तृतीय क्रम अंतर योजना सूत्र. हाइपरबोलिक प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके (परिवहन समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके)। समस्या का निरूपण. विधि एल्गोरिथ्म

ग्रिड और टेम्पलेट. अधिकांश अंतर योजनाओं के लिए, ग्रिड नोड्स कुछ सीधी रेखाओं (बहुआयामी समस्याओं में - हाइपरप्लेन) के चौराहे पर स्थित होते हैं, जो या तो प्राकृतिक समन्वय प्रणाली में या विशेष रूप से आकार में चयनित क्षेत्र में खींची जाती हैं। जी.

यदि किसी एक चर का समय का भौतिक अर्थ है टी, तो ग्रिड का निर्माण आमतौर पर इस तरह किया जाता है कि इसकी रेखाओं (या हाइपरप्लेन) के बीच में रेखाएं हों टी = टी एम. ऐसी लाइन या हाइपरप्लेन पर पड़े ग्रिड नोड्स के सेट को लेयर कहा जाता है।

प्रत्येक परत पर, दिशाओं की पहचान की जाती है जिसके साथ केवल एक स्थानिक समन्वय बदलता है। उदाहरण के लिए, चर के लिए एक्स, य, टीदिशाएं हैं एक्स (टी = कॉन्स्ट, य = कॉन्स्ट) और दिशा य (टी = कॉन्स्ट, एक्स = कॉन्स्ट).

अंतर योजनाओं (26.2) और (26.4) को संकलित करते समय, हमने क्षेत्र के सभी आंतरिक नोड्स पर डेरिवेटिव के समान प्रकार के अंतर सन्निकटन का उपयोग किया। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित ग्रिड नोड के आसपास प्रत्येक अंतर समीकरण लिखते समय, समान संख्या में नोड्स लिए गए, जिससे एक कड़ाई से परिभाषित कॉन्फ़िगरेशन बनता है, जिसे हम इस अंतर योजना का टेम्पलेट कहते हैं (चित्र 26.2 देखें)।

परिभाषा। जिन नोड्स में अंतर योजना टेम्पलेट पर लिखी जाती है उन्हें नियमित कहा जाता है, और बाकी को अनियमित कहा जाता है।

अनियमित आमतौर पर सीमा नोड्स होते हैं, और कभी-कभी सीमा के पास स्थित नोड्स भी होते हैं (जैसे कि इस नोड के पास लिया गया पैटर्न क्षेत्र की सीमा से परे जाता है)।

एक अंतर योजना तैयार करना एक टेम्पलेट चुनने से शुरू होता है। टेम्प्लेट हमेशा अंतर योजना को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन यह इसके गुणों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है; उदाहरण के लिए, बाद में हम इसे टेम्पलेट चित्र में देखेंगे। 26.2 बीऊष्मा चालन समस्या (26.1) के लिए एक अच्छी अंतर योजना बनाना असंभव है। प्रत्येक प्रकार के समीकरण और सीमा मान समस्याओं के लिए अपने स्वयं के टेम्पलेट की आवश्यकता होती है।

स्पष्ट और अंतर्निहित अंतर योजनाएं

आइए वास्तव में अंतर समाधान की गणना के मुद्दे पर चर्चा करें। अधिकांश भौतिकी समस्याएं ऐसे समीकरणों की ओर ले जाती हैं जिनमें समय को एक चर के रूप में शामिल किया जाता है। ऐसे समीकरणों के लिए, आमतौर पर एक मिश्रित सीमा मान समस्या उत्पन्न की जाती है, जिसका एक विशिष्ट मामला ऊष्मा चालन समस्या (26.1) है।

ऐसी समस्याओं के लिए परत-दर-परत गणना एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है। आइए हम योजनाओं (26.2) और (26.4) के उदाहरण का उपयोग करके इस पर विचार करें।

मूल परत पर योजना (26.4) में एम= 0 प्रारंभिक स्थिति के कारण समाधान ज्ञात है। चलो रखो एम= समीकरणों में 0 (26.4)। फिर प्रत्येक सूचकांक मान के लिए एनसमीकरण में एक अज्ञात शामिल है ; यहां से हम निर्धारित कर सकते हैं पर
मान और सीमा शर्तों (26.3) द्वारा निर्धारित होते हैं। इस प्रकार, पहली परत में मानों की गणना की जाती है। उनका उपयोग करके, दूसरी परत पर समाधान की गणना इसी तरह की जाती है, आदि।

प्रत्येक समीकरण में योजना (26.4) में अगली परत पर फ़ंक्शन का केवल एक मान होता है; यह मान मूल परत पर फ़ंक्शन के ज्ञात मानों के माध्यम से स्पष्ट रूप से व्यक्त करना आसान है, यही कारण है कि ऐसी योजनाओं को स्पष्ट कहा जाता है।

योजना (26.2) में प्रत्येक समीकरण में एक नई परत पर फ़ंक्शन के कई अज्ञात मान शामिल हैं; ऐसी योजनाओं को अंतर्निहित कहा जाता है। वास्तव में समाधान की गणना करने के लिए, हम सीमा स्थिति (26.3) को ध्यान में रखते हुए योजना (26.2) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं

(26.5)

प्रत्येक परत पर, योजना (26.5) मात्रा निर्धारित करने के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है
; इन समीकरणों के दाहिने हाथ ज्ञात हैं क्योंकि उनमें पिछली परत से समाधान मान शामिल हैं। रैखिक प्रणाली का मैट्रिक्स त्रिविकर्णीय है, और समाधान की गणना बीजगणितीय स्वीप द्वारा की जा सकती है।

अब माना गया एल्गोरिदम काफी विशिष्ट है। इसका उपयोग एक-आयामी और बहु-आयामी समस्याओं के लिए कई अंतर्निहित अंतर योजनाओं में किया जाता है। आगे हम अनुक्रमणिका के स्थान पर करेंगे एमसंक्षिप्ताक्षरों का बार-बार उपयोग करें

इस नोटेशन में, स्पष्ट और अंतर्निहित अंतर योजनाएं क्रमशः निम्नलिखित रूप लेती हैं:

अवशिष्ट. आइए सामान्य रूप के एक ऑपरेटर अंतर समीकरण पर विचार करें (जरूरी नहीं कि रैखिक)

ए.यू. = एफ, या ए.यू. – एफ = 0.

ऑपरेटर का प्रतिस्थापन एअंतर ऑपरेटर ए एच, दाहिनी ओर एफ- कुछ ग्रिड फ़ंक्शन , और सटीक समाधान यू- अंतर समाधान यआइए अंतर योजना लिखें

या
. (26.6)

यदि हम सटीक समाधान प्रतिस्थापित करते हैं यूसंबंध (26.6) में, तो समाधान, सामान्यतया, इस संबंध को संतुष्ट नहीं करेगा
. आकार

अवशिष्ट कहा जाता है.

अवशिष्ट का अनुमान आमतौर पर टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके लगाया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए ऊष्मा समीकरण (26.1ए) के लिए स्पष्ट अंतर योजना (26.4) का अवशेष ज्ञात करें। आइए इस समीकरण को विहित रूप में लिखें

क्योंकि इस मामले में
वह

आइए हम नोड के पास टेलर सूत्र का उपयोग करके समाधान का विस्तार करें ( एक्स एन , टी एम), के संबंध में निरंतर चौथे व्युत्पन्न के अस्तित्व को मानते हुए एक्सऔर दूसरे में टी

(26.7)

कहाँ

इन विस्तारों को अवशिष्ट की अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना और व्युत्पन्नों की निरंतरता के कारण मात्राओं में अंतर की उपेक्षा करना
से ( एक्स एन , टी एम) हम ढूंढ लेंगे

(26.8)

इस प्रकार, विसंगति (26.8) शून्य हो जाती है
और
मूल समस्या से अंतर योजना की निकटता अवशिष्ट के परिमाण से निर्धारित होती है। यदि विसंगति शून्य हो जाती है एचऔर शून्य की ओर रुझान होने पर, हम कहते हैं कि ऐसी अंतर योजना अंतर समस्या का अनुमान लगाती है। सन्निकटन है आरवें क्रम यदि
.

अभिव्यक्ति (26.8) केवल नियमित ग्रिड नोड्स पर विसंगति देता है। (26.3) और (26.1बी) की तुलना करके, हम अनियमित नोड्स में विसंगति आसानी से पा सकते हैं

नोट 1।क्षेत्र में एक स्थिर गुणांक (26.1) के साथ ताप संचालन समस्या का समाधान लगातार अनंत बार भिन्न होता है। हालाँकि, टेलर श्रृंखला विस्तार (26.7) में पांचवें या अधिक डेरिवेटिव को ध्यान में रखने से अवशिष्ट (26.8) में लघुता के उच्च क्रम के केवल शब्द जुड़ जाएंगे। और एच, अर्थात। मूलतः अवशिष्ट का प्रकार नहीं बदलेगा।

नोट 2।मान लीजिए, किसी कारण से, मूल समस्या का समाधान कम संख्या में भिन्न हो सकता है; उदाहरण के लिए, एक परिवर्तनीय तापीय चालकता गुणांक वाली समस्याओं में जो सुचारू है लेकिन दूसरा व्युत्पन्न नहीं है, समाधान में केवल तीसरा निरंतर व्युत्पन्न है। फिर टेलर श्रृंखला विस्तार (26.7) में अंतिम पद होंगे
बिल्कुल एक दूसरे को मुआवजा नहीं दे रहे हैं। इससे इस प्रकार के पद के अवशिष्ट (26.8) में उपस्थिति होगी
वे। विसंगति चार गुना लगातार भिन्न समाधानों की तुलना में छोटेपन के निचले क्रम की होगी।

नोट 3।इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अवशिष्ट अभिव्यक्ति को रूपांतरित करना कि इसमें फ़ंक्शन शामिल है यू(एक्स,टी) मूल समीकरण का सटीक समाधान है और संबंध इसके लिए संतुष्ट हैं

इस व्यंजक को (26.8) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

यदि हम अंतरिक्ष और समय में कदम चुनते हैं तो
तब अवशिष्ट का अग्रणी पद लुप्त हो जाएगा और केवल लघुता के उच्च क्रम के पद ही रह जाएंगे और एच(जिसे हमने छोड़ दिया)। इस तकनीक का उपयोग बढ़ी हुई सटीकता की अंतर योजनाओं का निर्माण करते समय किया जाता है।

कूरेंट-इसाकसन-रीज़ योजना(केआईआर), जिसे कभी-कभी एस.के. नाम से भी जोड़ा जाता है। गोडुनोव, यह तब पता चला जब, . इसका सन्निकटन क्रम है। KIR योजना सशर्त रूप से स्थिर है, अर्थात। जब कोर्टेंट की शर्त पूरी हो जाती है . आइए हम कम्प्यूटेशनल डोमेन के आंतरिक बिंदुओं पर कूरेंट-इसाकसन-रीज़ योजना के लिए अंतर समीकरण प्रस्तुत करें:

इन योजनाओं को स्कीम विद डिफरेंसेस अपवाइंड (अंग्रेजी साहित्य में - अपविंड) के रूप में भी लिखा जा सकता है

उनका लाभ समाधान के निर्भरता क्षेत्र का अधिक सटीक विवरण है। यदि हम संकेतन का परिचय दें

तो दोनों योजनाओं को निम्नलिखित रूपों में लिखा जा सकता है:

(अंतर समीकरण का प्रवाह रूप);

(यहां दूसरे अंतर वाला शब्द स्पष्ट रूप से हाइलाइट किया गया है, जो योजना को स्थिरता देता है);

(परिमित वेतन वृद्धि में समीकरण)।

आइए हम भी विचार करें अनिश्चित गुणांक की विधिएक अंतर योजना का निर्माण करने के लिए, परिवहन समीकरण के लिए सटीकता के पहले क्रम का दायां कोना

योजना को प्रपत्र में प्रस्तुत किया जा सकता है

कूरेंट-इसाकसन-रीस योजना विशेषताओं के संख्यात्मक तरीकों से निकटता से संबंधित है। आइए हम ऐसे तरीकों के विचार का संक्षिप्त विवरण दें।

अंतिम दो प्राप्त योजनाओं (स्थानांतरण दर के विभिन्न संकेतों के साथ) की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। आइए नोड (t n + 1, x m) से गुजरने वाली एक विशेषता का निर्माण करें, जिस पर मान निर्धारित किया जाना चाहिए, और बिंदु पर परत t n को प्रतिच्छेद करना चाहिए . निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि स्थानांतरण दर c सकारात्मक है।

समय में निचली परत पर नोड्स x m - 1 और x m के बीच रैखिक प्रक्षेप करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इसके बाद, हम मान u n (x") को ऊपरी परत t n + 1 में बदले बिना विशेषता के साथ स्थानांतरित करते हैं, यानी हम डालते हैं . अंतिम मान को अनुमानित समाधान मानना ​​स्वाभाविक है सजातीय समीकरणस्थानांतरण करना। इस मामले में

या, कूरेंट संख्या से फिर से ग्रिड पैरामीटर की ओर बढ़ते हुए,

वे। एक अन्य विधि का उपयोग करके हम पहले से ही ज्ञात "बाएँ कोने" योजना पर पहुँचे, जो कि के लिए स्थिर है। जब समय में n-वें परत के साथ नोड (t n + 1, x m) को छोड़ने वाली विशेषता का प्रतिच्छेदन बिंदु नोड के बाईं ओर स्थित होता है (t n, x m - 1)। इस प्रकार, एक समाधान खोजने के लिए, यह अब प्रक्षेप नहीं, बल्कि बहिर्वेशन है, जो अस्थिर हो जाता है।

C > 0 के लिए "दाएँ कोने" योजना की अस्थिरता भी स्पष्ट है। इसे सिद्ध करने के लिए, कोई या तो वर्णक्रमीय विशेषता या कूरेंट, फ्रेडरिक्स और लेवी स्थिति का उपयोग कर सकता है। केस सी के लिए भी इसी तरह का तर्क दिया जा सकता है< 0 и схемы "правый уголок".

अस्थिर चार-बिंदु सर्किटकब पता चलता है , इसके सन्निकटन का क्रम। अंतर योजना के लिए ग्रिड समीकरण निम्नलिखित रूप होंगे:

लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजनातब होता है जब . लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना के सन्निकटन का क्रम है . कूरेंट शर्त के तहत योजना स्थिर है .

यह योजना या तो अनिर्धारित गुणांक की विधि से प्राप्त की जा सकती है, या सन्निकटन त्रुटि के अग्रणी पद को अधिक सटीक रूप से ध्यान में रखकर प्राप्त की जा सकती है। आइए लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना की व्युत्पत्ति की प्रक्रिया पर अधिक विस्तार से विचार करें। सन्निकटन के लिए पिछली चार-बिंदु योजना का अध्ययन करते हुए (और अध्ययन काफी प्राथमिक है और टेलर श्रृंखला में अंतर समस्या के सटीक समाधान के ग्रिड पर प्रक्षेपण फ़ंक्शन का विस्तार करने के लिए नीचे आता है), हम मुख्य के लिए प्राप्त करते हैं त्रुटि की अवधि

सन्निकटन त्रुटि के मुख्य पद के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते समय, मूल अंतर परिवहन समीकरण के परिणाम का उपयोग किया गया था

जो मूल समीकरण (3.3) को पहले समय टी के संबंध में, फिर एक्स समन्वय के संबंध में और परिणामी संबंधों में से एक को दूसरे से घटाकर प्राप्त किया जाता है।

अगला, प्रतिस्थापित करना दूसरा व्युत्पन्नदाहिनी ओर के दूसरे पद में O(h 2) की सटीकता के साथ, हमें एक नई अंतर योजना प्राप्त होती है जो मूल का अनुमान लगाती है अंतर समीकरणसटीकता के साथ . कम्प्यूटेशनल ग्रिड के आंतरिक नोड्स पर लैक्स-वेंड्रॉफ योजना के लिए ग्रिड समीकरण हैं

निहित छह सूत्री योजना q = 0 पर होता है; जब यह सन्निकटन का क्रम है , पर ।

उदाहरण 1. अण्डाकार प्रकार के पॉइसन समीकरण के लिए अंतर योजना।

आइए समीकरण के लिए पहली सीमा मान समस्या के लिए एक अंतर योजना के निर्माण पर विचार करें ए यू = एफ(एक्स,वाई)एक ऐसे क्षेत्र में जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला एक आयत है। इस आयत को चरणों के साथ एक समान ग्रिड से संबद्ध होने दें एच एक्सऔर एच वाई .

सीमा मूल्य समस्या

ऑपरेटर फॉर्म में लिखा जा सकता है:

ध्यान दें कि इस प्रविष्टि में सीमा शर्तें भी शामिल हैं।

अंतर ऑपरेटरों को अंतर ऑपरेटरों के साथ बदलने पर, हमें समीकरण प्राप्त होते हैं

जो दूसरे क्रम के साथ मूल अंतर समीकरण का अनुमान लगाता है 0(एच 2 + एच 2) क्षेत्र के सभी आंतरिक बिंदुओं पर सटीकता और संचालन।

सीमा स्थितियों के अंतर एनालॉग्स का रूप होगा

अंतर समीकरण का अंतर सन्निकटन सीमा स्थितियों के अंतर एनालॉग्स के साथ मिलकर पॉइसन समीकरण के लिए एक अंतर योजना बनाता है।

सीमा मूल्य समस्या के अनुरूप, अंतर योजना को ऑपरेटर रूप में लिखा जा सकता है:

जहां एल/ में, अंतर समीकरण और अंतर सीमा स्थिति दोनों शामिल हैं:

अंतर समीकरण पांच बिंदुओं पर ग्रिड फ़ंक्शन के मूल्यों से संबंधित है अंतर पैटर्नइस समीकरण के लिए. इस मामले के लिए, इस पैटर्न को कहा जाता है पार करना।इस समीकरण के लिए अन्य पैटर्न की कल्पना की जा सकती है।

यदि हम डोमेन के सभी आंतरिक नोड्स पर ग्रिड फ़ंक्शन के मान निर्धारित करते हैं, तो हम अंतर सीमा मान समस्या का अनुमानित समाधान प्राप्त करेंगे। ऐसा करने के लिए, बीजगणितीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संयुक्त रूप से हल करना आवश्यक है, जिसका आयाम क्षेत्र के आंतरिक नोड्स की संख्या के बराबर है। इस मामले में, हम एक अंतर्निहित अंतर योजना के बारे में बात करते हैं। कोई भी मूल्य जिसमें हम रुचि रखते हैं उइजसंपूर्ण अंतर समस्या के समाधान से ही निर्धारित किया जा सकता है।

समीकरणों की प्रणाली के संबंध में, हम दो परिस्थितियों पर ध्यान देते हैं।

• 1. सिस्टम का आयाम बहुत ऊंचा है (एम - 1) x (एन- 1), और सटीक समाधान के पारंपरिक तरीकों (उदाहरण के लिए, गॉस विधि) को समाधान के लिए सिस्टम के आयाम की तीसरी शक्ति के आनुपातिक कई बीजगणितीय संचालन की आवश्यकता होती है।
• 2. सिस्टम मैट्रिक्स में कई शून्य तत्व (ढीले मैट्रिक्स) हैं। यह परिस्थिति अनुमानित समाधानों के लिए किफायती तरीके विकसित करना संभव बनाती है।

अंतर समस्या का सुविचारित सूत्रीकरण अण्डाकार समीकरणों के लिए विशिष्ट है। गैस गतिकी में, यह धारा फ़ंक्शन या वेग क्षमता के लिए समीकरण का रूप है। अन्य अनुभागों में हम ऐसी अंतर योजनाओं को हल करने के लिए कुशल तरीकों पर गौर करेंगे।

चावल। 2.8.

पीआरआई एम 2. सरलतम परवलयिक समीकरण (इकाई लंबाई की एक छड़ में गैर-स्थिर तापीय चालकता) के लिए अंतर योजना।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

आइए ध्यान दें कि परवलयिक समीकरण के मामले में हमारे पास एक खुला क्षेत्र है। अंतर योजना का निर्माण करते समय, स्थान और समय में अंतर डेरिवेटिव के बीच संबंध के लिए कई विकल्प सामने आते हैं।

आइए समीकरण को एक समय चरण के भीतर एकीकृत करें:

दाईं ओर अभिन्न की गणना करने के लिए हम किस चतुर्भुज सूत्र का उपयोग करते हैं, इसके आधार पर, हम विभिन्न अंतर योजनाएं प्राप्त करेंगे (चित्र 2.9)।

अंतर समय व्युत्पन्न को परिभाषित स्थानिक व्युत्पन्न से संबंधित करके पी-वीं बार परत, हमें मिलती है

स्पष्ट 'अंतर योजना'

यह (2.12) के दाईं ओर अभिन्न की अनुमानित गणना के बराबर है, लेकिन बाएं आयतों की विधि का उपयोग करके।

चावल। 2.9. ताप समीकरण के लिए ग्रिड और टेम्पलेट: ए -क्षेत्र और ग्रिड; बी- स्पष्ट स्कीमा टेम्पलेट; वी- अंतर्निहित स्कीमा टेम्पलेट; जी- छह-बिंदु सर्किट के परिवार का टेम्पलेट; डी- आरेख टेम्पलेट

"छलाँग लगानेवाला"

उपरोक्त सूत्र में ग्रिड समीकरणों को हल करने की एक विधि भी शामिल है:

अगली बार परत पर ग्रिड फ़ंक्शन मान

पिछले वाले में gf के ज्ञात मानों के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। प्रारंभिक स्थिति से परतों में क्रमिक रूप से आगे बढ़ना उनका, 0) = वाई(एक्स),समाधान संपूर्ण कम्प्यूटेशनल डोमेन में पाया जा सकता है। इस योजना का अंतर पैटर्न चित्र में दिखाया गया है। 2.9, बी.

परत पर इंटीग्रैंड के मूल्य के माध्यम से इंटीग्रल का अनुमान लगाना पी+ 1, हम चित्र जैसे अंतर टेम्पलेट का उपयोग करते हैं। 2.9, बी, और अंतर समीकरण का अंतर एनालॉग रूप लेता है

अगली समय परत पर ग्रिड फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए, इस अंतर योजना का उपयोग करते समय, फॉर्म (2.14) के उतने समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करना आवश्यक है जितने पर आंतरिक नोड स्थित हैं पी - 1-पहली अस्थायी परत. सीमा शर्तों = / n+1, Mg Г +1 = m n+1 को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम हमें पिछले समय पर ग्रिड फ़ंक्शन के ज्ञात मूल्यों के साथ अगली समय परत पर एक समाधान बनाने की अनुमति देता है। परतों में प्रारंभिक मानों से आगे बढ़ते हुए, जिनमें से प्रत्येक पर समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, पूरे डोमेन में एक अनुमानित समाधान बनाना संभव है।

सुविचारित अंतर योजना एक उदाहरण है अंतर्निहित अंतर योजना,इसे आगे की ओर देखने वाली योजना या पूरी तरह से अंतर्निहित योजना कहा जाता है।

छह-बिंदु अंतर पैटर्न अंतर योजनाओं का एक परिवार उत्पन्न करता है, जिनमें से पिछले दो विशेष मामले हैं:

पर ए = 0 हमारे पास एक स्पष्ट योजना है ए = मैं- अग्रिम के साथ निहित, साथ ए> 0 - निहित. पर ए - 0.5 से हम सममित प्राप्त करते हैं, जो कंप्यूटिंग अभ्यास में व्यापक रूप से जाना जाता है क्रैंक निकोलसन का आरेख.

उपरोक्त योजनाएं, निश्चित रूप से, अंतर ऑपरेटरों के अंतर अनुमान के आधार पर विभिन्न प्रकार की अंतर योजनाओं को समाप्त नहीं करती हैं। यहां समय व्युत्पन्न केंद्रीकरण पर आधारित एक स्पष्ट अंतर योजना का उदाहरण दिया गया है, तीन समय परतों पर ग्रिड फ़ंक्शन का उपयोग करने वाली एक योजना:

अंतर पैटर्न तीन समय परतों को पकड़ता है। इस योजना में समय और स्थानिक चर दोनों में सन्निकटन का दूसरा क्रम है और यह स्पष्ट है। इस योजना में कई महत्वपूर्ण कमियाँ हैं, जिनमें से अधिकांश को प्रतिस्थापित करके समाप्त किया जा सकता है औरदो समय परतों पर औसत मूल्य द्वारा स्थानिक व्युत्पन्न के सन्निकटन में:

इस प्रकार स्पष्ट तीन-परत योजना प्राप्त हुई

बुलाया ड्यूफोर्टपे-फ्रैंकेल योजना, और केंद्रीय नोड में ग्रिड फ़ंक्शन मान की अनुपस्थिति "लीपफ्रॉग" नाम की व्याख्या करती है, जिसका उपयोग कभी-कभी इस प्रकार की योजनाओं के लिए किया जाता है।

उदाहरणों का उपयोग करके, यह दिखाया गया कि एक ही सीमा मूल्य समस्या के लिए कई अलग-अलग अंतर योजनाएं लिखना संभव है, यानी। शोधकर्ता के पास अपने निपटान में काफी बड़ा चयन है। मूल अंतर समस्या के समाधान के अनुरूप अंतर समाधान के लिए अंतर योजना को किन शर्तों को पूरा करना चाहिए? इस मुद्दे पर अगले भाग में चर्चा की जाएगी।

समाधान क्षेत्र के प्रत्येक आंतरिक नोड के लिए एक टेम्पलेट का उपयोग करके, ताप समीकरण का अनुमान लगाया जाता है

यहाँ से हम पाते हैं:

प्रारंभिक और सीमा स्थितियों का उपयोग करते हुए, ग्रिड फ़ंक्शन के मान शून्य समय स्तर पर सभी नोड्स पर पाए जाते हैं।

फिर संबंधों का उपयोग करें

इन फ़ंक्शंस के मान पहले समय स्तर पर सभी आंतरिक नोड्स में पाए जाते हैं, जिसके बाद हम सीमा नोड्स पर मान पाते हैं

परिणामस्वरूप, हम पहली बार स्तर पर सभी नोड्स में सुविधाओं का मूल्य पाते हैं। उसके बाद, इन संबंधों का उपयोग करके हम अन्य सभी मान आदि ज्ञात करते हैं।

विचाराधीन अंतर योजना में, अगले समय स्तर पर वांछित फ़ंक्शन का मान सीधे, स्पष्ट रूप से सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है

इसलिए, इस पैटर्न का उपयोग करके विचाराधीन अंतर योजना को कहा जाता है स्पष्ट अंतर योजना . इसकी सटीकता परिमाण के क्रम की है।

इस अंतर योजना का उपयोग करना आसान है, लेकिन इसमें एक महत्वपूर्ण खामी है। यह पता चला है कि स्पष्ट अंतर योजना एक स्थिर समाधान है केवल उस स्थिति में, यदि शर्त पूरी होती है :

स्पष्ट अंतर योजना सशर्त रूप से स्थिर है . यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो छोटी गणना त्रुटियां, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर डेटा को गोल करने से जुड़ी त्रुटियां, समाधान में तेज बदलाव लाती हैं। समाधान अनुपयोगी हो जाता है. यह स्थिति समय कदम पर बहुत सख्त प्रतिबंध लगाती है, जो इस समस्या को हल करने के लिए गणना समय में उल्लेखनीय वृद्धि के कारण अस्वीकार्य हो सकता है।

एक अलग पैटर्न का उपयोग करके एक अंतर योजना पर विचार करें

विधि 36

ऊष्मा समीकरण के लिए अंतर्निहित अंतर योजना।

आइए ऊष्मा चालन समीकरण में स्थानापन्न करें:

यह संबंध समय स्तर पर प्रत्येक आंतरिक नोड के लिए लिखा गया है और दो संबंधों द्वारा पूरक है जो सीमा नोड्स पर मान निर्धारित करते हैं। परिणाम समय स्तर पर फ़ंक्शन के अज्ञात मूल्यों को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली है।

समस्या समाधान योजना इस प्रकार है:

प्रारंभिक और सीमा स्थितियों का उपयोग करके, फ़ंक्शन का मान शून्य समय स्तर पर पाया जाता है। फिर, इन संबंधों और सीमा स्थितियों का उपयोग करके, पहली बार स्तर पर फ़ंक्शन के मान को खोजने के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण किया जाता है, जिसके बाद इन संबंधों का उपयोग करके सिस्टम को फिर से बनाया जाता है, और मान पाए जाते हैं दूसरे समय के स्तर पर, आदि।

स्पष्ट स्कीमा से अंतर- अगले समय स्तर पर मूल्यों की गणना सीधे तैयार सूत्र का उपयोग करके नहीं की जाती है, बल्कि समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके पाई जाती है, अर्थात। SLAE को हल करके अज्ञात के मान अंतर्निहित रूप से पाए जाते हैं। इसलिए, अंतर योजना को अंतर्निहित कहा जाता है। स्पष्ट के विपरीत, अंतर्निहित बिल्कुल स्थिर है।

विषय संख्या 9

अनुकूलन समस्याएं.

ये समस्याएँ व्यावहारिक गणित की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से हैं। अनुकूलन का अर्थ है किसी समस्या के सभी संभावित समाधानों में से सर्वोत्तम विकल्प चुनना। ऐसा करने के लिए, हल की जा रही समस्या को गणितीय रूप में तैयार करना आवश्यक है, जो बेहतर या बदतर की अवधारणाओं को मात्रात्मक अर्थ देता है। आमतौर पर, समाधान प्रक्रिया के दौरान अनुकूलित पैरामीटर मान ढूंढना आवश्यक होता है। इन मापदंडों को कहा जाता है डिज़ाइन और डिज़ाइन मापदंडों की संख्या निर्धारित करती है समस्या का आयाम.

डिज़ाइन मापदंडों के आधार पर एक निश्चित फ़ंक्शन का उपयोग करके समाधान का मात्रात्मक मूल्यांकन किया जाता है। इस फ़ंक्शन को कहा जाता है लक्ष्य . इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है कि सबसे इष्टतम मान अधिकतम (न्यूनतम) से मेल खाता है।

- उद्देश्य समारोह।

सबसे सरल मामले तब होते हैं जब उद्देश्य फ़ंक्शन एक पैरामीटर पर निर्भर करता है और एक स्पष्ट सूत्र द्वारा निर्दिष्ट होता है। कई लक्ष्य कार्य हो सकते हैं.

उदाहरण के लिए, किसी विमान को डिज़ाइन करते समय, अधिकतम विश्वसनीयता, न्यूनतम वजन और लागत आदि को एक साथ सुनिश्चित करना आवश्यक है। ऐसे मामलों में, प्रवेश करें प्राथमिकता प्रणाली . प्रत्येक उद्देश्य फ़ंक्शन को एक निश्चित लक्ष्य गुणक सौंपा गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक सामान्यीकृत उद्देश्य फ़ंक्शन (ट्रेड-ऑफ़ फ़ंक्शन) होता है।

आमतौर पर इष्टतम समाधान समस्या के भौतिक कार्य से संबंधित कई स्थितियों द्वारा सीमित होता है। ये स्थितियाँ समानता या असमानता के रूप में हो सकती हैं

प्रतिबंधों की उपस्थिति में अनुकूलन समस्याओं को हल करने के सिद्धांत और तरीके अनुप्रयुक्त गणित की शाखाओं में से एक में शोध का विषय हैं - गणितीय प्रोग्रामिंग.

यदि उद्देश्य फ़ंक्शन डिज़ाइन मापदंडों के संबंध में रैखिक है और मापदंडों पर लगाए गए प्रतिबंध भी रैखिक हैं, तो रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या . आइए एक-आयामी अनुकूलन समस्या को हल करने के तरीकों पर विचार करें।

उन मानों को खोजना आवश्यक है जिन पर उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम मान होता है। यदि उद्देश्य फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया गया है और इसके डेरिवेटिव के लिए एक अभिव्यक्ति पाई जा सकती है, तो इष्टतम समाधान या तो खंड के अंत में या उन बिंदुओं पर प्राप्त किया जाएगा जहां व्युत्पन्न गायब हो जाता है। ये महत्वपूर्ण बिंदु हैं और. सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन के मान ज्ञात करना और अधिकतम एक का चयन करना आवश्यक है।

सामान्य तौर पर, समाधान खोजने के लिए विभिन्न खोज विधियों का उपयोग किया जाता है। परिणामस्वरूप, इष्टतम समाधान वाला खंड संकीर्ण हो जाता है।

आइए कुछ खोज विधियों पर नजर डालें। आइए मान लें कि अंतराल पर वस्तुनिष्ठ फलन का एक अधिकतम है। इस मामले में, नोडल बिंदुओं से विभाजित करके, जिनकी संख्या है, इन नोडल बिंदुओं पर उद्देश्य फ़ंक्शन की गणना की जाती है। आइए मान लें कि उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम मान नोड पर होगा, तो हम मान सकते हैं कि इष्टतम समाधान अंतराल पर स्थित है। परिणामस्वरूप, इष्टतम समाधान वाला खंड संकुचित हो गया। परिणामी नया खंड फिर से भागों आदि में विभाजित हो जाता है। प्रत्येक विभाजन के साथ, इष्टतम समाधान वाला खंड एक कारक से कम हो जाता है।

आइए मान लें कि संकुचन के चरण पूरे कर लिए गए हैं। फिर मूल खंड एक कारक से कम हो जाता है।

यानी, हम इसे चलते समय करते हैं (*)

इस मामले में, उद्देश्य फ़ंक्शन की गणना की जाती है।

ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक है जिससे अभिव्यक्ति (*) सबसे छोटा प्राप्त हो

गणनाओं की संख्या.

विधि 37

अर्धविभाजन विधि.

आइए खोज विधि पर विचार करें। इसे आधा करने की विधि कहा जाता है, क्योंकि प्रत्येक चरण में इष्टतम समाधान वाला खंड आधा कर दिया जाता है।

खोज की दक्षता को विशेष रूप से उन बिंदुओं का चयन करके बढ़ाया जा सकता है जिन पर एक निश्चित संकीर्ण चरण में उद्देश्य फ़ंक्शन की गणना की जाती है।

विधि 38

स्वर्ण खंड विधि.

एक प्रभावी तरीका स्वर्णिम अनुपात विधि है। किसी खंड का स्वर्णिम खंड वह बिंदु है जिसके लिए शर्त संतुष्ट होती है

ऐसे दो बिंदु हैं: =0.382 +0.618

0,618 +0,382 .

खंड को बिंदुओं से विभाजित किया जाता है और फिर एक बिंदु पाया जाता है जिस पर उद्देश्य फ़ंक्शन अधिकतम होता है। परिणामस्वरूप, 0.618(-) की लंबाई वाला एक संशोधित खंड पाया जाता है।

संकुचित खंड के लिए स्वर्ण खंड का एक मान पहले से ही ज्ञात है, इसलिए प्रत्येक बाद के चरण में केवल एक बिंदु (स्वर्ण खंड का दूसरा बिंदु) पर उद्देश्य फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक है।

विधि 39

समन्वय-दर-समन्वय आरोहण (अवरोहण) की विधि।

आइए उस मामले में अनुकूलन समस्या पर विचार करें जहां उद्देश्य फ़ंक्शन कई पैरामीटर मानों पर निर्भर करता है। सबसे सरल खोज विधि समन्वय-दर-समन्वय आरोहण (वंश) की विधि है।

गणित और गणितीय विश्लेषण

अंतर योजना के समाधान को अंतर समस्या का अनुमानित समाधान कहा जाता है। अंतर्निहित अंतर योजना की विशेषताएं प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के साथ परवलयिक प्रकार के एक-आयामी अंतर समीकरण पर विचार करें: अंतर्निहित अंतर योजना 4 को हल करने के लिए विधि और एल्गोरिदम की बाद की प्रस्तुति की सुविधा के लिए 4.7 को पहली बार चरण में लिखा गया है। अंतर योजना के सन्निकटन के क्रम अनुभाग में, यह नोट किया गया कि अंतर योजना 4.

प्रश्न 8: अंतर योजनाएँ: स्पष्ट और अंतर्निहित योजनाएँ:

अंतर योजनायह बीजगणितीय समीकरणों की एक सीमित प्रणाली है, जो कुछ अंतर समस्याओं से मेल खाती हैअंतर समीकरणऔर अतिरिक्त शर्तें (उदाहरण के लिएसीमा शर्तें और/या प्रारंभिक वितरण). इस प्रकार, अंतर योजनाओं का उपयोग एक अंतर समस्या को कम करने के लिए किया जाता है, जिसकी प्रकृति निरंतर होती है, समीकरणों की एक सीमित प्रणाली में, जिसका संख्यात्मक समाधान सैद्धांतिक रूप से कंप्यूटर पर संभव है। बीजगणितीय समीकरणों को पत्राचार में रखा गयाअंतर समीकरणलगाने से प्राप्त होते हैंअंतर विधि, जो अंतर योजनाओं के सिद्धांत को दूसरों से अलग करता हैसंख्यात्मक तरीकेविभेदक समस्याओं को हल करना (उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण विधियाँ, जैसेगैलेरकिन विधि)।

अंतर योजना के समाधान को अंतर समस्या का अनुमानित समाधान कहा जाता है।

अन्तर्निहित के लक्षण अंतर योजना

एक आयामी पर विचार करें अंतर समीकरणपरवलयिक प्रकारसाथ :

आइए समीकरण के लिए लिखें (4.5) अंतर्निहित अंतर योजना:

चलो लिखते है:

सीमा स्थितियों का सन्निकटन (4.7) इस प्रकार लिखा गया है ( n विधि और एल्गोरिथ्म अंतर्निहित अंतर योजना का समाधान (4.6)।
अध्याय में ""यह नोट किया गया कि अंतर योजना (4.6) में समान हैसन्निकटन का क्रम, साथ ही संबंधित स्पष्ट अंतर योजना(4.2), अर्थात्:

अध्याय में " अंतर्निहित अंतर योजना की पूर्ण स्थिरता का प्रमाण"यह सिद्ध हो गया कि अंतर्निहित अंतर योजना (4.6) बिल्कुल स्थिर है, अर्थात, विभाजन अंतराल की पसंद की परवाह किए बिनाअंतर ग्रिड(या, दूसरे शब्दों में, स्वतंत्र चर के आधार पर गणना चरण चुनना)समाधान त्रुटिगणना प्रक्रिया के दौरान अंतर्निहित अंतर योजना में वृद्धि नहीं होगी। ध्यान दें कि स्पष्ट अंतर योजना की तुलना में यह निश्चित रूप से अंतर्निहित अंतर योजना (4.6) का एक फायदा है(4.2) , जो शर्त पूरी होने पर ही स्थिर होता है(3.12) . साथ ही, स्पष्ट अंतर योजना काफी सरल हैसमाधान विधि , और अंतर्निहित अंतर योजना (4.6) को हल करने की विधि कहा जाता हैस्वीप विधि, और अधिक जटिल। इससे पहले कि तुम जाओस्वीप विधि की प्रस्तुति के लिए, ज़रूरी रिश्तों की एक शृंखला बनाएं, इस विधि द्वारा उपयोग किया जाता है।

स्पष्ट के लक्षण अंतर योजना.

एक आयामी पर विचार करें अंतर समीकरणपरवलयिक प्रकारसाथ प्रारंभिक और सीमा शर्तें:

आइए समीकरण के लिए लिखें(4.1) स्पष्ट अंतर योजना:

चलो इसे लिख लें प्रारंभिक और सीमा स्थितियों का अनुमान:

सीमा स्थितियों का सन्निकटन (4.3) इस प्रकार लिखा गया है (एन + 1) अगली प्रस्तुति की सुविधा के लिए समय चरणविधि और एल्गोरिदम स्पष्ट अंतर योजना का समाधान (4.2)।
अध्याय में "अंतर योजना के सन्निकटन का क्रम"यह सिद्ध हो गया कि अंतर योजना (4.2) हैसन्निकटन का क्रम:

अध्याय में " स्पष्ट अंतर योजना की सशर्त स्थिरता का प्रमाण"शर्त प्राप्त हुईवहनीयता दी गई अंतर योजना, जो बनाते समय विभाजन अंतराल की पसंद पर प्रतिबंध लगाती हैअंतर ग्रिड(या, दूसरे शब्दों में, स्वतंत्र चर में से किसी एक के लिए गणना चरण की पसंद पर प्रतिबंध):

ध्यान दें कि यह, निश्चित रूप से, स्पष्ट अंतर योजना (4.2) का एक दोष है। साथ ही, यह काफी सरल हैसमाधान विधि.