एवी के प्रत्येक खंड। खंडों की तुलना. खंडों पर कार्रवाई. किसी खंड को पूर्णांक से गुणा और विभाजित करना

7. एक समतल पर अनेक बिन्दु एवं रेखाएँ रखी होती हैं। स्वीकार करो उसे आप एक समतल पर बिंदु और सीधी रेखाएँ बना सकते हैं; व्यवहार में, एक रूलर का उपयोग एक सीधी रेखा बनाने के लिए किया जाता है।

सीधी रेखा दोनों दिशाओं में अंतहीन रूप से फैली हुई है। आख़िरकार। 4 सीधी रेखा AB का निर्माण किया गया है; अपनी कल्पना से आप इसे दोनों दिशाओं में अंतहीन रूप से जारी रख सकते हैं। यदि आप कोई बिंदु बनाते हैं, उदाहरण के लिए, बिंदु O, सीधी रेखा CD (चित्र 4) पर, तो सीधी रेखा 2 भागों में विभाजित हो जाएगी: एक भाग बिंदु O से बिना अंत के दाईं ओर फैला है, और दूसरा बिंदु से ओ बिना अंत के बायीं ओर। इनमें से प्रत्येक भाग को किरण कहा जाता है। यहां हमारे पास 2 बीम हैं: OD बीम और OC बीम।

हम प्रत्येक बिंदु से अनगिनत किरणें बना सकते हैं।

यदि हम एक सीधी रेखा पर 2 बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, सीधी रेखा केएल (चित्र 4) पर बिंदु ई और एफ, तो इन बिंदुओं के बीच सीधी रेखा के भाग को खंड कहा जाता है। ड्राइंग में हमारे पास खंड EF है।

8. 2 खंड डेटा की तुलना करेंएबी और सीडी (ड्राफ्ट 5)।

आइए खंड CD को इस प्रकार घुमाएँ कि बिंदु C, A से टकराए, और इसे बिंदु A के चारों ओर तब तक घुमाएँ जब तक कि खंड CD खंड AB के साथ न चला जाए। जब हम इसे प्राप्त कर लेते हैं, तो हम ध्यान देते हैं कि बिंदु D कहाँ गिरता है: यदि यह B में गिरता है, तो हमारे खंड बराबर हैं; यदि D बिंदु A और B के बीच कहीं पड़ता है (उदाहरण के लिए, M में), तो खंड CD को खंड AB से छोटा माना जाता है, और यदि बिंदु D, बिंदु B के पीछे पड़ता है (उदाहरण के लिए, N में), तो खंड CD CD, खंड AB से बड़ी है।

हम दो खंडों की "तुलना" को यह निर्धारित करने के अर्थ में समझते हैं कि क्या वे बराबर हैं या एक दूसरे से बड़ा है।

9. दिए गए दो खंडों का योग ज्ञात कीजिए।

दो खंड AB और CD लिए गए हैं (चित्र 6); आपको इन खंडों को जोड़ना होगा.

ऐसा करने के लिए, हम खंड सीडी को स्थानांतरित करते हैं ताकि बिंदु सी बी से टकराए, और फिर इसे बी के चारों ओर घुमाएं जब तक कि यह खंड एबी की निरंतरता का पालन न करे। ध्यान दें कि बिंदु D कहाँ पड़ता है; यदि यह K से टकराता है, तो खंड BK = CD और AK = AB + BK या AK = AB + CD है।

किसी भी खंड को मध्यवर्ती बिंदुओं द्वारा कई पदों के योग में विभाजित किया जा सकता है; उदाहरण:

एबी = एसी + सीडी + डीई + ईएफ + एफबी (चित्र 7)

यह हमारे लिए स्पष्ट है पदों की पुनर्व्यवस्था के आधार पर खंडों का योग नहीं बदलता है .

10. दो खंडों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए।

दो खंड AB और CD दिए गए हैं (चित्र 8); बड़े खंड AB में से छोटे खंड CD को घटाना आवश्यक है।

हम खंड सीडी को इस प्रकार घुमाते हैं कि बिंदु डी बिंदु बी से टकराए, और हम इसे बी के चारों ओर तब तक घुमाना शुरू करते हैं जब तक कि यह दिशा बीए में न चला जाए; आइए ध्यान दें, जब हम इसे प्राप्त कर लेते हैं, तो बिंदु C कहाँ गिरेगा यदि C, K में गिरता है, तो KB = CD और AK = AB - KB या AK = AB - CD।

आप इस खंड को 2, 3, 4, आदि से गुणा कर सकते हैं, यानी इसे पद के रूप में 2, 3, आदि बार दोहरा सकते हैं।

पैराग्राफ से. 8-10, हमारे लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि 1) निम्नलिखित अवधारणाएँ खंडों के साथ-साथ संख्याओं पर भी लागू होती हैं: "बराबर," "इससे बड़ा," और "इससे कम"; 2) "दो खंडों का योग और अंतर" की अवधारणाओं का एक बहुत ही निश्चित अर्थ है।

व्यवहार में, किसी दिए गए खंड के बराबर एक खंड बनाने के लिए, एक कंपास का उपयोग किया जाता है।

11. अभ्यास. 1. निम्नलिखित छवियों में से प्रत्येक में सारांश खंडों और उनके योग को नाम दें; लिखो (ड्राइंग ए)।

2. समान रेखाचित्रों पर इंगित करें कि किस खंड को दो अन्य खंडों का अंतर माना जा सकता है; लिखो।

3. इस खंड को 2, 3 और 4 पदों में विभाजित करें; लिखो।

4. इस खंड को दो अन्य खंडों के अंतर के रूप में प्रस्तुत करें।

12. हम निर्माण कर सकते हैं एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी एक आकृति, - ऐसी आकृति को कोण कहा जाता है. आख़िरकार। चित्र 9 बिंदु O से निकलने वाली किरणों OA और OB से युक्त एक कोण दिखाता है। इस बिंदु को कोण का शीर्ष कहा जाता है, और प्रत्येक किरण को इसकी भुजा कहा जाता है। शब्द "कोण" को चिन्ह ∠ से बदल दिया गया है। एक कोण को तीन अक्षरों से बुलाया जाता है, जिनमें से एक को शीर्ष पर रखा जाता है, और अन्य दो को कोण के किनारों पर कहीं रखा जाता है - शीर्ष पर स्थित अक्षर को कोण के नाम के मध्य में रखा जाता है। आख़िरकार। 9 हमारे पास ∠AOB या ∠BOA है; कभी-कभी किसी कोण को उसके शीर्ष पर रखे गए एक अक्षर को ∠O कहते हैं। कोण की भुजाओं (किरणों) को अन्तहीन मानना ​​चाहिए।

किसी कोण का एक विशेष मामला तब उत्पन्न होगा जब उसकी भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं; ऐसे विशेष कोण को सीधा या कहा जाता है मुड़ा हुआ कोण(चित्रा 12 समकोण AOB और A 1 O 1 B 1 दिखाता है)।

प्रत्येक कोण विमान को 2 भागों में, दो क्षेत्रों में विभाजित करता है। इनमें से एक भाग को कहा जाता है आंतरिक क्षेत्रकोने और कहते हैं कि यह कोने के अंदर स्थित है, और दूसरे को बुलाया जाता है बाहरी क्षेत्रकोने और कहो कि यह कोने के बाहर स्थित है। इन दोनों भागों में से किसे बाह्य क्षेत्र कहा जाता है और किसे आंतरिक, यह स्थिति का विषय है। हर बार आपको किसी आंतरिक चीज़ को चिह्नित करना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र। हम कोने के अंदरूनी क्षेत्र को कोने के किनारों के बीच के अंदरूनी क्षेत्र पर खींची गई घुमावदार रेखाओं से चिह्नित करेंगे; काले पर 10 कोण ABC, DEF और सीधे ∠KLM के आंतरिक क्षेत्रों को चिह्नित करता है।

पतले कार्डबोर्ड की शीट से कोनों को काटना उपयोगी है: कार्डबोर्ड का एक टुकड़ा विमान के हिस्से का एक मोटा प्रतिनिधित्व है; इस पर एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणें खींचकर और इस टुकड़े को खींचे गए कोण के किनारों से काटकर, हम कार्डबोर्ड के टुकड़े को 2 भागों में विभाजित करेंगे; आइए इनमें से एक भाग लें, जिसके बारे में हम यह मानना ​​चाहते हैं कि यह कोण के अंदर स्थित है, और दूसरे को हटा दें - फिर हमारे पास इसके आंतरिक क्षेत्र के साथ कोण का एक मॉडल होगा। इस मॉडल की सही व्याख्या करने के लिए, किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि कार्डबोर्ड का एक टुकड़ा एक विमान के केवल एक हिस्से की छवि है, और विमान स्वयं बिना अंत के फैला हुआ है।

13. दिए गए दो कोणों की तुलना करें∠ABC और ∠DEF (चित्र 11)।

दो कोणों की "तुलना" करने का अर्थ यह निर्धारित करना है कि क्या कोण बराबर हैं या एक दूसरे से बड़ा है। ऐसा करने के लिए, हम एक कोण को दूसरे पर आरोपित करना शुरू करेंगे ताकि उनके आंतरिक क्षेत्र एक-दूसरे के साथ चलें: यदि इस मामले में यह पता चलता है कि यह हासिल करना संभव है कि हमारे कोणों के शीर्ष और किनारे संरेखित हैं, तो हम कहते हैं कि ये कोण बराबर हैं; यदि हमारे कोणों के एक तरफ के शीर्ष संपाती हैं, लेकिन अन्य भुजाएं संपाती नहीं हैं, तो कोण बराबर नहीं हैं, और हम छोटे कोण को उस कोण के रूप में पढ़ते हैं जिसका आंतरिक क्षेत्र दूसरे के आंतरिक क्षेत्र पर फिट बैठता है।

व्यायाम. कागज से कोनों के मॉडल को उनके आंतरिक क्षेत्रों के साथ काटें और, इन मॉडलों को एक-दूसरे के ऊपर रखकर, ऊपर वर्णित मामलों की संभावना स्थापित करें; एक कोण का मॉडल काटने के बाद, उसके बराबर कोण का मॉडल और उसके बराबर न होने वाले कोणों का मॉडल (कम या ज्यादा) काट लें।

आइए कोणों ABC और DEF को देखें (चित्र 11); उनमें से प्रत्येक का आंतरिक क्षेत्र चित्र में अंकित है। हम ∠DEF को आगे बढ़ाते हैं ताकि इसका शीर्ष E बिंदु B से टकराए और इसकी भुजा EF भुजा BC के साथ चले - तब कोनों के आंतरिक क्षेत्र एक के बाद एक स्थित होंगे। यदि भुजा ED, भुजा BA के अनुदिश जाती है, तो ∠DEF = ∠ABC; यदि ED पक्ष ∠ABC के अंदर जाता है, उदाहरण के लिए, किरण BM के अनुदिश, तो ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠एबीसी.

चित्र में दिए गए कोण एबीसी और डीईएफ (आंतरिक क्षेत्रों को चिह्नित करते हुए) के लिए समान तर्क दोहराना उपयोगी है। 11 बीआईएस.

आइए हम दो कोणों की तुलना दो सीधे कोणों से करने की वर्णित विधि को लागू करें। आइए हमारे पास 2 सीधे कोण ∠AOB और ∠A1O1B1 (चित्र 12) हैं, जिनके आंतरिक क्षेत्र चित्र में अंकित हैं। इनमें से एक कोण को दूसरे पर इस प्रकार आरोपित करके कि एक का शीर्ष O 1 दूसरे के शीर्ष O में आ जाए और एक की भुजा O 1 A 1 दूसरे की भुजा OA के अनुदिश चले, हम निष्कर्ष पर पहुंचते हैं इन कोणों की अन्य भुजाएँ O 1 B 1 और OB संपाती हैं, क्योंकि रेखाएँ A 1 O 1 B 1 और AOB सीधी रेखाएँ हैं, जिनकी स्थिति दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित होती है। (कभी-कभी वे कहते हैं: "OB, OA की निरंतरता है" बजाय यह कहने के कि रेखा AOB एक सीधी रेखा है)। इसलिए हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं:

सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

14. सीधा किया गया ∠AOB (चित्र 12) समतल को 2 क्षेत्रों, आंतरिक और बाह्य में विभाजित करता है। यदि आप समतल को सीधी रेखा AOB के अनुदिश मोड़ते हैं, तो ये दोनों भाग संपाती हो जायेंगे। इसलिए, हम मान सकते हैं कि एक सीधे कोण के आंतरिक और बाहरी क्षेत्र एक दूसरे के बराबर होते हैं।

यदि हमारे पास कोई गैर-सुधारित कोण है, उदाहरण के लिए, ∠DEF (चित्र 11 या रेखांकन 11 बीआईएस), तो इसके एक पक्ष को जारी रखते हुए, उदाहरण के लिए, पक्ष DE (चित्र पर कोई निरंतरता नहीं खींची गई है), हम देखेंगे कि हमारे कोण के बारे में, यह स्थापित किया जा सकता है कि यह या तो सीधे (ड्राइंग 11) से कम है, या उससे अधिक है (ड्राइंग 11 बीआईएस); यह इस बात पर निर्भर करता है कि समतल के दोनों भागों में से किसको कोने के आंतरिक क्षेत्र के रूप में लिया जाता है। आमतौर पर कोण के आंतरिक क्षेत्र को चुना जाता है ताकि यह कोण सीधे कोण से छोटा हो, और इस मामले में हम कोण के आंतरिक क्षेत्र को चिह्नित नहीं करने पर सहमत हैं। कभी-कभी कोण की उत्पत्ति इंगित करेगी कि आंतरिक क्षेत्र को विमान के उस भाग पर विचार किया जाना चाहिए जहां कोण सीधा कोण से अधिक होगा। ये मामले भविष्य में कभी-कभी घटित होंगे, और फिर हमें कोने के आंतरिक क्षेत्र को चिह्नित करना होगा।

15. दो कोणों का योग ज्ञात कीजिये: ∠AOB और ∠PNM (चित्र 13), या ∠AOB और ∠PNM जोड़ें।

यहां ड्राइंग में कोनों के आंतरिक क्षेत्रों को चिह्नित नहीं किया गया है; पिछले पैराग्राफ की टिप्पणी के अनुसार, इसका मतलब यह है कि उन्हें चुना जाना चाहिए ताकि प्रत्येक कोण सीधा से कम हो, और हम इन क्षेत्रों को स्पष्ट रूप से देख सकें।

आइए ∠PNM को घुमाएँ ताकि इसका शीर्ष N, कोण AOB के शीर्ष O के साथ संपाती हो, और बिंदु O के चारों ओर घूमते हुए हम यह सुनिश्चित करेंगे कि पक्ष NP पक्ष OB के साथ जाए; तब हमारे कोणों के आंतरिक क्षेत्र एक दूसरे से सटे होंगे - कोणों के योग के लिए यह परिस्थिति आवश्यक है। आइए फिर ध्यान दें कि एनएम पक्ष कैसे जाएगा: उदाहरण के लिए, इसे किरण ओसी के साथ जाने दें। तब हमें एक नया ∠AOC मिलता है, जिसे दिए गए दो कोणों के योग के रूप में लिया जाता है। हम लिख सकते हैं:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
और 3) (1 के आधार पर) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM।

आप कई कोनों को भी मोड़ सकते हैं; आप इस कोण को कई पदों में तोड़ सकते हैं। आख़िरकार। 14 हमारे पास है:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

दो या दो से अधिक कोणों को एक-दूसरे से जोड़कर बनाना आसान है ताकि उनका योग समकोण के बराबर हो। यह संभव है कि कई कोणों का योग सीधे कोण से अधिक होगा (चित्र 15);

कोणों को जोड़ने का एक और विशेष मामला संभव है, जब जोड़े गए कोणों के आंतरिक क्षेत्र एक-दूसरे पर लागू होने पर पूरे विमान को कवर करते हैं। आख़िरकार। 16 हमारे पास निम्नलिखित कोण हैं: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF और ∠FOA। इस मामले में, किरण OM का निर्माण करने पर, जो कि किरण OA की निरंतरता है, हम देखते हैं कि हमारे कोणों के योग में दो सीधे कोण होते हैं: 1) सीधा ∠AOM, जिसका आंतरिक क्षेत्र एक घुमावदार रेखा द्वारा चिह्नित होता है , और 2) सीधा ∠AOM, जिसका आंतरिक क्षेत्र दोहरी घुमावदार रेखा से चिह्नित है। हम यहाँ है:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 सीधे कोने।

कहते हैं: किसी बिंदु के चारों ओर के सभी क्रमिक कोणों का योग दो समकोणों के बराबर होता है.

यदि ड्राइंग में बनाए गए कोणों के अलावा अतिरिक्त कोण हैं। 16, फिर उन्हें पहले सीधे कोण के साथ पिछले वाले पर फिर से लागू करना होगा, और फिर योग दो सीधे कोणों से अधिक, तीन सीधे कोणों के बराबर, तीन सीधे कोणों से अधिक, आदि के बराबर हो जाएगा।

16. दो कोणों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए: ∠AOB और ∠MNP (देव. 17), या ∠AOB में से ∠MNP घटाएं, यह मानते हुए कि ∠MNP< ∠AOB.

आइए ∠MNP को इस प्रकार घुमाएँ कि इसका शीर्ष N, कोण AOB के शीर्ष O में आ जाए; बिंदु O के चारों ओर घूमते हुए, हम तब प्राप्त करेंगे कि भुजा NM भुजा OB के साथ जाती है, और इन कोणों के आंतरिक क्षेत्र एक के ऊपर एक स्थित होते हैं। एनपी पक्ष को ओसी बीम का अनुसरण करने दें; तब हमें एक नया ∠AOC मिलता है, जिसके बारे में हम जानते हैं कि ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, जिससे, जोड़ की व्युत्क्रम क्रिया के रूप में घटाव की परिभाषा के अनुसार, हमें मिलता है:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
लेकिन ∠COB = ∠MNP; इसीलिए
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

पैराग्राफ से. 13-16 हमें इस विचार को समझना चाहिए कि निम्नलिखित अवधारणाएँ कोणों के साथ-साथ खंडों पर भी लागू होती हैं: अधिक, कम, बराबर, और यह कि दो कोणों के योग और अंतर की अवधारणाओं का एक निश्चित अर्थ होता है।

17. अभ्यास. 1. एक दूसरे से जुड़े हुए दो कोण बनाइए, उन्हें अक्षरों से नाम दीजिए, उनका योग बताइए और इन कोणों का योग लिखिए।

2. उसी रेखाचित्र पर इंगित करें कि एक कोण अन्य दो कोणों के बीच का अंतर है; नीचे लिखें।

3. निम्नलिखित चित्रों में (चित्र बी देखें), ∠AOB अन्य दो कोणों के अंतर द्वारा व्यक्त किया गया है।

4. इस कोण को 2, 3 और 4 पदों में विभाजित करें; इसे हर बार लिखें; सीधे कोने के साथ भी ऐसा ही करें।

5. इस कोण को सीधे कोण और किसी अन्य कोण के बीच अंतर के रूप में प्रस्तुत करें। इसके लिए किस प्रकार की संरचना की आवश्यकता है?

6. कागज से काटे गए कोण मॉडल का उपयोग करके कोण जोड़ें और घटाएँ।

18. भविष्य में, हम अक्सर अक्षरों को छोटा करने के लिए कोणों को अंक कहकर संख्या देंगे। हम शीर्ष के पास प्रत्येक कोण के अंदर कोण संख्याएँ लिखेंगे।

आइए ∠AOB (चित्र 18) बनाएं और इसे ∠1 कहें। आइए इस कोण को एक सीधे कोण में जोड़ें। समस्या के दो समाधान हैं: एक किरण OC का निर्माण करें, जो किरण OA की निरंतरता के रूप में कार्य करती है; तब हमें ∠BOC या ∠2 प्राप्त होता है, जो आवश्यकता को पूरा करता है, क्योंकि हम देखते हैं कि

∠1 + ∠2 = सीधा कोण.

यहां हमारे पास दो कोणों को जोड़ने का एक उदाहरण है जब योग सीधे कोण के बराबर होता है - ऐसे कोणों को आसन्न कहा जाता है: ∠1 और ∠2 आसन्न कोण हैं। 2 कोणों को "आसन्न" कहलाने के लिए यह आवश्यक है कि 1) वे एक-दूसरे से जुड़े हों और 2) कि उनका योग सीधे कोण के बराबर हो, या, जो समान है, कि इन कोणों में एक उभयनिष्ठता हो शीर्ष (कोण 1 और 2 उभयनिष्ठ शीर्ष O पर), एक उभयनिष्ठ भुजा (हमारे कोनों की उभयनिष्ठ भुजा OB है) और अन्य दो भुजाएँ एक दूसरे की निरंतरता हैं (OC, OA की निरंतरता है)।

हमारी समस्या का दूसरा समाधान तब प्राप्त होगा जब हम पक्ष OB को जारी रखेंगे - मान लीजिए कि OD, OB की निरंतरता है; तब हमें ∠1 के निकट एक और ∠AOD या ∠4 प्राप्त होता है। आइए हम परिणामी कोण COD को ∠3 भी कहें।

आइए हम अपनी समस्या के 2 प्राप्त समाधानों, यानी ∠2 और ∠4 की जांच करें। हम ∠2 और ∠4 के स्थान की ख़ासियत देखते हैं: उनके पास एक सामान्य शीर्ष O है, उनमें से एक की भुजाएँ दूसरे की भुजाओं की निरंतरता हैं, अर्थात् OC, OA की निरंतरता है और इसके विपरीत, और OB है OD की निरंतरता और इसके विपरीत - ऐसे दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं।

तब हम जानते हैं कि सुधार होने तक ∠2 और ∠4 दोनों ∠1 के पूरक हैं; यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

यहां बाद वाले विचार का अधिक विस्तृत सारांश दिया गया है। निर्माण के अनुसार, हमारे पास है:

1) ∠1 + ∠2 = सीधा कोण;
2) ∠1 + ∠4 = सीधा कोण।

हम देखते हैं कि दोनों योगों का योग समान है (सभी समकोण एक दूसरे के बराबर हैं), और, इसके अलावा, दोनों योगों में एक पद (अर्थात् ∠1) समान है; यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अन्य पद एक दूसरे के बराबर होने चाहिए, यानी ∠2 = ∠4।

यदि हम दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ बनाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोणों के दो जोड़े मिलते हैं। आख़िरकार। 18 हमारे पास रेखाएँ AC और BD हैं, ऊर्ध्वाधर कोणों का एक जोड़ा ∠2 और ∠4 है, और दूसरा ∠1 और ∠3 है। उपरोक्त सभी बातें ऊर्ध्वाधर कोणों के प्रत्येक जोड़े पर लागू होती हैं; उदाहरण के लिए, ∠1 और ∠3 की जोड़ी के लिए हमारे पास यह है कि उनमें से प्रत्येक संशोधित ∠2 को पूरक करता है, इसलिए, ∠1 = ∠3। इसलिए हमारे पास प्रमेय है:
ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

व्यायाम. बिंदु के माध्यम से तीन सीधी रेखाएं बनाएं और परिणामी ऊर्ध्वाधर कोणों को इंगित करें; उनकी समानता लिखिए.

आइए हमें दो खंड AB और CD दिए जाएं (चित्र)। आइए खंड एबी को खंड सीडी पर आरोपित करें ताकि बिंदु ए बिंदु सी के साथ मेल खाए, और खंड एबी को खंड सीडी के साथ निर्देशित करें। यदि बिंदु B, बिंदु D से मेल खाता है, तो खंड AB और CD बराबर हैं; एबी = सीडी.

आइए दो खंडों KO और EM की तुलना करें (चित्र)।

आइए खंड KO को खंड EM पर अधिरोपित करें ताकि बिंदु K और E संपाती हो जाएं। आइए खंड KO को खंड EM के साथ निर्देशित करें। यदि बिंदु O, बिंदु E और M के बीच कहीं है, तो वे कहते हैं कि खंड EM खंड KO से बड़ा है; खंड KO, खंड EM से कम है।

इसे इस प्रकार लिखा जाता है: EAT > KO, KO

कम्पास का उपयोग करके दिए गए खंड के बराबर एक खंड का निर्माण करना।

कम्पास का एक पैर खंड एबी के एक छोर पर रखा गया है, और दूसरा - इसके दूसरे छोर पर और, कम्पास के कोण को बदले बिना, इसे एक निश्चित सीधी रेखा में स्थानांतरित करें ताकि एक पैर का अंत किसी बिंदु को चिह्नित करे एन, तो कम्पास के दूसरे पैर का अंत उसी सीधी रेखा पर कुछ बिंदु आर को चिह्नित करता है। खंड एनपी खंड एबी के बराबर होगा।

खंडों का जोड़ और घटाव.

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

एनएम = एबी + सीडी।

इसी प्रकार, कई खंडों का योग पाया जाता है (चित्र)

एमएन = एबी + सीडी + ईएफ।

खंडों को जोड़ते समय, जैसे अंकगणित में संख्याओं को जोड़ते समय, निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाता है: क्रमविनिमेय और साहचर्य।

एबी + सीडी = सीडी + एबी;

(एबी + सीडी) + ईएफ =एबी + (सीडी + ईएफ)।

दो खंडों AB और CD के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए (चित्र),

इसके अंत से एक बड़े खंड (एबी) पर एक छोटे खंड (सीडी) को अलग रखना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, बिंदु ए। बड़े खंड का शेष भाग (KB) इन खंडों का अंतर होगा:

एबी - सीडी = केवी.

किसी खंड को पूर्णांक से गुणा और विभाजित करना।

खंड एमएन खंड एबी और संख्या 5 का गुणनफल है।

बी) चित्र में, खंड एमएन पांच समान खंडों से बना है, अर्थात खंड एमएन को पांच समान भागों में विभाजित किया गया है। उनमें से प्रत्येक खंड एमएन का 1/5 भाग बनाता है।

ग) कम्पास का उपयोग करके किसी खंड को बराबर भागों में विभाजित करने के लिए, ऐसा करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको किसी खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, तो कंपास को आंख से अलग कर दिया जाता है ताकि कंपास का उद्घाटन खंड का लगभग आधा हो। फिर, इसके अंत से दिए गए खंड पर, इस कंपास समाधान के साथ, दो खंड क्रमिक रूप से, एक के बाद एक रखे जाते हैं। यदि खंडों का परिणामी योग इस खंड से कम है, तो कंपास समाधान बढ़ जाता है; यदि राशि इस खंड से अधिक हो जाती है, तो कम्पास समाधान कम हो जाता है। तो, धीरे-धीरे त्रुटि को सुधारते हुए, आप खंड का आधा सटीक रूप से पा सकते हैं (चित्र)।

इसी प्रकार किसी खण्ड का अनुमानित विभाजन 3, 4, 5 आदि बराबर भागों में किया जाता है। केवल इस मामले में आपको आँख से 1/3 लेना चाहिए; 14 ; एक खंड का 1/5... और लिए गए खंड को 3, 4, 5... बार अलग रखें, यह इस बात पर निर्भर करता है कि दिए गए खंड को कितने बराबर भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है।

किसी कोण के किनारों पर समानांतर रेखाओं द्वारा काटे गए खंडों की संपत्ति

मान लीजिए कि कोण ABN की भुजा AB पर समान खंड BM = MK = KS (चित्र) बिछाए गए हैं और विभाजन बिंदु M, K और C से होकर समान कोण की भुजा BN को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाएँ खींची गई हैं।

इस तरफ तीन खंड बने: वीएम', एम'के' और के'एस'। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि VM' = M'K' = K'C'।

इसे सिद्ध करने के लिए, हम बिंदु M' और K' से होकर AB के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं। हमें त्रिभुज ВММ', М'ЭК' और К'RС' प्राप्त होते हैं। आइए इन त्रिभुजों की तुलना करें।

सबसे पहले, त्रिभुजों MVM' और M'EK' की तुलना करें। इन त्रिभुजों में हमारे पास है:

∠1 = ∠2, समानांतर BA और M'E और छेदक BN के लिए संगत कोण के रूप में;

∠3 = ∠4, न्यूनकोण 1 के रूप में संगत समानांतर भुजाओं के साथ (AB || M'E और MM' || PK')।

निर्माण द्वारा वीएम = एमके;

एमके = एम'ई, समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की तरह।

कोण 1 और 4 दोनों कुंठित हो सकते हैं, लेकिन इस मामले में वे बराबर रहेंगे, और इसलिए प्रमेय का प्रमाण नहीं बदलेगा।

इसलिए, BM = M'E. इस प्रकार, ΔВММ' = ΔМ'ЭК' (पक्ष और दो आसन्न कोणों पर)। यह इस प्रकार है कि VM' = M'K'।

यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि VM' = K'C', अर्थात VM' = M'K' = K'C'। प्रमेय को सिद्ध करते समय, हमने कोण के शीर्ष से खंडों को बिछाना शुरू किया, लेकिन प्रमेय उस स्थिति के लिए भी मान्य है जब खंडों को बिछाना कोण के शीर्ष से नहीं, बल्कि उसके किनारे के किसी भी बिंदु से शुरू होता है।

इस मामले में, कोने के शीर्ष को ड्राइंग (चित्र) में चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रमेय उस स्थिति के लिए भी मान्य है जब रेखाएँ KO और MR समानांतर हों।

आनुपातिक खंड

अंकगणित से हम जानते हैं कि दो अनुपातों की समानता को अनुपात कहते हैं। उदाहरण के लिए: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 हमारे पास ज्यामिति में एक ही चीज़ है: यदि खंडों के दो जोड़े दिए गए हैं जिनके अनुपात बराबर हैं, तो एक अनुपात बनाया जा सकता है।

अगर ए / बी= 4 / 3 और सी / डी= 4 / 3 (चित्र 351), तो हमें अनुपात प्राप्त होता है ए / बी = सी / डी ;

खंडों ए बी सी डीकहा जाता है आनुपातिक.

नज़रिया ए / बीअंकगणित की तरह, पहला संबंध कहा जाता है, सी / डी- दूसरा संबंध; एऔर डीअनुपात के चरम पद कहलाते हैं, बीऔर साथ- मध्य सदस्य.

एक अनुपात में, अनुपात को उलटा किया जा सकता है; आप चरम सदस्यों, मध्य सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं; आप एक ही समय में दोनों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं.

क्योंकि अनुपात में ए / बी = सी / डीअक्षरों का मतलब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाली संख्याएं हैं, तो इसके चरम सदस्यों का उत्पाद इसके मध्य सदस्यों के उत्पाद के बराबर है। यहां से आप अनुपात के तीन पदों को जानकर उसका अज्ञात चौथा पद ज्ञात कर सकते हैं। हाँ, अनुपात में ए / एक्स = सी / डी एक्स = एक घ / सी

आइए अनुपातों के कुछ और गुणों पर ध्यान दें, जिनका उपयोग भविष्य में कुछ प्रमेयों को सिद्ध करने और समस्याओं को हल करते समय करना होगा।

a) यदि एक अनुपात के तीन पद क्रमशः दूसरे अनुपात के तीन पदों के बराबर हों, तो इन अनुपातों के चौथे पद भी बराबर होते हैं।

अगर ए / बी = सी / एक्सऔर ए / बी = सी / य,वह एक्स = वाई. वास्तव में, एक्स = ख ग / ए , पर = ख ग / ए, यानी और एक्सऔर परसमान संख्या के बराबर ख ग / ए .

ख) यदि पिछले पद अनुपात में समान हैं, तो बाद वाले भी समान हैं, अर्थात ए / एक्स = ए / य, वह एक्स = वाई.

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए मध्य पदों को इस अनुपात में पुनर्व्यवस्थित करें।

हम पाते हैं: ए / ए = एक्स / य. लेकिन ए / ए= 1. इसलिए, और एक्स / य = 1.

और यह तभी संभव है जब भिन्न का अंश और हर बराबर हों, यानी।

एक्स = वाई.

ग) यदि बाद वाले पद अनुपात में समान हैं, तो पिछले वाले भी समान हैं, अर्थात यदि एक्स / ए = य / ए, वह एक्स = वाई.

आपको इस संपत्ति की वैधता स्वयं सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, पिछले तर्क के समान तर्क करें।

आनुपातिक खंडों का निर्माण

मान लीजिए कि दो रेखाएँ EF और OP तीन समानांतर रेखाएँ AB, CD और MN द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र)।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि समानांतर छेदक रेखाओं के बीच घिरे खंड AC, CM, BD और DN आनुपातिक हैं, अर्थात।

एसी/सीएम = बीडी/डीएन

माना कि खंड AC की लंबाई है आर, और खंड की लंबाई सीएम के बराबर है क्यू.

उदाहरण के लिए, आर= 4 सेमी और क्यू= 5 सेमी.

आइए AC और CM को 1 सेमी के बराबर खंडों में विभाजित करें, और विभाजन बिंदुओं से हम सीधी रेखाओं AB, CD और MN के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

फिर, समान खंड सीधी रेखा OR पर जमा किए जाएंगे, खंड BD पर 4 खंड और खंड DN पर 5 खंड होंगे।

AC से CM का अनुपात 4/5 है, और इसी प्रकार BD से DN का अनुपात 4/5 है।

अतः एसी/सीएम = बीडी/डीएन।

इसका मतलब है कि खंड एसी, सीएम, बीडी और डीएन आनुपातिक हैं। खंड AC, AM, BD और BN (एक दूसरे को ओवरलैप करते हुए) भी आनुपातिक हैं, अर्थात AC/AM = BD/BN,

चूँकि AC/AM = 4/9 और BD/BN = 4/9

प्रमेय किसी भी अन्य पूर्णांक मान के लिए मान्य होगा आरऔर क्यू.

यदि माप की दी गई इकाई (उदाहरण के लिए, एक सेंटीमीटर) के लिए खंड एसी और सीएम की लंबाई पूर्णांकों में व्यक्त नहीं की जाती है, तो एक छोटी इकाई (उदाहरण के लिए, एक मिलीमीटर या माइक्रोन) लेना आवश्यक है, जिसमें AC और CM खंडों की लंबाई व्यावहारिक रूप से पूर्णांकों में व्यक्त की जाती है।

सिद्ध प्रमेय उस स्थिति में भी मान्य है जब समानांतर छेदकों में से एक इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है। यह उस स्थिति में भी मान्य है जब खंडों को सीधे एक के बाद एक नहीं, बल्कि एक निश्चित अंतराल के बाद प्लॉट किया जाता है।

रेखा खंड। खंड की लंबाई. त्रिकोण.

1. इस अनुच्छेद में आपको ज्यामिति की कुछ अवधारणाओं से परिचित कराया जाएगा। ज्यामिति- "पृथ्वी को मापने" का विज्ञान। यह शब्द लैटिन शब्दों से आया है: जियो - अर्थ और मीटर - माप, मापना। ज्यामिति में, विभिन्न ज्यामितीय वस्तुएँ, उनकी संपत्तियाँ, बाहरी दुनिया के साथ उनके संबंध। सबसे सरल ज्यामितीय वस्तुएँ एक बिंदु, एक रेखा, एक सतह हैं। अधिक जटिल ज्यामितीय वस्तुएँ, उदाहरण के लिए, ज्यामितीय आकृतियाँ और पिंड, सबसे सरल से बनते हैं।

यदि हम दो बिंदुओं A और B पर एक रूलर लगाते हैं और इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खींचते हैं, तो हमें मिलता है रेखा खंड,जिसे एबी या वीए कहा जाता है (हम पढ़ते हैं: "ए-बी", "बी-ए")। बिंदु A और B कहलाते हैं खंड के अंत(चित्र 1)। किसी खंड के सिरों के बीच की दूरी, जिसे लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है, कहलाती है लंबाईकाटनाका.

लंबाई की इकाइयाँ: मी - मीटर, सेमी - सेंटीमीटर, डीएम - डेसीमीटर, मिमी - मिलीमीटर, किमी - किलोमीटर, आदि। (1 किमी = 1000 मीटर; 1 मीटर = 10 डीएम; 1 डीएम = 10 सेमी; 1 सेमी = 10 मिमी)।खंडों की लंबाई मापने के लिए रूलर या टेप माप का उपयोग करें। किसी खंड की लंबाई मापने का अर्थ यह पता लगाना है कि कोई विशेष लंबाई माप उसमें कितनी बार फिट बैठता है।

बराबरदो खंड कहलाते हैं जिन्हें एक को दूसरे पर आरोपित करके जोड़ा जा सकता है (चित्र 2)। उदाहरण के लिए, आप वास्तव में या मानसिक रूप से किसी एक खंड को काटकर दूसरे से जोड़ सकते हैं ताकि उनके सिरे मेल खाएँ। यदि खंड AB और SK बराबर हैं, तो हम AB = SK लिखते हैं। समान खंडों की लंबाई समान होती है। विपरीत सत्य है: समान लंबाई के दो खंड बराबर होते हैं। यदि दो खंडों की लंबाई अलग-अलग है, तो वे समान नहीं हैं। दो असमान खंडों में से, छोटा वह है जो दूसरे खंड का हिस्सा बनता है। आप कंपास का उपयोग करके ओवरलैपिंग सेगमेंट की तुलना कर सकते हैं।

यदि हम मानसिक रूप से खंड AB को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाएँ, तो हमें इसका अंदाज़ा मिल जाएगा सीधाएबी (चित्र 3)। किसी रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु उसे दो भागों में विभाजित कर देता है खुशी से उछलना(चित्र 4)। बिंदु C रेखा AB को दो भागों में विभाजित करता है खुशी से उछलनाएसए और एसवी. टोस्का सी कहा जाता है किरण की शुरुआत.

2. यदि तीन बिंदु जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, खंडों द्वारा जुड़े हुए हैं, तो हमें एक आकृति प्राप्त होती है जिसे कहा जाता है त्रिकोण.इन बिंदुओं को कहा जाता है चोटियोंत्रिभुज, और उन्हें जोड़ने वाले खंड दलोंत्रिभुज (चित्र 5)। एफएनएम - त्रिभुज, खंड एफएन, एनएम, एफएम - त्रिभुज की भुजाएं, बिंदु एफ, एन, एम - त्रिभुज के शीर्ष। सभी त्रिभुजों की भुजाओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: d किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई उसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई के योग से हमेशा कम होती है।

यदि आप मानसिक रूप से, उदाहरण के लिए, टेबल टॉप की सतह को सभी दिशाओं में फैलाते हैं, तो आपको इसका अंदाजा हो जाएगा विमान. बिंदु, खंड, सीधी रेखाएं, किरणें एक समतल पर स्थित हैं (चित्र 6)।

ब्लॉक 1. अतिरिक्त

वह दुनिया जिसमें हम रहते हैं, वह सब कुछ जो हमें घेरे हुए है, पूर्वजों को प्रकृति या अंतरिक्ष कहा जाता है। जिस स्थान में हम रहते हैं उसे त्रि-आयामी माना जाता है, अर्थात। तीन आयाम हैं. उन्हें अक्सर कहा जाता है: लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई (उदाहरण के लिए, एक कमरे की लंबाई 4 मीटर है, एक कमरे की चौड़ाई 2 मीटर है और ऊंचाई 3 मीटर है)।

एक ज्यामितीय (गणितीय) बिंदु का विचार हमें रात के आकाश में एक तारा, इस वाक्य के अंत में एक बिंदु, एक सुई से एक निशान, आदि द्वारा दिया जाता है। हालाँकि, सभी सूचीबद्ध वस्तुओं के आयाम हैं; इसके विपरीत, एक ज्यामितीय बिंदु के आयाम शून्य के बराबर माने जाते हैं (इसके आयाम शून्य के बराबर होते हैं)। अत: किसी वास्तविक गणितीय बिंदु की कल्पना केवल मानसिक रूप से ही की जा सकती है। आप यह भी बता सकते हैं कि यह कहां स्थित है. फाउंटेन पेन से नोटबुक में एक बिंदु रखकर, हम एक ज्यामितीय बिंदु का चित्रण नहीं करेंगे, बल्कि हम मान लेंगे कि निर्मित वस्तु एक ज्यामितीय बिंदु है (चित्र 6)। अंक लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों में निर्दिष्ट हैं: ए, बी, सी, डी, (पढ़ना " बिंदु ए, बिंदु बी, बिंदु त्से, बिंदु डी") (चित्र 7)।

खंभों पर लटके तार, एक दृश्यमान क्षितिज रेखा (आकाश और पृथ्वी या पानी के बीच की सीमा), मानचित्र पर दर्शाया गया एक नदी तल, एक जिमनास्टिक घेरा, एक फव्वारे से निकलती पानी की धारा हमें रेखाओं का अंदाजा देती है।

बंद और खुली रेखाएँ, चिकनी और गैर-चिकनी रेखाएँ, स्व-प्रतिच्छेदन वाली और बिना स्व-प्रतिच्छेदन वाली रेखाएँ (चित्र 8 और 9) हैं।

कागज की एक शीट, लेजर डिस्क, सॉकर बॉल शेल, पैकेजिंग बॉक्स कार्डबोर्ड, क्रिसमस प्लास्टिक मास्क, आदि। हमें इसका एक विचार दें सतह(चित्र 10)। किसी कमरे या कार के फर्श को पेंट करते समय, फर्श या कार की सतह को पेंट से ढक दिया जाता है।

मानव शरीर, पत्थर, ईंट, पनीर, गेंद, बर्फ का हिमलंब, आदि। हमें इसका एक विचार दें ज्यामितिकनिकाय (चित्र 11)।

सभी पंक्तियों में सबसे सरल है यह सीधा है. कागज की एक शीट पर एक रूलर रखें और पेंसिल से उस पर एक सीधी रेखा खींचें। मानसिक रूप से इस रेखा को दोनों दिशाओं में अनंत तक विस्तारित करने पर हमें एक सीधी रेखा का आभास होगा। ऐसा माना जाता है कि एक सीधी रेखा का एक आयाम - लंबाई होता है, और इसके अन्य दो आयाम शून्य के बराबर होते हैं (चित्र 12)।

समस्याओं को हल करते समय, एक सीधी रेखा को एक रेखा के रूप में दर्शाया जाता है जिसे एक शासक के साथ पेंसिल या चॉक से खींचा जाता है। सीधी रेखाओं को लोअरकेस लैटिन अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: ए, बी, एन, एम (चित्रा 13)। आप एक सीधी रेखा को उस पर स्थित बिंदुओं के अनुरूप दो अक्षरों से भी निरूपित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सीधा एनचित्र 13 में हम निरूपित कर सकते हैं: एबी या वीए, एडीयाडीए,डीबी या बीडी.

बिंदु एक रेखा पर स्थित हो सकते हैं (एक रेखा से संबंधित होते हैं) या एक रेखा पर नहीं होते हैं (एक रेखा से संबंधित नहीं होते हैं)। चित्र 13 रेखा AB (रेखा AB से संबंधित) पर स्थित बिंदु A, D, B को दर्शाता है। साथ ही वे लिखते भी हैं. पढ़ें: बिंदु A, रेखा AB से संबंधित है, बिंदु B, AB से संबंधित है, बिंदु D, AB से संबंधित है। बिंदु D भी रेखा m से संबंधित है, इसे कहा जाता है सामान्यबिंदु. बिंदु D पर रेखाएँ AB और m प्रतिच्छेद करती हैं। बिंदु P और R सीधी रेखाओं AB और m से संबंधित नहीं हैं:

सदैव किन्हीं दो बिन्दुओं के माध्यम से आप एक सीधी रेखा और केवल एक ही खींच सकते हैं .

किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सभी प्रकार की रेखाओं में से, जिस खंड के सिरे ये बिंदु हैं उसकी लंबाई सबसे कम होती है (चित्र 14)।

वह आकृति जिसमें बिंदु और उन्हें जोड़ने वाले खंड होते हैं, टूटी हुई रेखा कहलाती है (चित्र 15)। वे खंड जो एक टूटी हुई रेखा बनाते हैं, कहलाते हैं लिंकटूटी हुई रेखा, और उनके सिरे - चोटियोंटूटी पंक्ति एक टूटी हुई रेखा को उसके सभी शीर्षों को क्रम में सूचीबद्ध करके नामित (नामित) किया जाता है, उदाहरण के लिए, टूटी हुई रेखा ABCDEFG। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग होती है। इसका मतलब है कि टूटी हुई रेखा ABCDEFG की लंबाई योग के बराबर है: AB + BC + CD + DE + EF + FG।

बंद टूटी हुई रेखा कहलाती है बहुभुज, इसके शीर्ष कहलाते हैं बहुभुज के शीर्ष, और उसके लिंक दलोंबहुभुज (चित्र 16)। किसी एक बहुभुज का नाम उसके सभी शीर्षों को क्रम से सूचीबद्ध करके (नामित) किया जाता है, किसी एक से शुरू करके, उदाहरण के लिए, बहुभुज (सप्तकोण) एबीसीडीईएफजी, बहुभुज (पंचकोण) आरटीपीकेएल:

बहुभुज की सभी भुजाओं की लंबाई का योग कहलाता है परिमाप बहुभुज और लैटिन द्वारा निरूपित किया जाता है पत्रपी(पढ़ना: पी.ई). चित्र 13 में बहुभुजों की परिधि:

पी एबीसीडीईएफजी = एबी + बीसी + सीडी + डीई + ईएफ + एफजी + जीए।

पी आरटीपीकेएल = आरटी + टीपी + पीके + केएल + एलआर।

मानसिक रूप से किसी टेबल टॉप या खिड़की के शीशे की सतह को सभी दिशाओं में अनंत तक विस्तारित करने पर हमें सतह का अंदाजा मिलता है, जिसे कहा जाता है विमान (चित्र 17)। विमानों को ग्रीक वर्णमाला के छोटे अक्षरों में दर्शाया गया है: α, β, γ, δ, ... (हम पढ़ते है: समतल अल्फा, बीटा, गामा, डेल्टा, आदि।).

खंड 2. शब्दावली.

§2 से नए शब्दों और परिभाषाओं का एक शब्दकोश बनाएं। ऐसा करने के लिए, तालिका की खाली पंक्तियों में नीचे दिए गए शब्दों की सूची से शब्द दर्ज करें। तालिका 2 में पंक्ति संख्याओं के अनुसार पद संख्याओं को इंगित करें। यह अनुशंसा की जाती है कि आप शब्दकोश भरने से पहले §2 और ब्लॉक 2.1 की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें।

ब्लॉक 3. पत्राचार (सीएस) स्थापित करें।

ज्यामितीय आंकड़े.

ब्लॉक 4. स्व-परीक्षण।

रूलर का उपयोग करके एक खंड को मापना।

आइए याद रखें कि एक खंड AB को सेंटीमीटर में मापने का अर्थ है इसकी तुलना 1 सेमी लंबे खंड से करना और यह पता लगाना कि ऐसे कितने 1 सेमी खंड खंड AB में फिट होते हैं। लंबाई की अन्य इकाइयों में एक खंड को मापने के लिए, उसी तरह आगे बढ़ें।

कार्यों को पूरा करने के लिए तालिका के बाएँ कॉलम में दी गई योजना के अनुसार कार्य करें। इस मामले में, हम सही कॉलम को कागज की शीट से ढकने की सलाह देते हैं। फिर आप अपने निष्कर्षों की तुलना दाईं ओर तालिका में दिए गए समाधानों से कर सकते हैं।

ब्लॉक 5. क्रियाओं का क्रम स्थापित करना (एसई)।

दी गई लंबाई के एक खंड का निर्माण करना।

विकल्प 1. तालिका में दी गई लंबाई के एक खंड के निर्माण के लिए एक मिश्रित एल्गोरिदम (क्रियाओं का एक मिश्रित क्रम) शामिल है (उदाहरण के लिए, आइए एक खंड BC = 7 सेमी बनाएं)। बाएँ कॉलम में क्रिया का संकेत है, दाएँ कॉलम में इस क्रिया को करने का परिणाम है। तालिका की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि आपको दी गई लंबाई के खंड के निर्माण के लिए सही एल्गोरिदम मिल सके। क्रियाओं का सही क्रम लिखिए।

विकल्प 2।निम्न तालिका खंड KM = n सेमी के निर्माण के लिए एल्गोरिदम दिखाती है, जहां इसके बजाय एनआप किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं. इस विकल्प में क्रिया और परिणाम के बीच कोई पत्राचार नहीं है। इसलिए, क्रियाओं का क्रम स्थापित करना आवश्यक है, फिर प्रत्येक क्रिया के लिए उसके परिणाम का चयन करें। उत्तर को इस रूप में लिखें: 2ए, 1सी, 4बी, आदि।

विकल्प 3.विकल्प 2 के एल्गोरिदम का उपयोग करके, अपनी नोटबुक में n = 3 सेमी, n = 10 सेमी, n = 12 सेमी पर खंड बनाएं।

ब्लॉक 6. पहलू परीक्षण.

खंड, किरण, सीधी रेखा, समतल।

पहलू परीक्षण के कार्यों में, तालिका 1 में दिए गए चित्र और रिकॉर्ड संख्या 1 - 12 का उपयोग किया जाता है, उनसे कार्य डेटा बनता है। फिर कार्यों की आवश्यकताओं को उनमें जोड़ा जाता है, जिन्हें परीक्षण में कनेक्टिंग शब्द "TO" के बाद रखा जाता है। समस्याओं के उत्तर "EQUAL" शब्द के बाद रखे गए हैं। कार्यों का सेट तालिका 2 में दिया गया है। उदाहरण के लिए, कार्य 6.15.19 इस प्रकार बनाया गया है: "यदि समस्या चित्र 6 का उपयोग करती है , एसफिर इसमें शर्त संख्या 15 जोड़ी जाती है, कार्य आवश्यकता संख्या 19 है।”

13) चार बिंदुओं का निर्माण करें ताकि उनमें से प्रत्येक तीन एक ही सीधी रेखा पर न हों;

14) प्रत्येक दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें;

15) मानसिक रूप से बॉक्स की प्रत्येक सतह को सभी दिशाओं में अनंत तक फैलाएं;

16) चित्र में विभिन्न खंडों की संख्या;

17) चित्र में विभिन्न किरणों की संख्या;

18) आकृति में विभिन्न सीधी रेखाओं की संख्या;

19) प्राप्त विभिन्न विमानों की संख्या;

20) एसी खंड की लंबाई सेंटीमीटर में;

21) खंड एबी की लंबाई किलोमीटर में;

22) खंड डीसी की लंबाई मीटर में;

23) त्रिभुज PRQ का परिमाप;

24) टूटी हुई लाइन QPRMN की लंबाई;

25) त्रिभुज RMN और PRQ के परिमापों का भागफल;

26) खंड ईडी की लंबाई;

27) खंड बीई की लंबाई;

28) रेखाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामी बिंदुओं की संख्या;

29) परिणामी त्रिभुजों की संख्या;

30) भागों की संख्या जिनमें विमान विभाजित था;

31) बहुभुज की परिधि, मीटर में व्यक्त;

32) बहुभुज की परिधि, डेसीमीटर में व्यक्त;

33) बहुभुज की परिधि, सेंटीमीटर में व्यक्त;

34) बहुभुज की परिधि, मिलीमीटर में व्यक्त;

35) बहुभुज की परिधि, किलोमीटर में व्यक्त;

समान (बराबर, रूप है):

ए) 70; बी 4; ग) 217; घ) 8; ई)20; ई)10; जी) 8∙बी; ज) 800∙बी; i) 8000∙b; जे) 80∙बी; एल) 63000; एम) 63; एम) 63000000; ओ)3; एन) 6; पी) 630000; ग) 6300000; टी) 7; वाई) 5; टी) 22; एक्स) 28

ब्लॉक 7. आओ खेलें.

7.1. गणित भूलभुलैया.

भूलभुलैया में दस कमरे हैं जिनमें से प्रत्येक में तीन दरवाजे हैं। प्रत्येक कमरे में एक ज्यामितीय वस्तु है (यह कमरे की दीवार पर बनी हुई है)। इस वस्तु के बारे में जानकारी भूलभुलैया के "गाइड" में है। इसे पढ़ते समय आपको उस कमरे में जाना होगा जिसके बारे में गाइडबुक में लिखा है। जैसे ही आप भूलभुलैया के कमरों से गुजरें, अपना मार्ग बनाएं। अंतिम दो कमरों में निकास द्वार हैं।

भूलभुलैया के लिए गाइड

1. आपको एक कमरे के माध्यम से भूलभुलैया में प्रवेश करना होगा जहां एक ज्यामितीय वस्तु है जिसकी कोई शुरुआत नहीं है, लेकिन दो छोर हैं।
2. इस कमरे की ज्यामितीय वस्तु का कोई आयाम नहीं है, यह रात के आकाश में एक दूर के तारे की तरह है।
3. इस कमरे की ज्यामितीय वस्तु चार खंडों से बनी है जिनमें तीन सामान्य बिंदु हैं।
4. इस ज्यामितीय वस्तु में चार सामान्य बिंदुओं वाले चार खंड होते हैं।
5. इस कमरे में ज्यामितीय वस्तुएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक की शुरुआत है लेकिन कोई अंत नहीं है।
6. यहां दो ज्यामितीय वस्तुएं हैं जिनका न तो आरंभ है और न ही अंत, लेकिन एक सामान्य बिंदु है।

1. इस ज्यामितीय वस्तु का अंदाज़ा तोपखाने के गोले की उड़ान से मिलता है

(आंदोलन का प्रक्षेपवक्र)।

1. इस कमरे में तीन चोटियों वाली एक ज्यामितीय वस्तु है, लेकिन वे पहाड़ी नहीं हैं।

1. बूमरैंग की उड़ान इस ज्यामितीय वस्तु (शिकार) का अंदाज़ा देती है

ऑस्ट्रेलिया के मूल निवासियों के हथियार)। भौतिकी में इस रेखा को प्रक्षेपवक्र कहा जाता है

शरीर की हरकतें.

1. इस ज्यामितीय वस्तु का अंदाज़ा झील की सतह से मिलता है

शांत मौसम.

अब आप भूलभुलैया से बाहर निकल सकते हैं.

भूलभुलैया में ज्यामितीय वस्तुएँ हैं: समतल, खुली रेखा, सीधी रेखा, त्रिभुज, बिंदु, बंद रेखा, टूटी हुई रेखा, खंड, किरण, चतुर्भुज।

7.2. ज्यामितीय आकृतियों की परिधि.

चित्रों में, ज्यामितीय आकृतियों को उजागर करें: त्रिकोण, चतुर्भुज, पंचकोण और षट्भुज। एक रूलर (मिलीमीटर में) का उपयोग करके, उनमें से कुछ की परिधि निर्धारित करें।

7.3. ज्यामितीय वस्तुओं की रिले दौड़।

रिले कार्यों में खाली फ़्रेम हैं. उनमें लुप्त शब्द लिखिए। फिर इस शब्द को दूसरे फ़्रेम पर ले जाएँ जहाँ तीर इंगित करता है। ऐसे में आप इस शब्द का केस बदल सकते हैं. जैसे-जैसे आप रिले के चरणों से गुजरते हैं, आवश्यक संरचनाओं को पूरा करें। यदि आप रिले को सही ढंग से पूरा करते हैं, तो आपको अंत में निम्नलिखित शब्द प्राप्त होगा: परिमाप.

7.4. ज्यामितीय वस्तुओं की ताकत.

§ 2 पढ़ें, इसके पाठ से ज्यामितीय वस्तुओं के नाम लिखें। फिर इन शब्दों को "किले" की खाली कोठरियों में लिखें।