Formule stupnja koristi se u procesu smanjivanja i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a Kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom zbrajaju se njihovi pokazatelji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih faktora:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Kod podizanja korijena na potenciju dovoljno je podići radikalni broj na ovu potenciju:

4. Ako povećate stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme ugraditi u n-ta snaga je radikalni broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena u n izvaditi korijen u isto vrijeme n-tu potenciju radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n =a m - n postalo pošteno kada m=n, potrebna je prisutnost nultog stupnja.

Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli s nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj A do stupnja m/n, trebate izvaditi korijen n ti stupanj m-tu potenciju ovog broja A.

U prošloj video lekciji naučili smo da je stupanj određene baze izraz koji predstavlja umnožak baze same po sebi, uzet u iznosu jednakom eksponentu. Proučimo sada neka od najvažnijih svojstava i djelovanja potencija.

Na primjer, pomnožimo dvije različite potencije s istom bazom:

Predstavimo ovo djelo u cijelosti:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Izračunavanjem vrijednosti ovog izraza dobivamo broj 32. S druge strane, kao što se vidi iz istog primjera, 32 se može prikazati kao umnožak iste baze (dva), uzet 5 puta. I doista, ako to računate, onda:

Dakle, možemo pouzdano zaključiti da:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ovo pravilo uspješno funkcionira za sve pokazatelje i iz bilo kojih razloga. Ovo svojstvo množenja potencije slijedi iz pravila da se značenje izraza čuva tijekom transformacija u produktu. Za bilo koju bazu a, umnožak dvaju izraza (a)x i (a)y jednak je a(x + y). Drugim riječima, kada se proizvede bilo koji izraz s istom bazom, rezultirajući monom ima ukupni stupanj formiran zbrajanjem stupnjeva prvog i drugog izraza.

Predstavljeno pravilo također odlično funkcionira pri množenju nekoliko izraza. Glavni uvjet je da svi imaju iste baze. Na primjer:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nemoguće je zbrajati stupnjeve, pa čak i provoditi bilo kakve zajedničke radnje temeljene na moći s dva elementa izraza ako su im osnove različite.
Kako pokazuje naš video, zbog sličnosti procesa množenja i dijeljenja, pravila zbrajanja potencija u umnošku savršeno se prenose na postupak dijeljenja. Razmotrite ovaj primjer:

Izvršimo transformaciju izraza po članu u njegov puni oblik i smanjimo iste elemente u djelitelju i djelitelju:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Krajnji rezultat ovog primjera nije toliko zanimljiv jer je već u procesu rješavanja jasno da je vrijednost izraza jednaka kvadratu dva. A to je dva koja se dobiva oduzimanjem stupnja drugog izraza od stupnja prvog.

Za određivanje stupnja količnika potrebno je od stupnja djelitelja oduzeti stupanj djelitelja. Pravilo radi s istom bazom za sve svoje vrijednosti i za sve prirodne moći. U obliku apstrakcije imamo:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Iz pravila dijeljenja jednakih baza stupnjevima slijedi definicija za nulti stupanj. Očigledno, sljedeći izraz izgleda ovako:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

S druge strane, ako podjelu napravimo na vizualniji način, dobit ćemo:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri redukciji svih vidljivih elemenata razlomka uvijek se dobije izraz 1/1, odnosno jedan. Stoga je općenito prihvaćeno da je svaka baza podignuta na nultu potenciju jednaka jedinici:

Bez obzira na vrijednost a.

Međutim, bilo bi apsurdno da je 0 (koja i dalje daje 0 za bilo koje množenje) na neki način jednaka jedinici, tako da izraz u obliku (0) 0 (nula na nultu potenciju) jednostavno nema smisla, a formulirati ( a) 0 = 1 dodajte uvjet: "ako a nije jednako 0."

Riješimo vježbu. Pronađimo značenje izraza:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Budući da je baza svugdje ista i jednaka 34, konačna vrijednost će imati istu bazu sa stupnjem (prema gornjim pravilima):

Drugim riječima:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odgovor: izraz je jednak jedan.

I. Umnožak potencija s istim bazama.

Umnožak dviju potencija s istim bazama uvijek se može prikazati kao potencija s bazom x.

Po definiciji, snaga x 7 je umnožak sedam faktora, od kojih je svaki jednak x, a x 9 je umnožak devet istih faktora. Stoga je x 7 x 9 jednako umnošku 7 + 9 faktora. Svaki od njih je jednak x, tj

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Ispada da ako je baza stupnja a proizvoljan broj, a m i n su bilo koji prirodni brojevi, onda je jednakost istinita:

a m · a n = a m + n

Ova jednakost izražava jedno od svojstava stupnja.

Umnožak dviju potencija s istom bazom jednak je potenciji s istom bazom i eksponentom jednakim zbroju eksponenata tih potencija.

Ovo se svojstvo također pojavljuje u slučajevima kada je broj faktora veći od dva.

Na primjer, u slučaju tri faktora imamo:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

Pri izvođenju transformacija zgodno je koristiti se pravilom: kod množenja potencija s istim bazama baze ostaju iste, a eksponenti se dodaju.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1.

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

Primjer 2.

a 7 a -8 = a -1

Primjer 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Parcijali stupnjeva s istim bazama.

Kvocijent dviju potencija s istim eksponentima uvijek se može prikazati kao potencija s istom bazom.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1. Kvocijent x 17: x 5 može se predstaviti kao potencija s bazom x:

x 17: x 5 = x 12,

budući da je po definiciji kvocijenta i na temelju svojstva stupnja x 5 · x 12 = x 17. Eksponent količnika (broj 12) jednak je razlici između eksponenata djelitelja i djelitelja (17 – 5):

x 17: x 5 = x 17-5

Primjer 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Primjer 3.

a -8: a 6 = a -8-6 = a -14

Primjer 4.

b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9

Primjer 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Pri izvođenju transformacija zgodno je koristiti se pravilom: kod dijeljenja potencija s istim bazama, baze ostaju iste, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Primjer 6.

a 4: a 4 = a 4-4 = a 0

Vrijednost izraza a 0 za bilo koje a ≠ 0 jednaka je 1.

III. Dizanje stupnja na stupanj.

Neka se sedma potencija izraza a 2 predstavi kao potencija s bazom a.

Prema definiciji, potencija (a 2) 7 je proizvod sedam faktora, od kojih je svaki jednak a 2, tj.

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Primjenom svojstva snage dobivamo:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7 .

Ispada da je (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Kod dizanja potencije na potenciju, baza ostaje ista, a eksponenti se množe:

(a m) n = a mn .

Pogledajmo primjere.

Primjer 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Primjer 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Izrazi, pretvorba izraza

Izrazi potencija (izrazi s potencijama) i njihova transformacija

U ovom ćemo članku govoriti o pretvaranju izraza s potencijama. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze snage, kao što je otvaranje zagrada i donošenje sličnih izraza. Zatim ćemo analizirati transformacije svojstvene posebno izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenje svojstava stupnjeva itd.

Navigacija po stranici.

Što su izrazi moći?

Pojam "izrazi snage" praktički se ne pojavljuje u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno onih namijenjenih pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo kakve radnje s izrazima za potencije, postaje jasno da se izrazi za potencije podrazumijevaju kao izrazi koji u svojim natuknicama sadrže potencije. Stoga za sebe možete prihvatiti sljedeću definiciju:

Definicija.

Izrazi moći su izrazi koji sadrže stupnjeve.

Dajmo primjeri izraza snage. Štoviše, prikazat ćemo ih prema tome kako se odvija razvoj pogleda na stupanj s prirodnim eksponentom prema stupnju s pravim eksponentom.

Kao što je poznato, u ovoj fazi se najprije upoznaje potencija broja s prirodnim eksponentom, prvi najjednostavniji potencijski izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 pojavljuju se −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nešto kasnije proučava se potencija broja s cijelim eksponentom, što dovodi do pojave potencijskih izraza s negativnim cijelim potencijama, poput sljedećih: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

U srednjoj školi vraćaju se na diplome. Tu se uvodi stupanj s racionalnim eksponentom, što za sobom povlači pojavu odgovarajućih izraza za potenciju: , , i tako dalje. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .

Stvar nije ograničena na navedene izraze potencije: dalje varijabla prodire u eksponent, pa nastaju npr. sljedeći izrazi: 2 x 2 +1 ili . A nakon upoznavanja s , počinju se pojavljivati ​​izrazi s potencijama i logaritmima, npr. x 2·lgx −5·x lgx.

Dakle, bavili smo se pitanjem što izrazi moći predstavljaju. Zatim ćemo ih naučiti transformirati.

Glavne vrste transformacija potencijskih izraza

S izrazima snage možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete otvoriti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, dodati slične pojmove itd. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćeni postupak za izvođenje radnji. Navedimo primjere.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza za potenciju 2 3 ·(4 2 −12) .

Riješenje.

Prema redoslijedu izvođenja radnji prvo izvršite radnje u zagradi. Tu, prvo, zamjenjujemo potenciju 4 2 njegovom vrijednošću 16 (ako je potrebno, vidi), i drugo, izračunavamo razliku 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

U dobivenom izrazu potenciju 2 3 zamijenimo njegovom vrijednošću 8, nakon čega izračunamo umnožak 8·4=32. Ovo je željena vrijednost.

Tako, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odgovor:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Primjer.

Pojednostavite izraze s potencijama 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Riješenje.

Očito, ovaj izraz sadrži slične članove 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 , a možemo ih prikazati: .

Odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primjer.

Izrazite izraz s moćima kao proizvod.

Riješenje.

Zadatak možete riješiti tako da broj 9 predstavite kao potenciju broja 3 2, a zatim upotrijebite formulu za skraćeno množenje - razlika kvadrata:

Odgovor:

Također postoji niz identičnih transformacija svojstvenih posebno izrazima moći. Analizirat ćemo ih dalje.

Rad s bazom i eksponentom

Postoje potencije čija baza i/ili eksponent nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer dajemo unose (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kada radite s takvim izrazima, možete zamijeniti i izraz u bazi stupnja i izraz u eksponentu s identično jednakim izrazom u ODZ njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno transformirati bazu stupnja, a posebno eksponent. Jasno je da će se kao rezultat ove transformacije dobiti izraz koji je identično jednak izvornom.

Takve nam transformacije omogućuju pojednostavljenje izraza s moćima ili postizanje drugih ciljeva koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za potenciju (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti prijelaz na potenciju 4,1 1,3. I nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova na bazu stupnja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobivamo izraz snage jednostavnijeg oblika a 2·(x+ 1) .

Korištenje svojstava stupnja

Jedan od glavnih alata za transformaciju izraza s potencijama su jednakosti koje odražavaju . Podsjetimo se na one glavne. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realne brojeve r i s vrijede sljedeća svojstva potencija:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Imajte na umu da za prirodne, cijele i pozitivne eksponente ograničenja za brojeve a i b možda neće biti tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivne a, nego i za negativne, te za a=0.

U školi je glavni fokus pri transformaciji izraza moći na sposobnosti odabira odgovarajućeg svojstva i njegove pravilne primjene. U tom su slučaju baze stupnjeva obično pozitivne, što omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama ovlasti - raspon dopuštenih vrijednosti varijabli obično je takav da baze na njemu uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava ovlasti. . Općenito, trebate se stalno pitati je li moguće koristiti bilo koje svojstvo stupnjeva u ovom slučaju, jer netočna uporaba svojstava može dovesti do sužavanja obrazovne vrijednosti i drugih nevolja. O ovim točkama raspravlja se detaljno i s primjerima u članku transformacija izraza pomoću svojstava stupnjeva. Ovdje ćemo se ograničiti na razmatranje nekoliko jednostavnih primjera.

Primjer.

Izrazi a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 kao potenciju s bazom a.

Riješenje.

Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 koristeći svojstvo podizanja potencije na potenciju: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Izvorni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očito, preostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, koju imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odgovor:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Svojstva potencija pri transformaciji izraza potencija koriste se i slijeva na desno i s desna na lijevo.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza za potenciju.

Riješenje.

Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućuje nam prijelaz s izvornog izraza na proizvod oblika i dalje. A kada se potencije množe s istim bazama, eksponenti se zbrajaju: .

Bilo je moguće transformirati izvorni izraz na drugi način:

Odgovor:

.

Primjer.

Zadan je izraz snage a 1,5 −a 0,5 −6, uvedite novu varijablu t=a 0,5.

Riješenje.

Stupanj a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3 i zatim, na temelju svojstva stupnja na stupanj (a r) s =a r s, primijenjeno s desna na lijevo, transformirati ga u oblik (a 0,5) 3. Tako, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5, dobivamo t 3 −t−6.

Odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Izrazi potencije mogu sadržavati ili predstavljati razlomke s potencijama. Sve osnovne transformacije razlomaka koje su svojstvene razlomcima bilo koje vrste u potpunosti su primjenjive na takve razlomke. To jest, razlomci koji sadrže potencije mogu se reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno s njihovim brojnikom i zasebno s nazivnikom, itd. Kako bismo ilustrirali ove riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pojednostavite izraz snage .

Riješenje.

Ovaj izraz snage je razlomak. Radimo s njegovim brojnikom i nazivnikom. U brojniku otvaramo zagrade i pojednostavljujemo dobiveni izraz pomoću svojstava potencije, a u nazivniku prikazujemo slične pojmove:

I također promijenimo predznak nazivnika stavljanjem minusa ispred razlomka: .

Odgovor:

.

Svođenje razlomaka koji sadrže potencije na novi nazivnik provodi se slično svođenju racionalnih razlomaka na novi nazivnik. U ovom slučaju se također nalazi dodatni faktor i njime se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja VA. Da se to ne dogodi, potrebno je da dodatni faktor ne ide na nulu ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer.

Svedi razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) na nazivnik.

Riješenje.

a) U ovom slučaju vrlo je lako otkriti koji dodatni množitelj pomaže u postizanju željenog rezultata. Ovo je množitelj od 0,3, budući da je 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Imajte na umu da u rasponu dopuštenih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), snaga a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik zadanog razlomak ovim dodatnim faktorom:

b) Ako bolje pogledate nazivnik, to možete pronaći

i množenjem ovog izraza s dat će se zbroj kubova i , odnosno . A ovo je novi nazivnik na koji trebamo svesti izvorni razlomak.

Ovako smo pronašli dodatni faktor. U rasponu dopuštenih vrijednosti varijabli x i y, izraz ne nestaje, stoga možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim:

Odgovor:

A) , b) .

Također nema ništa novo u smanjivanju razlomaka s potencijama: brojnik i nazivnik predstavljeni su kao brojni faktori, a isti faktori brojnika i nazivnika su reducirani.

Primjer.

Smanjite razlomak: a) , b) .

Riješenje.

a) Prvo, brojnik i nazivnik mogu se smanjiti brojevima 30 i 45, što je jednako 15. Također je očito moguće izvesti smanjenje za x 0,5 +1 i za . Evo što imamo:

b) U ovom slučaju identični faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morat ćete izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje u rastavljanju nazivnika pomoću formule razlike kvadrata:

Odgovor:

A)

b) .

Pretvaranje razlomaka u novi nazivnik i smanjivanje razlomaka uglavnom se koriste za rad s razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Pri zbrajanju (oduzimanju) razlomci se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici zbrajaju (oduzimaju), ali nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomkom je množenje njegovim inverzom.

Primjer.

Prati korake .

Riješenje.

Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih pod zajednički nazivnik, a to je , nakon čega oduzimamo brojnike:

Sada množimo razlomke:

Očito je moguće smanjiti za potenciju x 1/2, nakon čega imamo .

Također možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku pomoću formule razlike kvadrata: .

Odgovor:

Primjer.

Pojednostavite Power Expression .

Riješenje.

Očito, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak . Jasno je da s ovlastima X-a treba učiniti još nešto. Da bismo to učinili, transformiramo dobiveni razlomak u proizvod. To nam daje mogućnost da iskoristimo svojstvo dijeljenja potencija s istim bazama: . I na kraju procesa prelazimo sa zadnjeg proizvoda na razlomak.

Odgovor:

.

Dodajmo i to da je moguće, au mnogim slučajevima i poželjno, faktore s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik, mijenjajući predznak eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti s .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

Često, u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz potencije su prisutni i korijeni s razlomačkim eksponentima. Da bi se takav izraz transformirao u željeni oblik, u većini slučajeva dovoljno je ići samo na korijene ili samo na potencije. Ali budući da je prikladnije raditi s moćima, obično se kreću od korijena do moći. Međutim, preporučljivo je provesti takav prijelaz kada vam ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena s ovlastima bez potrebe za pozivanjem na modul ili dijeljenjem ODZ-a u nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak prijelaz s korijena na potencije i natrag Nakon upoznavanja sa stupnjem s racionalnim eksponentom uvodi se stupanj s iracionalnim eksponentom koji nam omogućuje da govorimo o stupnju s proizvoljnim realnim eksponentom U ovoj fazi počinje biti učio u školi. eksponencijalna funkcija, koji je analitički dan potencijom čija je baza broj, a eksponent varijabla. Dakle, suočeni smo s izrazima potencije koji u bazi potencije sadrže brojeve, au eksponentu - izraze s varijablama, te se prirodno javlja potreba za izvođenjem transformacija takvih izraza.

Treba reći da se transformacija izraza navedenog tipa obično mora izvršiti prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe I eksponencijalne nejednakosti, a ove pretvorbe su prilično jednostavne. U velikoj većini slučajeva oni se temelje na svojstvima stupnja i uglavnom su usmjereni na uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednadžba će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najprije se potencije u čijim eksponentima nalazi zbroj određene varijable (ili izraza s varijablama) i broja zamjenjuju umnošcima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji član izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Zatim se obje strane jednakosti dijele s izrazom 7 2 x, koji na ODZ varijable x za izvornu jednadžbu uzima samo pozitivne vrijednosti (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ovog tipa, nismo sada govorimo o tome, stoga se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ):

Sada možemo poništiti razlomke s potencijama, što daje .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamijenjen je potencijama odnosa, što rezultira jednadžbom , što je ekvivalentno . Provedene transformacije omogućuju nam uvođenje nove varijable, koja rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe

Nakon što se utvrdi snaga broja, logično je govoriti o svojstva stupnja. U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva potencije broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stupnjeva, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva koriste pri rješavanju primjera.

Navigacija po stranici.

Svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima

Prema definiciji potencije s prirodnim eksponentom, potencija a n je umnožak n faktora od kojih je svaki jednak a. Na temelju ove definicije, a također i pomoću svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim eksponentom:

1. glavno svojstvo stupnja a m ·a n =a m+n, njegova generalizacija;
2. svojstvo kvocijentnih potencija s identičnim bazama a m:a n =a m−n ;
3. svojstvo snage proizvoda (a·b) n =a n ·b n , njegovo proširenje;
4. svojstvo kvocijenta prirodnog stupnja (a:b) n =a n:b n ;
5. dizanje stupnja na potenciju (a m) n =a m·n, njegova generalizacija (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. usporedba stupnja s nulom:
   • ako je a>0, tada je a n>0 za bilo koji prirodni broj n;
   • ako je a=0, tada je a n =0;
   • ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako je a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ako su a i b pozitivni brojevi i a
8. ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je 0 0 nejednakosti a m >a n vrijedi.

Odmah napomenimo da su sve napisane jednakosti identičan prema navedenim uvjetima, desni i lijevi dio mogu se zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m ·a n =a m+n sa pojednostavljivanje izrazačesto se koristi u obliku a m+n =a m ·a n .

Sada pogledajmo svaki od njih u detalje.

Pođimo od svojstva umnoška dviju potencija s istim bazama, koje se zove glavno svojstvo stupnja: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n vrijedi jednakost a m ·a n =a m+n.

Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Po definiciji potencije s prirodnim eksponentom, umnožak potencija s istim bazama oblika a m ·a n može se napisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, dobiveni izraz može se napisati kao , a taj umnožak je potencija broja a s prirodnim eksponentom m+n, odnosno a m+n. Ovo dovršava dokaz.

Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, koristeći osnovno svojstvo stupnjeva možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Provjerimo njegovu valjanost izračunavanjem vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5 . Izvođenjem potenciranja imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, budući da su dobivene jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 ·2 3 =2 5 točna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.

Osnovno svojstvo stupnja, temeljeno na svojstvima množenja, može se generalizirati na umnožak tri ili više potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, …, n k vrijedi jednakost: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Na primjer, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Možemo prijeći na sljedeće svojstvo potencija s prirodnim eksponentom – svojstvo kvocijentskih potencija s istim bazama: za bilo koji realni broj a različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m>n, vrijedi jednakost a m:a n =a m−n.

Prije iznošenja dokaza ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a≠0 je potreban da bi se izbjeglo dijeljenje s nulom jer je 0 n =0, a kada smo se upoznali s dijeljenjem složili smo se da ne možemo dijeliti s nulom. Uvjet m>n je uveden kako ne bismo išli dalje od prirodnih eksponenata. Doista, za m>n eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se događa za m−n) ili negativan broj (što se događa za m

Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam da zapišemo jednakost a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobivene jednakosti a m−n ·a n =a m i slijedi da je a m−n kvocijent potencija a m i a n . Time je dokazano svojstvo kvocijentskih potencija s identičnim bazama.

Navedimo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, jednakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odgovara razmatranom svojstvu stupnja.

Sada razmotrimo svojstvo snage proizvoda: prirodna potencija n umnoška bilo koja dva realna broja a i b jednaka je umnošku potencija a n i b n , odnosno (a·b) n =a n ·b n .

Doista, prema definiciji stupnja s prirodnim eksponentom, imamo . Na temelju svojstava množenja, posljednji proizvod može se prepisati kao , koji je jednak a n · b n .

Evo primjera: .

Ovo se svojstvo proteže na snagu umnoška tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stupnja n umnoška k faktora zapisano je kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Radi jasnoće, pokazat ćemo ovo svojstvo primjerom. Za umnožak tri faktora na potenciju broja 7 imamo .

Sljedeće svojstvo je svojstvo kvocijenta u naravi: kvocijent realnih brojeva a i b, b≠0 na prirodnu potenciju n jednak je kvocijentu potencija a n i b n, odnosno (a:b) n =a n:b n.

Dokaz se može izvesti korištenjem prethodnog svojstva. Tako (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a iz jednakosti (a:b) n ·b n =a n slijedi da je (a:b) n kvocijent a n podijeljen s b n .

Zapišimo ovo svojstvo koristeći određene brojeve kao primjer: .

Sada to izgovorimo svojstvo podizanja potencije na potenciju: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n potencija od a m na potenciju n jednaka je potenci broja a s eksponentom m·n, odnosno (a m) n =a m·n.

Na primjer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dokaz svojstva potencije na stupanj je sljedeći lanac jednakosti: .

Svojstvo koje se razmatra može se proširiti na stupanj na stupanj na stupanj, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s vrijedi jednakost . Radi veće jasnoće, ovdje je primjer s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ostaje se zadržati na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom.

Počnimo s dokazivanjem svojstva usporedbe nule i potencije s prirodnim eksponentom.

Prvo, dokažimo da je a n >0 za bilo koje a>0.

Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što proizlazi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja sugeriraju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A potencija broja a s prirodnim eksponentom n, po definiciji, umnožak je n faktora od kojih je svaki jednak a. Ovi nam argumenti omogućuju da ustvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Zbog dokazanog svojstva 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 i .

Sasvim je očito da je za svaki prirodni broj n s a=0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0.

Prijeđimo na negativne baze stupnja.

Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2·m, gdje je m prirodan broj. Zatim . Jer svaki od umnožaka oblika a·a je jednak umnošku modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će proizvod također biti pozitivan a stupanj a 2·m. Navedimo primjere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada . Svi umnošci a·a su pozitivni brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva također je pozitivan, a njegovim množenjem s preostalim negativnim brojem a dobiva se negativan broj. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Prijeđimo na svojstvo usporedbe potencija s istim prirodnim eksponentima koje ima sljedeću formulaciju: od dviju potencija s istim prirodnim eksponentima n je manji od onog čija je baza manja, a veći je onaj čija je baza veća . Dokažimo to.

Nejednakost a n svojstva nejednakosti istinita je i dokaziva nejednakost oblika a n (2.2) 7 i .

Ostaje još dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija s prirodnim eksponentima. Idemo to formulirati. Od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim pozitivnim bazama manjim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent manji; a od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim bazama većim od jedan veći je onaj čiji je eksponent veći. Prijeđimo na dokaz ovog svojstva.

Dokažimo to za m>n i 0 0 zbog početnog uvjeta m>n, što znači da je pri 0

Ostalo je dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da za m>n i a>1 a m >a n vrijedi. Razlika a m −a n nakon iznošenja n iz zagrade poprima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj umnožak je pozitivan, budući da je za a>1 stupanj a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 je pozitivan broj, budući da je m−n>0 zbog početnog uvjeta, a za a>1 stupanj a m−n je veće od jedan. Prema tome, a m −a n >0 i a m >a n , što je i trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustrira nejednakost 3 7 >3 2.

Svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima

Kako su prirodni brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s cijelim pozitivnim eksponentom u potpunosti podudaraju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.

Stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, definirali smo na način da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentom, izražena jednakostima, ostanu važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze potencija različite od nule.

Dakle, za sve realne brojeve a i b različite od nule, kao i za sve cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće: svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b−n ;
7. ako su m i n cijeli brojevi i m>n, tada je 0 1 vrijedi nejednakost a m >a n.

Kada je a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo napisana svojstva vrijede i za slučajeve kada je a=0 i kada su brojevi m i n prirodni brojevi.

Dokazati svako od ovih svojstava nije teško, dovoljno je koristiti definicije stupnjeva s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva operacija s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo stepena na stepen vrijedi i za pozitivne cijele brojeve i za nepozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, morate pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, tada vrijede jednakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Učinimo to.

Za pozitivne p i q jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom paragrafu. Ako je p=0, tada imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0·q. Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p·0. Ako su i p=0 i q=0, tada je (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0·0 =a 0 =1, odakle je (a 0) 0 =a 0·0.

Sada dokazujemo da je (a −p) q =a (−p)·q . Prema definiciji potencije s negativnim cijelim eksponentom, dakle . Po svojstvu kvocijenata na potencije imamo . Kako je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada je . Posljednji izraz, po definiciji, je potencija oblika a −(p·q), koja se, zbog pravila množenja, može napisati kao (−p)·q.

Također .

I .

Koristeći isti princip, možete dokazati sva druga svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom, napisanim u obliku jednakosti.

U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n koja vrijedi za bilo koji negativni cijeli broj −n i sve pozitivne a i b za koje je zadovoljen uvjet a . Budući da prema uvjetu a 0 . Umnožak a n · b n također je pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je dobiveni razlomak pozitivan kao kvocijent pozitivnih brojeva b n −a n i a n ·b n . Dakle, odakle a −n >b −n , što je i trebalo dokazati.

Posljednje svojstvo potencija s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao slično svojstvo potencija s prirodnim eksponentima.

Svojstva potencija s racionalnim eksponentima

Definirali smo stupanj s razlomačkim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, potencije s razlomačkim eksponentima imaju ista svojstva kao i potencije s cjelobrojnim eksponentima. Naime:

Dokaz svojstava stupnjeva s razlomljenim eksponentom temelji se na definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, te na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Pružimo dokaze.

Prema definiciji potencije s razlomačkim eksponentom i , tada . Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da napišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo , iz čega, po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom, imamo , a pokazatelj stečenog stupnja može se transformirati na sljedeći način: . Ovo dovršava dokaz.

Drugo svojstvo potencija s razlomačkim eksponentima dokazuje se na potpuno sličan način:

Preostale jednakosti se dokazuju koristeći slične principe:

Prijeđimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b, a b p . Zapišimo racionalni broj p kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uvjeti str<0 и p>0 u ovom slučaju uvjeti m<0 и m>0 prema tome. Za m>0 i a

Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, odnosno i a p >b p .

Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da za racionalne brojeve p i q vrijedi p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q . Racionalne brojeve p i q uvijek možemo svesti na zajednički nazivnik, čak i ako dobijemo obične razlomke i , gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n prirodan broj. U tom slučaju će uvjet p>q odgovarati uvjetu m 1 >m 2, što slijedi iz. Zatim, svojstvom usporedbe potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima na 0 1 – nejednakost a m 1 >a m 2 . Ove nejednakosti u svojstvima korijena mogu se prepisati u skladu s tim kao I . A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje nam da prijeđemo na nejednakosti i, prema tome. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0 0 – nejednakost a p >a q .

Svojstva potencija s iracionalnim eksponentima

Iz načina definiranja stupnja s iracionalnim eksponentom možemo zaključiti da on ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva potencija s iracionalnim eksponentima:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p·q ;
6. za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 nejednadzbi a p b p ;
7. za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q .

Iz ovoga možemo zaključiti da potencije s bilo kojim realnim eksponentom p i q za a>0 imaju ista svojstva.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).