Historique des fonctions dérivées. Histoire du dérivé. Dérivé en biologie

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Histoire du dérivé

« Ce monde était plongé dans une profonde obscurité. Que la lumière soit! Et puis Newton est apparu. Épitaphe du poète A. Pope :

L'histoire de l'apparition du dérivé A la fin du XIIe siècle, le grand scientifique anglais Isaac Newton a prouvé que la trajectoire et la vitesse sont liées entre elles par la formule : V (t) = S '(t) et une telle connexion existe entre les caractéristiques quantitatives des processus étudiés les plus divers : physique, chimie, biologie et sciences techniques. Cette découverte de Newton a marqué un tournant dans l'histoire des sciences naturelles.

L'honneur de découvrir les lois fondamentales de l'analyse mathématique, aux côtés de Newton, appartient au mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Histoire de l'apparition de la dérivée Leibniz est arrivé à ces lois en résolvant le problème du tracé d'une tangente à une courbe arbitraire, c'est-à-dire formulé la signification géométrique de la dérivée selon laquelle la valeur de la dérivée au point de tangence est le coefficient angulaire de la tangente ou tg l'angle d'inclinaison de la tangente avec la direction positive de l'axe O X.

Le terme dérivé et les désignations modernes y', f' ont été introduits par J. Lagrange en 1797. Histoire du dérivé

La dérivée est-elle nécessaire dans un futur métier ? De nos jours, les représentants de diverses spécialités doivent faire face à de telles tâches : les ingénieurs technologiques tentent d'organiser la production de manière à produire autant de produits que possible ; Les concepteurs tentent de développer un dispositif pour un vaisseau spatial de manière à ce que la masse de l'appareil soit minimale ; Les économistes tentent de planifier les connexions de l’usine avec les sources de matières premières de manière à ce que les coûts de transport soient minimes.

Travail réalisé par : Lysenko Anastasia Posokhova Marika Shalnov Denis Struchenkov Nikita Enseignant superviseur : Novikova Lyubov Anatolyevna Matériel utilisé : FileLand.RU

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Sur le thème : évolutions méthodologiques, présentations et notes

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Diapositive n°2

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Diapositive n°3

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De l'histoire : Dans l'histoire des mathématiques, on distingue traditionnellement plusieurs étapes dans le développement des connaissances mathématiques : Formation du concept de figure géométrique et de nombre comme idéalisation d'objets réels et d'ensembles d'objets homogènes. L'avènement du comptage et de la mesure, qui permettent de comparer différents nombres, longueurs, surfaces et volumes. Invention des opérations arithmétiques. Accumulation empirique (par essais et erreurs) de connaissances sur les propriétés des opérations arithmétiques, sur les méthodes de mesure des aires et des volumes de figures et de corps simples. Les mathématiciens sumériens-babyloniens, chinois et indiens de l'Antiquité ont fait de grands progrès dans cette direction. L'apparition dans la Grèce antique d'un système mathématique déductif, qui montrait comment obtenir de nouvelles vérités mathématiques basées sur celles existantes. Le couronnement des mathématiques de la Grèce antique fut les Éléments d'Euclide, qui servirent de norme de rigueur mathématique pendant deux millénaires. Les mathématiciens des pays islamiques ont non seulement préservé les acquis anciens, mais ont également pu les synthétiser avec les découvertes des mathématiciens indiens, qui ont progressé plus loin que les Grecs dans la théorie des nombres. Aux XVIe et XVIIIe siècles, les mathématiques européennes ont connu un renouveau et ont progressé considérablement. Sa base conceptuelle au cours de cette période était la conviction que les modèles mathématiques sont une sorte de squelette idéal de l'Univers et que, par conséquent, la découverte de vérités mathématiques est en même temps la découverte de nouvelles propriétés du monde réel. Le principal succès dans cette voie a été le développement de modèles mathématiques de dépendance (fonction) et de mouvement accéléré (analyse des infinitésimaux). Toutes les sciences naturelles ont été reconstruites sur la base de modèles mathématiques nouvellement découverts, ce qui a conduit à des progrès colossaux. Aux XIXe et XXe siècles, il apparaît clairement que la relation entre les mathématiques et la réalité est loin d’être aussi simple qu’elle le paraissait auparavant. Il n'existe pas de réponse généralement acceptée à une sorte de « question fondamentale en philosophie des mathématiques » : trouver la raison de « l'efficacité incompréhensible des mathématiques dans les sciences naturelles ». Sur ce point, et pas seulement sur ce point, les mathématiciens étaient divisés en de nombreuses écoles de débat. Plusieurs tendances dangereuses sont apparues : spécialisation trop étroite, isolement des problèmes pratiques, etc. Dans le même temps, la puissance des mathématiques et leur prestige, soutenus par l'efficacité de leur application, sont plus élevés que jamais.

Diapositive n°4

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Diapositive n°5

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Différentiabilité La dérivée f"(x0) d'une fonction f en un point x0, étant une limite, peut ne pas exister ou exister et être finie ou infinie. Une fonction f est dérivable en un point x0 si et seulement si sa dérivée en ce point existe et est finie : Pour une fonction f différentiable en x0 dans un voisinage de U(x0) a la représentation suivante : f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

Diapositive n°6

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Remarques Appelons Δx = x − x0 l'incrément de l'argument de la fonction, et Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) l'incrément de la valeur de la fonction au point x0. Ensuite, laissez la fonction avoir une dérivée finie en chaque point. Ensuite, la fonction dérivée est définie. Une fonction qui a une dérivée finie en un point est continue en ce point. L’inverse n’est pas toujours vrai. Si la fonction dérivée elle-même est continue, alors la fonction f est dite continûment différentiable et s'écrit :

Diapositive n°7

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Signification géométrique et physique de la dérivée Signification géométrique de la dérivée. Sur le graphique de la fonction, l'abscisse x0 est sélectionnée et l'ordonnée correspondante f(x0) est calculée. Un point arbitraire x est sélectionné au voisinage du point x0. Une ligne sécante est tracée passant par les points correspondants sur le graphique de la fonction F (la première ligne gris clair C5). La distance Δx = x - x0 tend vers zéro, de ce fait la sécante se transforme en tangente (les lignes C5 - C1 s'assombrissent progressivement). La tangente de l'angle α de la pente de cette tangente est la dérivée au point x0.

Diapositive n°8

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Dérivées d'ordre supérieur La notion de dérivée d'ordre arbitraire est définie de manière récursive. Nous supposons que si une fonction f est différentiable en x0, alors la dérivée du premier ordre est déterminée par la relation. Supposons maintenant que la dérivée du nième ordre f(n) soit définie dans un certain voisinage du point x0 et dérivable. Alors

Diapositive n°9

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Méthodes d'écriture de dérivés En fonction des objectifs, de la portée et de l'appareil mathématique utilisé, diverses méthodes d'écriture de dérivés sont utilisées. Ainsi, la dérivée d'ordre n peut s'écrire dans la notation : Lagrange f(n)(x0), tandis que pour les petits n premiers et les chiffres romains sont souvent utilisés : f(1)(x0) = f"(x0) = fI( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f(4)(x0 ) = fIV(x0), etc. Cette notation est pratique en raison de sa brièveté et est largement utilisée par Leibniz, une notation visuelle pratique du rapport des infinitésimaux : Newton, qui est souvent utilisée en mécanique pour la dérivée temporelle de la fonction de coordonnées ; (pour la dérivée spatiale, la notation Lagrange est plus souvent utilisée). L'ordre de la dérivée est indiqué par le nombre de points sur la fonction, par exemple : - la dérivée du premier ordre de x par rapport à t à t = t0, ou - la dérivée seconde de f par rapport à x au point x0 , etc. Euler, utilisant un opérateur différentiel (à proprement parler, une expression différentielle, alors que l'espace fonctionnel correspondant n'a pas été introduit), et est donc pratique dans les questions liées à l'analyse fonctionnelle : Bien sûr, il ne faut pas oublier qu'ils servent tous pour désigner les mêmes objets :

Diapositive n°10

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Exemples : Soit f(x) = x2. Alors laissez f(x) = | X | . Alors si alors f"(x0) = sgnx0, où sgn désigne la fonction signe. Si x0 = 0, alors f"(x0) n'existe pas

Diapositive n°11

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Règles de différenciation L'opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. (la dérivée d'une somme est égale à la somme de ses dérivées) (d'ici notamment, il s'ensuit que la dérivée du produit d'une fonction et d'une constante est égale au produit de la dérivée de cette fonction et d'une constante ) Si la fonction est donnée paramétriquement : alors,

L'histoire de l'émergence du concept de dérivé

La branche des mathématiques qui étudie les dérivées des fonctions et leurs applications est appelée calcul différentiel. Ce calcul est né de la résolution de problèmes consistant à tracer des tangentes à des courbes, à calculer la vitesse de déplacement et à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

Un certain nombre de problèmes de calcul différentiel ont été résolus dans l'Antiquité par Archimède, qui a développé une méthode pour tracer des lignes tangentes. Archimède a construit une tangente à la spirale qui porte son nom. Archimède (vers 287 – 212 avant JC) est un grand scientifique. Le découvreur de nombreux faits et méthodes mathématiques et mécaniques, un brillant ingénieur.

Le problème de la détermination du taux de variation d’une fonction a été résolu pour la première fois par Newton. Le problème de la détermination du taux de variation d’une fonction a été résolu pour la première fois par Newton. Il a appelé la fonction fluente, c'est-à-dire valeur actuelle. Dérivé - flux. Il a appelé la fonction fluente, c'est-à-dire valeur actuelle. Dérivé - flux. Newton est arrivé au concept de dérivée basé sur des questions de mécanique. Isaac Newton (1643 – 1722) – physicien et mathématicien anglais.

Sur la base des résultats de Fermat et de quelques autres conclusions, Leibniz a publié le premier article sur le calcul différentiel en 1684, qui décrivait les règles de base de la différenciation. Leibniz Gottfried Friedrich (1646 - 1716) - grand scientifique, philosophe, mathématicien, physicien, avocat, linguiste allemand

Application de la dérivée : Application de la dérivée : 1) La puissance est la dérivée du travail par rapport au temps P = A" (t). 2) L'intensité du courant est la dérivée de la charge par rapport au temps I = g" (t). 3) La force est la dérivée du travail par rapport au déplacement F = A" (x). 4) La capacité thermique est la dérivée de la quantité de chaleur par rapport à la température C = Q" (t). 5) La pression est la dérivée de la force par rapport à l'aire P = F"(S) 6) La circonférence est la dérivée de l'aire du cercle par rapport au rayon l environ = S" cr (R). 7) Le taux de croissance de la productivité du travail est la dérivée de la productivité du travail par rapport au temps. 8) Réussissez-vous vos études ? Dérivé de la croissance des connaissances.

Application des dérivées en physique Problème : Deux corps se déplacent rectilignement selon les lois : S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 et S 2 (t) = 1,5t 2 + 3t –6. A quel moment les vitesses des corps seront-elles égales ? Problème : Deux corps se déplacent rectilignement selon les lois : S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 et S 2 (t) = 1,5t 2 + 3t –6. A quel moment les vitesses des corps seront-elles égales ?

Application des dérivés en économie Problème : Une entreprise produit X unités d'un produit homogène par mois. Il a été établi que la dépendance de l'épargne financière d'une entreprise sur le volume de production est exprimée par la formule Problème : L'entreprise produit X unités de certains produits homogènes par mois. Il a été établi que la dépendance de l'épargne financière d'une entreprise au volume de production est exprimée par la formule Explorer le potentiel de l'entreprise. Explorez le potentiel de l'entreprise. 15

La dérivée d'une fonction en un point est un concept de base du calcul différentiel. Il caractérise le taux de changement de la fonction en un point spécifié. Ce dérivé est largement utilisé pour résoudre un certain nombre de problèmes en mathématiques, en physique et dans d’autres sciences, notamment dans l’étude de la vitesse de divers types de processus.

Définitions basiques

La dérivée est égale à la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro :

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Définition

Une fonction qui a une dérivée finie à un moment donné est appelée différentiable en un point donné. Le processus de calcul de la dérivée est appelé différenciation de fonction.

Référence historique

Le terme russe « dérivée d'une fonction » a été utilisé pour la première fois par le mathématicien russe V.I. Viskovatov (1780 - 1812).

La désignation d'un incrément (argument/fonction) par la lettre grecque $\Delta$ (delta) a été utilisée pour la première fois par le mathématicien et mécanicien suisse Johann Bernoulli (1667 - 1748). La notation de la dérivée différentielle $d x$ appartient au mathématicien allemand G.W. Leibniz (1646 - 1716). La manière de désigner la dérivée temporelle avec un point sur la lettre - $\dot(x)$ - vient du mathématicien, mécanicien et physicien anglais Isaac Newton (1642 - 1727). La désignation courte d'une dérivée par un nombre premier - $f^(\prime)(x)$ - appartient au mathématicien, astronome et mécanicien français J.L. Lagrange (1736 - 1813), qu'il introduit en 1797. Le symbole de dérivée partielle $\frac(\partial)(\partial x)$ a été activement utilisé dans ses travaux par le mathématicien allemand Karl G.Ya. Jacobi (1805 - 1051), puis le remarquable mathématicien allemand Karl T.W. Weierstrass (1815 - 1897), bien que cette désignation ait déjà été rencontrée plus tôt dans l'un des travaux du mathématicien français A.M. Legendre (1752 - 1833). Le symbole de l'opérateur différentiel $\nabla$ a été inventé par l'éminent mathématicien, mécanicien et physicien irlandais W.R. Hamilton (1805 - 1865) en 1853, et le nom "nabla" a été proposé par le scientifique, ingénieur, mathématicien et physicien anglais autodidacte Oliver Heaviside (1850 - 1925) en 1892.