Chacun des segments de l'av. Comparaison des segments. Actions sur les segments. Multiplier et diviser un segment par un nombre entier

7. De nombreux points et lignes sont placés sur un plan. Accepte ça vous pouvez construire des points et des lignes droites sur un plan; En pratique, une règle est utilisée pour construire une ligne droite.

La ligne droite s’étend sans fin dans les deux sens. Pour le diable. 4 la droite AB est construite ; avec votre imagination, vous pouvez le continuer à l'infini dans les deux sens. Si vous construisez un point, par exemple le point O, sur la droite CD (Figure 4), alors la droite sera divisée en 2 parties : une partie s'étend du point O vers la droite sans fin, et l'autre du point O à gauche sans fin. Chacune de ces parties s'appelle un rayon. Ici nous avons 2 faisceaux : le faisceau OD et le faisceau OC.

Nous pouvons construire d’innombrables rayons passant par chaque point.

Si l'on prend 2 points sur une droite, par exemple sur la droite KL (Figure 4) les points E et F, alors la partie de la droite entre ces points s'appelle un segment. Sur le dessin nous avons le segment EF.

8. Comparez les données de 2 segments AB et CD (projet 5).

Déplaçons le segment CD pour que le point C touche A, et faisons-le pivoter autour du point A jusqu'à ce que le segment CD longe le segment AB. Lorsque nous y parvenons, nous notons où se situe le point D : s’il tombe dans B, alors nos segments sont égaux ; si D se situe quelque part entre les points A et B (par exemple, dans M), alors le segment CD est considéré comme inférieur au segment AB, et si le point D est en retard sur le point B (par exemple, dans N), alors le segment CD est supérieur au segment AB.

Nous comprenons « comparer » deux segments dans le sens de déterminer s’ils sont égaux ou si l’un est supérieur à l’autre.

9. Trouvez la somme de deux segments donnés.

Deux segments AB et CD sont prélevés (Fig. 6) ; vous devez ajouter ces segments.

Pour ce faire, nous déplaçons le segment CD de manière à ce que le point C touche B, puis nous le faisons pivoter autour de B jusqu'à ce qu'il suive la continuation du segment AB. Notez où se situe le point D ; s'il atteint K, alors le segment BK = CD et AK = AB + BK ou AK = AB + CD.

Tout segment peut être divisé par des points intermédiaires en la somme de plusieurs termes ; par exemple:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (dessin 7)

Il est clair pour nous que la somme des segments ne change pas en fonction du réarrangement des termes .

10. Trouvez la différence entre deux segments.

Étant donné deux segments AB et CD (Fig. 8) ; vous devez soustraire le plus petit segment CD du plus grand segment AB.

Nous déplaçons le segment CD pour que le point D touche le point B, et nous commençons à le faire pivoter autour de B jusqu'à ce qu'il aille dans la direction de BA ; Notons, lorsque nous y parviendrons, où tombera le point C. Si C tombe dans K, alors KB = CD et AK = AB – KB ou AK = AB – CD.

Vous pouvez multiplier ce segment par 2, 3, 4, etc., c'est-à-dire le répéter sous forme de terme 2, 3, etc.

À partir de paragraphes. 8 à 10, il est important pour nous de comprendre que 1) les concepts suivants sont applicables aux segments, ainsi qu'aux nombres : « égal », « supérieur à » et « inférieur à » ; 2) les notions de « somme et différence de deux segments » ont une signification bien précise.

En pratique, pour construire un segment égal à un segment donné, on utilise une boussole.

11. Des exercices. 1. Nommez les segments de somme et leur somme dans chacune des images suivantes ; écrire (dessin A).

2. Sur les mêmes dessins, indiquez quel segment peut être considéré comme la différence de deux autres segments ; écrire.

3. Divisez ce segment en 2, 3 et 4 termes ; écrire.

4. Présentez ce segment comme la différence de deux autres segments.

12. Nous pouvons construire une figure composée de deux rayons émanant d'un point, – une telle figure s'appelle un angle. Pour le diable. La figure 9 montre un angle constitué des rayons OA et OB émanant du point O. Ce point est appelé le sommet de l'angle, et chaque rayon est appelé son côté. Le mot « angle » est remplacé par le signe ∠. Un angle est appelé par trois lettres, dont l'une est placée au sommet et les deux autres quelque part sur les côtés de l'angle - la lettre au sommet est placée au milieu du nom de l'angle. Pour le diable. 9 nous avons ∠AOB ou ∠BOA ; parfois, un angle est appelé une lettre placée à son sommet, disant ∠O. Les côtés de l'angle (rayons) doivent être considérés comme étant sans fin.

Un cas particulier d'angle se présentera lorsque ses côtés forment une ligne droite ; un angle aussi spécial est appelé redressé ou angle tourné(La figure 12 montre les angles droits AOB et A 1 O 1 B 1).

Chaque angle divise le plan en 2 parties, en deux régions. L'une de ces parties s'appelle zone interne coin et dites qu'il se trouve à l'intérieur du coin, et l'autre s'appelle zone externe coin et dites qu’il se trouve à l’extérieur du coin. Laquelle de ces deux parties est appelée région externe et laquelle interne est une question de condition. À chaque fois, vous devez marquer quelque chose d'interne, par exemple une zone. Nous marquerons la zone intérieure du coin avec des lignes courbes tracées sur la zone intérieure entre les côtés du coin ; sur du noir 10 marque les régions internes des angles ABC, DEF et redressé ∠KLM.

Il est utile de découper des coins dans une feuille de carton fin : un morceau de carton est une représentation approximative d'une partie de l'avion ; en dessinant dessus deux rayons émanant d'un point, et en coupant ce morceau le long des côtés de l'angle dessiné, on divisera le morceau de carton en 2 parties ; Prenons l'une de ces parties, dont nous voulons supposer qu'elle se trouve à l'intérieur de l'angle, et supprimons l'autre - nous aurons alors un modèle de l'angle avec sa région interne. Pour interpréter correctement ce modèle, il faut garder à l’esprit qu’un morceau de carton est l’image d’une partie seulement d’un avion et que l’avion lui-même s’étire sans fin.

13. Comparez deux angles donnés∠ABC et ∠DEF (dessin 11).

« Comparer » deux angles signifie déterminer si les angles sont égaux ou si l’un est plus grand que l’autre. Pour ce faire, nous allons commencer à superposer un angle sur un autre afin que leurs zones internes se suivent : si dans ce cas il s'avère qu'il est possible d'obtenir que les sommets et les côtés de nos angles soient alignés, alors nous disons que ces angles sont égaux ; si les sommets d'un côté de nos angles coïncident, mais que les autres côtés ne coïncident pas, alors les angles ne sont pas égaux, et nous lisons le plus petit comme celui dont l'aire intérieure s'adapte à l'aire intérieure de l'autre.

Exercice. Découpez des modèles de coins dans du papier ainsi que leurs zones internes et, en superposant ces modèles les uns sur les autres, établissez la possibilité des cas décrits ci-dessus ; Après avoir découpé un modèle d'un angle, découpez ensuite un modèle d'un angle égal à celui-ci et des modèles d'angles qui ne lui sont pas égaux (plus ou moins).

Regardons les angles ABC et DEF (Figure 11) ; la zone interne de chacun d'eux est marquée sur le dessin. Nous déplaçons ∠DEF pour que son sommet E touche le point B et que son côté EF longe le côté BC - alors les zones internes des coins seront situées les unes après les autres. Si le côté ED longe le côté BA, alors ∠DEF = ∠ABC ; si le côté ED passe à l'intérieur de ∠ABC, par exemple le long du rayon BM, alors ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Il est utile de répéter le même raisonnement pour les angles ABC et DEF (avec les régions intérieures marquées) donnés sur la Fig. 11bis.

Appliquons la méthode décrite pour comparer deux angles à deux angles redressés. Disons 2 angles redressés ∠AOB et ∠A1O1B1 (dessin 12) dont les zones internes sont repérées sur le dessin. En superposant l'un de ces angles à l'autre pour que le sommet O 1 de l'un tombe dans le sommet O de l'autre et pour que le côté O 1 A 1 de l'un longe le côté OA de l'autre, on arrive à la conclusion que les autres côtés de ces angles O 1 B 1 et OB coïncident, puisque les droites A 1 O 1 B 1 et AOB sont des droites dont la position est déterminée par deux points. (Parfois on dit : « OB est une continuation de OA » au lieu de dire que la ligne AOB est une ligne droite). Nous arrivons donc à la conclusion :

Tous les angles droits sont égaux les uns aux autres.

14. ∠AOB redressé (dessin 12) divise le plan en 2 régions, interne et externe. Si vous pliez le plan le long de la ligne droite AOB, ces deux parties coïncideront. Par conséquent, nous pouvons supposer que les aires interne et externe d’un angle redressé sont égales entre elles.

Si l'on a un angle non rectifié, par exemple ∠DEF (dessin 11 ou dessin 11 bis), alors en continuant un de ses côtés, par exemple le côté DE (aucune suite n'est dessinée sur les dessins), on verra que concernant notre angle, on peut établir qu'il est soit inférieur au redressé (dessin 11), soit supérieur à lui (dessin 11 bis) ; Cela dépend de laquelle des deux parties du plan est considérée comme la région intérieure du coin. Habituellement, la zone intérieure de l'angle est choisie de manière à ce que cet angle soit plus petit que celui redressé, et dans ce cas nous convenons de ne pas marquer la zone intérieure de l'angle. Parfois, l'origine de l'angle indiquera que la région interne doit être considérée comme la partie du plan dont l'angle sera plus grand que celui redressé. Ces cas se produiront parfois dans le futur, et il faudra alors marquer la zone intérieure du coin.

15. Trouver la somme de deux angles: ∠AOB et ∠PNM (dessin 13), ou ajouter ∠AOB et ∠PNM.

Ici, sur le dessin, les zones intérieures des coins ne sont pas marquées ; d'après la remarque du paragraphe précédent, cela signifie qu'ils doivent être choisis de manière à ce que chaque angle soit inférieur à redressé, et on voit bien ces zones.

Déplaçons ∠PNM pour que son sommet N coïncide avec le sommet O de l'angle AOB, et en tournant autour du point O on fera en sorte que le côté NP longe le côté OB ; alors les régions internes de nos angles seront adjacentes les unes aux autres - cette circonstance est essentielle pour l'addition des angles. Notons alors comment se déroulera le côté NM : suivons par exemple le rayon OC. Nous obtenons ensuite un nouveau ∠AOC, qui est considéré comme la somme des deux angles donnés. Nous pouvons écrire:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
et 3) (basé sur 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Vous pouvez également plier plusieurs coins ; Vous pouvez diviser cet angle en plusieurs termes. Pour le diable. 14 nous avons :

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Il est facile de construire deux ou plusieurs angles appliqués les uns aux autres de manière à ce que leur somme soit égale à l'angle redressé. Il est possible que la somme de plusieurs angles soit supérieure à l'angle redressé (Fig. 15), il convient de noter la région intérieure de cette somme.

Un autre cas particulier d'ajout d'angles est possible, lorsque les zones internes des angles ajoutés couvrent tout le plan lorsqu'ils sont appliqués les uns aux autres. Pour le diable. Sur la figure 16 on a les angles suivants : ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF et ∠FOA. Dans ce cas, après avoir construit le rayon OM, qui est une continuation du rayon OA, nous voyons que la somme de nos angles est constituée de deux angles redressés : 1) ∠AOM redressé, dont la région interne est marquée par une ligne courbe , et 2) ∠AOM redressé, dont la région intérieure est marquée d'une double ligne courbe. Ici nous avons:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 coins redressés.

Ils disent: La somme de tous les angles successifs entourant un point est égale à deux angles droits.

S'il y a des angles supplémentaires autres que ceux construits sur le dessin. 16, ils devront alors être appliqués à nouveau aux précédents le long du premier angle redressé, et alors la somme s'avère être supérieure à deux angles redressés, égale à trois angles redressés, supérieure à trois angles redressés, etc.

16. Trouver la différence de deux angles: ∠AOB et ∠MNP (Dev. 17), ou soustraire ∠MNP de ∠AOB, en supposant que ∠MNP< ∠AOB.

Déplaçons ∠MNP pour que son sommet N tombe dans le sommet O de l'angle AOB ; En tournant autour du point O, on obtiendra alors que le côté NM longe le côté OB, et que les zones intérieures de ces angles soient situées les unes au-dessus des autres. Laissez le côté NP suivre le faisceau OC ; alors on obtient un nouveau ∠AOC, dont on sait que ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, à partir duquel, selon la définition de la soustraction comme action inverse de l'addition, on obtient :

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
mais ∠COB = ∠MNP ; C'est pourquoi
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

À partir de paragraphes. 13-16, nous devons saisir l'idée que les concepts suivants sont applicables aux angles, ainsi qu'aux segments : plus, moins, égal, et que les concepts de somme et de différence de deux angles ont une certaine signification.

17. Des exercices. 1. Construisez deux angles attachés l'un à l'autre, nommez-les avec des lettres, indiquez leur somme et notez l'addition de ces angles.

2. Sur le même dessin, indiquez que l'un des angles est la différence entre les deux autres ; écris le.

3. Dans les dessins suivants (voir dessin B), ∠AOB est exprimé par la différence des deux autres angles.

4. Divisez cet angle en 2, 3 et 4 termes ; écrivez-le à chaque fois ; faites de même avec le coin redressé.

5. Présentez cet angle comme la différence entre l’angle redressé et un autre angle. Quel type de structure est nécessaire pour cela ?

6. Additionnez et soustrayez des angles à l’aide de modèles d’angles découpés dans du papier.

18. À l'avenir, on numérotera souvent les angles afin de raccourcir la lettre en les appelant des chiffres. Nous écrirons les numéros d’angle à l’intérieur de chaque angle près du sommet.

Construisons ∠AOB (dessin 18) et appelons-le ∠1. Ajoutons cet angle à un angle droit. Le problème a deux solutions : construire un rayon OC, qui sert de continuation au rayon OA ; alors nous obtenons ∠BOC ou ∠2, qui satisfait à l'exigence, puisque nous voyons que

∠1 + ∠2 = angle redressé.

Nous avons ici un exemple d'addition de deux angles lorsque la somme est égale à l'angle redressé - ces angles sont appelés adjacents : ∠1 et ∠2 sont des angles adjacents. Pour que 2 angles soient dits « adjacents », il faut que 1) ils soient attachés l'un à l'autre et 2) que leur somme soit égale à l'angle redressé, ou, ce qui revient au même, que ces angles aient un point commun sommet (aux angles 1 et 2 sommet commun O), un côté commun (nos coins ont un côté commun OB) et que les deux autres côtés sont une continuation l'un de l'autre (OC est une continuation de OA).

La deuxième solution à notre problème sera obtenue si nous continuons le côté OB - soit OD une continuation de OB ; alors nous obtenons un autre ∠AOD ou ∠4 adjacent à ∠1. Appelons également l'angle résultant COD par ∠3.

Examinons les 2 solutions obtenues à notre problème, soit ∠2 et ∠4. On voit la particularité de la localisation de ∠2 et ∠4 : ils ont un sommet commun O, les côtés de l'un d'eux sont des continuations des côtés de l'autre, à savoir OC est une continuation de OA et vice versa, et OB est une continuation de OD et vice versa - ces deux angles sont appelés verticaux.

Nous savons alors que ∠2 et ∠4 complètent chacun ∠1 jusqu'à ce qu'ils soient rectifiés ; de là, nous concluons que

Voici un résumé plus détaillé de cette dernière considération. Selon la construction, nous avons :

1) ∠1 + ∠2 = angle redressé ;
2) ∠1 + ∠4 = angle redressé.

Nous voyons que les deux additions conduisent à la même somme (tous les angles droits sont égaux) et, de plus, un terme (à savoir ∠1) dans les deux additions est le même ; de là, nous concluons que les autres termes doivent être égaux les uns aux autres, c'est-à-dire ∠2 = ∠4.

Si nous construisons deux lignes droites sécantes, nous obtenons deux paires d’angles verticaux. Pour le diable. 18, nous avons les droites AC et BD, une paire d'angles verticaux est ∠2 et ∠4, et l'autre est ∠1 et ∠3. Tout ce qui précède s’applique à chaque paire d’angles verticaux ; par exemple, pour la paire ∠1 et ∠3 nous avons que chacun d'eux complète ∠2 celui rectifié, donc ∠1 = ∠3. On a donc le théorème :
Les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Exercice. Construisez trois lignes droites passant par le point et indiquez les angles verticaux résultants ; notez leur égalité.

Donnons-nous deux segments AB et CD (Fig.). Superposons le segment AB au segment CD de manière à ce que le point A coïncide avec le point C, et dirigeons le segment AB le long du segment CD. Si le point B coïncide avec le point D, alors les segments AB et CD sont égaux ; AB = CD.

Comparons deux segments KO et EM (Fig.).

Superposons le segment KO au segment EM pour que les points K et E coïncident. Dirigons le segment KO le long du segment EM. Si le point O se situe quelque part entre les points E et M, alors on dit que le segment EM est plus grand que le segment KO ; le segment KO est inférieur au segment EM.

C'est écrit ainsi : MANGER > KO, KO

Construire un segment égal à un segment donné à l'aide d'un compas.

une branche de la boussole est placée à une extrémité du segment AB et l'autre à son autre extrémité et, sans changer l'angle de la boussole, la transférez sur une certaine ligne droite afin que l'extrémité d'une branche marque un point N, alors l’extrémité de l’autre branche de la boussole marque un point R sur la même ligne droite. Le segment NP sera égal au segment AB.

Addition et soustraction de segments.

C'est écrit ainsi :

NM = AB + CD.

De la même manière, on trouve la somme de plusieurs segments (Fig.)

MN = AB + CD + FE.

Lors de l'ajout de segments, comme en arithmétique lors de l'ajout de nombres, les lois suivantes sont respectées : commutative et associative.

AB + CD = CD + AB ;

(AB + CD) + EF =AB + (CD + EF).

Pour trouver la différence entre deux segments AB et CD (Fig.),

Il faut réserver un segment plus petit (CD) sur un segment plus grand (AB) à partir de son extrémité, par exemple le point A. La partie restante (Ko) du plus grand segment sera la différence entre ces segments :

AB - CD = KV.

Multiplier et diviser un segment par un nombre entier.

Le segment MN est le produit du segment AB et du nombre 5.

b) Sur la figure, le segment MN est composé de cinq segments égaux, c'est-à-dire que le segment MN est divisé en cinq parties égales. Chacun d'eux constitue 1/5 du segment MN.

c) Pour diviser un segment en parties égales à l'aide d'un compas, procédez comme suit. Par exemple, si vous devez diviser un segment en deux parties égales, la boussole est alors écartée à l'œil nu de sorte que l'ouverture de la boussole représente environ la moitié du segment. Ensuite, sur un segment donné à partir de son extrémité, deux segments sont disposés séquentiellement, l'un après l'autre, avec cette solution boussole. Si la somme résultante des segments est inférieure à ce segment, alors la solution de la boussole est augmentée ; si le montant s'avère supérieur à ce segment, alors la solution de la boussole est réduite. Ainsi, en corrigeant progressivement l'erreur, vous pouvez trouver assez précisément la moitié du segment (Fig.).

De la même manière, une division approximative d'un segment en 3, 4, 5, etc. parties égales est effectuée. Ce n'est que dans ce cas que vous devez en prendre 1/3 à l'œil nu ; 14 ; 1/5... d'un segment et mettez de côté le segment pris 3, 4, 5... fois, en fonction du nombre de parties égales en lesquelles le segment donné doit être divisé.

Propriété des segments coupés par des lignes parallèles sur les côtés d'un angle

Supposons que des segments égaux BM = MK = KS (Fig.) soient disposés sur le côté AB de l'angle ABN et que des lignes parallèles coupant le côté BN du même angle soient tracées passant par les points de division M, K et C.

De ce côté trois segments se sont formés : VM', M'K' et K'S'. Il faut prouver que VM' = M'K' = K'C'.

Pour le prouver, on trace des droites parallèles à AB passant par les points M’ et K’. Nous obtenons les triangles ВММ', М'ЭК' et К'РС'. Comparons ces triangles.

Comparez d’abord les triangles MVM' et M'EK'. Dans ces triangles nous avons :

∠1 = ∠2, comme angles correspondants pour les parallèles BA et M'E et sécants BN ;

∠3 = ∠4, sous forme d'angles aigus 1 avec des côtés parallèles correspondants (AB || M'E et MM' || KK').

VM = MK par construction ;

MK = M'E, comme les côtés opposés d'un parallélogramme.

Les angles 1 et 4 peuvent s'avérer tous deux obtus, mais dans ce cas ils resteront égaux, et donc la preuve du théorème ne changera pas.

Donc BM = M'E. Ainsi, ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (sur le côté et deux angles adjacents). Il s'ensuit que VM' = M'K'.

On peut également prouver que VM’ = K’C’, c’est-à-dire VM’ = M’K’ = K’C’. Lors de la démonstration du théorème, nous avons commencé à disposer les segments à partir du sommet de l'angle, mais le théorème est également valable dans le cas où la disposition des segments ne commence pas à partir du sommet de l'angle, mais à partir de n'importe quel point de son côté.

Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de marquer le sommet du coin sur le dessin (Fig.).

Le théorème est également valable pour le cas où les droites KO et MR sont parallèles.

Segments proportionnels

D'après l'arithmétique, nous savons que l'égalité de deux rapports s'appelle proportion. Par exemple : 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 On a la même chose en géométrie : si l'on donne deux paires de segments dont les rapports sont égaux, alors une proportion peut être faite.

Si un / b= 4 / 3 et c / d= 4/3 (Dessiné 351), alors on obtient la proportion un / b = c / d ;

segments a B c d sont appelés proportionnel.

Attitude un / b est appelée, comme en arithmétique, la première relation, c / d- deuxième relation ; UN Et d sont appelés termes extrêmes de la proportion, b Et Avec- les membres intermédiaires.

Dans une proportion, les rapports peuvent être inversés ; vous pouvez réorganiser les membres extrêmes, les membres intermédiaires ; vous pouvez réorganiser les deux en même temps.

Parce qu'en proportion un / b = c / d les lettres signifient des nombres exprimant la longueur des segments, alors le produit de ses membres extrêmes est égal au produit de ses membres intermédiaires. De là, connaissant les trois termes de la proportion, vous pouvez trouver son quatrième terme inconnu. Oui, en proportion un / X = c / d X = annonce / c

Notons quelques propriétés supplémentaires des proportions, qui devront être utilisées à l'avenir pour prouver certains théorèmes et résoudre des problèmes.

a) Si trois termes d'une proportion sont respectivement égaux à trois termes d'une autre proportion, alors les quatrièmes termes de ces proportions sont également égaux.

Si un / b = c / X Et un / b = c / oui,Que x = oui. En effet, X = avant JC / un , à = avant JC / un, c'est-à-dire et X Et àégal au même nombre avant JC / un .

b) Si les termes précédents sont égaux en proportion, alors les suivants sont égaux, c'est-à-dire si un / X = un / oui, Que x = oui.

Pour le vérifier, réorganisons les termes moyens dans cette proportion.

On a: un / un = X / oui. Mais un / un= 1. Par conséquent, et X / oui = 1.

Et cela n'est possible que si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont égaux, c'est-à-dire

x = oui.

c) Si les termes suivants sont égaux en proportion, alors les précédents sont égaux, c'est-à-dire si X / un = oui / un, Que x = oui.

Vous êtes invités à vérifier par vous-même la validité de ce bien. Pour cela, effectuez un raisonnement similaire au précédent.

Construction de segments proportionnels

Soient deux droites EF et OP coupées par trois droites parallèles AB, CD et MN (Fig.).

Il faut prouver que les segments AC, CM, BD et DN, enfermés entre sécantes parallèles, sont proportionnels, c'est-à-dire

AC/CM = BD/DN

Soit la longueur du segment AC R., et la longueur du segment CM est égale à q.

Par exemple, R.= 4 cm et q= 5 cm.

Divisons AC et CM en segments égaux à 1 cm, et à partir des points de division, nous traçons des droites parallèles aux droites AB, CD et MN, comme indiqué sur la figure.

Ensuite, des segments égaux seront déposés sur la droite OR, avec 4 segments sur le segment BD, et 5 segments sur le segment DN.

Le rapport AC sur CM est de 4/5, et de même, le rapport entre BD et DN est de 4/5.

Donc AC/CM = BD/DN.

Cela signifie que les segments AC, CM, BD et DN sont proportionnels. Les segments AC, AM, BD et BN (qui se chevauchent) sont également proportionnels, c'est-à-dire AC/AM = BD/BN,

puisque AC/AM = 4/9 et BD/BN = 4/9

Le théorème sera valable pour toute autre valeur entière R. Et q.

Si les longueurs des segments AC et CM ne sont pas exprimées en nombres entiers pour une unité de mesure donnée (par exemple un centimètre), alors il faut prendre une unité plus petite (par exemple un millimètre ou un micron), dans laquelle le les longueurs des segments AC et CM sont pratiquement exprimées en nombres entiers.

Le théorème prouvé est également valable dans le cas où l'une des sécantes parallèles passe par le point d'intersection de ces droites. C'est également valable dans le cas où les segments ne sont pas tracés directement les uns après les autres, mais après un certain intervalle.

Segment de ligne. Longueur du segment. Triangle.

1. Dans ce paragraphe, vous découvrirez quelques concepts de géométrie. Géométrie- la science de « mesurer la terre ». Ce mot vient des mots latins : géo - terre et metr - mesurer, mesurer. En géométrie, divers objets géométriques, leurs propriétés, leurs liens avec le monde extérieur. Les objets géométriques les plus simples sont un point, une ligne, une surface. Les objets géométriques plus complexes, par exemple les figures et les corps géométriques, sont formés à partir des plus simples.

Si nous appliquons une règle à deux points A et B et traçons une ligne le long de celle-ci reliant ces points, nous obtenons segment de ligne, qui s'appelle AB ou VA (on lit : « a-be », « be-a »). Les points A et B sont appelés extrémités du segment(Image 1). La distance entre les extrémités d'un segment, mesurée en unités de longueur, est appelée longueurcouperka.

Unités de longueur : m - mètre, cm - centimètre, dm - décimètre, mm - millimètre, km - kilomètre, etc. (1 km = 1000 m ; 1 m = 10 dm ; 1 dm = 10 cm ; 1 cm = 10 mm). Pour mesurer la longueur des segments, utilisez une règle ou un ruban à mesurer. Mesurer la longueur d'un segment signifie savoir combien de fois une mesure de longueur particulière y rentre.

Égal sont appelés deux segments pouvant être combinés en se superposant l'un à l'autre (Figure 2). Par exemple, vous pouvez réellement ou mentalement découper l'un des segments et l'attacher à un autre afin que leurs extrémités coïncident. Si les segments AB et SK sont égaux, alors on écrit AB = SK. Les segments égaux ont des longueurs égales. L’inverse est vrai : deux segments de même longueur sont égaux. Si deux segments ont des longueurs différentes, alors ils ne sont pas égaux. De deux segments inégaux, le plus petit est celui qui fait partie de l’autre segment. Vous pouvez comparer des segments qui se chevauchent à l’aide d’une boussole.

Si nous étendons mentalement le segment AB dans les deux sens jusqu’à l’infini, alors nous aurons une idée de droit AB (Figure 3). Tout point situé sur une droite la divise en deux faisceau(Figure 4). Le point C divise la ligne AB en deux faisceau SA et SV. Tosca C s'appelle le début du rayon.

2. Si trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne sont reliés par des segments, alors nous obtenons une figure appelée Triangle. Ces points sont appelés pics triangle, et les segments qui les relient sont des soirées triangle (figure 5). FNM - triangle, segments FN, NM, FM - côtés du triangle, points F, N, M - sommets du triangle. Les côtés de tous les triangles ont la propriété suivante : d La longueur d’un côté d’un triangle est toujours inférieure à la somme des longueurs de ses deux autres côtés.

Si vous étendez mentalement, par exemple, la surface d'un plateau de table dans toutes les directions, vous aurez une idée de avion. Les points, segments, droites, rayons sont situés sur un plan (Figure 6).

Bloc 1. Supplémentaire

Le monde dans lequel nous vivons, tout ce qui nous entoure, les anciens appelaient nature ou espace. L'espace dans lequel nous vivons est considéré comme tridimensionnel, c'est-à-dire a trois dimensions. On les appelle souvent : longueur, largeur et hauteur (par exemple, la longueur d'une pièce est de 4 m, la largeur d'une pièce est de 2 m et la hauteur est de 3 m).

L'idée d'un point géométrique (mathématique) nous est donnée par une étoile dans le ciel nocturne, un point à la fin de cette phrase, une marque d'aiguille, etc. Cependant, tous les objets répertoriés ont des dimensions ; en revanche, les dimensions d'un point géométrique sont considérées comme égales à zéro (ses dimensions sont égales à zéro). Par conséquent, un véritable point mathématique ne peut être imaginé que mentalement. Vous pouvez également savoir où il se trouve. En plaçant un point dans un cahier avec un stylo plume, nous ne représenterons pas un point géométrique, mais nous supposerons que l'objet construit est un point géométrique (Figure 6). Les points sont désignés par les lettres majuscules de l'alphabet latin : UN, B, C, D, (lire " point a, point être, point tse, point de") (Figure 7).

Des fils suspendus à des poteaux, une ligne d'horizon visible (la limite entre le ciel et la terre ou l'eau), un lit de rivière représenté sur une carte, un cerceau de gymnastique, un jet d'eau jaillissant d'une fontaine nous donnent une idée des lignes.

Il existe des lignes fermées et ouvertes, des lignes lisses et non lisses, des lignes avec et sans auto-intersection (Figures 8 et 9).

Une feuille de papier, un disque laser, une coque de ballon de football, une boîte d'emballage en carton, un masque en plastique de Noël, etc. donne-nous une idée de surfaces(Figure 10). Lors de la peinture du sol d'une pièce ou d'une voiture, la surface du sol ou de la voiture est recouverte de peinture.

Corps humain, pierre, brique, fromage, boule, glaçon, etc. donne-nous une idée de géométrique corps (Figure 11).

La plus simple de toutes les lignes est c'est droit. Placez une règle sur une feuille de papier et tracez une ligne droite le long de celle-ci avec un crayon. En étendant mentalement cette ligne à l'infini dans les deux sens, nous aurons l'idée d'une ligne droite. On pense qu'une ligne droite a une dimension - la longueur, et ses deux autres dimensions sont égales à zéro (Figure 12).

Lors de la résolution de problèmes, une ligne droite est représentée comme une ligne tracée le long d'une règle avec un crayon ou une craie. Les lignes directes sont désignées par des lettres latines minuscules : a, b, n, m (Figure 13). Vous pouvez également désigner une ligne droite par deux lettres correspondant aux points qui s'y trouvent. Par exemple, directement n sur la figure 13 on peut noter : AB ou VA, ADouDUN,DB ou BD.

Les points peuvent se trouver sur une ligne (appartenir à une ligne) ou ne pas se trouver sur une ligne (ne pas appartenir à une ligne). La figure 13 montre les points A, D, B situés sur la ligne AB (appartenant à la ligne AB). En même temps, ils écrivent. Lire : le point A appartient à la droite AB, le point B appartient à AB, le point D appartient à AB. Le point D appartient également à la ligne m, on l'appelle général point. Au point D les droites AB et m se coupent. Les points P et R n'appartiennent pas aux droites AB et m :

Par deux points quelconques toujours tu peux tracer une ligne droite et une seule .

De tous les types de lignes reliant deux points quelconques, le segment dont les extrémités sont ces points a la longueur la plus courte (Figure 14).

Une figure composée de points et de segments les reliant s'appelle une ligne brisée. (Figure 15). Les segments qui forment une ligne brisée sont appelés liens ligne brisée, et leurs extrémités - pics ligne brisée Une ligne brisée est nommée (désignée) en répertoriant tous ses sommets dans l'ordre, par exemple, la ligne brisée ABCDEFG. La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens. Cela signifie que la longueur de la ligne brisée ABCDEFG est égale à la somme : AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Une ligne brisée fermée s'appelle polygone, ses sommets sont appelés sommets du polygone, et ses liens des soirées polygone (Figure 16). Un polygone est nommé (désigné) en répertoriant dans l'ordre tous ses sommets, en commençant par n'importe lequel, par exemple, polygone (heptagone) ABCDEFG, polygone (pentagone) RTPKL :

La somme des longueurs de tous les côtés d’un polygone s’appelle périmètre polygone et est désigné par le latin lettrep(lire: pe). Périmètres des polygones de la figure 13 :

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

En étendant mentalement la surface d'un plateau de table ou d'une vitre à l'infini dans toutes les directions, nous avons une idée de la surface, qui s'appelle avion (Figure 17). Les avions sont désignés par des lettres minuscules de l'alphabet grec : α, β, γ, δ, ... (nous lisons: plan alpha, bêta, gamma, delta, etc.).

Bloc 2. Vocabulaire.

Faites un dictionnaire des nouveaux termes et définitions du §2. Pour ce faire, saisissez les mots de la liste de termes ci-dessous dans les lignes vides du tableau. Dans le tableau 2, indiquez les numéros de termes en fonction des numéros de ligne. Il est recommandé de relire attentivement le §2 et le bloc 2.1 avant de remplir le dictionnaire.

Bloc 3. Établir la correspondance (CS).

Figures géométriques.

Bloc 4. Auto-test.

Mesurer un segment à l'aide d'une règle.

Rappelons que mesurer un segment AB en centimètres signifie le comparer avec un segment de 1 cm de long et découvrir combien de tels segments de 1 cm tiennent dans le segment AB. Pour mesurer un segment dans d’autres unités de longueur, procédez de la même manière.

Pour réaliser les tâches, travaillez selon le plan indiqué dans la colonne de gauche du tableau. Dans ce cas, nous recommandons de recouvrir la colonne de droite d'une feuille de papier. Vous pouvez ensuite comparer vos résultats avec les solutions du tableau de droite.

Bloc 5. Établir une séquence d'actions (SE).

Construire un segment d'une longueur donnée.

Option 1. Le tableau contient un algorithme mélangé (un ordre d'actions mélangé) pour construire un segment d'une longueur donnée (par exemple, construisons un segment BC = 7 cm). Dans la colonne de gauche se trouve une indication de l'action, dans la colonne de droite se trouve le résultat de l'exécution de cette action. Réorganisez les lignes du tableau afin d'obtenir le bon algorithme pour construire un segment d'une longueur donnée. Notez la séquence correcte d'actions.

Option 2. Le tableau suivant présente l'algorithme de construction du segment KM = n cm, où au lieu de n Vous pouvez remplacer n'importe quel numéro. Dans cette option, il n'y a pas de correspondance entre l'action et le résultat. Il faut donc établir une séquence d’actions, puis pour chaque action, sélectionner son résultat. Écrivez la réponse sous la forme : 2a, 1c, 4b, etc.

Option 3. En utilisant l'algorithme de l'option 2, construisez des segments dans votre cahier à n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

Bloc 6. Test de facettes.

Segment, rayon, ligne droite, plan.

Dans les tâches du test de facettes, on utilise des images et des enregistrements numérotés de 1 à 12, donnés dans le tableau 1. À partir d'eux, des données de tâches sont formées. Ensuite, les exigences des tâches y sont ajoutées, qui sont placées dans le test après le mot de connexion « À ». Les réponses aux problèmes sont placées après le mot « ÉGAL ». L'ensemble des tâches est donné dans le tableau 2. Par exemple, la tâche 6.15.19 est composée comme suit : « SI le problème utilise la Figure 6 , s Ensuite, la condition numéro 15 y est ajoutée, l’exigence de la tâche est le numéro 19. »

13) construire quatre points de manière à ce que tous les trois ne se trouvent pas sur la même ligne droite ;

14) tracer une ligne droite passant tous les deux points ;

15) étendre mentalement chacune des surfaces de la boîte dans toutes les directions jusqu'à l'infini ;

16) le nombre de segments différents dans la figure ;

17) le nombre de rayons différents sur la figure ;

18) le nombre de lignes droites différentes sur la figure ;

19) le nombre d'avions différents obtenus ;

20) longueur du segment AC en centimètres ;

21) longueur du segment AB en kilomètres ;

22) longueur du segment DC en mètres ;

23) périmètre du triangle PRQ ;

24) longueur de la ligne discontinue QPRMN ;

25) quotient des périmètres des triangles RMN et PRQ ;

26) longueur du segment ED ;

27) longueur du segment BE ;

28) le nombre de points d'intersection de lignes résultants ;

29) le nombre de triangles résultants ;

30) le nombre de parties en lesquelles l'avion a été divisé ;

31) le périmètre du polygone, exprimé en mètres ;

32) le périmètre du polygone, exprimé en décimètres ;

33) le périmètre du polygone, exprimé en centimètres ;

34) le périmètre du polygone, exprimé en millimètres ;

35) périmètre du polygone, exprimé en kilomètres ;

ÉGAL (égal, a la forme) :

a) 70 ; b) 4 ; c) 217 ; d) 8 ; f) 20 ; f) 10 ; g) 8∙b ; h) 800∙b ; je) 8 000∙b ; j) 80∙b ; j) 63 000 ; m) 63 ; m) 6 300 000 ; o) 3 ; n) 6 ; p) 630 000 ; c) 6 300 000 ; t) 7 ; y) 5 ; t) 22 ; x) 28

Bloc 7. Jouons.

7.1. Labyrinthe mathématique.

Le labyrinthe se compose de dix pièces avec trois portes chacune. Dans chacune des pièces se trouve un objet géométrique (il est dessiné sur le mur de la pièce). Les informations sur cet objet se trouvent dans le « guide » du labyrinthe. Pendant que vous le lisez, vous devez vous rendre dans la pièce dont il est question dans le guide. En parcourant les salles du labyrinthe, tracez votre itinéraire. Les deux dernières pièces ont des sorties.

Guide du Labyrinthe

1. Vous devez entrer dans le labyrinthe par une pièce où se trouve un objet géométrique qui n'a pas de début, mais qui a deux extrémités.
2. L'objet géométrique de cette pièce n'a pas de dimensions, il est comme une étoile lointaine dans le ciel nocturne.
3. L'objet géométrique de cette pièce est composé de quatre segments qui ont trois points communs.
4. Cet objet géométrique est constitué de quatre segments avec quatre points communs.
5. Cette pièce contient des objets géométriques, dont chacun a un début mais pas de fin.
6. Voici deux objets géométriques qui n'ont ni début ni fin, mais avec un point commun.

1. Une idée de cet objet géométrique est donnée par le vol d'obus d'artillerie

(trajectoire du mouvement).

1. Cette pièce contient un objet géométrique à trois sommets, mais ils ne sont pas montagneux.

1. Le vol d'un boomerang donne une idée de cet objet géométrique (chasse

armes des peuples autochtones d'Australie). En physique, cette ligne s'appelle une trajectoire

mouvements du corps.

1. Une idée de cet objet géométrique est donnée par la surface du lac en

temps calme.

Vous pouvez maintenant sortir du labyrinthe.

Le labyrinthe contient des objets géométriques : plan, ligne ouverte, ligne droite, triangle, point, ligne fermée, ligne brisée, segment, rayon, quadrilatère.

7.2. Périmètre de formes géométriques.

Dans les dessins, mettez en valeur les formes géométriques : triangles, quadrangles, pentagones et hexagones. A l'aide d'une règle (en millimètres), déterminez les périmètres de certains d'entre eux.

7.3. Course de relais d'objets géométriques.

Les tâches de relais ont des cadres vides. Notez-y le mot manquant. Déplacez ensuite ce mot vers un autre cadre où pointe la flèche. Dans ce cas, vous pouvez changer la casse de ce mot. Au fur et à mesure des étapes du relais, complétez les formations requises. Si vous terminez le relais correctement, vous recevrez le mot suivant à la fin : périmètre.

7.4. Force des objets géométriques.

Lisez le § 2, notez les noms des objets géométriques à partir de son texte. Écrivez ensuite ces mots dans les cellules vides de la « forteresse ».