il processo di rodaggio. La densità di distribuzione è descritta dalla dipendenza

dove α è il parametro della forma della curva di distribuzione; λ – parametro di scala della curva di distribuzione.

Il grafico della funzione di densità di distribuzione è mostrato in Fig. 4.4.

Riso. 4.4.

Funzione di distribuzione di Weibull

Funzione di affidabilità per questa legge di distribuzione

Aspettativa di una variabile casuale X equivale

dove Г( X) – funzione gamma.

Per valori continui X

Per valori interi X La funzione gamma viene calcolata utilizzando la formula

anche le formule sono corrette

La varianza della variabile casuale è uguale a

L'uso diffuso della legge di distribuzione di Weibull nell'analisi e nei calcoli dell'affidabilità del prodotto è spiegato dal fatto che questa legge, generalizzando la distribuzione esponenziale, contiene un parametro aggiuntivo α.

Selezionando opportunamente i parametri a e λ, è possibile ottenere un migliore accordo tra i valori calcolati e i dati sperimentali rispetto alla legge esponenziale, che è ad un solo parametro (parametro λ).

Pertanto, per i prodotti che presentano difetti nascosti, ma che non vengono utilizzati per molto tempo (e quindi invecchiano più lentamente), il rischio di guasto è maggiore nel periodo iniziale, per poi diminuire rapidamente. La funzione di affidabilità per un tale prodotto è ben descritta dalla legge di Weibull con il parametro α< 1.

Al contrario, se il prodotto è ben controllato durante la fabbricazione e non presenta quasi difetti nascosti, ma subisce un rapido invecchiamento, allora la funzione di affidabilità è descritta dalla legge di Weibull con il parametro α > 1. Per α = 3,3, la distribuzione di Weibull è vicina alla normalità.

Domande della lezione:

introduzione

Modelli di affidabilità dei sistemi tecnici

Leggi di distribuzione dei tempi di attività

introduzione

I metodi quantitativi per lo studio degli oggetti tecnici, soprattutto nelle fasi della loro progettazione e creazione, richiedono sempre la costruzione di modelli matematici di processi e fenomeni. Un modello matematico è solitamente inteso come un insieme interconnesso di espressioni analitiche e logiche, nonché di condizioni iniziali e al contorno che riflettono, con una certa approssimazione, i processi reali del funzionamento di un oggetto. Un modello matematico è un analogo informativo di un oggetto naturale, con l'aiuto del quale è possibile ottenere conoscenze sul progetto in fase di creazione. La capacità di fare previsioni è considerata la proprietà distintiva di un modello. Tutto ciò si applica pienamente ai modelli matematici di affidabilità.

Un modello matematico di affidabilità è inteso come un sistema analiticamente rappresentabile che fornisce informazioni complete sull'affidabilità di un oggetto. Quando si costruisce un modello, il processo di modifica dell'affidabilità viene semplificato e schematizzato in un certo modo. Dal gran numero di fattori che agiscono su un oggetto a grandezza naturale, vengono identificati i principali, i cui cambiamenti possono causare notevoli cambiamenti nell'affidabilità. Le connessioni tra i componenti del sistema possono essere rappresentate da dipendenze analitiche, anche con certe approssimazioni. Di conseguenza, le conclusioni tratte dallo studio del modello di affidabilità degli oggetti contengono alcune incertezze.

Più il modello viene selezionato con successo, meglio riflette le caratteristiche caratteristiche del funzionamento dell'oggetto, più accuratamente verrà valutata la sua affidabilità e si otterranno raccomandazioni informate per il processo decisionale.

1. Modelli di affidabilità dei sistemi tecnici

Attualmente sono stati stabiliti i principi generali per la costruzione di modelli matematici di affidabilità. Il modello è costruito solo per un oggetto specifico, o più precisamente, per un gruppo di oggetti simili, tenendo conto delle caratteristiche del loro funzionamento futuro. Deve soddisfare i seguenti requisiti:

Il modello deve tenere conto del numero massimo di fattori che influenzano l'affidabilità dell'oggetto;

Il modello dovrebbe essere sufficientemente semplice da utilizzare strumenti informatici standard per ottenere indicatori di affidabilità dell’output in base ai cambiamenti nei fattori di input.

L'incoerenza di questi requisiti non ci consente di formalizzare completamente la costruzione dei modelli, il che rende il processo di creazione dei modelli in una certa misura creativo.

Esistono molte classificazioni di modelli di affidabilità, una delle quali è presentata in Fig. 1 1 .

Fig. 1. Classificazione dei modelli di affidabilità

Come segue dalla Fig. 1, tutti i modelli possono essere divisi in due grandi gruppi: modelli di affidabilità degli oggetti e modelli di elementi. I modelli di affidabilità degli elementi hanno un contenuto più fisico e sono più specifici per gli elementi di un determinato progetto. Questi modelli utilizzano le caratteristiche di resistenza dei materiali, tengono conto dei carichi che agiscono sulla struttura e considerano l'influenza delle condizioni operative sul funzionamento degli elementi. Quando si studiano questi modelli, si ottiene una descrizione formalizzata dei processi di verificarsi del guasto in base ai fattori identificati.

I modelli di affidabilità degli oggetti vengono creati per una descrizione formalizzata dal punto di vista dell'affidabilità del processo del loro funzionamento come processo di interazione tra gli elementi che compongono un dato oggetto. In tale modello, l'interazione degli elementi avviene solo attraverso le connessioni più significative che influiscono sull'affidabilità complessiva dell'oggetto.

Esistono modelli parametrici di affidabilità degli oggetti e modelli in termini di guasti degli elementi. I modelli parametrici contengono funzioni di parametri casuali degli elementi, che consentono di ottenere l'indicatore desiderato dell'affidabilità dell'oggetto all'output del modello. A loro volta i parametri degli elementi possono essere funzioni del tempo di funzionamento dell'oggetto.

I modelli creati in termini di guasti degli elementi sono i più formalizzati e sono i principali quando si analizza l'affidabilità di sistemi tecnici complessi. Una condizione necessaria per creare tali modelli è una chiara descrizione dei sintomi di guasto di ciascun elemento del sistema. Il modello riflette l'impatto del guasto di un singolo elemento sull'affidabilità del sistema.

Secondo i principi di attuazione dei modelli, essi si distinguono in analitici, statistici e combinati (altrimenti funzionali - statistici).

I modelli analitici contengono dipendenze analitiche tra i parametri che caratterizzano l'affidabilità del sistema e l'indicatore di affidabilità dell'output. Per ottenere tali dipendenze, è necessario limitare il numero di fattori significativi e semplificare significativamente il quadro fisico del processo di modifica dell'affidabilità. Di conseguenza, i modelli analitici possono descrivere con sufficiente precisione solo problemi relativamente semplici di cambiamento degli indicatori di affidabilità del sistema. Con la complessità del sistema e l’aumento del numero di fattori che influiscono sull’affidabilità, vengono alla ribalta i modelli statistici.

Il metodo di modellazione statistica consente di risolvere problemi multidimensionali di grande complessità in breve tempo e con una precisione accettabile. Con lo sviluppo della tecnologia informatica, le capacità di questo metodo si stanno espandendo.

Il metodo combinato, che prevede la creazione di modelli statistici funzionali, ha potenzialità ancora maggiori. In tali modelli vengono creati modelli analitici per gli elementi e il sistema nel suo insieme viene simulato in modalità statistica.

La scelta dell'uno o dell'altro modello matematico dipende dagli obiettivi dello studio dell'affidabilità di un oggetto, dalla disponibilità delle informazioni iniziali sull'affidabilità degli elementi, dalla conoscenza di tutti i fattori che influenzano i cambiamenti nell'affidabilità, dalla preparazione dell'apparato analitico per descrivendo i processi di accumulo dei danni e il verificarsi di guasti e molte altre ragioni. In definitiva, la scelta del modello spetta al ricercatore.

Nella teoria dell'affidabilità, le seguenti leggi di distribuzione delle variabili casuali sono più ampiamente utilizzate: F(T):

Per variabili casuali discrete - la legge binomiale; Legge di Poisson;

Per variabili aleatorie continue - legge esponenziale; legge normale; distribuzione gamma; Legge di Weibull; x 2 - distribuzione; distribuzione log-normale.

Legge binomiale distribuzione del numero n di accadimento di un evento UN V M esperimenti indipendenti (test). Se la probabilità che si verifichi un evento UN in un test è uguale a P, probabilità di non verificarsi di un evento UN uguale a Q= 1– P; il numero di prove indipendenti è m, allora la probabilità che si verifichino n eventi nelle prove sarà:

Dove: - numero di combinazioni di M Di N.

1) numero di eventi N- intero positivo;

2) l'aspettativa matematica del numero di eventi è mp;

3) deviazione standard del numero di eventi:

All’aumentare del numero di prove, la distribuzione binomiale si avvicina

alla normalità con valore medio n/m e varianza P(1– P) / M.

Legge di Poisson- distribuzione dei numeri di un evento casuale N io durante τ . Probabilità che si verifichi un evento casuale N una volta ogni tanto τ :

dove: λ è l'intensità di un evento casuale.

Le proprietà della distribuzione sono le seguenti:

1) aspettativa matematica del numero di eventi nel tempo τ uguale a λτ;

2) deviazione standard del numero di eventi:

Una caratteristica della distribuzione di Poisson è l'uguaglianza dell'aspettativa matematica e della varianza. Questa proprietà viene utilizzata per verificare il grado di corrispondenza della distribuzione studiata (sperimentale) con la distribuzione di Poisson.

La distribuzione di Poisson si ottiene dalla distribuzione binomiale se il numero di prove m aumenta senza limiti e il numero di eventi attesi UN= λτ rimane costante.

Poi la probabilità distribuzione binomiale per ciascuno N, pari a 0, 1, 2, ..., tende al limite:

La legge di Poisson viene utilizzata quando è necessario determinare la probabilità che si verifichino uno, due, tre, ecc. Guasti in un prodotto entro un dato tempo.

Legge esponenziale (esponenziale). distribuzione di variabili casuali X(Fig. 4.3.3, a) si scrive nel caso generale come segue:

P(X) = exp(–λ X),

Dove: P(X) - la probabilità che la variabile casuale X conta di più X; valori ex sono riportati nell'Appendice 1.

Nel caso speciale in cui il tempo di funzionamento dell'oggetto viene preso come variabile casuale T, la probabilità che il prodotto nel tempo T sarà in condizioni di lavoro, pari a exp(–λ T):

P(T) = exp(–λ T), (4.3.4)

dove: λ - tasso di guasto dell'oggetto per la distribuzione esponenziale

(è costante), cioè λ= const.

L'espressione (4.3.4) può essere ottenuta direttamente da (4.3.3) se il numero di fallimenti N prendi uguale a 0.

Probabilità di fallimento nel tempo T da (4.3.4):

Q(T) = 1– P(T) = 1– exp(–λ T). (4.3.5)

Tempo di funzionamento medio prima che si verifichi il guasto:

Dispersione del tempo di funzionamento prima che si verifichi il guasto:

Tempo di funzionamento RMS:

σ( T) =T 1 . (4.3.9)

L'uguaglianza della deviazione standard con il tempo di funzionamento medio è una caratteristica della distribuzione esponenziale.

I materiali statistici sui guasti degli elementi indicano che, sostanzialmente, il loro tempo di funzionamento obbedisce a una legge di distribuzione esponenziale. La condizione per l'emergere di una legge esponenziale di distribuzione del tempo fino al guasto è la costanza del tasso di guasto, tipico dei guasti improvvisi nell'intervallo di tempo in cui è terminato il periodo di rodaggio dell'oggetto e il periodo di usura e l'invecchiamento non è ancora iniziato, cioè per condizioni operative normali. Il tasso di guasto degli oggetti complessi diventa costante se sono causati da guasti di un gran numero di elementi componenti.

Il momento in cui si verificano i guasti primari può essere posizionato sull'asse del tempo in modo che il flusso totale di guasti di un prodotto complesso si avvicini a quello più semplice, cioè con un tasso di guasto costante.

Queste circostanze, così come il fatto che l’assunzione della distribuzione esponenziale semplifica notevolmente i calcoli di affidabilità, spiegano l’uso diffuso della legge esponenziale nella pratica ingegneristica.

Distribuzione gamma variabile casuale (Fig. 4.3.3, b). Se si verifica un guasto del dispositivo quando almeno K i guasti dei suoi elementi e i guasti degli elementi sono soggetti a una legge esponenziale con parametri λ 0, densità di probabilità di guasto del dispositivo:

dove: λ 0 - tasso di guasto iniziale degli elementi del dispositivo, il cui guasto è causato da un guasto K elementi.

Questa distribuzione è soggetta al tempo di funzionamento dei dispositivi ridondanti. L'uguaglianza (4.3.9) si ottiene da (4.3.3).

Probabilità K o più guasti, ovvero la probabilità di guasto di un dato dispositivo:

Densità di probabilità di guasto del dispositivo nel tempo T:

Tempo medio di funzionamento del dispositivo prima del guasto:

Tasso di guasto del dispositivo:

Probabilità di uno stato senza guasti del dispositivo:

A K= 1 La distribuzione γ coincide con la distribuzione esponenziale. All’aumentare di k, la distribuzione γ si avvicinerà a una distribuzione simmetrica e il tasso di fallimento avrà un carattere sempre più pronunciato di una funzione crescente del tempo.

Distribuzione di Weibull. Nel caso in cui il flusso dei guasti non sia stazionario, cioè la densità del flusso cambi nel tempo, la funzione di distribuzione tempo al guasto assume la forma mostrata in Fig. 4.3.3, c.

La densità di probabilità di guasto di questa distribuzione è:

T:

Tasso di fallimento:

Nelle (4.3.15)-(4.3.17) α e λ 0 sono parametri della legge di distribuzione. Il parametro λ 0 determina la scala; quando cambia, la curva di distribuzione si restringe o si allunga. Per α = 1 la funzione di distribuzione di Weibull coincide con la distribuzione esponenziale; in α< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α >1-monotonicamente crescente. Questa circostanza consente di selezionare i parametri α e λ 0 più adatti per i dati sperimentali, in modo che l'equazione della funzione di distribuzione corrisponda al meglio ai dati sperimentali. La distribuzione di Weibull si verifica per guasti che si verificano a causa della fatica del corpo della parte o degli strati superficiali (cuscinetti, ingranaggi). Questo caso è associato allo sviluppo di una fessura da fatica nell'area di concentrazione locale dello stress, difetto tecnologico o danno iniziale. Il periodo di tempo prima dell'innesco di una microfessurazione è caratterizzato da segni di cedimento improvviso, mentre il processo di distruzione è caratterizzato da segni di cedimento per usura.

Questa legge è applicabile ai guasti di un dispositivo costituito da elementi duplicati collegati in serie e ad altri casi simili.

Questa distribuzione viene talvolta utilizzata per descrivere l'affidabilità dei cuscinetti volventi (α = 1,4-1,7).

Il tempo medio fino al primo guasto è determinato dalla seguente espressione:

I valori di Γ (funzione gamma) sono tabulati (Appendice 2).

Distribuzione normale(Fig. 4.3.3, d) variabile casuale X si verifica ogni volta X dipende da un gran numero di fattori casuali omogenei nella loro influenza, e l'influenza di ciascuno di questi fattori è insignificante rispetto alla totalità di tutti gli altri. Questa condizione è tipica del momento in cui si verificano guasti causati dall'invecchiamento, ovvero questa legge viene utilizzata per valutare l'affidabilità dei prodotti in presenza di guasti graduali (usura).

Densità di probabilità di guasto:

Dove: T- tempo medio al guasto;

σ - deviazione quadratica media (standard) del tempo di funzionamento senza guasti.

Probabilità di tempo di guasto T:

Il valore della funzione di distribuzione è determinato dalla formula:

F(T) = 0,5 + Φ( tu) =Q(T); tu= (T−T) /σ. (4.3.21)

Probabilità di nessun guasto nel tempo T:

P(T) = 1 −Q(T) = 1 − = 0,5 −F(tu). (4.3.22)

Valori F(T) tabellati (appendice 3).

Grafico λ( T) è mostrato in Fig. 4.3.3, d. Il tasso di fallimento aumenta in modo monotono anche dopo T comincia ad avvicinarsi ad un asintoto:

sì= (T−T) /σ. (4.3.23)

Un aumento monotono del tasso di fallimento nel tempo è una caratteristica di una distribuzione normale. La distribuzione normale è significativamente diversa dalla distribuzione esponenziale. L'inizio del conto alla rovescia T in (4.3.20) è l'inizio del funzionamento dell'oggetto, cioè il momento in cui inizia il processo di usura e invecchiamento, e il punto di partenza in (4.3.4) è il momento in cui è stabilito che il il prodotto è in buone condizioni (questo momento può essere localizzato in qualsiasi punto dell'asse del tempo).

Distribuzione normale troncata(Fig. 4.3.3, d). Poiché con una distribuzione normale una variabile casuale può assumere qualsiasi valore compreso tra −∞ e +∞ e il tempo libero da guasti può essere solo positivo, si dovrebbe considerare una distribuzione normale troncata con una densità di probabilità di guasto:

Fattore normalizzante C determinato dall'espressione:

C= 1 / F(T 1 / σ) = 1 / , (4.3.26)

funzione di distribuzione normale cumulativa tabulata (appendice 4);

funzione di Laplace normalizzata.

Allora la (4.3.24) verrà scritta come segue:

Tempo medio al guasto nella distribuzione troncata e nei parametri T 1 le distribuzioni normali non troncate sono legate da:

A T/ σ ≥ 2, che si verifica nella stragrande maggioranza dei casi quando si valuta l'affidabilità di dispositivi con guasti normalmente distribuiti, coefficiente C differisce poco dall'unità e la distribuzione normale troncata è approssimata abbastanza accuratamente dalla legge normale ordinaria.

La probabilità di funzionamento senza guasti è determinata dall'espressione:

Distribuzione di Rayleigh(Fig. 4.3.3, f) - distribuzione di probabilità continua con densità:

a seconda del parametro di scala σ > 0. La distribuzione ha un'asimmetria positiva, la sua unica modalità si trova nel punto X= σ. Tutti i momenti della distribuzione di Rayleigh sono finiti.

Proprio come la distribuzione di Weibull o γ, la distribuzione di Rayleigh è adatta a descrivere il comportamento dei prodotti che si usurano o invecchiano.

Il tasso di guasto (funzione di densità di probabilità di guasto) è determinato da:

La probabilità di funzionamento senza guasti si calcola dall'espressione:

Il tasso di fallimento si trova da:

λ( T) = T/σ2. (4.3.35)

Il tempo medio fino al primo guasto sarà:

3.4. Sulla scelta della legge di distribuzione dei guasti nel calcolo dell'affidabilità Determinare la legge di distribuzione dei guasti è di grande importanza negli studi e nelle valutazioni di affidabilità. Definizione P(T) sulla base delle stesse informazioni iniziali su T, ma sotto diverse ipotesi sulla legge di distribuzione può portare a risultati significativamente diversi.

La legge di distribuzione dei guasti può essere determinata da dati sperimentali, ma ciò richiede la conduzione di un gran numero di esperimenti in condizioni identiche. In pratica, queste condizioni sono generalmente difficili da raggiungere. Inoltre, tale soluzione contiene funzionalità di registrazione passiva degli eventi.

Allo stesso tempo, in molti casi, durante il funzionamento, solo una piccola parte degli impianti originali fallisce. I dati statistici ottenuti corrispondono alla parte iniziale (sinistra) della distribuzione sperimentale.

Più razionale è lo studio delle condizioni e dei processi fisici in cui si verifica questa o quella distribuzione. Allo stesso tempo vengono compilati modelli del verificarsi di guasti e le corrispondenti leggi di distribuzione del tempo prima che si verifichi un guasto, che consentono di formulare ipotesi ragionevoli sulla legge di distribuzione.

I dati sperimentali dovrebbero servire come mezzo per verificare la validità della previsione e non come unica fonte di dati sulla legge di distribuzione. Questo approccio è necessario per valutare l'affidabilità dei nuovi prodotti, per i quali il materiale statistico è molto limitato.