Formule di laurea utilizzato nel processo di riduzione e semplificazione di espressioni complesse, nella risoluzione di equazioni e disequazioni.

Numero CÈ N-esima potenza di un numero UN Quando:

Operazioni con i gradi.

1. Moltiplicando i gradi con la stessa base, si sommano i loro indicatori:

Sono·a n = a m + n .

2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti:

3. Il grado del prodotto di 2 o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Il grado di una frazione è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo e il divisore:

(a/b) n = a n /b n .

5. Elevando una potenza a potenza, si moltiplicano gli esponenti:

(a m) n = a m n .

Ciascuna formula sopra è vera nelle direzioni da sinistra a destra e viceversa.

Per esempio. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operazioni con le radici.

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice di un rapporto è uguale al rapporto tra il dividendo e il divisore delle radici:

3. Quando si eleva una radice a una potenza, è sufficiente elevare il numero radicale a questa potenza:

4. Se aumenti il ​​grado della radice in N una volta e allo stesso tempo incorporare N l'esima potenza è un numero radicale, quindi il valore della radice non cambierà:

5. Se riduci il grado della radice in N estrarre contemporaneamente la radice N-esima potenza di un numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Un grado con esponente negativo. La potenza di un certo numero con esponente non positivo (intero) è definita come quella divisa per la potenza dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente non positivo:

Formula Sono:a n = a m - n può essere utilizzato non solo per M> N, ma anche con M< N.

Per esempio. UN4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Alla formula Sono:a n = a m - nè diventato giusto quando m=n, è richiesta la presenza di grado zero.

Una laurea con indice pari a zero. La potenza di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale a uno.

Per esempio. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con esponente frazionario. Per aumentare un numero reale UN al grado m/n, devi estrarre la radice N° grado di M-esima potenza di questo numero UN.

Nell'ultima videolezione, abbiamo appreso che il grado di una certa base è un'espressione che rappresenta il prodotto della base stessa, preso in una quantità pari all'esponente. Studiamo ora alcune delle proprietà e delle operazioni più importanti delle potenze.

Ad esempio, moltiplichiamo due potenze diverse con la stessa base:

Presentiamo quest'opera nella sua interezza:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calcolato il valore di questa espressione, otteniamo il numero 32. D'altra parte, come si vede dallo stesso esempio, 32 può essere rappresentato come il prodotto della stessa base (due), preso 5 volte. E infatti, se lo conti, allora:

Pertanto possiamo tranquillamente concludere che:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Questa regola funziona con successo per qualsiasi indicatore e per qualsiasi motivo. Questa proprietà della moltiplicazione della potenza deriva dalla regola secondo cui il significato delle espressioni viene preservato durante le trasformazioni in un prodotto. Per ogni base a, il prodotto di due espressioni (a)x e (a)y è uguale a a(x + y). In altre parole, quando si producono espressioni con la stessa base, il monomio risultante ha un grado totale formato sommando i gradi della prima e della seconda espressione.

La regola presentata funziona benissimo anche quando si moltiplicano più espressioni. La condizione principale è che tutti abbiano le stesse basi. Per esempio:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

È impossibile sommare gradi e anzi realizzare azioni congiunte basate sul potere con due elementi di un'espressione se le loro basi sono diverse.
Come mostra il nostro video, a causa della somiglianza dei processi di moltiplicazione e divisione, le regole per aggiungere potenze in un prodotto si trasferiscono perfettamente alla procedura di divisione. Considera questo esempio:

Trasformiamo l'espressione termine per termine nella sua forma completa e riduciamo gli stessi elementi nel dividendo e nel divisore:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Il risultato finale di questo esempio non è così interessante, perché già nel processo di risoluzione è chiaro che il valore dell'espressione è uguale al quadrato di due. Ed è due quello che si ottiene sottraendo il grado della seconda espressione dal grado della prima.

Per determinare il grado del quoziente è necessario sottrarre il grado del divisore dal grado del dividendo. La regola funziona con la stessa base per tutti i suoi valori e per tutte le potenze naturali. Sotto forma di astrazione abbiamo:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Dalla regola di dividere le basi identiche con i gradi segue la definizione del grado zero. Ovviamente, la seguente espressione assomiglia a:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Se invece eseguiamo la divisione in modo più visivo, otteniamo:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Riducendo tutti gli elementi visibili di una frazione si ottiene sempre l'espressione 1/1, cioè uno. Pertanto, è generalmente accettato che qualsiasi base elevata a zero sia uguale a uno:

Indipendentemente dal valore di a.

Tuttavia, sarebbe assurdo se 0 (che dà comunque 0 per qualsiasi moltiplicazione) fosse in qualche modo uguale a uno, quindi un'espressione della forma (0) 0 (zero alla potenza zero) semplicemente non ha senso, e la formula ( a) 0 = 1 aggiungi una condizione: “se a non è uguale a 0”.

Risolviamo l'esercizio. Troviamo il significato dell'espressione:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dato che la base è la stessa ovunque e uguale a 34, il valore finale avrà la stessa base con un grado (secondo le regole sopra indicate):

In altre parole:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Risposta: l'espressione è uguale a uno.

I. Prodotto di potenze con le stesse basi.

Il prodotto di due potenze con la stessa base può sempre essere rappresentato come una potenza con base x.

Per definizione, la potenza x 7 è il prodotto di sette fattori, ciascuno dei quali è uguale a x, e x 9 è il prodotto di nove fattori uguali. Pertanto x 7 x 9 è uguale al prodotto di 7 + 9 fattori. Ognuno dei quali è uguale a x, cioè

x7x9 = x7+9 = x16

Si scopre che se la base del grado a è un numero arbitrario e m e n sono numeri naturali, allora l'uguaglianza è vera:

un m · un n = un m + n

Questa uguaglianza esprime una delle proprietà del grado.

Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale a una potenza con la stessa base e un esponente pari alla somma degli esponenti di tali potenze.

Questa proprietà si verifica anche nei casi in cui il numero di fattori è superiore a due.

Ad esempio, nel caso di tre fattori abbiamo:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

Quando si eseguono trasformazioni, è conveniente utilizzare la regola: quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, le basi rimangono le stesse e gli esponenti vengono aggiunti.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1.

x6x5 = x6+5 = x11

Esempio 2.

un7 un-8 = un-1

Esempio 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Parziali di gradi con le stesse basi.

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente può sempre essere rappresentato come una potenza con la stessa base.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1. Il quoziente x 17: x 5 può essere rappresentato come una potenza in base x:

x17: x5 = x12,

poiché per definizione del quoziente e in base alla proprietà del grado x 5 · x 12 = x 17. L’esponente del quoziente (numero 12) è uguale alla differenza tra gli esponenti del dividendo e il divisore (17 – 5):

x17: x5 = x17-5

Esempio 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Esempio 3.

un -8: un 6 = un -8-6 = un -14

Esempio 4.

b5: b -4 = b5-(-4) = b9

Esempio 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Quando si eseguono trasformazioni, è conveniente utilizzare la regola: quando si dividono le potenze con le stesse basi, le basi rimangono le stesse e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.

Esempio 6.

un 4: un 4 = un 4-4 = un 0

Il valore dell'espressione a 0 per qualsiasi a ≠ 0 è uguale a 1.

III. Aumentare un grado in un grado.

Sia rappresentata la settima potenza dell'espressione a 2 come una potenza con base a.

Per definizione la potenza (a 2) 7 è il prodotto di sette fattori, ciascuno dei quali è pari ad a 2, cioè

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Applicando la proprietà della potenza otteniamo:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7 .

Risulta: (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Quando si eleva una potenza a potenza, la base rimane la stessa e gli esponenti vengono moltiplicati:

(a m) n = a mn .

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Esempio 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

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Espressioni, conversione di espressioni

Espressioni di potere (espressioni con poteri) e loro trasformazione

In questo articolo parleremo della conversione delle espressioni con poteri. Innanzitutto, ci concentreremo sulle trasformazioni eseguite con espressioni di qualsiasi tipo, comprese le espressioni di potere, come l'apertura di parentesi e l'inserimento di termini simili. E poi analizzeremo le trasformazioni inerenti specificamente alle espressioni con gradi: lavorare con la base e l'esponente, utilizzare le proprietà dei gradi, ecc.

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Cosa sono le espressioni di potere?

Il termine “espressioni di potere” praticamente non compare nei libri di testo scolastici di matematica, ma appare abbastanza spesso nelle raccolte di problemi, in particolare in quelle destinate alla preparazione all'Esame di Stato Unificato e all'Esame di Stato Unificato, per esempio. Dopo aver analizzato i compiti in cui è necessario eseguire azioni con espressioni di potere, diventa chiaro che le espressioni di potere sono intese come espressioni contenenti poteri nelle loro voci. Pertanto, puoi accettare tu stesso la seguente definizione:

Definizione.

Espressioni di potere sono espressioni contenenti gradi.

Diamo esempi di espressioni di potere. Inoltre le presenteremo secondo come avviene lo sviluppo delle opinioni da un grado con esponente naturale a un grado con esponente reale.

Come è noto, in questa fase si conoscono prima le potenze di un numero con esponente naturale, le prime espressioni di potenze più semplici del tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 appaiono −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ecc.

Poco dopo, viene studiata la potenza di un numero con esponente intero, il che porta alla comparsa di espressioni di potenza con potenze intere negative, come le seguenti: 3 −2, , un −2 +2 b −3 +c 2 .

Al liceo tornano ai gradi. Viene introdotto un grado con esponente razionale, che comporta la comparsa delle corrispondenti espressioni di potenza: , , e così via. Vengono infine considerati i gradi con esponenti irrazionali e le espressioni che li contengono: , .

La questione non si limita alle espressioni di potenza elencate: inoltre la variabile penetra nell'esponente e, ad esempio, sorgono le seguenti espressioni: 2 x 2 +1 o . E dopo aver preso confidenza con , iniziano ad apparire espressioni con potenze e logaritmi, ad esempio x 2·lgx −5·x lgx.

Quindi, abbiamo affrontato la questione di cosa rappresentano le espressioni di potere. Successivamente impareremo a trasformarli.

Principali tipologie di trasformazioni delle espressioni del potere

Con le espressioni di potere è possibile eseguire qualsiasi trasformazione di identità di base delle espressioni. Ad esempio, puoi aprire parentesi, sostituire espressioni numeriche con i loro valori, aggiungere termini simili, ecc. Naturalmente, in questo caso è necessario seguire la procedura accettata per eseguire le azioni. Facciamo degli esempi.

Esempio.

Calcolare il valore dell'espressione di potenza 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluzione.

Secondo l'ordine di esecuzione delle azioni, esegui prima le azioni tra parentesi. Lì, in primo luogo, sostituiamo la potenza 4 2 con il suo valore 16 (se necessario, vedi), e in secondo luogo, calcoliamo la differenza 16−12=4. Abbiamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Nell'espressione risultante sostituiamo la potenza 2 3 con il suo valore 8, dopodiché calcoliamo il prodotto 8·4=32. Questo è il valore desiderato.

COSÌ, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Risposta:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Esempio.

Semplificare le espressioni con le potenze 3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7.

Soluzione.

Ovviamente questa espressione contiene termini simili 3·a 4 ·b −7 e 2·a 4 ·b −7 , e possiamo presentarli: .

Risposta:

3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7 =5 un 4 b −7 −1.

Esempio.

Esprimere un'espressione con poteri come prodotto.

Soluzione.

Puoi affrontare il compito rappresentando il numero 9 come potenza di 3 2 e quindi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata - differenza dei quadrati:

Risposta:

Ci sono anche una serie di trasformazioni identiche inerenti specificamente alle espressioni di potere. Li analizzeremo ulteriormente.

Lavorare con base ed esponente

Esistono gradi la cui base e/o esponente non sono solo numeri o variabili, ma alcune espressioni. Ad esempio, diamo gli elementi (2+0.3·7) 5−3.7 e (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Quando si lavora con tali espressioni, è possibile sostituire sia l'espressione nella base del grado che l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale nell'ODZ delle sue variabili. In altre parole, secondo le regole a noi note, possiamo trasformare separatamente la base del grado e separatamente l'esponente. È chiaro che come risultato di questa trasformazione si otterrà un'espressione identicamente uguale a quella originale.

Tali trasformazioni ci consentono di semplificare le espressioni con poteri o raggiungere altri obiettivi di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, nell'espressione di potenza menzionata sopra (2+0,3 7) 5−3,7, puoi eseguire operazioni con i numeri in base ed esponente, che ti permetteranno di passare alla potenza 4,1 1,3. E dopo aver aperto le parentesi e portato termini simili alla base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), otteniamo un'espressione di potenza della forma più semplice a 2·(x+ 1).

Utilizzo delle proprietà dei gradi

Uno dei principali strumenti per trasformare le espressioni con poteri sono le uguaglianze che riflettono. Ricordiamo i principali. Per ogni numero positivo a e b e numero reale arbitrario r e s, sono vere le seguenti proprietà delle potenze:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Si noti che per gli esponenti naturali, interi e positivi le restrizioni sui numeri a e b potrebbero non essere così rigide. Ad esempio, per i numeri naturali m en l'uguaglianza a m · a n = a m+n è vera non solo per a positivo, ma anche per a negativo e per a=0.

A scuola, l’obiettivo principale nella trasformazione delle espressioni del potere è la capacità di scegliere la proprietà appropriata e applicarla correttamente. In questo caso, le basi dei gradi sono generalmente positive, il che consente di utilizzare le proprietà dei gradi senza restrizioni. Lo stesso vale per la trasformazione di espressioni contenenti variabili nelle basi delle potenze: l'intervallo dei valori consentiti delle variabili è solitamente tale che le basi assumono solo valori positivi, il che consente di utilizzare liberamente le proprietà delle potenze . In generale, è necessario chiedersi costantemente se in questo caso sia possibile utilizzare qualsiasi proprietà dei titoli di studio, poiché un uso impreciso delle proprietà può portare a una riduzione del valore educativo e ad altri problemi. Questi punti sono discussi in dettaglio e con esempi nell'articolo trasformazione di espressioni utilizzando le proprietà dei gradi. Qui ci limiteremo a considerare alcuni semplici esempi.

Esempio.

Esprimere l'espressione a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 come potenza di base a.

Soluzione.

Per prima cosa trasformiamo il secondo fattore (a 2) −3 sfruttando la proprietà di elevare una potenza a potenza: (a2)−3 =a2·(−3) =a−6. L'espressione di potenza originaria assumerà la forma a 2.5 ·a −6:a −5.5. Resta ovviamente da utilizzare le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze con la stessa base che abbiamo
un 2,5 ·un −6:un −5,5 =
un 2,5−6:un −5,5 =un −3,5:un −5,5 =
un −3,5−(−5,5) =un 2 .

Risposta:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Le proprietà dei poteri durante la trasformazione delle espressioni di potere vengono utilizzate sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

Esempio.

Trova il valore dell'espressione di potenza.

Soluzione.

L'uguaglianza (a·b) r =a r ·b r, applicata da destra a sinistra, permette di passare dall'espressione originaria ad un prodotto della forma e oltre. E quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, gli esponenti si sommano: .

Era possibile trasformare l'espressione originale in altro modo:

Risposta:

.

Esempio.

Data l’espressione di potenza a 1.5 −a 0.5 −6, introdurre una nuova variabile t=a 0.5.

Soluzione.

Il grado a 1.5 può essere rappresentato come a 0.5 3 e poi, in base alla proprietà del grado al grado (a r) s =a r s, applicata da destra a sinistra, trasformarlo nella forma (a 0.5) 3. Così, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Ora è facile introdurre una nuova variabile t=a 0.5, otteniamo t 3 −t−6.

Risposta:

t3 −t−6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Le espressioni di potenza possono contenere o rappresentare frazioni con potenze. Qualsiasi trasformazione di base delle frazioni inerente alle frazioni di qualsiasi tipo è pienamente applicabile a tali frazioni. Cioè, le frazioni che contengono potenze possono essere ridotte, ridotte a un nuovo denominatore, lavorate separatamente con il loro numeratore e separatamente con il denominatore, ecc. Per illustrare queste parole, considera le soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Questa espressione di potere è una frazione. Lavoriamo con il suo numeratore e denominatore. Al numeratore apriamo le parentesi e semplifichiamo l'espressione risultante utilizzando le proprietà delle potenze, e al denominatore presentiamo termini simili:

E cambiamo anche il segno del denominatore ponendo un meno davanti alla frazione: .

Risposta:

.

La riduzione delle frazioni contenenti potenze a un nuovo denominatore viene eseguita in modo simile alla riduzione delle frazioni razionali a un nuovo denominatore. In questo caso viene trovato anche un fattore aggiuntivo e per esso vengono moltiplicati il ​​numeratore e il denominatore della frazione. Quando si esegue questa azione, vale la pena ricordare che la riduzione a un nuovo denominatore può portare a un restringimento del VA. Per evitare che ciò accada è necessario che il fattore aggiuntivo non vada a zero per nessun valore delle variabili delle variabili ODZ dell'espressione originale.

Esempio.

Riduci le frazioni a un nuovo denominatore: a) al denominatore a, b) al denominatore.

Soluzione.

a) In questo caso è abbastanza semplice capire quale moltiplicatore aggiuntivo aiuta a raggiungere il risultato desiderato. Questo è un moltiplicatore di a 0,3, poiché a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Si noti che nell'intervallo dei valori consentiti della variabile a (questo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi), la potenza di a 0,3 non svanisce, quindi abbiamo il diritto di moltiplicare il numeratore e il denominatore di un dato frazione per questo fattore aggiuntivo:

b) Osservando più da vicino il denominatore, lo troverai

e moltiplicando questa espressione per si otterrà la somma di cubi e , cioè . E questo è il nuovo denominatore a cui dobbiamo ridurre la frazione originaria.

È così che abbiamo trovato un ulteriore fattore. Nell'intervallo dei valori consentiti delle variabili x e y, l'espressione non svanisce, quindi possiamo moltiplicare per essa il numeratore e il denominatore della frazione:

Risposta:

UN) , B) .

Non c'è nulla di nuovo nemmeno nella riduzione delle frazioni contenenti potenze: il numeratore e il denominatore sono rappresentati come un numero di fattori, e gli stessi fattori del numeratore e del denominatore vengono ridotti.

Esempio.

Ridurre la frazione: a) , B) .

Soluzione.

a) Innanzitutto, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti dei numeri 30 e 45, che è uguale a 15. Ovviamente è anche possibile effettuare una riduzione di x 0,5 +1 e di . Ecco cosa abbiamo:

b) In questo caso, fattori identici nel numeratore e nel denominatore non sono immediatamente visibili. Per ottenerli dovrai eseguire delle trasformazioni preliminari. In questo caso, consistono nel fattorizzare il denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati:

Risposta:

UN)

B) .

La conversione delle frazioni in un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni vengono utilizzate principalmente per fare cose con le frazioni. Le azioni vengono eseguite secondo regole conosciute. Quando si aggiungono (sottraggono) le frazioni, vengono ridotte a un denominatore comune, dopo di che i numeratori vengono aggiunti (sottratti), ma il denominatore rimane lo stesso. Il risultato è una frazione il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. La divisione per una frazione è la moltiplicazione per il suo inverso.

Esempio.

Segui i passi .

Soluzione.

Per prima cosa sottraiamo le frazioni tra parentesi. Per fare questo, li portiamo a un denominatore comune, ovvero , dopodiché sottraiamo i numeratori:

Ora moltiplichiamo le frazioni:

Ovviamente è possibile ridurre di una potenza di x 1/2, dopodiché abbiamo .

Puoi anche semplificare l'espressione della potenza al denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati: .

Risposta:

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Ovviamente, questa frazione può essere ridotta di (x 2,7 +1) 2, questo dà la frazione . È chiaro che occorre fare qualcos'altro con i poteri di X. Per fare ciò, trasformiamo la frazione risultante in un prodotto. Questo ci dà l’opportunità di sfruttare la proprietà di dividere le potenze con le stesse basi: . E alla fine del processo si passa dall'ultimo prodotto alla frazione.

Risposta:

.

E aggiungiamo anche che è possibile, e in molti casi auspicabile, trasferire fattori con esponente negativo dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore, cambiando il segno dell'esponente. Tali trasformazioni spesso semplificano ulteriori azioni. Ad esempio, un'espressione di potenza può essere sostituita da .

Conversione di espressioni con radici e potenze

Spesso, nelle espressioni in cui sono richieste alcune trasformazioni, insieme alle potenze sono presenti anche radici con esponenti frazionari. Per trasformare tale espressione nella forma desiderata, nella maggior parte dei casi è sufficiente andare solo alle radici o solo alle potenze. Ma poiché è più conveniente lavorare con i poteri, di solito si passa dalle radici ai poteri. Tuttavia, è consigliabile effettuare tale transizione quando l'ODZ delle variabili dell'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza la necessità di fare riferimento al modulo o dividere l'ODZ in più intervalli (ne abbiamo parlato in dettaglio in l'articolo transizione dalle radici alle potenze e ritorno Dopo aver conosciuto il grado con esponente razionale viene introdotto il grado con esponente irrazionale, che ci permette di parlare di un grado con esponente reale arbitrario. In questa fase comincia ad esistere studiato a scuola. funzione esponenziale, che è dato analiticamente da una potenza, la cui base è un numero e l'esponente è una variabile. Quindi ci troviamo di fronte a espressioni di potenza contenenti numeri nella base della potenza e nell'esponente - espressioni con variabili, e naturalmente sorge la necessità di eseguire trasformazioni di tali espressioni.

Va detto che la trasformazione delle espressioni del tipo indicato di solito deve essere eseguita durante la risoluzione equazioni esponenziali E disuguaglianze esponenziali e queste conversioni sono abbastanza semplici. Nella stragrande maggioranza dei casi si basano sulle proprietà del titolo di studio e mirano, nella maggior parte dei casi, a introdurre una nuova variabile in futuro. L'equazione ci permetterà di dimostrarli 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

In primo luogo, le potenze, nei cui esponenti è la somma di una determinata variabile (o espressione con variabili) e un numero, vengono sostituite dai prodotti. Questo vale per il primo e l'ultimo termine dell'espressione a sinistra:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Successivamente, entrambi i lati dell'uguaglianza vengono divisi per l'espressione 7 2 x, che sull'ODZ della variabile x per l'equazione originale assume solo valori positivi (questa è una tecnica standard per risolvere equazioni di questo tipo, non lo siamo ne parliamo adesso, quindi concentriamoci sulle successive trasformazioni delle espressioni con poteri):

Ora possiamo cancellare le frazioni con le potenze, il che dà .

Infine, il rapporto tra potenze con gli stessi esponenti viene sostituito da potenze di relazioni, risultando nell'equazione , che è equivalente . Le trasformazioni effettuate permettono di introdurre una nuova variabile, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originaria alla soluzione di un'equazione quadratica

Dopo che è stato determinato il grado di un numero, è logico parlarne proprietà del grado. In questo articolo daremo le proprietà di base della potenza di un numero, toccando tutti i possibili esponenti. Qui forniremo prove di tutte le proprietà dei gradi e mostreremo anche come queste proprietà vengono utilizzate durante la risoluzione degli esempi.

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Proprietà dei gradi con esponente naturale

Per definizione di potenza con esponente naturale, la potenza a n è il prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a. Sulla base di questa definizione e anche utilizzando proprietà della moltiplicazione dei numeri reali, possiamo ottenere e giustificare quanto segue proprietà del grado con esponente naturale:

1. la proprietà principale del grado a m ·a n =a m+n, la sua generalizzazione;
2. proprietà delle potenze quoziente con basi identiche a m:a n =a m−n ;
3. proprietà potenza del prodotto (a·b) n =a n ·b n , la sua estensione;
4. proprietà del quoziente al grado naturale (a:b) n =a n:b n ;
5. elevando un grado a potenza (a m) n = a m·n, sua generalizzazione (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·…·n k;
6. confronto del grado con zero:
   • se a>0, allora a n>0 per qualsiasi numero naturale n;
   • se a=0, allora a n =0;
   • se un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 se a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. se a e b sono numeri positivi e a
8. se m e n sono numeri naturali tali che m>n , allora a 0 0 la disuguaglianza a m >a n è vera.

Notiamo subito che tutte le uguaglianze scritte lo sono identico alle condizioni specificate, sia la parte destra che quella sinistra possono essere scambiate. Ad esempio, la proprietà principale della frazione a m ·a n =a m+n con semplificazione delle espressioni spesso usato nella forma a m+n =a m ·a n .

Ora esaminiamo ciascuno di essi in dettaglio.

Cominciamo con la proprietà del prodotto di due potenze con le stesse basi, che si chiama la proprietà principale della laurea: per ogni numero reale a e ogni numero naturale m e n, l'uguaglianza a m ·a n = a m+n è vera.

Dimostriamo la proprietà principale del grado. Per la definizione di potenza con esponente naturale, il prodotto di potenze con le stesse basi della forma a m ·a n può essere scritto come prodotto. A causa delle proprietà della moltiplicazione, l'espressione risultante può essere scritta come , e questo prodotto è una potenza del numero a con esponente naturale m+n, cioè a m+n. Questo completa la dimostrazione.

Facciamo un esempio che confermi la proprietà principale della laurea. Prendiamo i gradi con le stesse basi 2 e potenze naturali 2 e 3, utilizzando la proprietà fondamentale dei gradi possiamo scrivere l'uguaglianza 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Verifichiamo la sua validità calcolando i valori delle espressioni 2 2 · 2 3 e 2 5 . Eseguendo l'esponenziazione, abbiamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 e 2 5 =2·2·2·2·2=32, poiché si ottengono valori uguali, allora l'uguaglianza 2 2 ·2 3 =2 5 è corretta, e conferma la proprietà principale del grado.

La proprietà fondamentale di un grado, basata sulle proprietà della moltiplicazione, può essere generalizzata al prodotto di tre o più potenze con le stesse basi ed esponenti naturali. Quindi per ogni numero k di numeri naturali n 1, n 2, …, nk vale la seguente uguaglianza: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Per esempio, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Possiamo passare alla proprietà successiva delle potenze con esponente naturale: proprietà dei quozienti di potenza con le stesse basi: per qualsiasi numero reale a diverso da zero e numeri naturali arbitrari m en che soddisfano la condizione m>n, l'uguaglianza a m:a n =a m−n è vera.

Prima di presentare la dimostrazione di questa proprietà, discutiamo il significato delle condizioni aggiuntive nella formulazione. La condizione a≠0 è necessaria per evitare la divisione per zero, poiché 0 n = 0, e quando abbiamo preso confidenza con la divisione, abbiamo convenuto che non possiamo dividere per zero. La condizione m>n viene introdotta in modo da non andare oltre gli esponenti naturali. Infatti, per m>n l’esponente a m−n è un numero naturale, altrimenti sarà zero (cosa che accade per m−n ) o un numero negativo (cosa accade per m

Prova. La proprietà principale di una frazione ci permette di scrivere l'uguaglianza a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Dall'uguaglianza risultante a m−n ·a n =am e segue che a m−n è un quoziente delle potenze a m e a n . Ciò dimostra la proprietà dei quozienti di potenza con basi identiche.

Facciamo un esempio. Prendiamo due gradi con le stesse basi π ed esponenti naturali 5 e 2, l'uguaglianza π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corrisponde alla proprietà considerata del grado.

Ora consideriamo proprietà di potenza del prodotto: la potenza naturale n del prodotto di due numeri reali qualsiasi a e b è uguale al prodotto delle potenze a n e b n , cioè (a·b) n =a n ·b n .

Infatti, per definizione di grado con esponente naturale abbiamo . In base alle proprietà della moltiplicazione, l'ultimo prodotto può essere riscritto come , che è uguale a a n · b n .

Ecco un esempio: .

Questa proprietà si estende alla potenza del prodotto di tre o più fattori. Cioè, la proprietà del grado naturale n del prodotto di k fattori è scritta come (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Per chiarezza mostreremo questa proprietà con un esempio. Per il prodotto di tre fattori elevato a 7 abbiamo .

La seguente proprietà è proprietà di un quoziente in natura: il quoziente dei numeri reali a e b, b≠0 alla potenza naturale n è uguale al quoziente delle potenze a n e b n, cioè (a:b) n =a n:b n.

La dimostrazione può essere effettuata utilizzando la proprietà precedente. COSÌ (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, e dall'uguaglianza (a:b) n ·b n =a n segue che (a:b) n è il quoziente di a n diviso per b n .

Scriviamo questa proprietà utilizzando numeri specifici come esempio: .

Adesso diamogli voce proprietà di elevare un potere a potere: per ogni numero reale a e ogni numero naturale m e n, la potenza di a m elevata a n è uguale alla potenza del numero a con esponente m·n, cioè (a m) n =a m·n.

Ad esempio, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

La prova della proprietà potere-grado è la seguente catena di uguaglianze: .

La proprietà considerata può essere estesa di grado in grado, ecc. Ad esempio, per qualsiasi numero naturale p, q, r e s, l'uguaglianza . Per maggiore chiarezza, ecco un esempio con numeri specifici: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Resta da soffermarsi sulle proprietà di confrontare i gradi con un esponente naturale.

Cominciamo dimostrando la proprietà di confrontare zero e potenza con un esponente naturale.

Innanzitutto, dimostriamo che a n >0 per ogni a>0.

Il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo, come segue dalla definizione di moltiplicazione. Questo fatto e le proprietà della moltiplicazione suggeriscono che anche il risultato della moltiplicazione di un numero qualsiasi di numeri positivi sarà un numero positivo. E la potenza di un numero a con esponente naturale n, per definizione, è il prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a. Questi argomenti ci permettono di affermare che per ogni base positiva a, il grado a n è un numero positivo. Per la proprietà provata 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 e .

È abbastanza ovvio che per ogni numero naturale n con a=0 il grado di a n è zero. Infatti, 0 n =0·0·…·0=0 . Ad esempio, 0 3 = 0 e 0 762 = 0.

Passiamo alle basi di grado negative.

Cominciamo con il caso in cui l'esponente è un numero pari, denotiamolo come 2·m, dove m è un numero naturale. Poi . Infatti ciascuno dei prodotti della forma a·a è uguale al prodotto dei moduli dei numeri a e a, il che significa che è un numero positivo. Pertanto anche il prodotto sarà positivo e grado a 2·m. Facciamo degli esempi: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 e .

Infine, quando la base a è un numero negativo e l'esponente è un numero dispari 2 m−1, allora . Tutti i prodotti a·a sono numeri positivi, anche il prodotto di questi numeri positivi è positivo e la sua moltiplicazione per il restante numero negativo a dà come risultato un numero negativo. A causa di questa proprietà (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passiamo alla proprietà di confrontare potenze con gli stessi esponenti naturali, che ha la seguente formulazione: di due potenze con gli stessi esponenti naturali, n è minore di quella la cui base è minore, e maggiore è quella la cui base è maggiore . Dimostriamolo.

Disuguaglianza a n proprietà delle disuguaglianzeè vera anche una disuguaglianza dimostrabile della forma a n (2.2) 7 e .

Resta da dimostrare l'ultima delle proprietà elencate dei gradi con esponente naturale. Formuliamolo. Di due potenze con esponente naturale e basi positive identiche minori di uno, è maggiore quella il cui esponente è minore; e di due potenze con esponente naturale e base identica maggiore di uno, è maggiore quella il cui esponente è maggiore. Passiamo alla dimostrazione di questa proprietà.

Proviamolo per m>n e 0 0 a causa della condizione iniziale m>n, il che significa che a 0

Resta da dimostrare la seconda parte della proprietà. Proviamo che per m>n e a>1 a m >a n è vero. La differenza a m − a n dopo aver tolto a n dalle parentesi assume la forma a n ·(a m − n −1) . Questo prodotto è positivo, poiché per a>1 il grado a n è un numero positivo, e la differenza a m−n −1 è un numero positivo, poiché m−n>0 per la condizione iniziale, e per a>1 il grado a m−n è maggiore di uno. Di conseguenza a m −a n >0 e a m >a n , che è ciò che occorreva dimostrare. Questa proprietà è illustrata dalla disuguaglianza 3 7 >3 2.

Proprietà delle potenze con esponente intero

Poiché gli interi positivi sono numeri naturali, allora tutte le proprietà delle potenze con esponente intero positivo coincidono esattamente con le proprietà delle potenze con esponente naturale elencate e dimostrate nel paragrafo precedente.

Abbiamo definito un grado con esponente intero negativo, nonché un grado con esponente zero, in modo tale che tutte le proprietà dei gradi con esponente naturale, espresse mediante uguaglianze, rimanessero valide. Tutte queste proprietà valgono quindi sia per esponenti nulli che per esponenti negativi, mentre, ovviamente, le basi delle potenze sono diverse da zero.

Quindi, per qualsiasi numero reale e diverso da zero a e b, così come per qualsiasi numero intero m e n, è vero quanto segue: proprietà delle potenze con esponente intero:

1. a m · a n = a m+n ;
2. un m:un n =un m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m·n ;
6. se n è un intero positivo, a e b sono numeri positivi e a b−n;
7. se m e n sono numeri interi e m>n , allora è 0 1 vale la disuguaglianza a m >a n.

Quando a=0, le potenze a m e a n hanno senso solo quando sia m che n sono numeri interi positivi, cioè numeri naturali. Pertanto le proprietà appena scritte valgono anche per i casi in cui a=0 ed i numeri m e n sono interi positivi.

Dimostrare ciascuna di queste proprietà non è difficile; per farlo è sufficiente utilizzare le definizioni dei gradi con esponente naturale e intero, nonché le proprietà delle operazioni con numeri reali. Ad esempio, dimostriamo che la proprietà potere-potenza vale sia per gli interi positivi che per quelli non positivi. Per fare ciò, devi mostrare che se p è zero o un numero naturale e q è zero o un numero naturale, allora le uguaglianze (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q = a p·(−q) e (a −p) −q =a (−p)·(−q). Facciamolo.

Per p e q positivi, l'uguaglianza (ap) q =a p·q è stata dimostrata nel paragrafo precedente. Se p=0, allora abbiamo (a 0) q =1 q =1 e a 0·q =a 0 =1, da cui (a 0) q =a 0·q. Allo stesso modo, se q=0, allora (a p) 0 =1 e a p·0 =a 0 =1, da cui (a p) 0 =a p·0. Se sia p=0 che q=0, allora (a 0) 0 =1 0 =1 e a 0·0 =a 0 =1, da cui (a 0) 0 =a 0·0.

Ora dimostriamo che (a −p) q =a (−p)·q . Quindi per definizione di potenza con esponente intero negativo . Per la proprietà dei quozienti alle potenze che abbiamo . Poiché 1 p =1·1·…·1=1 e , allora . L'ultima espressione, per definizione, è una potenza della forma a −(p·q), che, a causa delle regole della moltiplicazione, può essere scritta come a (−p)·q.

Allo stesso modo .

E .

Utilizzando lo stesso principio, puoi dimostrare tutte le altre proprietà di un grado con esponente intero, scritto sotto forma di uguaglianze.

Nella penultima delle proprietà registrate, vale la pena soffermarsi sulla dimostrazione della disuguaglianza a −n >b −n, che vale per ogni intero negativo −n e ogni positivo a e b per i quali è soddisfatta la condizione a . Poiché dalla condizione a 0 . Anche il prodotto a n · b n è positivo come prodotto dei numeri positivi a n e b n . Allora la frazione risultante è positiva come quoziente dei numeri positivi b n −an e a n ·b n . Donde dunque a −n >b −n , che è ciò che occorreva dimostrare.

L'ultima proprietà delle potenze con esponente intero si dimostra allo stesso modo di un'analoga proprietà delle potenze con esponente naturale.

Proprietà delle potenze con esponenti razionali

Abbiamo definito un grado con esponente frazionario estendendo le proprietà di un grado con esponente intero. In altre parole, le potenze con esponente frazionario hanno le stesse proprietà delle potenze con esponente intero. Vale a dire:

La dimostrazione delle proprietà dei gradi con esponente frazionario si basa sulla definizione di grado con esponente frazionario e sulle proprietà di grado con esponente intero. Forniamo le prove.

Per definizione di potenza con esponente frazionario e , quindi . Le proprietà della radice aritmetica ci permettono di scrivere le seguenti uguaglianze. Inoltre, utilizzando la proprietà di un grado con esponente intero, otteniamo , da cui, per definizione di grado con esponente frazionario, abbiamo , e l'indicatore del titolo conseguito può essere trasformato come segue: . Questo completa la dimostrazione.

La seconda proprietà delle potenze con esponente frazionario si dimostra in modo assolutamente analogo:

Le restanti uguaglianze vengono dimostrate utilizzando principi simili:

Passiamo a dimostrare la prossima proprietà. Proviamo che per ogni positivo a e b, a b p. Scriviamo il numero razionale p come m/n, dove m è un numero intero e n è un numero naturale. Condizioni pag<0 и p>0 in questo caso le condizioni m<0 и m>0 di conseguenza. Per m>0 e a

Allo stesso modo, per m<0 имеем a m >b m , da dove cioè e a p >b p .

Resta da dimostrare l'ultima delle proprietà elencate. Proviamo che per i numeri razionali p e q, p>q a 0 0 – disuguaglianza a p >a q . Possiamo sempre ridurre i numeri razionali p e q a un denominatore comune, anche se otteniamo le frazioni ordinarie e , dove m 1 e m 2 sono numeri interi e n è un numero naturale. In questo caso la condizione p>q corrisponderà alla condizione m 1 >m 2, che segue da. Quindi, dalla proprietà di confrontare potenze con le stesse basi ed esponenti naturali a 0 1 – disuguaglianza a m 1 >a m 2 . Queste disuguaglianze nelle proprietà delle radici possono essere riscritte di conseguenza come E . E la definizione di grado con esponente razionale ci consente di passare alle disuguaglianze e, di conseguenza. Da qui traiamo la conclusione finale: per p>q e 0 0 – disuguaglianza a p >a q .

Proprietà delle potenze con esponenti irrazionali

Dal modo in cui viene definito un grado con esponente irrazionale, possiamo concludere che esso possiede tutte le proprietà dei gradi con esponente razionale. Quindi per ogni a>0, b>0 e numeri irrazionali p e q vale quanto segue Proprietà delle potenze con esponenti irrazionali:

1. un p · un q = un p+q ;
2. un p: un q = un p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p·q ;
6. per qualsiasi numero positivo a e b, a 0 la disuguaglianza a p b p ;
7. per i numeri irrazionali p e q, p>q a 0 0 – disuguaglianza a p >a q .

Da ciò possiamo concludere che le potenze con qualsiasi esponente reale p e q per a>0 hanno le stesse proprietà.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro di matematica per la quinta elementare. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la 7a elementare. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la terza media. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la terza media. istituzioni educative.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).