Ciascuno dei segmenti dell'av. Confronto di segmenti. Azioni sui segmenti. Moltiplicazione e divisione di un segmento per un numero intero

7. Molti punti e linee sono posizionati su un piano. Accettalo puoi costruire punti e rette su un piano; in pratica si usa un righello per costruire una linea retta.

La linea retta si estende all'infinito in entrambe le direzioni. Per l'inferno. 4 si costruisce la retta AB; con la tua fantasia puoi continuarlo all'infinito in entrambe le direzioni. Se costruisci un punto qualsiasi, ad esempio il punto O, sulla retta CD (Figura 4), allora la retta verrà divisa in 2 parti: una parte si estende dal punto O verso destra senza fine, e l'altra dal punto O a sinistra senza fine. Ognuna di queste parti è chiamata raggio. Qui abbiamo 2 travi: il raggio OD e il raggio OC.

Possiamo costruire innumerevoli raggi attraverso ogni punto.

Se prendiamo 2 punti su una linea retta, ad esempio, sulla linea retta KL (Figura 4) punti E e F, la parte della linea retta tra questi punti viene chiamata segmento. Nel disegno abbiamo il segmento EF.

8. Confronta i dati di 2 segmenti AB e CD (bozza 5).

Spostiamo il segmento CD in modo che il punto C tocchi A e ruotiamolo attorno al punto A finché il segmento CD non segue il segmento AB. Quando otteniamo ciò, notiamo dove cade il punto D: se cade in B, i nostri segmenti sono uguali; se D cade da qualche parte tra i punti A e B (ad esempio, in M), allora il segmento CD è considerato inferiore al segmento AB, e se il punto D cade dietro il punto B (ad esempio, in N), allora il segmento CD è maggiore del segmento AB.

Intendiamo “confrontare” due segmenti nel senso di determinare se sono uguali o se uno è maggiore dell'altro.

9. Trova la somma di due segmenti dati.

Vengono presi due segmenti AB e CD (Fig. 6); è necessario aggiungere questi segmenti.

Per fare ciò, spostiamo il segmento CD in modo che il punto C tocchi B, quindi lo ruotiamo attorno a B finché non segue la continuazione del segmento AB. Nota dove cade il punto D; se colpisce K, allora il segmento BK = CD e AK = AB + BK o AK = AB + CD.

Qualsiasi segmento può essere diviso da punti intermedi nella somma di più termini; per esempio:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (disegno 7)

Questo ci è chiaro la somma dei segmenti non cambia a seconda della riorganizzazione dei termini .

10. Trova la differenza tra due segmenti.

Dati due segmenti AB e CD (Fig. 8); È necessario sottrarre il segmento più piccolo CD dal segmento più grande AB.

Spostiamo il segmento CD in modo che il punto D tocchi il punto B, e iniziamo a ruotarlo attorno a B finché non va nella direzione BA; Notiamo, una volta raggiunto questo obiettivo, dove cadrà il punto C. Se C cade in K, allora KB = CD e AK = AB – KB o AK = AB – CD.

Puoi moltiplicare questo segmento per 2, 3, 4, ecc., ovvero ripeterlo come termine 2, 3, ecc. volte.

Dai paragrafi. 8-10, è importante per noi comprendere che 1) i seguenti concetti sono applicabili ai segmenti, così come ai numeri: “uguale”, “maggiore di” e “minore di”; 2) i concetti di “somma e differenza di due segmenti” hanno un significato molto preciso.

In pratica, per costruire un segmento uguale ad uno dato si utilizza un compasso.

11. Esercizi. 1. Assegna un nome ai segmenti dell'addendo e alla loro somma in ciascuna delle seguenti immagini; annotare (disegno A).

2. Sugli stessi disegni indicare quale segmento può essere considerato la differenza di altri due segmenti; scrivere.

3. Dividi questo segmento in 2, 3 e 4 termini; scrivere.

4. Presenta questo segmento come la differenza di altri due segmenti.

12. Possiamo costruire una figura composta da due raggi che partono da un punto, – tale figura è chiamata angolo. Per l'inferno. La Figura 9 mostra un angolo costituito dai raggi OA e OB provenienti dal punto O. Questo punto è chiamato vertice dell'angolo e ciascun raggio è chiamato il suo lato. La parola “angolo” viene sostituita con il segno ∠. Un angolo è chiamato da tre lettere, una delle quali è posta al vertice e le altre due da qualche parte sui lati dell'angolo: la lettera al vertice è posta al centro del nome dell'angolo. Per l'inferno. 9 abbiamo ∠AOB o ∠BOA; a volte un angolo è chiamato una lettera posta al suo vertice, dicendo ∠O. I lati dell'angolo (raggi) devono considerarsi senza fine.

Un caso speciale di angolo si presenterà quando i suoi lati formano una linea retta; un angolo così speciale è chiamato raddrizzato o angolo girato(La Figura 12 mostra gli angoli retti AOB e A 1 O 1 B 1).

Ogni angolo divide il piano in 2 parti, in due regioni. Una di queste parti si chiama zona interna angolo e dire che si trova all'interno dell'angolo, e l'altro viene chiamato zona esterna angolo e dire che si trova fuori dall'angolo. Quale di queste due parti è chiamata regione esterna e quale interna è una questione di condizione. Ogni volta dovresti contrassegnare qualcosa di interno, ad esempio un'area. Segneremo l'area interna dell'angolo con linee curve disegnate sull'area interna tra i lati dell'angolo; sul nero 10 segna le regioni interne degli angoli ABC, DEF e ∠KLM raddrizzato.

È utile ritagliare gli angoli da un foglio di cartone sottile: un pezzo di cartone è una rappresentazione approssimativa di una parte del piano; disegnando su di esso due raggi provenienti da un punto, e tagliando questo pezzo lungo i lati dell'angolo disegnato, divideremo il pezzo di cartone in 2 parti; Prendiamo una di queste parti, di cui vogliamo supporre che si trovi all'interno dell'angolo, e rimuoviamo l'altra: quindi avremo un modello dell'angolo insieme alla sua regione interna. Per interpretare correttamente questo modello, bisogna tenere presente che un pezzo di cartone è l'immagine solo di una parte di un piano, e il piano stesso si estende all'infinito.

13. Confronta due angoli dati∠ABC e ∠DEF (disegno 11).

“Confrontare” due angoli significa determinare se gli angoli sono uguali oppure uno è maggiore dell'altro. Per fare ciò, inizieremo a sovrapporre un angolo all'altro in modo che le loro aree interne si sovrappongano: se in questo caso risulta che è possibile ottenere che i vertici e i lati dei nostri angoli siano allineati, allora diciamo che questi angoli sono uguali; se i vertici da un lato dei nostri angoli coincidono, ma gli altri lati non coincidono, allora gli angoli non sono uguali, e leggiamo quello più piccolo come quello la cui area interna combacia con l'area interna dell'altro.

Esercizio. Ritaglia i modelli degli angoli dalla carta insieme alle loro aree interne e, sovrapponendo questi modelli uno sopra l'altro, stabilisci la possibilità dei casi sopra descritti; Dopo aver ritagliato un modello di un angolo, ritaglia poi un modello di un angolo uguale ad esso e modelli di angoli non uguali ad esso (più o meno).

Consideriamo gli angoli ABC e DEF (Figura 11); nel disegno è segnata la zona interna di ciascuno di essi. Spostiamo ∠DEF in modo che il suo vertice E tocchi il punto B e il suo lato EF vada lungo il lato BC - quindi le aree interne degli angoli verranno posizionate una dopo l'altra. Se il lato ED va lungo il lato BA, allora ∠DEF = ∠ABC; se il lato ED entra all'interno di ∠ABC, ad esempio, lungo il raggio BM, allora ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

È utile ripetere lo stesso ragionamento per gli angoli ABC e DEF (con segnate le regioni interne) riportato in Fig. 11bis.

Applichiamo il metodo descritto per confrontare due angoli a due angoli raddrizzati. Prendiamo 2 angoli raddrizzati ∠AOB e ∠A1O1B1 (disegno 12), le cui aree interne sono segnate nel disegno. Sovrapponendo uno di questi angoli all'altro in modo che il vertice O 1 dell'uno cada nel vertice O dell'altro e in modo che il lato O 1 A 1 dell'uno corra lungo il lato OA dell'altro, si giunge alla conclusione che gli altri lati di questi angoli O 1 B 1 e OB coincidono, poiché le linee A 1 O 1 B 1 e AOB sono rette, la cui posizione è determinata da due punti. (A volte dicono: “OB è una continuazione di OA” invece di dire che la linea AOB è una linea retta). Arriviamo quindi alla conclusione:

Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

14. ∠AOB raddrizzato (disegno 12) divide il piano in 2 regioni, interna ed esterna. Se pieghi l'aereo lungo la linea retta AOB, entrambe queste parti coincideranno. Pertanto, possiamo supporre che le aree interna ed esterna di un angolo retto siano uguali tra loro.

Se abbiamo un angolo non rettificato, ad esempio ∠DEF (disegno 11 o disegno 11 bis), allora continuando uno dei suoi lati, ad esempio il lato DE (sui disegni non sono disegnate continuazioni), vedremo che riguardo al nostro angolo si può stabilire che o è minore di quello raddrizzato (disegno 11), oppure maggiore di esso (disegno 11 bis); Dipende da quale delle due parti del piano viene presa come regione interna dell'angolo. Di solito si sceglie la zona interna dell'angolo in modo che questo angolo sia più piccolo di quello raddrizzato, e in questo caso ci impegniamo a non segnare la zona interna dell'angolo. A volte l'origine dell'angolo indicherà che la regione interna deve essere considerata quella parte del piano in cui l'angolo sarà maggiore di quello raddrizzato. Questi casi a volte si verificheranno in futuro, quindi dovremo contrassegnare l'area interna dell'angolo.

15. Trova la somma di due angoli: ∠AOB e ∠PNM (disegno 13), oppure aggiungere ∠AOB e ∠PNM.

Qui nel disegno non sono evidenziate le zone interne degli angoli; ciò significa, secondo l'osservazione del paragrafo precedente, che devono essere scelti in modo che ogni angolo sia minore che raddrizzato, e si vedano chiaramente queste zone.

Spostiamo ∠PNM in modo che il suo vertice N coincida con il vertice O dell'angolo AOB, e ruotando attorno al punto O faremo in modo che il lato NP corra lungo il lato OB; quindi le regioni interne dei nostri angoli saranno adiacenti tra loro: questa circostanza è essenziale per la somma degli angoli. Notiamo poi come andrà il lato NM: poniamolo, ad esempio, lungo il raggio OC. Quindi otteniamo un nuovo ∠AOC, che viene preso come la somma dei due angoli dati. Possiamo scrivere:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
e 3) (basato su 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Puoi anche piegare più angoli; Puoi suddividere questo angolo in diversi termini. Per l'inferno. 14 abbiamo:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

È facile costruire due o più angoli applicati tra loro in modo che la loro somma sia uguale all'angolo retto. È possibile che la somma di più angoli sia maggiore dell'angolo raddrizzato (Fig. 15 è opportuno notare la regione interna di questa somma).

Un altro caso particolare di somma degli angoli è possibile, quando le regioni interne degli angoli aggiunti coprono l'intero piano quando sono applicati l'uno all'altro. Per l'inferno. 16 abbiamo i seguenti angoli: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF e ∠FOA. In questo caso, avendo costruito il raggio OM, che è la continuazione del raggio OA, vediamo che la somma dei nostri angoli è composta da due angoli raddrizzati: 1) ∠AOM raddrizzato, la cui regione interna è segnata da una linea curva , e 2) ∠AOM raddrizzato, la cui regione interna è contrassegnata da una doppia linea curva. Qui abbiamo:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 angoli raddrizzati.

Dicono: La somma di tutti gli angoli successivi che circondano un punto è uguale a due angoli retti.

Se sono presenti angoli aggiuntivi diversi da quelli costruiti nel disegno. 16, poi dovranno essere applicati nuovamente ai precedenti lungo il primo angolo raddrizzato, e allora la somma risulterà essere più di due angoli raddrizzati, pari a tre angoli raddrizzati, più di tre angoli raddrizzati, ecc.

16. Trova la differenza tra due angoli: ∠AOB e ∠MNP (Dev. 17), oppure sottrarre ∠MNP da ∠AOB, assumendo che ∠MNP< ∠AOB.

Spostiamo ∠MNP in modo che il suo vertice N cada nel vertice O dell'angolo AOB; Ruotando attorno al punto O otterremo che il lato NM coincide con il lato OB e che le aree interne di questi angoli si trovano una sopra l'altra. Lasciamo che il lato NP segua il raggio OC; quindi otteniamo un nuovo ∠AOC, di cui sappiamo che ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, da cui, secondo la definizione di sottrazione come azione inversa dell'addizione, otteniamo:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
ma ∠COB = ∠MNP; Ecco perché
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Dai paragrafi. 13-16 dobbiamo cogliere l'idea che i seguenti concetti sono applicabili agli angoli, così come ai segmenti: più, meno, uguale, e che i concetti di somma e differenza di due angoli hanno un certo significato.

17. Esercizi. 1. Costruisci due angoli attaccati tra loro, nominali con lettere, indica la loro somma e scrivi la somma di questi angoli.

2. Nello stesso disegno indicare che uno degli angoli è la differenza tra gli altri due; Scrivilo.

3. Nei seguenti disegni (vedi disegno B), ∠AOB è espresso dalla differenza degli altri due angoli.

4. Dividi questo angolo in 2, 3 e 4 termini; scrivilo ogni volta; fai lo stesso con l'angolo raddrizzato.

5. Presenta questo angolo come la differenza tra quello raddrizzato e qualche altro angolo. Che tipo di struttura è necessaria per questo?

6. Aggiungi e sottrai angoli utilizzando modelli di angoli ritagliati su carta.

18. In futuro numereremo spesso gli angoli per abbreviare la lettera chiamandoli numeri. Scriveremo i numeri degli angoli all'interno di ciascun angolo vicino al vertice.

Costruiamo ∠AOB (disegno 18) e chiamiamolo ∠1. Aggiungiamo questo angolo ad uno dritto. Il problema ha due soluzioni: costruire un raggio OC, che serva da continuazione del raggio OA; allora otteniamo ∠BOC o ∠2, che soddisfa il requisito, poiché vediamo che

∠1 + ∠2 = angolo raddrizzato.

Qui abbiamo un esempio di somma di due angoli quando la somma è uguale all'angolo raddrizzato - tali angoli sono chiamati adiacenti: ∠1 e ∠2 sono angoli adiacenti. Affinché 2 angoli possano essere detti “adiacenti”, è necessario che 1) siano attaccati tra loro e 2) che la loro somma sia uguale all'angolo raddrizzato, o, che è lo stesso, che questi angoli abbiano un angolo comune vertice (agli angoli 1 e 2 vertice comune O), un lato comune (i nostri angoli hanno un lato comune OB) e che gli altri due lati sono una continuazione l'uno dell'altro (OC è una continuazione di OA).

La seconda soluzione al nostro problema la otterremo se continuiamo il lato OB - sia OD una continuazione di OB; quindi otteniamo un altro ∠AOD o ∠4 adiacente a ∠1. Chiamiamo anche l'angolo risultante COD con ∠3.

Esaminiamo le 2 soluzioni ottenute del nostro problema, ovvero ∠2 e ∠4. Vediamo la particolarità della posizione di ∠2 e ∠4: hanno un vertice comune O, i lati di uno di essi sono continuazione dei lati dell'altro, cioè OC è una continuazione di OA e viceversa, e OB è una continuazione di OD e viceversa: questi due angoli sono chiamati verticali.

Allora sappiamo che sia ∠2 che ∠4 completano ciascuno ∠1 finché non viene rettificato; da qui lo concludiamo

Ecco un riepilogo più dettagliato di quest'ultima considerazione. Secondo la costruzione abbiamo:

1) ∠1 + ∠2 = angolo raddrizzato;
2) ∠1 + ∠4 = angolo raddrizzato.

Vediamo che entrambe le addizioni portano alla stessa somma (tutti gli angoli retti sono uguali tra loro) e, inoltre, un termine (vale a dire ∠1) in entrambe le addizioni è lo stesso; da qui concludiamo che gli altri termini devono essere uguali tra loro, cioè ∠2 = ∠4.

Se costruiamo due rette che si intersecano, otteniamo due coppie di angoli verticali. Per l'inferno. 18 abbiamo le linee AC e BD, una coppia di angoli verticali è ∠2 e ∠4, e l'altra è ∠1 e ∠3. Tutto quanto sopra si applica ad ogni coppia di angoli verticali; ad esempio, per la coppia ∠1 e ∠3 abbiamo che ciascuno di essi complementa ∠2 a quello rettificato, quindi ∠1 = ∠3. Pertanto abbiamo il teorema:
Gli angoli verticali sono uguali tra loro.

Esercizio. Costruisci tre rette passanti per il punto e indica gli angoli verticali risultanti; annotare la loro uguaglianza.

Diamo due segmenti AB e CD (Fig.). Sovrapponiamo il segmento AB al segmento CD in modo che il punto A coincida con il punto C e dirigiamo il segmento AB lungo il segmento CD. Se il punto B coincide con il punto D, allora i segmenti AB e CD sono uguali; AB = CD.

Confrontiamo due segmenti KO ed EM (Fig.).

Sovrapponiamo il segmento KO al segmento EM in modo che i punti K ed E coincidano. Dirigiamo il segmento KO lungo il segmento EM. Se il punto O è da qualche parte tra i punti E e M, allora dicono che il segmento EM è maggiore del segmento KO; il segmento KO è inferiore al segmento EM.

Si scrive così: MANGIA > KO, KO

Costruire un segmento uguale ad uno dato utilizzando un compasso.

una gamba della bussola è posizionata su un'estremità del segmento AB e l'altra sull'altra estremità e, senza modificare l'angolo della bussola, trasferirla su una certa linea retta in modo che l'estremità di una gamba segni un punto N, quindi l'estremità dell'altra gamba del compasso segna un punto R sulla stessa linea retta. Il segmento NP sarà uguale al segmento AB.

Addizione e sottrazione di segmenti.

E' scritto così:

NM = AB + CD.

Allo stesso modo si trova la somma di più segmenti (Fig.)

MN = AB + CD + EF.

Quando si aggiungono segmenti, come in aritmetica quando si aggiungono numeri, vengono seguite le seguenti leggi: commutativa e associativa.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF).

Per trovare la differenza tra due segmenti AB e CD (Fig.),

È necessario mettere da parte un segmento più piccolo (CD) su un segmento più grande (AB) dalla sua estremità, ad esempio il punto A. La parte rimanente (KB) del segmento più grande sarà la differenza di questi segmenti:

AB-CD = KV.

Moltiplicazione e divisione di un segmento per un numero intero.

Il segmento MN è il prodotto del segmento AB e del numero 5.

b) Nella figura il segmento MN è composto da cinque segmenti uguali, cioè il segmento MN è diviso in cinque parti uguali. Ciascuno di essi costituisce 1/5 del segmento MN.

c) Per dividere un segmento in parti uguali usando un compasso, fai così. Ad esempio, se è necessario dividere un segmento in due parti uguali, il compasso viene allontanato a occhio in modo che l'apertura del compasso sia circa la metà del segmento. Quindi, su un determinato segmento dalla sua estremità, con questa soluzione a compasso vengono disposti in sequenza due segmenti, uno dopo l'altro. Se la somma risultante dei segmenti è inferiore a questo segmento, la soluzione della bussola viene aumentata; se l'importo risulta essere maggiore di questo segmento, la soluzione del compasso viene ridotta. Quindi, correggendo gradualmente l'errore, puoi trovare con precisione la metà del segmento (Fig.).

Allo stesso modo viene eseguita una divisione approssimativa di un segmento in 3, 4, 5, ecc. parti uguali. Solo in questo caso prelevarne 1/3 ad occhio; 14; 1/5... di un segmento e mettere da parte il segmento preso 3, 4, 5... volte, a seconda di quante parti uguali bisogna dividere il segmento dato.

Proprietà dei segmenti tagliati da rette parallele ai lati di un angolo

Si dispongano segmenti uguali BM = MK = KS (Fig.) sul lato AB dell'angolo ABN e si conducano linee parallele che intersecano il lato BN dello stesso angolo attraverso i punti di divisione M, K e C.

Su questo lato si formarono tre segmenti: VM', M'K' e K'S'. Occorre dimostrare che VM' = M'K' = K'C'.

Per dimostrarlo tracciamo delle rette parallele ad AB passanti per i punti M’ e K’. Otteniamo i triangoli ВММ', М'ЭК' e К'РС'. Confrontiamo questi triangoli.

Per prima cosa confrontiamo i triangoli MVM' e M'EK'. In questi triangoli abbiamo:

∠1 = ∠2, come gli angoli corrispondenti alle parallele BA e M'E e alla secante BN;

∠3 = ∠4, come angoli acuti 1 con lati corrispondentemente paralleli (AB || M'E e MM' || KK').

VM = MK per costruzione;

MK = M'E, come i lati opposti di un parallelogramma.

Gli angoli 1 e 4 possono risultare entrambi ottusi, ma in questo caso rimarranno uguali, e quindi la dimostrazione del teorema non cambierà.

Pertanto, BM = M'E. Quindi, ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (sul lato e su due angoli adiacenti). Ne consegue che VM' = M'K'.

Si può anche dimostrare che VM’ = K’C’, cioè VM’ = M’K’ = K’C’. Nel dimostrare il teorema, abbiamo iniziato a disporre i segmenti dal vertice dell'angolo, ma il teorema è valido anche nel caso in cui la disposizione dei segmenti non inizia dal vertice dell'angolo, ma da qualsiasi punto sul suo lato.

In questo caso non è necessario segnare il vertice dell'angolo nel disegno (Fig.).

Il teorema vale anche nel caso in cui le rette KO e MR siano parallele.

Segmenti proporzionali

Dall'aritmetica sappiamo che l'uguaglianza di due rapporti si chiama proporzione. Ad esempio: 16/4 = 20/5; 2 / 3 = 4 / 6 In geometria abbiamo la stessa cosa: se sono date due coppie di segmenti i cui rapporti sono uguali, allora si può fare una proporzione.

Se UN / B= 4/3 e C / D= 4/3 (Drawn 351), quindi otteniamo la proporzione UN / B = C / D ;

segmenti a, b, c, d sono chiamati proporzionale.

Atteggiamento UN / Bè chiamata, come in aritmetica, la prima relazione, C / D- seconda relazione; UN E D sono chiamati termini estremi della proporzione, B E Con- membri intermedi.

In una proporzione i rapporti possono essere invertiti; puoi riorganizzare i membri estremi, i membri medi; puoi riorganizzarli entrambi allo stesso tempo.

Perché in proporzione UN / B = C / D le lettere significano numeri che esprimono la lunghezza dei segmenti, quindi il prodotto dei suoi membri estremi è uguale al prodotto dei suoi membri centrali. Da qui, conoscendo i tre termini della proporzione, si trova il suo quarto termine sconosciuto. Sì, in proporzione UN / X = C / D X = anno Domini / C

Notiamo alcune altre proprietà delle proporzioni, che dovranno essere utilizzate in futuro per dimostrare alcuni teoremi e risolvere problemi.

a) Se tre termini di una proporzione sono rispettivamente uguali a tre termini di un'altra proporzione, allora anche i quarti termini di queste proporzioni sono uguali.

Se UN / B = C / X E UN / B = C / sì,Quello x = y. Infatti, X = avanti Cristo / UN , A = avanti Cristo / UN, cioè e X E A uguale allo stesso numero avanti Cristo / UN .

b) Se i termini precedenti sono uguali in proporzione, allora sono uguali anche i successivi, cioè se UN / X = UN / sì, Quello x = y.

Per verificarlo, riorganizziamo i termini medi in questa proporzione.

Noi abbiamo: UN / UN = X / sì. Ma UN / UN= 1. Pertanto, e X / sì = 1.

E questo è possibile solo se il numeratore e il denominatore della frazione sono uguali, cioè

x = y.

c) Se i termini successivi sono uguali in proporzione, allora sono uguali anche i precedenti, cioè se X / UN = sì / UN, Quello x = y.

Siete invitati a verificare voi stessi la validità di questa proprietà. Per fare ciò effettuate un ragionamento simile al precedente.

Costruzione di segmenti proporzionali

Siano intersecate due linee EF e OP da tre linee parallele AB, CD e MN (Fig.).

Occorre dimostrare che i segmenti AC, CM, BD e DN, racchiusi tra secanti parallele, sono proporzionali, cioè

AC/CM = BD/DN

Sia la lunghezza del segmento AC R, e la lunghezza del segmento CM è uguale a Q.

Per esempio, R= 4 cm e Q= 5cm.

Dividiamo AC e CM in segmenti uguali a 1 cm, e dai punti di divisione tracciamo delle rette parallele alle rette AB, CD e MN, come mostrato in figura.

Quindi verranno depositati segmenti uguali sulla retta OR, con 4 segmenti sul segmento BD e 5 segmenti sul segmento DN.

Il rapporto tra AC e CM è 4/5, e analogamente il rapporto tra BD e DN è 4/5.

Quindi AC/CM = BD/DN.

Ciò significa che i segmenti AC, CM, BD e DN sono proporzionali. Anche i segmenti AC, AM, BD e BN (sovrapposti tra loro) sono proporzionali, cioè AC / AM = BD / BN,

poiché AC/AM = 4/9 e BD/BN = 4/9

Il teorema sarà valido per qualsiasi altro valore intero R E Q.

Se le lunghezze dei segmenti AC e CM non sono espresse in numeri interi per una determinata unità di misura (ad esempio un centimetro), allora è necessario prendere un'unità più piccola (ad esempio un millimetro o un micron), in cui la le lunghezze dei segmenti AC e CM sono praticamente espresse in numeri interi.

Il teorema dimostrato vale anche nel caso in cui una delle secanti parallele passa per il punto di intersezione di tali rette. Ciò vale anche nel caso in cui i segmenti non vengono tracciati direttamente uno dopo l'altro, ma dopo un certo intervallo.

Segmento. Lunghezza del segmento. Triangolo.

1. In questo paragrafo ti verranno introdotti alcuni concetti di geometria. Geometria- la scienza di "misurare la terra". Questa parola deriva dalle parole latine: geo - terra e metr - misura, misurare. In geometria, vari oggetti geometrici, le loro proprietà, i loro collegamenti con il mondo esterno. Gli oggetti geometrici più semplici sono un punto, una linea, una superficie. Oggetti geometrici più complessi, ad esempio figure geometriche e corpi, sono formati dai più semplici.

Se applichiamo un righello a due punti A e B e tracciamo una linea lungo di esso che collega questi punti, otteniamo segmento, che si chiama AB o VA (leggi: “a-be”, “be-a”). Si chiamano i punti A e B estremità del segmento(immagine 1). Viene chiamata la distanza tra le estremità di un segmento, misurata in unità di lunghezza lunghezzataglioka.

Unità di lunghezza: m - metro, cm - centimetro, dm - decimetro, mm - millimetro, km - chilometro, ecc. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Per misurare la lunghezza dei segmenti, utilizzare un righello o un metro a nastro. Misurare la lunghezza di un segmento significa scoprire quante volte una determinata misura di lunghezza rientra in esso.

Pari sono detti due segmenti che possono essere uniti sovrapponendo l'uno all'altro (Figura 2). Ad esempio, puoi ritagliare effettivamente o mentalmente uno dei segmenti e collegarlo a un altro in modo che le loro estremità coincidano. Se i segmenti AB e SK sono uguali, allora scriviamo AB = SK. Segmenti uguali hanno lunghezze uguali. È vero il contrario: due segmenti di uguale lunghezza sono uguali. Se due segmenti hanno lunghezze diverse significa che non sono uguali. Di due segmenti disuguali il più piccolo è quello che fa parte dell'altro segmento. Puoi confrontare segmenti sovrapposti utilizzando una bussola.

Se estendiamo mentalmente il segmento AB in entrambe le direzioni fino all'infinito, allora avremo un'idea di Dritto AB (Figura 3). Qualsiasi punto che giace su una linea la divide in due trave(Figura 4). Il punto C divide la linea AB in due trave SA e SV. Si chiama Tosca C inizio del raggio.

2. Se tre punti che non giacciono sulla stessa linea sono collegati da segmenti, otteniamo una figura chiamata triangolo. Questi punti sono chiamati picchi triangolo e i segmenti che li collegano partiti triangolo (Figura 5). FNM - triangolo, segmenti FN, NM, FM - lati del triangolo, punti F, N, M - vertici del triangolo. I lati di tutti i triangoli hanno la seguente proprietà: d La lunghezza di ogni lato di un triangolo è sempre minore della somma delle lunghezze degli altri due lati.

Se estendi mentalmente, ad esempio, la superficie del piano di un tavolo in tutte le direzioni, te ne farai un'idea aereo. Punti, segmenti, rette, raggi si trovano su un piano (Figura 6).

Blocco 1. Aggiuntivo

Il mondo in cui viviamo, tutto ciò che ci circonda, gli antichi chiamavano natura o spazio. Lo spazio in cui viviamo è considerato tridimensionale, cioè ha tre dimensioni. Sono spesso chiamati: lunghezza, larghezza e altezza (ad esempio, la lunghezza di una stanza è 4 m, la larghezza della stanza è 2 me l'altezza è 3 m).

L'idea di un punto geometrico (matematico) ci viene data da una stella nel cielo notturno, un punto alla fine di questa frase, un segno di un ago, ecc. Tutti gli oggetti elencati hanno però delle dimensioni; le dimensioni di un punto geometrico, invece, sono considerate pari a zero (le sue dimensioni sono pari a zero). Pertanto, un vero punto matematico può essere immaginato solo mentalmente. Puoi anche dire dove si trova. Posizionando un punto su un taccuino con una penna stilografica, non rappresenteremo un punto geometrico, ma assumeremo che l'oggetto costruito sia un punto geometrico (Figura 6). I punti sono designati in lettere maiuscole dell'alfabeto latino: UN, B, C, D, (Leggere " punto a, punto essere, punto tse, punto de") (Figura 7).

Fili appesi a pali, una linea visibile dell'orizzonte (il confine tra cielo e terra o acqua), il letto di un fiume raffigurato su una mappa, un cerchio da ginnastica, un rivolo d'acqua che sgorga da una fontana ci danno un'idea delle linee.

Esistono linee chiuse e aperte, linee lisce e non lisce, linee con e senza autointersezione (Figure 8 e 9).

Un foglio di carta, un disco laser, un pallone da calcio, una scatola di cartone da imballaggio, una maschera di plastica natalizia, ecc. dacci un'idea di superfici(Figura 10). Quando si dipinge il pavimento di una stanza o di un'auto, la superficie del pavimento o dell'auto viene ricoperta di vernice.

Corpo umano, pietra, mattone, formaggio, palla, ghiacciolo, ecc. dacci un'idea di geometrico corpi (Figura 11).

La più semplice di tutte le linee è è dritto. Posiziona un righello su un foglio di carta e traccia una linea retta lungo esso con una matita. Estendendo mentalmente questa linea all'infinito in entrambe le direzioni, otterremo l'idea di una linea retta. Si ritiene che una linea retta abbia una dimensione: la lunghezza e che le sue altre due dimensioni siano uguali a zero (Figura 12).

Quando si risolvono i problemi, una linea retta viene rappresentata come una linea tracciata lungo un righello con una matita o un gesso. Le linee dirette sono designate con lettere latine minuscole: a, b, n, m (Figura 13). Puoi anche denotare una linea retta con due lettere corrispondenti ai punti che giacciono su di essa. Ad esempio, dritto N nella Figura 13 possiamo denotare: AB o VA, ADODUN,DB o BD.

I punti possono trovarsi su una linea (appartenere a una linea) o non trovarsi su una linea (non appartenere a una linea). La Figura 13 mostra i punti A, D, B che giacciono sulla linea AB (appartenente alla linea AB). Allo stesso tempo scrivono. Leggi: il punto A appartiene alla linea AB, il punto B appartiene ad AB, il punto D appartiene ad AB. Anche il punto D appartiene alla linea m, si chiama generale punto. Nel punto D le linee AB e m si intersecano. I punti P e R non appartengono alle rette AB e m:

Sempre attraverso due punti qualsiasi puoi disegnare una linea retta e solo una .

Di tutti i tipi di linee che collegano due punti qualsiasi, il segmento le cui estremità sono questi punti ha la lunghezza più breve (Figura 14).

Una figura composta da punti e segmenti che li collegano è chiamata linea spezzata (Figura 15). Vengono chiamati i segmenti che formano una linea spezzata collegamenti linea spezzata, e le loro estremità - picchi linea spezzata Una linea spezzata viene denominata (designata) elencando tutti i suoi vertici in ordine, ad esempio la linea spezzata ABCDEFG. La lunghezza di una linea spezzata è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti. Ciò significa che la lunghezza della linea spezzata ABCDEFG è uguale alla somma: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Viene chiamata una linea spezzata chiusa poligono, vengono chiamati i suoi vertici vertici del poligono e i suoi collegamenti partiti poligono (Figura 16). Un poligono viene nominato (designato) elencando in ordine tutti i suoi vertici, a partire da uno qualsiasi, ad esempio poligono (eptagono) ABCDEFG, poligono (pentagono) RTPKL:

Si chiama la somma delle lunghezze di tutti i lati di un poligono perimetro poligono ed è indicato dal latino letteraP(Leggere: pe). Perimetri dei poligoni nella Figura 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Estendendo mentalmente la superficie del piano di un tavolo o del vetro di una finestra all'infinito in tutte le direzioni, otteniamo un'idea della superficie, che si chiama aereo (Figura 17). Gli aerei sono designati in minuscole lettere dell'alfabeto greco: α, β, γ, δ, ... (noi leggiamo: piano alfa, beta, gamma, delta, ecc.).

Blocco 2. Vocabolario.

Crea un dizionario di nuovi termini e definizioni dal §2. A tale scopo, inserisci nelle righe vuote della tabella le parole dell'elenco di termini riportato di seguito. Nella tabella 2, indicare i numeri dei termini in base ai numeri di riga. Si consiglia di rivedere attentamente il §2 e bloccare 2.1 prima di compilare il dizionario.

Blocco 3. Stabilire la corrispondenza (CS).

Figure geometriche.

Blocco 4. Autotest.

Misurare un segmento utilizzando un righello.

Ricordiamo che misurare un segmento AB in centimetri significa confrontarlo con un segmento lungo 1 cm e scoprire quanti segmenti di 1 cm rientrano nel segmento AB. Per misurare un segmento in altre unità di lunghezza, procedere allo stesso modo.

Per completare le attività, lavorare secondo il piano indicato nella colonna di sinistra della tabella. In questo caso consigliamo di coprire la colonna di destra con un foglio di carta. Puoi quindi confrontare i tuoi risultati con le soluzioni nella tabella a destra.

Blocco 5. Stabilire una sequenza di azioni (SE).

Costruire un segmento di una data lunghezza.

opzione 1. La tabella contiene un algoritmo confuso (un ordine confuso di azioni) per costruire un segmento di una determinata lunghezza (ad esempio, costruiamo un segmento BC = 7 cm). Nella colonna di sinistra c'è l'indicazione dell'azione, nella colonna di destra c'è il risultato dell'esecuzione di questa azione. Riorganizza le righe della tabella in modo da ottenere l'algoritmo corretto per costruire un segmento di una determinata lunghezza. Annotare la sequenza corretta di azioni.

Opzione 2. La tabella seguente mostra l'algoritmo per costruire il segmento KM = n cm, dove invece di N Puoi sostituire qualsiasi numero. In questa opzione non c'è corrispondenza tra azione e risultato. Pertanto, è necessario stabilire una sequenza di azioni, quindi per ciascuna azione selezionarne il risultato. Scrivi la risposta nella forma: 2a, 1c, 4b, ecc.

Opzione 3. Utilizzando l'algoritmo dell'opzione 2, costruisci segmenti nel tuo quaderno a n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

Blocco 6. Test delle faccette.

Segmento, semiretta, retta, piano.

Nei compiti del test delle sfaccettature, vengono utilizzate le immagini e i record numerati da 1 a 12, riportati nella Tabella 1. Da essi vengono formati i dati del compito. Quindi vengono aggiunti i requisiti delle attività, che vengono inserite nel test dopo la parola di collegamento "TO". Le risposte ai problemi si trovano dopo la parola “EQUAL”. L'insieme delle attività è riportato nella Tabella 2. Ad esempio, l'attività 6.15.19 è composta come segue: “SE il problema utilizza la Figura 6 , S Quindi viene aggiunta la condizione numero 15, il requisito dell’attività è il numero 19.”

13) costruire quattro punti in modo che ognuno di essi non giaccia sulla stessa retta;

14) tracciare una linea retta che passa ogni due punti;

15) estendere mentalmente ciascuna delle superfici della scatola in tutte le direzioni fino all'infinito;

16) il numero di diversi segmenti nella figura;

17) il numero di raggi diversi nella figura;

18) il numero di diverse rette nella figura;

19) il numero di piani diversi ottenuti;

20) lunghezza del segmento AC in centimetri;

21) lunghezza del tratto AB in chilometri;

22) lunghezza del segmento DC in metri;

23) perimetro del triangolo PRQ;

24) lunghezza della linea tratteggiata QPRMN;

25) quoziente dei perimetri dei triangoli RMN e PRQ;

26) lunghezza del segmento ED;

27) lunghezza del segmento BE;

28) il numero di punti di intersezione delle linee risultanti;

29) il numero di triangoli risultanti;

30) il numero di parti in cui era diviso l'aereo;

31) il perimetro del poligono, espresso in metri;

32) il perimetro del poligono, espresso in decimetri;

33) il perimetro del poligono, espresso in centimetri;

34) il perimetro del poligono, espresso in millimetri;

35) perimetro del poligono, espresso in chilometri;

EQUAL (uguale, ha la forma):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b; j) 80∙b; l) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; X) 28

Blocco 7. Giochiamo.

7.1. Labirinto matematico.

Il labirinto è composto da dieci stanze con tre porte ciascuna. In ciascuna delle stanze c'è un oggetto geometrico (è disegnato sul muro della stanza). Le informazioni su questo oggetto si trovano nella "guida" al labirinto. Durante la lettura, devi andare nella stanza di cui è scritto nella guida. Mentre cammini per le stanze del labirinto, traccia il tuo percorso. Le ultime due stanze hanno uscite.

Guida al labirinto

1. Devi entrare nel labirinto attraverso una stanza dove c'è un oggetto geometrico che non ha inizio, ma ha due estremità.
2. L'oggetto geometrico di questa stanza non ha dimensioni, è come una stella lontana nel cielo notturno.
3. L'oggetto geometrico di questa stanza è composto da quattro segmenti che hanno tre punti in comune.
4. Questo oggetto geometrico è costituito da quattro segmenti con quattro punti comuni.
5. Questa stanza contiene oggetti geometrici, ognuno dei quali ha un inizio ma non una fine.
6. Ecco due oggetti geometrici che non hanno né inizio né fine, ma con un punto in comune.

1. Un'idea di questo oggetto geometrico è data dal volo dei proiettili di artiglieria

(traiettoria del movimento).

1. Questa stanza contiene un oggetto geometrico con tre picchi, ma non sono montuosi.

1. Il volo di un boomerang dà un'idea di questo oggetto geometrico (caccia

armi delle popolazioni indigene dell'Australia). In fisica questa linea è chiamata traiettoria

movimenti del corpo.

1. Un'idea di questo oggetto geometrico è data dalla superficie del lago in

tempo calmo.

Ora puoi uscire dal labirinto.

Il labirinto contiene oggetti geometrici: piano, linea aperta, retta, triangolo, punto, linea chiusa, linea spezzata, segmento, semiretta, quadrilatero.

7.2. Perimetro di forme geometriche.

Nei disegni, evidenzia le forme geometriche: triangoli, quadrangoli, pentagoni ed esagoni. Utilizzando un righello (in millimetri), determina il perimetro di alcuni di essi.

7.3. Staffetta di oggetti geometrici.

Le attività di inoltro hanno frame vuoti. Annota la parola mancante in essi. Quindi sposta questa parola su un altro fotogramma dove punta la freccia. In questo caso, puoi cambiare il caso di questa parola. Man mano che attraversi le fasi della staffetta, completa le formazioni richieste. Se completi correttamente il relè, riceverai alla fine la seguente parola: perimetro.

7.4. Forza degli oggetti geometrici.

Leggi il § 2, scrivi i nomi degli oggetti geometrici dal suo testo. Quindi scrivi queste parole nelle celle vuote della “fortezza”.