Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:

Opérations avec diplômes.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'ajoutent :

suis·une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(une/b) n = une n /b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance ième est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ème puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant non positif :

Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre différent de zéro avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Pour augmenter un vrai nombre UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ième puissance de ce nombre UN.

Dans la dernière leçon vidéo, nous avons appris que le degré d'une certaine base est une expression qui représente le produit de la base par elle-même, pris en quantité égale à l'exposant. Étudions maintenant quelques-unes des propriétés et opérations les plus importantes des puissances.

Par exemple, multiplions deux puissances différentes avec la même base :

Présentons ce travail dans son intégralité :

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Après avoir calculé la valeur de cette expression, nous obtenons le nombre 32. Par contre, comme le montre le même exemple, 32 peut être représenté comme le produit de la même base (deux), prise 5 fois. Et en effet, si vous le comptez, alors :

Ainsi, nous pouvons conclure avec certitude que :

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Cette règle fonctionne avec succès pour tous les indicateurs et pour toutes les raisons. Cette propriété de multiplication de puissance découle de la règle selon laquelle le sens des expressions est préservé lors des transformations dans un produit. Pour toute base a, le produit de deux expressions (a)x et (a)y est égal à a(x + y). En d’autres termes, lorsque des expressions avec la même base sont produites, le monôme résultant a un degré total formé en additionnant les degrés de la première et de la deuxième expressions.

La règle présentée fonctionne également très bien lors de la multiplication de plusieurs expressions. La condition principale est que tout le monde ait les mêmes bases. Par exemple:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Il est impossible d’additionner des degrés, et même de mener des actions conjointes de pouvoir avec deux éléments d’une expression si leurs bases sont différentes.
Comme le montre notre vidéo, en raison de la similitude des processus de multiplication et de division, les règles d'ajout de puissances dans un produit sont parfaitement transférées à la procédure de division. Considérez cet exemple :

Effectuons une transformation terme par terme de l'expression dans sa forme complète et réduisons les mêmes éléments dans le dividende et le diviseur :

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Le résultat final de cet exemple n’est pas si intéressant, car déjà en train de le résoudre, il est clair que la valeur de l’expression est égale au carré de deux. Et c’est deux qu’on obtient en soustrayant le degré de la deuxième expression du degré de la première.

Pour déterminer le degré du quotient, il faut soustraire le degré du diviseur du degré du dividende. La règle fonctionne avec la même base pour toutes ses valeurs et pour tous les pouvoirs naturels. Sous forme d'abstraction nous avons :

(a) x / (a) y = (a) x - y

De la règle de division de bases identiques par degrés, découle la définition du degré zéro. Évidemment, l’expression suivante ressemble à :

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

En revanche, si on fait la division de manière plus visuelle, on obtient :

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Lors de la réduction de tous les éléments visibles d'une fraction, l'expression 1/1 est toujours obtenue, c'est-à-dire un. Ainsi, il est généralement admis que toute base élevée à la puissance zéro est égale à un :

Quelle que soit la valeur de a.

Cependant, il serait absurde que 0 (qui donne toujours 0 pour toute multiplication) soit d'une manière ou d'une autre égal à un, donc une expression de la forme (0) 0 (zéro à la puissance zéro) n'a tout simplement pas de sens, et la formule ( a) 0 = 1 ajouter une condition : « si a n'est pas égal à 0. »

Résolvons l'exercice. Trouvons le sens de l'expression :

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Puisque la base est la même partout et égale à 34, la valeur finale aura la même base avec un degré (selon les règles ci-dessus) :

Autrement dit:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Réponse : l'expression est égale à un.

I. Produit de puissances avec les mêmes bases.

Le produit de deux puissances de même base peut toujours être représenté comme une puissance de base x.

Par définition, la puissance x 7 est le produit de sept facteurs dont chacun est égal à x, et x 9 est le produit de neuf de ces mêmes facteurs. Par conséquent, x 7 x 9 est égal au produit de 7 + 9 facteurs. Dont chacun est égal à x, c'est-à-dire

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Il s'avère que si la base du degré a est un nombre arbitraire et que m et n sont des nombres naturels, alors l'égalité est vraie :

une m · une n = une m + n

Cette égalité exprime une des propriétés du degré.

Le produit de deux puissances de même base est égal à une puissance de même base et un exposant égal à la somme des exposants de ces puissances.

Cette propriété apparaît également dans les cas où le nombre de facteurs est supérieur à deux.

Par exemple, dans le cas de trois facteurs nous avons :

une m · une n · une k = (une m · une n)une k = une m+n · une k = une m+n+k

Lors de l'exécution de transformations, il est pratique d'utiliser la règle : lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, les bases restent les mêmes et les exposants sont ajoutés.

Regardons des exemples.

Exemple 1.

x6x5 = x6+5 = x11

Exemple 2.

une 7 une -8 = une -1

Exemple 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Partiels de diplômes avec les mêmes bases.

Le quotient de deux puissances ayant les mêmes exposants peut toujours être représenté comme une puissance ayant la même base.

Regardons des exemples.

Exemple 1. Le quotient x 17 : x 5 peut être représenté comme une puissance de base x :

x17 : x5 = x12,

puisque par définition du quotient et basé sur la propriété du degré x 5 · x 12 = x 17. L'exposant du quotient (chiffre 12) est égal à la différence entre les exposants du dividende et du diviseur (17 – 5) :

x17 : x5 = x17-5

Exemple 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Exemple 3.

un -8 : un 6 = un -8-6 = un -14

Exemple 4.

b 5 : b -4 = b 5-(-4) = b 9

Exemple 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Lors de l'exécution de transformations, il est pratique d'utiliser la règle : lors de la division de puissances avec les mêmes bases, les bases restent les mêmes et l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende.

Exemple 6.

un 4 : un 4 = un 4-4 = un 0

La valeur de l'expression a 0 pour tout a ≠ 0 est égale à 1.

III. Élever un diplôme à un diplôme.

Supposons que la septième puissance de l'expression a 2 soit représentée comme une puissance de base a.

Par définition, la puissance (a 2) 7 est le produit de sept facteurs dont chacun est égal à a 2, soit

(une 2) 7 = une 2 · une 2 · une 2 × une 2 · une 2 · une 2 · une 2 .

En appliquant la propriété puissance, on obtient :

une 2 · une 2 · une 2 · une 2 · une 2 · une 2 · une 2 = une 2+2+2+2+2+2+2 = une 2·7 .

Il s'avère que (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Lors de l'élévation d'une puissance à une puissance, la base reste la même et les exposants sont multipliés :

(une m) n = une mn .

Regardons des exemples.

Exemple 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Exemple 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source originale est requis.

Expressions, conversion d'expressions

Expressions de pouvoir (expressions avec pouvoirs) et leur transformation

Dans cet article, nous parlerons de la conversion d'expressions avec des puissances. Tout d’abord, nous nous concentrerons sur les transformations effectuées avec des expressions de toute sorte, y compris des expressions de pouvoir, telles que l’ouverture de parenthèses et l’apport de termes similaires. Et puis nous analyserons les transformations inhérentes spécifiquement aux expressions avec degrés : travail avec la base et l'exposant, utilisation des propriétés des degrés, etc.

Navigation dans les pages.

Que sont les expressions de pouvoir ?

Le terme « expressions de pouvoir » n'apparaît pratiquement pas dans les manuels scolaires de mathématiques, mais il apparaît assez souvent dans les recueils de problèmes, notamment ceux destinés à la préparation à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié, par exemple. Après avoir analysé les tâches dans lesquelles il est nécessaire d'effectuer des actions avec des expressions de pouvoir, il devient clair que les expressions de pouvoir sont comprises comme des expressions contenant des pouvoirs dans leurs entrées. Par conséquent, vous pouvez accepter la définition suivante pour vous-même :

Définition.

Expressions de pouvoir sont des expressions contenant des degrés.

Donne moi exemples d'expressions de pouvoir. De plus, nous les présenterons selon la manière dont se produit l'évolution des vues d'un degré à exposant naturel à un degré à exposant réel.

Comme on le sait, on se familiarise d'abord avec la puissance d'un nombre à exposant naturel ; à ce stade, les premières expressions de puissance les plus simples du type 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 apparaissent −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Un peu plus tard, la puissance d'un nombre à exposant entier est étudiée, ce qui conduit à l'apparition d'expressions de puissance à puissances entières négatives, comme les suivantes : 3 −2, , une −2 +2 b −3 +c 2 .

Au lycée, ils retournent aux diplômes. Là, un degré avec un exposant rationnel est introduit, ce qui entraîne l'apparition des expressions de puissance correspondantes : , , et ainsi de suite. Enfin, les degrés avec des exposants irrationnels et les expressions les contenant sont considérés : , .

Le sujet ne se limite pas aux expressions de puissance répertoriées : en outre, la variable pénètre dans l'exposant et, par exemple, les expressions suivantes apparaissent : 2 x 2 +1 ou . Et après avoir pris connaissance de , des expressions avec des puissances et des logarithmes commencent à apparaître, par exemple x 2·lgx −5·x lgx.

Nous avons donc abordé la question de savoir ce que représentent les expressions de pouvoir. Nous apprendrons ensuite à les transformer.

Types de base de transformations d'expressions de pouvoir

Avec les expressions de pouvoir, vous pouvez effectuer n’importe quelle transformation d’identité de base des expressions. Par exemple, vous pouvez ouvrir des parenthèses, remplacer des expressions numériques par leurs valeurs, ajouter des termes similaires, etc. Naturellement, dans ce cas, il est nécessaire de suivre la procédure acceptée pour effectuer les actions. Donnons des exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression de puissance 2 3 ·(4 2 −12) .

Solution.

Selon l'ordre d'exécution des actions, effectuez d'abord les actions entre parenthèses. Là, d'une part, on remplace la puissance 4 2 par sa valeur 16 (si nécessaire, voir), et d'autre part, on calcule la différence 16−12=4. Nous avons 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dans l'expression résultante, nous remplaçons la puissance 2 3 par sa valeur 8, après quoi nous calculons le produit 8·4=32. C'est la valeur souhaitée.

Donc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Répondre:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemple.

Simplifier les expressions avec des puissances 3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7.

Solution.

Évidemment, cette expression contient des termes similaires 3·a 4 ·b −7 et 2·a 4 ·b −7 , et nous pouvons les présenter : .

Répondre:

3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7 =5 une 4 b −7 −1.

Exemple.

Exprimez une expression avec des pouvoirs en tant que produit.

Solution.

Vous pouvez faire face à la tâche en représentant le nombre 9 comme une puissance de 3 2, puis en utilisant la formule de multiplication abrégée - différence des carrés :

Répondre:

Il existe également un certain nombre de transformations identiques inhérentes spécifiquement aux expressions de pouvoir. Nous les analyserons plus en détail.

Travailler avec la base et l'exposant

Il existe des puissances dont la base et/ou l’exposant ne sont pas seulement des nombres ou des variables, mais des expressions. A titre d'exemple, nous donnons les entrées (2+0.3·7) 5−3.7 et (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Lorsque vous travaillez avec de telles expressions, vous pouvez remplacer à la fois l'expression dans la base du degré et l'expression dans l'exposant par une expression identiquement égale dans l'ODZ de ses variables. Autrement dit, selon les règles que nous connaissons, on peut transformer séparément la base du degré et séparément l'exposant. Il est clair qu'à la suite de cette transformation, on obtiendra une expression identiquement égale à l'originale.

De telles transformations nous permettent de simplifier les expressions avec des pouvoirs ou d'atteindre d'autres objectifs dont nous avons besoin. Par exemple, dans l'expression de puissance mentionnée ci-dessus (2+0,3 7) 5−3,7, vous pouvez effectuer des opérations avec les nombres en base et en exposant, ce qui vous permettra de passer à la puissance 4,1 1,3. Et après avoir ouvert les parenthèses et ramené les termes similaires à la base du degré (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nous obtenons une expression puissance d'une forme plus simple a 2·(x+ 1) .

Utilisation des propriétés du diplôme

L'un des principaux outils pour transformer les expressions dotées de pouvoirs est l'égalité qui reflète . Rappelons les principaux. Pour tout nombre positif a et b et nombre réel arbitraire r et s, les propriétés de puissances suivantes sont vraies :

• a r ·a s =a r+s ;
• une r:une s =une r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (a r) s =a r·s .

Notez que pour les exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent ne pas être aussi strictes. Par exemple, pour les nombres naturels m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie non seulement pour a positif, mais aussi pour a négatif et pour a=0.

À l'école, lors de la transformation des expressions de pouvoir, l'accent est mis principalement sur la capacité de choisir la propriété appropriée et de l'appliquer correctement. Dans ce cas, les bases des diplômes sont généralement positives, ce qui permet d'utiliser les propriétés des diplômes sans restrictions. Il en va de même pour la transformation d'expressions contenant des variables dans les bases de puissances - la plage des valeurs admissibles des variables est généralement telle que les bases ne prennent que des valeurs positives, ce qui vous permet d'utiliser librement les propriétés des puissances. . En général, vous devez constamment vous demander s'il est possible d'utiliser une propriété des diplômes dans ce cas, car une utilisation inexacte des propriétés peut conduire à un rétrécissement de la valeur éducative et à d'autres problèmes. Ces points sont discutés en détail et avec des exemples dans l'article transformation d'expressions en utilisant les propriétés des degrés. Nous nous limiterons ici à considérer quelques exemples simples.

Exemple.

Exprimer l'expression a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 comme puissance de base a.

Solution.

Tout d'abord, nous transformons le deuxième facteur (a 2) −3 en utilisant la propriété d'élever une puissance en puissance : (une 2) −3 =une 2·(−3) =une −6. L'expression de puissance originale prendra la forme a 2,5 ·a −6:a −5,5. Reste évidemment à utiliser les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base, on a
une 2,5 ·une −6:une −5,5 =
une 2,5−6 :une −5,5 =une −3,5 :une −5,5 =
une −3,5−(−5,5) =une 2 .

Répondre:

une 2,5 ·(une 2) −3:une −5,5 =une 2.

Les propriétés des pouvoirs lors de la transformation des expressions de pouvoir sont utilisées à la fois de gauche à droite et de droite à gauche.

Exemple.

Trouvez la valeur de l’expression de puissance.

Solution.

L'égalité (a·b) r =a r ·b r, appliquée de droite à gauche, permet de passer de l'expression originale à un produit de la forme et au-delà. Et en multipliant des puissances avec les mêmes bases, les exposants s'additionnent : .

Il était possible de transformer l'expression originale d'une autre manière :

Répondre:

.

Exemple.

Étant donné l'expression de puissance a 1,5 −a 0,5 −6, introduisez une nouvelle variable t=a 0,5.

Solution.

Le degré a 1,5 peut être représenté par a 0,5 3 puis, en fonction de la propriété du degré au degré (a r) s = a r s, appliqué de droite à gauche, le transformer sous la forme (a 0,5) 3. Ainsi, une 1,5 −une 0,5 −6=(une 0,5) 3 −une 0,5 −6. Il est maintenant facile d’introduire une nouvelle variable t=a 0,5, nous obtenons t 3 −t−6.

Répondre:

t 3 −t−6 .

Conversion de fractions contenant des puissances

Les expressions de puissance peuvent contenir ou représenter des fractions avec des puissances. Toutes les transformations de base des fractions inhérentes aux fractions de toute nature sont pleinement applicables à ces fractions. C'est-à-dire que les fractions qui contiennent des puissances peuvent être réduites, réduites à un nouveau dénominateur, travaillées séparément avec leur numérateur et séparément avec le dénominateur, etc. Pour illustrer ces mots, considérons des solutions à plusieurs exemples.

Exemple.

Simplifier l'expression du pouvoir .

Solution.

Cette expression de pouvoir est une fraction. Travaillons avec son numérateur et son dénominateur. Au numérateur, nous ouvrons les parenthèses et simplifions l'expression résultante en utilisant les propriétés des puissances, et au dénominateur nous présentons des termes similaires :

Et changeons également le signe du dénominateur en plaçant un moins devant la fraction : .

Répondre:

.

La réduction des fractions contenant des puissances à un nouveau dénominateur s'effectue de la même manière que la réduction des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur. Dans ce cas, un facteur supplémentaire est également trouvé et le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par celui-ci. Lors de l'exécution de cette action, il convient de rappeler qu'une réduction à un nouveau dénominateur peut conduire à un rétrécissement de l'ODZ. Pour éviter que cela ne se produise, il est nécessaire que le facteur supplémentaire ne vienne pas à zéro pour les valeurs des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur : a) au dénominateur a, b) au dénominateur.

Solution.

a) Dans ce cas, il est assez facile de déterminer quel multiplicateur supplémentaire permet d'obtenir le résultat souhaité. Il s'agit d'un multiplicateur de a 0,3, puisque a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Notez que dans la plage des valeurs admissibles de la variable a (c'est l'ensemble de tous les nombres réels positifs), la puissance de a 0,3 ne disparaît pas, nous avons donc le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur d'un donné fraction par ce facteur supplémentaire :

b) En regardant de plus près le dénominateur, vous constaterez que

et multiplier cette expression par donnera la somme des cubes et , c'est-à-dire . Et c’est le nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction originale.

C'est ainsi que nous avons trouvé un facteur supplémentaire. Dans la plage des valeurs admissibles des variables x et y, l'expression ne disparaît pas, nous pouvons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celle-ci :

Répondre:

UN) , b) .

Il n'y a rien de nouveau non plus dans la réduction des fractions contenant des puissances : le numérateur et le dénominateur sont représentés comme un certain nombre de facteurs, et les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur sont réduits.

Exemple.

Réduisez la fraction : a) , b) .

Solution.

a) Premièrement, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits des nombres 30 et 45, ce qui est égal à 15. Il est aussi évidemment possible d'effectuer une réduction de x 0,5 +1 et de . Voici ce que nous avons :

b) Dans ce cas, les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur ne sont pas immédiatement visibles. Pour les obtenir, vous devrez effectuer des transformations préalables. Dans ce cas, elles consistent à factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de la différence des carrés :

Répondre:

UN)

b) .

La conversion de fractions en un nouveau dénominateur et la réduction de fractions sont principalement utilisées pour faire des choses avec des fractions. Les actions sont effectuées selon des règles connues. Lors de l'addition (soustraction) de fractions, elles sont réduites à un dénominateur commun, après quoi les numérateurs sont ajoutés (soustraits), mais le dénominateur reste le même. Le résultat est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs. La division par une fraction est une multiplication par son inverse.

Exemple.

Suis les étapes .

Solution.

Tout d’abord, nous soustrayons les fractions entre parenthèses. Pour ce faire, nous les ramenons à un dénominateur commun, qui est , après quoi on soustrait les numérateurs :

Maintenant, nous multiplions les fractions :

Évidemment, il est possible de réduire d’une puissance de x 1/2, après quoi on a .

Vous pouvez également simplifier l'expression de la puissance au dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés : .

Répondre:

Exemple.

Simplifiez l'expression de puissance .

Solution.

Évidemment, cette fraction peut être réduite de (x 2,7 +1) 2, cela donne la fraction . Il est clair qu’il faut faire autre chose avec les pouvoirs de X. Pour ce faire, on transforme la fraction résultante en produit. Cela nous donne la possibilité de profiter de la propriété de diviser les pouvoirs avec les mêmes bases : . Et à la fin du processus on passe du dernier produit à la fraction.

Répondre:

.

Et ajoutons aussi qu'il est possible, et dans de nombreux cas souhaitable, de transférer des facteurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur ou du dénominateur au numérateur, en changeant le signe de l'exposant. De telles transformations simplifient souvent les actions ultérieures. Par exemple, une expression de puissance peut être remplacée par .

Conversion d'expressions avec des racines et des puissances

Souvent, dans les expressions dans lesquelles certaines transformations sont nécessaires, des racines avec des exposants fractionnaires sont également présentes avec les puissances. Pour transformer une telle expression à la forme souhaitée, il suffit dans la plupart des cas d'aller uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Mais comme il est plus pratique de travailler avec des puissances, elles passent généralement des racines aux puissances. Il est cependant conseillé d'effectuer une telle transition lorsque l'ODZ des variables de l'expression originale permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin de se référer au module ou de découper l'ODZ en plusieurs intervalles (nous en avons parlé en détail dans l'article transition des racines aux puissances et retour Après avoir pris connaissance du degré avec un exposant rationnel, un degré avec un exposant irrationnel est introduit, ce qui nous permet de parler d'un degré avec un exposant réel arbitraire. À ce stade, il commence à être. étudié à l'école. fonction exponentielle, qui est analytiquement donné par une puissance dont la base est un nombre et l'exposant est une variable. Nous sommes donc confrontés à des expressions de puissance contenant des nombres dans la base de la puissance et dans l'exposant - des expressions avec des variables, et naturellement il est nécessaire d'effectuer des transformations de telles expressions.

Il faut dire que la transformation des expressions du type indiqué doit généralement être effectuée lors de la résolution équations exponentielles Et inégalités exponentielles, et ces conversions sont assez simples. Dans l’écrasante majorité des cas, ils reposent sur les propriétés du diplôme et visent, pour la plupart, à introduire une nouvelle variable dans le futur. L'équation nous permettra de les démontrer 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Premièrement, les puissances, dont les exposants sont la somme d'une certaine variable (ou expression avec variables) et d'un nombre, sont remplacées par des produits. Ceci s'applique au premier et au dernier terme de l'expression du côté gauche :
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ensuite, les deux côtés de l'égalité sont divisés par l'expression 7 2 x, qui sur l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine ne prend que des valeurs positives (il s'agit d'une technique standard pour résoudre des équations de ce type, nous ne sommes pas en parlant maintenant, alors concentrez-vous sur les transformations ultérieures des expressions avec des pouvoirs ) :

Maintenant nous pouvons annuler des fractions avec des puissances, ce qui donne .

Enfin, le rapport des puissances avec les mêmes exposants est remplacé par des puissances de relations, ce qui donne l'équation , ce qui est équivalent . Les transformations effectuées permettent d'introduire une nouvelle variable, qui réduit la solution de l'équation exponentielle originale à la solution d'une équation quadratique

Une fois la puissance d'un nombre déterminée, il est logique de parler de propriétés du diplôme. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base de la puissance d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous fournirons des preuves de toutes les propriétés des degrés et montrerons également comment ces propriétés sont utilisées lors de la résolution d'exemples.

Navigation dans les pages.

Propriétés des degrés avec exposants naturels

Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Sur la base de cette définition, et en utilisant également propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés du degré avec exposant naturel:

1. la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n, sa généralisation ;
2. propriété des puissances quotientes de bases identiques a m:a n =a m−n ;
3. propriété de puissance du produit (a·b) n =a n ·b n , son extension ;
4. propriété du quotient au degré naturel (a:b) n =a n:b n ;
5. élever un degré à une puissance (a m) n = a m·n, sa généralisation (((un n 1) n 2) …) n k =un n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. comparaison du degré avec zéro :
   • si a>0, alors a n>0 pour tout nombre naturel n ;
   • si a=0, alors a n =0 ;
   • si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. si a et b sont des nombres positifs et a
8. si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors à 0 0 l'inégalité a m >a n est vraie.

Notons immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique sous réserve des conditions spécifiées, leurs parties droite et gauche peuvent être échangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m ·a n =a m+n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n =a m ·a n .

Examinons maintenant chacun d'eux en détail.

Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.

Montrons la propriété principale du degré. Par la définition d'une puissance avec un exposant naturel, le produit de puissances ayant les mêmes bases de la forme a m ·a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de multiplication, l’expression résultante peut s’écrire , et ce produit est une puissance du nombre a avec un exposant naturel m+n, c'est-à-dire a m+n. Ceci termine la preuve.

Donnons un exemple confirmant la propriété principale du diplôme. Prenons des degrés de mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, en utilisant la propriété fondamentale des degrés on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Vérifions sa validité en calculant les valeurs des expressions 2 2 · 2 3 et 2 5 . En effectuant une exponentiation, nous avons 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 et 2 5 =2·2·2·2·2=32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 ·2 3 =2 5 est correcte et confirme la propriété principale du degré.

La propriété fondamentale d'un degré, basée sur les propriétés de multiplication, peut être généralisée au produit de trois puissances ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Ainsi, pour tout nombre k d'entiers naturels n 1, n 2, …, n k l'égalité suivante est vraie : une n 1 ·une n 2 ·…·une n k =une n 1 +n 2 +…+n k.

Par exemple, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Nous pouvons passer à la propriété suivante des puissances avec un exposant naturel : propriété des quotients de puissances de mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n satisfaisant la condition m>n, l'égalité a m:a n = a m−n est vraie.

Avant de présenter la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et quand nous nous sommes familiarisés avec la division, nous avons convenu qu'on ne pouvait pas diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour qu’on ne dépasse pas les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un nombre naturel, sinon il sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n ) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m

Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n ·une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité résultante a m−n ·a n = a m et il s'ensuit que a m−n est un quotient des puissances a m et a n . Cela prouve la propriété des puissances quotientes de bases identiques.

Donnons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, l'égalité π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 correspond à la propriété considérée du degré.

Considérons maintenant propriété de puissance du produit: la puissance naturelle n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égale au produit des puissances a n et b n , c'est-à-dire (a·b) n = a n ·b n .

En effet, par la définition d'un degré à exposant naturel on a . Sur la base des propriétés de multiplication, le dernier produit peut être réécrit comme , qui est égal à a n · b n .

Voici un exemple : .

Cette propriété s’étend à la puissance du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de degré naturel n du produit de k facteurs s'écrit (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pour plus de clarté, nous montrerons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons .

La propriété suivante est propriété d'un quotient en nature: le quotient des nombres réels a et b, b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n, c'est-à-dire (a:b) n = a n:b n.

La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Donc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et de l'égalité (a:b) n ·b n = a n il s'ensuit que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n .

Écrivons cette propriété en utilisant des nombres spécifiques comme exemple : .

Maintenant, exprimons-le propriété d'élever une puissance à une puissance: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance n est égale à la puissance du nombre a d'exposant m·n, c'est-à-dire (a m) n = a m·n.

Par exemple, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

La preuve de la propriété de puissance en degré est la chaîne d’égalités suivante : .

La propriété considérée peut être étendue de degré en degré, etc. Par exemple, pour tout nombre naturel p, q, r et s, l'égalité . Pour plus de clarté, voici un exemple avec des chiffres précis : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel.

Commençons par prouver la propriété de comparer zéro et la puissance avec un exposant naturel.

Tout d’abord, prouvons que a n >0 pour tout a>0.

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme cela ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication suggèrent que le résultat de la multiplication d’un nombre quelconque de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n, par définition, est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a, le degré a n est un nombre positif. En raison de la propriété prouvée 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 et .

Il est bien évident que pour tout nombre naturel n avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0.

Passons aux bases de degré négatives.

Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le 2·m, où m est un nombre naturel. Alors . Car chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, ce qui signifie que c'est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif et degré a 2·m. Donnons des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .

Enfin, lorsque la base a est un nombre négatif et l’exposant est un nombre impair 2 m−1, alors . Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. Grâce à cette propriété (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passons à la propriété de comparer des puissances de mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux puissances de mêmes exposants naturels, n est inférieur à celle dont la base est la plus petite, et plus grand est celle dont la base est la plus grande. . Prouvons-le.

Inégalité et n propriétés des inégalités une inégalité prouvable de la forme a n est également vraie (2.2) 7 et .

Il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. De deux puissances dont les exposants naturels et les bases positives identiques sont inférieures à une, celle dont l'exposant est le plus petit est la plus grande ; et de deux puissances à exposants naturels et à bases identiques supérieures à un, celle dont l'exposant est le plus grand est la plus grande. Passons à la preuve de cette propriété.

Montrons que pour m>n et 0 0 en raison de la condition initiale m>n, ce qui signifie qu'à 0

Reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1 a m >a n est vrai. La différence a m −a n après avoir retiré a n des parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré a n est un nombre positif, et la différence a m−n −1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1 le degré a m−n est supérieur à un . Par conséquent, a m −a n >0 et a m >a n , ce qui restait à prouver. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2.

Propriétés des puissances à exposants entiers

Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels répertoriées et prouvées dans le paragraphe précédent.

Nous avons défini un degré à exposant négatif entier, ainsi qu'un degré à exposant nul, de telle sorte que toutes les propriétés des degrés à exposant naturel, exprimées par des égalités, restent valables. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables aussi bien pour les exposants nuls que pour les exposants négatifs, même si, bien entendu, les bases des puissances sont différentes de zéro.

Ainsi, pour tout nombre réel et non nul a et b, ainsi que pour tout entier m et n, les éléments suivants sont vrais : propriétés des puissances à exposants entiers:

1. une m ·une n =une m+n ;
2. une m:une n =une m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (une m) n =une m·n ;
6. si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b−n ;
7. si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0 1 l'inégalité a m > a n est vraie.

Lorsque a=0, les puissances a m et a n n’ont de sens que lorsque m et n sont tous deux des entiers positifs, c’est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d’être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.

Prouver chacune de ces propriétés n'est pas difficile ; pour ce faire, il suffit d'utiliser les définitions des degrés à exposants naturels et entiers, ainsi que les propriétés des opérations avec des nombres réels. À titre d’exemple, prouvons que la propriété puissance-puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et pour les entiers non positifs. Pour ce faire, vous devez montrer que si p est zéro ou un nombre naturel et q est zéro ou un nombre naturel, alors les égalités (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) et (une −p) −q =une (−p)·(−q). Faisons-le.

Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q = a p·q a été prouvée dans le paragraphe précédent. Si p=0, alors nous avons (a 0) q =1 q =1 et a 0·q =a 0 =1, d'où (a 0) q =a 0·q. De même, si q=0, alors (a p) 0 =1 et a p·0 =a 0 =1, d'où (a p) 0 =a p·0. Si p=0 et q=0, alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0·0 =a 0 =1, d'où (a 0) 0 =a 0·0.

Nous prouvons maintenant que (a −p) q =a (−p)·q . Par définition d'une puissance avec un exposant entier négatif, alors . Par la propriété des quotients aux puissances on a . Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression, par définition, est une puissance de la forme a −(p·q), qui, grâce aux règles de multiplication, peut s'écrire a (−p)·q.

De même .

ET .

En utilisant le même principe, vous pouvez prouver toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.

Dans l’avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s’attarder sur la preuve de l’inégalité a −n >b −n, qui est valable pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a est satisfaite. . Puisque par condition un 0 . Le produit a n · b n est également positif en tant que produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme le quotient des nombres positifs b n −a n et a n ·b n . Par conséquent, d’où a −n >b −n , ce qui devait être prouvé.

La dernière propriété des puissances à exposants entiers se prouve de la même manière qu’une propriété similaire des puissances à exposants naturels.

Propriétés des puissances avec exposants rationnels

Nous avons défini un degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d’autres termes, les puissances à exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les puissances à exposants entiers. À savoir:

La preuve des propriétés des degrés à exposant fractionnaire repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons-en la preuve.

Par définition d'une puissance avec un exposant fractionnaire et , alors . Les propriétés de la racine arithmétique permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété d'un degré à exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré à exposant fractionnaire, on a , et l'indicateur du diplôme obtenu peut être transformé comme suit : . Ceci termine la preuve.

La deuxième propriété des puissances à exposants fractionnaires se prouve d'une manière absolument similaire :

Les égalités restantes sont prouvées en utilisant des principes similaires :

Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditionsp<0 и p>0 dans ce cas les conditions m<0 и m>0 en conséquence. Pour m>0 et a

De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où, c'est-à-dire, et a p >b p .

Reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q, p>q en 0 0 – inégalité a p >a q . Nous pouvons toujours réduire les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, même si nous obtenons des fractions ordinaires et , où m 1 et m 2 sont des nombres entiers et n est un nombre naturel. Dans ce cas, la condition p>q correspondra à la condition m 1 >m 2 qui en découle. Ensuite, par la propriété de comparer des puissances de mêmes bases et exposants naturels à 0 1 – inégalité une m 1 >une m 2 . Ces inégalités dans les propriétés des racines peuvent être réécrites en conséquence comme Et . Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, en conséquence. De là, nous tirons la conclusion finale : pour p>q et 0 0 – inégalité a p >a q .

Propriétés des puissances à exposants irrationnels

De la façon dont un degré à exposant irrationnel est défini, nous pouvons conclure qu'il possède toutes les propriétés des degrés à exposant rationnel. Donc, pour tout a>0, b>0 et nombres irrationnels p et q, ce qui suit est vrai propriétés des puissances avec des exposants irrationnels:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. une p:une q =une p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p b p ;
7. pour les nombres irrationnels p et q, p>q à 0 0 – inégalité a p >a q .

De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec n’importe quel exposant réel p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).