धनात्मक अदिश राशि की अवधारणा और उसका माप। मात्रा का आकार. मूल्य मूल्य

भौतिक आकारएक भौतिक वस्तु, प्रक्रिया, भौतिक घटना की एक भौतिक संपत्ति है, जो मात्रात्मक रूप से विशेषता है।

भौतिक मात्रा मानइस भौतिक मात्रा को दर्शाने वाले एक या अधिक संख्याओं द्वारा व्यक्त किया जाता है, जो माप की इकाई को दर्शाता है।

भौतिक मात्रा का आकारकिसी भौतिक राशि के मान में प्रदर्शित होने वाले संख्याओं के मान हैं।

भौतिक मात्राओं के मापन की इकाइयाँ।

भौतिक मात्रा के मापन की इकाईनिश्चित आकार की एक मात्रा है जिसे एक के बराबर संख्यात्मक मान दिया जाता है। इसका उपयोग सजातीय भौतिक राशियों की मात्रात्मक अभिव्यक्ति के लिए किया जाता है। भौतिक मात्राओं की इकाइयों की एक प्रणाली, मात्राओं की एक निश्चित प्रणाली पर आधारित मूल और व्युत्पन्न इकाइयों का एक समूह है।

इकाइयों की केवल कुछ प्रणालियाँ ही व्यापक हो पाई हैं। अधिकांश मामलों में, कई देश मीट्रिक प्रणाली का उपयोग करते हैं।

बुनियादी इकाइयाँ.

भौतिक मात्रा मापें -इसका अर्थ है इसकी तुलना एक इकाई के रूप में ली गई अन्य समान भौतिक मात्रा से करना।

किसी वस्तु की लंबाई की तुलना लंबाई की एक इकाई से की जाती है, किसी वस्तु के द्रव्यमान की तुलना वजन की एक इकाई से की जाती है, आदि। लेकिन अगर एक शोधकर्ता लंबाई को थाह में मापता है और दूसरा पैरों में, तो उनके लिए दोनों मूल्यों की तुलना करना मुश्किल होगा। इसलिए, दुनिया भर में सभी भौतिक मात्राएँ आमतौर पर एक ही इकाई में मापी जाती हैं। 1963 में, इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली एसआई (सिस्टम इंटरनेशनल - एसआई) को अपनाया गया था।

इकाइयों की प्रणाली में प्रत्येक भौतिक मात्रा के लिए माप की एक संगत इकाई होनी चाहिए। मानक इकाइयांइसका भौतिक कार्यान्वयन है।

लंबाई मानक है मीटर- प्लैटिनम और इरिडियम के मिश्रधातु से बनी विशेष आकार की छड़ पर लगाए गए दो स्ट्रोक के बीच की दूरी।

मानक समयकिसी भी नियमित रूप से दोहराई जाने वाली प्रक्रिया की अवधि के रूप में कार्य करता है, जिसके लिए सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति को चुना जाता है: पृथ्वी प्रति वर्ष एक चक्कर लगाती है। परन्तु समय की इकाई एक वर्ष नहीं, बल्कि एक वर्ष मानी जाती है मुझे एक सेकंड दे.

एक इकाई के लिए रफ़्तारऐसी एकसमान सीधी गति की गति लें जिस पर वस्तु 1 सेकंड में 1 मीटर चलती हो।

क्षेत्रफल, आयतन, लंबाई आदि के लिए माप की एक अलग इकाई का उपयोग किया जाता है। एक विशेष मानक चुनते समय प्रत्येक इकाई निर्धारित की जाती है। लेकिन इकाइयों की प्रणाली अधिक सुविधाजनक है यदि केवल कुछ इकाइयों को मुख्य के रूप में चुना जाता है, और बाकी को मुख्य के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि लंबाई की इकाई मीटर है, तो क्षेत्रफल की इकाई वर्ग मीटर होगी, आयतन घन मीटर होगा, गति मीटर प्रति सेकंड होगी, आदि।

बुनियादी इकाइयाँअंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली (एसआई) में भौतिक मात्राएँ हैं: मीटर (एम), किलोग्राम (किलो), सेकंड (एस), एम्पीयर (ए), केल्विन (के), कैंडेला (सीडी) और मोल (मोल)।

ऐसी व्युत्पन्न SI इकाइयाँ भी हैं जिनके अपने नाम हैं:

औरमापन. किसी भौतिक मात्रा का सटीक, वस्तुनिष्ठ और आसानी से प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य विवरण प्राप्त करने के लिए माप का उपयोग किया जाता है। माप के बिना, किसी भौतिक मात्रा को मात्रात्मक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है। "कम" या "उच्च" दबाव, "कम" या "उच्च" तापमान जैसी परिभाषाएँ केवल व्यक्तिपरक राय को दर्शाती हैं और संदर्भ मूल्यों के साथ तुलना नहीं करती हैं। किसी भौतिक मात्रा को मापते समय उसे एक निश्चित संख्यात्मक मान दिया जाता है।

का उपयोग करके मापन किया जाता है मापन उपकरण।सबसे सरल से लेकर सबसे जटिल तक, मापने के उपकरण और उपकरण काफी बड़ी संख्या में हैं। उदाहरण के लिए, लंबाई रूलर या टेप माप से मापी जाती है, तापमान थर्मामीटर से, चौड़ाई कैलीपर से मापी जाती है।

मापने के उपकरणों को वर्गीकृत किया जाता है: जानकारी प्रस्तुत करने की विधि (प्रदर्शन या रिकॉर्डिंग), माप की विधि (प्रत्यक्ष कार्रवाई और तुलना), रीडिंग की प्रस्तुति के रूप (एनालॉग और डिजिटल), आदि द्वारा।

माप उपकरणों के लिए निम्नलिखित पैरामीटर विशिष्ट हैं:

माप सीमा- मापी गई मात्रा के मानों की सीमा जिसके लिए उपकरण को उसके सामान्य संचालन के दौरान डिज़ाइन किया गया है (दी गई माप सटीकता के साथ)।

संवेदनशीलता सीमा- मापे गए मान का न्यूनतम (सीमा) मान, डिवाइस द्वारा अलग किया गया।

संवेदनशीलता- मापे गए पैरामीटर के मान और उपकरण रीडिंग में संबंधित परिवर्तन को जोड़ता है।

शुद्धता- मापे गए संकेतक के सही मूल्य को इंगित करने के लिए डिवाइस की क्षमता।

स्थिरता- अंशांकन के बाद एक निश्चित समय के लिए दी गई माप सटीकता को बनाए रखने की डिवाइस की क्षमता।

अध्याय 4

प्राथमिक विद्यालय में मात्रा का अध्ययन

व्याख्यान 15,

बुनियादी मात्राओं का अध्ययन किया गया

प्राथमिक विद्यालय में

1. परिमाण की अवधारणा

3. द्रव्यमान और क्षमता.

4. क्षेत्र.

6. गति.

7. नामित संख्याओं के साथ क्रियाएँ।

परिमाण की अवधारणा

गणित में नीचे आकारवस्तुओं के गुणों को समझें जो हो सकते हैं मात्रात्मक मूल्यांकन.किसी मात्रा का मात्रात्मक मूल्यांकन कहलाता है माप।माप प्रक्रिया में किसी दिए गए मान की किसी निश्चित मान से तुलना करना शामिल है उपाय,स्वीकृत एक इकाई के लिएइस प्रकार की मात्राएँ मापते समय।

मात्राओं में लंबाई, द्रव्यमान, समय, क्षमता (आयतन), क्षेत्रफल आदि शामिल हैं।

इन सभी मात्राओं और उनकी माप की इकाइयों का अध्ययन प्राथमिक विद्यालय में किया जाता है। किसी मात्रा को मापने की प्रक्रिया का परिणाम निश्चित होता है अंकीय मूल्य,यह दर्शाता है कि चयनित माप कितनी बार मापे गए मूल्य में "फिट" हुआ।

प्राथमिक विद्यालय में केवल उन्हीं राशियों पर विचार किया जाता है जिनका माप परिणाम धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्या) के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस संबंध में, बच्चे को मात्राओं और उनके मापों से परिचित कराने की प्रक्रिया को कार्यप्रणाली में प्राकृतिक संख्याओं की भूमिका और क्षमताओं के बारे में बच्चे के विचारों का विस्तार करने के एक तरीके के रूप में माना जाता है। विभिन्न मात्राओं को मापने की प्रक्रिया में, बच्चा न केवल माप की क्रियाओं का अभ्यास करता है, बल्कि प्राकृतिक संख्या की पहले से अज्ञात भूमिका की एक नई समझ भी प्राप्त करता है। संख्या- यह परिमाण का माप हैऔर संख्या का मूल विचार

यह बड़े पैमाने पर मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुआ था
मात्रा मापने की प्रक्रिया का मूल्यांकन। ,

मात्राओं से परिचित होने पर, कुछ सामान्य चरणों की पहचान की जा सकती है, जो "मात्रा" की अवधारणा में महारत हासिल करने के उद्देश्य से बच्चे के उद्देश्य कार्यों की समानता की विशेषता है।

पहले चरण मेंतुलना की जा सकने वाली वस्तुओं के गुणों और गुणों को उजागर और पहचाना जाता है।

आप लंबाई (आंख द्वारा, अनुप्रयोग और ओवरले द्वारा), द्रव्यमान (हाथ पर अनुमान के अनुसार), क्षमता (आंख द्वारा), क्षेत्र (आंख द्वारा और अनुप्रयोग द्वारा), समय (अवधि की व्यक्तिपरक भावना पर ध्यान केंद्रित किए बिना) मापे बिना तुलना कर सकते हैं। इस प्रक्रिया के कुछ बाहरी संकेत: मौसम प्रकृति में मौसमी विशेषताओं के अनुसार भिन्न होते हैं, दिन का समय - सूर्य की गति के अनुसार, आदि)।

इस स्तर पर, बच्चे को यह समझाना महत्वपूर्ण है कि वस्तुओं के ऐसे गुण हैं जो व्यक्तिपरक (खट्टा-मीठा) या वस्तुनिष्ठ हैं, लेकिन सटीक मूल्यांकन (रंग के शेड्स) की अनुमति नहीं देते हैं, और ऐसे गुण हैं जो अनुमति देते हैं अंतर का सटीक आकलन (कितना अधिक - कम ).

दूसरे चरण मेंमूल्यों की तुलना करने के लिए, एक मध्यवर्ती माप का उपयोग किया जाता है। का एक विचार बनाने के लिए यह चरण बहुत महत्वपूर्ण है मध्यवर्ती उपायों के माध्यम से माप का विचार.माप को बच्चे द्वारा मनमाने ढंग से आसपास की वास्तविकता से चुना जा सकता है - कंटेनर के लिए - एक गिलास, लंबाई के लिए - फीता का एक टुकड़ा, क्षेत्र के लिए - एक नोटबुक, आदि। (बोआ कंस्ट्रिक्टर को बंदरों और तोतों दोनों में मापा जा सकता है) .)

उपायों की आम तौर पर स्वीकृत प्रणाली के आविष्कार से पहले, मानवता सक्रिय रूप से प्राकृतिक उपायों का उपयोग करती थी - कदम, हथेली, कोहनी, आदि। माप के प्राकृतिक उपायों से इंच, पैर, अर्शिन, थाह, पाउंड, आदि आए। यह प्रोत्साहित करने के लिए उपयोगी है बच्चे को अपने शरीर के प्राकृतिक मापों को मध्यवर्ती के रूप में उपयोग करते हुए, माप के विकास के इतिहास में इस चरण से गुजरना होगा।

इसके बाद ही आप आम तौर पर स्वीकृत मानक उपायों और माप उपकरणों (रूलर, तराजू, पैलेट, आदि) से परिचित होने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। यह पहले से ही होगा तीसरा चरणमात्राओं से परिचित होने पर काम करें।

स्कूल में मात्राओं के मानक मापों से परिचित होना क्रमांकन के अध्ययन के चरणों से जुड़ा है, क्योंकि अधिकांश मानक माप दशमलव संख्या प्रणाली पर केंद्रित होते हैं: 1 मीटर = 100 सेमी, 1 किग्रा = 1000 ग्राम, आदि। इस प्रकार, माप की गतिविधि माप परिणामों के संख्यात्मक मूल्यों को परिवर्तित करने वाली गतिविधि द्वारा स्कूल को बहुत जल्दी बदल दिया जाता है। छात्र व्यावहारिक रूप से सीधे माप में शामिल नहीं होता है और मात्राओं के साथ काम करता है; वह उसे दिए गए असाइनमेंट या समस्या की शर्तों के साथ संख्यात्मक मानों के साथ अंकगणितीय संचालन करता है।

मात्राएँ (जोड़ना, घटाना, गुणा करना, विभाजित करना), और कुछ नामों में व्यक्त मात्राओं के मूल्यों के तथाकथित अनुवाद से भी संबंधित है (मीटर को सेंटीमीटर में, टन को सेंटीमीटर में परिवर्तित करता है, आदि)। ऐसी गतिविधि वास्तव में संख्यात्मक परिवर्तनों के स्तर पर मात्राओं के साथ काम करने की प्रक्रिया को औपचारिक बनाती है। इस गतिविधि में सफल होने के लिए, आपको मात्राओं के अनुपात की सभी तालिकाएँ याद होनी चाहिए और गणना तकनीकों पर अच्छी पकड़ होनी चाहिए। कई स्कूली बच्चों के लिए, यह विषय केवल मात्राओं के मापों के बीच संख्यात्मक संबंधों की बड़ी मात्रा को याद रखने की आवश्यकता के कारण कठिन है।

इस संबंध में सबसे कठिन काम "समय" की मात्रा के साथ काम करना है। यह मान विशुद्ध रूप से पारंपरिक मानक उपायों की सबसे बड़ी संख्या के साथ है, जिन्हें न केवल याद रखने की आवश्यकता है (घंटा, मिनट, दिन, दिन, सप्ताह, महीना, आदि), बल्कि उनके संबंधों को भी सीखना होगा, जो इसमें नहीं दिए गए हैं सामान्य दशमलव संख्या प्रणाली (दिन - 24 घंटे, घंटा - 60 मिनट, सप्ताह - 7 दिन, आदि)।

मात्राओं के अध्ययन के परिणामस्वरूप, छात्रों को निम्नलिखित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं में महारत हासिल करनी चाहिए:

1) प्रत्येक मात्रा की इकाइयों से परिचित हों, आगे बढ़ें
प्रत्येक इकाई का स्पष्ट विचार, साथ ही उसके संबंध में सीखना
प्रत्येक मात्रा की सभी अध्ययनित इकाइयों के बीच संबंध,
यानी इकाइयों की तालिकाओं को जानें और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय उन्हें लागू करने में सक्षम हों
तकनीकी और शैक्षिक कार्य;

2) जानें कि मापने के लिए किन उपकरणों और यंत्रों का उपयोग किया जाता है
प्रत्येक मूल्य, माप प्रक्रिया की स्पष्ट समझ रखें
लंबाई, द्रव्यमान, समय का ज्ञान, मापना और खंड बनाना सीखें
की एक रूलर का उपयोग कर रहा हूँ।

लंबाई

लंबाई किसी वस्तु के रैखिक आयामों (लंबाई) की एक विशेषता है।

प्राथमिक विद्यालय के सभी वर्षों में बच्चे लंबाई और उसकी माप की इकाइयों से परिचित हो जाते हैं।

बच्चों को लंबाई के बारे में पहला विचार पूर्वस्कूली उम्र में प्राप्त होता है, वे किसी वस्तु की रैखिक सीमा की पहचान करते हैं: लंबाई, चौड़ाई, वस्तुओं के बीच की दूरी। स्कूल की शुरुआत तक, बच्चों को "व्यापक - संकीर्ण", "आगे - करीब", "लंबे - छोटे" संबंधों को सही ढंग से स्थापित करना चाहिए।

पहली कक्षा में, गणित के पहले पाठ से, बच्चे स्थानिक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य पूरा करते हैं: कौन सा पतला है, एक किताब या एक नोटबुक; कौन सी पेंसिल लंबी है? कौन ऊंचा है, कौन निचला है. पहली कक्षा में, बच्चों को लंबाई की पहली इकाई - सेंटीमीटर से परिचित कराया जाता है।

सेंटीमीटर -लंबाई का मीट्रिक माप. एक सेंटीमीटर एक मीटर के सौवें हिस्से, एक डेसीमीटर के दसवें हिस्से के बराबर होता है। इसे इस प्रकार लिखा गया है: 1 सेमी (बिना बिंदु के)।

पहली कक्षा में, बच्चों को सेंटीमीटर की दृश्य समझ प्राप्त होती है। वे निम्नलिखित कार्य करते हैं:

1) एक सेंटीमीटर मॉडल का उपयोग करके पट्टियों की लंबाई मापें;

2) एक रूलर का उपयोग करके पट्टियों की लंबाई मापें।

एक पट्टी की लंबाई मापने के लिए, आपको इसमें एक रूलर लगाना होगा ताकि पट्टी की शुरुआत रूलर पर मौजूद संख्या 0 से मेल खाए। पट्टी के अंत से संबंधित संख्या उसकी लंबाई है।

बच्चे निम्नलिखित प्रकार के कार्य करते हैं:

1) मनमानी लंबाई के माप का उपयोग करके पट्टियों की लंबाई की तुलना:

खंडों की लंबाई की तुलना करें:

किसी कार्य को पूरा करते समय, बच्चा माप की गिनती को संदर्भित करता है: अधिक माप खंड की लंबाई के साथ फिट होते हैं, जिसका अर्थ है कि खंड लंबा है।

2) समान और असमान खंड ढूंढना; परिभाषा, पर
एक खंड दूसरे से कितना बड़ा या छोटा है;

3) खंडों को मापना और एक रूलर का उपयोग करके उनकी तुलना करना (से)।
एक खंड की लंबाई मापें; खंडों की लंबाई की तुलना करें, एक खंड बनाएं
दी गई लंबाई का तार)।

ग्रेड 2 में, बच्चों को डेसीमीटर और मीटर जैसी लंबाई की इकाइयों से परिचित कराया जाता है।

डेसीमीटर -लंबाई का मीट्रिक माप. एक डेसीमीटर एक मीटर के दसवें हिस्से के बराबर होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है: 1 डीएम (बिना बिंदु के)।

बच्चों को 10 सेमी के बराबर एक खंड के रूप में डेसीमीटर का एक दृश्य विचार मिलता है और निम्नलिखित प्रकृति के कार्यों को पूरा करते हैं:

1) डेसीमीटर मॉडल (एल्बम) का उपयोग करके वस्तुओं को मापना
किताब, डेस्क);

2) एक नोटबुक में 1 डीएम लंबा एक खंड बनाना;

3) अध्ययन किए गए मूल्यों की तुलना:

1 डीएम * 1 सेमी 14 सेमी * 4 डीएम

4) मात्राओं का परिवर्तन:

रिक्त स्थान भरें:

2 डीएम = ...सेमी

मात्राओं की तुलना और रूपांतरण के कार्यों को पूरा करने का आधार अनुपात का ज्ञान है: 1 डीएम = 10 सेमी

मीटर -लंबाई का मूल माप. मीटर का प्रयोग 18वीं शताब्दी के अंत में हुआ। फ्रांस में।

ग्रेड 2 में, बच्चों को मीटर की दृश्य समझ प्राप्त होती है और वे बुनियादी मीट्रिक संबंधों से परिचित हो जाते हैं:

10 डीएम - 1 मी; 100 सेमी = 1 मी

बच्चे लंबाई की एक नई इकाई को नामित करना सीखते हैं: मी (बिना बिंदु के), लंबाई की एक नई इकाई (कॉर्ड, बोर्ड, कक्षा) का उपयोग करके वस्तुओं को मापें। प्रयुक्त उपकरण मीटर रूलर या दर्जी का टेप है।

छात्र निम्नलिखित कार्य पूरा करते हैं:

1) तुलना:

तुलना चिह्न 1 मीटर * 99 सेमी 1 मीटर * 9 डीएम लगाएं

2) मात्राओं का परिवर्तन:

एक नाम की मात्राओं की इकाइयों को दूसरे नामों के संदर्भ में व्यक्त करें:

3 एम 2 डीएम = ... डीएम

परिवर्तन करते समय, बच्चे लंबाई की इकाइयों के अनुपात की तालिकाओं का उपयोग करते हैं: 1 मीटर = 10 डीएम, 3 मीटर 3 गुना अधिक है, जिसका अर्थ है 3 मीटर = 30 डीएम, और यहां तक ​​कि 2 डीएम - कुल 32 डीएम।

रिक्त स्थान भरें: 56 dm = ...m...dm

तर्क: 56 डीएम - उतने मीटर जितनी संख्या में 56 दहाई हों।

1-4 प्रणाली की पिछली पाठ्यपुस्तकों में, बच्चों को तीसरी कक्षा में किलोमीटर से परिचित कराया जाता था; इस पाठ्यपुस्तक के नए संस्करण (2001) में, चौथी कक्षा में किलोमीटर का अध्ययन किया जाता है।

किलोमीटर -यह लंबाई का एक मीट्रिक माप है. एक किलोमीटर 1000 मीटर के बराबर होता है इसे 1 किमी (बिना बिंदु के) लिखा जाता है। बच्चों को इस तथ्य से परिचित कराया जा सकता है कि रूसी में अनुवादित "किलो" का अर्थ "हजार", "किलो-मीटर" - एक हजार मीटर है। एक किलोमीटर का दृश्य प्रतिनिधित्व देना काफी कठिन है, क्योंकि यह लंबाई का काफी बड़ा माप है। शिक्षक अक्सर इस छवि की पेशकश करते हैं: धागे के एक स्पूल को खोलें, और फिर कल्पना करें कि धागे के 10 स्पूल खुले हैं और लंबाई में फैले हुए हैं - यह एक किलोमीटर है (एक मानक स्पूल में 100 मीटर होता है)। इस प्रयोग को कम से कम एक स्पूल के साथ करना उपयोगी है, क्योंकि एक बच्चे के लिए एक स्पूल धागे की लंबाई की कल्पना करना भी मुश्किल है, एक किलोमीटर की तो बात ही छोड़ दें:

तुलना करें: रिक्त स्थान भरें:

1 किमी * 1000 मीटर 1,000 सेमी = ... मी

2 मीटर 50 सेमी * 2 मीटर 5 सेमी 5,000 मीटर =... किमी

ग्रेड 4 में, मात्राओं को परिवर्तित करने और तुलना करने के कार्यों में एक नई इकाई पेश की गई है:

मिलीमीटर -लंबाई का मीट्रिक माप. एक मिलीमीटर एक मीटर के हजारवें हिस्से के बराबर होता है, यानी एक सेंटीमीटर के दसवें हिस्से के बराबर। इसे इस प्रकार लिखा गया है: 1 मिमी (बिना बिंदु के)।

1 सेमी - 10 मिमी

छात्र इस प्रकार के कार्य करते हैं:

1) वस्तुओं (कील, पेंच) को मापना, परिणाम व्यक्त करना
मिलीमीटर में टीओवी;

2) विभिन्न लंबाई के खंड बनाना: (9 मिमी, 6 मिमी, 2 सेमी 3 मिमी);

3) मात्राओं का परिवर्तन:

रिक्त स्थान भरें: 620 मिमी = ... सेमी

तर्क: 620 मिमी में उतने ही सेंटीमीटर होते हैं जितने 620 दहाई में होते हैं।

रिक्त स्थान भरें: 72 किमी 276 मीटर = ... मीटर

तर्क:सबसे पहले हम किलोमीटर को मीटर में बदलते हैं: 1 किमी = 1000 मीटर, 72 किमी = 72,000 मीटर और 276 मीटर - 72,276 मीटर

4) तुलना:

तुलना करें: 1 किमी * 100 मीटर 7200 मिमी * 72 किमी

ग्रेड 4 में, एक सारांश तालिका संकलित की गई है:
1 किमी = 1000 मीटर 1 मीटर = 100 सेमी 1 सेमी = 10 मिमी

1 मीटर = 10 डीएम 1 डीएम = 10 सेमी

इस तालिका को संकलित करने के बाद, बच्चों को माप की उपयुक्त इकाइयों का चयन करने के लिए कार्य दिए जाते हैं:

रिक्त स्थान भरें: 1... = 10 ... 1... = 100 ... 1... = 1000 ...

मात्रा बुनियादी गणितीय अवधारणाओं में से एक है जो प्राचीन काल में उत्पन्न हुई और लंबे विकास की प्रक्रिया में कई सामान्यीकरणों से गुज़री।

आकार का प्रारंभिक विचार एक संवेदी आधार के निर्माण से जुड़ा है, वस्तुओं के आकार के बारे में विचारों का निर्माण: लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई दिखाएं और नाम दें।

मात्रा का तात्पर्य आसपास की दुनिया की वास्तविक वस्तुओं या घटनाओं के विशेष गुणों से है। किसी वस्तु का आकार उसकी सापेक्ष विशेषता है, जो अलग-अलग हिस्सों की सीमा पर जोर देता है और सजातीय भागों के बीच उसका स्थान निर्धारित करता है।

केवल संख्यात्मक मान द्वारा अभिलक्षित मात्राएँ कहलाती हैं अदिश(लंबाई, द्रव्यमान, समय, आयतन, क्षेत्रफल, आदि)। गणित अदिश राशियों के अतिरिक्त भी विचार करता है वेक्टर मात्राएँ,जो न केवल संख्या से, बल्कि दिशा (बल, त्वरण, विद्युत क्षेत्र की ताकत, आदि) से भी पहचाने जाते हैं।

अदिश राशियाँ हो सकती हैं सजातीयया विषमांगीसजातीय मात्राएँ एक निश्चित समुच्चय की वस्तुओं के समान गुण को व्यक्त करती हैं। विषम राशियाँ वस्तुओं के विभिन्न गुणों (लंबाई और क्षेत्रफल) को व्यक्त करती हैं

अदिश राशियों के गुण:

• § एक ही प्रकार की कोई भी दो मात्राएँ तुलनीय होती हैं, या तो वे बराबर होती हैं, या उनमें से एक दूसरी से कम (अधिक) होती है: 4t5ts...4t 50 किग्रा 4t5t=4t500kg 4t500kg>4t50kg, क्योंकि 500 किग्रा > 50 किग्रा, इसका मतलब है 4t5ts >4t 50kg;
• § एक ही प्रकार की मात्राएँ जोड़ी जा सकती हैं, परिणाम एक ही प्रकार की मात्रा है:
  • 2km921m+17km387m 2km921m=2921m, 17km387m=17387m 17387m+2921m=20308m; मतलब
  • 2km921m+17km387m=20km308m
• § किसी मात्रा को वास्तविक संख्या से गुणा किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक ही प्रकार की मात्रा प्राप्त होती है:
  • 12m24cm 9 12m24m=1224cm, 1224cm9=110m16cm, इसका मतलब है
  • 12मी24सेमी 9=110मी16सेमी;
• § एक ही प्रकार की मात्राएँ घटाई जा सकती हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक ही प्रकार की मात्रा प्राप्त होती है:
  • 4kg283g-2kg605g 4kg283g=4283g, 2kg605g=2605g 4283g-2605g=1678g, इसका मतलब है
  • 4kg283g-2kg605g=1kg678g;
• § एक ही प्रकार की मात्राओं को विभाजित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक वास्तविक संख्या प्राप्त होती है:
  • 8 घंटे 25 मिनट 5 8 घंटे 25 मिनट = 860 मिनट + 25 मिनट = 480 मिनट + 25 मिनट = 505 मिनट, 505 मिनट 5 = 101 मिनट, 101 मिनट = 1 घंटे 41 मिनट, इसका मतलब है 8 घंटे 25 मिनट 5=1 घंटे 41 मिनट.

परिमाण किसी वस्तु का एक गुण है, जिसे विभिन्न विश्लेषकों द्वारा माना जाता है: दृश्य, स्पर्श और मोटर। इस मामले में, अक्सर मूल्य कई विश्लेषकों द्वारा एक साथ माना जाता है: दृश्य-मोटर, स्पर्श-मोटर, आदि।

परिमाण की धारणा इस पर निर्भर करती है:

• § वह दूरी जिससे वस्तु का आभास होता है;
• § वस्तु का आकार जिसके साथ इसकी तुलना की जाती है;
• § अंतरिक्ष में इसका स्थान.

मात्रा के मूल गुण:

• § कंपैरेबिलिटी- किसी मान का निर्धारण केवल तुलना के आधार पर (सीधे या किसी निश्चित छवि से तुलना करके) संभव है।
• § सापेक्षता- आकार की विशेषता सापेक्ष है और तुलना के लिए चुनी गई वस्तुओं पर निर्भर करती है और एक ही वस्तु को हम उस वस्तु के आकार के आधार पर बड़े या छोटे के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जिसके साथ इसकी तुलना की जाती है। उदाहरण के लिए, एक खरगोश भालू से छोटा होता है, लेकिन चूहे से बड़ा होता है।
• § परिवर्तनशीलता- मात्राओं की परिवर्तनशीलता इस तथ्य से विशेषता है कि उन्हें किसी संख्या से जोड़ा, घटाया, गुणा किया जा सकता है।
• § मापन योग्यता- माप संख्याओं की तुलना करके किसी मात्रा को चिह्नित करना संभव बनाता है।

प्राचीन काल से, लोगों को इस सवाल में गंभीरता से दिलचस्पी रही है कि विभिन्न मूल्यों में व्यक्त मात्राओं की तुलना कैसे की जाए। और यह केवल स्वाभाविक जिज्ञासा का विषय नहीं है। सबसे प्राचीन सांसारिक सभ्यताओं के लोगों ने इस कठिन मामले को विशुद्ध रूप से व्यावहारिक महत्व दिया। भूमि को सही ढंग से मापना, बाजार में उत्पाद का वजन निर्धारित करना, वस्तु विनिमय के दौरान वस्तुओं के आवश्यक अनुपात की गणना करना, शराब तैयार करते समय अंगूर की सही दर निर्धारित करना - ये कुछ ऐसे कार्य हैं जो अक्सर पहले से ही कठिन जीवन में सामने आते हैं। हमारे पूर्वजों का. इसलिए, कम पढ़े-लिखे और अनपढ़ लोग, जब मूल्यों की तुलना करना आवश्यक होता था, तो अपने अधिक अनुभवी साथियों के पास सलाह के लिए जाते थे, और वे अक्सर ऐसी सेवा के लिए उचित रिश्वत लेते थे, और वैसे, काफी अच्छी रिश्वत लेते थे।

क्या तुलना की जा सकती है

आजकल, यह गतिविधि सटीक विज्ञान के अध्ययन की प्रक्रिया में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। बेशक, हर कोई जानता है कि सजातीय मात्राओं की तुलना करना आवश्यक है, यानी सेब के साथ सेब, और चुकंदर के साथ चुकंदर। किसी के मन में कभी नहीं आया होगा कि वह डिग्री सेल्सियस को किलोमीटर या किलोग्राम में डेसीबल में व्यक्त करने की कोशिश करे, लेकिन हम बचपन से ही तोतों में बोआ कंस्ट्रिक्टर की लंबाई जानते हैं (उन लोगों के लिए जो याद नहीं रखते: एक बोआ कंस्ट्रक्टर में 38 तोते होते हैं) ). हालाँकि तोते भी अलग-अलग होते हैं, और वास्तव में बोआ कंस्ट्रिक्टर की लंबाई तोते की उप-प्रजाति के आधार पर अलग-अलग होगी, लेकिन ये विवरण हैं जिन्हें हम जानने की कोशिश करेंगे।

DIMENSIONS

जब कार्य कहता है: "मात्राओं के मानों की तुलना करें", तो इन समान मात्राओं को एक ही हर में लाना आवश्यक है, अर्थात तुलना में आसानी के लिए उन्हें समान मानों में व्यक्त करें। यह स्पष्ट है कि किलोग्राम में व्यक्त मूल्य की तुलना सेंटनर या टन में व्यक्त मूल्य से करना हममें से कई लोगों के लिए मुश्किल नहीं है। हालाँकि, ऐसी सजातीय मात्राएँ हैं जिन्हें विभिन्न आयामों में और इसके अलावा, विभिन्न माप प्रणालियों में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गतिज श्यानता के मूल्यों की तुलना करने का प्रयास करें और यह निर्धारित करें कि कौन सा तरल पदार्थ सेंटीस्टोक्स और वर्ग मीटर प्रति सेकंड में अधिक चिपचिपा है। काम नहीं करता है? और यह काम नहीं करेगा. ऐसा करने के लिए, आपको दोनों मानों को समान मात्रा में प्रतिबिंबित करने की आवश्यकता है, और पहले से ही संख्यात्मक मान से यह निर्धारित करें कि उनमें से कौन प्रतिद्वंद्वी से बेहतर है।

माप प्रणाली

यह समझने के लिए कि किन मात्राओं की तुलना की जा सकती है, आइए मौजूदा माप प्रणालियों को याद करने का प्रयास करें। निपटान प्रक्रियाओं को अनुकूलित और तेज़ करने के लिए, 1875 में, सत्रह देशों (रूस, अमेरिका, जर्मनी आदि सहित) ने मीट्रिक सम्मेलन पर हस्ताक्षर किए और उपायों की मीट्रिक प्रणाली को परिभाषित किया। मीटर और किलोग्राम के मानकों को विकसित और समेकित करने के लिए, वजन और माप की अंतर्राष्ट्रीय समिति की स्थापना की गई, और पेरिस में अंतर्राष्ट्रीय वजन और माप ब्यूरो की स्थापना की गई। यह प्रणाली समय के साथ इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ़ यूनिट्स, एसआई में विकसित हुई। वर्तमान में, इस प्रणाली को तकनीकी गणना के क्षेत्र में अधिकांश देशों द्वारा अपनाया जाता है, जिसमें वे देश भी शामिल हैं जहां राष्ट्रीय पारंपरिक रूप से रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका और इंग्लैंड)।

जीएचएस

हालाँकि, मानकों के आम तौर पर स्वीकृत मानक के समानांतर, एक और, कम सुविधाजनक जीएचएस प्रणाली (सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड) भी विकसित हुई। इसे 1832 में जर्मन भौतिक विज्ञानी गॉस द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और 1874 में मैक्सवेल और थॉम्पसन द्वारा आधुनिकीकरण किया गया, मुख्य रूप से इलेक्ट्रोडायनामिक्स के क्षेत्र में। 1889 में, एक अधिक सुविधाजनक आईएसएस प्रणाली (मीटर-किलोग्राम-सेकंड) प्रस्तावित की गई थी। मीटर और किलोग्राम के मानक मूल्यों के अनुसार वस्तुओं की तुलना करना इंजीनियरों के लिए उनके डेरिवेटिव (सेंटी-, मिलि-, डेसी-, आदि) का उपयोग करने की तुलना में अधिक सुविधाजनक है। हालाँकि, इस अवधारणा को उन लोगों के दिलों में व्यापक प्रतिक्रिया नहीं मिली जिनके लिए यह इरादा था। इसे दुनिया भर में सक्रिय रूप से विकसित और उपयोग किया गया था, इसलिए जीएचएस में गणना कम और कम बार की जाती थी, और 1960 के बाद, एसआई प्रणाली की शुरुआत के साथ, जीएचएस लगभग पूरी तरह से उपयोग से बाहर हो गया। वर्तमान में, जीएचएस वास्तव में केवल सैद्धांतिक यांत्रिकी और खगोल भौतिकी में गणना में उपयोग किया जाता है, और फिर विद्युत चुंबकत्व के नियमों को रिकॉर्ड करने के सरल रूप के कारण।

चरण-दर-चरण अनुदेश

आइए एक उदाहरण को विस्तार से देखें। मान लीजिए कि कार्य इस तरह लगता है: "25 टन और 19570 किलोग्राम के मूल्यों की तुलना करें कौन सा मूल्य अधिक है?" पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह यह निर्धारित करना है कि हमारे मूल्य कितनी मात्रा में दिए गए हैं। तो, पहला मान टन में दिया गया है, और दूसरा किलोग्राम में। दूसरे चरण में, हम जाँचते हैं कि क्या समस्या के लेखक हमें असमान मात्राओं की तुलना करने के लिए मजबूर करके हमें गुमराह करने की कोशिश नहीं कर रहे हैं। ऐसे ट्रैप कार्य भी होते हैं, विशेषकर त्वरित परीक्षणों में, जहां आपको प्रत्येक प्रश्न का उत्तर देने के लिए 20-30 सेकंड का समय दिया जाता है। जैसा कि हम देख सकते हैं, मान एक समान हैं: हम शरीर के द्रव्यमान और वजन को किलोग्राम और टन दोनों में मापते हैं, इसलिए दूसरा परीक्षण सकारात्मक परिणाम के साथ पारित हुआ। तीसरा चरण तुलना में आसानी के लिए किलोग्राम को टन में या इसके विपरीत, टन को किलोग्राम में परिवर्तित करना है। पहले विकल्प में यह 25 और 19.57 टन निकलता है, और दूसरे में: 25,000 और 19,570 किलोग्राम। और अब आप इन मूल्यों के परिमाण की तुलना मन की शांति से कर सकते हैं। जैसा कि आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं, दोनों मामलों में पहला मूल्य (25 टन) दूसरे (19,570 किलोग्राम) से अधिक है।

जाल

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, आधुनिक परीक्षणों में बहुत सारे धोखे के कार्य होते हैं। जरूरी नहीं कि ये वे कार्य हों जिनका हमने विश्लेषण किया है; एक हानिरहित दिखने वाला प्रश्न एक जाल बन सकता है, विशेष रूप से वह जो पूरी तरह से तार्किक उत्तर सुझाता है। हालाँकि, कपटपूर्णता, एक नियम के रूप में, विवरण या छोटी बारीकियों में निहित होती है जिसे कार्य के लेखक हर संभव तरीके से छिपाने की कोशिश करते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषण किए गए कार्यों से पहले से ही परिचित प्रश्न के बजाय: "जहां संभव हो मूल्यों की तुलना करें," परीक्षण संकलक आपको केवल निर्दिष्ट मूल्यों की तुलना करने के लिए कह सकते हैं, और स्वयं उन मूल्यों को चुन सकते हैं जो आश्चर्यजनक रूप से समान हैं एक दूसरे से। उदाहरण के लिए, kg*m/s 2 और m/s 2। पहले मामले में, यह वस्तु (न्यूटन) पर लगने वाला बल है, और दूसरे में, यह शरीर का त्वरण है, या m/s 2 और m/s, जहां आपको त्वरण की तुलना करने के लिए कहा जाता है शरीर की गति, यानी पूरी तरह से भिन्न मात्राएँ।

जटिल तुलनाएँ

हालाँकि, बहुत बार कार्यों में दो मान दिए जाते हैं, जो न केवल माप की विभिन्न इकाइयों और विभिन्न गणना प्रणालियों में व्यक्त किए जाते हैं, बल्कि विशिष्ट भौतिक अर्थ में भी एक दूसरे से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, समस्या कथन कहता है: "गतिशील और गतिक चिपचिपाहट के मूल्यों की तुलना करें और निर्धारित करें कि कौन सा द्रव अधिक चिपचिपा है।" इस मामले में, मान एसआई इकाइयों में, यानी एम 2 / एस में, और गतिशील - सीजीएस में, यानी पॉइज़ में इंगित किए जाते हैं। ऐसे में क्या करें?

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, आप एक छोटे से जोड़ के साथ ऊपर प्रस्तुत निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं। हम तय करते हैं कि हम किस प्रणाली में काम करेंगे: इसे इंजीनियरों के बीच आम तौर पर स्वीकार किया जाए। दूसरे चरण में हम यह भी जांचते हैं कि क्या यह कोई जाल है? लेकिन इस उदाहरण में भी सब कुछ साफ़ है. हम आंतरिक घर्षण (चिपचिपापन) के पैरामीटर के आधार पर दो तरल पदार्थों की तुलना करते हैं, इसलिए दोनों मात्राएँ सजातीय हैं। तीसरा चरण पॉइज़ से पास्कल सेकंड में, यानी आम तौर पर स्वीकृत एसआई इकाइयों में परिवर्तित करना है। इसके बाद, हम गतिज चिपचिपाहट को गतिशील चिपचिपाहट में परिवर्तित करते हैं, इसे तरल घनत्व (सारणीबद्ध मान) के संबंधित मूल्य से गुणा करते हैं, और प्राप्त परिणामों की तुलना करते हैं।

सिस्टम के बाहर

माप की गैर-प्रणालीगत इकाइयाँ भी हैं, अर्थात्, इकाइयाँ जो एसआई में शामिल नहीं हैं, लेकिन वजन और माप (जीसीडब्ल्यूएम) पर सामान्य सम्मेलन के आयोजन के निर्णयों के परिणामों के अनुसार, संयुक्त उपयोग के लिए स्वीकार्य हैं एसआई. ऐसी मात्राओं की एक-दूसरे से तुलना तभी की जा सकती है जब उन्हें एसआई मानक में उनके सामान्य रूप में घटा दिया जाए। गैर-प्रणालीगत इकाइयों में मिनट, घंटा, दिन, लीटर, इलेक्ट्रॉन-वोल्ट, गाँठ, हेक्टेयर, बार, एंगस्ट्रॉम और कई अन्य इकाइयाँ शामिल हैं।

भौतिक मात्रा का आकार- किसी विशिष्ट भौतिक वस्तु, प्रणाली, घटना या प्रक्रिया में निहित भौतिक मात्रा का मात्रात्मक निर्धारण।

कभी-कभी "आकार" शब्द के व्यापक उपयोग पर यह तर्क देकर आपत्ति जताई जाती है कि यह केवल लंबाई को संदर्भित करता है। हालाँकि, हम ध्यान दें कि प्रत्येक पिंड का एक निश्चित द्रव्यमान होता है, जिसके परिणामस्वरूप पिंडों को उनके द्रव्यमान से अलग किया जा सकता है, अर्थात। जिस भौतिक मात्रा (द्रव्यमान) में हमारी रुचि है उसके आकार के अनुसार। वस्तुओं को देखना एऔर में,उदाहरण के लिए, कोई यह तर्क दे सकता है कि वे लंबाई या आकार में एक दूसरे से भिन्न हैं (उदाहरण के लिए, ए > बी).इन वस्तुओं की लंबाई मापने के बाद ही अधिक सटीक अनुमान प्राप्त किया जा सकता है।

अक्सर "परिमाण का आकार" वाक्यांश में "आकार" शब्द को हटा दिया जाता है या "परिमाण का मान" वाक्यांश से बदल दिया जाता है।

मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, "आकार" शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसका अर्थ भौतिक मात्रा का अर्थ है - किसी भी हिस्से की लंबाई विशेषता। इसका मतलब यह है कि एक अवधारणा "भौतिक मात्रा का मूल्य" को व्यक्त करने के लिए दो शब्दों ("आकार" और "मूल्य") का उपयोग किया जाता है, जो शब्दावली के क्रम में योगदान नहीं कर सकते हैं। कड़ाई से बोलते हुए, मैकेनिकल इंजीनियरिंग में "आकार" की अवधारणा को स्पष्ट करना आवश्यक है ताकि यह मेट्रोलॉजी में अपनाई गई "भौतिक मात्रा के आकार" की अवधारणा का खंडन न करे। GOST 16263-70 इस मुद्दे पर स्पष्ट स्पष्टीकरण प्रदान करता है।

किसी विशिष्ट भौतिक मात्रा का मात्रात्मक मूल्यांकन, जिसे किसी दी गई मात्रा की इकाइयों की एक निश्चित संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, कहलाता है "भौतिक मात्रा का मूल्य"।

किसी मात्रा के "मूल्य" में शामिल एक अमूर्त संख्या को संख्यात्मक मान कहा जाता है।

आकार और परिमाण में मूलभूत अंतर है। किसी मात्रा का आकार वास्तव में मौजूद होता है, भले ही हम इसे जानते हों या नहीं। आप किसी दी गई मात्रा की किसी भी इकाई का उपयोग करके, दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक मान का उपयोग करके किसी मात्रा का आकार व्यक्त कर सकते हैं।

संख्यात्मक मान की यह विशेषता है कि जब किसी अन्य इकाई का उपयोग किया जाता है, तो यह बदल जाता है, जबकि मान का भौतिक आकार अपरिवर्तित रहता है।

यदि हम मापी गई मात्रा को x से, मात्रा की इकाई को x 1  से और उनके अनुपात को q 1 से निरूपित करते हैं, तो x = q 1 x 1 ।

मात्रा x का आकार इकाई की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, जिसे q के संख्यात्मक मान के बारे में नहीं कहा जा सकता है, जो पूरी तरह से इकाई की पसंद से निर्धारित होता है। यदि किसी मात्रा के आकार को व्यक्त करने के लिए इकाई x 1  के बजाय हम इकाई x 2  का उपयोग करते हैं, तो अपरिवर्तित आकार x को एक अलग मान द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

x = q 2 x 2  , जहां n 2 n 1 .

यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्तियों में q= 1 का उपयोग करते हैं, तो इकाइयों का आकार

x 1 = 1x 1 और x 2 = 1x 2 .

एक ही मात्रा की विभिन्न इकाइयों के आकार भिन्न-भिन्न होते हैं। इस प्रकार, एक किलोग्राम का आकार एक पाउंड के आकार से भिन्न होता है; एक मीटर का आकार एक फुट के आकार से होता है, आदि।

1.6. भौतिक राशियों का आयाम

भौतिक राशियों का आयाम -यह समीकरण में शामिल मात्राओं की इकाइयों के बीच का संबंध है जो किसी दी गई मात्रा को अन्य मात्राओं से जोड़ता है जिसके माध्यम से इसे व्यक्त किया जाता है।

किसी भौतिक राशि के आयाम को मंद द्वारा दर्शाया जाता है ए(अक्षांश से। आयाम - आयाम). आइए मान लें कि भौतिक मात्रा एके साथ जुड़े एक्स,समीकरण ए = एफ(एक्स, वाई).फिर मात्राएँ एक्स, वाई, एरूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

एक्स = एक्स [एक्स]; य = य [वाई];ए = ए [ए],

कहाँ ए, एक्स, वाई -किसी भौतिक मात्रा को दर्शाने वाले प्रतीक; ए, एक्स, वाई -मात्राओं के संख्यात्मक मान (आयाम रहित); [ए];[एक्स]; [य]-भौतिक मात्राओं के डेटा की संगत इकाइयाँ।

भौतिक राशियों और उनकी इकाइयों के मानों के आयाम मेल खाते हैं। उदाहरण के लिए:

ए = एक्स/वाई; मंद(ए) = मंद(एक्स/वाई) = [एक्स]/[य].

आयाम -किसी भौतिक मात्रा की गुणात्मक विशेषता, मात्रा के प्रकार, प्रकृति, अन्य मात्राओं के साथ उसके संबंध का विचार देती है, जिनकी इकाइयों को बुनियादी माना जाता है।