Persamaan linier dengan satu variabel 7. Persamaan dengan satu variabel. Cara menyelesaikan persamaan dengan satu variabel

Pada artikel ini, kami mempertimbangkan prinsip penyelesaian persamaan seperti persamaan linier. Mari kita tuliskan definisi persamaan ini dan tentukan bentuk umumnya. Kami akan menganalisis semua kondisi untuk menemukan solusi persamaan linier, menggunakan, antara lain, contoh praktis.

Perlu diketahui bahwa materi di bawah ini memuat informasi tentang persamaan linier dengan satu variabel. Persamaan linier dengan dua variabel dibahas dalam artikel terpisah.

Apa itu persamaan linier

Persamaan Linear adalah persamaan yang ditulis seperti ini:
a x = b, Di mana X- variabel, A Dan B- beberapa angka.

Formulasi ini digunakan dalam buku teks aljabar (kelas 7) oleh Yu.N. Makarychev.

Contoh 1

Contoh persamaan linier adalah:

3x=11(satu persamaan variabel X pada a = 5 Dan b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( persamaan linear dengan variabel y, Di mana a \u003d - 3, 1 Dan b = 0);

x = -4 Dan − x = 5 , 37(persamaan linier, di mana angkanya A ditulis secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan - 1. Untuk persamaan pertama b = - 4 ; untuk kedua - b = 5, 37) dan seterusnya.

Bahan ajar yang berbeda mungkin memiliki definisi yang berbeda. Misalnya, Vilenkin N.Ya. linier juga mencakup persamaan-persamaan yang dapat diubah menjadi bentuk a x = b dengan memindahkan istilah dari satu bagian ke bagian lain dengan perubahan tanda dan membawa istilah yang serupa. Jika kita mengikuti interpretasi ini, persamaan 5 x = 2 x + 6 – juga linier.

Dan ini buku teks aljabar (Kelas 7) Mordkovich A.G. menentukan deskripsi berikut:

Definisi 2

Persamaan linear dengan satu variabel x adalah persamaan bentuk a x + b = 0, Di mana A Dan B adalah beberapa angka, yang disebut koefisien persamaan linier.

Contoh 2

Contoh persamaan linier semacam ini adalah:

3 x - 7 = 0 (a = 3 , b = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Namun ada juga contoh persamaan linear yang sudah kita gunakan di atas: a x = b, Misalnya, 6 x = 35.

Kami akan langsung setuju bahwa pada artikel ini, di bawah persamaan linier dengan satu variabel, kami akan memahami persamaan penulisan a x + b = 0, Di mana X- variabel; a , b adalah koefisien. Kami melihat bentuk persamaan linier ini sebagai yang paling dibenarkan, karena persamaan linier adalah persamaan aljabar tingkat pertama. Dan persamaan lain yang ditunjukkan di atas, dan persamaan yang diberikan oleh transformasi yang setara ke dalam bentuk a x + b = 0, kita definisikan sebagai persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.

Dengan pendekatan ini, persamaan 5 x + 8 = 0 adalah linier, dan 5 x = −8- persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.

Prinsip penyelesaian persamaan linier

Pertimbangkan bagaimana menentukan apakah persamaan linier tertentu akan memiliki akar dan, jika demikian, berapa banyak dan bagaimana menentukannya.

Definisi 3

Fakta keberadaan akar persamaan linier ditentukan oleh nilai koefisiennya A Dan B. Mari kita tulis kondisi ini:

• pada a ≠ 0 persamaan linier memiliki akar tunggal x = - b a ;
• pada a = 0 Dan b ≠ 0 persamaan linier tidak memiliki akar;
• pada a = 0 Dan b = 0 persamaan linear memiliki banyak akar tak terhingga. Padahal, dalam hal ini, bilangan apa pun bisa menjadi akar persamaan linier.

Mari beri penjelasan. Kita tahu bahwa dalam proses penyelesaian persamaan, dimungkinkan untuk mengubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan yang setara, yang artinya memiliki akar yang sama dengan persamaan aslinya, atau juga tidak memiliki akar. Kita dapat membuat transformasi ekuivalen berikut:

• pindahkan istilah dari satu bagian ke bagian lain, ubah tanda ke bagian sebaliknya;
• mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Jadi, kami mengubah persamaan linier a x + b = 0, memindahkan istilah B dari sisi kiri ke sisi kanan dengan perubahan tanda. Kita mendapatkan: a · x = -b .

Jadi, kami membagi kedua bagian persamaan dengan angka bukan nol A, menghasilkan persamaan dalam bentuk x = - b a . Yaitu kapan a ≠ 0 persamaan asli a x + b = 0 setara dengan persamaan x = - b a , di mana root - b a jelas.

Dengan kontradiksi, adalah mungkin untuk menunjukkan bahwa akar yang ditemukan adalah satu-satunya. Kami menetapkan penunjukan root yang ditemukan - b a as x 1 . Mari kita asumsikan bahwa ada satu lagi akar persamaan linier dengan notasinya x 2 . Dan tentu saja: x 2 ≠ x 1, dan ini, pada gilirannya, berdasarkan definisi angka yang sama melalui selisihnya, setara dengan kondisinya x 1 - x 2 ≠ 0. Mengingat hal di atas, kita dapat menyusun persamaan berikut dengan mengganti akarnya:
a x 1 + b = 0 dan a · x 2 + b = 0 .
Properti persamaan numerik memungkinkan untuk melakukan pengurangan suku demi suku dari bagian persamaan:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, dari sini: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 dan seterusnya a (x 1 - x 2) = 0 . Persamaan a (x 1 − x 2) = 0 salah, karena kondisi sebelumnya diberikan bahwa a ≠ 0 Dan x 1 - x 2 ≠ 0. Kontradiksi yang diperoleh berfungsi sebagai bukti bahwa di a ≠ 0 persamaan linier a x + b = 0 hanya memiliki satu akar.

Mari kita buktikan dua klausa lagi dari kondisi yang mengandung a = 0 .

Kapan a = 0 persamaan linier a x + b = 0 akan ditulis sebagai 0 x + b = 0. Sifat mengalikan suatu bilangan dengan nol memberi kita hak untuk menyatakan bahwa tidak peduli berapapun bilangan yang diambil X, substitusikan ke persamaan 0 x + b = 0, kita mendapatkan b = 0 . Kesetaraan berlaku untuk b = 0; dalam kasus lain ketika b ≠ 0 persamaan menjadi tidak sah.

Jadi, kapan a = 0 dan b = 0 , bilangan apa pun dapat menjadi akar persamaan linier a x + b = 0, karena dalam kondisi ini, menggantikan alih-alih X nomor apa pun, kami mendapatkan persamaan numerik yang benar 0 = 0 . Kapan a = 0 Dan b ≠ 0 persamaan linier a x + b = 0 tidak akan memiliki akar sama sekali, karena dalam kondisi yang ditentukan, substitusi sebagai gantinya X nomor apa pun, kami mendapatkan persamaan numerik yang salah b = 0.

Semua penalaran di atas memberi kita kesempatan untuk menulis algoritme yang memungkinkan untuk menemukan solusi persamaan linier apa pun:

• berdasarkan jenis catatan kami menentukan nilai koefisien A Dan B dan menganalisisnya;
• pada a = 0 Dan b = 0 persamaan akan memiliki banyak akar tak terhingga, yaitu angka apa pun akan menjadi akar dari persamaan yang diberikan;
• pada a = 0 Dan b ≠ 0
• pada A, berbeda dari nol, kita mulai mencari satu-satunya akar persamaan linier asli:

1. koefisien transfer B ke ruas kanan dengan perubahan tanda ke arah sebaliknya, menjadikan persamaan linier menjadi bentuk a x = −b;
2. membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan angka A, yang akan memberi kita akar yang diinginkan dari persamaan yang diberikan: x = - b a .

Sebenarnya, urutan tindakan yang dijelaskan adalah jawaban atas pertanyaan tentang bagaimana menemukan solusi persamaan linier.

Akhirnya, kami mengklarifikasi persamaan bentuk itu a x = b diselesaikan dengan algoritma serupa dengan satu-satunya perbedaan angka B dalam notasi seperti itu telah dipindahkan ke bagian persamaan yang diinginkan, dan kapan a ≠ 0 Anda dapat langsung membagi bagian persamaan dengan angka A.

Dengan demikian, untuk menemukan solusi persamaan a x = b, kami menggunakan algoritma berikut:

• pada a = 0 Dan b = 0 persamaan akan memiliki banyak akar tak terhingga, yaitu angka berapa pun bisa menjadi akarnya;
• pada a = 0 Dan b ≠ 0 persamaan yang diberikan tidak akan memiliki akar;
• pada A, tidak sama dengan nol, kedua sisi persamaan habis dibagi angka A, yang memungkinkan untuk menemukan akar tunggal yang sama dengan b a.

Contoh penyelesaian persamaan linier

Perlu untuk memecahkan persamaan linear 0 x - 0 = 0.

Larutan

Dengan menulis persamaan yang diberikan, kita melihatnya a = 0 Dan b = -0(atau b = 0 yang sama). Dengan demikian, persamaan yang diberikan dapat memiliki banyak akar atau angka berapa pun.

Menjawab: X- nomor apapun.

Contoh 4

Penting untuk menentukan apakah persamaan tersebut memiliki akar 0 x + 2, 7 = 0.

Larutan

Dari catatan, kami menentukan bahwa a \u003d 0, b \u003d 2, 7. Dengan demikian, persamaan yang diberikan tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan linier asli tidak memiliki akar.

Contoh 5

Diberikan persamaan linier 0 , 3 x − 0 , 027 = 0 . Itu perlu diselesaikan.

Larutan

Dengan menuliskan persamaannya, kita tentukan bahwa a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , yang memungkinkan kita menyatakan bahwa persamaan yang diberikan memiliki akar tunggal.

Mengikuti algoritme, kami mentransfer b ke sisi kanan persamaan, mengubah tandanya, kami mendapatkan: 0,3 x = 0,027. Selanjutnya, kita membagi kedua bagian persamaan yang dihasilkan dengan a \u003d 0, 3, lalu: x \u003d 0, 027 0, 3.

Mari kita membagi desimal:

0,027 0,3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Hasil yang diperoleh adalah akar dari persamaan yang diberikan.

Secara singkat tulis solusinya sebagai berikut:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

Menjawab: x = 0 , 09 .

Untuk kejelasan, kami menyajikan solusi dari persamaan catatan a x = b.

Contoh N

Persamaan diberikan: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Itu perlu untuk menyelesaikannya.

Larutan

Semua persamaan yang diberikan sesuai dengan catatan a x = b. Mari kita pertimbangkan secara bergiliran.

Dalam persamaan 0 x = 0 , a = 0 dan b = 0, yang berarti: bilangan apa pun dapat menjadi akar dari persamaan ini.

Pada persamaan kedua 0 x = − 9: a = 0 dan b = − 9 , dengan demikian, persamaan ini tidak akan memiliki akar.

Dengan bentuk persamaan terakhir - 3 8 · x = - 3 3 4 kita tulis koefisiennya: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , mis. persamaan memiliki akar tunggal. Mari kita temukan dia. Mari kita membagi kedua sisi persamaan dengan a , kita mendapatkan hasilnya: x = - 3 3 4 - 3 8 . Mari kita sederhanakan pecahan dengan menerapkan aturan pembagian bilangan negatif, kemudian mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa dan membagi pecahan biasa:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Secara singkat tulis solusinya sebagai berikut:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4-3 8 , x = 10 .

Menjawab: 1) X- bilangan apa saja, 2) persamaan tidak memiliki akar, 3) x = 10 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kelas: 7

Pelajaran 1

Jenis pelajaran: konsolidasi materi yang dibahas.

Tujuan Pelajaran:

Pendidikan:

• pembentukan keterampilan memecahkan persamaan dengan satu reduksi yang tidak diketahui menjadi persamaan linier menggunakan sifat-sifat kesetaraan.

Mengembangkan:

• pembentukan kejernihan dan keakuratan pemikiran, pemikiran logis, elemen budaya algoritmik;
• pengembangan pidato matematika;
• pengembangan perhatian, ingatan;
• pembentukan keterampilan verifikasi diri dan saling.

Pendidikan:

• pembentukan kualitas kehendak;
• pembentukan keterampilan komunikasi;
• pengembangan penilaian objektif atas pencapaian mereka;
• pembentukan tanggung jawab.

Peralatan: papan tulis interaktif, papan tulis untuk spidol, kartu dengan tugas untuk pekerjaan mandiri, kartu untuk mengoreksi pengetahuan untuk siswa berprestasi rendah, buku teks, buku kerja, buku catatan untuk pekerjaan rumah, buku catatan untuk pekerjaan mandiri.

Selama kelas

2. Memeriksa pekerjaan rumah - 4 menit.

Siswa memeriksa pekerjaan rumah yang penyelesaiannya dipajang di belakang papan tulis oleh salah satu siswa.

3. Pekerjaan lisan - 6 mnt.

(1) Selama penghitungan lisan berlangsung, siswa yang berprestasi rendah menerima kartu koreksi pengetahuan dan melakukan tugas 1), 2), 4) dan 6) sesuai model. (Cm. Lampiran 1.)

Kartu untuk koreksi pengetahuan.

(2) Untuk siswa lain, tugas diproyeksikan ke papan tulis interaktif: (Lihat presentasi: slide 2)

1. Alih-alih tanda bintang, beri tanda "+" atau "-", dan alih-alih titik, beri angka:
   a) (*5)+(*7) = 2;
   b) (*8) - (*8) = (*4) -12;
   c) (*9) + (*4) = -5;
   d) (–15) ​​​​– (*…) = 0;
   e) (*8) + (*…) = –12;
   f) (*10) – (*…) = 12.
2. Tulis persamaan yang setara dengan persamaan:
   A) x - 7 = 5;
   b) 2x - 4 = 0;
   c) x -11 \u003d x - 7;
   d) 2(x -12) = 2x - 24.

3. Tugas logika: Vika, Natasha, dan Lena membeli kol, apel, dan wortel di toko. Setiap orang membeli produk yang berbeda. Vika membeli sayur, Natasha membeli apel atau wortel, Lena tidak membeli sayur. Siapa yang membeli apa? (Salah satu siswa yang menyelesaikan tugas pergi ke papan tulis dan mengisi meja.) (Slide 3)

Isi tabel

4. Generalisasi kemampuan menyelesaikan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan linier -9 mnt.

Kerja kolektif dengan kelas. (Slide 4)

Mari kita selesaikan persamaannya

12 - (4x - 18) \u003d (36 + 5x) + (28 - 6x). (1)

Untuk melakukan ini, kami melakukan transformasi berikut:

1. Mari kita perluas tanda kurung. Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap mempertahankan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung. Jika ada tanda minus sebelum tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang ada di dalam tanda kurung:

12 - 4x + 18 \u003d 36 + 5x + 28 - 6x. (2)

Persamaan (2) dan (1) setara:

2. Mari kita pindahkan suku-suku yang tidak diketahui dengan tanda yang berlawanan sehingga suku-suku tersebut hanya berada di salah satu bagian persamaan (baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan). Pada saat yang sama, kami memindahkan suku-suku yang diketahui dengan tanda berlawanan sehingga hanya ada di bagian lain dari persamaan.

Misalnya, kita memindahkan suku yang tidak diketahui dengan tanda berlawanan ke ruas kiri, dan suku yang diketahui ke ruas kanan persamaan, maka kita mendapatkan persamaannya

- 4x - 5x + 6x \u003d 36 + 28 - 18 - 12, (3)

setara dengan persamaan (2) , dan karenanya persamaan (1) .

3. Berikut adalah istilah serupa:

-3x = 34. (4)

Persamaan (4) ekivalen dengan persamaan (3) , dan karenanya persamaan (1) .

4. Bagilah kedua sisi persamaan (4) dengan koefisien dalam yang tidak diketahui.

Persamaan yang dihasilkan x = akan setara dengan persamaan (4) dan, akibatnya, dengan persamaan (3), (2), (1)

Oleh karena itu, akar persamaan (1) akan menjadi angka

Menurut skema (algoritma) ini, kami menyelesaikan persamaan dalam pelajaran hari ini:

1. Tanda kurung terbuka.
2. Kumpulkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui di satu bagian persamaan, dan suku-suku yang tersisa di bagian lainnya.
3. Bawa anggota serupa.
4. Bagilah kedua sisi persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui.

Catatan: Perlu dicatat bahwa skema di atas tidak wajib, karena seringkali ada persamaan untuk solusi yang beberapa langkah yang ditunjukkan ternyata tidak diperlukan. Saat memecahkan persamaan lain, lebih mudah untuk menyimpang dari skema ini, seperti misalnya dalam persamaan:

7(x - 2) = 42.

5. Latihan pelatihan - 8 mnt.

Nomor 132(a,d), 135(a,d), 138(b,d)- dengan komentar dan tulisan di papan tulis.

6. Pekerjaan mandiri - 14 mnt.(dilakukan di notebook untuk pekerjaan mandiri, diikuti dengan verifikasi timbal balik dengan memeriksa; jawaban akan ditampilkan di papan tulis interaktif)

Sebelum bekerja mandiri siswa akan ditanya tugas kecerdasan cepat - 2 mnt.

Tanpa mengangkat pensil dari kertas dan tanpa melewati dua kali di sepanjang bagian garis yang sama, gambarlah sebuah huruf tercetak. (Slide 5)

(Siswa menggunakan lembaran plastik dan spidol.)

1. Selesaikan persamaan (pada kartu) (Lihat. Lampiran 2)

Tugas tambahan No.135 (b,c).

7. Meringkas pelajaran - 1 menit.

Algoritma untuk mereduksi persamaan menjadi persamaan linier.

8. Pelaporan pekerjaan rumah - 2 mnt.

hal.6, No. 136 (a-d), 240 (a), 243(a, b), 224(Jelaskan isi pekerjaan rumah).

Pelajaran 2

Tujuan Pelajaran:

Pendidikan:

• pengulangan aturan, sistematisasi, pendalaman dan perluasan pengetahuan siswa tentang pembelajaran dengan menyelesaikan persamaan linier;
• pembentukan kemampuan untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam memecahkan persamaan dengan berbagai cara.

Mengembangkan:

• pengembangan keterampilan intelektual: analisis algoritme untuk menyelesaikan persamaan, pemikiran logis saat menyusun algoritme untuk menyelesaikan persamaan, variabilitas dalam memilih metode solusi, mensistematisasikan persamaan dengan metode solusi;
• pengembangan pidato matematika;
• pengembangan memori visual.

Pendidikan:

• pendidikan aktivitas kognitif;
• pembentukan keterampilan pengendalian diri, pengendalian timbal balik dan penilaian diri;
• memupuk rasa tanggung jawab, gotong royong;
• menanamkan ketelitian, literasi matematika;
• memupuk rasa kekeluargaan, kesopanan, disiplin, tanggung jawab;
• Hemat kesehatan.

a) pendidikan: pengulangan aturan, sistematisasi, pendalaman dan perluasan pengetahuan siswa tentang belajar dengan menyelesaikan persamaan linier;

b) mengembangkan: pengembangan fleksibilitas berpikir, memori, perhatian dan kecerdikan;

c) pendidikan: menanamkan minat pada subjek dan sejarah tanah air.

Peralatan: papan tulis interaktif, kartu sinyal (hijau dan merah), lembar kerja ujian, buku teks, buku kerja, buku catatan pekerjaan rumah, buku catatan belajar mandiri.

Bentuk kerja: individu, kolektif.

Selama kelas

1. Momen organisasi - 1 mnt.

Sapa siswa, periksa kesiapan mereka untuk pelajaran, umumkan topik pelajaran dan tujuan pelajaran.

2. Pekerjaan lisan - 10 mnt.

(Tugas untuk penghitungan lisan ditampilkan di papan tulis interaktif.)(Slide 6)

1) Memecahkan masalah:

a) Ibu 22 tahun lebih tua dari putrinya. Berapa umur ibu jika mereka 46 tahun bersama
b) Ada tiga saudara laki-laki dalam keluarga dan masing-masing saudara laki-laki berikutnya dua kali lebih muda dari saudara laki-laki sebelumnya. Bersama-sama, semua bersaudara berusia 21 tahun. Berapa umur masing-masing?

2) Selesaikan persamaan:(Menjelaskan)

4) Jelaskan tugas pekerjaan rumah yang menyebabkan kesulitan.

3. Melakukan latihan - 10 menit. (Slide 8)

(1) Pertidaksamaan apa yang dipenuhi oleh akar persamaan:

a) x > 1;
b) x< 0;
c) x > 0;
d) x< –1.

(2) Pada nilai ekspresi apa pada nilai ekspresi 2thn - 4 5 kali lebih kecil dari nilai ekspresi 5thn - 10?

(3) Pada nilai berapa k persamaan kx - 9 = 0 memiliki akar sama dengan - 2?

Lihat dan ingat (7 detik). (Slide 9)

Setelah 30 detik, siswa mereproduksi gambar di atas lembaran plastik.

4. Pendidikan Jasmani - 1,5 menit.

Latihan untuk mata dan tangan

(Siswa melihat dan mengulangi latihan yang diproyeksikan ke papan tulis interaktif.)

5. Uji coba independen - 15 mnt.

(Siswa menyelesaikan soal ujian di buku catatan untuk kerja mandiri, menggandakan jawaban di buku kerja. Setelah lulus ujian, siswa mengecek jawaban dengan jawaban yang tertera di papan tulis)

Siswa yang menyelesaikan pekerjaannya terlebih dahulu membantu siswa yang kurang berprestasi.

6. Menyimpulkan pelajaran - 2 menit.

Apa persamaan linear dengan satu variabel?

Apa yang disebut akar persamaan?

Apa artinya "menyelesaikan persamaan"?

Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu persamaan?

7. Melaporkan pekerjaan rumah. - 1 menit.

hal.6, No. 294(a, b), 244, 241(a, c), 240(d) - Tingkat A, B

Butir 6, No. 244, 241(b, c), 243(c), 239, 237 – Tingkat C

(Jelaskan isi pekerjaan rumah.)

8. Refleksi - 0,5 menit.

Apakah Anda puas dengan pekerjaan Anda di kelas?

Kegiatan apa yang paling Anda sukai dalam pelajaran?

Literatur:

1. Aljabar 7./ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Peshkov, S.V. Suvorov. Diedit oleh S.A. Telyakovsky./ M.: Pendidikan, 1989 - 2006.
2. Kumpulan tugas tes untuk kontrol tematik dan final. Aljabar Kelas 7/ Guseva I.L., Pushkin S.A., Rybakova N.V.. Edisi umum: Tatur A.O.- M.: "Pusat Intelektual" 2009 - 160 hal.
3. Perencanaan pelajaran dalam aljabar. / TN Erina. Panduan untuk guru / L: Ed. "Ujian", 2008. - 302, hal.
4. Kartu untuk mengoreksi pengetahuan dalam matematika untuk kelas 7./ Levitas G.G./ M.: Ileksa, 2000. - 56 hal.

Tujuan pelajaran. Pembentukan keterampilan memecahkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui, mereduksinya menjadi persamaan linier menggunakan sifat-sifat kesetaraan.

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran:

1) pendidikan:

untuk mengenalkan siswa dengan jenis persamaan linier dan metode penyelesaiannya, untuk mencapai asimilasi aturan penyelesaian persamaan linier, pemahamannya dan kemampuan untuk menggunakannya dalam penyelesaian;

2) mengembangkan:

melanjutkan pembentukan pengetahuan matematika dan metode aktivitas mental (kemampuan menganalisis situasi dan menavigasi tindakan, mempelajari cara melakukan tindakan baru, membawanya ke otomatisasi). Bentuk elemen logika matematika.

3) pendidikan:

pembentukan keterampilan pekerjaan langkah demi langkah di bawah bimbingan seorang guru (penjelasan materi baru, konsolidasi awal), persepsi informasi dengan telinga (kartu), pembentukan harga diri (refleksi).

Unduh:

Pratinjau:

Rencana pelajaran untuk aljabar di kelas 7.

Persamaan linier dengan satu variabel.

(04.10.2012)

Tujuan pelajaran . Pembentukan keterampilan memecahkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui, mereduksinya menjadi persamaan linier menggunakan sifat-sifat kesetaraan.

Jenis pelajaran : digabungkan.

Tujuan pelajaran:

1) pendidikan:

Untuk mengenalkan siswa dengan jenis persamaan linier dan metode penyelesaiannya, untuk mencapai asimilasi aturan penyelesaian persamaan linier, pemahamannya dan kemampuan untuk menggunakannya dalam penyelesaian;

2) mengembangkan:

Lanjutkan pembentukan pengetahuan matematika dan metode aktivitas mental (kemampuan menganalisis situasi dan menavigasi tindakan, mempelajari cara melakukan tindakan baru, membawanya ke otomatisasi). Bentuk elemen logika matematika.

3) pendidikan:

Pembentukan keterampilan pekerjaan langkah demi langkah di bawah bimbingan seorang guru (penjelasan materi baru, konsolidasi awal), persepsi informasi dengan telinga (kartu), pembentukan harga diri (refleksi).

Selama kelas

I. Memeriksa pekerjaan rumah secara frontal.

II. Pekerjaan lisan (pada kartu)

Tujuan kerja lisan: diagnostik pembentukan keterampilan untuk memecahkan persamaan linier dengan satu variabel.

1. Alih-alih (*), beri tanda "+" atau "-", dan alih-alih titik - angka:

a) (*5)+(*7)=2;

b) (*8)-(*8)=(*4)-12;

c) (*9)+(*4)=-5;

d) (-15)-(*…)=0;

e) (*8)+(*…)=-12;

e (*10)-(*…)=12.

2. Tulis persamaan yang setara dengan persamaan:

a) x-7=5;

b) 2x-4=0;

c) x-11=x-7;

d) 2(x-12)=2x-24.

AKU AKU AKU. Generalisasi kemampuan untuk memecahkan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan linier.

Kerja kolektif dengan kelas.

Bentuk kerjasama tim: frontal

Mari kita selesaikan persamaannya

12 - (4x-18) \u003d (36 + 5x) + (28 - 6x). (1)

Untuk melakukan ini, lakukan transformasi berikut:

1. Perluas tanda kurung. Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap mempertahankan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung. Jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung:

12 - 4x + 18 = 36 + 5x + 28 - 6x. (2)

Persamaan (2) dan (1) setara.

2. Kita pindahkan suku-suku yang tidak diketahui dengan tanda yang berlawanan sehingga suku-suku tersebut hanya ada di salah satu bagian persamaan (di sebelah kiri atau di sebelah kanan). Pada saat yang sama, kami memindahkan suku-suku yang diketahui dengan tanda berlawanan sehingga hanya ada di bagian lain dari persamaan.

Misalnya, mari kita pindahkan suku yang tidak diketahui dengan tanda berlawanan ke kiri, dan suku yang diketahui ke sisi kanan persamaan, maka kita mendapatkan persamaannya

4x-5x+6x=36+28-18, (3)

yang setara dengan persamaan (2) dan, akibatnya, persamaan (1).

3. Kami menyajikan istilah serupa:

3x=46. (4)

Persamaan (4) setara dengan persamaan (3), dan karenanya menjadi persamaan (1).

4. Bagilah kedua sisi persamaan (4) dengan koefisien yang tidak diketahui. Persamaan yang dihasilkan x=46/-3 atau -15 1/3 akan setara dengan persamaan (4), dan karenanya menjadi persamaan (3), (2), (1).

Oleh karena itu, akar persamaan (1) adalah angka -15 1/3.

Menurut skema (algoritma) ini, kami menyelesaikan persamaan dalam pelajaran hari ini:

1. Perluas tanda kurung.

2. Kumpulkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui di satu bagian persamaan, dan suku-suku yang tersisa di persamaan lainnya.

3. Bawa istilah yang mirip.

4. Bagilah kedua sisi persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui.

Catatan: perlu dicatat bahwa skema di atas tidak wajib, karena seringkali ada persamaan yang beberapa langkahnya tidak diperlukan. Saat memecahkan persamaan lain, lebih mudah untuk menyimpang dari skema ini, seperti misalnya dalam persamaan:

7(x-2)=42.

IV. Latihan pelatihan.

Nomor 132 (a, d), 133 (a, d), 136 (c), 138 (d) - dengan catatan di papan tulis.

Nomor 132. Temukan akar persamaan:

a) (13x-15) - (9 + 6x) \u003d -3x

Mari kita perluas tanda kurung:

13x-15-9-6x=-3x.

Kami memindahkan suku yang tidak diketahui dengan tanda berlawanan ke kiri, dan suku yang diketahui ke sisi kanan persamaan, maka kami mendapatkan persamaan:

13x-6x+3x=15+9.

Kami menyajikan istilah serupa.

10x=24.

Kami membagi kedua sisi persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui.

x=2,4

Jawaban: 2.4

d) (0,5x + 1,2) - (3,6-4,5x) \u003d (4,8-0,3x) + (10,5x + 0,6);

0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6;

0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6;

5,2x=7,8;

x=-1,5

Jawaban: -1.5

№133 Temukan akar persamaan:

a) 5 (3x + 1,2) + x \u003d 6,8,

15x + 6 + x = 6,8,

15x + x \u003d 6,8 ​​- 6,

16x = 0,8,

X \u003d 0,8: 16,

X \u003d 0,05,

Jawaban: 0,05

d) 5,6 - 7y \u003d - 4 (2y - 0,9) + 2, 4,

5,6 - 7y \u003d - 8y + 3, 6 + 2,4,

8y - 7y \u003d 3,6 + 2,4 - 5,6,

Y \u003d 0,4,

Jawaban: 0,4

Nomor 136. Selesaikan persamaan:

c) 0,8x - (0,7x + 0,36) = 7,1,

0,8x - 0,7x - 0,36 \u003d 7,1,

0,1x \u003d 0,36 + 7,1,

0,1x = 7,46,

X \u003d 7,46: 0,1,

X = 74,6

Jawaban: 74,6.

№ 138. Temukan akar persamaan:

d) -3(y + 2.5) = 6.9 - 4.2y,

3th - 7,5 \u003d 6,9 - 4,2th,

4,2y - 3y \u003d 6,9 + 7,5,

1,2 tahun = 14,4,

Y \u003d 14.4: 1.2,

Y \u003d 12,

Jawaban: 12

V. Pekerjaan mandiri, dengan mempertimbangkan kemampuan individu siswa.

I. Opsi.

1. Untuk menyelesaikan persamaan 5x \u003d -40, Anda perlu membagi -40 dengan 5. Apa akar dari persamaan ini?

2. Garis bawahi koefisien di x dan selesaikan persamaannya:

A) 7x = 49;

6) - Zx = 111;

c) 12x = 1.

3. Memecahkan persamaan 12x = -744, Kolya menemukan, Apa x = -62. Mengganti angka - 62 alih-alih x, periksa apakah akar persamaan ditemukan dengan benar.

4. Selesaikan persamaan.

a) 6x = 24;

b) 13x = -39;

c) 8x = 4;

d) 6x = 7,5; e) 7x = 63;

e) - 4x \u003d 12;

g) 9x = - 3;

h) 9x = 0,36.

5. Pada nilai x berapa:

a) nilai ekspresi 8x adalah -64;

b) nilai ekspresi 7x sama dengan 1;

c) apakah nilai ekspresi -x sama dengan 11?

6. Pindahkan suku yang mengandung x ke kiri Bagian persamaan, dan sisanya ke kanan, sambil berubah tanda-tanda mereka sebaliknya:

a) 2x - 3 \u003d 5x + 8; c) -2x - 5 \u003d 6x - 8;

b) 4x - 12 \u003d -3x + 3; d) -4x - 2 = - 13x + 21.

7. Lengkapi solusi dari persamaan:

a) 2x - 4 \u003d -8x + 12; b) Zx - 2 \u003d 7x - 14;

c) 2x + 8x \u003d 12 + 4 d) Zx - 7x \u003d -14 + 2

8. Selesaikan persamaan:

a) Zx + 8 \u003d x - 12;

b) x + 4 = 3 - 2x;

c) 5y = 2y + 16;

d) -2x + 9 - 8 \u003d x - 1.

9. Selesaikan persamaan:

a) 1,2x = -4,8; d) Zx - 4 = 11; g) 2x - 1 \u003d Zx + 6;

b) -6x = 7,2; e) 5 - 2x = 0; h) x - 8 = 4x - 9;

DI DALAM )-X = -0,6; f) -12 - x = 3; i) 5 - 6x \u003d 0,3 - 5x.

10. Berapa nilai a

a) nilai ekspresi 3 + 2a adalah 43,

b) nilai ekspresi 12 - a sama dengan 100;

c) nilai ekspresi 13a + 17 dan 5a + 9 sama;

d) nilai ekspresi 5a + 14 dan 2a + 7 adalah menangkal bilangan positif?

II. Pilihan

1. Untuk setiap persamaan dalam bentuk ax \u003d b, tuliskan apa yang sama dengan a dan apa yang sama dengan di:

a) 2,3x = 6,9;

b) –x = -1;

c) - x = 6;

d) 1,2x = 0.

2. a) Selesaikan entri: untuk menyelesaikan persamaan ax \u003d b, di mana a= 0, diperlukan...

b) Selesaikan persamaan 12x = -60 dan periksa.

3. Selesaikan persamaan:

1) a) 2x = 12; b) -5x = 15; c) - x = 32; d) -11x = 0;

2) a) 3x = 5; b) - 6x = -15; c) 29x = - 27; d) 16x = - 1;

3) a) 5x = 1/3|; b) 4x \u003d - 2/7; c) 1/3x = 6; d) -2/7x = 14.

4) a) 0,01x = 6,5; b) - 1,4x = 0,42; c) 0,3x = 10; d) -0,6x = - 0,5.

4. Berapa nilai x:

a) nilai ekspresi 5x adalah - 1;

b) nilai ekspresi -0,1x sama dengan 0,5;

c) apakah nilai ekspresi 16x sama dengan 0?

5. Penyelesaian persamaan berbentuk ax = b ditulis di papan tulis, tetapi ruas kanan persamaan tersebut dihapus. Pulihkan:

a) 5x = ... b) 3x = ... c) 4x = ...

x = -12; x=1/6; x = 0,8.

6. Temukan nilai a yang persamaan ax \u003d 114 memiliki akar 6.

7. Selesaikan persamaan:

A) Zx-4 = 20

B) 54 - 5x ~ -6;

c) 1,2 - 0,3x = 0;

d) 16-7x = 0;

e) 5/6-x = 1/6

8. Selesaikan persamaan:

a) 5x-11 \u003d 2x + 8; d) 0,8x-4 = 0,5-7;

b) 6-7x = 11-6x; e) 2,6x + 8 = 2-x;

c) 3 - x = x + 13; f) 12 + 1/3x = 15 - 1/6x

9. Berapa nilai a:

a) nilai ekspresi 5-For adalah 17;

b) arti ungkapan 3-2a dan 5a+10 adalah sama;

c) nilai ekspresi 5 - 9a lebih besar 4 dari nilai ekspresi a + 1;

d) apakah nilai pernyataan 7+8a 5 lebih kecil dari nilai pernyataan 2a+1?

10. Selesaikan persamaan:

a) 15(x+2) = 40; c) 5(2x+1) = 3(2x);

b) - 2(1-x) = x; d) -6 (2-x) -5 (1 + x).

11. Selesaikan persamaan:

a) 43 + 4x + (11-5x) \u003d 7; d) 6(x+11)-7x = 73+x;

b) 12-4x - (2 + x) = 5x; e) 8 (3-x) - 12 + 6x \u003d 25-x;

c) 5x + 12-3 (x + 16) \u003d - 20; f) 6-x-3(2-5x) - 12+8x.

Untuk pengendalian diri: setelah membuka tanda kurung, diperoleh persamaan:

a) 43+4x+11-5x = 7; d) 6x + 66-7x = 73 + x;

b) 12-4x-2-x = 5x; e) 24-8x-12+6x - 25;

c) 5x + 12-3x-48 \u003d -20; f) 6-x-6+15x = 12+8x.

AKU AKU AKU. Pilihan

1. Selesaikan persamaan:

a) 6x = 36; c) -x = 18; e) 49x = 0; g) 21x = - 3;

b) 5x=5/7; d) 11x \u003d -1/3; c) 1/3x = 0; e) -3/7x = - 1;

2. Selesaikan persamaan dan periksa:

a) 0,08x - 1; c) - 0,1x = 1; e) 0,6x = - 5; g) - 0,3x = - 1,1;

b) 0,3x = 1/3; d) – 1/7х = 0; e) 0,2x \u003d 1/7 jam) - 3,6x - - 6.

3. Buatlah persamaan dari bentuk ax \u003d b, yang mana

a) memiliki nomor akar 3;

b) memiliki nomor akar 0;

c) tidak memiliki akar;

d) memiliki banyak akar tak terhingga.

4. Untuk nilai x berapa

A) nilai ekspresi 1/3x adalah 3;

b) nilai ekspresi - 0,8x sama dengan 0;

c) nilai ekspresi 0,01x sama dengan 30;

d) nilai ekspresi -15x sama dengan - 0,1.

5. Setelah menyelesaikan persamaan bentuk ax \u003d b, siswa menghapus koefisien a. Pulihkan jika memungkinkan:

a) ... x \u003d 1/8 b) ... x \u003d -4 c) ... x \u003d 0

X=4 x= - 1 x = 0

6 . Untuk berapa nilai bilangan bulat a akar persamaan ax = 8 bilangan bulat?

8. Ekspresi untuk +2 dan a-5 diberikan. Untuk nilai apa a

a) nilai ekspresi ini sama;

b) nilai ekspresi pertama 12 lebih besar dari nilai ekspresi kedua;

c) nilai ekspresi pertama 7 lebih kecil dari nilai ekspresi kedua;

d) nilai ekspresi pertama 5 kali lebih besar dari nilai ekspresi kedua

terangsang?

9. Selesaikan persamaan:

a) - (2x + 1) = 41; d) 5(x-1) - 3(2x+2) = - 1;

b) 5(12-x) = 27; e) 12 (1-x) - 4 \u003d 2 (4x + 6);

c) 1,2(2x-1) = 3,6; e) 0,5 (2x-1) - x \u003d 6,5.

10. Untuk persamaan ax-11 \u003d Zx + 1, temukan

a) nilai a yang akar persamaannya adalah angka 6;

b) nilai a yang persamaannya tidak memiliki akar;

c) nilai alami a yang akar persamaannya adalah bilangan asli.

11. Selesaikan persamaan:

a) 5 (x - 18) - 7x \u003d 21 + x; d) 6(x - 1) + 12(3 - 2x) = 45 - 17x;

b) Zx + 6 (1 - x) \u003d - 2 (2 + x); e) 15 (3 - x) - 5 (x + 11) \u003d 1 - 19x;

c) 1,7 - 8 (x - 1) = 3,7 + 2x; e) - (5 - x) - 8 (6 + x) \u003d 11,8 + x.

VI. Ringkasan pelajaran. Algoritma untuk mereduksi persamaan menjadi persamaan linier.

VII. Pekerjaan rumah: butir 3, no.128, 129, 131.

Cek menunjukkan bahwa siswa menyelesaikan tugas-tugas ini, yaitu mereka menguasai topik ini.

Introspeksi pelajaran

1. Jumlah siswa di kelas adalah 25 orang.Lima orang bisa belajar untuk 4-5 orang, 8 orang untuk empat orang, selebihnya tidak bisa belajar tanpa bantuan pembimbing. Saat merencanakan pelajaran, hal ini diperhitungkan dan ditentukan pilihan metode dan teknik penyajian materi baru dan cara mengkonsolidasikan ilmu yang diperoleh.

2. Ini adalah pelajaran kedua dengan topik "Persamaan dengan satu variabel".Tahun pelajaran ini materi ini dipelajari, pada awal pelajaran dilakukan pembaharuan ilmu berupa reminder oleh guru akan informasi yang diperlukan. Pelajaran ini penting untuk pembelajaran selanjutnya tentang topik "Fungsi Linear" dalam mata kuliah aljabar. Kekhususan - banyak konsep, model, pengetahuan yang lebih baik untuk disistematisasikan dan disusun dalam bentuk ringkasan. Jenis pelajaran - pelajaran gabungan.

3. Tugas-tugas berikut diselesaikan dalam pelajaran:

1. Tujuan didaktik dari pelajaran:Berkontribusi pada kesadaran dan pemahaman informasi pendidikan baru tentang model geometris dan analitik persamaan linier dengan satu variabel.
2. Tujuan Pendidikan:Bentuk konsep persamaan linier dan metode penyelesaiannya serta capai pemahaman tentang esensi nama, penunjukan, dan notasi aljabarnya.
3. Tujuan pembangunan: Untuk mempromosikan pengembangan kemampuan memodelkan situasi dan mensistematisasikan pengetahuan dalam bentuk tabel.
4. tujuan pendidikan:Pembentukan harga diri, penghormatan terhadap karya intelektual.

Kompleksitas solusi mereka dipikirkan dengan baik. Tugas utama adalah tugas belajar, sambil menyelesaikannya, tugas mengembangkan dan mendidik diselesaikan di sepanjang jalan. Tugas perkembangan diselesaikan melalui metode pembelajaran materi yang dapat diakses, dan tugas pendidikan sudah pada tahap pemilihan kelas untuk pelajaran terbuka.

4. Struktur pelajaran ini ditentukan oleh ketidakmampuan siswa mempersepsikan materi yang disajikan secara monoton dalam waktu yang lama dan dengan konsentrasi.Oleh karena itu, pembelajaran di babak pertama lebih padat dan dinamis. Survei dilakukan untuk memperbarui pengetahuan yang ada dan mengkonsolidasikan yang baru. Tautan antar tahap adalah logis. Pekerjaan rumah berisi tiga angka, siswa dapat menyelesaikan angka yang mereka inginkan: untuk 3-satu angka, untuk 4-dua, untuk 5-tiga.

5. Penekanan utama ditempatkan pada konsep:persamaan linier, akar persamaan. Konsep utama topik dipilih, keterampilan menunjuk, memberi nama, menuliskan model aljabar interval numerik sedang dikerjakan.

6. Metode pengajaran yang dipilihsebagian pencarian, visual, aktivitas.

7. Tidak perlu menggunakan metode pembelajaran yang dibedakan.Cukup memberikan bantuan individu.

8. Kontrol pembelajarandilakukan dengan memantau kemandirian dan aktivitas siswa, saat materi baru dipelajari.

9. Alat pembelajaran yang digunakan:Buku Teks Yu.N. Makarychev dan lainnya - 2009, kartu untuk pekerjaan lisan dan individu, papan digunakan secara aktif.

10. Tugas dilaksanakan sepenuhnya.

Persamaan adalah persamaan yang didalamnya terdapat satu atau lebih variabel.
Kami akan mempertimbangkan kasus ketika ada satu variabel dalam persamaan, yaitu satu angka yang tidak diketahui. Intinya, persamaan adalah sejenis model matematika. Oleh karena itu, pertama-tama, kita membutuhkan persamaan untuk menyelesaikan masalah.

Mari kita ingat bagaimana model matematika dikompilasi untuk memecahkan suatu masalah.
Misalnya, pada tahun ajaran baru, jumlah siswa di sekolah nomor 5 menjadi dua kali lipat. Setelah 20 siswa dipindahkan ke sekolah lain, sebanyak 720 siswa mulai belajar di sekolah No.5. Berapa banyak siswa yang ada tahun lalu?

Kita perlu mengungkapkan apa yang dikatakan dalam kondisi tersebut dalam bahasa matematika. Misalkan banyaknya siswa tahun lalu adalah X. Maka, sesuai dengan kondisi soal,
2X - 20 = 720. Kami memiliki model matematika, yaitu satu variabel persamaan. Lebih tepatnya, ini adalah persamaan tingkat pertama dengan satu variabel. Tetap menemukan akarnya.

Apa akar persamaannya?

Nilai variabel di mana persamaan kita berubah menjadi persamaan sejati disebut akar persamaan. Ada persamaan yang memiliki banyak akar. Misalnya, dalam persamaan 2*X = (5-3)*X nilai apa pun dari X adalah akar. Dan persamaan X \u003d X + 5 tidak memiliki akar sama sekali, karena apapun yang kita substitusikan dengan nilai X, kita tidak akan mendapatkan persamaan yang benar. Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya, atau menentukan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar. Jadi untuk menjawab pertanyaan kita, kita perlu menyelesaikan persamaan 2X - 20 = 720.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan dengan satu variabel?

Pertama, mari kita tulis beberapa definisi dasar. Setiap persamaan memiliki sisi kanan dan kiri. Dalam kasus kita, (2X - 20) adalah ruas kiri persamaan (di sebelah kiri tanda sama dengan), dan 720 adalah ruas kanan persamaan. Suku-suku sisi kanan dan kiri persamaan disebut suku-suku persamaan. Istilah kami dalam persamaan adalah 2X, -20 dan 720.

Katakanlah langsung tentang 2 sifat persamaan:

1. Setiap suku persamaan dapat dipindahkan dari ruas kanan persamaan ke ruas kiri, dan sebaliknya. Dalam hal ini, tanda suku persamaan ini perlu diubah menjadi kebalikannya. Artinya, entri seperti 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X setara.
2. Kedua sisi persamaan dapat dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama. Angka ini tidak boleh nol. Artinya, entri seperti 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 juga setara.

Mari pindahkan -20 ke sisi kanan dengan tanda kebalikannya. Kita mendapatkan:

2X = 720 + 20. Mari tambahkan apa yang kita miliki di sisi kanan. Kami mendapatkan bahwa 2X = 740.

Sekarang bagi sisi kiri dan kanan persamaan dengan 2.

2X:2 = 740:2 atau X = 370. Kami menemukan akar persamaan kami dan pada saat yang sama menemukan jawaban dari soal kami. Tahun lalu, ada 370 siswa di sekolah No.5.

Mari kita periksa apakah akar kita benar-benar mengubah persamaan menjadi persamaan sejati. Mari kita ganti X dengan angka 370 dalam persamaan 2X - 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Baiklah.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan dengan satu variabel, harus direduksi menjadi apa yang disebut persamaan linier dalam bentuk ax \u003d b, di mana a dan b adalah beberapa bilangan. Kemudian bagi bagian kiri dan kanan dengan angka a. Kami mendapatkan bahwa x = b:a.

Apa artinya membawa persamaan ke persamaan linier?

Pertimbangkan persamaan ini:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X.

Ini juga merupakan persamaan dengan satu variabel X yang tidak diketahui. Tugas kita adalah membawa persamaan ini ke bentuk ax = b.

Untuk melakukannya, pertama-tama kita kumpulkan semua suku yang memiliki X sebagai faktor di ruas kiri persamaan, dan sisa suku di ruas kanan. Suku-suku yang memiliki huruf yang sama sebagai faktor disebut suku-suku sejenis.

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

Menurut sifat distributif perkalian, kita dapat mengeluarkan faktor yang sama dari tanda kurung, dan menjumlahkan koefisien (pengganda untuk variabel x). Proses ini juga disebut reduksi suku-suku sejenis.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Kami mereduksi persamaan menjadi bentuk ax = b, di mana a = 7, b = 49.

Dan seperti yang kita tulis di atas, akar persamaan bentuk ax \u003d b adalah x \u003d b: a.

Yaitu X = 49:7 = 7.

Algoritma untuk menemukan akar persamaan dengan satu variabel.

1. Kumpulkan suku-suku sejenis di sisi kiri persamaan, suku-suku yang tersisa di sisi kanan persamaan.
2. Bawa istilah seperti.
3. Bawa persamaan ke bentuk ax = b.
4. Temukan akar menggunakan rumus x = b:a.

Dalam pelajaran sebelumnya, kami berkenalan dengan ekspresi, dan juga belajar bagaimana menyederhanakan dan menghitungnya. Sekarang kita beralih ke yang lebih sulit dan menarik, yaitu persamaan.

Persamaan dan akarnya

Persamaan yang mengandung variabel disebut persamaan. memecahkan persamaan , berarti menemukan nilai variabel yang persamaannya benar. Nilai variabel disebut akar persamaan .

Persamaan dapat memiliki satu akar, beberapa atau tidak sama sekali.

Saat memecahkan persamaan, properti berikut digunakan:

• jika dalam persamaan kita memindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain, sambil mengubah tandanya menjadi kebalikannya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan.
• Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut.

Contoh 1Manakah dari angka-angka: -2, -1, 0, 2, 3 yang merupakan akar dari persamaan:

Untuk menyelesaikan tugas ini, Anda hanya perlu mengganti setiap angka secara bergantian alih-alih variabel x dan memilih angka yang persamaannya dianggap benar.

Dengan "x \u003d -2":

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\ (4 \u003d 4 \) - persamaannya benar, artinya (-2) adalah akar dari persamaan kita

Dengan "x \u003d -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - persamaan salah, oleh karena itu (-1) bukan akar persamaan

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - persamaan salah, jadi 0 bukan akar persamaan

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\ (4 \u003d 4 \) - persamaannya benar, artinya 2 adalah akar dari persamaan kita

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - persamaannya salah, jadi 3 bukan akar persamaan

Jawab: dari bilangan yang disajikan, akar persamaan \(x^2=10-3x \) adalah bilangan -2 dan 2.

Persamaan linier dengan satu variabel adalah persamaan dalam bentuk ax = b, di mana x adalah variabel dan a dan b adalah beberapa bilangan.

Ada banyak sekali jenis persamaan, tetapi solusi dari banyak persamaan tersebut bermuara pada penyelesaian persamaan linier, jadi pengetahuan tentang topik ini wajib untuk pembelajaran lebih lanjut!

Contoh #2 Selesaikan persamaan: 4(x+7) = 3-x

Untuk menyelesaikan persamaan ini, pertama-tama, Anda harus menghilangkan tanda kurung, dan untuk ini kita mengalikan setiap suku dalam tanda kurung dengan 4, kita mendapatkan:

4x + 28 = 3 - x

Sekarang Anda perlu mentransfer semua nilai dari "x" ke satu sisi, dan yang lainnya ke sisi lain (ingat untuk mengubah tanda ke kebalikannya), kita mendapatkan:

4x + x = 3 - 28

Sekarang kurangi nilai di kiri dan kanan:

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui (x), Anda perlu membagi hasil kali (25) dengan faktor yang diketahui (5):

Jawaban x = -5

Jika Anda ragu dengan jawabannya, Anda dapat memeriksanya dengan mengganti nilai yang dihasilkan dalam persamaan kami alih-alih x:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - persamaan diselesaikan dengan benar!

Sekarang untuk menyelesaikan sesuatu yang lebih sulit:

Contoh #3 Temukan akar persamaan: \((y+4)-(y-4)=6y \)

Pertama-tama, singkirkan juga tanda kurung:

Kami segera melihat y dan -y di sisi kiri, yang berarti bahwa mereka dapat dengan mudah dicoret, dan angka yang dihasilkan dapat dengan mudah ditambahkan dan ekspresi ditulis:

Sekarang Anda dapat memindahkan nilai dengan "y" ke kiri, dan nilai dengan angka ke kanan. Tetapi ini tidak perlu, karena tidak masalah di sisi mana variabel berada, yang utama adalah variabel tersebut tanpa angka, yang berarti kami tidak akan mentransfer apa pun. Tetapi bagi mereka yang tidak mengerti, kami akan melakukan sesuai aturan dan membagi kedua bagian dengan (-1), seperti yang dikatakan properti:

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Jawaban: y = \(1\frac(1)(3) \)

Anda juga dapat memeriksa jawabannya, tetapi lakukan sendiri.

Contoh #4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Sekarang saya hanya akan menyelesaikannya, tanpa penjelasan, dan Anda melihat kemajuan solusi dan notasi yang benar dari solusi persamaan:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

Jawab: x = -1,5

Jika ada sesuatu yang tidak jelas, tulis di komentar

Memecahkan Masalah dengan Persamaan

Mengetahui apa itu persamaan dan mempelajari cara menghitungnya, Anda juga membuka akses untuk menyelesaikan banyak masalah di mana persamaan digunakan untuk menyelesaikannya.

Saya tidak akan masuk ke teori, lebih baik menunjukkan semuanya sekaligus dengan contoh

Contoh #5 Ada 2 kali lebih sedikit apel di dalam keranjang daripada di dalam kotak. Setelah 10 apel dipindahkan dari keranjang ke kotak, ada 5 kali lebih banyak apel di dalam kotak daripada di keranjang. Berapa banyak apel yang ada di dalam keranjang dan berapa banyak yang ada di dalam kotak?

Pertama-tama, kita perlu menentukan apa yang akan kita ambil untuk "x", dalam soal ini kita dapat menerima kotak dan keranjang, tetapi saya akan mengambil apel dalam keranjang.

Jadi, misalkan ada x apel di dalam keranjang, karena jumlah apel di dalam kotak dua kali lebih banyak, maka kita ambil ini untuk 2x. Setelah apel dipindahkan dari keranjang ke kotak, keranjang apel menjadi: x - 10, artinya ada - (2x + 10) apel di dalam kotak.

Sekarang Anda dapat membuat persamaan:

5(x-10) - ada 5 kali lebih banyak apel di dalam kotak daripada di keranjang.

Samakan nilai pertama dan kedua:

2x+10 = 5(x-10) dan selesaikan:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x \u003d -60 / -3 \u003d 20 (apel) - di keranjang

Sekarang, mengetahui berapa banyak apel yang ada di dalam keranjang, kita akan menemukan berapa banyak apel yang ada di dalam kotak - karena jumlahnya dua kali lipat, kita cukup mengalikan hasilnya dengan 2:

2*20 = 40 (apel) - di dalam kotak

Jawab: Ada 40 buah apel dalam sebuah kotak dan 20 buah apel dalam sebuah keranjang.

Saya memahami bahwa banyak dari Anda mungkin belum sepenuhnya memahami cara menyelesaikan masalah, tetapi saya meyakinkan Anda bahwa kami akan kembali ke topik ini lebih dari sekali dalam pelajaran kami, tetapi untuk saat ini, jika Anda masih memiliki pertanyaan, tanyakan di komentar.

Pada akhirnya, beberapa contoh lagi untuk menyelesaikan persamaan

Contoh #6\(2x - 0,7x = 0 \)

Contoh #7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Contoh #8\(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - tidak ada akar, karena Anda tidak dapat membagi dengan nol!

Terima kasih atas perhatian Anda semua. Jika ada yang kurang jelas, tanyakan di komentar.