Logaritmo in base 0. Logaritmo naturale, funzione ln x. Calcolo dei logaritmi per definizione

Come sai, quando si moltiplicano le espressioni per potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b *a c = a b+c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e più tardi, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di esponenti interi. Sono stati loro a servire all'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque sia necessario semplificare moltiplicazioni complesse mediante semplici addizioni. Se dedichi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorare con essi. In un linguaggio semplice e accessibile.

Definizione in matematica

Un logaritmo è un'espressione nella seguente forma: log a b=c, ovvero il logaritmo di qualsiasi numero non negativo (ovvero qualsiasi numero positivo) “b” in base “a” è considerato la potenza “c ” alla quale bisogna alzare la base “a” per ottenere alla fine il valore “b”. Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare una potenza tale che da 2 alla potenza richiesta ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli a mente, otteniamo il numero 3! E questo è vero, perché 2 elevato a 3 dà la risposta come 8.

Tipi di logaritmi

Per molti alunni e studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non sono così spaventosi, l'importante è comprenderne il significato generale e ricordare le loro proprietà e alcune regole. Esistono tre tipi distinti di espressioni logaritmiche:

1. Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2,7).
2. Decimale a, dove la base è 10.
3. Logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.

Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un singolo logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, dovresti ricordare le loro proprietà e la sequenza di azioni durante la loro risoluzione.

Regole e alcune restrizioni

In matematica esistono diverse regole-vincoli che vengono accettate come assiomi, cioè non sono oggetto di discussione e sono la verità. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero, ed è anche impossibile estrarre la radice pari dei numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:

• La base “a” deve essere sempre maggiore di zero, e non uguale a 1, altrimenti l'espressione perde di significato, perché “1” e “0” in qualunque misura sono sempre uguali ai loro valori;
• se a > 0, allora a b >0, risulta che anche “c” deve essere maggiore di zero.

Come risolvere i logaritmi?

Ad esempio, viene assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x = 100. Questo è molto semplice, devi scegliere una potenza elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 = 100.

Ora rappresentiamo questa espressione in forma logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni convergono praticamente per trovare la potenza alla quale è necessario inserire la base del logaritmo per ottenere un dato numero.

Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare come lavorare con una tabella dei gradi. Sembra questo:

Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati intuitivamente se hai una mente tecnica e conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia, per valori maggiori sarà necessaria una tabella di potenza. Può essere utilizzato anche da chi non sa nulla di argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c a cui viene elevato il numero a. All'intersezione, le celle contengono i valori numerici che costituiscono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la prima cella con il numero 10 e la eleviamo al quadrato, otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!

Equazioni e disuguaglianze

Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'uguaglianza logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo in base 3 di 81 uguale a quattro (log 3 81 = 4). Per le potenze negative le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 lo scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è il tema dei “logaritmi”. Di seguito esamineremo esempi e soluzioni di equazioni, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come appaiono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.

È data la seguente espressione: log 2 (x-1) > 3 - è una disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto “x” è sotto il segno logaritmico. E anche nell'espressione si confrontano due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.

La differenza più importante tra equazioni e disuguaglianze logaritmiche è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve una disuguaglianza, sia l'intervallo di accettabilità i valori​​e i punti vengono determinati interrompendo questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta a un'equazione, ma una serie o insieme continuo di numeri.

Teoremi fondamentali sui logaritmi

Quando si risolvono compiti primitivi per trovare i valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disequazioni logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare nella pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. In seguito esamineremo esempi di equazioni; esamineremo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.

1. L'identità principale assomiglia a questa: a logaB =B. Si applica solo quando a è maggiore di 0, non uguale a uno, e B è maggiore di zero.
2. Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso la condizione obbligatoria è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione di questa formula logaritmica, con esempi e soluzioni. Sia log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, quindi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà di gradi ), e quindi per definizione: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che è ciò che doveva essere dimostrato.
3. Il logaritmo del quoziente è simile a questo: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: log a q b n = n/q log a b.

Questa formula è chiamata “proprietà del grado del logaritmo”. Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati naturali. Diamo un'occhiata alla prova.

Sia log a b = t, risulta a t = b. Se eleviamo entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;

ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n, quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è dimostrato.

Esempi di problemi e disuguaglianze

I tipi più comuni di problemi sui logaritmi sono esempi di equazioni e disequazioni. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono anche una parte obbligatoria degli esami di matematica. Per entrare in un'università o superare gli esami di ammissione in matematica, devi sapere come risolvere correttamente tali compiti.

Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, ma alcune regole possono essere applicate a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Innanzitutto bisognerebbe verificare se l'espressione può essere semplificata o ridotta ad una forma generale. Puoi semplificare le espressioni logaritmiche lunghe se utilizzi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli velocemente.

Quando risolviamo le equazioni logaritmiche, dobbiamo determinare quale tipo di logaritmo abbiamo: un'espressione di esempio può contenere un logaritmo naturale o decimale.

Ecco gli esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che devono determinare la potenza alla quale la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per risolvere i logaritmi naturali, è necessario applicare le identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.

Come utilizzare le formule dei logaritmi: con esempi e soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei teoremi di base sui logaritmi.

1. La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere utilizzata in compiti in cui è necessario scomporre un grande valore del numero b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà della potenza del logaritmo, siamo riusciti a risolvere un'espressione apparentemente complessa e irrisolvibile. Devi solo fattorizzare la base e poi togliere i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.

Compiti dell'Esame di Stato Unificato

I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Esame di Stato Unificato (esame di stato per tutti i diplomati). In genere, questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la parte più semplice dell'esame), ma anche nella parte C (i compiti più complessi e voluminosi). L'esame richiede una conoscenza accurata e perfetta dell'argomento “Logaritmi naturali”.

Esempi e soluzioni ai problemi sono tratti dalle versioni ufficiali dell'Esame di Stato Unificato. Vediamo come vengono risolti tali compiti.

Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2, per definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4, quindi 2x = 17; x = 8,5.

• È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia complicata e confusa.
• Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, quando l'esponente di un'espressione che è sotto il segno del logaritmo e la cui base viene tolta come moltiplicatore, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.

Uno degli elementi dell'algebra di livello primitivo è il logaritmo. Il nome deriva dalla lingua greca dalla parola “numero” o “potenza” e significa la potenza a cui bisogna elevare il numero alla base per trovare il numero finale.

Tipi di logaritmi

• log a b – logaritmo del numero b in base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritmo decimale (logaritmo in base 10, a = 10);
• ln b – logaritmo naturale (logaritmo in base e, a = e).

Come risolvere i logaritmi?

Il logaritmo di b in base a è un esponente che richiede che b sia elevato in base a. Il risultato ottenuto si pronuncia così: “logaritmo di b in base a”. La soluzione ai problemi logaritmici è che è necessario determinare la potenza data in numeri dai numeri specificati. Esistono alcune regole di base per determinare o risolvere il logaritmo, nonché per convertire la notazione stessa. Usandoli, si risolvono le equazioni logaritmiche, si trovano le derivate, si risolvono gli integrali e si eseguono molte altre operazioni. Fondamentalmente, la soluzione del logaritmo stesso è la sua notazione semplificata. Di seguito sono riportate le formule e le proprietà di base:

Per qualsiasi a ; a > 0; a ≠ 1 e per qualsiasi x ; y > 0.

• a log a b = b – identità logaritmica di base
• registra a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• logaritmo a x p = p logaritmo a x
• log a k x = 1/k log a x , per k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula per spostarsi su una nuova base
• logaritmo a x = 1/logaritmo x a

Come risolvere i logaritmi: istruzioni passo passo per la risoluzione

• Per prima cosa, annota l'equazione richiesta.

Nota: se il logaritmo di base è 10, la voce viene abbreviata, risultando in un logaritmo decimale. Se esiste un numero naturale e, lo scriviamo riducendolo a un logaritmo naturale. Ciò significa che il risultato di tutti i logaritmi è la potenza alla quale viene elevato il numero base per ottenere il numero b.

Direttamente, la soluzione sta nel calcolare questo grado. Prima di risolvere un'espressione con un logaritmo, è necessario semplificarla secondo la regola, ovvero utilizzando le formule. Puoi trovare le identità principali tornando un po’ indietro nell’articolo.

Quando si sommano e sottraggono logaritmi con due numeri diversi ma con le stesse basi, sostituire con un logaritmo con il prodotto o la divisione dei numeri b e c, rispettivamente. In questo caso, puoi applicare la formula per spostarti in un'altra base (vedi sopra).

Se utilizzi le espressioni per semplificare un logaritmo, ci sono alcune limitazioni da considerare. E cioè: la base del logaritmo a è solo un numero positivo, ma non uguale a uno. Il numero b, come a, deve essere maggiore di zero.

Ci sono casi in cui, semplificando un'espressione, non sarai in grado di calcolare numericamente il logaritmo. Succede che tale espressione non ha senso, perché molte potenze sono numeri irrazionali. In queste condizioni, lascia la potenza del numero come logaritmo.

Man mano che la società si sviluppava e la produzione diventava più complessa, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dalla contabilità ordinaria utilizzando il metodo dell'addizione e della sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, siamo arrivati ​​al concetto di moltiplicazione e divisione. Ridurre l'operazione ripetuta di moltiplicazione divenne il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di esponenziazione furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro puoi contare il tempo in cui si verificano i logaritmi.

Schizzo storico

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcoli relativo alla moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche erano di grande servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con operazioni più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per le potenze sotto forma di numeri primi, ma anche per quelle razionali arbitrarie.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per primo il nuovo termine “logaritmo di un numero”. Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuove tabelle, che furono utilizzate con successo dagli scienziati per tre secoli. Passò molto tempo prima che la nuova operazione algebra acquisisse la sua forma definitiva. È stata data la definizione del logaritmo e sono state studiate le sue proprietà.

Solo nel XX secolo, con l'avvento della calcolatrice e del computer, l'umanità abbandonò gli antichi tavoli che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.

Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x cioè la potenza di a per formare b. Questo si scrive come una formula: x = log a(b).

Ad esempio, log 3(9) sarebbe uguale a 2. Ciò è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.

Pertanto, la definizione formulata pone una sola restrizione: i numeri a e b devono essere reali.

Tipi di logaritmi

La definizione classica si chiama logaritmo reale ed è in realtà la soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è borderline e non interessa. Attenzione: 1 a qualsiasi potenza è uguale a 1.

Valore reale del logaritmo definito solo quando la base e l'argomento sono maggiori di 0 e la base non deve essere uguale a 1.

Posto speciale nel campo della matematica riproduci i logaritmi, che verranno nominati a seconda della dimensione della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Come variante di questa affermazione sarà: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

Dalle due regole precedenti è facile vedere che: log a(b p) = p * log a(b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non è necessario commettere un errore comune: il logaritmo di una somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca di un logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici usarono la famosa formula della teoria logaritmica dell'espansione polinomiale:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina la precisione del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sulla transizione da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.

Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici Di difficile implementazione, abbiamo utilizzato tabelle di logaritmi precompilate, che hanno notevolmente velocizzato tutto il lavoro.

In alcuni casi, sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno dato meno precisione, ma hanno accelerato significativamente la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, consente di utilizzare un normale righello per trovare il valore della funzione in qualsiasi altro punto. Per molto tempo gli ingegneri hanno utilizzato per questi scopi la cosiddetta carta millimetrata.

Nel XVII secolo apparvero le prime condizioni ausiliarie di calcolo analogico, che nel XIX secolo acquisirono una forma completa. Il dispositivo di maggior successo si chiamava regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha accelerato significativamente il processo di tutti i calcoli ingegneristici ed è difficile sopravvalutarlo. Attualmente poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.

L'avvento delle calcolatrici e dei computer ha reso inutile l'uso di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi, vengono utilizzate le seguenti formule:

• Transizione da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Come conseguenza dell'opzione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

• Il valore del logaritmo sarà positivo solo se base e argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
• Se la funzione logaritmo viene applicata ai lati destro e sinistro di una disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Problemi di esempio

Consideriamo diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con la risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di porre il logaritmo in una potenza:

• Problema 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema la voce è simile alla seguente (5^2)^log5(3) oppure 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è uguale a 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.

Uso pratico

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra lontano dalla vita reale che il logaritmo abbia improvvisamente acquisito grande importanza per descrivere gli oggetti nel mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non venga utilizzata. Ciò si applica pienamente non solo ai campi della conoscenza naturale, ma anche a quelli umanitari.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi di ricerca matematica e allo stesso tempo sono servite da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi di descrizione delle leggi fisiche utilizzando il logaritmo.

Il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo può essere risolto utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:

V = I * ln (M1/M2), dove

• V è la velocità finale dell'aereo.
• I – impulso specifico del motore.
• M 1 – massa iniziale del razzo.
• M2 – massa finale.

Un altro esempio importante- questo è usato nella formula di un altro grande scienziato Max Planck, che serve a valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

• S – proprietà termodinamica.
• k – Costante di Boltzmann.
• Ω è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio è l'uso di formule in chimica contenenti il ​​rapporto dei logaritmi. Facciamo solo due esempi:

• Equazione di Nernst, condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e alla costante di equilibrio.
• Anche il calcolo di costanti come l'indice di autolisi e l'acidità della soluzione non può essere effettuato senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

E non è affatto chiaro cosa c’entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso tra il valore dell'intensità dello stimolo e il valore dell'intensità inferiore.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato in biologia. Si potrebbero scrivere interi volumi sulle forme biologiche corrispondenti alle spirali logaritmiche.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, e governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono associate alla progressione geometrica. Vale la pena visitare il sito web MatProfi e ci sono molti esempi simili nelle seguenti aree di attività:

L'elenco può essere infinito. Avendo padroneggiato i principi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.

Cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “moltissimo…”)

Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, il tema dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non mi credi? Bene. Ora, in soli 10 - 20 minuti:

1. Capirai cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per farlo ti basterà conoscere la tavola pitagorica e come elevare un numero a potenza...

Mi sembra che tu abbia dei dubbi... Beh, okay, prenditi il ​​tempo! Andare!

Innanzitutto, risolvi questa equazione nella tua testa:

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi iniziamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log UN X e registrare UN sì. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. tronco d'albero UN X+log UN sì=log UN (X · sì);
2. tronco d'albero UN X− registro UN sì=log UN (X : sì).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi lezione “Cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Ceppo 6 4 + ceppo 6 9.

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: UN > 0, UN ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

[Didascalia dell'immagine]

Nota che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo UN X. Quindi per qualsiasi numero C tale che C> 0 e C≠ 1, l'uguaglianza è vera:

[Didascalia dell'immagine]

In particolare, se mettiamo C = X, noi abbiamo:

[Didascalia dell'immagine]

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero N diventa un indicatore del grado di validità dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: identità logaritmica di base.

In effetti, cosa accadrà se il numero B elevare a una potenza tale che il numero B a questa potenza dà il numero UN? Esatto: ottieni lo stesso numero UN. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

[Didascalia dell'immagine]

Nota che log 25 64 = log 5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Compaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

1. tronco d'albero UN UN= 1 è un'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: logaritmo in base qualsiasi UN da questa stessa base è uguale a uno.
2. tronco d'albero UN 1 = 0 è zero logaritmico. Base UN può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché UN 0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.