Derivacija negativnog broja. Tipične pogreške pri izračunavanju derivacije. Derivacija zbroja i razlike

Dana je formula za derivaciju zbroja i razlike funkcija. Dan je dokaz i detaljno su analizirani primjeri primjene ove formule.

Formula za derivaciju zbroja (razlike) funkcija

Neka su i funkcije nezavisne varijable x. Neka su diferencijabilne u nekom rasponu vrijednosti varijable x. Zatim, na ovom području, derivacija zbroja (razlike) ovih funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija tih funkcija:
(1) .

Dokaz

Budući da su funkcije i diferencijabilne na , postoje sljedeće granice, koje su derivacije ovih funkcija:
;
.

Razmotrimo funkciju y varijable x, koja je zbroj funkcija i:
.
Primijenimo definiciju derivacije.


.

Dakle, dokazali smo da je derivacija zbroja funkcija jednaka zbroju derivacija:
.

Na isti način možete pokazati da je derivacija razlike funkcija jednaka razlici derivacija:
.
To se može pokazati i na drugi način, koristeći upravo dokazano pravilo za diferenciranje zbroja i :
.

Ova dva pravila mogu se napisati kao jedna jednadžba:
(1) .

Posljedica

Gore smo pogledali pravilo za pronalaženje derivacije zbroja dviju funkcija. Ovo se pravilo može generalizirati na zbroj i razliku bilo kojeg broja diferencijabilnih funkcija.

Derivacija zbroja (razlike) bilo kojeg konačnog broja diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju (razlici) njihovih derivacija. Uzimajući u obzir pravilo postavljanja konstante izvan predznaka derivacije, ovo se pravilo može napisati na sljedeći način:
.
Ili u proširenom obliku:
(2) .
Ovdje - konstante;
- diferencijabilne funkcije varijable x.

Dokazi o istrazi

Kada je n = 2 , primjenjujemo pravilo (1) i pravilo postavljanja konstante izvan predznaka derivacije. Imamo:
.
Kada je n = 3 primijeniti formulu (1) za funkcije i:
.

Za proizvoljan broj n primjenjujemo metodu indukcije. Neka je jednadžba (2) zadovoljena za . Tada za imamo:

.
To jest, iz pretpostavke da jednadžba (2) vrijedi za , slijedi da jednadžba (2) vrijedi za . A budući da je jednadžba (2) istinita za , vrijedi i za sve .
Istraga je dokazana.

Primjeri

Primjer 1

Nađi izvedenicu
.

Otvaranje zagrada. Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu
.
Također koristimo svojstva funkcija snage.
;

;
.

Formulu (2) primijenimo za derivaciju zbroja i razlike funkcija.
.

Iz tablice izvedenica nalazimo:
.
Zatim
;
;
.

Konačno imamo:
.

Primjer 2

Nađite derivaciju funkcije s obzirom na varijablu x
.

Svedimo korijene na funkcije snage.
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja i razlike.
.
Primjenjujemo formule iz tablice izvedenica.
;
;
;
;
;
.
Zamijenimo:
.
Dovodimo razlomke na zajednički nazivnik.
.
Ovdje smo uzeli u obzir da je dana funkcija definirana na .
.

U ovoj lekciji naučit ćemo primijeniti formule i pravila diferencijacije.

Primjeri. Naći derivacije funkcija.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Primjena pravila ja, formule 4, 2 i 1. Dobivamo:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rješavamo slično, koristeći iste formule i formulu 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Primjena pravila ja, formule 3, 5 I 6 I 1.

Primjena pravila IV, formule 5 I 1 .

U petom primjeru prema pravilu ja izvod zbroja jednak je zbroju izvoda, a upravo smo pronašli izvod 1. člana (primjer 4 ), dakle, pronaći ćemo izvedenice 2 I 3 uvjeti, i za 1 zbroj možemo odmah napisati rezultat.

Hajdemo razlikovati 2 I 3 termini prema formuli 4 . Da bismo to učinili, transformiramo korijene treće i četvrte potencije u nazivnicima u potencije s negativnim eksponentima, a zatim, prema 4 formule, nalazimo izvodnice potencija.

Pogledajte ovaj primjer i rezultat. Jeste li uhvatili obrazac? Fino. To znači da imamo novu formulu i možemo je dodati u našu tablicu izvedenica.

Riješimo šesti primjer i izvedimo još jednu formulu.

Poslužimo se pravilom IV i formula 4 . Skratimo dobivene razlomke.

Pogledajmo ovu funkciju i njenu derivaciju. Vi, naravno, razumijete obrazac i spremni ste imenovati formulu:

Učenje novih formula!

Primjeri.

1. Nađi priraštaj argumenta i priraštaj funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novo - 4,01 .

Riješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamijenimo podatke: 4.01=4+Δh, dakle povećanje argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Budući da imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije može se pronaći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Odredite kut nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u točki x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Riješenje.

Vrijednost derivacije u točki dodirivanja x 0 a je vrijednost tangensa tangentnog kuta (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

Odgovor: tangenta na graf ove funkcije čini kut s pozitivnim smjerom osi Ox jednak 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=xn.

Diferencijacija je radnja pronalaženja derivacije funkcije.

Pri pronalaženju derivacija koristiti formule koje su izvedene na temelju definicije derivacije, na isti način kao što smo izveli formulu za stupanj derivacije: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tablica izvedenica Bit će lakše zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivacija konstantne veličine je nula.

2. X prost je jednak jedan.

3. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije.

4. Derivacija stupnja jednaka je umnošku eksponenta tog stupnja sa stupnjem iste baze, ali je eksponent za jedan manji.

5. Izvodnica korijena jednaka je jedinici podijeljenoj s dva jednaka korijena.

6. Derivacija od jedan podijeljeno s x jednaka je minus jedan podijeljeno s x na kvadrat.

7. Derivacija sinusa jednaka je kosinusu.

8. Derivacija kosinusa jednaka je minus sinus.

9. Derivacija tangensa jednaka je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.

10. Derivacija kotangensa jednaka je minus jedan podijeljeno s kvadratom sinusa.

mi podučavamo pravila razlikovanja.

1. Derivacija algebarske sume jednaka je algebarskoj sumi derivacija članova.

2. Derivacija umnoška jednaka je umnošku derivacije prvog i drugog faktora plus umnožak prvog faktora i derivacije drugog.

3. Derivacija "y" podijeljena s "ve" jednaka je razlomku u kojem je brojnik "y pomnožen s "ve" minus "y pomnožen s ve", a nazivnik je "ve na kvadrat".

4. Poseban slučaj formule 3.

Učimo zajedno!

Stranica 1 od 1 1

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju prirodnog logaritma i logaritma po bazi a. Primjeri izračunavanja derivacija od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za derivaciju logaritma n-tog reda metodom matematičke indukcije.

Vidi također: Logaritam - svojstva, formule, graf
Prirodni logaritam - svojstva, formule, graf

Derivacija formula za izvodnice prirodnog logaritma i logaritma po bazi a

Derivacija prirodnog logaritma od x jednaka je jedan podijeljeno s x:
(1) (ln x)′ =.

Derivacija logaritma na bazu a jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom x pomnoženom s prirodnim logaritmom od a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jedan. Razmotrimo funkciju koja ovisi o varijabli x, koja je logaritam baze:
.
Ova je funkcija definirana na . Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to učinili, moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo limita za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
U) Značenje druge izvanredne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primijenimo svojstva (4) i (5).

.

Iskoristimo svojstvo (7) i drugu izvanrednu granicu (8):
.

I konačno, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Zatim ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za derivaciju logaritma.

Derivacija prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za derivaciju logaritma na bazu a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji je , . Zatim
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi iu drugim granama matematike koje se odnose na diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti u terminima prirodnog logaritma pomoću svojstva (6):
.

Derivacija logaritma s obzirom na bazu može se pronaći iz formule (1), ako konstantu izvadite iz znaka diferencijacije:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za derivaciju eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju.
.
Funkcija inverzna prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov derivat je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x s ​​y:
.
Zatim
.
Od tad

Formula je dokazana. Sada ćemo dokazati formulu za izvod prirodnog logaritma pomoću pravila za razlikovanje složenih funkcija
.
. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
(10) .
Razlikujmo ovu jednadžbu s obzirom na varijablu x:
.
Derivacija od x jednaka je jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:
.
ovdje .
.

Zamijenimo u (10):

Odavde Primjer Pronađite izvedenice od I U 2x,.

U 3x lnnx Izvorne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći izvod funkcije y = log nx. Zatim zamijenimo n = 2 i n = 3. I, tako, dobivamo formule za derivate Pronađite izvedenice od .

U 2x
lnnx .
I
1) Funkcije ovisne o varijabli: ;
2) Funkcije ovisne o varijabli: .
Tada je izvorna funkcija sastavljena od funkcija i :
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo izvod funkcije s obzirom na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije.
.
Ovdje smo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne ovisi o n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo izvornu funkciju pomoću formule za logaritam umnoška:
.
- ovo je konstanta. Njegova derivacija je nula. Tada prema pravilu diferenciranja zbroja imamo:
.

; ; .

Derivacija logaritma modula x

Nađimo izvod još jedne vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov derivat je određen formulom (1):
.

Razmotrimo sada slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali također smo pronašli izvod ove funkcije u gornjem primjeru. Ne ovisi o n i jednako je
.
Zatim
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivacije viših redova prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njegovu derivaciju prvog reda:
(13) .

Nađimo izvod drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da izvod n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da je , onda kada je n = 1 , vrijedi formula (14).

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da to implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Doista, za n = k imamo:
.
Diferenciraj s obzirom na varijablu x:

.
Pa smo dobili:
.
Ova formula se podudara s formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Stoga formula (14), za derivaciju n-tog reda, vrijedi za bilo koji n.

Derivacije viših redova logaritma na bazu a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na bazu a, morate ga izraziti u smislu prirodnog logaritma:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-tu derivaciju:
.

Izvedenica

Izračunavanje derivacije matematičke funkcije (diferencijacije) vrlo je čest problem pri rješavanju više matematike. Za jednostavne (elementarne) matematičke funkcije to je prilično jednostavna stvar, budući da su tablice derivacija za elementarne funkcije odavno sastavljene i lako dostupne. Međutim, pronalaženje izvoda složene matematičke funkcije nije trivijalan zadatak i često zahtijeva značajan trud i vrijeme.

Pronađite izvedenicu online

Naša online usluga omogućuje vam da se riješite besmislenih dugih izračuna i pronaći izvedenicu online u jednom trenutku. Štoviše, koristeći našu uslugu koja se nalazi na web stranici www.site, možete izračunati online izvedenica kako iz elementarne funkcije tako i iz vrlo složene koja nema analitičko rješenje. Glavne prednosti naše stranice u usporedbi s drugima su: 1) ne postoje strogi zahtjevi za metodu unosa matematičke funkcije za izračun derivacije (na primjer, kada unosite funkciju sinus x, možete je unijeti kao sin x ili sin (x) ili sin[x], itd. d.); 2) online izračun derivata događa se odmah u na liniji i apsolutno besplatno; 3) omogućujemo vam da pronađete izvod funkcije bilo koji red, promjena redoslijeda izvoda vrlo je laka i razumljiva; 4) omogućujemo vam da pronađete izvod gotovo svake matematičke funkcije online, čak i one vrlo složene koje se ne mogu riješiti drugim uslugama. Dani odgovor je uvijek točan i ne može sadržavati pogreške.

Korištenje našeg poslužitelja omogućit će vam da 1) izračunate izvedenicu online za vas, eliminirajući dugotrajne i zamorne izračune tijekom kojih biste mogli napraviti pogrešku ili tipfeler; 2) ako sami izračunate derivaciju matematičke funkcije, tada vam pružamo mogućnost da dobiveni rezultat usporedite s izračunima našeg servisa i uvjerite se u točnost rješenja ili pronađete potkralu grešku; 3) koristite našu uslugu umjesto korištenja tablica izvedenica jednostavnih funkcija, gdje je često potrebno vrijeme da se pronađe željena funkcija.

Sve što se od vas traži je da pronaći izvedenicu online- je koristiti našu uslugu na

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.